kooliaasta algus 1. septembril, välistavateks.Kui A = igahommikune päikesetõus, vesi on {1, 3, 5} ja B = {2, 4, 6}, siis AB ämbris vedelas olekus kui temperatuur = , siis öeldakse on 10 kraadi. Võimatu sündmused A ja B on sündmus (tähistatakse V) - sündmus, teineteist välistavad. mis antud vaatluse või katse korral Näide7. Olgu täringu kunagi ei toimu. viskel sündmus A = {1, 3, 5} Võimatuteks sündmusteks on näiteks ja sündmus B = {1, 2, 3}, siis AB = täringul üheaegselt 6 ja 4 silma heitmine; {5}.Kaht sündmus nim sõltumatuteks, vesi ei saa tahkes olekus olla, kui kui neist ühe toimumune ei muuda teise mõlemad poisid, teades, et vähemalt üks temperatuur on +10 kraadi.Kindla tõenäosust Näide8.Kui suur on nendest on poiss.Lahendus. Eeldame, et
k n! V n= ( n−k ) ! Arv hulgas on fikseeritud ning mitu erinevat järjestust saab olla. Permutatsioon on mingi n-elemendilise hulga n-elemendilised järjestatud osahulgad. Pn=n ! Erinevad järjestused. 13. Üksteist välistavate sündmuste summa tõenäosus. Teineteist välistavate sündmuste A ja B summa tõenäous võrdub nende tõenäosuste summaga P ( A ∪ B )=P ( A ) + P( B) ehk ühendiga. 14. Sündmuste sõltumatus ja tinglik tõenäosus. Sündmused on sõltumatud, kui ühe sündmuse toimumine ei mõjuta teise sündmuse toimumist. Tinglikuks tõenäosuseks nimetatakse sündmuse A toimumise tõenäosust juhul, et toimus P (A ∩ B) sündmus B. P ( A|B )= P( B) 15. Korrutamislause. Sündmuste A ja B korrutise tõenäosuseks nimetatakse arvu, mis saadakse ühe sündmuse tõenäosuse korrutamisel teise sündmuse tingliku tõenäosusega esimese suhtes.
ühendeid, millest igaüks sisaldab m elementi antud n elemendi hulgast, mis erinevad üksteisest kas elementide endi või nende järjekorra poolest: n! Am n = ( n m)! . Näide: Üliõpilased õpivad 7 erinevat ainet. 1. koolipäeval on vaja tunniplaani paigutada 3 erinevat loengut. Mitu erinevat võimalust selleks on? 7! A 37 = 4! = 210. 1.6 Tinglik ja täistõenäosus Sündmusi A ja B nimetatakse sõltumatuteks, kui kummagi sündmuse toimumine ei sõltu sellest kas teine nendest toimus või ei toimunud. Näiteks: täringuvisked, mündi vise jne. Sündmuse A tinglikuks tõenäosuseks P(A/B) nimetatakse sündmuse A tõenäosust tingimusel, et sündmus B on juba toimunud Tõenäosuste korrutamise teoreem: Sündmuste A ja B korrutise tõenäosus avaldub järgmiselt: P(A∩B) = P(A/B)*P(B) Järeldus1
võimalikust näitav arv lõigul [0,1], mida tavaliselt Suhtelise sageduse omadused: 1. Sündmuse suhteline tähistatakse P. Võimatu sündmuse V tõenäosus P(V)=0, sagedus on mittenegatiivne. 2. Kindla sündmuse suhteline 17. Binoomjaotusega juhuslik suurus, selle kindla sündmuse K tõenäosus P(K)=1. Ülejäänud sagedus on 1 3. Võimatu sündmuse suhteline sagedus on jaotustabel, keskväärtus (tõestusega) ja dispersioon sündmused on juhuslikud sündmused. (tõestusega) Sündmuse A toimumise arv X kirjeldatud 0 4. Sündmuse A vastandsündmuse suhteline sagedus on 2. Tehted sündmustega
Standardhälve: = 2 Haare on suurima ja vähima väärtuse vahe. 2. Sündmus ja tõenäosus. Kindel sündmus ja võimatu sündmus. Sündmus on tõenäosusteooria põhimõiste. Tavaliselt tähistatakse suurte tähtedega, vajadusel kasutatakse indekseid. Nt A, A1 , Bi , Cjk jne. Sündmuse tõenäosus on sündmuse võimalikkust näitav arv lõigul [0,1], mida tavaliselt tähistatakse P. Võimatu sündmuse V tõenäosus P(V)=0, kindla sündmuse K tõenäosus P(K)=1. Ülejäänud sündmused on juhuslikud sündmused. 3. Tehted sündmustega: vastandsündmus, sündmuste summa, sündmuste korrutis, sündmuste vahe. Esitada definitsioonid ja osata tuua näiteid. Sündmuse A vastandsündmus A on sündmus, mis toimub siis, kui A ei toimu. P(A)+P( A )=1. Sündmuste A ja B summa A+B on sündmus, mis toimub siis, kui toimub A või toimub B või toimuvad A ja B korraga. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) Sündmuste A ja B korrutis AB on sündmus, mis toimub siis, kui toimuvad A ja B korraga
∑Hi=Ω. Täistõenäosuse valemi tuletamine: P(A) = P(AΩ) = P(A∑Hi) = P(∑AHi) = ∑P(AHi) = ∑[P(A|Hi)P(Hi)] (Korrutuslause: P(A|B) = P(AB)/P(B)) ( | ) ( ) Bayes’i valem: ( | ) = ( ) ( ) ( | ) ( ) Bayes’i valemi tuletamine: ( | ) = ( ) = ( ) 7. Tinglik tõenäosus ja Bayes’i valem. Bayes’i valemi praktiline interpretatsioon Kui P(A) > 0, siis tõenäosust P(B|A) = P(AB)/P(A) nimetatakse sündmuse B tinglikuks tõenäosuseks tingimusel A. Kui toimus sündmus A, siis kui suur on tõenäosus, et toimus sündmus Hj. … 8. Juhuslik suurus, tema jaotus ja tõenäosus. Nende mõistete vahelised seosed Def1. Suurust X, mille võrdumine katse käigus etteantud väärtustega x on juhuslik sündmus, nim juhuslikuks suuruseks
.
Juhuslikuk suurus- suurust, mis järjekordse katse tulemusel omandab mingi mitteennustatava väärtus
mingist võimalikust väärtuste hulgast.
Juhusliku suuruse põhiliigid:
diskreetne juhuslik suurus: võimalike väärtuste hulk on lõplik või loenduv (nt variantide nr'id)
pidev juhuslik suurus: võimalike väärtuste hulk on pidev (nt mõõtetulemused pidevalt skaalalt)
Juhusliku suuruse omadused määrab (täielikult) tema jaotusseadus:
jaotusfunktsioon - tõenäosus, et juhuslik suurus väärtus ei ületa funktsiooni argumenti x: F(x) = P (X
objekti kohta mingi tõenäosuslik mudel, sh hinnates mudeli arvparameetreid ja kontrollides erinevaid hüpoteese objekti mudeli kohta. Mediaani hinnang: - kasvavalt järjestatud valimi keskelement (kui valimi maht on paaritu arv) - kasvavalt järjestatud valimi keskelementide poolsumma (kui valimi maht on paarisarv) Haare: valimi suurima ja vähima elemendi vahe Statistika põhiteoreem: Empiiriline jaotusfunktsioon FN(x) on teoreetilise (üldkogumi) jaotusfunktsiooni F(x) nihutamata ja mõjus hinnang. Histogramm: Histogramm on enimkasutatav (üldkogumi) jaotustiheduse hinnang. Histogrammi kasutatakse ettekujutuse saamiseks üldkogumi jaotusseadusest ning ta kujutab endast tulpdiagrammi, mille tulpade kõrgused näitavad vastavasse vahemikku sattumise sagedust. 2-jaotus on kasutusel normaaljaotusega juhusliku suuruse dispersiooni hinnangu jaoks usaldusvahemike arvutamisel.
.., An, siis küsime tõenäosust, et
toimus i-s sündmus A1. Bayesi valem. P(Ai/B)=(P(Ai)P(B/Ai))/ P(A1)P(B/A1)+ P(A2)P(B/A2)+...+ P(An)P(B/An), i=1,2,...,n Tõestus!!!
P(AiB)=P(B)P(Ai/B). Fikseerime i ja leiame P(Ai/B)=P(AiB)/P(B)= P(Ai)P(B/Ai)/( P(A1)P(B/A1)+ P(A2)P(B/A2)+...+ P(An)P(B/An).
Erijuhul, kui n=2 saame P(Ai/B)= P(AiB)/P(B)=P(Ai)P(B/Ai)/ P(A1)P(B/A1)+ P(A2)P(B/A2)+...+ P(An)P(B/An), i=1,2.
7. Juhusliku suuruse jaotusfunktsiooni definitsioon. Selle omadused (tõestustega).
Kogu reaalarvude hulga R maaratud funktsiooni F(x)=P(X
võrdtõenäosed, praktikas sageli nii ei ole. 14.Sündmuse tõen. statistiline def. – Suhteline sagedus, m/n kusjuures n – katsete arv, m – sündmuse toimumiste arv n katsete korral. P(A) = lim m/n seda nimetatakse sündmuse statistiliseks tõenäosuseks. Puudus- seda täpset väärtust ei ole võimalik praktikas kasutada, sest kellelegi ei anta aega ega raha lõpmata arv kordi katseid sooritada, kasutatakse ligilähedasi väärtusi. P(A)=w=m/n. 15.Sündmuse tinglik tõenäosus – Kui kaks sündmust A ja B toimuvad järjestikku siis tekib küsimus, kas esimese sündmuse toimumine mõjutab hilisema sündmuse toimumist. Kui hilisema sündmuse B tõen. sõltub eelneva sündmuse toimumisest on sellise olukorra jaoks kasutusele võetud sündmuse tingliku tõen. mõiste. Tinglikku tõen. tähistatakse P(B/A), kusjuures loetakse seda järgmiseks ’’ sündmuse B tõenäosus tingimusel, et on toimunud sündmus A’’ 16
detail valmistati esimesel tööpingil ja oli kõrgema kvaliteediga. 2 Sündmus A- detail valmistati esimesel tööpingil Sündmus B- detail on kõrgema kvaliteediga Et esimese pingi tootlikkus on 2 korda suurem, siis sellel valmistatud detaile on 2 korda rohkem Seega P(A)=2/3 Sündmuse B tõenäosus, tingimusel et sündmus A toimus on 0.96 ehk P(B|A)=0.96 (see on tinglik tõenäosus) P(A B)= 2/3*0.96 · Sündust A nimetame sõltumatuks sündmusest B, kui sündmuse A tinglik tõenäosus tingimusel B võrdub sündmuse A tingimatu tõenäosusega. P(A|B)=P(A). Geomeetriline tõenäosus D d Sd P(A)= SD Geomeetriline tõenäosus üldistab tõenäosuse klassikalist definitsiooni juhule kus võrdvõimalike elementaarsündmuste arv ei ole lõplik (näiteks punktide arv 2D piirkonnas). Tõenäosus, et tabatakse teatud alampiirkonda on soodsate võimaluste arv
ja igal katsel on sündmuse toimumise tõenäosus sama p. Meid huvitab tõenäosus, et sündmus toimub n katse jooksul k korda. P( n katsel k korda ) = C kombinatsioonide arv pk k korda juhtub, et sündmus toimub. qn-k n-k korda juhtub, et sündmust ei toimu. Sündmuse mittetoimumise tõenäosus q = 1 p. Sündmuse toimumise tõenäoseim arv. - Ilma tõenäosusi endid leidmata saab leida kõige tõenäolisema sündmuse toimumiste arvu k0. 5. Tinglik tõenäosus. - Sündmuse A tinglikuks tõenäosuseks tingimusel B nimetame sündmuse A tõenäosust eeldusel, et sündmus B toimub. Täistõenäosus. - Olgu {A1,A2,..Ak} sündmuste täissüsteem ja saagu sündmus B toimuda ainult koos ühega sündmustest Ai, siis täistõenäosust arvutatakse valemiga: Bayes'i valem. - Arvutame sündmuse Ai tingliku tõenäosuse eeldusel, et toimub sündmus B: 6
väärtuste hulgaks on teatav(ad) arvude intervall(id)), nimetatakse pidevaks Poissoni jaotus-Diskreetse juhusliku suuruse X esinemise tõenäosus ajaühikus on Poissoni jaotuse järgi. Normaaljaotus-Normaaljaotus on pidev jaotus, mis võib omandada kõiki reaaltelje väärtuseid, teda kirjeldavad kaks parameetrit µ ja s 2. Tähistatakse N(µ, s 2). Tihedusfunktsioon-Pideva juhusliku suuruse jaotusfunktsiooni tuletist nimetatakse juhusliku suuruse tihedusfunktsiooniks,tähistatakse tähega f(x). Tihedusfunktsioonil on järgmised omadused, mis vahetult tulenevad jaotusfunktsiooni omadustest: 1) Tihedusfunktsioon on mittenegatiivne f(x) >= 0. 2) Tihedusfunktsiooni alune pindala on võrdne ühega. Ühtlane jaotus-Pidev juhuslik suurus on ühtlase jaotusega, kui selle juhusliku suuruse võimalikud väärtused on mingis lõplikus vahemikus ja juhusliku suuruse jaotustihedus on konstantne
statistiline), mtteklassikalised(subjektiivne,intersubjektiivne) Juhuslikuks suuruseks nim suurust, mis järjekordse katse tulemusel omandab mingi mittennustatava väärtuse mingist võimalikust väärtuste hulgast. Diskreetne juhuslik suurus: võimalike väärtuste hulk on lõplik Pidev juhuslik suurus: võimelike väärtuste hulk on kontiinum Jaotusfunktsioon on tõenäosus, et juhusliku suuruse väärtus ei ületa funktsiooni argumenti. Jaotusfunktsioon peab rahuldama järgmisi tingimusi: monotoonsus (kui b>a, siis F(b)>F(a), normeeritus (x-lõpmatus korrral lim F(x)=0, xlõpmatus lim F(x)=1) Jaotustihedus on jaotusfunktsiooni tuletis. Arvkarakteristikud kujutavad endast mingeid jaotusseaduse järgi leitavad funktsionaale, millega opereerimine/arvutused on enamasti lihtsamad kui kogu jaotusseadusega opereerimine. Juhusliku suuruse arvkarakteristikuid võib jagada: moment ja mittemomentkarakteristikud, asendi-,hajuvus- ja kujukarakteristikud,
∑P(AHi) = ∑[P(A|Hi)P(Hi)] (Korrutuslause: P(A|B) = P(AB)/P(B)) P ( A|H j ) P( H j ) Bayes’i valem: P ( H j| A ) = P( A) P( A H j) P ( A|H j) P( H j) Bayes’i valemi tuletamine: P ( H j| A ) = = P( A ) P(A ) 6. Tinglik tõenäosus ja Bayes’i valem. Bayes’i valemi praktiline interpretatsioon Kui P(A) > 0, siis tõenäosust P(B|A) = P(AB)/P(A) nimetatakse sündmuse B tinglikuks tõenäosuseks tingimusel A. Kui toimus sündmus A, siis kui suur on tõenäosus, et toimus sündmus Hj. … 7. Juhuslik suurus, tema jaotus ja tõenäosus. Nende mõistete vahelised seosed Olgu X = X1,…,Xn Juhuslikuks suuruseks nimetatakse funktsiooni (kujutust) X: F → R; X(A) = Xi; A∈ F.
summa on sündmus, mille toimumine seisneb neist vähemalt ühe (A v B) toimumises. Sündmuse A x B korrutis on sündmus, mille toimumine seisneb mõlema (A ja B) toimumises. Sündmuse sagedus on sooritatud (n) katsete ja katseseeriate (m) arvu vahejagatis Sündmuse tõenäosus on juhuslik sündmuse konstant, mille ümber grupeerub selle sündmuse sageduse katsete arvu suurenedes (m- soodsate sündmuste arv, n- võrdvõimalike sündmuste arv) 3. Juhusliku suuruse keskväärtus ( EX ). Keskväärtuse punkthinnang (aritmeetiline keskmine x ). Diskreetse ja pideva juhusliku suuruse mood ja mediaan. Juhusliku suuruse keskväärtus grupeeritud juhuslike suuruse võimalikud väärtused. Juhuslike võrdvõimalike sündmuste arvu (N) soodsate sündmuste protsendilise tõenäosuse korrutis E(X) = n * p p=1q Võrdvõimalike sündmuste sageduse tiheduse ( ) korrutise summa ..
..; Sama protsessi spektraalne arendus: x(t) = X0+Xkcos(2kf0t k), kus X0=a0/2; Xk=ak2+bk2; k=arctg(bk/ak); k=1, 2, 3, ...; Polüharmoonilise protsessi sagedusspektrit saab samuti iseloomustada amplituud-sagedus karakteristikuga. Peaaegu perioodilised protsessid. Peaaegu perioodiline protsess on protsess, mis ei ole perioodiline, küll aga saab teda kirjeldada perioodilise protsessina järgmisel kujul: x(t)=k=1Xkcos(2fkt k), kus mitte kõik suhted fk/fn ei ole ratsionaalarvud. 9. Juhuslikud vektorid, nende tõenäosuslikud jaotusseadused ning arvkarakteristikud (kovariatsiooni- ja korrelatsioonimaatriks). Juhuslikud sündmused on sellised, mis vaatluse käigus või katse tulemusel võivad toimuda või mitte. Suurust nimetatakse juhuslikuks, kui see omandab antud tingimustes sõltuvalt juhusest, ühe oma võimalikust väärtusest. Juhuslikud suurused on kas diskreetsed või pidevad. Diskreetne juhuslik suurus X omandab katsel ühe oma võimalikest väärtustest x1, x2, x3, ..
2) välistatust (korraga saab toimuda vaid üks elementaarsündmus), 3) võrdvõimalikkust. Tõenäosuse definitsioonist tulenevad tõenäosuse omadused: 1. Tõenäosus on arv, mis rahuldab võrratusi 0 P(A) 1. 2. Kindla sündmuse tõenäosus on 1, st. P(U) = 1. 3. Võimatu sündmuse tõenäosus on 0, st. P(V) = 0. 4. Sündmuse A ja tema vastandsündmuse A tõenäosuste summa on 1, st. P(A) + P( A ) = 1. N ä i d e 2. Eelmises näites leidsime paarisarvu silmade tuleku tõenäosuse täringu viskel, P(A) = 0,5. Et paaritu arvu silmade tulek täringu viskel on sündmuse A vastandsündmus A , siis selle tõenäosus P(A) =1- P(A) =1- 0,5 = 0,5. 8. Sündmuste korrutis, vahe ja summa. sündmust, mis seisneb nii sündmuse A kui ka sündmuse B toimumises, nimetatakse sündmuste A ja B korrutiseks. Ühisosa peab olema. N ä i d e 2. Kaardipakist, milles on 36 kaarti, võetakse juhuslikult üks kaart. Olgu sündmuseks A risti saamine ja sündmuseks B pildi saamine. Leiame sündmuste
Sündmus A ei ilmne kui esineb sündmus A. Sündmus A on sõltumatu sündmusest B kui tema tingimuslik on võrdne mittetingimusliku tõenäosusega. 3. Sündmuste algebralised operatsioonid. Sündmuste summa ja korrutis Summa: Sündmus C, mis ilmneb igal juhul kui ilmneb vähemalt üks sündmustest A või B. C = A B, Korrutis: On sündmus C, mis ilmneb juhul kui ilmnevad mõlemad sündmused A ja B. C = A B , A 4. Juhusliku suuruse mõiste X = X(e) 5. Jaotusseadus ja selle esitamine. Jaotusfunktsioon F(x) ja tema põhiomadused 6. Tõenäosuse tihedusfunktsioon f(x) ja tema põhiomadused jaotuse tõenäosuste tihedus: f(x) = lim P(x X < x+x)/ x omadused: 1. f(x) 0 on positiivne arv. 2. 3. Eksisteerib kasvõi üks väärtus (x, x+x), millele kehtib P(x X < x+x) = F(x) = f()dx - ksii). 7. Binomiaalne jaotus 1. JS nimetatakse binomiaalselt jaotuvaks (ka Bernoulli jaotus) parameetritega n ja m, kui ta võtab võimalikud väärtused 0, 1, ...., n tõenäosusega P(n, m) valemiga
Pidev suurus - väärtused täidavad mingi vahemiku täielikult ära Jaotusseadus - Diskreetse juhusliku suuruse X jaotusseaduseks nimetatakse vastavust suuruse kõikvõimalike väärtuste xi ja nende tõenäosuste pi vahel. Jaotusfunktsioon - tõenäosus, et juhusliku suuruse X väärtus on väiksem-võrdne mingist reaalarvust x. Valem: F(x)=P(X<=x) Keskväärtus ehk oodatav väärtus - Kui juhusliku suuruse X väärtuse xi esinemise tõenäosus on pi , siis selle juhusliku suuruse keskväärtus ehk oodatav väärtus. Oodatav väärtus on otsustamisel kriteeriumiks. Valitakse see alternatiiv, mille korral oodatav väärtus on ekstremaalne. Näiteks: oodatav kasum maksimaalne,oodatav kulu minimaalne Valem: µ=E[X]= ∑ pixi Dispersioon – diskreetse juhusliku suuruse dispersioon σ^2=∑(xi-µ)^2*pi Pidev juhuslik suurus - Pideva juhusliku suuruse korral ei saa rääkida mingi üksiku konkreetse väärtuse esinemise tõenäosusest
. Võimatu sündmus (tähistatakse V) sündmus, mis antud vaatluse või katse korral kunagi ei toimu. Võimatuteks sündmusteks on näiteks täringul üheaegselt 6 ja 4 silma heitmine; vesi ei saa tahkes olekus olla, kui temperatuur on +10 kraadi. Kindla sündmuse vastandsündmus on võimatu sündmus. Juhuslik sündmus sündmus, mis antud vaatluse või katse korral võib toimuda, aga võib ka mitte toimuda. Juhuslikeks sündmusteks on 6 silma tulek täringu viskel, loteriiga võidu saamine, tuttava kohtamine tänaval. Juhuslik katse on tõenäosusteooria jaoks kirjeldatud, kui on loetletud tema võimalike tulemuste hulk. Seda hulka nimetatakse lühidalt elementaarsündmuste hulgaks ja tähistatakse sümboliga S. Näide 1. Katse võimalikuks tulemuseks täringu viskel loetakse teatava tahu peale langemist. Sellel katsel on 6 võimalikku tulemust ja vastav elementaarsündmuste hulk on: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }.
Diskreetse ajaga protsesse nimetatakse ka aegridadeks. Determineeritud protsessiks nimetatakse sellist protsessi, mille tulevikku on võimalik täpselt ette prognoosida, kui on teada selle protsessi piisavalt pikk realisatsioon. See on protsess, mille tulevik on ette määratud. D-protsessid on: maakera pöörlemine, täpsed kellad jm. Juhuslikuks ehk stohhastiliseks protsessiks nimetatakse protsessi, mida ei ole võimalik täpselt ette prognoosida. Juhusliku protsessi väärtused on juhuslikud. Juhusliku protsessi näideteks on: õhutemperatuur, energiasüsteemist tarbitav aktiivvõimsus, soojuse tarbimine jpm. Determineeritud protsessi x(t) nimetatakse perioodiliseks protsessiks, kui mingi ajaperioodi T järel selle protsessi väärtused korduvad: x (t ) x (t nT ) , n=1, 2, 3, … Ajaperioodi T nimetatakse protsessi perioodiks ja tsüklite arvu ajaühikus – sageduseks. Sageduse f ja perioodi T puhul kehtib järgmine seos: 1 f . T
Binoomjaotus; X ~ B(n; p) n- katsed, p-tõenäosus Tunnikontrollis: Kui juhuslik suurus X on binoomjaotusega X~B(n; p), siis tema tõenäosusfunktsioon avaldub kujul P(X=x)= Cxn px (1-p)n-x astmes x (X=x)= Poissoni jaotus: P e- x! a ma seda kasutada küll ei oska xd - keskmine õnnetuste arv muidu 3. Jaotus- ja tihedusfunktsioon Siin olid Märdil ainult erinevad funktsioonid ja 0 teksti. Jaotusfunktsioon on juhusliku suuruse universaalne iseloomustaja, mis kirjeldab võimalike väärtuste tõenäosuste jaotust. Jaotustabel x 0 1 3 P(X=x) 0,8 0,1 0,1 Leia E(X2): 02x0,8+12x0,1+32x0,1= 1 1
saame vaid mõõtmise teel. Mõõtesuuruse väärtus ei eksisteeri enne selle suuruse mõõtmist. Mõõtetulemus suuruse väärtuste kogum, mis koos kogu muu saadaoleva asjakohase infoga omistatakse mõõtesuurusele .Mõõtetulemuseks võib olla: mõõdis, parandamata või parandatud tulemus või mõõdiste kogumi aritmeetiline keskmine koos saadud tulemust iseloomustava mõõtemääramatusega 12. Mõõtehälbed: juhuslikud mõõtehälbed, süstemaatilised efektid ja neist tulenevad hälbed. Mõõtmises tuleb kasutada mõistet hälve. Hälve = väärtus - valitud tugiväärtus Mõõtehälbed kuuluvad juhuslike suuruste hulka. Juhuslik mõõtehälve = mõõdis - mõõdiste aritimeetiline keskmine. süstemaatilised efektid ja neist tulenevad hälbed: 1) efektid, mis annavad kindla märgiga (+või-) muutumatu panuse mõõtetulemusse,( nt mõõtevahendi
15. Keskmise hinna muutuse isloomustamiseks ja analüüsimiseks kasutatakse kolme indeksit: muutuva struktuuri indeks, püsiva struktruuri indeks ja struktuurinihete indeks. Milline valem millise indeksi kohta käib? p on hind ja q kogus. struktuurinihete indeks, muutuva struktuuri indeks, püsiva struktuuri indeks 16.Valemis on p0 baasperioodi hind ning q1 aruandeperioodi kogus. Selliselt leitud hind on tinglik hind. 17.Struktuurinihete indeks näitab kvalitatiivse suuruse keskväärtuse muutumist, mis on tingitud ainult kvantitatiivse teguri muutustest. 18.Mitmest erinevast osakonnast koosnevas ettevõttes viidi läbi keskmise tööviljakuse indeksanalüüs, mille arvutustulemused on esitatud. tv on tööviljakus erinevates osakondades, w on töötajate osakaal erinevates osakondades. Millised väited on õiged?
Diskreetne arvuliste tunnuste võimalike väärtuste hulk on lõplik või loenduv 5. Mittearvuline tunnus järjestustunnus, nominaaltunnus. Järjestustunnus mittearvuline tunnus, mille väärtused on järjestatavad (Krafti klass, puistu Orlovi boniteet). Nominaaltunnus mittearvuline tunnus, mille väärtused pole järjestatavad. 6. Juhuslik suurus ehk juhuslik muutuja suurus või muutuja, mille väärtus enne mõõtmist või katset ei ole teada. 7. Kuidas on defineeritud jaotusfunktsioon? Jaotusfunktsiooni skitseerimine, graafikult lugemine (kvantiil, kvartiil, mediaan, täiendkvantiil). · Juhusliku suuruse X jaotusfunktsiooni väärtus argumendi x kohal on sellest väiksemate väärtuste esinemise suhteline sagedus (tõenäosus) F(x) = P(X < x). · 0 F(x) 1 ehk jaotusfunktsiooni piirväärtused on 0 ja 1. · F(x) on mittekahanev ja pidev. · P(a < X b) = F(b) F(a) 8. Mis on juhusliku suuruse p-kvantiil? Mis on juhusliku suuruse q-täiendkvantiil?
.
JS (tõenäosuste) jaotus ehk jaotusseadus on eeskiri, mis määrab vastavuse JS iga väärtuste hulga ja sellest hulgast
mingi väärtuse omandamise tõenäosuse vahel.
n
Diskreetse JS X jaotus on vastavus iga xi ja tema esinemise tõenäosuse pi vahel. Seejuures pi =1
i=1
42. Juhusliku suuruse jaotus- ja tihedusfunktsioon.
Juhusliku suuruse X jaotusfunktsiooniks F(x) nimetatakse funktsiooni, mis määrab tõenäosuse, et JS on väiksem
argumendi teatud väärtusest x,
F(x)=P(X
· Võimatu sündmus sündmus on võimatu, kui tema antud tingimustel ei saa toimuda, p(V) või p(Ø). · Juhuslik sündmus sündmus nimetatakse juhuslikuks, mis antud tingimustes toimub ja võib ka mitte toimuda, p(A), p(B)... · Sündmuse A vastandsündmus sündmuse A mittetoimumist nimetatakse sündmuse A vastandsüundmuseks [loe: A kaetud]. · Juhuslikud sündmused on võrdvõimalikud ühel sündmusel ei ole rohkem võimalusi esile tulekuks kui teisel. · Juhuslikud sündmused on üksteist välistavad, kui nad ei saa korraga toimuda. Klassikaline tõenäosuse valem p(A)=m/n, kus m on selle sündmuse jaoks soodsad võimalused ja n on kõik võimalused. · p()=1 · p(V)=0 Tõenäosuse liitmine ja korrutamine Liitmiselause
– vaatlusviis on ebaõnnestunult valitud. – vaatluse juhendmaterjalid pole üheselt mõistetavad. Registreerimisvead (tahtlikult tekitatud vead; mittetahtlikud vead). tahtlikud vead – andmeid moonutatakse meelega. mittetahtlikud vead – jämedad vead (tekivad mõõtmist, vaatlust või küsitlemist segava faktorimõjul, inimese eksimuse tulemusena; avastatavad). – juhuslikud vead (tekivad paratamatult igasugusel mõõtmisel ja vaatlemisel, ei mõjuta tulemusi; ei ole üldjuhul avastatavad). – süstemaatilised vead (tekivad mingi perioodilise või pidevalt tegutseva faktori mõju tulemusena, nt rikkis mõõteriist; võivad moonutada uuringu lõpptulemusi). 4) Rühmitamine – kogumi üksikliikmed jaotatakse teatud tunnuse alusel ühelaadilistest liikmetest koosnevateks rühmadeks.
Tingimuslik tõenäosus. Bayes'i valem 0 P(A) 1; P(AB) = P(A) + P(B), AB= või U. Tingimuslik tõenäosus tõenäosus sündmusele A kui toimus sündmus B - P(A/B) = P(AB) / P(B) 2. Sündmus ja vastandsündmus. Sõltuvad ja mittesõltuvad sündmused. Sündmuste väli P(A/B) = P(A), P(AB) = P(A)P(B) 3. Sündmuste algebralised operatsioonid. Sündmuste summa ja korrutis. C = F D> C =F D> F> 4. Juhuslik suurus X = X(e) 5. Jaotusseadus ja selle esitamine. Jaotusfunktsioon F(x) ja tema põhiomadused. Väärtus x ja tema tõenäosus p. F(x) juhuslikule suurusele X on tõenäosus, et X võtab väärtuse vähem kui antud arvul x. F(x) = P(Xx). P(x´ X x´´) = F(x´´) - F(x´); 0 F(x) 1; F(x1) F(x2) 6. Tõenäosuse tihedusfunktsioon f(x) ja tema põhiomadused. f(x) = lim P(xXx+x) / x; F(x) = f(x) dx x0 f(x) 0; f ( x ) dx 1 7. Binomiaalne jaotus.
5. Mittearvuline tunnus järjestustunnus, nominaaltunnus. Järjestustunnusmittearvuline tunnus, mille väärtused on järjestatavad (Krafti klass, puistu Orlovi boniteet). Nominaaltunnusmittearvuline tunnus, mille väärtused pole järjestatavad. 6. Mis on juhuslik suurus? Juhuslikuks suurust nimetatakse, mis sõltub juhuslikest sündmustest ja mille väärtust pole seetõttu võimalik enne sündmuse toimumist kindlalt ennustada. 7. Kuidas on defineeritud jaotusfunktsioon? Jaotusfunktsiooni skitseerimine, graafikult lugemine (kvantiil, kvartiil, mediaan, täiendkvantiil). 8. Mis on juhusliku suuruse p-kvantiil? Juhusliku suuruse X p-kvantiiliks (ingl. k. percentile) nimetatakse niisugust väärtust p, mille korral Mis on juhusliku suuruse q-täiendkvantiil? 9. Mis on tihedusfunktsioon? Tihedusfunktsioon juhusliku suuruse tõenäosuse tihedus, mis avaldub jaotusfunktsiooni tuletisena. 10. Normaaljaotuse skitseerimine (tihedus- ja jaotusfunktsioon). Graafikult lugemine
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK - alfa - nüü - beeta - ksii - gamma - omikron - delta - pii - epsilon - roo - dzeeta - sigma - eeta - tau - teeta - üpsilon - ioota - fii - kapa - hii - lambda - psii - müü - oomega
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK Α α alfa Ν ν nüü Β β beeta Ξ ξ ksii Γ γ gamma Ο ο omikron Δ δ delta Π π pii Ε ε epsilon Ρ ρ roo Ζ ζ dzeeta Σ σ sigma Η η eeta Τ τ tau Θ θ teeta Υ υ üpsilon Ι ι ioota Φ φ fii Κ κ kap
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
