FUNKTSIOONID. 1. (1997 A) Leidke funktsiooni y = 4x3 3x2 maksimum- ja miinimumkoht ning kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 2 2. (1997 B) Leidke funktsiooni y 2 x määramispiirkond, maksimum- ja x 1 miinimumpunkt ning kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 3. Joonisel on antud ruutfunktsiooni y = f(x) ja funktsiooni y = ex graafikud. Leidke a) Ruutfunktsiooni y = f(x) määrav valem; b) Punkti A koordinaadid; c) Funktsiooni y = f(x) nullkohad ja haripunkti koordinaadid; d) Funktsiooni y = ex väärtus kohal, mis vastab funktsiooni y = f(x) absoluutväärtuselt vähimale nullkohale; e) Antud funktsioonide ühine positiivsuspiirkond. 4. (1998) Heinakuhja telglõige on piiratud joonega y = 1 x2 ja sirgega y = 0.
Vastused: a) ( 2 ;3 ] b) [-8,5 ; 1] c) ( ; 0 ) U (0 ; 1) d) ( 4 ; 6 ) e) [2 ; ) f) (3 ; 4) U (4 ; ) ; 1 2; g) [-2/3 ; 0 ) U ( 0 ; 3 ) h) i) ( 1;2 ) U ( 2 ; ) Lisaks õpikust ülesanded: 1121, 1145 4.Funktsioonid ja nende graafikud a) On antud funktsioon f(x) = x3 -4x f (3) Leidke : 1) f(-3) , , f( a) , f( x + a ) - f( a). 2) kas f ( x ) = x3 - 4x on paaritu funktsioon. 1 3) funktsiooni nullkohad, positiivsus ja negatiivsuspiirkonnad. 2
; 1 2; 2.Funktsiooni uurimine tuletise abil a) Leidke funktsiooni y = x3 - 4x2 -3x -2 kasvamis- ja kahenemisvahemikud, maksimum- ja miinimumkoht. Vastus: Kasvab x<-1/3, x>3 ; kahaneb -1/3 < x <3 max .koht - 1/3 ; min. koht 3. b) Antud on funktsiooni y = x3 -5x2 +3x - 11 1) Leidke selle funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud 2) Leidke selle funktsiooni vähim väärtus lõigul [ 0 ; 5 ] 3) Skitseeri funktsiooni graafik lõigul [ 0 ; 5 ] . Vastus:1) kasvab, x< 1/3 või x>3 ; kahaneb, kui 1/3< x <3 2) y =-20 c) On antud funktsioon f ( x) = xln6 - xlnx 1) leidke funktsiooni f ( x) a) määramispiirkond b) graafiku ja x - telje lõikepunkt c) maksimumpunkti abstsiss 2) Koostage joone y = f ( x) puutuja võrrand punktis, kus joon lõikab x - telge. Vastus:1) a) ( 0 ; ) b) ( 6 ; 0 ) c ) 6/e 2) y = -x +6
7. Stereomeetria. Riigieksamiülesannete koostamisel lähtutakse riiklikus õppekavas esitatud nõuetest (vt ,,Põhikooli ja gümnaasiumi riiklik õppekava"; http://www.riigiteataja.ee/ert/act.jsp?id=174787 ). Eksamiülesannete lahenduste näiteid (2008/2009 õ-a riigieksami põhjal) a a 1 -2 2 1. (10 punkti) Lihtsustage avaldis 2 - 2 2 - b ja leidke avaldise a - 2 ab + b 2 (a + b ) a täpne väärtus, kui a = -4 + log 5 125 ja b = 3 2 . a (a + b ) - a (a - b )
2007. aasta matemaatika riigieksami ülesanded koos lahenduste ja kommentaaridega 2 1. ÜLESANNE (5 punkti) Ülesannete tekstid 1 5x 1 I Antud on avaldis 2 , kus x 0 ja x . x 25 x 2 x 0 5 1) Lihtsustage see avaldis. 3 2) Arvutage avaldise väärtus, kui x 2 . Vastus andke täpsusega 10 2. 2 x 2 (9 x 2 x 0 ) 1 II Antud on avaldis , kus x 0 ja x
Enne tuleb leida aga tuletis funktsioonist y = x2. y´(x) = 2x. k = f ( x0 ) = 2 2 x0 2 x0 = 1 x0 = 0,5 y0 = 0,52 = 0, 25 Puutepunkt on (0,5; 0,25). Puutuja võrrand on seega y 0,25 = 1 . (x 0,5); y = x 0,5 + 0,25; y = x 0,25. Saime sirge, mis lõikab y-telge punktis C(0; -0,25) Vastus: Paja põhja kaugus koonuse tipust on 0,25. 9. (20p) On antud funktsioon f ( x ) = sin x - cos x . 1) Lihtsustage avaldist f ( x ) f ( - x ) 2) Lahendage võrrand f (x) = 1. 3) Lahendage võrratus f (x) > 0 lõigus [0; ] . 4) Leidke funktsiooni f (x) miinimumkoht vahemikus ( 0; 2) ja arvutage funktsiooni väärtus sellel kohal. Lahendus: 1) Lihtsustame avaldist f ( x ) f ( - x ) . f ( x ) f ( - x ) = ( sin x - cos x ) ( sin ( - x ) - cos ( - x ) ) = ( sin x - cos x ) ( - sin x - cos x ) =
määramispiirkond? 3. Jalgsimatk kestis 9 tundi. Esimesed 5 tundi liiguti kiirusega 4,5 km/h, siis puhati pool tundi ja ülejäänud aja liiguti kiirusega 4 km/h. Avaldada läbitud teepikkus (s) aja t funktsioonina. Leidke selle funktsiooni määramispiirkond. Paaris- ja paaritud funktsioonid Funktsiooni y = f(x) nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui f(-x) = f(x), ja paarituks funktsiooniks, kui f(-x) = -f(x) iga x korral määramispiirkonnast X. Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes, paaritufunktsiooni graafik aga 0-punkti suhtes. y Paaritu funktsioon 0 x Paarisfunktsioon Perioodilised funktsioonid Funktsiooni f(x) nimetatakse perioodiliseks, kui leidub selline nullist erinev reaalarv , nii et f(x + ) = f(x) iga x X korral. Vähimat positiivset väärtust, mille korral see
Leia selle funktsiooni 2.1. nullkohad; 2.2. positiivsus- ja negatiivsusvahemikud; 2.3. ekstreemumkohad, nende liik ning ekstreemumpunktid; 2.4. kasvamis- ja kahanemisvahemikud; 2.5. skitseeri selle funktsiooni graafik; 2.6. graafikule puutuja punktis, mille abstsiss on 5. 3. Antud on funktsioonid f(x) = sin2x ja g(x) = sinx. 3.1. lahenda võrrand f(x) = g(x) lõigul [0;2] ; 3.2. joonesta ühes ja samas teljestikus funktsioonide f(x) ja g(x) graafikud lõigus [0;2] ; 3.3. leia joonise abil x väärtused, mille korral f(x) < g(x) 4. Kalju äärne maatükk tuleb jagada ristkülikukujuliselt kahte võrdsesse ossa nii et nende pindala oleks maksimaalne. Leia maatükkide mõõtmed, kui traadi pikkus on 600 m. 5. Antud on funktsioonid f(x) = 3 x ja g(x) = 2 5.1. Skitseeri ühes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud; 5.2. Leia millistes punktides on nende funktsioonide väärtused võrdsed; 5.3
Tähis X. y= f(x). Väärtuste hulk- Hulka Y = {f(x) || x kuulub X} Funktsiooni esitamine tabelina- Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse tabeli ühes reas (veerus) ja neil vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. Funktsiooni esitamine analüütiliselt- Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. Näiteks avaldis y = x2 , x kuulub [0, 1] kirjeldab funktsiooni, mille määramispiirkonnaks on lõik [0, 1] ja iga x korral sellelt lõigult arvutatakse argumendile x vastavad funktsiooni väärtused f(x) vastavalt valemile f(x) = x2. Funktsiooni graafiku mõiste- G = {P = (x, f(x)) || x X} . Graafiku mõiste Esitatkse ristkordinaadistikus.Kanname tasandile riistuvad x ja y teljed.Vaatleme selles teljestikus joont G mis koosneb punktidest P=(x;f(x)) kusjuures P esimene
funktsiooni korral. Funktsiooni esitusviisid. 1. Esitusviis tabeli kujul. Funktsiooni argumendi võimalikud vääartused esitatakse tabeli ühes reas (veerus) ja neil vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. 2. Analüütiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määmispiirkonna kirjeldus. Näiteks avaldis y = x ruudus ; x [0; 1] kirjeldab funktsiooni mille määramispiirkonnaks on lõik [0; 1] ja iga x korral sellelt lõigult arvutatakse argumendile x vastavad funktsiooni väärtused f(x) vastavalt valemile f(x)= x ruudus. Analüütiliselt antud funktsiooni loomulikuks määramispiirkonnaks nimetatakse argumendi kõigi nende väärtuste hulka mille korral on funktsiooni avaldis täielikult määratud. 3. Graafline esitusviis. Funktsioon esitatakse graa_kuna tasandil ristkoordinaadistikus
Tähis X. y= f(x). Väärtuste hulk- Hulka Y = {f(x) || x kuulub X} Funktsiooni esitamine tabelina- Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse tabeli ühes reas (veerus) ja neil vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. Funktsiooni esitamine analüütiliselt- Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. Näiteks avaldis y = x2 , x kuulub [0, 1] kirjeldab funktsiooni, mille määramispiirkonnaks on lõik [0, 1] ja iga x korral sellelt lõigult arvutatakse argumendile x vastavad funktsiooni väärtused f(x) vastavalt valemile f(x) = x2. Funktsiooni graafiku mõiste- G = {P = (x, f(x)) || x ∈ X} . Graafiku mõiste Esitatkse ristkordinaadistikus.Kanname tasandile riistuvad x ja y teljed.Vaatleme selles teljestikus joont G mis koosneb punktidest P=(x;f(x))
23.05.1998 a matemaatika riigieksam Lehe haldamist toetavad Topauto ja meelespea.net Põhivariant 1. rida 1998 aasta matemaatika riigieksami ülesannete lahendused 8 - x 12 x +2 1. (5p) Lihtsustage avaldist ning näidake, et selle väärtus ei sõltu x väärtusest. 6 2- x 18 x 21-x Lahendus: Valemid, mida lihtsustamisel kasutati: 1 a n ; ( ab ) = a n bn ; ( a n ) = a n m n m a - n = n ; a m+ n = a m a Vastus: Avaldise väärtus ei sõltu x väärtusest, lihtsustatud avaldises x puudub
1 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK I Joonistel on kuue funktsiooni graafikud. Tee kindlaks, missuguste funktsioonidega on tegemist. 1 2 3 © Allar Veelmaa 2014 2 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK II © Allar Veelmaa 2014 3 10
nimetatakse funktsiooni f väärtuste hulgaks. Funktsiooni esitamine tabelina ja analüütiliselt: Esitusviis tabeli kujul: Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse tabeli ühes reas (veerus) ja neil vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendi on lõplik arv väärtusi. Analüütiline esitusviis: Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. Näiteks avaldis y = x2 , x [0, 1] Funktsiooni graafiku mõiste: Funktsiooni f graafik on kõikide järjestatud paaride (x, f(x)) hulk, kus x on määramispiirkonna X element. G = { P = (x, f(x)) || x X} . Graafiku omadused: Suvaline y-teljega paralleelne sirge saab funktsiooni graafikut lõigata maksimaalselt ühes punktis. 3. Paaris- ja paaritud funktsioonid: Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x) = f(x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks
p p x + px + q = 0 2 x1, 2 = - ± - q 2 2 x 2 + px + q = 0 x1 + x2 = - p ja x1 x2 = q (Viète´i valemid) 9 Biruutvõrrand Biruutvõrrandi üldkuju on ax 4 + bx 2 + c = 0 . Lahendamiseks kasutatakse abimuutujat x = y . Saadakse uus võrrand ay 2 + by + c = 0 , mille lahendid on y1 ja y2 . Paigutades y 2 positiivsed väärtused võrdusesse x 2 = y , saame 1) x 2 = y1 , millest x1,2 = ± y1 ; 2) x 2 = y2 , millest x3,4 = ± y2 . 2.6 Ruutkolmliikme teguriteks lahutamine x 2 + px + q = ( x - x1 ) ( x - x2 ) , milles x1 , x 2 on ruutkolmliikme nullkohad (vastava ruutvõrrandi x 2 + px + q = 0 lahendid). ax 2 + bx + c = a ( x - x1 ) ( x - x2 ) , milles x1 , x 2 on ruutkolmliikme nullkohad (vastava ruutvõrrandi ax 2 + bx + c = 0 lahendid). 2
Väärtuste hulk - Y={ f(x) || x X } Funktsiooni esitamine tabelina Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse tabeli ühes reas ja neile vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas. Võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. Funktsiooni analüütiline esitusviis valemi kujul. Funktsiooni graafiline esitusviis esitatakse graafikuna tasandi ristkoordinaadistikus. Suvaline y-teljega paralleelne sirge saab funktsiooni graafikut lõigata maksimaalselt ühes punktis. Paaris- ja paaritud funktsioonid - Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x) = f(x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x) = -f(x). Perioodilised funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). Kasvavad ja kahanevad funktsioonid
esitatakse tabeli ühes reas (veerus) ja neil vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on n lõplik arv väärtusi. Analüütiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. Analüütiliselt antud funktsiooni loomulikuks määramispiirkonnaks nim. argumendi kõigi nende väärtuste hulka mille korral funktsiooni avaldis on täielikult määratud. Funktsiooni graafik. Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistikus. Olgu antud funktsioon f, mille argument on x, sõltuv muutuja y ja määramispiirkond X. Kanname tasandile ristuvad x- ja y- teljed. Vaatleme selles teljestikus joont G, mis koosneb kõikvõimalikest punktidest P = (x, f(x)), kusjuures P esimene koordinaat x jookseb läbi kogu määramispiirkonna X.
On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. 2. Analüütiline Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. 3.Graafiline Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistikus. Funktsiooni f graafiku definitsioon on järgmine: G = {P = (x, f(x)) || x X} . · Graafiku omadused: o Kui f(x) > 0, siis graafik paikneb ülalpool xtelge. o Kui aga f(x) < 0, siis graafik jääb xteljest allapoole. o Kui suvaline yteljega paralleelne sirge saab funktsiooni graafikut lõigata maksimaalselt ühes punktis, siis funktsioon on ühene. o Juhul, kui eksisteerib vähemalt üks yteljega paralleleelne sirge lõikab funktsiooni graafikut mitmes punktis, vaadeldav funktsioon on mitmene. 3.
On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. 2. Analüütiline Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. 3.Graafiline Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistikus. Funktsiooni f graafiku definitsioon on järgmine: G = {P = (x, f(x)) || x X} . · Graafiku omadused: o Kui f(x) > 0, siis graafik paikneb ülalpool xtelge. o Kui aga f(x) < 0, siis graafik jääb xteljest allapoole. o Kui suvaline yteljega paralleelne sirge saab funktsiooni graafikut lõigata maksimaalselt ühes punktis, siis funktsioon on ühene. o Juhul, kui eksisteerib vähemalt üks yteljega paralleleelne sirge lõikab funktsiooni graafikut mitmes punktis, vaadeldav funktsioon on mitmene. 3.
puutuja tõus suureneb, seega tuletis kasvab. Tuletis kasvab aga juhul kui teine tuletis on positiivne. Järelikult kehtib järgmine väide: Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus II. Olgu f ` (x1) = 0. Kui f ` '(x1) < 0 siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne maksimum. Kui aga f ` `(x1) > 0 siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne miinimum. 33. Joone kumerus ja nõgusus. Käänupunktid: Joone kumerus ja nõgusus. Vaatleme joont võrrandiga y = f(x) ehk funktsiooni y = f(x) graafikut tasandil xy - teljestikus. Eeldame et funktsioon f on kõikjal diferentseeruv. Viimane on vajalik selleks et joonel y = f(x) oleks igas punktis puutuja. Öeldakse et joon y = f(x) on nõgus kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus suureneb. Öeldakse et joon y = f(x) on kumer kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus väheneb. Kui puutuja tõus suureneb siis joon muutub järsemaks. Seega nõgus joon kaardub ülespoole
neil vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. 2. Anaüüutiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. 3.Graafiline esitusviis. Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistikus. Funktsiooni f graafiku definitsioon on järgmine: G = {P = (x, f(x)) || x X} . Kui f(x) > 0, siis graafik paikneb ülalpool x-telge. Kui aga f(x) < 0, siis graafik jääb x-teljest allapoole. Kui suvaline y-teljega paralleelne sirge saab funktsiooni graafikut lõigata maksimaalselt ühes punktis, siis funktsioon on ühene. Juhul, kui eksisteerib vähemalt üks y-teljega paralleleelne sirge lõikab funktsiooni graafikut mitmes punktis, vaadeldav funktsioon on mitmene. 3. Paaris- ja paaritud funktsioonid. Perioodilised funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Astmefunktsioon
x px q 0 2 x1, 2 q 2 2 x 2 px q 0 x1 x2 p ja x1 x2 q (Viète´i valemid) 9 Biruutvõrrand Biruutvõrrandi üldkuju on ax 4 bx 2 c 0 . Lahendamiseks kasutatakse abimuutujat x y . Saadakse uus võrrand ay 2 by c 0 , mille lahendid on y1 ja y2 . Paigutades y 2 positiivsed väärtused võrdusesse x 2 y , saame 1) x 2 y1 , millest x1,2 y1 ; 2) x 2 y2 , millest x3,4 y2 . 2.6 Ruutkolmliikme teguriteks lahutamine x 2 px q x x1 x x2 , milles x1 , x 2 on ruutkolmliikme nullkohad (vastava ruutvõrrandi x 2 px q 0 lahendid). ax 2 bx c a x x1 x x2 ,
y ' = lim = = x 0 x x' (t ) xo t Märkus: Teoreemi (9.1) saab tõestada y ' = (u (t ))' = u t' t ' ( x) pöördfunktsiooni t = t (x) tuletis 1 t ' ( x) = v' ( f ) o u' y järelikult y ' = = o v' x Definitsioon 2 Funktsioon on esitatud ilmutamata kujul, kui on antud avaldis, mis sisaldab nii argumenti x kui ka funktsiooni väärtust y ja võrdub nulliga. (9.3) F ( x, y ) = 0 Näited: 1. x 2 + y 2 = 1 (ühikringjoone ilmutamata kuju) y = ± 1 - x 2 (ilmutatud kuju) © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 14 2. x 2 y + sin xy = 0 (ilmutamata funktsioon) Võtame mõlema poole tuletise, eeldades, et y on x -i funktsioon. 2 xy + x 2 y '+ cos y ( y + cy ' ) = 0
y ' = lim = = x 0 x x' (t ) xo t Märkus: Teoreemi (9.1) saab tõestada y ' = (u (t ))' = u t' t ' ( x) pöördfunktsiooni t = t (x) tuletis 1 t ' ( x) = v' ( f ) o u' y järelikult y ' = = o v' x Definitsioon 2 Funktsioon on esitatud ilmutamata kujul, kui on antud avaldis, mis sisaldab nii argumenti x kui ka funktsiooni väärtust y ja võrdub nulliga. (9.3) F ( x, y ) = 0 Näited: 1. x 2 + y 2 = 1 (ühikringjoone ilmutamata kuju) y = ± 1 - x 2 (ilmutatud kuju) © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 14 2. x 2 y + sin xy = 0 (ilmutamata funktsioon) Võtame mõlema poole tuletise, eeldades, et y on x -i funktsioon. 2 xy + x 2 y '+ cos y ( y + cy ' ) = 0
Funktsiooni vahemikuks f(x) argumendi väärtuste hulka, mille korral funktsioon kahaneb kahanemisvahemikuks. Kahanemispiirkond X Funktsiooni ekstreemumiteks nimetatakse funktsiooni lokaalseid(kohalikke) max. ja min. väärtusi. Mmax(xmax;ymax) - maksimum punkt Mmin(xmin;ymin) miinimum punkt Paaris- ja paaritufunktsioon Funktsiooni nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui argumendi märgi muutumisega ei kaasne argumendi märgi muutust. Paaris funktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. f(-x) = f(x) Funktsiooni nimetatakse paarituksfunktsiooniks, kui argumendi märgi muutusega kaasneb funktsiooni märgi muutus. Sümmeetriline alguspunkti suhtes. f(-x) = -f(x) Et teha kindlaks, kas funktsioon on paaris või paaritu või ei ole kumbki, asendatakse funktsiooni avaldises x -x ja teisendatakse avaldist, kui tulemuseks tekib esialgne funktsioon siis on tegemist paarisfunktsiooniga, kui tulemusele saab miinusmärgi ette võtta ja
................................................................................6 4. Funktsiooni mõiste, funktsiooni esitusviisid. .............................................................................. 6 5. Funktsioonide liigitus (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioonid, monotoonsed funktsioonid, tõkestatud funktsioonid). Tuua näiteid. .............................................. 7 6. Elementaarsed põhifunktsioonid, nende määramispiirkonnad, põhiomadused ja graafikud. .....7 7. Liitfunktsiooni mõiste, liitfunktsiooni määramispiirkond. Tuua näiteid. ....................................7 8. Pöördfunktsiooni mõiste; pöördfunktsiooni määramis- ja muutumispiirkond. Tuua näiteid. .....7 9. Muutuva suuruse piirväärtus, tõkestamatult kasvav ja tõkestamatult kahanev suurus. ...............8 10. Funktsiooni piirväärtus. Funktsiooni vasak- ja parempoolne piirväärtus. .................................9 11
Matemaatilise analüüsi (I) I osaeksami teooriaküsimused (Tallinnas õppivatele kaugõppijatele) 1. Ratsionaalarvud, irratsionaalarvud, reaalarvud. Reaalarvu absoluutväärtus ehk moodul. Positiivseid ja negatiivseid täis- ning murdarve koos arvuga null nimetatakse ratsionaalarvudeks. Lõpmatute mitteperioodiliste kümnendmurdudena esitatavaid arve nimetatakse irratsionaalarvudeks. Kõik ratsionaal- ja irratsionaalarvud koos moodustavad reaalarvude hulga. x Reaalarvu absoluutväärtuseks ehk mooduliks x nimetatakse mittenegatiivset reaalarvu, mis rahuldab tingimusi x = x, kui x 0, x = -1, kui x < 0. x x. Kehtib seos 2. Muutuv suurus ehk muutuja, jääv suurus ehk konstant. Muutuva suuruse muutumispiirkond. Mõisted: vahemik, lõik, poollõik. Kasvav ja kahanev muutuv suurus, monotoonne suurus. Tõkestatud muutuv suurus. Suurust, mis omandab mitmesuguseid väärtusi, nimetatakse muutuvaks
üks x väärtus, millele vastab mitu y väärtust 7. Kirjeldada funktsiooni esitust tabelina ja analüütiliselt. (lk 4) Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse tabeli ühes reas (veerus) ja neile vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. 8. Mis on funktsiooni graafik? Loetleda graafiku omadusi. (lk 4 – 5) Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistikus. Graafik on joon(ed), mis kirjeldavad x ja y omavahelist seost ja suhet kindlates punktides. Kanname tasandile ristuvad x- ja y-teljed. Vaatleme tasandil hulka G, mis koosneb punktidest P(x, f(x)), mille esimene koordinaat x omandab kõik väärtused määramispiirkonnas X. Seda hulka nimetatakse funktsiooni f graafikuks. 9. Defineerida paaris- ja paaritu funktsioon. (lk 6)
· Palk=Põhipalk+0,3*IKI*sgnK · K kasum 21. Täisosa funktsioon, graafik- · Arvu täisosa funktsioon · y=[x], kus [x] on suurim täisarv, mis ei ületa arvu x. · Näited: [2,5]=2; [2,9]=2; [2]=2; [-2,5]=-3; [-2]= -2; [- 3,45]=-4; [0,(9)] 22. Murdosa funktsioon, graafik- · y={x}=x-[x] · [2,3]=2 · {2,3}=0,3 · {2}=0 · {-3,75}=0,25 23. Paarisfunktsioon- · Funktsiooni, mille graafik on sümmeetriline y-telje suhtes, nimetatakse paarisfunktsiooniks · Paarisfunktsiooni tunnuseks on võrdus · f(-x)= f(x) · Paarisfunktsioonid on näiteks kõik funktsioonid kujul · y=ax2+b, y=ax2k+b (k on täisarv) · + 24. Eksponentfunktsioon, graafik y = a , kus a R ja a 1 x · . · Määramispiirkond kõik reaalarvud
1. Funktsioon on paarisfunktsioon kui kehtib võrdus f(-x)=f(x) Paarisfunktsioon on sümmeetriline y-telje suhtes. Funktsioon on paaritu kui kehtib võrdus f(-x)=-f(x) Paaritu funktsioon on sümmeetriline 0-punkti suhtes. Kasvamis- ja kahanemispiirkond. Olgu funktsiooni maaramispiirkonna alamhulgas D kaks väärtust x1 ja x2, kus kehtib võrratus x1< x2. Kui f(x1) < f(x2), siis on funktsioon f kasvav hulgas D, graafik tõuseb. Kui f(x1) >f(x2), siis on f hulgas D kahanev ja graafik langeb. Astmefunktsioon on kujul y=xa , kus a on nullist erinev konstantne asendaja. Kui a on paaritu arv, siis X=R ja Y=R. Kui a on paarisarv, siis X=R Y=(0; ). Eksponentfunktsioon on kujul ax , kus a>0 ja ei võrdu ühega. X=R ja Y=(0; ). Trigonomeetrilised funktsioonid y = sin x, y= cos x, y = tan x ja y = cot x y = sin x : X = R, Y = [-1, 1] , y = cos x : X = R, Y = [-1, 1] ,
- liitmisoperaator - korrutamisoperaator 8. Mis on funktsiooni f(x) määramispiirkond, muutumispiirkond. Esitage 2 näidet. Määramispiirkond on muutuja x kõigi selliste väärtuste hulk, mille korral f-ni väärtust saab f ( x) arvutada. (x väärtuste hulk) Muutumispiirkonnaks nimetatakse argumendi x väärtustele vastavaid f-ni f(x) väärtuste hulka. (y väärtuste hulk) 1 Näited: f(x) := x-1 x0 sest murrujoone alune avaldis ei tohi olla 0 Määramispiirkond on siis: Muutumispiirkond on kogu reaalarvude hulk. Määramispiirkond: Muutumispiirkond: 9. Mis on reaalmuutuja funktsioon? Esitage 2 näidet! Kui argumendi x ja funktsiooni f(x) väärtuseks on reaalarvud, siis funktsiooni f(x) nimetatakse yfx x0 () - < x< 1<< reaalmuutuja funktsiooniks. Näited: f(x)=2 1x 10
1) 2) 3) 4) 3 4 5 2 3 1- log 3 6 - log 4 0 ,125 3. Arvuta avaldise 27 -4 väärtus. 1) 0 2) 7,875 3) 7,875 4) 3,875 4. On antud perioodilise funktsiooni y = f ( x ) graafik, on teada, et funktsiooni periood T = 4, leia f (10) . 1) 0 2) 1 3) 2 4) 3 5. Leia kõigi täisarvude summa, mis jäävad lõigule [-5;7] ja kuuluvad funktsiooni y = 2 - log 2 ( 2 + 4 x - x 2 ) määramispiirkonda. 1) 7 2) 4 3) 5 4) 13 6. Leia funktsiooni suurima ja vähima väärtuse korrutis. 1) -2,25 2) 2,25 3) -2,125 4) 2,125 y = f ( x)
Funktiooni esitusviisid: · Esitusviis tabeli kujul : Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse tabeli ühes reas ( veerus) ja neil vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus).On võimalik vaid siis, kui funkt argumendil on lõplik arv väärtusi. · Analüütiline esitusviis: Funkstioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. Nt. Avaldis y=x2 , x [0,1] , see ei ole oma loomulikus määramispiirkonnas, loomulik on X=R · Funkstioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistikus. Graafiku definitsioon : G = { P = (x, f(x)) || x X } Graafiku omadused: · Graafiku punkti P teist koordinaati f(x) võib tõlgendada P ´´kõrgusena´´ x-telje suhtes. Kui f(x)>0 on kõrgus positiivne ja vastupidi negatiivne.
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
