Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "TEHTED MURDUDEGA". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
koma, korrutamine, liitmine, murrud, nimetaja, tehted, murdudega, kümnendmurrud, lisame, nullid, komad, 3870, komaga, eraldama, lõpust, jagaja, jagame, laiendajad, segaarvud, muudadTehted harilike murdudega © T. Lepikult, 2010 Hariliku murru mõiste Harilikuks murruks nimetatakse kahe naturaalarvu a ja b jagatist kujul a , b kus b 0. murru lugeja a Harilik murd: murrujoon b murru nimetaja Murrujoonel on jagamismärgi tähendus. Horisontaaljoone asemel kasutatakse murrujoonena ka kaldkriipsu. 1 Näited = 1/ 2 = 1: 2 = 0,5 Loe: "kaks koma kolm perioodis" 2 7 = 7 / 3 = 7 : 3 = 2,333... = 2, (3) 3 Liht- ja liigmurd Kui murru nimetaja on suurem lugejast ( b > a, ehk a / b < 1 ), siis nimetame murdu lihtmurruks, vastupidisel ( b a, ehk a / b 1 ) juhul liigmurruks.
1. Harilik murd kui jagatis Harilik murd näitab, mitmeks võrdseks osaks on mingi tervik jaotatud ja kui mitu sellist osa on kokku võetud. 4 Näiteks: tähendab, et tervik on jaotatud viieks võrdseks osaks, millest on võetud 4 5 osa. Harilikku murdu võib aga vaadata ka kui kahe naturaalarvu jagatist. Jagatavaks on murru lugeja ja jagajaks nimetaja. Seega on murrujoonel jagamismärgi tähendus. 4 Näiteks: =4:5 5 Kuna nulliga ei saa jagada, siis ei saa murru nimetaja olla null. Kui murru lugeja on null, siis on ka murru väärtus 0. 0 0 Näiteks: 0 = = = ... 1 2 Ülesanne 2 18 · Kirjuta murrud jagamismärgi abil: 1) 2)
Arvu a teguriteks nimetatakse kõiki neid naturaalarve, millega arv a jagub. Arvu iga tegur on kas selle arvu algarvuline tegur ehk algtegur või on võrdne arvu algtegurite korrutisega. Antud arvude suurimaks ühisteguriks (SÜT) nimetatakse suurimat arvu, millega jaguvad kõik antud arvud. Arvu esitamist algarvuliste tegurite korrutisena nimetatakse algteguriteks lahutamiseks. Arvude suurimat ühistegurit kasutatakse näiteks murru taandamisel lugeja ja nimetaja ühise jagajana. ÜLESANNE: Lahutame algteguriteks arvud 30 ja 75 ning leiame nende arvude suurima ühisteguri: 30 2 75 3 15 3 25 5 5 5 5 5 1 1 30 = 2 · 3 · 5; 75 = 3 · 5 · 5; Arvude suurima ühisteguri arvutamisel korrutame nende ühiseid algtegurid: SÜT (30;75) = 3 · 5 = 15 Arvu a kordseks nimetatakse arvu, mis jagub arvuga a.
kõrgemad järgud madalamad järgud täisarvulised murdarvulised järgukaalud järgukaalud Igal kümnendnumbril on tema traditsiooniline väärtus 0 ... 9. Järgu väärtus on selles arvujärgus asuva numbri väärtus. Arv koosneb numbritest. Näide: arv 1024 koosneb neljast numbrist: `1` `0` `2` `4`. 4. Mida näitab koma? Koma näitab, kus lähevad täisarvulised järgukaalud üle murdarvulisteks (ehk kus lõppeb täisosa ja algab murdosa). 5. Millised arvujärgud on kõrgemad järgud? Arvujärgud ai , mis asuvad komast vasakul poolel (täisosa) ja neid nimetatakse ka täisarvulisteks järgukaaludeks. 6. Millised arvujärgud on madalamad järgud? Arvujärgud ai , mis asuvad komast paremal poolel (murdosa) ja neid nimetatakse ka murdarvulisteks järgukaaludeks. 7
.............................................................................................7 Tegurdamine e. korrutiseks teisendamine............................................................................ 8 Astendamine............................................................................................................................. 8 Naturaalarvuline astendaja................................................................................................... 8 Tehted astmetega.................................................................................................................. 8 Negatiivse täisarvulise astendajaga aste...............................................................................9 Arvu 10 astmed.....................................................................................................................9 Juurimine...............................................................................................
I OSA SISUKORD 1. ARVUHULGAD …………………………………………………… 2 2. ARITMEETIKA ……………………………………………….…… 3 2.1 Mõningate arvude kõrgemad astmed ………………………….……. 3 2.2 Hariliku murru põhiomadus ………………………………….…….. 3 2.3 Tehetevahelised seosed ……………………………………….…….. 3 2.4 Tehted harilike murdudega ………………………………….……… 4 2.5 Tehete põhiomadused ……………………………………….……… 5 2.6 Näited tehete kohta positiivsete ja negatiivsete arvudega …….…….. 5 2.7 Näited tehete kohta ratsionaalarvudega ……………………….……. 6 2.8 Protsent ja promill …………………………………………….……. 8 2.9 Näited protsentarvutusest …………………………………………... 9 2
Edasi võtame arvu 2 ja kriipsutame maha kõik tema kordsed: 4, 6, 8 jne. Pärast seda on esimene allesjäänud arv 3. Kriipsutame maha kõik arvu 3 kordsed: 6, 9, 12 jne. Järgmine allesjäänud arv on 5, kriipsutame maha kõik arvu 5 kordsed jne. Kui oleme niiviisi kõik kordsed eemaldanud, jäävad järele parajasti kõik algarvud. Harilik murd näitab, mitmeks võrdseks osaks on tervik jaotatud ja mitu sellist osa on võetud. Harilikku murdu võib vaadata kui jagatist. Murru nimetaja ei saa võrduda nulliga. Harilik murd näitab osa suurust võrreldes tervikuga Hariliku murru põhiomadus seisneb selles, et hariliku murru väärtus ei muutu, kui korrutada või jagada murru lugejat ja nimetajat ühe ja sama nullist erineva arvuga. Hektar on mittesüsteemne pindalaühik. Tähis ha. 1 ha = 0,01 km² = 10000 m² Hulkade A ja B ühendiks nimetatakse hulka, millesse kuuluvad kõik hulga A elemendid ja hulgast B veel need, mis hulka A ei kuulu
Kõlarid loudspeakers högtalare 45 23400 Skänner scanner scanner 920 19470 Klaviatuur kelyboard resonans 79 3999 Korpus corpus korpuskel 296 12124 Ülesanne: Raamatus on: *124 lehekülge teksti *14 pilti, millest igaüks on 650 KB *Kirjuta tehted, kuidas leiad teksti, piltide ja raamatud mahu B-des, KB-des ja MB-des . 1 lk = 3000 B 124*3000 = 372 000 = 372 KB KB-> B-ks : 650 KB = 650000 B 14 pildi maht : 14* 650000 B = 9100000 B = 9100 KB = 9,1 MB Raamat kokku : 372 KB +9100 KB = 9472 KB = 9,472 MB 2 Lehekülgede nummerdamine Insert -> Page numbers - ülal/all - vasak/parem/keskel - esimese lehe number NB!
KOMPLEKSARVUD Kui a = 0, siis on tegemist imaginaararvuga bi, kui b = 0, siis saame arvu a + 0·i, mis on reaalarv a. Kui a = b = 0, siis siis saame tulemuseks arvu 0. KOMPLEKSARVU MÕISTE. TEHTED KOMPLEKSARVUDEGA Kaks kompleksarvu on omavahel võrdsed parajasti siis, kui nende reaalosad ja 1. Kompleksarvu mõiste imaginaarosad on vastavalt võrdsed: a + ib = c + id a = c ja b = d .
Ruutfunktsioon Sissejuhatav kordamine 1. Teosta tehted. Vastustes vabane negatiivsetest astendajatest. 3 1 2 3 1 a) 2 a b c 3 Lahendus: ; 1 4 2 s 3 t b) 4 5 3 4 s t Lahendus: . 2. Lihtsusta avaldis. a) xy(x + 3y) + (x + y)(x2 2xy y2) Lahendus: xy(x + 3y) + (x + y)(x2 2xy y2) =
düsmatemaatikute raviprogrammid individualiseerida. Järelikult ei ole ühest ega kerget teed raviõpetuseks või edukaks õpetamiseks. See tähendab, et matemaatika õppimisel/õpetamisel on kaks olulist aspekti: teema ja käitumine, mida ei saa vaadelda lahus. 4. Terminite ,,akalkuulia", ,,düskalkuulia" ja ,,düsmatemaatika" määratlus ja kasutus. - Akalkuulia arvutusvõimetus ; kahjustus, mille puhul on inimesel raskusi lihtsate matemaatiliste ülesannetega nagu liitmine, lahutamine, korrutamine ja isegi määramaks, kumb kahest numbrist on suurem. Erineb düskalkuuliast selle poolest, et akalkuulia tekib vanemas eas põhjustatuna neuroloogilisest kahjustusest. Tihti esineb ühe sümptomina mõne haiguse esinemisel. Eraldi seisvana raskem diagnoosida. - Düskalkuulia ehk düsmatemaatika - on spetsiifiline arvutamisvilumuste häire, mis ei ole seletatav üldise vaimse mahajäämusega või ebaadekvaatse õpetamisega. Düskalkuulia
Programmeerimise algkursus 1 - 89 Mida selle kursusel õpetatakse?...................................................................................................3 SISSEJUHATAV SÕNAVÕTT EHK 'MILLEKS ON VAJA PROGRAMMEERIMIST?'......3 PROGRAMMEERIMISE KOHT MUUDE MAAILMA ASJADE SEAS.............................3 PROGRAMMEERIMISKEELTE ÜLDINE JAOTUS ..........................................................7 ESIMESE TEEMA KOKKUVÕTE........................................................................................8 ÜLESANDED......................................................................................................................... 8 PÕHIMÕISTED. OMISTAMISLAUSE. ...................................................................................9 ................................................................................................................................................. 9 SISSEJUHATUS.......
+n(t)=s0(t) või s1(t) +n(t), kus t=[0...]. on otsustusaja kestus. Sümboli väärtust saab fikseerida signaali lõpus või signaali keskel. Vastuvõtja analüüsib signaali ja müra segu ja selle alusel võtab vastu otsuse, kas sisendis oli signaal, mis kandis edasi sümbolit 0 või sümbolit 1. Signaali ja müra segu s0(t)+n(t) muutub mõjuva müra tõttu sarnasemaks signaalile s1(t) ja vastupidi. Vastuvõtja hakkab valesti otsustama eksima nullid tuvastatakse ühtedena ja ühed asenduvad nullidega. Optimaalsel vastuvõtul tuleb vigasuse tõenäosus ajada miinimumi, kas otseselt või funktsioonide abil. 17 Kahe täiesti teada oleva signaali optimaalse eristaja struktuurskeem.(8 Pideva edastuskanali häirekindlus) Koherentne vastuvõtt=täiesti teadaolev vastuvõtt. Ainuke teadmata fakt vastuvõtu poolel on see, kumb signaalidest oli edastatud. Kas see, mis kandis edasi sümbolit 1 või see, mis kandis edasi sümbolit 0
FUNKTSIONAALSED SIGNAALIPROTSESSORID Loengumaterjal 1 Toomas Ruuben Toomas Ruuben. TTÜ Raadio ja sidetehnika 1 instituut. Teemad Ülevaade DSP-dest, signaalitöötlusest, FPGA-dest Digitaalarvuti töö üldpõhimõtted Tehted kahendsüsteemis (+,-,*,/ jne) Erinevaid arvsüsteemid Peamisi loogikafunktsioonid (AND, OR jne) Loogikavõrrandid Trigerid, registrid, dekoodrid, multipleksorid, demultipleksorid, aritmeetika loogika seadmed jne) Toomas Ruuben. TTÜ Raadio ja sidetehnika 2 instituut. 1 Teemad Programmeeritavad loogikaseadmed CPLD, PLD FPGA
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 ÜLESANNETE VASTUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 8. MAATRIKSID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Maatriksi mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Maatriksite liitmine ja lahutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Maatriksi korrutamine skalaariga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 ©Audentese Ülikool, 2003. Koostanud A. Sauga MAJANDUSMATEMAATIKA I Mudelid Maatriksi transponeerimine. . . . . . . . . . . . . . . . . .
TARTU ÜLIKOOLI TEADUSKOOL PROGRAMMEERIMISE ALGKURSUS 2005-2006 Sisukord KURSUSE TUTVUSTUS: Programmeerimise algkursus.........................................6 Kellele see algkursus on mõeldud?..................................................................6 Mida sellel kursusel ei õpetata?.......................................................................6 Mida selle kursusel õpetatakse?......................................................................6 Kuidas õppida?.................................................................................................7 Mis on kompilaator?.............................................................................................8 Milliseid kompilaatoreid kasutada ja kust neid saab?......................................8 Millist keelt valida?...........................................................................................8 ESIMENE TEEMA: sissejuhatav sõnavõtt ehk 'milleks on v
teks. 1 2 II. Maatriksarvutus 1.3 Maatriksite v~ ordsus ¨ Oeldakse, et maatriksid A = (aij ) ja B = (bij ) on v~ ordsed ja kirjutatakse A = B, kui 1) neil on u ¨hesugused j¨argud, 2) nende vastavad elemendid on v~ordsed, s.t aij = bij . 1.4 Maatriksite liitmine Olgu A = (aij ) ja B = (bij ) u ¨hesuguste j¨arkudega maatriksid. Maatriksite A ja B summaks A + B nimetatakse maatriksit ele- mentidega (A + B)ij := aij + bij Teiste s~onadega, maatriksite liitmisel liidame vastavad elemendid. N¨ aide: summa arvutamine Arvutame maatriksite summa 1 2 3 3 -2 1 1+3 2-2 3+1 + = 4 5 6 -6 4 -5 4-6 5+4 6-5
Arvuti riistvara 1. Arvutustehnika ajalugu a. Kes on nende kuulsate sõnade autor(id)? “640K mälu peaks olema piisav kõikidele.” ■ Vastus: Bill Gates b. Milline oli esimene kommertsmikroprotsessor? ■ Vastus: 4004 c. Milline oli esimene tabelarvutusprogramm? ■ Vastus: VisiCalc d. Milline nendest firmadest esitles esimesena WYSIWYG konsteptsiooni? ■ Xerox e. Milline nendest firmadest valmistas esimese 32bitise protsessori? ■ National Semiconductor f. Milli(ne/sed) arvuti(d) aitasi(d) briti valitusel II maailmasõja ajal murda koode? ■ Colossus g. Milline organisatsioon lõi WWW esialgse spetsifikatsiooni? ■ CERN 2. Arvuti, mis see on? 3. Protsessorid 1 4. Protsessorid 2
Nimeta alternatiivid WAMP serverile 04 - PHP - Muutujad (Ülesanne 1) Teemad Kommentaarid Muutujate loomine ja väärtuste omistamine Muutujate väljastamine Muutujate sidumine tekstiga ja omavahel Andmetüübid Kommentaarid Enne kui me alustame igasuguse koodi kirjutamist, siis on hea tava, et koodi olulisemad sõlmed kommenteeritakse. See on kasulik nii endale kui teistele, kes peavad sinu koodi kunagi muutma hakata. Mitme rea kommenteerimiseks lisame teksti /* ja */ märgendite vahele. ? 1 7 Reeglina kasutatakse seda näiteks koodi algusesse info lisamiseks või hiljem koodiosade peitmiseks. Näiteks lisame koodi algusesse harjutuse kirjelduse: ? 1 8
Diskreetne matemaatika II Suulise eksami konspekt IABB 2011 [1]. Hulgad. Alam- ja ülemhulgad. Tehted hulkadega. [2]. Hulga võimsus. Kontiinumhüpotees. [3]. Järjendid. Permutatsioonid. Kombinatsioonid. [4]. Binoomi valem. Pascali kolmnurk. [5]. Liitmis- ja korrutamisreegel kombinatoorikas. [6]. Kordustega permutatsioonid. Multinoomkordajad. [7]. Elimineerimismeetod (juurde- ja mahaarvamise valem). [8]. Korratused ja subfaktoriaalid. [9]. Dirichlet` printsiip. [10]. Arvujadade genereerivad funktsioonid. Jadade ja genereerivate funktsioonide teisendamine. [11]. n objekti jaotamine k gruppi.
tuvastamaks, kas piirkond aheneb igal kõige väiksem number kiirsortimine, mestimisega täisarv on paaris või sammul 2 korda, massiivis) sorteerimine, kuhjaga paaritu Parallelsed ja jagatud Vektorite sisestamine, sorteerimine, timsort algoritmid väljastamine, liitmine, lahutamine ja skalaarkorrutis O(n2) O(n3) O(2n) O(n!) Ruutkeerukus Kuupkeerukus Eksponentsiaalne Faktoriaalne • Andmehulga kasvamisel 10 korda Enamasti 3 tsüklit • Kui N=10 on aeg 1000, suureneb tööaeg 100 korda
AB (x2 x1)2 (y2 y1)2 Kui a = (x; y), siis |a| = x2 y 2 Mõlemad valemid tuletatakse Pythagorase teoreemi abil. © Allar Veelmaa 2014 21 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium VEKTORITE LIITMINE Vektorite geomeetrilisel liitmisel paigutatakse need vektorid nii, et esimese vektori lõpppunkt ühtib teise vektori algusega. Summavektor ühendab esimese algust teise lõpuga. Liidame näiteks vektorid a ja b . a a
vastupidine. Märkus 2.2.2. Tuleb märkida, et eelnevas arutelus erinevatel ajahetkedel esinevate nominaalselt erinevate rahasummade väärtuste võrdlemisel ei võtnud me arvesse kõiki asjaolusid. Esiteks, me ei arvestanud võimalikku inflatsiooni ehk raha ostujõu kahanemist ajas või deflatsiooni ehk raha ostujõu suurenemist ajas (reaalselt esineb harva) (sellest räägime hiljem, punktis 2.5.2). Rahasummasid võrdlesime vaid intressimäära suhtes. Teiseks lisame veel, et ka intressimäärale tuginev võrdlus on suhteline või hinnanguline, sest sama tüüpi finantstehingutes võivad erinevate tehinguosaliste ja erinevate pankade puhul kasutusel olla erinevad intressimäärad. Asjaolu, et antud rahasumma kõik ajaväärtused erinevatel ajahetkedel on omavahel ekvivalentsed, annab meile võimaluse võrrelda finantstehingu rahasummasid erinevatel ajahetkedel. Selgitame öeldut järgmise näite abil. Oletame, et täna teeme investeeringu 1000
NB! Ülakoma printides ei tule. Sellel on vaid abistav ülesanne. Nulliga algavad numbrid Enam telefoninumbrites nulli ees ei kasutata ja sellega jääb nulliga algavate numbrite hulk kindlasti palju väiksemaks. Samas James Bond jääb ikka 007-ks :) Kui üritad kirjutada lahtrisse 007, siis sisestuse kinnitamiseks Enter vajutades kustuvad need nullid seitsme eest ära. Mida teha? Antud juhul on need nullid ju väga vajalikud. Siingi pead kasutama ülakoma. See-eest komadega numbreid kirjutad nagu tavaliselt. Nullide automaatne eemaldamine toimub numbrites, kus nullid ei oma mingit tähtsust, näiteks 000,89 või 34,50000 mõlemast numbrist jääb peale lahtrisisestuse kinnitamist järgi number 0,89 ja 34,5. Küll on olemas mitmed seadistused, mille abil saab peale koma olevate nullide arvu reguleerida
Mainori Kõrgkool Matemaatika ja statistika Loengukonspekt Silver Toompalu, MSc 2008/2009 1 Matemaatika ja statistika 2008/2009 Sisukord 1 Mudelid majanduses ............................................................................................................. 4 1.1 Mudeli mõiste ......................................................................................................................... 4 1.2 Matemaatilise mudeli struktuur ja sisu ................................................................................... 4 2 Funktsioonid ja nende algebra............................................................................................... 5 2.1 Funktsionaalne sõltuvus ....................................
algebra). Muutujatel saab siin olla ainult kaks väärtust 0 - väär ja 1 - tõene. Seepärast nimetatakse seda loogikat ka binaarloogikaks. Loogilisi muutujaid tähistatakse ladina tähestiku tähtedega. Sõltumatuid muutujaid (sisendeid) nimetatakse argumentideks, neist sõltuvaid muutujaid aga funktsioonideks. Loogikafunktsiooni kõik argumendid on loogilised muutujad, millel on kaks väärtust 0 ja 1. Kõiki loogikafunktsioone väljendavad kolm põhitehet: loogiline korrutamine, loogiline liitmine ja loogiline eitus. Loogiline korrutamine (NING). NING-funktsioon on võrdne ühega ainult juhul, kui kõik argumendid on võrdsed ühega. Tehte tähistamiseks kasutatakse nii harilikku korrutus- märki ( • ) kui ka loogilise korrutamise eritähist - katust ( ∧ ). Loogilist korrutamist nimetatakse ka konjunktsiooniks. Loogiline liitmine (VÕI). VÕI-funktsioon on üks siis, kui kas või üks argumentidest võrdub ühega
ENTRIES_PER_PAGE defined: true
*/
define ('AUTHOR_NAME', 'Bob');
echo 'Author name: '.AUTHOR_NAME.'
';
// Author name: John
?>
PHP-s on olemas ka sisseehitatud konstandid:
__FILE__ - hetkel parsitava faili nimi
PHP_VERSION - php versioon
PHP_OS - operatsioonisüsteem
jne...
Lisalugemist
Maagilised konstandid (www) - inglise keeles
Sisseehitatud konstandid (www) - inglise keeles
2.3 Tehted
Tehted tõeväärtustega
Põhilised boolean tüübile rakendatavad operatsioonid on järgmised:
! - eitus (loogiline ei)
&& - konjunktsioon (loogiline jah)
|| - disjunktsioon (loogiline või)
Tehete prioriteedid (kahanevalt): eitus, konjunktsioon, disjunktsioon.
Tehete tulemusi võib esitatada järgmise tõeväärtustabeliga:
$a &&
$a $b !$a $a || $b
$b
Andemanalüüsi konspekt: Mõisteid küsitakse eksamis: näidete toomise, selgitamise, võrdlemise ja analüüsimise tasandil. Binaarne tunnus- sugu; jah/ei Järjestustunnus- kooli tüüp, 1-väga hea, 2- hea jne(NB!- Õpilaste hinnang koolile), kui suured on klaassid- väga suured, suured jne, milline kooli maine- väga hea, hea jne, millisesse vahemikku jääb arv (0-200, 201-301 jne) oluline oleks, et Display frequence ees oleks linnuke, siis saab teha sagedustabeli Intervalltunnus- 1-väga hea, 2-hea jne (NB!_- Kooli hoolekogu hinnang eelmise õppeaasta tulemustele?/ Kooli hoolekogu hinnang eelmise aasta juhtimisele?) , hulk (n: minu klassi avatakse), vanus (keskmine vanus), kui kaugel asub kool millestki- km-tes, Nimitunnus- millegi nimi, huviringude nimed, kooli nimi jne, kas koolis töötab nõustaja- ei tööta, töötab, mõlemad jne, Kiire ü
o . Välistatud kolmanda seaduse nõudel jäävad kõrvale kõik küsilaused ja paljud hüüdlaused, samuti kõik käsud ning mõttetud sõnaühendid. Mitte-vasturääkivuse seadus välistab mitmesugused paradoksid, näiteks „See lause siin on väär“, ja muud taolised väited, mille tõeväärtust pole võimalik üheselt määrata. o Tehte tulemuseks saadud lause tõeväärtus sõltub ainult komponentlausete tõeväärtustest. 2. Lausearvutuse tehted. Tehete järjekord. Lausearvutuse valem. [1] Tehted o Eitus (märk ¬). Igapäevakeeles väljendab eitus lause mittekehtimist, näiteks „Lehis ei ole okaspuu“. Selle lause võib kirja panna valemiga ¬A, kus A = „Lehis on okaspuu“. o Konjunktsioon (märk &) tähendab seost „ja“. Näiteks „Puhub tuul ja sajab vihma“ on valemkujul A & B. o Disjunktsioon (märk ∨) väljendab seost „või“. Näiteks „Helen laulab või Mart laulab“
. . . . . . . . . . . . 3 0.3 Reaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.4 Summa sümbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Maatriksid ja determinandid 7 1.1 Maatriksi mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Tehted maatriksitega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Maatriksite korrutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Teist ja kolmandat järku determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5 Kõrgemat järku determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6 Determinantide omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matemaatika õhtuõpik 1 2 Matemaatika õhtuõpik 3 Alates 31. märtsist 2014 on raamatu elektrooniline versioon tasuta kättesaadav aadressilt 6htu6pik.ut.ee CC litsentsi alusel (Autorile viitamine + Mitteäriline eesmärk + Jagamine samadel tingimustel 3.0 Eesti litsents (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ee/). Autoriõigus: Juhan Aru, Kristjan Korjus, Elis Saar ja OÜ Hea Lugu, 2014 Viies, parandatud trükk Toimetaja: Hele Kiisel Illustratsioonid ja graafikud: Elis Saar Korrektor: Maris Makko Kujundaja: Janek Saareoja ISBN 978-9949-489-95-4 (trükis) ISBN 978-9949-489-96-1 (epub) Trükitud trükikojas Print Best 4 Sisukord osa 0 – SISSEJUHATUS . .................... 17 OSA 2 – arvud ..................................... 75 matemaatika meie ümber ................... 20 arvuhulgad ....................
ja mõõtühikuga, nimetatakse skalaarseks suuruseks ehk skalaariks (ld scala 'redel, astmestik'). Skalaarsetel suurustel on arvuline väärtus, kuid neil pole suunda. • Skalaarsed suurused on näiteks aeg, pikkus, mass, rõhk, ruumala, energia, temperatuur. • Miinusmärk skalaarse suuruse arvväärtuse ees väljendab mõttelist liikumist arvteljel negatiivses suunas ehk siis vastupidiselt kokkuleppelisele positiivsele suunale. Skalaarsed suurused ja matemaatilised tehted • Skalaarsete suurustega saab sooritada erinevaid matemaatilisi tehteid. Seejuures ei tohi muidugi unustada mõõtühikuid. Tehe sooritatakse eraldi nii arvväärtustega kui ka mõõtühikutega. • Skalaarse suuruse korrutamine arvuga: kolme 100-grammise vihi mass on kokku 3 × 100 g = 300 g. • Skalaarsete suuruste omavaheline liitmine või lahutamine: kui tõstame 1 m kõrguse kasti otsa 75 cm kõrguse kasti, on tekkiva kastivirna kogukõrgus 1 m + 0,75 m = (1 + 0,75) m = 1,75 m
jaoks ja kuna enamus antud ~ oppevahendis esitatud v¨aiteid on lihtsad, siis s~onastatakse nad lausetena (inglise keeles "proposition"). Kui tekstis on viidatud n¨aiteks Lausele 2.12.3, siis see t¨ ahendab viidet teise peat¨ uki kaheteistk¨ umnenda punkti Lausele 3. Vi- ite korral sama punkti piires ei lisata peat¨ uki ja punkti numbrit. Hulga elementide loetelus v~ oi punkti koordinaatide puhul kasutatakse eraldajana tavaliselt koma, n¨aiteks {a, b, c} ja (x, y) . Kui hulga elementideks v~oi punkti koordinaatideks on arvud, siis v¨a¨ararusaamise v¨ altimiseks kasutatakse eraldajana semikoolonit, n¨aiteks {-2; 3; 11} ja (3; 4.5) . K¨ umnendmurrus kasutatakse eraldajana punkti. Kasutusel on j¨ argnevad arvuhulga t¨ahistused: N = {1; 2; 3; . . .} naturaalarvude hulk; k N = {n | n N m N n = k · m} = {k; 2k; 3k; . . .} naturaalarvuga k jaguvate naturaalarvude hulk; Z = {. . . ; -2; -1; 0; 1; 2; . .
annaabi.ee 
