Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Positiivsed ja negatiivsed arvud". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
täisarvud, vastandarv, vastandarvud, liitmise, erinevas, naturaalarvud, kirjutatakse, vihje, esmalt, absoluutväärtused... . On ka käsitlusi, kus ka 0 loetakse naturaalarvuks. Naturaalarvude hulka tähistatakse sümboliga N. Naturaalarvude hulga saame esitada kujul: N = {1;2;3;...;n-1;n;n+1;...} . 0 1 2 3 4 Naturaalarvude hulga omadusi. · Naturaalarvude hulk N on järjestatud lõpmatu hulk, milles on vähim, kuid pole suurim arvu. · Naturaalarvude hulk N on hulk, milles arvud järgnevad vahetult üksteisele ega kata kogu arvtelge. · Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. (Kui kaks naturaalarvu liita või korrutada on tulemuseks alati naturaalarv.) · Naturaalarvude hulk ei ole kinnine lahutamise või jagamise suhtes. Naturaalarve, mis jaguvad 2-ga, nimetatakse paarisarvudeks, ülejäänuid paarituteks arvudeks. Ühest suuremat naturaalarvu , mis jagub vaid ühe ja iseendaga nimetatakse algarvuks, kõiki ülejäänud ühest suuremaid arve kordarvudeks. Algarvud on 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 jne. (Hulk on lõpmatu.)
Julia Lissovskaja matemaatika õpetaja Tartu Kutsehariduskeskus 2010 Arvuhulgad Naturaalarvude hulk Täisarvude hulk Ratsionaalarvude hulk Reaalarvude hulk Naturaalarvude hulk Naturaalarvud on arvud 0, 1, 2, 3, 4, 5,..., n-1, n, n+1,... Naturaalarvude hulka tähistatakse tähega N Naturaalarvude hulga omadused Naturaalarve saab kujutada punktidena arvkiirel Naturaalarve saab järjestada 0 1 2 3 4 1. a = b; 2. a > b; 3. a < b Naturaalarvude hulk on lõpmatu Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise tehete suhtes
....................................................................................2 Irratsionaalarvud................................................................................................................. 3 Reaalarvud R.......................................................................................................................3 Naturaalarvude hulk N N = {0; 1; 2; 3; 4; ...}. Väikseim = 0, suurim puudub. Naturaalarvude hulk on järjestatud hulk ja ta on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes (tulemus ei välju hulgast). * (N1 = {1; 2; 3...}, see märgib naturaalarve alates ühest.) Negatiivsete täisarvude hulk z Z - = {-1; -2; -3...}. Hulk on kinnine liitmise suhtes. Täisarvude hulk Z Z = {0; ±1; ±2; ±3...} z = z N. Hulk on kinnine liitmise, lahutamise ja korrutamise suhtes. Murdarvude hulk Harilik murd lihtmurd + liitmurd Kümnendmurd lõplik kümnendmurd + lõpmatu (perioodiline) kümnendmurd +
Põhivara 7. klass Protsendi mõiste: Ühte sajandikku osa mingist kogumist, tervikust nim. protsendiks (%). Jagatise väljendamine protsentides: Tihti on vaja teada, mitu % moodustab üks arv teisest. Kahe arvu jagatise väljendamiseks protsentides leiame selle jagatise esmalt kümnendmurruna ning korrutame siis sajaga. Näide: Arv 3 arvust 4 moodustab? 3 : 4 = 0,75 0,75 * 100 = 75% Tekstülesannete lahendamine % abil: Metsapäeval oli kavas istutada 2400 puud. Õpilased ületasid ülesande 16% võrra. Mitu puud istutati? Antud ülesannet saab lahendada kahel viisil. võimalus: 1% on 2400 : 100 = 24 16% on 16 * 24 = 384 16% 2400-st on 384 Kuna plaan ületati 16% võrra, mis vastab 384 puule, siis istutati 2400 + 384 = 2784 puud
Matemaatika eksami teooria Reaalarvud 1.1. Naturaal-, täis- ja ratsionaalarvud · Naturaalarvude hulk N (ainult positiivsed täisarvud) · Naturaalarvu n vastandarv -n defineeritakse selliselt, et n+(-n)=0 · Naturaalarvud koos oma vastandarvudega moodustavad täisarvude hulga Z (jaguneb pos ja neg) · Iga kahe täisarvu vahe on alati täisarv · Kui arv a ei jagu arv b-ga, siis on tegemist murdarvuga. Kõik täisarvud ja positiivsed ning negatiivsed murdarvud moodustavad kokku ratsionaalarvude hulga Q. Ratsionaalarv on arv, mis avaldub jagatisena a/b, kus a Z, b Z ja b 0. · Iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. 1.2 Irratsionaal- ja reaalarvud · Arv, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, on irratsionaalarv. · Arvutamisel piirdutakse ligikaudsete väärtustega e lähenditega, nt pii=3,14
X klassi matemaatika lühikonspekt (I periood) Arvuhulgad Naturaalarvudeks nimetatakse arve N={1; 2; 3; … ; n-1; n; n+1; …} Selles hulgas leidub esimene arv ja iga arvu korral sellele vahetult järgnev arv, kuid ei ole viimast arvu — niisugust naturaalarvu, mis oleks kõigist suurem. Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes, kuid mitte lahutamise ja jagamise suhtes. Liitmis- ja korrutamistehetel on hulgas N järgmised omadused: 1. Iga a, b N korral a b b a . Liitmis kommutatiivsus. 2. Iga a, b N korral a b b a . Korrutamise kommutatiivsus. 3. Iga a, b, c N korral a b c a b c . Liitmise assotsiatiivsus. 4. Iga a, b, c N korral a b c a b c
X klassi matemaatika lühikonspekt (I periood) Arvuhulgad Naturaalarvudeks nimetatakse arve N={1; 2; 3; … ; n-1; n; n+1; …} Selles hulgas leidub esimene arv ja iga arvu korral sellele vahetult järgnev arv, kuid ei ole viimast arvu — niisugust naturaalarvu, mis oleks kõigist suurem. Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes, kuid mitte lahutamise ja jagamise suhtes. Liitmis- ja korrutamistehetel on hulgas N järgmised omadused: 1. Iga a, b N korral a b b a . Liitmis kommutatiivsus. 2. Iga a, b N korral a b b a . Korrutamise kommutatiivsus. 3. Iga a, b, c N korral a b c a b c . Liitmise assotsiatiivsus. 4. Iga a, b, c N korral a b c a b c
A B 5) Ühisosa hulk, mille elementideks on kahe(või enama) hulga kõik ühised elemendid. AB 6) Loetelu hulga elementide loetelu. 2. Juurde ja mahaarvutamise valem. 1) Elimineerimismeetod. 2) Nende esemete arvu leidmiseks, millel pole ühtegi nimetatud omadust, tuleb kogu arvust lahutada nende esemete arv, millel on paaritu arv omadus ja seejärel liita nende esemete arv, millel on paarisarv omadusi. 3. Naturaalarvud. 1) Omadused. a) a+b=b+a a, b liitmise kommutatiivsus(vahetuvusseadus) b) ab=ba a, b korrutamise kommutatiivsus c) a + (b + c) = (a + b) + c a, b, c liitmise assotsiatiivsus(ühenduvusseadus) d) a (b c) = (a b) c a, b, c korrutamise assotsiatiivsus
-1, nimetama imaginaarühikuks 1 ja tähistama tähega i. Kompleksarvu a + ib vastandarvuks nimetatakse arvu -(a + ib) = -a - ib. Arvu, mille ruut on -1, nimetatakse imaginaarühikuks ja tähistatakse Näide 3. Leiame arvudele 4i - 5 ja 6 - 4i vastandarvud. sümboliga i, s.t. i = -1 . Vastavalt definitsioonile leiame, et esimese arvu vastandarv on Imaginaarühiku abil saab esitada ruutjuuri negatiivsetest arvudest, näiteks -(4i - 5) = -4i + 5 = 5 - 4i ja teise arvu vastandarv on -16 = 16 ( -1) = 16 -1 = 4 -1 = 4i, -(6 - 4i) = -6 + 4i. -10000 = 10000 ( -1) = 100 -1 = 100i
Positiivsed ja negatiivsed arvud Definitsioon Positiivne arv on arv, mis on suurem kui null. Definitsioon Negative arv on arv, mis on viksem kui null. Definitsioon Vastand arvud on kaks arvu, mis asuvad samal kaugusel nullist, kuid erinevas suunas. Definitsioon Tisarvud on kik naturaalarvud ning nende vastandarvud pluss null. Negatiivseid arve kasutatakse temperatuuri mtmisel Negatiivseid arve kasutatakse, et mrata asukoha krgus vi sgavus. Negatiivseid arve kasutatakse vlgade kirja panemisel Vihje Kui arvu ees ei ole mrki, see on positiivne arv. Tisarvude liitmise reeglid Reegel #1 Kui mrgid on samad, siis ra panne nendele esmalt the. Liida arvude absoluutvrtused ning kirjuta vastusele nende hine mrk. Tisarvude liitmise reeglid Reegel #2 Kui mrgid on erinevad lahuta suurema absoluutvrtusega arvust
pöördarvuga. 4. Kuidas teisendada segaarv kümnendmurruks? Selleks tuleb segaarv teisendada liigmurruks (nimetaja * täisosa + lugeja) ning seejärel teisendada liigmurd kümnendmurruks (lugeja / nimetaja) 5. Kuidas teisendada kümnendmurd segaarvuks? Täisosa jääb samaks, murdosast saab lugeja ning nimetaja valitakse vastavalt sellele, mitu numbrit on peale koma. 6. Kuidas liita negatiivseid arve? Selleks, et liita kaht negatiivset arvu on vaja: 1) liita nende arvude absoluutväärtused 2) saadud arvu ette kirjutada miinusmärk 7. Kuidas liita erimärgilisi arve? Selleks, et liita kahte erimärgilist arvu tuleb: 1) lahutada suuremast absoluutväärtusest väiksem 2) saadud arvu ette kirjutada suurema absoluutväärtusega liidetava märk 8. Tehete järjekord Kõigepealt astendame, siis korrutame ja jagame ning lõpuks liidame ja lahutame. Kui avaldises on sulud, siis teeme esmalt sulgudes olevad tehted. 9. Kuidas leida tõenäosust?
.... 39 Pöördvõrdelise sõltuvuse graafik............................................................................................39 4 I Reaalarvud ja avaldised Arvuhulgad Naturaalarvude hulk N N = {0; 1; 2; 3; 4; ...}. Väikseim = 0, suurim puudub. Naturaalarvude hulk on järjestatud hulk ja ta on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes (tulemus ei välju hulgast). * (N1 = {1; 2; 3...}, see märgib naturaalarve alates ühest.) Negatiivsete täisarvude hulk z Z - = {-1; -2; -3...}. Hulk on kinnine liitmise suhtes. Täisarvude hulk Z Z = {0; ±1; ±2; ±3...} z = z N. Hulk on kinnine liitmise, lahutamise ja korrutamise suhtes. Murdarvude hulk Harilik murd lihtmurd + liitmurd Kümnendmurd lõplik kümnendmurd + lõpmatu (perioodiline) kümnendmurd + lõpmatu
vaartusele on seatud vastavusse mitu funktsiooni vaartust Näide : x2+y2=1 Igale x vaartusele vahemikus (-1, 1) vastab kas y vaartust 7.Liitfunktsioonid 8.Funktsiooni piirväärtus Olgu funktsioon y = f ( x ) määratud punkti a mingis ümbruses. Piltlikult öeldes on arv b funktsiooni y = f ( x ) piirväärtuseks kohal a, kui funktsiooni y = f ( x ) väärtused tulevad arvule b kuitahes lähedale, kui aga argumendi x väärtused on arvule a küllalt lähedal. Kirjutatakse lim f ( x ) = b ehk ka f ( x ) b, kui x a . x a Funktsiooni pidevusest lühidalt: pideva funktsiooni graafikut saab joonistada pliiatsit paberilt eemaldamata. Iga elementaarfunktsioon on pidev oma määramispiirkonnas. Kui funktsioon on pidev kohal a, siis lim f ( x ) = f ( a ) . x a 9.Funktsiooni tuletis. Tema füüsiline ja geomeetriline tõlgendus.
N- es juur. Tehted astmete ja juurtega. Ratsionaal- ja irratsionaalavaldiste lihtsustamine. Irratsionaalsusest vabanemine. Lineaar-, ruut-, murd- ja juurvõrrandid. Võrrandite koostamine. Lihtsamate tekstülesannete lahendamine. 2. Tarkuseterad 2.1 Arvuhulgad Loendamisel kasutatavad arvud Arv 0 Kas 0N? Naturaalarvud N Järjestatav, vähim arv 1, lõpmatu Liitmine, korrutamine Jäägiga jagamine, algarv, SÜT, VÜK Nat. arvude vastandarvud Täisarvud Z Järjestatav, lõpmatu, punktihulk arvteljel Liitmine, korrutamine, lahutamine Murdarvud Ratsionaalarvud Q
Täisarvude hulk- · Naturaalarvude hulk on täisarvude hulga osahulk · Z = {....-2; -1; 0; 1; 2; ......} · Jaguneb naturaalarvudeks ja negatiivseteks arvudeks a 7. b Murdarvud- Kui täisarv a jagub täisarvuga b, siis on jagatis täisarv, kui aga ei jagu, siis nimetame saadud arvu murdarvuks ja tähistame sümboliga (reaalarvu, mis ei ole täisarv.) 8. Ratsionaalarvude hulk- Täisarvud koos murdarvudega moodustavad ratsionaalarvude hulga 9. Irratsionaalarv- Lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud 10. Reaalarvude hulk- Irratsionaalarvud koos ratsionaalarvudega moodustavad reaalarvude hulga. 11. Kompleksarv- Arve kujul a+ib, kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaarühik, nimetatakse kompleksarvudeks. Kõikide kompleksarvude hulka tähistatakse sümboliga C 12
y 2,00001 2,0001 2,001 2,01 2,1 2,5 Seega kui x 1, siis y 2. Kuigi funktsioonil puudub väärtus kohal x = 1, öeldakse, et tal on sellel kohal olemas piirväärtus. x 2 -1 Arvu 2 nimetatakse funktsiooni y = piirväärtuseks argumendi lähenemisel x -1 x 2 -1 arvule 1 ja kirjutatakse lim = 2. x 1 x -1 10 Leiame veel mõningad selle funktsiooni piirväärtused. Ülaltooduga analoogilisi tabeleid koostades veendume, et: x 2 -1 x 2 -1 lim = 0 ja lim = 3. x -1 x -1 x 2 x - 1 Üldjuhul võime piirväärtuse mõiste määratleda järgmiselt. Öeldakse, et funktsioonil f(x) on piirväärtus A kohal a, kui argumendi x
Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Olgu x ärjestatud muutuv suurus. Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad arvu a ümbrusesse , st rahuldavad võrratust Kui arv a on suuruse x piirväärtus, siis öeldakse, et suurus x läheneb arvule a ehk koondub arvuks a ja kirjutatakse Muutuva suuruse ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid. Piirprotsesside x ja x - definitsioonid. Jada piirväärtuse definitsioon. Koonduvad ja hajuvad jadad. Piirväärtust omavat jada nimetatakse koonduvaks ning piirväärtust mitteomavat jada hajuvaks. (Jada, millel on lõplik piirväärtus, nimetatakse koonduvaks jadaks.) 8. Lõpmatult kahaneva ja lõpmatult kasvava suuruse definitsioonid. Muutuvat suurust
eelnev ja kumb järgnev. Olgu järjestatud muutuv suurus. Arvu nimetatakse muutuva suuruse piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab näidata sellist suuruse väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad arvu ümbrusesse - , + , st rahuldavad võrratust | - | < . Kui arv on suuruse piirväärtus, siis öeldakse, et suurus läheneb arvule ehk koondub arvuks ja kirjutatakse või lim = . Muutuv suurus läheneb arvule vasakult, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab näidata sellist suuruse väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad poollõiku - , . Sellisel juhul kirjutatakse J . Muutuv suurus läheneb arvule paremalt, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab näidata sellist suuruse väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad poollõiku , +
NÄIDE: a/b c/d = a c / b d (korruta alumised ja ülemised omavahel, kui vaja, siis taanda) ; (a on nimetaja ja b on lugeja) 10. Murru jagamiseks naturaalarvuga korrutame murru naturaalarvu pöördarvuga või, kui võimalik, jagame murru lugeja naturaalarvuga. 11.Selleks, et jagada harilikku murdu hariliku murruga, tuleb jagatav korrutada jagaja pöördarvuga. NÄIDE: a/b c/d = a d / b c (kui aru ei saa, vaata 9 lauset) 12.Segaarvude jagamisel teisendame esmalt segaarvud liigmurdudeks ning seejärel jagame. 13.Terviku leidmiseks jagame osale vastava arvu osamääraga. Protsendid ja murrud Kui 1% = 1/10 (/=murrujoon) = 0,01, siis 2% = 2/100 = 0,02 ; 12% = 12/100 = 0,12 jne .. 1,25 = 125/100 = 125% 1. Selleks, et teada saada, mitu protsenti moodustab üks arv teisest, jagame esimese arvu teisega ja avaldame tulemuse protsentides. Positiivsed ja negatiivsed arvud 1
suuruse väärtused kuuluvad arvu a ümbrusesse (a − ε, a + ε), st rahuldavad võrratust |x − a| < ε. Muutuv suurus x läheneb vasakult arvule a, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu ε korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad poollõiku (a − −¿¿ ε, a]. Sellisel juhul kirjutatakse x → a . Muutuv suurus x läheneb paremalt arvule a, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu ε korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad poollõiku [a, a +¿¿ + ε). Siis kirjutatakse x → a . Lõplikku piirväärtust omavat jada nimetatakse koonduvaks. Vastasel juhul nimetatakse jada hajuvaks. 8
..…… 35 3.20 Näited võrratuste ja võrratussüsteemide lahendamisest …………..… 35 3.21 Logaritmid ………………………………………………………..…. 41 3.22 Summa märk ………………………………………………….……. 44 3.23 Ülesanded aritmeetikast ja algebrast …………...………………..….. 46 1 1. ARVUHULGAD Positiivsed täisarvud ehk naturaalarvud tekkisid vajadusest loendada esemeid. Kõik naturaalarvud moodustavad naturaalarvude hulga ℕ = {0; 1; 2; 3; 4; ...} . Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. Naturaalarvude hulk muutub kinniseks lahutamise suhtes, kui teda täiendada arvude 1, 2, 3, ... vastandarvudega -1, -2, -3, ... . Negatiivsed ja positiivsed täisarvud ning arv 0 moodustavad täisarvude hulga ℤ = {±1; ± 2; ± 3; ...} . Täisarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise ja korrutamise suhtes.
Aritmeetiliseks keskmiseks nimetatakse arvu, mis saadakse antud arvude summa jagamisel liidetavate arvuga. Näide 1. On antud arvud 3, 4, 5 ja 6. Leiame nende arvude aritmeetilise keskmise. 1) Leiame summa: 3 + 4 + 5 + 6 = 18. 2) Jagame summa liidetavate arvuga 18 : 4 = 4,5. Seega nende arvude aritmeetiline keskmine on 4,5. Lahendamiseks sobib ka avaldis (3 + 4 + 5 + 6) : 4. Arvkiir on kiir, mille alguspunktis on märgitud arv 0. Edasi on vabalt valitud ühiklõikude kaugusel järgmised naturaalarvud kasvavas järjekorras. Arvkiirt võime vajaduse korral pikendada kuitahes kaugele. Absoluutväärtus on positiivse arvu ja nulli korral arv ise ning negatiivse arvu absoluutväärtuseks on selle arvu vastandarv. Arvu absoluutväärtus on seda arvu arvteljel kujutava punkti kaugus nullpunktist Arvu kordsed on kõik need arvud, mis antud arvuga jaguvad. Näide. 16 ja 36 on arvu 2 kordsed, sest nad jaguvad 2-ga 16 : 2 = 8 36 : 2 = 18 Kõik mingi arvu kordsed jaguvad selle arvuga.
6.ptk Ruutvõrrand 8.klass Õpitulemused Näited 1.Arvu ruut - kahe võrdse teguri korrutis Ül.1262,1263 2 a a=a ; mistahes ratsionaalarvu ruut on Leida arvu ruut taskuarvuti abil. mittenegatiivne 2 2 2 2 15 =225; 28 =784; 41 =1681; 57 =3249 Lihtsustada avaldis ja arvutada. 2 2 2 2 2,4 2 =(2,4 2) =4,8 =23,04 NB ruutjuure pöördtehe; saab kasutada 2 näiteks ruudu ja ringi pindala arvutamisel =3,5 =12,25 2 2 2 2 2 (-4,5) 4 -8 (-1,5) =(-4,5 4) -(-8
diagonaaliks. Ühikseos ehk võrdusseos on kõige kitsam ekvivalentsusseos, sest ta on iga ekvivalentsusseose (kui refleksiivse seose) osahulk. Ka seos =× on ekvivalentsusseos hulgal (nn universaalne seos). Seoseid ja nimetatakse triviaalseteks seosteks hulgal A. Näide 7. Kongruentsiseos täisarvude hulgal on samuti ekvivalentsusseos. Olgu >0 mingi fikseeritud naturaalarv. Täisarve ja nimetatakse kongruentseteks mooduli järgi, kui vahe jagub arvuga ja kirjutatakse ( ). Näiteks 2511 ( 7), 2113 ( 4). Järjestusseosed Binaarset seost hulgal nimetatakse (mitterangeks) järjestusseoseks (lühidalt järjestuseks), kui ta on refleksiivne, antisümmeetriline ja transitiivne, s.t tal on järgmised omadused: 1) (refleksiivsus) iga korral ; 2) (antisümmeetrilisus) iga , korral seostest ja järeldub, et =; 3) (transitiivsus) iga ,, korral, kui ja , siis . Kui on järjestusseos, siis asjaolu märgitakse või samaväärselt . Öeldakse ka,
süsteemi lahend on x=1 y=1 11.Liitmisvõte - lahendusvõte, mis Ül.935 võimaldab arvutamise teel leida lahendeid -4x+5y=-1 tundmatute kordajate kaudu: kõrvaldada 2x-5y=3 ehk ellimineerida üks tundmatu vastavate Panen süsteemile plussmärgi ette ja võrrandite liitmise teel, kui antud süsteemi tõmban süsteemile joone alla, sest y-ga võrrandites on ühe tundmatu kordajad liikmete ees on vastandarvud (need teineteise vastandarvud; võrrandite liikmed koonduvad) vastavate poolte liitmisel saada ühe -2x=2|:(-2) tundmatuga võrrand ja see lahendada; x=-1 saadud ühe tundmatu väärtus asendada I võrrandist leian väärtuse teisele süsteemi lihtsamasse võrrandisse, saada tundmatule
Parameetrilisel kujul antud funktsioon Funktsiooni piirväärtuse definitsiooni laienemine juhtudele a = ± ja b = 1.Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda 4.Üksühese funktsiooni ja pöördfunktsiooni definitsioonid. Vaatleme funktsiooni y=f(x). Toome lisaks muutujale x ± absoluutväärtuse Seosed funktsiooni ja tema pöördfunktsiooni ja y sisse ka kolmanda muutuja t. x= (t). Siis saab ka Funktsioonil f on piirväärtus kohal a, kui suvalises piirprotsessis xa, mis omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. määramispiirkondade ja väärtuste hulkade vahel, vastastikune muutuja y avaldada parameetri t kaudu. y = (t). rahuldab tingimust xa
Kujundaja: Janek Saareoja ISBN 978-9949-489-95-4 (trükis) ISBN 978-9949-489-96-1 (epub) Trükitud trükikojas Print Best 4 Sisukord osa 0 – SISSEJUHATUS . .................... 17 OSA 2 – arvud ..................................... 75 matemaatika meie ümber ................... 20 arvuhulgad .......................................... 78 Matemaatika kui keel ....................................21 Naturaalarvud ...............................................78 Matemaatika muutub ja areneb .....................22 Täisarvud .......................................................82 Mis on matemaatika? ....................................23 Ratsionaalarvud .............................................83 Matemaatika on mitmekülgne ..................... 24 Irratsionaalarvud ja reaalarvud ......................87 miks õppida matemaatikat
11111 + 10011 11001,11 + 10,111 2. Lahutada järgmised kahendsüsteemi arvud: 1101 - 111 110,01 - 0,11 10010 - 1110 1000,1 - 11,1 11001 - 10111 110110 - 101,1 100011 - 11010 0,1011 - 0,01010 Kontrollida tulemust liitmise teel. 3. Korrutada järgmised kahendsüsteemi arvud: 11,01 · 100,11 10,011 · 0,1011 4 111,011 · 1,0101 101 · 101 101010,11 · 11,0011 10010 · 11011 4. Jagada järgmised kahendsüsteemi arvud:
(ei ole programmeerimiskeel) Klassikaline veebirakendus - server ehitab html teksti (server saadab brauserile html teksti, kasutaja täidab vormid/vajutab nuppe, brauser saadab sisestatud parameetrid serverile ja server arvutab parameetrite järgi uue html lehe) Single-page app: - server ehitab datat: json teksti - javascript brauseris muudab/ehitab html teksti otse brauseri kõhus Tldr: lehte kirjutatakse dünaamiliselt ümber, seega on ühendamist serveriga vähem ja laadimisajad väiksemad Arvutivõrgud: Mac aadress – Etherneti aadress masinal, unikaalne kohtvõrgu piires, sõltub võrguliidesest. Näiteks on MAC-aadress arvuti võrgukaardil ja ruuteri võrgupesadel Ip aadress – kohtvõrkude sidumiseks antakse igale masinale unikaalne nn IP aadress: tüüpiliselt neli baiti
Matemaatiline analüüs I kontrolltöö Punktid 1-22 1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon. a. Arvtelje mõiste Arvteljeks nim sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Igale arvtelje punktile vastab ainult üks reaalarv ja vastupidi. b. Reaalarvu absoluutväärtus Reaalarvu absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset arvu |a|= a, kui a 0, -a, kui a<0 c. Loetleda absoluutväärtuse omadused |-a|=|a|; |ab|=|a|*|b|; |a+b||a|+|b|;|a-b||a|-|b| d. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused d.i. Reaalarvu a ümbruseks nim suvalist vahemikku (a-,a+), kus on
2) Assotsiatiivsus: (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c. 3) Nullvektori omadus: a + 0 = a. VEKTORI KORRUTAMINE ARVUGA: R × V V: (, a) a: 1) korrutisvektori pikkus: a = a , 2) korrutisvektori siht: a || a, 3) korrutisvektori suund: a a, kui > 0, a a, kui < 0. MÄRKUS. Vektori korrutamisel arvuga saadakse esialgsega kollineaarne vektor. Muutuda võivad vektori pikkus ja suund. OMADUSED 1) Assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes: (a) = ()a. 2) Distributiivsus arvude liitmise suhtes: ( + )a = a + a. 3) Distributiivsus vektorite liitmise suhtes: (a + b) = a + b. 4) Arvu "üks" omadus: 1 a = a. 3 VEKTORITE SÜSTEEMI BAAS DEFINITSIOON 1. Kui elementide hulgas V = {a, b, c, . . .} on defineeritud nende liitmine ja arvuga korrutamine, mis rahuldavad eelpool sõnastatud omadusi, siis nimetatakse seda hulka VEKTOR- RUUMIKS ja tema elemente vastavalt VEKTORITEKS. DEFINITSIOON 2
2) Assotsiatiivsus: (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c. 3) Nullvektori omadus: a + 0 = a. VEKTORI KORRUTAMINE ARVUGA: R × V V: (, a) a: 1) korrutisvektori pikkus: a = a , 2) korrutisvektori siht: a || a, 3) korrutisvektori suund: a a, kui > 0, a a, kui < 0. MÄRKUS. Vektori korrutamisel arvuga saadakse esialgsega kollineaarne vektor. Muutuda võivad vektori pikkus ja suund. OMADUSED 1) Assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes: (a) = ()a. 2) Distributiivsus arvude liitmise suhtes: ( + )a = a + a. 3) Distributiivsus vektorite liitmise suhtes: (a + b) = a + b. 4) Arvu "üks" omadus: 1 a = a. 3 VEKTORITE SÜSTEEMI BAAS DEFINITSIOON 1. Kui elementide hulgas V = {a, b, c, . . .} on defineeritud nende liitmine ja arvuga korrutamine, mis rahuldavad eelpool sõnastatud omadusi, siis nimetatakse seda hulka VEKTOR- RUUMIKS ja tema elemente vastavalt VEKTORITEKS. DEFINITSIOON 2
ümbrusesse (a ; a+), st rahuldavad võrratust |xa|< i) Muutuv suurus x läheneb vasakult arvule a, kui iga kuitahes väikese pos. arvu korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad poollõiku (a ; a]. Sellisel juhul kirjutatakse xa ii) Muutuv suurus x läheneb paremalt arvule a, kui iga kuitahes väikese pos. arvu korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad poollõiku [a ; a+ ). Siis kirjutatakse xa + 8) · Piirprotsesside x ja x
annaabi.ee 
