Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Programmi Geome Tricks kasutamine". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
koordinaat, siinus, joonesta, geome, teljel, lõikepunkt, trigonomeetrilised, merike, tiilen, trigonomeetriliste, suvaline, teljega, vaatlus, asukohta................................................................................................ 21 Absoluutväärtust sisaldav võrratus.........................................................................................21 III Trigonomeetria...................................................................................................................... 22 Täisnurkse kolmnurga trigonomeetria....................................................................................22 Trigonomeetriliste avaldiste lihtsustamine.............................................................................23 Nurkade liigitamine................................................................................................................ 23 Nurga kraadi- ja radiaanimõõt................................................................................................23 Kraadimõõt............................................................................................................
Tõestamine vastuväiteliselt öeldakse, et esitatud väide ei kehti. Eeldusest ja väite eitusest lähtudes teisendatakse võrratust seni, kuni jõutakse vastuoluni eeldusega või mõne muu matemaatikast tuntud tõega. Sellest järeldatakse, et tehtud oletus väite mittekehtivusest oli väär ning seega peab väide olema tõene. 4.10 Nurga mõõtmine Nuri mõõdetakse nurgakraadides. Nurk 1 on 1/90 täisnurgast e 1/360 osa täispöördest. 1=60 ja 1=60=3600 4.11 Teravnurga siinus, koosinus ja tangens Nurga sin võrdub täiendusnurga koosinusega, nurga koosinus võrdub täiendusnurga sin, nurga tan võrdub täiendusnurga tan pöördväärtusega. Nurga a kasvades sin a väärtused kasvavad, cos a kahanevad ja tan a kasvavad. 4.12 Teravnurga siinuse, koosinuse ja tangensi leidmine 4.13 Teravnurkse kolmnurga lahendamine Iseloomustades treppi, mäenõlva jne tõusu seisukohalt kasutatakse tõusunurka e nurka objekti ja horisondi vahel või siis
Kõikide kompleksarvude hulka tähistatakse sümboliga C 12. Kompleksarvu moodul- · Kompleksarvule vastava punkti kaugust komplekstasandi nullpunktis nimetame kompleksarvu mooduliks z = 2 2 + 32 = 13 · Punktile P vastava kompleksarvu moodul · Ehk üldkujul: kompleksarvu a+bi moodul on z = a 2 + b2 13. Kompleksarvu geomeetriline esitus- · Kujutada ühel teljel pole võimalik, kuna omab nii reaal- kui ka imaginaarosa (mõlemad reaalarvud) · Kujutame siis teljestikus (x;y). Nimetame teljestikule vastavat tasandit komplekstasandiks. Telgi vastavalt 13.1. Reaaltelg ja (x-telg) 13.2. Imaginaartelg (y-telg) · Kuidas võrrelda kompleksarve? Pole järjestatud hulk. Aga ikkagi ... 14. Kompleksarvu trigonomeetriline kuju- · Kujutagu punkt P kompleksarvu z=a+bi
sihivektori abil ning teisendatakse sirgeid üldkujule. Eks iga õpetaja otsustab ise, kas ta tuletab need võrrandid eraldi või võtab kõik koos korraga ette. Kitsas kursuses võiks seda teha ükshaaval. Laias kursuses võib kasutada ka sirge tõusu väljakirjutamist mitmel erineval viisil. Joonis 6 Olen oma praktikas seda kasutanud. Joonistan ühe sirge (joonis 6) ja kannan sinna kõik sirgete võrrandite koostamiseks vajalikud andmed (2 punkti, tõusunurk, sihivektor, sirge suvaline punkt, lõikepunkt y-teljega). Märkame koos õpilastega, et sirge tõusu saab esitada mitmel moel. Sirge tõusuks on tõusunurga tangens, mida saab avaldada kõigist joonisele tekkinud kolmnurkadest ja ka sihivektori koordinaatide abil. Saame, et y - y1 y 2 - y1 y s k = tan = = = x - x1 x 2 - x1 x s (1.) (2.) (3.) (4.) (5.) Kui neid nüüd 2-kaupa kokku panna, saame kõikvõimalikud sirgete võrrandid. Näiteks
Ekraani risttasand (A,B,C) 2 projekteerub sellele ekraanile sirgjooneks, millele satub arusaadavalt ka antud sirge ja tasandi lõikepunkti L üks projektsioon L. Teise projektsiooni leiame sidejoone abil (joon. 24). 4.1.2. Ekraani ristsirge lõikumine tasandiga Ekraani ristsirge s1 ja mis tahes tasandi lõikepunkti leidmisel peame silmas, et lõikepunkti üks projektsioon ühtib ekraani ristsirge punktkujutisega Ls. Lõikepunkti teise projektsiooni saab leida tingimusest, et lõikepunkt kuulub antud tasandile. Vajaliku sirgena võib kasutada nivoosirgeid (joon. 24). a s s L B C b 2 A 1 f L C A L
Kõrgema matemaatika kordamisküsimused 1. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Nullmaatriks. Transponeeritud maatriks 2. Maatriksite korrutise definitsioon. Korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete ning korrutamise vahel. Ühikmaatriks. 3. Teist ja kolmandat järku determinandid. 4. Permutatsiooni definitsioon. Inversiooni definitsioon. n-järku determinandi definitsioon. Determinandi põhiomadused 5. Maatriksi elemendi minor. Alamdeterminant. Determinandi arendus rea ja veeru järgi. Determinantide teooria põhivalem. 6. Regulaarse maatriksi mõiste. Pöördmaatriksi definitsioon ja elementide leidmise eeskiri. Pöördmaatriksi omadused. 7. Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Vasturääkiv, kooskõlaline, määratu süsteem. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. 8. Süsteemi lahen
tasandilist joont, mille iga punkt P asub võrdsel kaugusel sirgest l ja punktist F, st parabooli iga punkt P rahuldab tingimust r=d, kus r on kaugus punktide P ja F vahel, d on punkti P kaugus sirgest l. 126. Parabooli kanooniline võrrand - y 2=2 px p 127. Parabooli fookus- F( 2 ,0) Punkti F nimetatakse parabooli fookuseks 128. Parabooli sümmeetriateljed- Sirge, mis läbib punkti F ja on risti sirgega l 129. Parabooli tipud – parapooli lõikepunkt sümmeetriateljega 130. Parabooli fokaalparameeter- arv p. Parabooli kõrgus fookuse kohal −p 131. Parabooli juhtsirged - sirge l. x= 2
MAATRIKS: Maatriks nimetatakse ümarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on eristatavad read ja veerud. Maatriksi mõõtmed Maatriksit, milles on m rida ja n veergu nimetatakse täpsemalt (m,n)- maatriksiks ning arvupaari (m,n) selle maatriksi mõõtmeteks. Maatriksi järk Omadus, mis esineb ainult ruutmaatriksil: Näiteks Mat(n,n) nim. n-järku maatriksiks. Maatriksi elemendid nimetatakse reaalarve, milledest maatriks koosneb. Maatriksi ja maatriksite hulga tähistused Maatrikseid tähistatakse tavaliselt suurte ladina tähtedega: A, B,....X, Y, Z. Maatriksite elemente tähistatakse vastavate väikeste ladina tähtedega, mis võivad olla varustatud ka indeksitega: a, b, c, jne. Kõigi (kõikvõimalike mõõtmetega) maatriksite hulka tähistame edaspidi Mat abil ning kõigi (m, n)-maatriksite hulka tähistame edaspidi Mat(m, n) abil. Ruutmaatriks maatriks, mille ridade arv on võrdne veergude arvuga, s.t. m=n Ristkülikmaatriks maatriks, mille ridade arv
#y 2 sin x + " (I) või " 1 , !y 1 +! y 4 arvestades, et 0 x 2 . III Kui plekitahvel keevitatakse toruks mööda pikemat külge, siis saadud silindri kõrgus on võrdne ristküliku pikema küljega ja silindri põhja ümbermõõt on võrdne ristküliku lühema küljega. Ristküliku külgede pikkused on leitavad täisnurkses kolmnurgas kehtivate trigonomeetriliste seoste kaudu. Toru läbimõõdu arvutamiseks on vaja teada ringjoone pikkuse valemit ja toru ruumala leidmiseks silindri ruumala valemit. Lahendused I 1) Funktsioon y 2 sin x on antud lõigul 0; 2 . Funktsiooni y f (x) nullkohad on võrrandi f ( x) 0 lahendid. 2 sin x 0 sin x 0 x1 0, x 2 ja x3 2 , kui 0 x 2 . Seega x0 0; ; 2 funktsiooni nullkohad on 0, ja 2 .
see saadakse esi – ja põhiekraani suhtes ristiseisval tasandil, mida nimetatakse külgekraaniks (ε3). Selel 12a selgitatakse näitlikult ruumipunkti A kujutiste tekkimist kolmele risttasapinnale. Ekraanil ε3 saadud punkti ristprojektsiooni A''' nimetatakse punkti vasakultvaateks. Kaugust külgekraanist (AA''') nimetatakse selle punkti külgkvoodiks. Punkt Ax on punkti A projektsioon x-teljel, punkt Ay projektsioon vastavalt y– teljel ning ja Az projektsioon vastavalt z– teljel. Punkti koordinaatideks nimetatakse tema kvoote ehk kaugusi ekraanist mõõdetuna mööda telgi (lõik 0Ax – x-koordinaat ja tähistatakse xA, 0Ay – y-koordinaat ja tähistatakse yA, 0Az – z-koordinaat ja tähistatakse zA). Kuna ekraanid on omavahel risti, on tegemist ristkoordinaadistikuga. X , y ja z on koordinaatteljed, nende lõikepunkt 0 on koordinaatide alguspunkt. Koordinaatide alguspunkt jaotab kõik teljed positiivseteks ja negatiivseteks suundadeks
Täiendusnurga valemid sin cos(90 ) cos sin(90 ) 1 tan cot(90 ) tan(90 ) © Allar Veelmaa 2014 16 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium TAANDAMISVALEMID Taandamisvalemid on valemid, mis võimaldavad mistahes nurga trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste leidmise taandada teravnurga trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste leidmisele. Taandamisvalemeid ei tule pähe õppida, kasulik on meelde jätta skeem Selle skeemi järgi on näha, et siinuse väärtus on positiivne esimese ja teise veerandi nurga korral, koosinuse väärtus on positiivne esimese ja neljanda veerandi nurga korral ning tangensi väärtus on positiivne esimese ja kolmanda veerandi nurga korral.
punkti ristkoordinaadid sirgel on selle punkti kaugus null/alguspunktist. Koordinaatteljel asuva punkti P asukoht määratakse üheselt kindlaks ühe reaalarvuga x (nn punkti P koordinaadiga), mis on võrdne punkti P kaugusega |OP| telje alguspunktist O, kas neg või pos suunal. punkti ristkoordinaadid tasandil on selle punkti ristprojektsioonid abstsiss- ja ordinaatteljel. P(x;y) Leiame punkti P ristprojektsioonid Px ja Py vastavalt x-teljel ja y-teljel. Olgu punkti Px koordinaat abstsissteljel xP ja punkti Py koordinaat ordinaatteljel yP. Selle järgi punkti koordinaadid on P(x;y). 11. Polaarkoordinaadistik tasandil. Punkti polaar- ja ristkoordinaatide vahelised seosed. polaarkoordinaat kahemõõtmeline koordinaatide süsteem, kus iga tasandi punkt on määratud kaugusega fikseeritud punktist (punkti ja pooluse vaheline pikkus polaarkaugus r) ning nurgaga fikseeritud suunast (polaarnurk ).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 12.3 Integraal tõkestamata funktsioonist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 12.4 Integraalide rakendusi statistikas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 12.5 Euler'i integraalid * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 12.6 Irratsionaalfunktsioonide integreerimine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 12.7 Trigonomeetriliste funktsioonide integreerimine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 13 Vektorid ruumis 113 13.1 Suunatud lõikude hulk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 13.2 Vabavektorid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 13.3 Projektsioonivektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
lõikekoonust. Lõikekoonuse puhul on kujutise mõõtkava õige lõikeparalleelidel, mis on ühtlasi moonutuste nulljoonteks, lõikeparalleelide vahel on kujutis vähendatud ja suurendatud väljaspool lõikeparalleele. 8. Eesti ristkoordinaatide süsteem L-EST 92. Eesti ristkoordinaatide süsteemi L-EST 97 algpunktiks on valitud Riia lahes asuv punkt A. See on telgmeridiaani (GRS80 ellipsoidi 24o-meridiaan) ja Eesti lõunapiirist veidi lõunapoole jääva paralleeli lõikepunkt. Neg. ordinaatide vältimiseks telgmeridiaanist lääne poole jäävatel geodeetilistel punktidel on algpunkti ordinaadiks võetud yo=500 000 m. Riigi geodeetilise süsteemi ristkoordinaatide alguspunkti A geodeetilised ja ristkoordinaadid on samad ka baaskaardi TM projektsioonis, mis tagab baas- ja põhikaardi geodeetiliste koordinaatide ühtsuse ning kaardilehtede sarnase jaotuse. Et abipinnad on erinevad, siis samade maapinnapunktide ristkoordinaadid on
lõikekoonust. Lõikekoonuse puhul on kujutise mõõtkava õige lõikeparalleelidel, mis on ühtlasi moonutuste nulljoonteks, lõikeparalleelide vahel on kujutis vähendatud ja suurendatud väljaspool lõikeparalleele. 8. Eesti ristkoordinaatide süsteem L-EST 92. Eesti ristkoordinaatide süsteemi L-EST 97 algpunktiks on valitud Riia lahes asuv punkt A. See on telgmeridiaani (GRS80 ellipsoidi 24o-meridiaan) ja Eesti lõunapiirist veidi lõunapoole jääva paralleeli lõikepunkt. Neg. ordinaatide vältimiseks telgmeridiaanist lääne poole jäävatel geodeetilistel punktidel on algpunkti ordinaadiks võetud yo=500 000 m. Riigi geodeetilise süsteemi ristkoordinaatide alguspunkti A geodeetilised ja ristkoordinaadid on samad ka baaskaardi TM projektsioonis, mis tagab baas- ja põhikaardi geodeetiliste koordinaatide ühtsuse ning kaardilehtede sarnase jaotuse. Et abipinnad on erinevad, siis samade maapinnapunktide ristkoordinaadid on
(Mõlemas projektsioonis on koordinaatide algpunkt sama, punkt A Riia lahes). Praktiline vajadus seisneb ühtses süsteemis, et siduda punkte põhivõrgu punktidega ning nii saada teada nende asukoht ning ülevaade maapinnast. 12. Eesti ristkoordinaatide süsteem L-EST 97 Eesti ristkoordinaatide süsteemi L-EST 97 algpunktiks on valitud Riia lahes asuv punkt A. See on telgmeridiaani (GRS80 ellipsoidi 24 o-meridiaan) ja Eesti lõunapiirist veidi lõunapoole jääva paralleeli lõikepunkt. Neg. ordinaatide vältimiseks telgmeridiaanist lääne poole jäävatel geodeetilistel punktidel on algpunkti ordinaadiks võetud y o=500 000 m. Koordinaatide X ja Y väärtused suurenevad vastavalt põhja ja ida suunas. Riigi geodeetilise süsteemi ristkoordinaatide alguspunkti A geodeetilised ja ristkoordinaadid on samad ka baaskaardi TM projektsioonis, mis tagab baas- ja põhikaardi geodeetiliste koordinaatide ühtsuse ning kaardilehtede sarnase jaotuse
Eesti Põllumajandusülikool Tehnikateaduskond Mehaanika ja masinaõpetuse instituut Enno Saks Joonestuspakett AutoCAD 2000 (versioon 15.0) II Kolmemõõtmeline raalprojekteerimine & Programmeeritud joonestamine Tartu 2000 1. Ruumilised koordinaadid Ruumiliste jooniste valmistamiseks on vajalik tunda tähtsamaid ruumilisi koordinaatsüs- teeme (vt joonis 1): ristkoordinaate xyz, silinderkoordinaate rz ja sfäärkoordinaate . Silinderkoordinaatide saamiseks tuleb punkt P(x,y,z) projekteerida XY-tasandile, selleks on joonisel 1 punkt P'(x,y,0). Punkti P' kaugus koordinaatide algusest O ongi parajasti polaar- raadius r (r = x 2 + y 2 ), polaarnurk (0O < 360O , või ka 180O < 180O ) on aga nurk X-telje positiivse suuna ja polaarraadiuse vahel, kusjuures x = rcos , y = rsin . Koordinaadid r ja on tavalised polaarkoordinaadid
Arvutigraafika I ÜLESANNE IV Kann Uued käsud: AREA 4.18; 23 DIST 4.10; 27 EXTEND 4.16; 28 MIRROR 4.14; 33 OFFSET 4.9; 35 Security Options 4.29 Näide 4 1 80 15 Ø80 R 40 30° 80 20 8 (39, 54°) Ø5 5 0 R1 Joonestada kannu kontuurid; leida: a) väliskontuuride sisse jääva ala pindala; b) väliskontuuri pikkus;
Järeldus: 1. Jõu moment punkti suhtes ei muutu, kui jõu rakenduspunkt viia üle piki tema mõjusirget ükskõik mis punkti. 2. Jõu moment punkti suhtes on 0, kui jõud on 0 või kui jõu mõjusirge läbib seda punkti, mille suhtes momenti vaadatakse, kuna sel puhul on jõuõlg 0. 7. Jõu moment telje suhtes Jõu moment telje suhtes on skalaarne suurus, mis on võrdne selle telje mistahes punkti suhtes võetud momendi projektsiooniga sellel teljel. Jõu moment telje suhtes on skalaarne suurus, mis on võrdne selle teljega ristuval tasapinnal võetud jõu projektsiooni momendi mooduliga tasapinna ja telje lõikepunkti suhtes võetava vastava märgiga. Jõu moment telje suhtes on võrdne nulliga, kui jõu mõjusirge on teljega paralleelne. 8. Varignoni teoreem resultandi momendi kohta telje suhtes Kui jõusüsteem taandub resultandiks, siis selle resultantne moment mingi telje suhtes on
Lahendid lõigul [0;2 ] : x1 = ; x2 = ; x3 = ; x4 = 2 2 6 6 7 3 11 3) Võrratuse f (x) < g (x) lahendid lõigul [0;2 ] : x ; ; 2 6 2 6 Kommentaarid. Ülesandega kontrolliti trigonomeetrilise avaldise lihtsustamise, trigonomeetrilise võrrandi lahendamise ja trigonomeetriliste funktsioonide graafikute joonestamise ning nende graafikute lugemise oskust. Nagu paljudel varasematel aastatel oli ka nüüd tegemist ühe halvemini lahendatud ülesandega. Väga paljud eksaminandid jätsid selle ülesande lahendamise pooleli või ei lahendanud seda ülesannet üldse s.t võib väita, et trigonomeetrilisi teisendusi ja võrrandeid lahendada oskavad vaid üksikud eksaminandid.
Arvutigraafika I ÜLESANNE I Pinnatükk Sissejuhatus Enne joonestusprogrammiga AutoCAD töötama asumist on soovitatav läbi lugeda see Sissejuhatus ja teha endale märkmeid sest vastavalt Murph’i seadustele: „... juhul, kui vaatamata mitmesugustele ja laiaulatuslikele katsetele, uus seade ei hakka tööle, on edasise aja kokkuhhoiu mõttes viimane aeg alustada tutvumist selle seadme kasutusjuhendiga...” Aga ...teisest küljest ei maksa kaotada ka lootust, ja kui on küllalt julgust, võib minna kohe leheküljele 270 ja hakata joonestama pinnatükki. Sel juhul tabab seniseid AutoCAD-programme kasutanuid rida üllatusi... Põhimõtteliselt saab siintoodud Juhendis toodud andmeid AutoCAD-19.0 kohta kasutada ka vanemate AutoCAD-vormingute korral, sest tegelikult on AutoCAD- joonestamise põhitõed püsivad ja kanduva
Alidadi pööramisega seatakse horisontaalringile lugem 0'00''. Seejärel alidad kinnitatakse ja limbi pööramisega viseeritakse naaberjaamale, limb kinnitatakse, lati punktidele viseeritakse alidadi pööramisega. Limbi rohkem puutuda ei tohi. Lati punktile asetatakse vertikaalselt nivelleerimislatt, millele on märgitud instrumendi kõrgus. Väliraamatusse märgitakse nii orienteerimissuund kui ka instrumendi kõrgus. Edasi viseeritakse latile nii, et vertikaalniit oleks lati teljel. Horisontaalniit suunatakse instrumendi kõrgusele latil. Kõrguse mõõtmiseks võib ühe kaugusmõõturi niitidest, tavaliselt maapoolse, suunata lähimale täis dm'le. Seejäral tehakse lugemid mõlema kaugusmõõturi niidi järgi ja need lugemid protokollitakse väliraamatusse. Seejärel horisontaalniit nihutatakse jälle instrumendi kõrgusele ja tehakse lugemid horisontaalringilt ja vertikaalringilt. Need lugemid ka protokollitakse. Seejärel latihoidja liigub järgmisele punktile. 26
1o = rad ; 180 1 rad 57,3o . (kraadides) 0o 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o x (radiaanides) 0 3 2 6 4 3 2 2 3.2 Teravnurga trigonomeetrilised funktsioonid Täisnurkse kolmnurga teravnurkade trigonomeetrilised funktsioonid on järgmised. vastaskaatet a b Teravnurga siinus = ; sin = , sin = hüpotenuus c c lähiskaatet b a
Geograafiline laius on ekvaatori tasapinna ja punkti läbiva loodjoone nurk. Geograafilist laiust mõõdistatakse ekvaatorist põhja või lõuna suunas. Kuna Eesti ala jääb ekvaatorist põhjapoole, on siin alal kõikide punktide geograafiline laius põhjalaius. 5. Mis on punkti geodeetilised koordinaadid; nende määramine? Geodeetilised koordinaatideks on B (laius) ja L (pikkus), mis määravad punkti asendi referentsellipsoidil. Kolmas koordinaat on geodeetiline kõrgus h, mis määrab punkti kauguse ellipsoidist piki normaali. Geodeetilised ja astronoomilised koordinaadid ei ühti. Seda põhjustab loodjoone kõrvalekalle maaellipsoidi normaalist. Kõrvalekalle määratakse gravimeetriliste ja kõrgtäpsete geodeetiliste mõõtmistega. 6. Mis on tasapinnalised ristkoordinaadid? Tasapinnalised ristkoordinaadid x ja y on kasutusel ainult tasandil, mida maakera ei ole.
suunas. Kuna Eesti ala jääb ekvaatorist põhjapoole, on siin alal kõikide punktide geograafiline laius põhjalaius. Geograafilised koordinaadid ei ole absoluutsed, sest ühel punktil võib olla mitu geograafilist koordinaati. See tuleneb sellest, et maakera mõõtmeid pole võimalik täpselt välja arvutada. Mis on punkti geodeetilised koordinaadid, nende määramine Geodeetilised koordinaatideks on B (laius) ja L (pikkus), mis määravad punkti asendi referentsellipsoidil. Kolmas koordinaat on geodeetiline kõrgus h, mis määrab punkti kauguse ellipsoidist piki normaali. Geodeetilised ja astronoomilised koordinaadid ei ühti. Seda põhjustab loodjoone kõrvalekalle maaellipsoidi normaalist. Kõrvalekalle määratakse gravimeetriliste ja kõrgtäpsete geodeetiliste mõõtmistega. Mis on tasapinnalised ristkoordinaadid? Tasapinnalised ristkoordinaadid x ja y on kasutusel ainult tasandil, mida maakera ei ole. Maakera tasapinnale teisendamiseks kasutatakse
TallinnaTehnikaUlikool Insenerigraafikakeskus GEOMEETRIA KUJUTAVA ULDKURSUS ABIMATERJALLOENGUTE KUULAMISEKS KoostanudEdgarKogermann Tallinn 2001 h) Kahe kiivsirgevahelistnurka mS6detakse tavalisenurgaga,mille haaradon nende SISSEJUHATUS paralleelsed. kiivsirgetega l) Kahetahulistnurka m66detaksenurgaga, 1. Kujutavgeomeetriaon geomeetriaeriharu, mille haaradasetsevadteine teisel tahul milleskdsitletakse ning on risti tahkude l6ikejoonega - objektidesttasandilistekujutistefiooniste) (kahetahulisenurgaservaga). tuletamist; -ruumigeomeetrilisteUlesannetelahenda- elementideja nendev
1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n-veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega: Maatriksi järk tähistab maatriksi mõõtmeid: A on m*n järku maatriks. Liigid: · Ruutmaatriks (m=n) · Diagonaalmaatriks ruutmaatriks, mille peadiagonaalis arvud, muud elemendid 0-d. · Ühikmaatriks diagonaalmaatriksi erijuht. Peadiagonaali elemendid 1-d. Täh E. · Nullmaatriks kõik nullid. Täh . 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). · Korrutamine arvuga: korrutades maatriksit reaalarvuga, muutuvad kõik elemendid, selle arvu korra suuremaks. · Maatriksite liitmine: mõõtmed peavad olema samad. Ühemaatriksi elemendid liidetakse teise maatriksi vastavate elementidega: A = (a ij) ja B = (bij) A+B =(cij) kus cij = aij + bij. ·
2 2 D m DS DV M T sin d ST dTV 12 Riigieksami küsimused navigatsioonis 2005 14. Laeva asukoha määramine kahe peilingu järgi. Laeva asukoha määramiseks kahe peilingu järgi, võetakse kahe nähtavuses oleva orientiiri peilingud, õiendatakse kompassiõiendiga ja kantakse kaardile. Peilingute lõikepunkt annab laeva asukoha. Selle meetodi põhiliseks puuduseks on võimatus kontrollida saadud asukoha täpsust. Seepärast tuleb saadud asukohta hoolikalt analüüsida. Vähendamaks viga laeva asukoha määramisel, mis tekib see tõttu, et peilingud võetakse erinevatel ajamomentidel, peilitakse orientiire kindlas järjekorras. Esimesena peilitakse pikitasandi lähedal olevat orientiiri ja siis traaversi lähedal olevat orientiiri. Kontrollime sellise peilimisjärjekorra õigsust
1o rad ; 180 1 rad 57,3o . (kraadides) 0o 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o x (radiaanides) 0 3 2 6 4 3 2 2 3.2 Teravnurga trigonomeetrilised funktsioonid Täisnurkse kolmnurga teravnurkade trigonomeetrilised funktsioonid on järgmised. vastaskaatet a b Teravnurga siinus ; sin , sin hüpotenuus c c lähiskaatet b a
6) Intersection joonte lõike- punkt; 7) Extension punkti saab va- lida joone ajutiselt piken- dusjoonelt, mis ulatub joone otspunktist kaugemale; Joonis 11. 8) Insertion objekti sisestuspunkt (teksti või bloki puhul); 9) Perpendicular punkt ristjoone joonestamiseks; 10) Tangent ringjoone või kaare puutepunkt; 11) Nearest lähim punkt objektilt; 12) Apparent int joonte näiv lõikepunkt (jooned ei pruugi tegelikult lõikuda); 13) Parallel näidatud joonega paralleelse joone joonestamine; 14) Select All kõikide OSNAP-valikute tegemine; 15 15) Clear All kõikide OSNAP-valikute tühistamine. Objekt-trasseerimise sisse- või väljalülitamiseks saab kasutada funktsionaalklahvi F3 või seisundiriba välja OSNAP. Objekt-trasseerimine tulekski välja lülitada, kui teda parajasti vaja
Järeldustüübid On olemas kolm põhilist järeldustüüpi: punkt, sirgjooneline ja tasapinnaline. SketchUp kombineerib sageli kõiki kolme, saades kombineeritud järelduse. Punktjäreldus põhineb mudelil olev kursori täpsel kohal. o Lõpppunkt: roheline lõpppunkt järeldus tuvastab Line entity või Arc entity lõpu o Keskpunkt: näitab joone või ääre keskpunkti o Lõikepunkt: must, näitab joonte täpset ristumiskohta o On Face: sinine, näitab punkti, mis asetseb Face Entity-l o On Edge: punane, näitab punkti, mis on piki serva o Equi-Distant On Edge: näitab võrdvahemikulistpunkti või kaldkanti, kus lilla joon ilmub kahe ühendatud serva vahel. o Half Circle: ilmub, kui joonistada kaart, et näidata punkt, kus moodustub täpne poolkaar
aksioomi niipalju kordi kui vaja. 35.Sõnastada koonduva jõusüsteemi tasakaalu geomeetriline ja analüütiline tingimus. Geomeetriline tingimus: Koonduva jõusüsteemi tasakaaluks on vajalik ja piisav, et neile jõududele ehitatud jõuhulknurk oleks kinnine. Analüütiline tingimus: Koonduva jõusüsteemi tasakaaluks on vajalik ja piisav, et nende jõudude projektsioonide summa igal kolmel koordinaatteljel võrduks nulliga. 36. Mida nimetatakse jõu projektsiooniks teljel? Kas see on skalaarne või vektoriaalne suurus? Millal on see null? Millal on see võrdne lihtsalt jõu mooduliga? Jõu projektsiooniks teljel nimetatakse skalaarset suurust, mis on võrdne jõu algus- ja lõpppunktide projeksioonide vahelise lõigu pikkusega sellel teljel võetud vastava märgiga. Jõu projektsioon on null, kui jõud on teljega risti. Jõu projektsioon on võrdne lihtsalt jõu mooduliga, kui jõud on teljega paralleelne. 37
Resultant rakendub koondumispunktis ja võrdub jõudude geomeetrilise summaga. 35. Sõnastada koonduva jõusüsteemi tasakaalu geomeetriline ja analüütiline tingimus. Analüütiline tingimus resultant peab olema 0, sest muidu hakkab keha kiirenevalt liikuma. Geomeetriline tingimus (saadakse jõuhulknurga moodustamise teel) tasakaalu korral peab koonduva jõusüsteemi jõuhulknurk olema kinnine ühtse ümberkäigu suunaga. 36. Mida nimetatakse jõu projektsiooniks teljel? Kas see on skalaarne või vektoriaalne suurus? Millal on see null? Millal on see võrdne lihtsalt jõu mooduliga? Jõu projektsioon teljele on skalaarne suurus, mis on võrdne jõu vektori algus ja lõpppunktide projektsioonide vahelise lõigu pikkusega võetuna vastava märgiga. Kui jõud on paralleelne teljega, siis ta nõuab ainult õiget märki. Kui jõud on risti teljega, siis projektsioon on null. 37. Mida nimetatakse jõu projektsiooniks tasapinnal
annaabi.ee 
