x1;2 = - ± -q 2 4 12. Taandamata ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendivalem - b ± b 2 - 4ac x1;2 = 2a 13. Ruutkolmliikme ax2 + bx + c tegurdamine ax + bx + c = a( x - x1 )( x - x2 ) 2 14. Ruudu ümbermõõt ja pindala P = 4a S = a2 15. Ristküliku ümbermõõt ja pindala P = 2(a + b) S = ab 16. Kolmnurga sisenurkade summa S = 180° 17. Kolmnurga pindala ah
Ruutfunktsioon ja 19. 27. 09. 06 Taandamata ruutvõrrand 2) 37 (11, 14, 16, 21, 20, 26,33,41) ruutvõrrand. Ruutvõrrandi diskriminant. Ruutkolmliige. Ruutfunktsioon ja Ruutvõrrandi diskriminant. Ruutkolmliikme tegurdamise 1) lk 69, ül 247 20. 28. 09. 06 ruutvõrrand. Ruutkolmliikme tegurdamine. valem: 1) lk 70-72 ax2+ bx + c = = a(x x1)(x x2) Ruutfunktsioon ja 21. 28. 09
abimuutujat x = y . Saadakse uus võrrand ay + by + c = 0 , mille lahendid on y1 ja y2 . 2 2 Paigutades y positiivsed väärtused võrdusesse x = y , saame 2 x = ± y1 1) x = y1 , millest 1,2 2 ; x = ± y2 2) x = y2 , millest 3,4 2 . 2.6 FMACROBUTTON MTEditEquationSection2 Ruutkolmliikme teguriteks lahutamine x 2 + px + q = ( x - x1 ) ( x - x2 ) , milles x1 , x 2 on ruutkolmliikme nullkohad (vastava ruutvõrrandi x + px + q = 0 2 lahendid). ax 2 + bx + c = a ( x - x1 ) ( x - x2 ) , on ruutkolmliikme nullkohad (vastava ruutvõrrandi ax + bx + c = 0
Näide: 4 x 2 9 2 x 3 2 x 3 (2) a3 + b3 = (a + b)( a2 - ab + b2) (3) a3 – b3 = (a - b)( a2 + ab + b2) Näide: 125a 3 8b3 5a 2b 25a 2 10ab 4b 2 (4) a – b = a b = 2 2 a b a b c) Ruutkolmliikme lahutamine teguriteks ax2 + bx + c = a(x - x1) (x - x2), milles x1 ja x2 on ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendid. 2 Näide: Tegurdame ruutkolmliikme 4x² - 17x + 4. Lahendame ruutvõrrandi 4x² - 17x + 4 = 0, milleks kasutame ruutvõrrandi lahendivalemit b b 2 4ac x1,2 = . 2a 17 17 2 4 4 4 17 225 17 15
võrdkülgne kolmnurk P= 3a (a + b)·(a - b) = a2 - b2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 Tegurdamine: ax2 + bx = x(ax + b) Pythagorase teoreem täisnurkne kolmnurk P= a+b+c ax2 + bx + c = a(x - x1)·(x - x2), kus x1 ja x2 on ruutkolmliikme nullkohad a² + b² = c² Kesklõik Võrrandite lahendamine trapets P= a+b+c+d a+ b S= k··h k= ax2 + bx + c = 0 2
· Ruutvõrrand 2 p p x + px + q = 0 x 1;2 = - ± - q 2 2 2 x 1 + x 2 = -p ja x 1 x 2 = q ( Viete´i valemid) - b ± b 2 - 4ac ax 2 + bx + c = 0 x 1;2 = 2a ax + bx + c = a ( x - x 1 )( x - x 2 ) ( ruutkolmliikme tegureiks lahutamine) 2 P( x ) · Murdvõrrand = 0 P( x ) = 0 ja Q( x ) 0 Q( x ) A1x + B1 y = C1 · Lineaarvõrrandisüsteem A 2 x + B2 y = C2 A 1 B1 üks lahend A 2 B2
=1 x 0 x x lim r r 1 + = e x x lim tan x =1 x 0 x lim Kui funktsioon y = f(x) on pidev kohal x=a, siis f ( x) = f (a) x a Tegurdamine: 1. Sulgude ette toomine 2. Korrutamise abivalemid a2 b2 = (a + b)(a - b) a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ab + b2) 3. Rühmitamine 4. Ruutkolmliikme tegurdamine ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)
a -n b n an : am = an-m (an )m = anm = b a Korrutamise abivalemid (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 , (a ± b)3 = a3 ± 3a2 b + 3ab2 b3 , a2 - b2 = (a + b)(a - b), a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ab + b2 ). Ruutkolmliikme lahutamine tegureiks Kui v~orrand ax2 + bx + c = 0 on lahenduv ja lahendid on -b ± b2 - 4ac x1,2 = , 2a siis vastav ruutkolmliige ax2 + bx + c lahutub lineaartegurite korrutiseks ax2 + bx + c = a(x - x1 )(x - x2 ).
Raudvara 2.peatükk 1. Tegurdamine - - Tegurdamine Avaldise muutmine korrutiseks. 1.Teguri toomine sulgude ette. 2. Valemite kasutamine. ( (a+b2) = a2 + 2ab +b2 / (a + b)((a b) = a2 - b2 3. Ruutkolmliikme tegurdamine. ( ax2 +bx+c = a(x-x1)(x-x2) ) 4. Rühmitamisvõte. - Avaldise teisendamine tähendab avaldise võimalikult lihtsa või meile sobiva kuju andmine. - Võrdust, mille poolteks on võrdsed avaldised nim. samasuseks. Näide: 2. Arvulise murru taandamine - Taandamine-murru lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama nullist erineva avaldisega * tegurdatakse murru lugeja ja nimetaja; * taandatakse arvulised tegurid * taandatakse muutujat sisaldavad võrdsed tegurid.
Võrdsete alustega astmete Võrdsete alustega astmete Korrutise Jagatise Astme korrutis jagatis aste aste aste Korrutamise ja tegurdamise valemid (a + b)·(a - b) = a2 - b2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 Tegurdamine: ax2 + bx = x(ax + b) ax + bx + c = a(x - x1)·(x - x2), kus x1 ja x2 on ruutkolmliikme nullkohad 2 Võrrandite lahendamine ax2 + bx + c = 0 x2 + px + q = 0
TEHTED ALGEBRALISTE MURDUDEGA TEGURDAMINE - esita hulkliige korrutisena I ühise teguri sulu ette toomine 2a + 6abc = 2a(1 + 3bc) NB! „ -1” ette: a -1 = - (-a + 1)= -(1 – a); -a – 1= - (a + 1); a + 1= - (-a – 1) II valemid: 1. a 2 – b 2 = (a – b)(a + b) 2. a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 = (-a - b) 2 3. a 2 – 2ab + b 2 = (a – b) 2 = (b - a) 2 III rühmitamine IV ruutkolmliikme tegurdamine st. lahenda vastav ruutvõrrand ax 2 + bx + c = 0 b b 2 4ac lahendivalemiga x1; 2 2a ja pane lahendid vastandarvudena sulgudesse - ax 2 + bx + c = a( x - x1 )(x - x 2 ) V kui muud ei saa, pane hulkliikmele lihtsalt sulud ümber (kui on + või – märke) 2 – a = ( 2 – a)
TEHTED ALGEBRALISTE MURDUDEGA TEGURDAMINE - esita hulkliige korrutisena I ühise teguri sulu ette toomine 2a + 6abc = 2a(1 + 3bc) NB! ,, -1" ette: a -1 = - (-a + 1)= -(1 a); -a 1= - (a + 1); a + 1= - (-a 1) II valemid: 1. a 2 b 2 = (a b)(a + b) 2. a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 = (-a - b) 2 3. a 2 2ab + b 2 = (a b) 2 = (b - a) 2 III rühmitamine IV ruutkolmliikme tegurdamine st. lahenda vastav ruutvõrrand ax 2 + bx + c = 0 b b 2 4ac lahendivalemiga x1; 2 2a ja pane lahendid vastandarvudena sulgudesse - ax 2 + bx + c = a( x - x1 )(x - x 2 ) V kui muud ei saa, pane hulkliikmele lihtsalt sulud ümber (kui on + või märke) 2 a = ( 2 a) TAANDAMINE- murru lugeja ja nimetaja jagamine ühiste teguritega
P=4a; S= a2 d =a 2 a a Ruutvõrrand Ruutkolmliikme tegurdamine Ristkülik 2 a ax 2 + bx = 0 ⇒ x(ax + b) = 0 ⇒ x1 = 0, x2 = − ba ax +bx+c=a(x-x1)(x-x2) P = 2 (a + b)
(a-b)²=a²-2ab+b² - vahe ruudu valem a³+b³=(a+b)(a² -ab+b²) - kuupide summa valem a³-b³=(a-b)(a² +ab+b²) - kuupide vahe valem (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ - summa kuubi valem (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³ - vahe kuubi valem RUUTVÕRRAND x2 + px + q = 0 - taandatud ruutvõrand ; lahend ax2 + bx + c = 0 taandamata ruutvõrrand ; lahend x1 + x2 = -p ; x1 · x2 = q - viete valemid. Kus x1 ja x2 on taandatud ruutvõrrandi lahendid. ax2 + bx + c ( ruutkolmliikme lahutamine teguriteks) : ax2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2). x1 ja x2 ruutvõrrandi lahendid. DETERMINANDID = a ·d - c·b. = aei + cdh +bfg gec ahf dbi. TRIGONOMEETRIA PÕHISEOSED sin2 + cos2 = 1 1 + cot2 a = tan = tan a cot a =1 1+ tan2 a = TÄIENDUSNURGA VALEMID sin (90 - a) =cos a cos (90 - a) = sin a tan (90 - a) = 1/tan a = cot a cot (90 - a) = 1/cot a = tan a NEGATIIVSE NURGA SIINUS,KOOSINUS,TANGENS JA KOOTANGENS. sin (- a) = -sin a cos (- a) = cos a
Kui on tegemist astmetega, tuleb ühisesse nimetajasse suurima astendajaga tegur. 3) Abivalemeid: ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2 ( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ( a - b ) 2 = a 2 - 2ab + b 2 a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 - ab + b 2 ) a 3 - b 3 = ( a - b ) ( a 2 + ab + b 2 ) 4) Ruutkolmliikme lahutamist teguriteks: ax + bx + c = a( x - x1 )( x - x 2 ) 2 Ruutvõrrandi lahendivalem - b ± b 2 - 4ac x= 2a 5) Seoseid astmete ja astendajate kohta: 1 a m a n = a m+n a0 = 1 a -m = m a a m : a n = a m-n a1 = a m a n = n am ( ) n a m = a m n 6) Rühmitamist: = = =
5(6p). Monopolisti toodangule on nõudlusfunktsioon P = 3 Q 1/2 ja tema toodangufunktsioon on Q = (L K) 2/3, kusjuures tööjõud L on hinnamääraga w ning kapitalimahutused K hinnamääraga r. a) Leida L * ja K *, mille korral kasum on maksimaalne. b) Kontrollida Hesse maatriksi tingimusi. c) Tehke L * analüüsi r suhtes. Vihjed/vastused 1. Marginaalkulu on MC = dC/dq, selle muutumist a suhtes iseloomustab tuletis dMC/da. Mittenegatiivsus tähendab ruutkolmliikme mittenegatiivsust (uurida diskriminanti), saame, et a > 1. Juhul a = ¾ saame MC = (9/4) q 2 + 6 q + 3, see on ruutparabool. 2. Lahendasime loengus, y' = (1 / (ln a - ln x ) ))'. 3. Tähtis tasakaaluvõrrand on S n + 1 = D n + 1 , kuhu asendatakse nõudlusfunktsioon ja pakkumisfunktsioon. Tähiseid K, L, A, jne loengust ei saa siin kasutada ! Asendades saadakse diferentsvõrrand muutujate p n (mõelge x-le) ja p n+1 (mõelge y-le) suhtes
algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Arvutamise abivalemid. 1. (a b) 2 a 2 2ab b 2 . 2. (a b) 2 a 2 2ab b 2 . 3. (a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b3 . 4. (a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b3 . 5. a 2 b 2 (a b)(a b). 6. a 3 b3 (a b)(a 2 ab b 2 ). 7. a 3 b3 (a b)(a 2 ab b 2 ). algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Ruutkolmliikme lahutamine tegureiks. Kui võrrand ax 2 bx c 0 on lahenduv (lahendid x1 ja x2), siis vastav ruutkolmliige ax 2 bx c lahutub lineaartegurite korrutiseks: ax 2 bx c a( x x1 )( x x2 ). Näide Et ruutvõrrandi 3x 2 8 x 3 0 lahendid on 1/3 ja 3, siis 3x 2 8 x 3 3( x 1 / 3)( x 3) (3x 1)( x 3). algusesse eelmine slaid esitluse lõpp
P=4a; S= a2 d =a 2 a a Ruutvõrrand Ruutkolmliikme tegurdamine Ristkülik 2 a ax 2 + bx = 0 x(ax + b) = 0 x1 = 0, x2 = - ba ax +bx+c=a(x-x1)(x-x2) P = 2 (a + b)
2 2 26. Taandamata ruutvõrrand ax 2 + bx + c = 0 , a 1 - b ± b 2 - 4ac 27. Võrrandi ax2 + bx + c = 0 lahend on valem x1; 2 = 2a 28. Viete'i valemid x1 + x 2 = - p ja x1 x2 = q , kus x1 ja x2 on taandatud ruutvõrrandi lahendid. 29. Ruutkolmliikme ax2 + bx+ c lahutamine teguriteks ax 2 + bx + c = a( x - x1 )( x - x 2 ) , kus x1 ja x2 on vastava ruutvõrrandi lahendid. DETERMINANDID a b 30. Kaherealine determinant = a d -c b c d a b c 31. Kolmerealine determinant d e f = aei + cdh +bfg - gec - ahf - dbi
2 2 26. Taandamata ruutvõrrand ax 2 + bx + c = 0 , a 1 - b ± b 2 - 4ac 27. Võrrandi ax2 + bx + c = 0 lahend on valem x1; 2 = 2a 28. Viete'i valemid x1 + x 2 = - p ja x1 x2 = q , kus x1 ja x2 on taandatud ruutvõrrandi lahendid. 29. Ruutkolmliikme ax2 + bx+ c lahutamine teguriteks ax 2 + bx + c = a( x - x1 )( x - x 2 ) , kus x1 ja x2 on vastava ruutvõrrandi lahendid. DETERMINANDID a b 30. Kaherealine determinant = a d -c b c d a b c 31. Kolmerealine determinant d e f = aei + cdh +bfg - gec - ahf - dbi
3.4 Korrutamise abivalemid …………………………………………….. 17 3.5 Hulkliikme lahutamine teguriteks …………………………………... 17 3.6 Näited algebraliste avaldiste teisendamisest ………………………… 18 3.7 Lineaarvõrrand ……………………………………………………… 22 3.8 Ruutvõrrand ……………………………………………………...… 23 3.9 Ruutkolmliikme teguriteks lahutamine …………………………….. 23 3.10 Näiteid lineaarvõrrandite ja ruutvõrrandite lahendamisest ning ruutkolmliikmete teguriteks lahutamisest ……………………..….… 24 3.11 Determinandid …………………………………………………..….. 27 3.12 Lineaarvõrrandisüsteem ……………………………………….….… 27 3.13 Näited lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisest ……………..……. 28 3
x 2 + px + q = 0 x1 + x2 = - p ja x1 x2 = q (Viète´i valemid) 9 Biruutvõrrand Biruutvõrrandi üldkuju on ax 4 + bx 2 + c = 0 . Lahendamiseks kasutatakse abimuutujat x = y . Saadakse uus võrrand ay 2 + by + c = 0 , mille lahendid on y1 ja y2 . Paigutades y 2 positiivsed väärtused võrdusesse x 2 = y , saame 1) x 2 = y1 , millest x1,2 = ± y1 ; 2) x 2 = y2 , millest x3,4 = ± y2 . 2.6 Ruutkolmliikme teguriteks lahutamine x 2 + px + q = ( x - x1 ) ( x - x2 ) , milles x1 , x 2 on ruutkolmliikme nullkohad (vastava ruutvõrrandi x 2 + px + q = 0 lahendid). ax 2 + bx + c = a ( x - x1 ) ( x - x2 ) , milles x1 , x 2 on ruutkolmliikme nullkohad (vastava ruutvõrrandi ax 2 + bx + c = 0 lahendid). 2.7 Determinandid Teist järku determinandi väärtuse arvutamise eeskiri: a11 a12
1 + 4; y = 5. Ka punkt B läbib antud ruutfunktsiooni. 3. Leia lineaarliikme kordaja b väärtus, kui ruutfunktsiooni y = 3x 2 bx + 4 graafik läbib punkti A( 2; 2). Lahendus: Siin tuleb muutujate x ja y asemel panna vastavad väärtused ehk x = 2 ja y = 2. Saame 2 = 3 . (2)2 b . (2) + 4; 2 = 12 + 2b + 4; 2b = 10; b = 5. Vastus: b = 5 Ratsionaalavaldised ja murdvõrrandid Ruutkolmliikme tegurdamine 1. Tegurda ruutkolmliige x2 x 30. Lahendus: Kõigepealt leiame antud ruutkolmliikme nullkohad. Selleks lahendame ruutvõrrandi x2 x 30 = 0. Siis saame: x 2 x 30 0; x 0,5 0,5 2 30 ; x 0,5 30,25 ; x 0,5 5,5; x 1 0,5 5,5 6; x 2 0,5 5,5 5. Võrduse ax2 + bx + c = a(x x1)(x x2) järgi saame tulemuseks, et x2 x 30 = (x 6)(x + 5) 2. Tegurda ruutkolmliige 2x2 5x 3. Lahendus:
x +3 3x - 3 x+2 FUNKTSIOONI PIIRVÄÄRTUSE ARVUTAMINE Tülikas ja aeganõudev on funktsiooni piirväärtust leida, arvutades funktsiooni väärtusi selle koha ümbruses. Piirväärtuse arvutamiseks kasutatakse tavaliselt funktsiooni piirväärtuse omadusi ning mitmesuguseid avaldiste lihtsustamise võtteid. Need on ühise teguri sulgude ette toomine, summa ja vahe ruutude ning kuupide abivalemeid, ruutkolmliikme teisendamine korrutiseks, taandamine jne. Funktsiooni piirväärtuse arvutamisel on kasulik tunda piirväärtuse omadusi. Olgu f(x) ja g(x) pidevad funktsioonid ning c konstant. Kehtivad järgmised omadused: · lim[ f ( x) ± g ( x)] = lim f ( x) ± lim g ( x) xa xa xa · lim[ f ( x) g ( x)] = lim f ( x) lim g ( x) xa x a xa f ( x ) lim f ( x)
Näide: 2(x+2) + 3 = 5x -2 -> 2x + 4 + 3 = 5x 1 -> -3x = -9|:(-3) -> x=3 Ruutvõrrand Erinevad lahendusvõtted: ax2 +bx+c=0 1) Klassikaline lahendivalem 2) Taandatud võrrandi lahendivalem x2+px+q=0 (ruutliikme kordaja peab olema a=1) 3) Viete'i teoreem (ruutliikme kordaja peab olema a=1) Ruutkolmliikme tegurdamine -> a(x-x1)(x-x2)=0 Näide: 2x2+5x-7=0 x1=1 x2=-3.5 2(x-1)(x+3,5)=0 Ärge unustage tegurdatud kujule ette lisada ruutliikme kordajat! Ruutvõrrandi graafiku parabooli haripunkti koordinaatide leidmine: xh=-b/2a VÕI xh=(x1+x2)/2 yh saab arvutada parabooli võrrandist Murdvõrrand Murdvõrrandiks nimetatakse võrrandit, kus nimetaja sisaldab muutujat
9 Biruutvõrrand Biruutvõrrandi üldkuju on ax 4 bx 2 c 0 . Lahendamiseks kasutatakse abimuutujat x y . Saadakse uus võrrand ay 2 by c 0 , mille lahendid on y1 ja y2 . Paigutades y 2 positiivsed väärtused võrdusesse x 2 y , saame 1) x 2 y1 , millest x1,2 y1 ; 2) x 2 y2 , millest x3,4 y2 . 2.6 Ruutkolmliikme teguriteks lahutamine x 2 px q x x1 x x2 , milles x1 , x 2 on ruutkolmliikme nullkohad (vastava ruutvõrrandi x 2 px q 0 lahendid). ax 2 bx c a x x1 x x2 , milles x1 , x 2 on ruutkolmliikme nullkohad (vastava ruutvõrrandi ax 2 bx c 0 lahendid). 2.7 Determinandid Teist järku determinandi väärtuse arvutamise eeskiri: a11 a12
2 2 x 1 + x 2 = -p ja x 1 x 2 = q ( Viete´i valemid) · Ruutvõrrand - b ± b 2 - 4ac ax 2 + bx + c = 0 x 1;2 = 2a ax + bx + c = a ( x - x 1 )( x - x 2 ) ( ruutkolmliikme tegureiks lahutamine ) 2 P( x ) · Murdvõrrand = 0 P( x ) = 0 ja Q( x ) 0 Q( x ) A1x + B1 y = C1 · Lineaarvõrrandisüsteem A 2 x + B2 y = C2 A 1 B1 üks lahend A 2 B2
x2 + 2( ) x + 2 2 0. (5) Kuna , siis on võrratus (5) ruutvõrratus. Võrratus (5) kehtib iga reaalarvu x korral, mistõttu peab tema vasakul pool esineva ruutkolmliikme diskriminant D rahuldama võrratust D 0: D = ( 2( ) ) - 4 2 2 2 0. (6) Teisendame seda võrratust: 4( ) 4 ( )
x ² -3 x² +7 5 üks avaldistest (a või b) sisaldab muutujat. Näiteks: või või , kuid mitte nt. 4 x x 2 . 3 Tegurdamine e. korrutiseks teisendamine Tegurdamisel võib kasutada järgmisi võtteid: 1) Ühise teguri sulgudest välja toomine: (2x-6x)=2x(x+3) 2) Valemite rakendamine: 4x²-25y²=(2x+5)(2x-5) 3) Ruutkolmliikme tegurdamine: ax² + bx + c = a(x - x1)(x - x2) , kus x1 ja x2 on võrrandi ax²+bx+c=0 lahendid. 5 ± 25 - 4 2 3 5 ±1 Näiteks: 2x²-5x+3=2(x-1)(x-1,5), sest x = = , x1=1 ja x2=1,5 22 4 4) Rühmitamine: x³+3x²-4x-12=x²(x+3)-4(x+3)=(x+3)(x²-4) Näidisülesanne: lihtsusta: -K ± K ² -ac
mel on ainult u¨hekordsed reaalsed nullkohad, kas sellel esineb kordseid reaalseid nullkohti v~oi kas sellel on teguriteks ruutkolmliikmeid, millel reaalsed nullkohad puuduvad. Vaatleme siin neid kolme juhtu n¨aidete varal. (4x2 - 3x - 4)dx N¨ aide 6.7. Leiame integraali . x3 + x2 - 2x Nimetajas oleva ruutkolmliikme teguriteks lahutus on x3 + x2 - 2x = x(x2 + x - 2) = x(x - 1)(x + 2). Siin on nimetajal kolm erinevet reaalset nullkohta x1 = 0, x2 = 1 ja x3 = -2. Iga nimetajas oleva teguri jaoks kirjutame u ¨he esimest liiki osamurru, 4x2 - 3x - 4 4x2 - 3x - 4 A B C 3 2 + + . (6.3)
annaabi.ee 
