Priit Põdra, 2004 85 Tugevusanalüüsi alused 6. DETAILIDE TUGEVUS PAINDEL · koormuse vähenedes paindedeformatsioonid vähenevad või kaovad täielikult kui koormus kaob (elastsus). · ristlõiked pöörduvad algasendi (ja üksteise) suhtes (pea- Puhas paine = tasandites); varda tööseisund, · varda telg kõverdub ja varda pikkus teljel ei muutu; kus: · ristlõiked jäävad tasapinnalisteks ja nende pindala ei muutu. 6.3. Sisejõud paindel 6.3.1. Paindemoment Sirgele vardale on rakendatud painutav põikkoormus F (Joon. 6.4): · põikkoormus tekitab detailis pöördemomendi ja see paindub (tekivad
Priit Põdra, 2004 85 Tugevusanalüüsi alused 6. DETAILIDE TUGEVUS PAINDEL · koormuse vähenedes paindedeformatsioonid vähenevad või kaovad täielikult kui koormus kaob (elastsus). · ristlõiked pöörduvad algasendi (ja üksteise) suhtes (pea- Puhas paine = tasandites); varda tööseisund, · varda telg kõverdub ja varda pikkus teljel ei muutu; kus: · ristlõiked jäävad tasapinnalisteks ja nende pindala ei muutu. 6.3. Sisejõud paindel 6.3.1. Paindemoment Sirgele vardale on rakendatud painutav põikkoormus F (Joon. 6.4): · põikkoormus tekitab detailis pöördemomendi ja see paindub (tekivad
peatelgedel (vastavalt jõu mõju sõltumatuse printsiibile) Fy ja Fz; Vildakpaindes konsoolne varras Ristlõike paindepinged Nulljoone võrrand Ohtlik ristlõige Mz My z y epüür y+ z=0 Iz Iy A F max My max
teljele võrdub nulliga). Koormuste komponendid telgedel y ja z: F Az =F A∗cos 30 °=730,1∗cos 30 ° ≈ 632,3 N ¿ −¿ F Ay =F A∗sin 30 °=730,1∗sin 30° ≈ 365,1 N ¿ ¿ { F Bz=0 F y =F B =365,1 N Joonis 3. Võlli ristlõigete keskpeateljed 3. Võlli sisejõudude analüüs 3.1 Väändemoment Väändemomendi epüüri koostan lõikemeetodit kasutades (arvestamata jätan laagrite hõõrdemomendid). TAB=M=21,9 Nm(-) Joonis 4. Väändemomendi epüür 3.2 Paindemoment kesk-peatasandis xy Joonis 5. Varda toereaktsioonid y telje sihis Paindemomendi epüüri koostan lõikemeetodiga. Varda paindemomendid telje z suhtes: Kuna varda otstes pöördemomente ei mõju, siis punktide A ja B pöördemoment võrdub
f1 1. Koostada võlli väändemomendi T epüür; f2 2. Valida võlli kesk-peatasandid ning koostada arvutusskeemid ja paindemomendi M epüürid; Rihmade 3. Koostada ekvivalent-paindemomendi Mekv epüür ja tuvastada kaldenurk võlli ohtlik ristlõige; 4
1.Varrastele rakendunud sisejõudude määramine. Koostame arvutusskeemi, mis kujutab endast tasandilist varrate süsteemi. Skeemist selgu, millises varrastes on tõmbe-, millistes survejõud. Koostame tasakaaluvõrrandid X = 0 ; Y = 0 ; M B = 0 : X =0 - FN 3 sin 60 0 + FN 2 sin 30 0 = 0 Y = 0 - FN 3 cos 60 0 - FN 2 cos 30 0 + FN 1 - F = 0 M B = 0 FN 1 l1 - F (l1 + l2 ) = 0 Avaldame kolmandast võrrandist ( M B = 0) : FN 1 l1 = F (l1 + l2 ) 4 FN 1 = 150 (4 +1) FN 1 = 750 / : 4 FN 1 =187,5kN
Sellist koormust loetakse ühte punkti koondatud punkt- ehk koondkoormuseks, mille tähiseks on F ja mõõtühikuks N, kN. Koondkoormus esitatakse enamasti projektsioonidena Fx, Fy, Fz. Vahel taandub koormus jõupaariks, mille toimet hinnatakse momendiga. Momendi tähisena kasutatakse tähti Mx, My ja Mz, mis väljendavad momendi mõju telje x , y, z suhtes. Suhteliselt harva esineb hajutatud moment m ehk lausmoment. Lausmomendi projektsioonid on mx, my ja mz ning mõõtühikud N, kN. 5. Paindemomendi ja põikjõu vaheline seos vardas (valem 1.26, A.Lahe), lisada muutujate tähendus. Lk 44 dMy/dx=Qz(x) My - paindemoment dx - jaotatud koormuse mõjuala pikkus. Qz põikjõud x suhtes/lõikes 6. Põikjõu ja jaotatud koormuse vaheline seos vardas (valem 1.27, A.Lahe),lisada muutujate tähendus, lk 44 Varda elementaarse osa tasakaalutingimustest saadakse varda sisejõudude ja koormuse vahel diferentsiaalseosed dQZ/dx= - q(x) Qz- põikjõud dx- jaotatud koormuse mõjuala pikkus.
Väsimustugevust iseloomustab väsimuspiir R – maksimaalne pinge, mida materjal talub purunemata mingi N0 koormusetsüklite juures (baasarv N0 on terasel 107, mitterauasulamitel 108). Sümmeetrilise koormuse korral väsimuspiiri tähis on -1 (Sele 2.3). 13 Väsimusteimi tehakse erimasinaga (Sele 2.7), kus näiteks pöörlevat teimikut koormatakse paindekoormusega. Nii tekib pöörlev paine ja sellest muutlik-korduvad pinged (Sele 2.8; teimik kinnitatakse masinasse ühest või mõlemast otsast). Koormata võib ka tõmbe- survekoormusega või korduva väändekoormusega. katsekeha Sele 2.7. Väsimuskatsemasin. Väsimuspiiri eksperimentaalseks leidmiseks on vaja 8 ... 12 ühesugust siledat või kontsentraatoritega (sooned, astmed, keermed jms) katsekaha. Esimest katsekeha
Radiaal-tugilaager M = Vedav rihmaratas P = ülekantav võimsus, [W] = pöörlemise nurkkiirus, [rad/s] Veetav rihmaratas Radiaal-laager F3 Joonis 3.1 Arvutusskeem ei arvesta siin tühiseks loetud mõjureid: · varda paine (kuna laagrid on rihmaratastele küllat ligidal); · kõik vibratsioonid; · võlli pöörlemisest tekkinud dünaamilised koormused (tsentrifugaaljõud jms.); · hõõrdumine laagrites. Priit Põdra, 2004
f ( P)dS = f ( A) dS 1. Kahemuutuja funktsiooni integraalsumma mõiste ja f * (P)dS = f * (P)dS + f * (P)dS = f (P)dS m d geomeetriline sisu Vn = f ( P)dS = lim Vn = lim f ( pi , y)dy xi + lim = Kahemõõtmelises hulgas DR2 määratud funktsiooni f(x,y) integraalsummaks antud piirkonnas D nimetatakse summat D D 4. Kahekordse integraali arvutamine ristkoordinaatides
N=F N = F1 + F2 N = F1 - F2 Sisejõud Sisejõud Sisejõud Joonis 2.7 Koormuste süsteemi mõju (konstruktsioonile) = üksikute koormuste mõjude summa 2.3.4. Sisejõudude epüürid. Näited Sisejõud ei pruugi varda pikkuse ulatuses olla Sisejõu epüür = sisejõu graafik pidevalt ühe ja sama väärtusega. piki varda telge Sisejõudude epüürid arvutatakse lõikemeetodiga, nende joonestamisel lähtutakse reeglitest ja soovitustest (Joon. 2.9):
mOA = m = 25 kg OA=l=50 cm z A 3 Variant 3. Varras OA liigub vertikaaltasapinnas ülespoole, pööreldes ümber horisontaalse telje mis läbib punkti O. Alghetkel on varda nurkkiirus 0 = 6,3 1/s. Leida liigendi O reaktsioonkomponendid sel hetkel, mil pöördenurk on parajasti võrdne väärtusega 1. A z mOA = m = 40 kg OA=l=80 cm 1/s
Ühtlaselt painutatud varras Sirge ühtlane vardalõik Painutatud ühtlane vardalõik y Neutraalkiht Mz (-) Pikenenud kiht M y Pikkus: l + l Mz epüür y (-) l Mz (-) Neutraalkiht
(88,,89) Kui detail töötab väsimuskõvera lähedal Kui materjali pajukordselt tsükliliselt koormata jõuga, mis kutsub esile materjalis pinged, mille suurus on suurem väsimustugevuset R 19. Staatiline pinnamoment. Valime koordinaatteljed, millega rööpsete joontega jaotame kujundi lõpmata väikesteks elementideks koordinaatidega x,y ja pindadega dA. Korrutist ydA nim pindelemendi staatiliseks momendiks Sx sama telje suhtes on pindmomentide staatiliste momentide summa, mis väljendab ühe pinna arvutatud integraalina S x = ydA A [m ]2 Olenevalt koordinaattelje asendist kujundi suhtes võib staatiline moment olla positiivne, negatiivne või võrdne nulliga Sx=yeA ehk kujundi staatiline moment mingi telje suhtes võrdub pindala ja raskuskeskme koordinaadi korrutisega. Liitkujundi staatiline moment leitakse osakujundite staatiliste momentide summana 20. Pinna inertsimomendid.
2 (vt käesoleva peatüki tabel 3.1). Ristlõikeelement, mis ei rahulda 3. klassi piirsuhet, kuulub ristlõikeklassi 4. Teras 1 16 Tabel 3.1(1) Ristlõike surutud osade maksimaalne laiuse-paksuse suhe (väljavõte EVS-EN 1993-1-1 tabelist 5.2)* Kahelt servalt toetatud surutud elemendid Paine näidatud telje suhtes Ristlõikeklass Painutatud elemendid Surutud elemendid Elemendi pingejaotus (surve positiivne) 1 c t 72 c t 33
x x ... 2.12 kus v CC siht on paralleelne juhikuga x-x. Juhiku punkti Cx kiirus on üldjuhul x homoteetsete kolmnurkade reegli abil alati leitav: vCC siht on xx-ga moodul x tundmatu. Seega sisaldab ka võrrand 2.12 kokku kolme tundmatut ega ole üksi lahendatav. Lüli CD nurkkiirus CD = xx . Düaade moodustavate lülide kiiruste arvutamise algoritm [Näited loengul ja praktilistes tundides] 1. Düaadi kummagi lüli kohta kirjutatakse vastavalt tema tüübile võrrand 2,10 võiu 2.12. Tulemuseks on kahest vektorvõrrandist koosnev süsteem. 2. Elimineeritakse ühine, kahte tundmatut sisaldav vektor. Tekib uus vektorvõrrand, kus tundmatud on ainult kaks moodulit. 3. Saadud võrrand lahendatakse graafiliselt st
kusjuures betooni suur survetugevus jääb põhiliselt kasutamata. Raudbetoontala töötab kuni esimese prao tekkimiseni analoogiliselt betoontalaga. Prao tekki- mine kriitilises lõikes ei põhjusta aga tala purunemist, vaid viib normaalpingete ümberjaotu- misele praoga ristlõikes: kogu tõmbetsooni sisejõud, mis seni võeti vastu betooniga kantakse nüüd üle tõmbetsoonis olevale pikitõmbearmatuurile. Edasisel koormamisel tekivad praod ka teistes ristlõigetes vastavalt paindemomendi suurenemisele neis. Õigesti projekteeritud raudbetoontala puruneb siis, kui kriitilises lõikes üheaegselt ammendub tala surve- ja tõmbe- tsooni vastupanu, s.o. kui tõmbearmatuuri pinge saavutab terase voolavustugevuse, betooni pinge survetsoonis aga betooni survetugevuse. Sõltuvalt eeskätt armatuuri hulgast võib raud- betoontala kandevõime kümneid kordi ületada vastava betoontala kandevõimet. Mõõdukalt
MATEMAATILINE ANALÜÜS II Kood YMM0012 3,5 AP KORDAMISKÜSIMUSED 1. Mitme muutujaga funktsiooni mõiste m-muutuja funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse P igale väärtusele tema muutumispiirkonnast D vastavusse suuruse z ühe kindla väärtuse Mitmemuutuja funktsioon graafik Funktsiooni z=f(x1,x2,...,xm), määramispiirkonnaga D, graafikuks nimetatakse järgmist ruumi Rm+1 alamhulka ={(x1,x2,...,xm,f(x1,x2,...,xm))||P(x1,x2,...,xm)D} 2. Nivoojooned ja pinnad Kahemuutuja funktsiooni z=f(x,y) nivoojooneks nimetatakse joont, mille moodustavad piirkonna D punktid (x,y) mille korral f(x,y)=C, kus C on etteantud konstant Skalaarvälja f ehk funktsiooni f nivoopinnaks nimetatakse pinda, mis koosneb piirkonna D punktidest (x,y,z) mille korral f(x,y,z)=C, kus C on etteantud konstant. 3. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus ja pidevus Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtus m-muutuja funktsioonil f on piirväärtus b punktis A kui suvalises piirprotsessis PA, mis rahulda
............................................... 11 Kasutatud kirjandus ............................................................................................. 11 Lisa 1 ................................................................................................................... 12 Lisa 2 ....................................................................................... 14 1. Mootori valik Trumli pöörlemiseks vajalik võimsus PT = T T kus T pöördemoment, Nm; T - nurkkiirus, rad/s. Pöördemoment D D 0,16 T =F mg = 600 * 9,81 * 471 Nm 2 2 2 kus g 9,81 m/s raskuskiirendus; F - tõstejõud. Nurkkiirus 2v 2 * 0,12 T = = = 1,5 rad/s D 0,16 Siis vajalik võimsus PT = T T = 471 * 1,5 707 W Mootori võimsust saab tingimusest PT PM = 1 2 33
1. Kompleksarv kui reaalarvude paar. Tehted kompleksarvudega. Tehete omadused. Kompleksarvu algebraline kuju. Tuletatavad tehted ja nende omadused. Kompleksarvuks nimetatakse reaalarvude paari (x,y). C = {(x;y) | x, y R} Tehted kompleksarvudega: z1 = (x1; y1) C; z2 = (x2; y2) C 1. liitmine: z1 + z2 = (x1 + x2; y1 + y2) 2. korrutamine: z1 * z2 = (x1x2 - y1y2; x1y2 + x2y1) Kompleksarvudega tehete omadused 1. liitmine on kommutatiivne, st z1 + z2 = z2 + z1 z1, z2 C korral 2. liitmine on assotsiatiivne, st (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) z1, z2, z3 C korral 3. liitmise suhtes leidub nullelement (reaalarv 0, 0 + z = z + 0 = z z C korral), st leidub C, nii et z + = + z = z z korral; = (0; 0) = 0 4. igal kompleksarvul z = (x; y) = x + yi leidub (liitmise suhtes) vastandarv, st selline arv w C, et z + w = w + z = 0; w = -z 5. korrutamine on kommutatiivne, st z1z2 = z2z1 z1, z2 C korral 6. korrutamine on assotsiatiivne, st (z1z2)z3 = z1(z2z3) z1, z2, z3 C korral
nom Pöördesagedus nnom = 1435 n1 = = n2 = 1 ntm= n2= ü ü 93,18 n, p/min 1435/4,4=326,14 =326,14/3,5=93,18 Nurkkiirus nom = 1 = nom= 2 = 1 = tm = 2 = ü ü 3,14*1435/30=150,2 9,75 = 1/s 150,2/4,4=34,14 34,14/3,5= 9,75 Jõuparameetrite arvutus: m K A tm
Vrd2=0,51*0,51*16*10^3/2,0=2081 kN > VSd=425,7 kN 20% Nihketugevus on tagatud Koostas N.N 2011 24 TTÜ Kivikonstruktsioonid projekt EER0022 9. Välisseina tugevuskontroll 9.1 Esimesel korrusel Sein1, keskmises tsoonis Nü M epüür N epüür Nü tegelik lihtsustatud q=g+p a25c 607 m 7,37 647 Nq
Mineraalvill soojustus 0,2 kN/m2 Aurutõke 1 kiht SBS 0,05 kN/m2 Vineer 12mm 0,06 kN/m2 tala ja sidemed 0,3 kN/m2 Kokku omakaalukoormus: 0,82 kN/m2 18 Lumekoormus 1,2 kN/m2 Arvutuslik pindkoormus katusele qd=0,82x1,2+1,2x1,5=2,78 kN/m2 Arvutuslik joonkoormus katusele qd=2,78x3=8,35 kN/m Tala dimensioneerimine Maksimaalne paindemoment on keskmiste postide kohal ja selle väärtuseks on MSd=89,1 kNm Vajalik vastupanumoment on Wvaj=(MSdx1,1)/fy=89,1x1000x1,1/235=417cm3 Piisavaks osutub profiil IPE270. Postide dimensioneerimine Postide näol on tegemist surutud ja painutatud varrastega. Postidele mõjuv katuselt tulev koormus on N Sd=95,0 kN Tuule poolt põhjustatud paindemoment on MSd=184,9 kNm Valitud profiiliks on HE450A pikkusega 12,6m, mille ristlõike parameetrid on: A=178 cm2 Wy= 2900 cm3 Wpl,y=3220 cm3 iy=18,9 cm iz=7,29 cm y=2520/18,9=133,3 z=1260/7,29=172,8
.................................................. 27 4.4.1 Surve pikikiudu ............................................................................................................................. 27 4.4.2 Surve ristikiudu............................................................................................................................. 27 4.4.3 Surve kiudude suhtes nurga all .................................................................................................... 28 4.5 Paine................................................................................................................................................ 29 4.6 Vildakpaine ...................................................................................................................................... 29 4.7 Tõmme koos paindega .................................................................................................................... 30 4.8 Surve koos paindega...............................
TEHNILINE ÜLESANNE LINTKONVEIERI AJAM Õppeaines: MASINAELEMENDID Mehaanikateaduskond Esitamiskuupäev:.................... Üliõpilase allkiri:.................... Õppejõu allkiri:.................... Tallinn SISUKORD 1. TEHNILINE ÜLESANNE ................................................................................................ 5 1.1. AJAMI TÖÖIGA ........................................................................................................ 5 1.2. MOOTORI PARAMEETRITE MÄÄRAMINE ......................................................... 5 1.3. AJAMI JA TEMA ASTMETE ÜLEKANDEARVUDE MÄÄRAMINE .................. 5 2. HAMMASÜLEKANDE MATERJALI VALIK. ............................................................ 10 2.1. HAMMASRATASTE KÕVADUSE, TERMOTÖÖTLUSE JA MATERJALI VALIK ...................................
.............................. 22 5.4.3 Seina nihkestabiilsus........................................................................................................................... 23 5.4.4 Toe- ja jäikusribi kandevõime leidmine.............................................................................................. 25 5.4.5 Tala seina kandevõime koondatud koormuste suhtes....................................................................... 26 5.5 Ristlõike kandevõime paindemomendi ja põikjõu koosmõju ............................................................... 28 5.6 Ristlõike kandevõime pikijõu ja põikjõu koosmõju ............................................................................... 28 5.7 Ristlõike kandevõime paindemomendi ja pikijõu koosmõju................................................................. 29 5.8 Ristlõike kandevõime paindemomendi, põikjõu ja pikijõu koosmõju................................................... 30
Mitmemuutuja funktsiooni mõiste. Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtuse definitsioon. Pideva mitmemuutuja Kui funktsiooni z=f(x,y) on diferentseeruv kohal (x,y), siis funktsioon f on pidev sellel kohal. funktsiooni definitsioon. Kahemuutuja funktsiooni pidevuse geomeetriline sisu. Funktsioon z=f(x,y) on diferentseeruv kohal (x,y) siis, kui funktsioonil z=f(x,y) on pidevad osatuletised fx ja fy kohal (x,y). Kui hulga Rn igale punktile P(x1, . . . , xn) on vastavusse seatud muutuja u R kindel väärtus, siis öeldakse, et hulgal on Kui funktsiooni f(x,y) osatuletised fx(x,y) ja fy(x,y) on diferentseeruvad kohal (x,y), siis fxy = fyx kohal (x,y). defineeritud n-muutuja (skalaarväärtusega) funktsioon. Suurust df:=fx(x,y)dx + fy(x,y)dy, kus dx:= x ja dy:= y, nimetatakse funktsiooni f(x,y)
VRd,c=0,12 ∙ k √3 100 ρ1 f ck bwd Valin d=200 mm ja kontrollin, kas põikjõu vastuvõtt on tagatud: VEd,d= 56 kN As1 869,5 ρ= bd = 1000 ∙ 200 =0,00435 3 VRd,c=0,12 ∙ 2 ∙ √ 100 ∙ 0,00435∙ 25 ∙ 1000 ∙ 200=106 kN Kuna VRd,c=106 kN ¿ VRd,c,min=99 kN, siis määravaks saab esimene. Põikjõukandevõime on tagatud. 4.1.2 Töötav armatuur Leiame arvutuslikus lõikes mõjuva paindemomendi: 225,4 ∙0,5252 MEd= 2 =31 kNm Dimensioneerin vajaliku armatuuri: M Ed 31 ∙106 µ= f bd2 = 16,7 ∙ 1000 ∙2002 =0,0465 cd −ω ω=1 −√ 1−2 µ =1 −√ 1−2∙ 0,0465 =0,0476; Ƹ=1 2 =0,976 17 ωf cd bd 1 0,0476∙ 16,7 ∙1000 ∙ 200
reast 160; 200; 250; 320; 400; 450; 560; 630; 710; 800; 900; 1000 mm [2]. 4 4. Mootorreduktori valik . Trumli pöörlemiseks vajalik võimsus M = FR PT = T T , kus T pöördemoment, Nm; R T nurkkiirus, rad/s. F=G Pöördemoment D T = F 2 m kus F tõstejõud ( F = Fmax = 6,67 kN). G = mg D 0,16 Siis T = F = 6671 = 534 Nm 2 2 Sele 3. Trumli pöörlemiseks
2/y2= -k2yacos(t-kr)= -k2y 2/z2= -k2zacos(t-kr)= -k2z. Liidame võrrandid ja kõrvutades need ning siis, võttes arvesse, et (x,y,z;t)=a cos(t-kxx- kyy-kzz) kohaselt k2/2=1/v2, saame lõplikult: 2/x2+2/y2+2/z2=1/v2* *2/t2. §49. Lainete interferents ja difraktsioon. Koherentsete lainete liitumisel tekib interferentsi nähtus: osas punktides võnkumised tugevdavad, teises aga nõrgendavad teineteist. Vaatleme kahte lainet, mis levivad konstantse faasivahega võnkuvatest punktallikatest O1 ja O2. Määrame resultantvõnkumise keskkonna mingis punktis tingimusel, et mõlema laine poolt tekitatavad võnkumised on samasihilised (selleks kas peab laineallikate vahekaugus olema tunduvalt väiksem kui antud punkti kaugus allikatest või peavad võnkumised toimuma risti tasapinnaga, milles asuvad allikad ja vaadeldav punkt). Punktides, mis on määratud tingimusega: k(r 1-r2)-(a1-a2)=±2n (n=0,1,2,...), võnkumised tugevdavad üksteist ja resultantliikumine on harm
Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) §1. MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID 1. Ruum R m , hulgad selles ruumis Def. Kõigi m reaalarvust koosnevate järjestatud süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) hulka nimetatakse m-mõõtmeliseks ruumiks. Def. Kui m-mõõtmelises ruumis defineeritakse süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) ja Q = ( y1 ,..., y m ) m vaheline kaugus d (P, Q ) valemiga d (P, Q ) = (x - y i ) , siis nimetatakse seda ruumi 2 i i =1 m-mõõtmeliseks eukleidiliseks ruumiks ja tähistatakse R m . Süsteemi P = ( x1 ,..., x m ) nimetatakse ruumi R m punktiks ning reaalarve xi (1 i m ) punkti P koordinaatideks.
JÜRI KIRS TEOREETILINE MEHAANIKA I Loenguid ja harjutusi staatikast Tallinn 2010-2011 J. Kirs Loenguid ja harjutusi staatikast 2 Käesolev õppevahend on esimene osa neljaköitelisest interneti õpikust, mis on pühendatud teoreetilisele mehaanikale. Selle õpiku osad on: I) Loenguid ja harjutusi staatikast, II) Loenguid ja harjutusi kinemaatikast, III) Loenguid ja harjutusi dünaamikast, IV) Loenguid ja harjutusi analüütilisest mehaanikast. Nendest II ja III osa on internetis juba ilmunud, II osa 2008. aastal, III osa 2004. aastal. I osa valmis 2011. aastal. Õpik on mõeldud eeskätt TTÜ üliõpilastele, aga seda võivad edukalt kasutada ka teiste kõrgkoolide ning kolledžite üliõpilased, kus õpitakse teoreetilist mehaanikat. TTÜ-s õpetatakse praegu teoreetilist mehaanikat kahes osas: 1) Staatika ja Kinemaatika kursus; 2) Dünaamik
1. Mitmemuutuja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite mõisted. Statsionaarne punkt. Kriitiline punkt. piirkonna D rajajoon. Eeldame, et piirkonnas D on täidetud tingimus f(x,y)>=g(x,y). Kahekordse integraali 𝑥 = 𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜑 Mitmemuutuja funktsiooni lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Definitsioon 1. Öeldakse, et kahe omaduse tõttu ∬𝐷[𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝑔(𝑥, 𝑦)]𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 − ∬𝐷 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦. Mõlemad kahekordsed 𝑦 = 𝜌 𝑠𝑖𝑛𝜑 muutuja funktsioonil on punktis P1(x1, y1) lokaalne maksimum, kui sellel punktil leidub niisugune ümbrus tei
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
