18,15 0,25-kvantiil 13,10 cm 19,3 0,75-kvantiil 19,05 cm 7,6 kvartiilhälve 5,95 cm 15 haare 20,35 cm 4,85 dispersioon 19,21 17,9 standardhälve 4,38 cm 23,55 variatsioonikordaja 27,76 % 20,05 asümmeetriakordaja -0,258 iseloomustab tihedusfunktsiooni s 16,45 ekstsess -0,422 iseloomustab tihedusfunktsiooni t 14,8 7,35 18,95 9,75 juhusliku suuruse tsentrit iseloomustavad karakteristikud 21,15 juhusliku suuruse hajuvust iselommustavad karakteristikud 8,5 juhusliku suuruse tihedusefunktsiooni kuju iseloomustavad suurused 18,85 24,55 Rühma Klassi Klassi kuulumise Jaotus- 13,1 2
Ühtlase jaotuse keskväärtus EX = (a + b)/2 s.o. keskväärtus on juhusliku suuruse võimalike väärtuste lõigu [a, b] keskpunkt. Dispersioon on DX = (b - a)2/12. Normaaljaotuse keskväärtus EX = µ ja dispersioon on s2. 16. Pideva juhusliku suuruse tihedusfunktsioon. Pideva juhusliku suuruse korral on võimalik leida jaotusfunktsioonist tuletis. Jaotusfunktsiooni tuletist nimetatakse juhusliku suuruse tihedusfunktsiooniks. Tihedusfunktsiooni tähistatakse tähega f(x). Tihedusfunktsioonil on järgmised omadused, mis vahetult tulenevad jaotusfunktsiooni omadustest: Tihedusfunktsioon on mittenegatiivne f(x) >= 0.; Tihedusfunktsiooni alune pindala on võrdne ühega. Tihedusfunktsioon kannab endaga kaasas kõikvõimalike intervallide tõenäosusi, intervalli (a, b) tõenäosus on võrdne pindalaga, mis jääb tihedusfunktsiooni alla selle intervalli kohale. 17
47456 21 E-07 E-05 92 E-05 Keskmine hälve on 12.1 Standardhälve s s= s= 0.01046652 BMIN=12.035 BMAX=12.17 4 · Leian B keskväärtuseintervallhälve tõenäosusastmel P=0.95 ehk =0.05 Studenti tabelist kriitiline t (=0,05; n=50; kahepoolne) = 2,01 B-(t* B+(t* 12.0996818 Bmin 4 12.1055981 Bmax 6 · Teha mõõtme B histogramm ja sellele vastav teoreetilise normaaljaotuse tihedusfunktsiooni graafik f(x). Intervallide arvuks valida 8 kuni 10. Samm h=(MaxMin)/intervallide arv. Normaaljaotusele vastav mõõtetulemuste arv ni" intervallis i on leitav valemiga: ni"= n*h*f( zi) n- on mõõtetulemuste koguarv, h - on intervalli samm f(zi) - on normaaljaotuse tihedusfunktsiooni väärtus kohal zi f(zi) = NORMDIST(xi;X ,s, FALSE), kus s on standardhälve ja X keskväärtus. Intervall tabel
𝑖=1 Mediaan Mediaan on variatsioonirea keskmine element paarituarvulise valimi korral või kahe keskmise elemendi poolsumma paarisarvulise valimi korral. 𝑥𝑛 + 𝑥𝑛+1 2 2 𝑀𝑒 = 2 Mood on tihedusfunktsiooni lokaalne maksimum. Võib olla ka mitu moodi. Haare Statistilise rea kõige suurema ja väiksema liikme väärtuste vahe. 𝑅 = 𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛 Aritmeetiline Keskväärtus (xk) 51.55 Harmooniline keskväärtus (HA) 21.29 Geomeetriline keskväärtus (GA) 41.24 Dispersioon (D) 678.25
Normaaljaotus-Normaaljaotus on pidev jaotus, mis võib omandada kõiki reaaltelje väärtuseid, teda kirjeldavad kaks parameetrit µ ja s 2. Tähistatakse N(µ, s 2). Tihedusfunktsioon-Pideva juhusliku suuruse jaotusfunktsiooni tuletist nimetatakse juhusliku suuruse tihedusfunktsiooniks,tähistatakse tähega f(x). Tihedusfunktsioonil on järgmised omadused, mis vahetult tulenevad jaotusfunktsiooni omadustest: 1) Tihedusfunktsioon on mittenegatiivne f(x) >= 0. 2) Tihedusfunktsiooni alune pindala on võrdne ühega. Ühtlane jaotus-Pidev juhuslik suurus on ühtlase jaotusega, kui selle juhusliku suuruse võimalikud väärtused on mingis lõplikus vahemikus ja juhusliku suuruse jaotustihedus on konstantne Diskreetse juhusliku vektori tõenäosusfunktsioon-Diskreetse juhusliku vektori tõenäosusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni p(xi,yj), mis on määratud eeskirjaga p(xi,yj) = P(X=xi, Y=yj)
funktsiooni p(x), kus p(x) = P(X = x). See 2. Kui juhuslikud suurused X ja Y funktsioon omandab positiivseid väärtusi on sõltumatud, siis ainult nende argumentide korral, mis on D(X+Y) = DX + DY. juhusliku suuruse võimalikeks Pideva juhusliku vektori väärtusteks. Tõenäosusjaotust esitatakse kas jaotusfunktsiooni F(x,y) saab esitada valemina või tabeli abil, milles loetletakse tihedusfunktsiooni abil. Kui leidub niisugune juhusliku suuruse kõikvõimalikud väärtused ja funktsioon f(x,y), et siis nimetatakse seda nende omandamise tõenäosused. juhuslikku vektorit pidevaks, funktsiooni Normaaljaotus on pidev jaotus, mis võib f(x,y) aga selle juhusliku vektori omandada kõiki reaaltelje väärtuseid, teda tihedusfunktsiooniks.Kui jaotusfunktsioon F(x, kirjeldavad kaks parameetrit µ ja s 2
Normaaljaotuse parameetrid on keskväärtus ja standardhälve . Normaaljaotusega juhuslik suurus tekib olukordades, kus on tegemist paljude samas suurusjärgus sõltumatute tegurite koosmõjuga. Näiteks: Viljasaak (Teguriteks: ilm külvi, kasvamise ja koristamise ajal; temperatuur; niiskus jne) või Inimese pikkus (meil on väga palju esivanemaid, kelle geenid pikkust määravad) Põhitunnused 1. Keskväärtusele lähedased väärtused esinevad kõige sagemini, ehk seal on tihedusfunktsiooni väärtus suurim. 2. Jaotus on sümmeetriline, ehk keskmisest suuremaid väärtuseid on 50% ja väiksemaid on sama palju. Ka piirkonda (-a; ) ja ( ;+a) kuulumise tõenäosused on võrdsed. standardiseeritud normaaljaotus tabelis on ainult üks (stanardiseeritud) normaaljaotus, siis tabeli kasutamiseks peame ,,oma" normaaljaotuse standardiseerima st teisendama F0 = keskväärtus =0 ja standardhälve =1 kolme sigma reegel. 13
4. Dispersiooni korrutis on võrdne positiivse ja negatiivse väljatuleku tõenäosuste korrutisega. 22. Momendid. Algmomendid Moment on variandi individuaalväärtuse ja määratletud väärtuse keskmine erinevus mingis astmes. Algmomendid 23. Momendid. Keskmomendid 24. Momente tootev (genereeriv) funktsioon 25. Mediaan, mood, kvartiilid, detsiilid Mediaan, piir millest paremal ja vasakul asub JS tõenäosusega 0,5. Mood, tihedusfunktsiooni max koht. Kvartiil, jaotab tõenäosusvälja neljaks võrdseks osaks 26. Asümmeetria ja ektsessi 29. Tsebõsevi seos ja teoreem. Moivre-Laplace lokaalne ja integraalteoreem Annab võimaluse hinnata tõenäosust, et hälve JS X või mat ootusest on suurem/väiksem kui arv 30. Valim. Empiiriline jaotusfunktsioon Valimi maht n on kogumi tulemus, n sõltumatut vaatlust. Polügon ja histogramm 31. Kogumi punkthinnangud. Nihutatud ja nihutamata hinnangud
P ( a< X ≤ b )=F ( b )−F ( a ) , kui a
h n zMe 15 19 n Me 6 2 2 Me X me 41 57,25 57 h 15 hMe 6 5. Põhikogumiku normaaljaotuse võimalikus A. Kasutades normeeritud tihedusfunktsiooni Tabel 3 normaaljaotus Χ2 järgi xi ui φ(ui) n´i n´i/n´ ni ni-n´i (ni-n ((ni-n ´i)2 ´i)2) /n´i 3,50 -1,76 0,084 2,30 0,05 5 2,70 7,30 3,18 18,50 -1,21 8 5,20 0,11 10 4,80 23,04 4,43 0,191
Kui dispersioon suureneb, muutub graafik madalamaks ja seega ka laiemaks (hajuvus suureneb) ning lamedamaks. Gaussi kõvera alune pindala x-teljeni on 1, sest juhusliku suuruse X kõikvõimalike väärtuste tõenäosuste summa peab olema 1. Juhusliku suuruse X väärtustest ligikaudu 12. Missugused on juhusliku suuruse hajuvuse karakteristikud (nimeta vähemalt 4). Definitsioonid. 13. Missugused karakteristikud iseloomustavad tihedusfunktsiooni kuju (nimeta 2). Definitsioonid. 14. Nimeta erinevad valimi keskmised. Aritmeetiline keskmine jne. Mis on neil erinevused? 15. Mis on standardhälve, standardviga, asümmeetriakordaja, ekstsess, dispersioon? 16. Pidevad ja diskreetsed jaotused. 17. Mis on usaldusnivoo? usaldusnivoo - see on tõenäosus, millega üldkogumi väärtus paikneb teatud vahemikus. Tavaliselt võetakse usaldusnivooks 0,95 (ehk 95%), kus siis olulisuse nivooks on 0,05 (ehk 5%). 18. Mis on usalduspiirid
niivoks a=0,05. Tabel 3 normaaljaotus järgi ; ; EMP=65,99 KR=12,59 Hüpotees ei kehti, kuna peab olema: EMP KR Tabel 4 jaotusfunktsiooni normaaljaotus: 6. Konstrueerida samas teljestikus graafikud 6.1 Empiirilise jaotuse histogramm punktis 4 grupeeritud valimile 6.2 Hupoteetilise normaaljaotuse gistogramm kooskolas punktiga 5 6.3 Hupoteetilise normaaljaotuse tihendusfunktsiooni f(x) graafik 6.4 Hupoteetilise ristkulikjaotuse tihedusfunktsiooni f(x) graafik 7. Konstrueerida samas teljestikus graafikud 7.1 Empiirilise jaotusfunktsiooni F(x) graafik 7.2 Parameetritega a=0 ja b=100 hupoteetilise ristkülikjaotuse jaotusfunktsiooni F(x) graafik 7.3 Hüpoteetilise normaaljaotuse jaotusfunktsiooni F(x) graafik kooskõlas punktiga 5. 8. Kontrollida Kolmogorovi-Smirnovi ja testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega a=0 ja b=100 ristkülikjaotus, võttes olulisuse nivooks =0,05, st
i=1
42. Juhusliku suuruse jaotus- ja tihedusfunktsioon.
Juhusliku suuruse X jaotusfunktsiooniks F(x) nimetatakse funktsiooni, mis määrab tõenäosuse, et JS on väiksem
argumendi teatud väärtusest x,
F(x)=P(X
Standardhälve on ruutjuur dispersioonist. Mõõdetava suuruse standardhälbe ühikuks on selle sama mõõdetava suuruse ühik. Variatsioonikordaja on hajuvusmõõt, mis seisneb kogumi standardhälbe ja keskväärtuse suhtes. Variatsioonikordaja on ühikuta suurus ja ta esitatakse tavaliselt protsentides. Kvartiilhälve iseloomustab lühimat võimaliku intervalli pikkust, kuhu satub pool kogu valimi mahust. Kvartiilide x0,75 ja x0,25 vahe. 13. Missugused karakteristikud iseloomustavad tihedusfunktsiooni kuju (nimeta 2). Definitsioonid. 14. Nimeta erinevad valimi keskmised. Aritmeetiline keskmine jne. Mis on neil erinevused? Aritmeetiline keskmine üldkogumi keskväärtus Ruutkeskmine teisenduseks ruutfunktsioon Geomeetriline keskmine teisenduseks logaritmfunktsioon Harmooniline keskmine teisenduseks pöördfunktsioon Kaalutud keskmine juhusliku suuruse iga väärtus Xi korrutatakse mingi kaaluga Wi, summeeritakse korrutised ning jagatakse tulemus kaalude summaga
B4 0,0010 0,0012 0,0015 0,0004 0,0035 0,0009 0,0004 0,0001 0,0008 0,0021 B5 0,0008 0,0042 0,0044 0,0004 0,0001 0,0006 0,0000 0,0015 0,0004 0,0021 3. Mõõtme B keskväärtuse intervallhälve tõenäosustasemel P=0,95% Studenti tabelist kriitiline t(α=0,05; n=50) : 25,03 ≤ B 25,164 8 ≤ 4. detaili mõõtme B histogramm ja sellele vastav teoreetiline normaaljaotuse tihedusfunktsiooni graafik f(x). Teoreetilin Kogus e kogus Interva Interva Interva mõõtmis Tihedusfunktsio intervallis (ni- ll lli algus lli lõpp el ni on f(xi) ni ' ni')2/ni' 1 25,035 25,047 4 2,026 1,3 5,38 2 25,048 25,060 4 4,120 2,7 0,63
12. Kui suur on selle juhusliku suuruse variatsioonikordaja, dispersioon? 13. Kui suure tõenäosusega jäävad selle juhusliku suuruse väärtused vahemikku 19 kuni 25? 14. Skitseeri normaaljaotusega juhusliku suuruse X ~ N(14; 1,5) tihedusfunktsioon 15. Missugused karakteristikud iseloomustavad juhusliku suuruse tsentrit? Missugused karakteristikud iseloomustavad juhusliku suuruse hajuvust? Missugused karakteristikud iseloomustavad juhusliku suuruse tihedusfunktsiooni kuju? 16. Missuguses väärtuste vahemikus võib muutuda juhusliku suuruse jaotusfunktsioon? Vastused: 1) 239,45 14,44 2) 8; 21; 40; 50; 38; 19; 7 3) 3,756; 4; 0,440 4) Sobivad 5) 92,1% 6) 37,9; 39,5; 31,8; 35,2; 14,5 7) 40,5; 31,8 8) 30% 10) 1/6 11) 0; 0 12) 13,6; 9 13) 2/3 16) 0 kuni 1 0,05 Xü= xi+SAMM/2 1 15% 100-15 =850.85 100/4=25
Jaotustabel x 0 1 3 P(X=x) 0,8 0,1 0,1 Leia E(X2): 02x0,8+12x0,1+32x0,1= 1 1 Jaotusfunktsiooni abil on raske otsustada juhusliku suuruse käitumise üle mingi punkti ümbruses. Seetõttu kasutatakse lisaks jaotusfunktsioonile ka sellest tuletatud tihedusfunktsiooni. 2 4. Populatsioon ja valim, standardviga Populatsioon on kõigi objektide, isendite, esemete, nähtuste või seisundite kogum, mille kohta soovitakse järeldusi teha Populatsiooni neid objekte, mida on vaadeldud või uurimiseks välja valitud, kutsutakse valimiks Valimit, kus uuritava tunnuse jaotus on samasugune kui populatsioonis, nimetatakse esindavaks valimiks
62 10 27 46 50 53 11 25 41 71 41 64 79 74 85 55 45 22 Leian B keskväärtuseintervallhälve tõenäosusastmel P=0.95 ehk =0.05 Studenti tabelist kriitiline t (=0,05; n=50; kahepoolne) = 2,01 jaotusele vastav mõõtetulemuste arv ni" intervallis i on leitav valemiga: ni"= n*h*f( zi) õõtetulemuste koguarv, ervalli samm normaaljaotuse tihedusfunktsiooni väärtus kohal zi ORMDIST(xi;X ,s, FALSE), kus s on standardhälve ja X keskväärtus. se teoreetiline tulemuste kogus intervallides Column E Column G Column E Column G 8 9 10 misest põhikogumis Faktorid, p=10
22. Algmomendid x i A k f i mk & A=0; k = MXk, k = 1, 2, .... i f 23. Keskmomendid A= X; k = M(X- X)k 24. Momente tootev (genereeriv) funktsioon Sisaldab endas andmeid kõikidest algmomentidest: m'(0) = MXetX t=0 = MX = 1 mk'(0) = MXetX t=0 = MXk = k 25. Mediaan, mood, kvartiilid, detsiilid Mediaan, piir millest paremal ja vasakul asub JS tõenäosusega 0,5. Mood, tihedusfunktsiooni maksimaalkoht. Kvartiil, jaotab tõenäosusvälja neljaks võrdseks osaks 26. Asümmeetria ja ektsessi koefitsiendid 3 3& (4 4) 3 27. Kriitilised piirid Vasakpoolne kriitiline piir, millest vasakul JS asumise tõenäosus . Parempoolne kr piir. Kahepoolne kriitiline piir, mille sees JS tõenäosusega 1 - . 28. Suurte arvude seadus. Keskpiirteoreem. JS ühildumine tõenäosuse järgi Suurearvuliste sõltumatute JS aritmeetilised keskmised käituvad nagu nende
10274847 Bmi 18.0986515 n 3 Bma 18.1027484 x 7 · Teha mõõtme B histogramm ja sellele vastav teoreetilise normaaljaotuse t ihedusfunktsiooni graafik f(x). Intervallide arvuks valida 8 kuni 10. Samm h=(MaxMin)/intervallide arv. Normaaljaotusele vastav mõõtetulemuste arv ni" intervallis i on leitav valemiga: ni"= n*h*f( zi) n- on mõõtetulemuste koguarv, h - on intervalli samm f(zi) - on normaaljaotuse tihedusfunktsiooni väärtus kohal zi f(zi) = NORMDIST(xi;X ,s, FALSE), kus s on standardhälve ja X keskväärtus. Intervall tabel Intervalli Intervall Intervalli Kogus Teor. kogus kesk- jkn i algus lõpp intervallis Tigedus fun. intervallis väärtus 9.01142E- 18.0339
Rakendusstatistika kodutöö aruanne Osa A 1. Leida keskväärtuse (aritmeetiline, harmooniline, geomeetriline), dispersiooni, standardhälbe, mediaani, moodi ja haarde hinnangud. Aritmeetiline keskmine 48,633 Geomeetriline 38,58 kesmine 26,53 Harmooniline keskmine Dispersioon 768,372 Standardhälve 27,720 Mediaan 47 Mood 33 Haare 95 Kasutatud valemid: Aritmeetiline keskmine N 1 ^= x´ = x N i =1 i Geomeetriline keskmine Harmooniline keskmine 2 N ^ =s 2= 1 ( x - x´ )2 Dispersioon ¿ N -1 i=1 i ¿ Mediaan on variatsioonirea keskmine element paarituarvulise valimi korral või kahe keskmise elemendi poolsumma paarisarvulise valimi korral. Mood tunnuse kõige sagedamini esinev...
väärtustest (varem mitte teadaolev) Diskreetne juhuslik suurus- kui juhusliku suuruse väärtuste hulk on lõplik või loenduv. Ühtlane jaotus (UNIF(min,max))- pideva juhusliku suuruse jaotus, mille tihedusfunktsioon on konstantne. Praktikas esineb harva, näiteks bussi ooteaeg, ooteaeg valgusfoori taga. Normaaljaotus (NORMAL)- pideva juhusliku suuruse jaotus, mida kirjeldab kaks parameetrit: keskväärtus ja standardhälve. Kolmnurkjaotus (TRIA(min, mood, max)- PJS jaotus, mille korral tihedusfunktsiooni graafik on kolmnurkse kujuga. Jaotust kirjeldavaid parameetreid on kolm- murdjoone nurkpunktide väärtused. RANDOM(0,1)- juhuslik arv 0 ja 1 vahel. NÄIDE: 13. Mündi viskamise mudel- Juhusliku protsessi mudel. Viskame nt. 2000 korda münti. Modelleerime selle arvutil, kasutades juhuslike arvude generaatorit- igal viskel genereerime juhusliku arvu vahemikus (0,1), kui see on <0.5, siis loeme viske kirjaks, kui >0.5 kulliks. Põhimuutuja loendab, mitu korda esineb kiri rohkem, kui kull
suurus. Pideva juhusliku suuruse mood MoX on juhusliku suuruse selline väärtus, mille puhul jaotustihedus on maksimaalne, st. f(MoX) = max Mõningate funktsioonide puhul võib olla mitu maksimaalset väärtust st. esineb mitu moodi, samuti võib maksimum ka puududa ning selle asemel võib esineda miinimum. Sel juhul sellel juhuslikul suurusel mood puudub. Pideva juhusliku suuruse mediaan MeX on juhusliku suuruse X selline väärtus, mille puhul P(X < MeX) = P(X > MeX) = 0,5. Tihedusfunktsiooni graafikul on mõlemale poole mediaani jäävad pindalad võrdsed. Juhul, kui tihedusfunktsioon on sümmeetriline, siis langevad keskväärtus, mood ja mediaan kokku. 2.7 Juhusliku suuruse dispersioon ja standardhälve Juhusliku suuruse dispersioon iseloomustab juhusliku suuruse hajuvust keskväärtuse ümber. Dispersioon avaldub kujul: DX = E( X – EX)2. Dispersiooni dimensiooniks on juhusliku suuruse dimensiooni ruut.
keskväärtus ja standardhälve ja tähistame normaaljaotust X ~ N ( µ, ) . Normaaljaotus on pidev ja keskväärtuse suhtes sümmeetriline, seega mediaan ja keskväärtus on võrdsed. Toodud omadused on väga üldised, on veel mitmeid aspekte, mille poolest normaaljaotus on matemaatiliselt lihtsalt kasutatav. Juhul kui keskväärtus on 0 ja standardhälve on 1, on tegemist standardse normaaljaotusega Z ~ N (0,1) . Standardse normaaljaotuse tihedusfunktsiooni (väärtuste esinemissageduse) graafik näeb välja ,,normaalne", vastates kõigile eeltoodud omadustele. Normaaljaotuse puhul kehtivad seosed, mida tuntakse ka reeglina: ~ 68,26% üldkogumi väärtustest jääb vahemikku ( µ - , µ + ) ~ 95,44% üldkogumi väärtustest jääb vahemikku ( µ - 2 , µ + 2 ) ~ 99,74% üldkogumi väärtustest jääb vahemikku ( µ - 3 , µ + 3 )
algselt lämmastiku kontsentratsiooni mõõtmiseks vees ette nähtud mõõteprotseduuri korral võib selle protseduuri täiendavalt valideerida ka mõõtmiseks inimseerumis) Mõõtetulemus - suuruse väärtuste kogum, mis koos kogu muu saadaoleva asjakohase infoga omistatakse mõõtesuurusele. Üldjuhul sisaldab mõõtetulemus .asjakohast infot suuruse väärtuste kogumi kohta. Näiteks mõned suuruse väärtused võivad esindada mõõtesuurust paremini kui teised, mis väljendub tõenäosuse tihedusfunktsiooni abil. Mõõtetulemust väljendatakse üldjuhul suuruse mõõtmisel saadud üheainsa suuruse väärtuse ja selle mõõtemääramatuse kaudu. Kui mõõtemäärmatust peetakse mõõtetulemuse mingil kasutusotstarbel tähtsusetuks, võib mõõtetulemuse esitada mõõtmisel saadud ainult üheainsa suuruse väärtuse kujul. Suuruse mõõdetud väärtus (mõõdis) - suuruse väärtus, mis esitab mõõtetulemuse.
Keskväärtus: E(X)=(a+b)/2, dispersioon D(X)=(b-a)^2/12. 31. Normaaljaotus – suurus tekib suure arvu sõltumatute juhuslike suuruste summana eeldusel, et liidetavate hulgas ei ole niisuguseid juhuslikke suurusi, mille mõju oleks suurem, kui ülejäänud liidetavate mõju. Normaalne juhuslik suurus on pidev juhuslik suurus, st ta saab omandada mistahes väärtusi oma määramispiirkonnas. Pidevaid juhuslikke suurusi iseloomustatakse eelkõige tema tihedusfunktsiooni kaudu. Normaalse juhusliku suuruse tihedusf.graafikut nimetatakse ’’kellakõveraks’’ või ka ’’gaussi kõveraks’’. 32. Binoomjaotuse lähendamine normaaljaotuse ja Poissioni jaotusega – suure katsete arvu korral on binoomjaotuse kasutamine ebamugav. Kui n –küllalt suur võrdne, v üle20(katsetearv) ja p pole liiga väike (p>0,1) siis normaaljaotus kirjeldab küllalt hästi binoomjaotusega juhuslikku suurust
integraalsel kujul:- X = X (t ) E (t ) dt . -Kuna 0 esimest järku -reaktsiooni puhul reakt.kiirus ei sõltu -reageerivate molekulide kontsentratsioonist, -siis mistahes mitteideaalse reaktori keskmist -konversiooni astet saab leida - X = X ( t ) E ( t ) dt - abil,kui on 0 tegemist esimest -järku reaktsiooniga ja on teada VAJ s.o.E(t).-53.Kuidas eksperimentaalselt leitud viibimisaja -tihedusfunktsiooni abil leida järjestikku -ühendatud segureaktorite mudelile -reaktoriarvu n?JSR-järjestiku segureaktor. -VAJ- viibimisaja jaotus. -Üheparameetrilise segureaktori mudeli -parameetriks on kas seisva reaktsioonisegu -maht VD või kõrvaltvoolava segu osa f -voolukulust tervikuna. JSR mudeli ülesandeks -on järjestiku ühendatud võrdsete ruumaladega -PSR-de arvu määramine nii, et JSR -annaks ligikaudselt sama VAJ, mis modellee--ritav mitteideaalne reaktor sama summaarse -ruumalaga
Tasandilise kujundi D pindala: S D = dxdy, ( f ( x, y ) = 1) D Keha K ruumala: VK = [ f ( x, y ) - g ( x, y )]dxdy , kui keha K projektsioon xy-tasandile on D=Kxy D ja ta on pealt kaetud pinnaga, mille võrrandiks on w=f(x,y), ja alt pinnaga, mille võrrandiks on w=g(x,y), st f ( x, y ) g ( x, y ) igas piikonna D=Kxy punktis. Ruumilise pinnatüki pindala; 2-mõõtmelise kujundi D massi määramine, integreerides tihedusfunktsiooni µ ( x, y ) üle projektsiooni Dxy ; masskeskme, inertsmomendi jms arvutamine. Kolmekordse integraali mõiste, tema omadusi Def: Kui integraalsummal n = f ( Pi )Vi eksisteerib protsessis n piirväärtus, mis ei sõltu i piirkonna D osadeks jaotamise viisist ja punktide Pi valikust nendes osades, siis öeldakse, et 5
Analüütilisel kujul avaldub normaaljaotus valemiga 1 ! ( x x) 2 f ( x) exp , x 2" 2 2 x kus x on parameeter, mis iseloomustab kõvera laiust ja mis on arvuliselt võrdne standardhälbega. Tõenäosuse tihedusfunktsiooni graafik, mis on saadud eksperimendist leitud keskväärtuse ja standardhälbe asendamisel valemisse 2.2 on kujutatud joonisel 4. Gaussi kõveral vastavad punktidele x x ja x x käänupunktid, s.t. punktid kus kumerus läheb üle nõgususeks. Graafiku alust pindala mõõtes saab näidata, et vahemikku x# x jääb 68,27 % sündmustest. Vahemikku x # 2 x jääb 95,45 % ja vahemikku x # 3 x 99,73 % sündmustest (vt. ka joonis 9).
piisavad varutegurid materjali (pinnase) omadustele kandevõime määramisel ja teiselt poolt võrreldakse seda koormusega, mille juures kasutatud osavarutegurid peavad tagama, et sellise koormuse ületamine on tõenäoliselt väga väikese võimalusega. Materjali ja koormuse osavarutegurid määratakse lähtudes ehitise üldisest töökindlusest lähtudes (joonis 3.2). Tihedusfunktsiooni usaldusväärseks määramiseks on vajalik suur üksikkatsete arv. Ühe ehitusplatsi piires ei ole tavaliselt võimalik sellisel hulgal katseid teha. Seepärast antakse need standardites, võttes aluseks paljude eripaikades tehtud katsed. Joonisel 3.3 on toodud näide andmetöötlusest vaia kandevõime kohta, mis on määratud paralleelselt staatilise koormuskatsega ja lainelevi mõõtmisega dünaamilisel katsetamisel GAPWAP meetodiga.
muutuvad nii kiiruse väärtus kui ka liikumise suund pidevalt. Igas sekundis toimub ühe molekuliga umbes 109 põrget. Seda, kui palju gaasi molekule liigub mingis kiirustevahemikus ]v, v + Δv[ näitab tihedusfunktsioon ehk tõenäosusfunktsioon Nv v = , (2.42) v kus N v on kiirustevahemikus ]v, v + Δv[ liikuvate molekulide arv. Tihedusfunktsiooni väärtus sõltub peale kiirustevahemiku ka molekulide koguarvust N. Molekulide koguarvust sõltumatut suurust nimetatakse jaotusfunktsiooniks: 1 1 Nv f v = v = . (2.43) N N v Jaotusfunktsioon näitab, milline on tõenäosus, et antud molekul liiguks kiirustevahemikus ]v, v +
10 Tiheduse algfunktsiooni F , kus F (x) = f (x) (punktides, kus F on di- ferentseeruv), nimetatakse pideva juhusliku suuruse X jaotusfunkt- siooniks. Definitsioon 12.11 Pideva juhusliku suuruse X keskväärtuseks nimetatakse suurust E(X) = x · f (x) dx. (12.6) - Märkus 12.2 Paneme tähele, et kui meil on homogeensest materjalist plaat pindalaga 1, mis on piiratud tihedusfunktsiooni f graafikuga ning x-teljega, siis sellise plaadi massikese x-telje sihis ongi jaotuse keskväärtus. Definitsioon 12.12 Pideva juhusliku suuruse X dispersiooniks nimetatakse suurust D(X) = (x - E(X))2 · f (x) dx. (12.7) - Märkus 12.3 Dispersioon D(X) mõõdab suuruse X jaotuse hajumist keskväärtuse E(X) suhtes. Definitsioon 12.13 Standardhälbeks nimetatakse arvu
annaabi.ee 
