Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Sirge". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
teljega, koosta, sihivektor, võrrandid, heldena, taperson, teravnurk, nürinurk, täisnurk, punktiga, sihivektoriga, vektorit, üldvõrrand, lineaarvõrrandy (s2) (s1) Tõusva sirge (s1) tõus on positiivne : tan 1 > 0 (0 < < 90°); langeva sirge (s2) tõus on 2 negatiivne: 1 0 x tan 2 < 0 (90 ° < <180°); Kahe punktiga määratud sirge tõus Kui sirgelt on teada kaks punkti A(x1; y1) ja B(x2; y2), siis saab sirge tõusu leida valemiga y2 - y1 k= . x2 - x1 y Näide B Kui sirge läbib punkte A(3; 5) y2 ja B(-7; 0), siis sirge tõusuks y2 - y1 saame A
........................................................................................12 Relatiivne viga (suhteline viga)..........................................................................................12 Arvu tüvenumbrid...................................................................................................................12 Arvu standardkuju.................................................................................................................. 12 II Võrrandid ja võrratused.......................................................................................................... 12 Võrrandid................................................................................................................................12 Võrrandi samaväärsus.............................................................................................................13 Lineaarvõrrand............................................................................
· vektorite ristseisu ja kollineaarsuse tunnused; · joone võrrandi mõiste; · sirge võrrand tasandil; · kahe sirge vastastikused asendid; · ringjoone võrrand; · parabooli võrrand. Põhioskused · Tehete sooritamine vektoritega geomeetriliselt ja koordinaatkujul; · vektorite kasutamine geomeetriaülesannete lahendamisel; · sirge võrrandi koostamine, kui sirge on määratud punkti ja tõusuga, tõusu ja algordinaadiga, kahe punktiga, punkti ja sihivektoriga; · sirge tõusu määramine; · kahe sirge vahelise nurga arvutamine; · ringjoone ja parabooli võrrandite koostamine; · sirgete, ringjoonte ja paraboolide (kui selle telg on y-telg või y-teljega paralleelne sirge) joonestamine nende võrrandite järgi; · mistahes joone (ka funktsiooni graafiku) skitseerimine selle võrrandi järgi; · kahe joone lõikepunktide leidmine. Valemid · Lineaartehted vektoritega
Kui sirgjoon ei lõika x-telge, siis ta on x-teljega paralleelne ja tõusunurgaks loeme 0. Sirge y 2- y 1 tõusuks nimetatakse selle sirge tõusunurga tangensit. k = tan = x 2- x 1 Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand on y y1 k( x- x1 ). Tõusu ja algoordinaadiga määratud sirge võrrand y kx + b. Kahe punktiga määratud sirge võrrand on y- y 1 x - x1 x - x 1 y- y 1 = y 2- y 1 x 2- x1 Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand on sx = sy . Sirge üldvõrrand Ax By +C 0. k - k
a b = a b cos - Vektorite skalaarkorrutis a b = a1 b1 + a 2 b2 a1 b1 + a 2 b2 cos = a b - Nurk kahe vektori vahel 2. Sirge võrrandid y 2 - y1 k = tan = - Sirge tõus ja tõusunurk x 2 - x1 y - y1 = k ( x - x1 ) - Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand y = kx + b - Tõusu ja algordinaadiga määratud sirge võrrand
A C 39. Sirge üldvõrrand Ax + By + C = 0, kus sirge tõus k = ja algordinaat b = B B 40. Sirge üldvõrrandi uurimine: a) C = 0 , sirge läbib koordinaatide alguspunkti Ax+By=0 b) B = 0 , sirge on paralleelne y teljega Ax+C=0 x=a c) A = 0 , sirge on paralleelne x teljega By+C=0 y=b d) B = C = 0 , y telje võrrand x=0 e) A = C = 0 , x telje võrrand y=0 2 x y b 41. Sirge võrrand telglõikudes + = 1 kus sirge tõus k = a b a
A C 39. Sirge üldvõrrand Ax + By + C = 0, kus sirge tõus k = ja algordinaat b = B B 40. Sirge üldvõrrandi uurimine: a) C = 0 , sirge läbib koordinaatide alguspunkti Ax+By=0 b) B = 0 , sirge on paralleelne y teljega Ax+C=0 x=a c) A = 0 , sirge on paralleelne x teljega By+C=0 y=b d) B = C = 0 , y telje võrrand x=0 e) A = C = 0 , x telje võrrand y=0 2 x y b 41. Sirge võrrand telglõikudes + = 1 kus sirge tõus k = a b a
sirge langeks? Kuidas joonestatakse sirget, kui Nimetaja näitab liikumist x- tõus on murd? teljel ja lugeja y-teljel Millise nurga moodustab langev Nurga, mis on suurem kui 90º sirge? Kuidas koostatakse sirge Y=kx+b B=3;k=2 võrrand, kui teada on b=algordinaat y=2x+b algordinaat ja tõus? k=tõus Milline on kahe punktiga X-x1 = y-y1 määratud sirge võrrand? x2-x1 y2-y1 Kuidas koostatakse sirge y-y1=k(x-x1) A(3;2) k=5 võrrand, kui teada on üks punkt k=tõus y-2=5x-15 ja tõus? y=5x-13 y1; x1= punktid Milline on sirge võrrand X _ Y =1 telglõikudes
Vektori pikkus |u|= Kahe punkti vaheline kaugus AB= Nurk vektorite vahel cos= KOLMNURK Siinusteoreem Koosinusteoreem a2=b2+c2 -2bccos; b2=a2 + c2-2accos; c2=a2+b2-2abcos. Kolmurga pindala S= ; S=pr ; S=absin ; S= ; S= ; S= SIRGE VÕRRANDID Üldvõrrand - ax + by=c või ax + by +c =0 x-teljega paralleelne sirge y=a y-teljega paralleelne sirge x=b koordinaattelgede vahelise nurga poolitaja võrrand: I ja III veerand y=x; II ja IV veerand y=-x punktiga A(x1;y1) ja vektoriga v=(sx;sy) määratud sirge = punktidega A(x1;y1) ja B(x2;y2) määratud sirge punktidega A(a;0) ja B(0;b) ehk telglõikudes ,ääratud sirge punktiga A(x1;y1) ja tõusuga k määratud sirge y-y1 =k(x-x1) tõusuga k ja algordinaadiga b määratud sirge y=kx+b nurk sirgete y=k1x+b1 ja y=k2x+b2 vahel tan=||
üks külg ja kaks nurka või kaks külge ja ühe antud külje sin sin sin vastasnurk. Koosinusteoreem Teoreemi saab kasutada siis, kui on teada kolmnurga kolm külge või kaks külge ja nende- a2 b2 c 2 2bc cos vaheline nurk. b2 a2 c 2 2ac cos Kui külgede vaheline nurk on täisnurk, siis saame koosinusteoreemi erijuhuna Pythagorase c 2 a2 b2 2ab cos teoreemi. Märkus: kui kolmnurga lahendamisel tuleb leida kaks nurka, siis tuleb esmalt leida väiksem nurk (see asub lühema külje vastas) ja seejärel 180°-st lahutamise teel suurem nurk. © Allar Veelmaa 2014 20 10
samal teljel. Vektori AB a projektsiooniks teljel l nimetatakse arvu pr AB A B a . 1 1 Vektori projektsioon tuleb varustada plussmärgiga, kui komponentvektori suund langeb ühte telje suunaga ja miinusmärgiga, kui vektori komponent teljel on teljega vastassuunaline. Vektori projektsiooni omadused: võrdsete vektorite projektsioonid samale teljele on võrdsed; vektori korrutamisel arvuga korrutub sama arvuga ka tema projektsioon; vektorite summa projektsioon mingile teljele võrdub liidetavate vektorite projektsioonide summaga samal teljel; vektori projektsioon teljel võrdub selle vektori pikkuse ning vektori ja telje vahelise nurga
Sirge tõusuks nimetatakse selle sirge tõusunurga tangensit. y - y1 k = tan = 2 x 2 - x1 Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand: y - y1 = k ( x - x1 ) Algordinaat sirge ja y-telje lõikepunkti y-koordinaat. Tõusu ja algordinaadiga määratud sirge võrrand: y = kx + b Kahe punktiga määratud sirge võrrand: y - y1 x - x1 = y 2 - y1 x 2 - x1 Sirge võrrand telglõikudes: x y + =1 a b y-teljega paralleelse sirge võrrand on x = a x-teljega paralleelse sirge võrrand on y = b Sirge sihivektoriks nimetatakse iga vektorit, mille siht langeb kokku sirge sihiga. Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand: x - x1 y - y1 = sx sy Nurk kahe sirge vahel: k1 - k 2 tan = 1 + k1 k 2 Paralleelsete sirgete tõusud on võrdsed
20. Vektorite kollineaarsuse, ristseisu ja komplanaarsuse tunnused. Kollineaarsuse tunnused: · Vektorite vastavate koordinaatide korrutised on võrdsed. · Vektorkorrutis on 0 ja kumbki vektor ei ole 0-vektor. · Skalaarkorrutis võrdub vektorite pikkuste korrutisega. Ristseisu tunnused: · Skalaarkorrutis on 0 · Vektorkorrutis võrdub vektorite pikkuste korrutistega. Komplanaarsuse tunnused: · Segakorrutis on 0 21. Sirge sihivektor. Sirge tõus. Sirge võrrand tasandil (kanooniline võrrand, üldvõrrand, võrrand tõusu ja algordinaadi abil). Sirge sihivektoriks nim selle sirge mis tahes kahe punktiga määratud vektorit või sellega samasihilist vektorit. Suund ja pikkus pole olulised. Sirge võrrand tasandil: Kanooniline võrrand - ehk - sirge s kanooniline võrrand tasandil või ka sirge võrrand sihivektrori ja punkti järgi.
Sirge tõusunurgaks nimetatakse nurka (alfa), mis on x-telje positiivse suuna ja sirge vahel. Sirge tõusuks nimetatakse suurust tan(alfa). Sirge algordinaadiks nimetatakse ordinaadi väärtust, kus sirge lõikab y-telge. Sirge võrrand kahe puntki abil: x-x1 / x2-x1 = y-y1 / y2-y1 Sirge võrrand ühe punkti ja sihivektoriga: x-x1 / s1 = y-y1 / s2 Sirge võrrand punkti ja tõusuga: y-y1 = k(x-x1) Sirge võrrand tõusu ja algordinaadiga: y = kx + b Ühel sirgel on lõpmata palju sihivektoreid. Teame järgnevaid sirge määramise viise: kahe punkti abil, punkti ja sihivekotriga, punkti ja tõusuga, tõusu ja algordinaadiga. Sirge on omavahel risti kui nende tõusude korrutis on -1, s.t. k1 * k2 = -1. N: 12x 3y = 0; 2x + 8y 9 = 0 s1(3;12) s2(-8;2) s1*s2=3*(-8)+12*2=0 Sirge üldvõrrand: ax + by + c = 0 => s(prim) = (-b; a) Kahe sirge vastastikused asendid: s: a1x + b1y + c1 = 0 t: a2x + b2y + c2 = 0 I ühtivad: a1/a2=b1/b2=c1/c2 II paralleelsed: a1/a2=b1/b2
S = p ( p - a )( p -b)( p -c ) , S= 4R kus r on kolmnurga siseringjoone raadius ja R ümberringjoone raadius. SIRGE VÕRRANDID 51. Üldvõrrand ax+by=c või ax+by+c = 0. 52. x-teljega paralleelne sirge y=a. 53. y-teljega paralleelne sirge x=b. 54. Koordinaattelgede vahelise nurga poolitaja võrrand: I ja III veerand y=x; II ja IV veerand y= -x. 55. Punktiga A( x1 ; y1 ) ja vektoriga v =( s x ; s y ) määratud sirge x - x1 y - y1 = sx sy 56. Punktidega A( x1 ; y1 ) ja B ( x 2 ; y 2 ) määratud sirge y - y1 x - x1 = y 2 - y1 x 2 - x1 57. Punktidega >A(a;0) ja B(0; b) ehk telgiõikudes määratud sirge x y + =1 a b 58. Punktiga A( x1 ; y1 ) ja tõusuga k määratud sirge y - y1 = k ( x - x1 ) 59. Tõusuga k ja algordinaadiga b määratud sirge y = kx + b 60
S = p ( p - a )( p -b)( p -c ) , S= 4R kus r on kolmnurga siseringjoone raadius ja R ümberringjoone raadius. SIRGE VÕRRANDID 51. Üldvõrrand ax+by=c või ax+by+c = 0. 52. x-teljega paralleelne sirge y=a. 53. y-teljega paralleelne sirge x=b. 54. Koordinaattelgede vahelise nurga poolitaja võrrand: I ja III veerand y=x; II ja IV veerand y= -x. 55. Punktiga A( x1 ; y1 ) ja vektoriga v =( s x ; s y ) määratud sirge x - x1 y - y1 = sx sy 56. Punktidega A( x1 ; y1 ) ja B ( x 2 ; y 2 ) määratud sirge y - y1 x - x1 = y 2 - y1 x 2 - x1 57. Punktidega >A(a;0) ja B(0; b) ehk telgiõikudes määratud sirge x y + =1 a b 58. Punktiga A( x1 ; y1 ) ja tõusuga k määratud sirge y - y1 = k ( x - x1 ) 59. Tõusuga k ja algordinaadiga b määratud sirge y = kx + b 60
sin = cos , cos = sin , 1 tan = = cot , tan 1 tan = = cot , kui + = . tan 2 Kui on antud teravnurk , siis selle täiendusnurk on - ja kehtivad valemid: 2 17 sin - = cos , 2 cos - = sin , 2 1
Sfäär on teist järku pind, sest selle võrrandis esinevad tundmatud on teisel astmel.Võrdust F(x,y)=0 nim joone L võrrandiks antud koordinaatide süsteemis tasandil, kui teda rahuldavad joone L kõikide punktide koordinaadid ja ainult need. Näiteks ringjoon raadiusega r ja keskpunktiga C(a,b) on niisuguste punktide hulk, millised rahuldavad tingimust |CM|=r, kus M(x;y) on ringjoone meelevaldne punkt. Niisuguse ringjoone võrrand on (x-a)² + (y-b)² = r² Joonte parameetrilised võrrandid Joone parameetrilisteks võrranditeks ruumis nim võrandeid kujul x=x(t) y=y(t) z=z(t) kui esimene võrrand esitab x-i t-funktsioonina, teine võrrand esitab y-i ja kolmas z-i muutuja funktsioonina. Muutujat t nim parametriks. Tasandil nim joone parameetrilisteks võrranditeks võrrandeid x=x(t) y=y(t) Sirge parameetrilised võrrandid Sirge on täielikult määratud kui on teada nullist erinev sirgega paralleelne vektor, nn sirge sihivektor s ja üks punkt M1 sirgel
Kitsas matemaatikas peab kolmanda kursuse lõpetaja oskama selgitada vektori mõistet ja selle koordinaate; liitma ja lahutama vektoreid ning korrutama vektoreid arvuga nii geomeetriliselt kui ka koordinaatkujul; arvutama vektori pikkust; leidma vektorite skalaarkorrutist ning tundma vektorite ristseisu ja kollineaarsuse tunnuseid. Õpilane koostab sirge võrrandi, kui sirge on määratud punkti ja tõusuga, tõusu ja algordinaadiga või kahe punktiga ning määrab sirgete vastastikuse asendi ja leiab vajadusel nende lõikepunkti. Õpilane tunneb ja joonestab sirgeid, paraboole ja ringjooni nende võrrandite järgi ning koostab ringjoone võrrandi keskpunkti ja raadiuse järgi. Samuti peab õpilane oskama leida joonte lõikepunkte, kui üks joontest on sirge, ja lahendama rakendusliku sisuga ülesandeid vektorite ja joonte võrrandite abil. Laias kursuses peab õpilane lisaks eelnevale selgitama ka kahe vektori vahelist nurka,
1 tan cot , tan 1 tan cot , kui + = . tan 2 Kui on antud teravnurk , siis selle täiendusnurk on ja kehtivad valemid: 2 17 sin cos , 2 cos sin ,
kolmele ühest punktist väljuvale vektorile ehitatud rööptahuka ruumala V on võrdne nende vektorite segakorrutise absoluutväärtusega. 20. Vektorite kollineaarsuse, ristseisu ja komplanaarsuse tunnused. Kaks vektorit on kollineaarsed (a|| b), kui vektorkorrutis on 0 ( = || || sin 0°/180° = 0) Kaks vektorit asetsevad risti ( ), kui skalaarkorrutis on 0 ( = || || cos 90° = 0) Kaks vektorit on komplanaarsed, kui segakorrutis on 0 ((a × b)c = 0) 21. Sirge sihivektor. Sirge tõus. Sirge võrrand tasandil (kanooniline võrrand, üldvõrrand, võrrand tõusu ja algordinaadi abil). Sirge sihivektoriks nimetatakse selle sirge mis tahes kahe punktiga määratud vektorit või sellega samasihilist vektorit. Suund ja pikkus pole olulised. Kui sirge s on määratud punktidega A(x1 ; y1 ) ja B(x2 ; y2 ), siis selle sirge sihivektoriks on iga (nullvektorist erinev) vektor s, mis on samasihiline (kollineaarne) vektoriga AB
b · Arv, millest b moodustab p% on 100 p a · Arv a on arvust b 100 % b b-a · Arv b on arvust a suurem 100 % a b-a · Arv a on arvust b väiksem 100 % b 2. Võrrandid ja võrratused b · Lineaarvõrrand ax + b = 0 x=- a 2 p p x 2 + px + q = 0 x 1;2 = - ± -q 2 2
a-n = 1/an a0 = 1 a1 = a 2. Lihtsustamine Abivalemid (a+b)2 = a2+2ab+b2 (a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3 (a-b)2 = a2-2ab+b2 a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2) a2-b2 = (a+b)(a-b) a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2) (a+b)3 = a3+a2b+ab2+b3 (b-a) = -(a-b) 3. Võrrandid ja võrrandisüsteemid Lineaarvõrrand Muutujaga liikmed ühele, vabaliikmed teisele poole. Näide: 2(x+2) + 3 = 5x -2 -> 2x + 4 + 3 = 5x 1 -> -3x = -9|:(-3) -> x=3 Ruutvõrrand Erinevad lahendusvõtted: ax2 +bx+c=0 1) Klassikaline lahendivalem 2) Taandatud võrrandi lahendivalem x2+px+q=0 (ruutliikme kordaja peab olema a=1) 3) Viete'i teoreem
maatriksi astak on võrdne laiendatud maatriksi astakuga 72.Teoreem LVS-i lahendite arvust – LVS-i üldlahend on selline parameetritest sõltuv lahend, mis rahuldab järgmist tingimust: parameetritele arvuliste väärtuste omistamise teel on võimalik saada ainult antud LVS.i kõiki lahendeid. LVS-i lahendid, mis on saadud üldlahendist parameetritele ( kõigile või osale parameetritest) arvuliste väärtuste omistamise teel, nimetatakse antud LVSi erilahendiks. 73. Sirge võrrandid tasandil ja ruumis Sirge võrrand tasandil ruumis Parameetrilised võrrandid x ¿ s 1 t+ x0 { x ¿ s 1 t+ x0 koordinaatidest s: y ¿ s2 t + y0 S: { y ¿ s2 t + y 0 z ¿ s 3 t+ z 0
Absoluutväärtust sisaldavad 5. Ligikaudne arvutamine võrratused/võrranid x = a ( ± a ) 22. Trigonomeetria sin 2 + cos 2 = 1 6. Suhteline e. relatiivne viga a sin S = tan = a cos 7. Võrrandid ja võrratused(lineaar, ruut, 1 1 + tan 2 = murd) cos 8. Parameetrit sisaldavad võrratused(peale Phytagorase teoreem a2+b2=c2 otsitava x veel täheline suurus) Täiendusnurga valemid 9. Biruutvõrrand sin = cos( 90° - )
Kordamine III(sirge, ringjoon, parabool, vektor) 1. On antud kolmnurk tippudega A(1;2), B(4;3) ja C(2;5). Leidke sirgete AB ja AC võrrandid ning lõikepunktid koordinaattelgedega; 2) Leidke läbi tipu C joonestatud küljega AB paralleelse sirge võrrand; 3) Leidke läbi tipu C joonestatud küljega AB ristuva sirge tõus. 2. Lõik otspunktidega on ringjoone diameetriks. Leidke: 1) ringjoone võrrand; 2) sellele ringjoonele punktides (2,5; 4,5) ja (0;2) joonestatud puutujate võrrandid ja nende puutujate lõikepunkt. 3
Liitfunktsioon koosneb sisemisest- ja välimisest funktsioonist. Liitfunktsiooni tuletis on võrdne välisfunktsiooni tuletisega sisemise funktsiooni kohal, mis on korrutatud sisemise funktsiooni tuletisega. [f(x)]´=f´(g(x)) x (g(x))´ sinx´=cosx cosx´=-sinx tanx´=1/cos²x cotx´=-1/sin²x X x x x x (loga)´=1/xlna (a)´= a x lna e=e (lnx)´ =1/x Puutujatõus ja puutujavõrrand tõusunurk I ja III sirge on teravnurk II ja IV sirge on nürinurk k - tan on tõus. Tõusunurga tangens k=tan =y2-y1/x2-x1 Joonepuutujaks nimetatakse lõikaja piiriasendit, kui lõikaja pöörleb läbides seda punkti ja punkt B läheneb punktile A mööda joont. Lõikaja AB pöörlemist ümber P saab puutujaks P(x0;y0)-puutepunkt tan= y/x k=y´ y-y0=f´(x0)(x-x0) k=f´(x0) Puutujavõrrandi leidmiseks on vaja leida puutujapunkt ja puutujatõus ning kasutada kimbuvõrrandit. Funktsiooni kasvamis-ja kahanemispiirkonna leidmine tuletise abil.
3.6 Murdvõrrandite koostamine 3.7 Juurvõrrandid Võrrandit, milles tundmatu esineb juuritavas, nimetatakse juurvõrrandiks (e irratsionaalvõrrandiks). Juurvõrrandi lahendamisel peame kasutama veel ühte teisendust, nimelt võrrandi mõlema poole asendamist ühe ja sama naturaalarvuga. Nt. Võrrandi poolte astendamisel paarisarvulise astendajaga võib tekkida võõrlahendeid. Nende elimineerimiseks tuleb juurvõrrandi lahendeid alati kontrollida lähtevõrrandis. 3.8 Diofantilised võrrandid Diofantiliseks võrrandiks nimetatakse mitme tundmatuga võrrandit, mille korral nõutakse vaid täisarvuliste lahendite leidmist. Lineaarse kahe tundmatuga diofantilise võrrandi üldkuju on ax+by=c, kus a0, b0 ja a, b, c on täisarvud. 3.9 Parameetrit sisaldavad võrrandid Võrrandit ax=3 saab vaadelda ka kui ühe tundmatuga võrrandit, kus a on mingi konstant. Sel juhul on see võrrand parameetrit sisaldav võrrand
Sirged ja tasandid Kordamine Sirge kanoonilised võrrandid: Antud on 2 sirge punkti A( x1 ; y1 ; z1 ) ja x - x1 = y - y1 = z - z1
- x y z kui on vasaku käe kolmik 3)segakorrutamine oleneb vektorite järjekorrast järgmiselt: = =- 4) kehtivad valemid: ( x1 + x2 ) yz = x1 yz + x2 yz x ( y1 + y2 ) z = xy1 z + xy2 z x y ( z1 + z 2 ) = x yz1 + x yz 2 (x ) yz = x(y) z = xy(z) =( xyz) Segakorrutise koordinaadid parema käe ristkoordinaatide kaudu: SIRGE VÕRRAND:Sirge võrrandid: Poolus suvaline punkt O E Punkti kohavektor pooluse O suhtes - nimetatakse vektorit OX Joonis: Vektorite liitmise definitsiooni kohaselt OX =OA +AX. Tähistame sirge s fikseeritud punkti A ning suvalise punkti X kohavektoreid edaspidi lühemalt: a :=OA, :=OX. Sirge sihivektor Sirge sihivektoriks nimetatakse sirge suvalise 2 erineva punkti poolt määratud vektorit. Sirge s sihivektori tähiseks on s. Teisiti öeldes
Avaldis koordinaatides: (vaata üles puule). 19. Vektorite kollineaarsuse, ristseisu ja komplanaarsuse tunnused. Vektorite kollineaarsuse tunnus: 1) Vektorite vastavate koordinaatide korrutised on vôrdsed 2) Vektorkorrutis on 0 ja kumbki vektor ei ole 0-vektor 3) Skalaarkorrutis vôrdub vektorite pikkuste korrutisega. Vektorite ristseisu tunnus: 1) Skalaarkorrutis on 0 2) Vektorkorrutis vôrdub vektorite pikkuste korrutisega Vektorite komplanaarsuse tunnus: Segakorrutis on 0 20. Sirge sihivektor. Sirge võrrand tasandil. Sirge tõus. Sirge sihivektor sirge sihiline vektor (suund ja pikkus pole olulised). Sirge vôrrand tasandil: Ax + Bx + C = 0; (x x2) / (x2 x1) = (y y2) / (y2 y1); y y1 = k(x x1); y = kx + b; (x x1) / sx = (y y1) / sy. Sirge tôus k = tan = f'(x) ( on nurk sirge ja x-telje pos. suuna vahel.) 21. Sirge kanoonilised ja parameetrilised x = svõrrandid ruumis. Kahe sirge vastastikused asendid.
sin2 + cos2 = 1 tan = sin /cos 1+tan2 = 1/cos2 sin2 = 1 cos2 sin = tan *cos cos2 = 1/tan2 +1 cos2 = 1 sin2 cos = sin /tan cos2 1 = - sin2 cot = cos /sin cot =1/tan sin2 1 = - cos2 cos = cot *sin tan *cot =1 sin = cos /cot 1+cot2 = 1/sin2 sin = cos (90o ) sin = vastas kaatet/hüpotenuus cos = sin (90o ) cos = lähis kaatet/hüpotenuus tan = 1/tan (90o ) tan = vastas kaatet/lähis kaatet cot =tan (90o ) cot = lähis kaatet/vastas kaatet tan = cot (90o ) Kolmnurga pindala Koosinusteoreem Siinusteoreem S=a*h/2 a2=b2+c2-2bc*cos a/sin=b/sin=c/sin=2R S=1/2a*b*
tema maatriksi astak võrdub laiendatud maatriksi astakuga. Teoreem LVS-i lahendite arvust Olgu LVS-i maatriksiks A ja süsteemi laiendatud maatriksiks B ja olgu LVSis tundmatute arvuks n. 1. Kui rank(A) ≠ rank(B), siis LVSil ei ole lahendeid. 2. Kui rank(A) = rank(B) = n, siis on LVSil ühene lahend. 3. Kui rank(A) = rank(B) < n, siis on LVSil lõpmata palju lahendeid. 8 Sirge sihivektor sirgel fikseeritakse üks punkt ja nullvektorist erineva vektori abil antakse sirge siht. Seda vektorit nimetatakse sirge sihivektoriks Sirge normaalvektor Vektorit n = (A1, A2) nimetatakse sirge s : A1x + A2y + A3 = 0 normaalvektoriks. Sirge parameetriline vektorvõrrand Sirge parameetrilised võrrandid koordinaatides Sirge kanoonilised võrrandid Sirge üldvõrrand Sirgetaandatud võrrand Sirge tõus Sirge algordinaat Sirge võrrand telglõikudes
annaabi.ee 
