Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Sirge tõusu ja selle määramatuse arvutamine". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
sõltuvus, määramatus, lineaarliige, jääks, punktiga, selliselt, määramiseks, valemist, meetodeid, nendest, vähimruutude, poolitatakse.......................................... 6 1.2. Mõõtühikud ja nende süsteemid .......................................................................................... 6 1.3. Dimensioonvalem................................................................................................................ 8 1.4. Suured ja väikesed ühikud................................................................................................... 9 2. Tõeline väärtus ja mõõdis. Viga ja määramatus ........................................................................ 11 3. Mõõtetulemus kui juhuslik suurus ............................................................................................. 13 3.1. Histogramm ....................................................................................................................... 14 3.2. Dispersioon ja standardhälve............................................................................................. 16 3.3
Kaks vektorit on kollineaarsed (a|| b), kui vektorkorrutis on 0 ( = || || sin 0°/180° = 0) Kaks vektorit asetsevad risti ( ), kui skalaarkorrutis on 0 ( = || || cos 90° = 0) Kaks vektorit on komplanaarsed, kui segakorrutis on 0 ((a × b)c = 0) 21. Sirge sihivektor. Sirge tõus. Sirge võrrand tasandil (kanooniline võrrand, üldvõrrand, võrrand tõusu ja algordinaadi abil). Sirge sihivektoriks nimetatakse selle sirge mis tahes kahe punktiga määratud vektorit või sellega samasihilist vektorit. Suund ja pikkus pole olulised. Kui sirge s on määratud punktidega A(x1 ; y1 ) ja B(x2 ; y2 ), siis selle sirge sihivektoriks on iga (nullvektorist erinev) vektor s, mis on samasihiline (kollineaarne) vektoriga AB Vektorit, mis on risti vaadeldava sirge sihivektoriga, nimetatakse selle sirge normaalvektoriks Sirge tõus sirge tõusunurga tangens. k = tan (sirge tõusu saab leida vaid x-teljega
· Skalaarkorrutis võrdub vektorite pikkuste korrutisega. Ristseisu tunnused: · Skalaarkorrutis on 0 · Vektorkorrutis võrdub vektorite pikkuste korrutistega. Komplanaarsuse tunnused: · Segakorrutis on 0 21. Sirge sihivektor. Sirge tõus. Sirge võrrand tasandil (kanooniline võrrand, üldvõrrand, võrrand tõusu ja algordinaadi abil). Sirge sihivektoriks nim selle sirge mis tahes kahe punktiga määratud vektorit või sellega samasihilist vektorit. Suund ja pikkus pole olulised. Sirge võrrand tasandil: Kanooniline võrrand - ehk - sirge s kanooniline võrrand tasandil või ka sirge võrrand sihivektrori ja punkti järgi. Üldvõrrand - Sirge tõusuks nim selle sirge tõusunurga tangensit. Sirge tõusunurk on alati 0* ja 180* vahel. Kui sirge tõusunurk on alfa, siis selle sirge tõus k=tan alfa
.................................................................................................. 34 Joone võrrand......................................................................................................................... 34 Sirge tõusunurk, sirge tõus..................................................................................................... 34 Tõusu ja algordinaadiga määratud sirge võrrand................................................................... 35 Kahe punktiga määratud sirge võrrand...................................................................................35 Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand......................................................................35 Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand.............................................................................. 36 Sirge võrrand telglõikudes......................................................................................................36
TARTU ÜLIKOOL Tartu Ülikooli Teaduskool Veaarvutus ja määramatus Urmo Visk Tartu 2005 Sisukord 1 Tähistused 2 2 Sissejuhatus 3 3 Viga 4 3.1 Mõõteriistade vead . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3
... ... ... ...
xinjm +1 xinjm +2 ... xinjn
Märgiga varustatud täiendusmiinorit
An-m := (-1)rMn-m, kus r := im+1 + im+2 + · · · + in + jm+1 + jm+2 + . . . jn,
nimetatakse miinori Mm algebraliseks täiendiks
Laplace teoreem Olgu X n-järku ruutmaatriks ja selliselt, et i1
Paarisfunktsiooni tunnuseks on f ( - x ) = f ( x ) , paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. Paaritu funktsiooni tunnuseks on f ( - x ) = - f ( x ) , paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. Funktsiooni perioodilisuse tunnuseks on f ( x + nT ) = f ( x ) , n , kus T on lühim periood (näit. siinusfunktsioonil 2 ). Kui funktsiooni y = f ( x ) korral on tegemist üksühese vastavusega ja valemist y = f ( x ) saab seose x = g ( y ) , milles muutuja y loetakse argumendiks ning x funktsiooniks, siis seost x = g ( y ) nimetatakse (otsese) funktsiooni y = f ( x ) pöördfunktsiooniks. Pöördfunktsiooni võib tähistada näiteks sümboliga y = f ( x ) . -1 Pöördfunktsiooni määramispiirkonnaks on otsese funktsiooni muutumispiirkond ja muutumispiirkonnaks otsese funktsiooni määramispiirkond. Otsese ja pöördfunktsiooni
Matemaatika eksami teooria Reaalarvud 1.1. Naturaal-, täis- ja ratsionaalarvud · Naturaalarvude hulk N (ainult positiivsed täisarvud) · Naturaalarvu n vastandarv -n defineeritakse selliselt, et n+(-n)=0 · Naturaalarvud koos oma vastandarvudega moodustavad täisarvude hulga Z (jaguneb pos ja neg) · Iga kahe täisarvu vahe on alati täisarv · Kui arv a ei jagu arv b-ga, siis on tegemist murdarvuga. Kõik täisarvud ja positiivsed ning negatiivsed murdarvud moodustavad kokku ratsionaalarvude hulga Q. Ratsionaalarv on arv, mis avaldub jagatisena a/b, kus a Z, b Z ja b 0. · Iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. 1
tõenäosusega, siis p(xi)=1/N kõikide sündmuste xi jaoks ning H=log2N=Hmax. See Hmax on maksimaalne
entroopia ehk info hulga ülempiir. P(xi) on aga tõenäosus, et süsteem asub seisundis xi. N on süsteemi
võimalike seisundite koguarv. Kui mõne teate tõenäosus peaks olema 1, siis H=0. Järelikult suurus H
näitab ka sündmuse esialgset määramatust ja seda nimetatakse juhusliku sündmuse entroopiaks, mille
kohta kehtib võrratus: 0
sümmeetriline y-telje suhtes. Paaritu funktsiooni tunnuseks on f x f x , paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. Funktsiooni perioodilisuse tunnuseks on f x nT f x , n ¢ , kus T on lühim periood (näit. siinusfunktsioonil 2 ). Kui funktsiooni y f x korral on tegemist üksühese vastavusega ja valemist y f x saab seose x g y , milles muutuja y loetakse argumendiks ning x funktsiooniks, siis seost x g y nimetatakse (otsese) funktsiooni y f x pöördfunktsiooniks. Pöördfunktsiooni võib tähistada näiteks sümboliga y f x . 1 Pöördfunktsiooni määramispiirkonnaks on otsese funktsiooni muutumispiirkond ja muutumispiirkonnaks otsese funktsiooni määramispiirkond
Kui selle tabeli puhul jätta kõrvale füüsikaline sisu (tabeli esimeses veerus on sel juhul muutujad x ja y), siis saab öelda, et tegemist on võrdeliste suurustega. Kui tegemist ei ole fikseeritud suurustega (näiteks tee pikkus, aeg; ostetud bensiini kogus, makstud rahasumma vms), siis tähistame üldjuhul sõltumatu muutuja tähega x ja sõltuva muutuja tähega y. Sel juhul võime öelda järgmiselt: kahe suuruse x ja y vaheline sõltuvus on võrdeline sõltuvus, kui nende suuruste vastavate y väärtuste jagatis on jääv (konstantne), st = a. Arvu a (kus a 0) nimetatakse x võrdeteguriks. 1.3. Pöördvõrdelised suurused Kahe suuruse x ja y vaheline sõltuvus on pöördvõrdeline sõltuvus siis, kui nende suuruste vastavate väärtuste korrutis on jääv (konstantne), st xy = a.
102. Ellipsi sümmeetriateljed- Kui tasandiline joon on sümmeetriline mingi
sirge suhtes siis vastavat sirget nimetatakse joone sümmeetriateljeks.
Sümmeetriateljed läbivad keskpunkti
103. Ellipsi keskpunkt- Olgu punkt O ellipsi fookustega määratud lõigu F 1F2
keskpunkt. Punkti O nimetatakse ellipsi keskpunktiks.
104. Ellipsi tipud- ellipsil on neli tippu A,B,C,D.
c
105. Ellipsi ekstsentrilisus-arv mis avaldub valemist
e= kusjuures(0
t. L = R. Näide 4. Lahendame võrratuse (x + 1)3 (x – 2)3 ≤ 0 Mõlemad vastava võrrandi lahendid (x = –1 ja x = 2) on paarituarv kordsed (kolmekordsed lahendid, seda näitab aste), siis läbib joon mõlemat punkti. Vastus: L – 1;2 © Allar Veelmaa 2014 15 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium TRIGONOMEETRIA PÕHISEOSED JA NENDEST TULETATUD VALEMID Teravnurga siinuseks nimetatakse vastaskaateti ja hüpotenuusi suhet. n m sin , sin p p Teravnurga koosinuseks nimetatakse lähiskaateti ja hüpotenuusi suhet. m n cos , cos p p Teravnurga tangensiks nimetatakse vastaskaateti ja lähiskaateti suhet. n m tan , tan
x2 nii et x1 < x2. Kui meil õnnestub näidata, et kehtib võrratus f(x 1) < f(x2), siis on f kasvav vahemikus (a, b) ning
väide 1 ongi tõestatud.
Lagrange'i teoreemi põhjal leidub vahemikus (x1, x2) vähemalt üks punkt c nii, et kehtib võrdus
f(x2) - f(x1) = f(c)(x2 - x1) .
Selle võrduse paremal poolel olev tuletis f(c) on nullist suurem, kuna me eeldasime f(x) positiivsust vahemikus
(a, b). Nullist suurem on ka vahe x 2 - x1, kuna me valisime punktid x 1 ja x2 selliselt, et x1
dz = z + z u'1 + z u'2 +...+ z u'm dx x u1 u2 um põhjal kehtib järgmine valem: dF (x, (x)) = F'x(x, (x)) + F'y(x, (x)) '(x) dx Järgmiseks kasutame asjaolu, et võõrand F(x,y)=0 määrab ilmutamata kujul funktsiooni y= (x). sellest tulenevalt kehtib samasus: F (x, (x)) 0 Kuna nullfunktsiooni tuletis võrdub samuti nulliga, siis eelmisest valemist järeldub, et dF/dx(x, (x))0. seega võrdub teise avaldise vasak pool nulliga. Same F´ (x, (x)) + F` (x, (x)) `(x) = 0. x y Eeldades et F`y(x, (x))0 tuletame viimasest võrdusest järgmise valemi ilmutamata funktsiooni tuletise jaoks: '(x)= F'x(x, (x)) F'y(x, (x)) 17) Defineerida mitmemuutuja funktsiooni tuletis etteantud suunas
dz = z + z u'1 + z u'2 +...+ z u'm dx x u1 u2 um põhjal kehtib järgmine valem: dF (x, (x)) = F'x(x, (x)) + F'y(x, (x)) '(x) dx Järgmiseks kasutame asjaolu, et võõrand F(x,y)=0 määrab ilmutamata kujul funktsiooni y= (x). sellest tulenevalt kehtib samasus: F (x, (x)) 0 Kuna nullfunktsiooni tuletis võrdub samuti nulliga, siis eelmisest valemist järeldub, et dF/dx(x, (x))0. seega võrdub teise avaldise vasak pool nulliga. Same F´ (x, (x)) + F` (x, (x)) `(x) = 0. x y Eeldades et F`y(x, (x))0 tuletame viimasest võrdusest järgmise valemi ilmutamata funktsiooni tuletise jaoks: '(x)= F'x(x, (x)) F'y(x, (x)) 17) Defineerida mitmemuutuja funktsiooni tuletis etteantud suunas
teljega
19. L'Hospitali reegel
Teoreem: olgu antud f-nid y=f(x) ja y=g(x)=>dif-vad piirkonnas D nii, et lim x->a
f(x)=0, limx->a g(x)=0 või limx->a f(x)= , limx->a g(x)= ja eksisteerib limx->a
f'(x)/g'(x)=> limx->a f(x)/g(x)= limx->a f'(x)/g'(x); 0/0, / *Nt limx->
x+sinx/x=1+0 =1, kui võtta nyyd tuletis siis, tuleb limx-> 1+cosx ->ei
eksisteeri. *Rakendamine: 1)määramatused 0/0, / on vaatluse all, siis
saab neid lahendada L'H reegli järgi 2) 0* määramatus, mille korral
vaatleme limx->a f(x)g(x)=?=>f(x)g(x)=f(x)/1/g(x) =g(x)/1/f(x)-> on vaja tuletada
mitmekordseid murrujooni) 3)määramatused 1 ;0 ; 0=> limx->a f(x)g(x)=eA
(A= limx->a ln f(x)g(x)= limx->ag(x)lnf(x)) 4) määramatused - => murru ühisele
nimetajale tuua
20.F-ni monotoonsus om ja ekstreemumid
F-n y=f(x) on piirkonnas D monotoonne parajasti siis, kui selles piirkonnas f-ni
muut säilitab märki y= f; f>0=f-ni väärtuste vahe f=f(x2)-f(x1), x1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Matemaatilise mudeli struktuur ja sisu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2. FUNKTSIOONID JA NENDE ALGEBRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Arvud ja nende hulgad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Funktsionaalne sõltuvus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Astendamine. Polünoomid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Kulu-, tulu- ja kasumifunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Kasumifunktsioon lineaarse nõudlus- ja kulufunktsiooni korral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
ning esimene väide on tõestatud. b.iv. Lagrange'I teoreemi põhjal leidub vahemikus (x1,x2) vähemalt üks punkt c, et kehtib võrdus: f(x2)-f(x1)=f`(c)(x2-x1) b.v. Selle võrduse paremal pool olev tuletis f'(c) on nullist suurem, kuna eeldasime, et f'(x) positiivsest vahemikust (a,b). Nullist suure on ka vahe x2-x1, kuna valisime punktid x1 ja x2 selliselt, et x1 < x2. b.vi. Seega valemi parem pool on nullist suurem: saame f(x 2)-f(x1) > 0. Sellest järeldubki soovitud võrratus f(x1) < f(x2) b.vii. Väide 2 tõestatakse analoogiliselt 8. Funktsiooni kriitilise punkti definitsioon. Funktsiooni lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Tarviliku tingimuse põhjendus. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused. Piisavate tingimuste põhjendused. a
kasutades mõisteid: esineb esialgse murru lugeja tuletise ja nimetaja tuletise jagatis. x = x - a - argumendi muut kohal a Tuletamine. Arvutame lim(x0)?sinx/x?. Elementaarfunktsioon sinx/x ei ole x = 0 korral määratud (tekib määramatus y = f(x) - f(a) - funktsiooni muut kohal a . 0/0). Piirväärtuse arvutamisel kasutame l'Hospitali reeglit: Näitasime, et 27Olgu funktsioon y = f(x) diferentseeruv hulgas D. Siis on tema tuletis f hulgas D määratud funktsioon. Oletame, et f
(fg)(x) = lim f(x + x)g(x + x) - f(x)g(x)/x= lim1/ x{ [f(x + x) - f(x)]g(x + x) + f(x)[g(x + x0 x0 x) - g(x)]}= (lim f(x + x) - f(x))/ x lim g(x + x) + f(x) lim(g(x + x) - g(x))/ x = x0 x0 x0 = f (x)g(x) + f(x)g(x) = (f g + fg)(x). Sellega ongi reegel 2 tõestatud. 3.(f/g)= fg-fg/g2 . Olgu y =f(x) ja z = g(y) kaks diferentseeruvat funktsiooni ning olgu nendest moodustatud liitfunktsioon z = g[f(x)]. Funktsiooni tuletise saab esitada sõltuva muutuja ja argumendi diferentsiaalide jagatisena. Kuna funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y, siis kirjutades valemi saame f(x) = dy/dx. Analoogiliselt toimime ka funktsiooniga g, mille argument on y ja sõltuv muutuja z. Saame g (y) = dz/dy. Viimaks avaldame ka liitfunktsiooni z = g[f(x)] tuletise tema argumendi on x ja sõltuva muutuja z diferentsiaalide jagatisena. Saame {g[f(x)]} = dz/dx .
Matemaatiline anal¨ uu¨s I Jaan Janno ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨ avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsio
Matemaatiline anal¨ uu¨s I Jaan Janno ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . .
KM 3,6 Seega silindri kõrgus (h) on 2,995 dm ja põhja ümbermõõt (C) on 1,997 dm. b) Toru läbimõõdu 2r arvutamiseks kasutame ringjoone pikkuse valemit C 2 r , millest C 1,997 2r 2r 0,636 (dm). Toru läbimõõt (kahe tüvenumbriga) on ligikaudu 0,64 dm. c) Kui 2r = 0,636 dm, siis r 0,318 (dm). Arvutame toru ruumala, lähtudes silindri ruumala valemist V r 2h . Saame 2 V 0,318 2,995 0,951 (dm). Toru ruumala (kahe tüvenumbriga) on ligikaudu 0,95 dm 3 . Kommentaarid I - II Ülesande lahendamisel peame kogu aeg silmas pidama, et funktsioone y 2 sin x ja y 0,5 cos x vaatleme vaid lõigul 0; 2 . Funktsiooni graafiku joonestamisel on oluline valida koordinaattelgedel õige mõõtkava. Kui x-teljel
(m × n) · (n × p) = (m × p). T (A + B) = AT + B T , T (A) = AT . 1.3 Maatriksite korrutamine Definitsioon 1.9 Kui maatriksi A veergude arv võrdub maatriksi B ridade arvuga, siis defineerime A ja B korrutise A · B selliselt, et korrutame maatriksi A i-nda rea elemendid maatriksi B j-inda veeru vastavate elementidega ning liidame saadud korrutised: n C = A·B, cij = aik ·bkj = (ai1 ·b1j +ai2 ·b2j +· · ·+ain ·bnj ). (1.7) k=1 Joonis: http://www.cmsoft.com.br/opencl-tutorial/case-study-matrix-multiplication/ Märkus 1.1 Maatriksite korrutamine ei ole kommutatiivne ehk üldjuhul (ka ruut- maatriksite korral)
1926-1940 rajati põhivõrk, mis oli seotud teiste Läänemeremaadega ühtseks võrguks. NL ajal rajati punkte juurde. 1991alustati uue võrgu rajamist. GPS-meetodil rajati 43 punkti, millest 3 seoti Euroopa võrguga. Järgnevalt asuti seda tihendama. GPS-iga rajati lausvõrk tihedusega 1 punkt 225 km2 kohta, vahekaugus 15 km. Selle geodeetilise võrgu tihendamine toimub samuti GPS-iga kuid kasut. ka traditsioonilisi meetodeid. 14. Geodeetilise mõõdistamisvõrgu rajamine. Geodeetilise mõõdistamisvõrgu (GMV) rajamise eesmärgiks on maa-ala plaani koostamiseks vajalike tugipunktide saamine, mille suhtes määratakse situatsiooni elementide ja maastiku objektide asend. Tiheda asustusega aladel ja kinnisel maastikul kasutatakse teodoliit- (tahhümeetria-) käike, avatud maastikul kolmnurkade süsteeme, polaarkiirte ja lõigete meetodit ning GPS-mõõtmisi.
1926-1940 rajati põhivõrk, mis oli seotud teiste Läänemeremaadega ühtseks võrguks. NL ajal rajati punkte juurde. 1991alustati uue võrgu rajamist. GPS-meetodil rajati 43 punkti, millest 3 seoti Euroopa võrguga. Järgnevalt asuti seda tihendama. GPS-iga rajati lausvõrk tihedusega 1 punkt 225 km2 kohta, vahekaugus 15 km. Selle geodeetilise võrgu tihendamine toimub samuti GPS-iga kuid kasut. ka traditsioonilisi meetodeid. 14. Geodeetilise mõõdistamisvõrgu rajamine. Geodeetilise mõõdistamisvõrgu (GMV) rajamise eesmärgiks on maa-ala plaani koostamiseks vajalike tugipunktide saamine, mille suhtes määratakse situatsiooni elementide ja maastiku objektide asend. Tiheda asustusega aladel ja kinnisel maastikul kasutatakse teodoliit- (tahhümeetria-) käike, avatud maastikul kolmnurkade süsteeme, polaarkiirte ja lõigete meetodit ning GPS-mõõtmisi.
YMM3731 Matemaatiline analu¨u¨s I 2007/08 ~o.-a. su¨gissemestril 3,5 AP 4 2-0-2 E S Dots. Lembit Pallas TTU¨ Matemaatikainstituut V-404, tel. 6203056 e-post: [email protected] K¨asitletavad teemad on toodud punktide kaupa. Neid punkte tuleb vaadelda ka kui kollokviumide ja eksami teooriak¨ usimusi. 1. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid 2. Funktsioonide liigitamine (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioo- nid, kasvavad ja kahanevad funktsioonid) 3. P¨o¨ordfunktsioon 4. Liitfunktsioon 5. Jada piirv¨aa¨rtus 6. Funktsiooni piirv¨aa¨rtus ¨ 7. Uhepoolsed piirv¨aa¨rtused 8. L~opmatult kasvavad ja l~opmatult kahanevad suurused 9. Piirv¨a¨artusteoreemid 10. L~opmatult kahanevate suuruste v~ordlemine 11. Funktsiooni pidevuse m~oiste. Tarvilik ja piisav tingimus funktsiooni pidevuseks 12. Elementaarfunktsioonide pidevus 13. L~oigul
4. Rühmitamine – eesmärgiks on kogumi üksikasjalikum iseloomustamine. Toimub nii, et kogumi üksikliikmed jaotatakse teatud tunnuse alusel ühelaadilistest liikmetest koosnevateks rühmadeks. Nt analüütilise rühmitamise eesmärgiks on avastada nähtuste kujunemises valitsevaid varjatud seoseid ja seaduspärasid. Nt võib ettevõtteid jaoatda rühmadeks majanduslike tulemuste, kasumi jms alusel. Ligikaudseks rühmade arvu määramiseks kasutatakse valemit: r=1+3,32*log n. Kus r – rühmade(intervallide) arv, n – kogumi maht. Intervalliks nim. uuritava tunnuse väärtuse vahemikku, millega määratakse kindlaks missugusesse rühma rühmitatava kogumi liige tuleb arvata. Ms Excelis on rühmitamise jaoks funktsioon FREQUENCY. Kogutud andmed moodustavad statistilise rea, mida korrastatakse, rühmitatake, leitakse nendele statistilised karakteristikud, moodustatakse tabelid ja diagrammid
Am·n·Bn·p=Cm·p, Tehted vektoritega: Vektorite u'=(u1u2....un), v'=(v1v2...vn) sisekorrutiseks on avaldis: u*v=u1v1+u2v2+...+unvn. Veeruvektori ja reavektori korrutiseks tuleb ristkülikmaatriks: 3 3 1 3 4 3 5 3 12 15 u = , v = [1 4 5] , uv = = . 2 ( 2×3) 2 1 2 4 2 5 2 8 10 6. Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus Vektorite hulk v1,...,vn on lineaarselt sõltuvad, kui mõni neist avaldub ülejäänute lineaarse kombinatsioonina; vastasel juhul on lineaarselt sõltumatud. Kui tasandil on antud 2 lineaarselt sõltumatut vektorit, siis iga tasandi-vektori saab avaldada nende lineaarse kombinatsioonina. 7. Determinandi mõiste ja põhiomadused. Determinant: Ruutmaatriksi A determinant on ARV (skalaar), mis on selle maatriksi poolt üheselt määratud
võrk, millede omavaheline asend on määratud täpselt. 1926-1940 rajati põhivõrk, mis oli seotud teiste Läänemeremaadega ühtseks võrguks. NL ajal rajati punkte juurde. 1991alustati uue võrgu rajamist. GPS-meetodil rajati 43 punkti, millest 3 seoti Euroopa võrguga. Järgnevalt asuti seda tihendama. GPS-iga rajati lausvõrk tihedusega 1 punkt 225 km2 kohta, vahekaugus 15 km. Selle geodeetilise võrgu tihendamine toimub samuti GPS-iga kuid kasut. ka traditsioonilisi meetodeid. 18. Nõuded geodeetilistele punktidele Geodeetilise põhivõrgu punkt kindlustatakse maastikul geodeetilise märgiga ja tähistatkse tunnusposti, geodeetilise püramiidi või signaaliga. Geodeetiline punkt asetatkse hea kandevõimega pinnasesse nagu liiv, kõva konsistentsiga saviliiv või lubjakivi. Tunnuspostile kinnitatakse metallsilt, millele on kirjutatud punkti number ja tekst : ,,EESTI VABARIIGI katise all olev GEODEETILINE PUNKT"
mõõtetulemuse. 26. Mõõtetulemus Mõõtetulemus on mõõtmise teel saadud mõõtesuuruse väärtus. Mõõtetulemus on lõplik vastus mõõtesuuruse väärtuse kohta. Mõõtetulemuse dokumenteerimiseks tuleb täpselt kirjeldada mõõdistest saadava mõõtetulemuse ja selle määramatuse arvutamise metoodikat; tuua ära kõik parandid, konstandid ja nende allikad; esitada kõik määramatuse komponendid ja põüõhjendada nende hinnangud; esitada mõõtetöötlus selliselt, et iga tähtsam samm oleks hõlpsasti jälgitav ja esitatud tulemuse arvutust saaks vajaduse korral sõltumatule korrata. 27. Mõõtetulemuste korduvus Korduvus on sama mõõtesuuruse üksteisele järgnevatel mõõtmistel saadud mõõtetulemuste lähedusaste, kui mõõdetakse samadel tingimustel. Kordustingimuste korral mõõtetoiming, mõõtja, mõõtevahendid ja labor peavad olema samad. Kvantitatiivselt võib korduvust väljendada saadud mõõtetulemuste jaotuskarakteristikute abil. 28
' ' ( a) ' (a ) (n ) (n) P2 ( a )=f ( a ) , P2 ( a )=f ' ' (a)Pn ( a )=f ( a ) , Pn =f , Pn ( a )=f ( a ) Otsime meid huvitavat polünoomi järgmisel kujul: 2 3 4 n Pn ( x )=C 0 +C 1 ( x-a )+ C2 ( x-a ) +C 3 (x-a) +C 4 ( x-a) + ...++Cn ( x -a) kus C0 , C1 , Cn on konstantsed kordajad. Nende kordajate määramiseks arvutame kõigepealt Pn tuletised kuni järguni n: ' 2 3 n-1 P n ( x )=1 C1 +2 C2 ( x-a ) +3 C 3 (x-a) +4 C 4 ( x-a) + ...++nC n (x-a) '' 2 P n ( x )=21 C 2+32 C3 ( x-a ) + 43 C4 ( x-a ) + ...+¿ +n ( n-1 ) C n ( x-a )n-2 P' ' 'n ( x )=321 C3 + 432 C 4 ( x-a ) +...+ ¿ +n ( n-1 ) (n-2) Cn ( x-a)n-3
annaabi.ee 
