FUNKTSIOONIDE TULETISED Funktsiooni y=f(x)tuletiseks kohal x nimetatakse funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. f ( x + x)- f ( x) f ' ( x)= lim ¿ x 0 x Funktsiooni summa ja vahe tuletis [f (x) + g (x) ]' = f ' (x) + g ' (x) [f (x) - g (x) ]' = f ' (x) - g ' (x) Funktsiooni korrutise tuletis [f (x) * g (x) ]'= f ' (x) *g (x) + f (x) * g ' (x) Funktsiooni jagatise tuletis [ ] f (x) g(x) '= f ' ( x)g (x )- f ( x )g ' ( x) [ g ( x) ]
Lõpmata väikeste suuruste omadused: Lõpliku arvu lõpmata väikeste suuruste summa on lõpmata väike suurus. Tõkestatud muutuva suuruse ja lõpmata väikese suuruse korrutis on lõpmata väike suurus. Lõpliku arvu lõpmata väikeste suuruste korrutis on lõpmata väike suurus. Arv e. Piirväärtuse arvutamine. L'Hospitali valem, selle kasutamise eeldused. Tuletis, selle rakendused Tuletis, selle geomeetriline tähendus. Funktsiooni tuletis on funktsiooni ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu tõkestamatul lähenemisel nullile. Geomeetriline tähendus ülesanne joone puutujast See tähendab, et funktsiooni tuletise geomeetriliseks vasteks on funktsiooni graafiku puutuja tõus punktis, mille abstsiss on x. Mehaaniline tähendus ülesanne punkti kiirjusest Tuletise arvutamine definitsiooni järgi. Funktsiooni tuletise leidmist nimetatakse ka diferentseerimiseks. Tuletise leidmiseks on vaja: 1
Funktsiooni tuletis Rühmatöö Sirgjoonelise liikumise teepikkus s (meetites) sõltub liikumise ajast t (sekundites) järgmiselt: s = 0,3t 2 + t Leida funktsiooni muut. Mida võimaldab see valem arvutada? Leitud valemi abil arvutada ajavahemikul 3 t 5 läbitud teepikkus. Leida funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhe. Mida võimaldab see valem arvutada? Leitud valemi abil arvutada keskmine kiirus lõigus 3 t 5 s Leida piirväärtus lim Mida võimaldab see valem arvutada? t 0 t Leitud valemi abil arvutada hetkeline kiirus momendil t = 5 2 Diferentsiaalarvutuse rajajad Isaac Newton Gottfried Wilhelm Leibniz 1643-1727 1646-1716
geomeetriline kujutamine. määramispiirkonnaks. Kui kahe teineteisest sõltumatu muutuva suuruse x ja y igale väärtuspaarile (x; y) mingisugusest nende muutumispiirkonnast D vastab suuruse z väärtus, siis öeldakse, et z on kahe sõltumatu muutuja x ja y funktsioon, mis on määratud piirkonnas D. Argumentide x ja y 2. Kahe muutuja funktsiooni , saame z uue muudu z, mida osamuudu ja täismuudu mõisted nimetatakse funktsiooni z (kujutada ka joonisel). täismuuduks ja mis on määratud Et y väärtus sellel tasandil on valemiga: z = f(x+x,y+y) f(x,y). konstantne, siis muutub z joonel PS ainult sõltuvalt argumendi x muutumisest. Andes sõltumatule muutujale x muudu x , saab z muudu, mida nimetatakse z osamuuduks x järgi ja tähistatakse sümboliga x z
t. integraal on ülemise raja funktsioon. Tähistame muutuva raja x'ga ning integreerimismuutuja t'ga. Et see integraal on ülemise raja funktsioon, tähistame ta (x). Kui f(x) on pidev funktsioon ja , siis kehtib võrdus: =f(x) Teisisõnu: määratud integraali tuletis ülemise raja järgi on võrdne integreeritava funktsiooniga, kusjuures integreerimismuutuja on asendatud ülemise rajaga. TÕESTUS Anname argumendile x positiivse või negatiivse muudu Dx, siis määratud integraali 6. omaduse järgi: Funktsiooni (x) muut: =(- (x)= ehk Rakendades viimasele integraalile keskväärtusteoreemi, saab funktsiooni muudu esitada: =f()(x+x)= f() kus x on väärtus ja x+x vahelt. Leiame funktsiooni muudu ja argumendi muudu jagatise: Järelikult
Funktsiooni tuletis Paljude matemaatiliste probleemide lahendamine viib tulemusele, et tuleb võtta funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel 0 st y lim x x 0 Seetõttu on antud sellele piirväärtusele erinimetus ja sümbol. Funktsiooni f(x) muutumise kiirust kohal x0 nimetatakse funktsiooni tuletiseks kohal x0 ja tähistatakse f´`(X) y f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f `( x0 ) lim lim . x 0 x x 0 x
a b 103 c´ 10-5 N2 0 191,5 27,88 4,27 - 298-2500 O2 0 205,04 31,46 3,39 -3,77 298-3000 NO 91,26 210,64 29,58 3,85 -0,59 298-2500 1. Arvutan Gibbsi energia muudu standardtemperatuuril G0298 = H0298 + T S0298 Selleks arvutan reaktsiooni tekke-entalpia standardtemperatuuril: H0298 =2 Hf (NO) - Hf (N2) Hf (O2) = 291,26 0- 0 = 182,52 kJ/mol = 182520 J/mol ning entroopia muudu: S0298 =2 S0 (NO) - S0 (N2) S0 (O2) = 2210,64 205,04- 191,5 = 24,74 J/mol K Saame Gibbsi energia muudu: G0298 = 182520 J/mol 298 K 24,74 J/mol K = 175147,48 J/mol 2. Arvutame tasakaalukonstandi G0298 = - RT ln Kp R= 8,314 J/molK
2.funk liigitus kui terves määramispiirkonnas kehtib funk f(x) jaox võrdlus f(-x)=f(x), siis on tegemist paarisfunktsiooniga. süm y- telje suhtes. F(x)=x2 , x4 .3.funk piirväärtus-vaatleme funk f(x).kui argumendi x väärtuste jada xn lähenemisel arvule a üxkõik kummalt poolt kas paremalt või vasakult funk väärtuste jada f(xn) läheneb kindlale arvule A siis see arv A on funk f(x) piirväärtus argumendi x lähenemisel arvule a lim f(x)=A 4.funk tuletis-funk tuletis on funk muudu ja argu muudu suhte piirväärtus argu muudu lähenemisel nullile.y=f(x) tuletiste tähised y`,f`(x),dy/dx,df/dy,yx funk tuletis sümb.- y`=lim(x0) y/x=lim(x0) f(x+x)- f(x) / x ..funk tuletise väärtus mingis puntkis näitab selle funk muutumiskiirust antud punktis. 5.joone puutuja-joonele mingis punktis tõmmatud puutuja on seda punkti läbivate lõlikajate piirasend.putuja võrrand y-y0=f`(x0)*(x-x0) 6.funk kasv/kah ja extreem-funk f(x) kasvamispiirkond on selline osa
Teades nivoojooni, on lihtsam uurida pinna z=f(x,y) iseloomu. 4. Kahe muutuja funktsiooni osamuut ja täismuut. (Definitsioonid + korralik selgitus joonise 1 põhjal). Vaatleme pinna z=f(x,y) ja xy-tasapinnaga paralleelse tasapinna y=const lõikejoont PS. Et y väärtus sellel tasapinnal on konstantne, siis muutub z joonel PS ainult sõltuvalt x muutumisest. Andes sõltumatule muutujale x muudu x, saab z muudu, mida nim. z osamuuduks x järgi ja tähistatakse sümboliga xz (joonisel lõik SS'). xz=f(x+ x,y)-f(x,y) Analoogiliselt, kui x väärtus on konstantne ja y saab muudu y, siis saab z muudu, mida nim. z osamuuduks y järgi. Seda muutu tähistatakse sümboliga yz (joonisel lõik TT').
poolt, siis funktsiooni väärtuste jada f(xn) läheneb kindlale arvule A, siis see arv A ongi selle funktsiooni f(x) piirväärtus (argumendi x lähenemisel arvule a). - Kui xa, siis f(x)A - Omadused(5): 4. Funktsiooni tuletise mõiste (sõnad+sümbolid). Selgitav joonis. Ühe funktsiooni tuletise leidmine tuletise mõitsest/definitsioonist lähtudes. - Funktsiooni tuletis on funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile. Funktsiooni tuletise väärtus mingis punktis näitab selle funktsiooni muutumise kiirust selles punktis. - 5. Joone puutuja võrrand ja selle tuletamine. Selgitav joonis! - y-y0=k*(x-x0) k=tan =f'(x0) 6. Funktsiooni kasvamispiirkond, kahanemispiirkond ja ekstreemumid. Kasvamispiirkonna, kahanemispiirkonna ja ekstreemumite seosed funktsiooni tuletisega. - Funktsiooni kasvamispiirkond on selline osa määramispiirkonnast, milles suuremale
siseenergiaks. Soojusülekandeks nimetatakse siseenergia levimist ühelt kehalt teisele. Soojusülekandes levib siseenergia soojemalt kehalt külmemeale kehale. Kehadevahelise soojusvahetuse korral suureneb kõigi soojenevate kehade siseenergia täpselt nii palju, kui väheneb jahenevate kehade siseenergia. Soojusliku tasakaalu korral puudub kehade vahel soojusülekanne. Keha siseenergiat saab muuta kahel viisil: töö ja soojusülekande teel. Keha temperatuuri muudu leidmiseks tuleb keha lõpptemperatuurist lahutada selle algtemperatuur (t2-t1). Erineva massiga kehade soojendamiseks sama temperatuuri muudu võrra kulub erinev soojushulk. Keha soojendamiseks kuluv soojushulk sõltub temperatuuri muudust, keha massist ja ainest.
põhifunktsioon on on pidev punktis, milles ta on määratud. Pidevuse tunnus: f(x) arv; ; lim y=0 Pideva funktsiooni korral lõpmata väikesele argumendi muudule vastab lõpmata väike arv. 3. Defineerida funktsiooni y = f (x) tuletis y'. Sõnastada ja tõestada funktsiooni diferentseeruvuse ja pidevuse vaheline seos. Definitsioon: Funktsiooni y=f(x) tuletiseks argumendi x järgi nimetatakse funktsiooni muudu y ja argumendi muudu x suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. Funktsiooni y=f(x) tuletist punktis x tähistatakse f ' ( x ) , st f'(x) = def. ,kus muut (mis vastab argumendi muudule lim(xx0) y/x = lim(xx0) [(f(x0+ x)-f(x0)/ x] (*) Tähistatakse y` x` (y tuletis x järgi) v f`(x) v dy/dx v (d/dx)y Antud funktsiooni f(x) tuletise leidmist nimetatakse selle funktsiooni diferentseerimiseks.
x' y Kasutame pöördfunktsiooni fifferentseerimise reeglit: 1 1 1 1 y ' x = (arctan x )' = = = = = ( arctan x ) ' x' y ( tan y ) ' y 1 + tan y 1 + x 2 2 8. Defineerida diferentseeruva funktsiooni diferentsiaal dy . Esitada funktsiooni muudu ja diferentsiaali vaheline seos. Diferentseeruva funktsiooni f(x) muudu y pea osa f ( x) * x nimetatakse funktsiooni diferntsiaaliks ja tähistatakse dy definitsioon: dy = f ' ( x) * x Esitan funktsiooni muudu ja diferentsiaali vahelise seose. Kui y = f (x) on liitfunktsioon ,kus x = g (t ) , siis dy = f ' ( x) * x't *dt = f ' ( x ) * dx st. funktsiooni diferentsiaali kuju on argumendi suhtes invariantne.
– Füüsikaline suurus. Hetkiiruse muutumise kiirus. Kiirendus iseloomustab kiiruse muutumise kiirust. Kiirendus näitab kiiruse muutu ühes sekundis. 3) Millal on kiirendus positiivne, millal negatiivne? – Kiirendus on positiivne kui kiirus kasvab ehk lõppkiirus on suurem kui algkiirus. Kiirus on negatiivne, kui kiirus väheneb. 4) Kuidas kiirenduse valmist tuletada keha kiirust mingil ajahetkel? – Kiirenduse arvutamiseks jagame kiirenduse muudu selle muudu tekkimiseks kulunud ajaga. Kiirendus = kiiruse muut/aeg => valem: a = V – Vo / t A = kiirendus V = lõppkiirus Vo = algkiirus t = aeg ÜHTLASELT MUUTUVA LIIKUMISE LIIKUMISVÕRRAND JA LIIKUMISGRAAFIK 1) Kuidas arvutada ühtlaselt muutuval liikumisel nihet? – s = Vot + at ruudus / 2 s = nihe v = algkiirus a = kiirendus t = liikumise aeg + = kiirenev liikumine - = aeglane
f(ax) = f(ax) võrdle: (6x)' = 6 (ax)' = a 4) MIKS SEE dx SEAL TAGA JÕLGUB? Tuletame meelde, mis on diferentsiaal · On antud funktsioon y =f(x) , selle funktsiooni tuletis funktsiooni määramispiirkonna mingis punktis x avaldub võrdusega: y lim x = x 0 f'(x) Tuletis on ju funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile... Funktsiooni tuletis on kindel arv, see on funktsiooni väärtus, millele ta läheneb pidevalt, ent millega ta iialgi reaalselt võrduda ei saa. Seega võib öelda, et y ja x suhe erineb x lähenemisel nullile funktsiooni tuletisest f'(x) lõpmata väikese suuruse võrra (ärme unusta, et lõpmata väike suurus on muutuv suurus): y x = f'(x) + a , kus a 0 ja x 0
z=b piirväärtus ei võrdu nulliga: lim(y/z)=a/b, b0 · Kui yuz ja lim y=lim z=a, siis ka lim u=a · Funktsioonil y=f(x) ei saa olla rohkem kui üks piirväärtus. L'Hospitali valem, selle kasutamise eeldused. See reegel on rakendatav ainult 0/0 ja / korral. Tuletis , selle rakendused. Tuletis, selle geomeetriline tähendus Funktsiooni tuletis on funktsiooni ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu tõkestamtul lähenemisel nullile. Funktsiooni tuletise geomeetriline tähendus on et funktsiooni graafiku puutuja tõus punktis mille abstsiss on x. Tuletise arvutamine definitsiooni järgi. · Funktsiooni tuletise leidmist nim ka diferentseerimiseks. Tuletise leidmiseks on vaja: · fikseerida argumendi mingi väärtus x ja arvutada sellele vastav funktsiooni väärtus · anda argumendile muut x ja arvutada uuele argumendi väärtusele x+x vastav funktsiooni väärtus
6. Nõudlusfunktsioon Nõutav kogus QD on toote ühikuhinna p funktsioon, mida väljendatakse QD=Q (p) Pakkumisfunktsioon Pakutav kogus QS on toote ühikuhinna p funktsioon, mida väljendatakse kujul QS=Q (p) 7. Defineerida tuletis. Mis on marginaalsuurus? Mida tähendab, et marginaalkulu on 15 krooni? Mida tähendab, et marginaaltulu on 10 eurot? Mida tähendab, et marginaalkasum on 30? tuletis on funktsiooni väärtuse muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile. Marginaalsuurus majandusnäitajatega funktsiooni tuletis Mkulu 15kr tähendab ligikaudu täiendava tooteühiku tootmiseks vajalikku kogukulu muutu Mtulu 10 - tähendab ligikaudu täiendava tooteühiku müümisest tekkivat kogutulu muutu 8. Milline on tuletise geomeetriline tähendus? Funktsiooni graafiku puutuja tõus antud punktis, f' (x) = tan 9. Mis on funktsiooni diferentsiaal
Antud vee mass m1=0,1 kg vee temperatuur t1=20ºC J kg vee erisoojus c1 = 4190 K raua mass m2 = 0,1 kg raua temperatuur t2=40ºC J kg raua erisoojus c1 = 470 K Leida lõpptemperatuur t=? Lahendus Lähtume energia jäävusest soojusülekandel Q1 + Q2 = 0 . Avaldame soojushulgad massi, erisoojuse ja temperatuuri muudu kaudu ja avaldame lõpptemperatuuri t: m1c1 (t - t1 ) + m2 c2 (t - t2 ) = 0 m1c1t - m1c1t1 + m2 c2 t - m2 c2 t2 = 0 ( m1c1 + m2 c2 )t = m1c1t1 + m2 c2 t2 m1c1t1 + m2 c2 t2 t= m1c1 + m2 c2 Arvutame
Püsikomaarv arvud nt. 0.000004, 0.0000213 Ujukoma arv- kui püsikomaarv on liiga pikk st. liiga palju nulle pärast koma, siis tuuakse sobiv 10 aste sulgudest välja. Nt 4*10-4 4,56*10-23 Loeng 2. Suurused: · Pikkus parameeter ruumi ulatuse mõõtmiseks, 1 m · Aeg parameeter ajavahemike mõõtmiseks, 1 s · Kiirus näitab, mitu ruumiühikut liigub keha ühes ajaühikus 1 m/s · Kiirendus esimene tuletis kiirusevõrrandist, kiirendus on kiiruse muudu ja aja muudu suhe Pöördliikumine: · Pöördenurk - nurk, mille võrra pöördub ringliikumises oleva keha trajektoori raadius mingi aja jooksul · Nurkkiirus - näitab, kui suur pöördenurk ajaühikus läbitakse · Nurkkiirendus näitab kui palju muutub nurkkiirus ajaühiku jooksul, 1 rad/s Normaal- ja tangentsiaalkiirendus · Normaalkiirendus (kesktõmbekiirendus) väljendab ringliikumisel kiiruse suuna
Katseliselt uuriti 3 isoprotsessi : 1. Temp. p=C1*1/v Boyle Mariote seadus : 2. V=const. p=C2*T(Charlesi seadus) 3. P=const. V= C3*T . Gay Lussaci seadus - 3 seadust võttis kokku üheks Clapeyrom, tema järgi ühe mooli kohta kehtib seadus pv= RT (r- universiaalne gaasi constant.) Isoprotsessid - protsessid, kus üks parameteeter jab konstantseks. Siin eeldame, et aine kogus ei muutu. 1) Isobaariline(horisontaalne) Suuremal rõhul muutub gaasi ruumala sama temperatuuri muudu juures vähem. 2) isokooriline(Vertikaalne) Suurema ruumala korral muutub sama temp. muudu juures rõhk vähem. 3) isotermiline(kaar) Väiksemal temp. toimub rõhu muutus kiiremini. Fluktuatsioon - erinevus tasakaaulu olekust. Igal termodünaamilisel süsteemil on oma tasakaaluolek. Süsteem püüdleb tasakaaluoleku poole. Mikrokäsitluses tähendab see osakeste ühtlast jaotumist. ÜL: mo ühe molekuli mass, iga aine molekulil on mass, v kiirus, v´- molekulide liikumise keskmine kiirus
(DA0), siis on süsteemil üks lahend xj=Dj/DA (j=1,2,...,n) tingimus n=m Dj saadakse süsteemi determinandist D j-nda veeru asendamisel vabaliikmete veeruga. a11a12 . .d1. .a1n - Aj 1 a21a22 . .d 2 . .a2n xj = = A A.............. an1an 2. .d n . .ann 11. Tuletise mõiste ja sisuline tähendus, muutumise määr ja tuletis, tuletis ja kõvera kallak (st tõus või langus) Kui kohal x on f-ni y=f(x) muudu ja argumendi muudu jagatisel olemas piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile, siis nim seda piirväärtust antud f-ni tuletiseks kohal x ja tähistatakse f´(x). f ( x + x) - f ( x ) f ' ( x ) = lim x 0 x y f ( x 0 + x ) - f ( x 0 ) = erinevuste suhe, y-i, x-i keskmise muudu määr. Kui x on väga väike, x x siis tuletis on funk-i muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile. y/x mõõdab y-i muutumise määra. Tuletis on hetkelise muudu määr
12. Kui x läheneb lõpmatusele, siis funktsioon x läheneb arvule e: n 1 lim 1 + = e x n 13. Logaritme alusel e = 2,718... nimetatakse naturaallogaritmideks. 14. 15. Argumendi muut ja funktsiooni muut (joonis). Funktsiooni pidevuse definitsioon. Elementaarsete põhifunktsioonide pidevus. Funktsiooni katkevus ja katkevuspunkt. Pidevate funktsioonide omadused koos joonistega. 16. Kui argument x muutub x (argumendi muudu) võrra ning omandab väärtuse x = x 0 + x , siis ka funktsioon muutub y (funktsiooni muudu) võrra ja saab väärtuse y 0 + y = x ( x 0 + x) .Funktsiooni muut y = f ( x 0 + x ) - f ( x0 ) . 17. x 18. Funktsiooni y = f (x) nimetatakse argumendi väärtusel x = 0 (ehk punktis x0 x x
Kui välisjõud teevad tööd mõne süsteemi jõudude vastu, siis keha siseenergia suureneb. Praktikas on ainsaks võimaluseks kasutada töötava kehana mingit gaasikogust. Gaasi paisumise töö on alati võrdeline rõhuga ja ruumala muuduga antud rõhul. Isohoorilises tööprotsessis läheb kogu juurdeantav soojushulk siseenergia suurendamiseks. Isobaarilise protsessi puhul jaguneb juurdeantav soojushulk paisumise töö ja siseenergia muudu vahel. Isotermilises protsessis läheb koju juurdeantav soojushulk paisumistööks (kõige kasulikum). Tsükliline protsess on ainus võimalus kestvaks soojuse muutmiseks tööks ning selle puhul tuleb paisuvat gaasi vahepeal ka jahutada ja kokku suruda. Soojusmasin ei saa töötada ühel kindlal temperatuuril. Kui suruda gaasi kokku paisumisest madalamal temperatuuril, kulub kokkusurumiseks vähem tööd, kui gaas seda paisudes teeb
Question 8 Säästmisfunktsiooni kalde määrab säästmise piirkalduvus (MPS), mis väljendab igast täiendavast tuluühikust säästmiseks kasutatavat osa. Complete Mark 1.0 out of 1.0 Select one: True False Question 9 Tarbimise piirkalduvus (MPC - marginal propensity to consume Complete ) on tarbimiskulutuste muudu ja kasutatava tulu muudu jagatis ning väljendab, Mark 1.0 out of 1.0 kui suur osa igast täiendavast tuluühikust läheb tarbimiskulude katteks. Select one: True False Question 10 Kui kogunõudlus (AD - aggregate demand Complete ) ületab kogupakkumist (AS - Mark 1.0 out of 1.0 aggregate supply
1.10 Funktsiooni tuletis DEF 1.Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nim. funktsiooni y=f(x) muudu y ja argumendi muudu x suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. f´(x)=limy/x, piirprotsessis x->0 DEF 2. Kui funktsioonil f(x) on tuletis kohal x, siis öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv punktis x. f´(x0) <->f(x) D(x0) DEF 3. Funktsiooni y=f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x+)=limy/x, piirprotsessis x->0+ DEF 4. Funktsiooni y=f(x) vasakpoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x-)=limy/x, piirprotsessis x->0- 1.11 Liitfunktsiooni tuletis
vaatavad turutasakaalu just lühiajaliselt ning kuna lühiajaliselt turg tõesti tasakaalu ei saavuta, peabki valitsus keinsistide arvates majandusse rohkem sekkuma kogunõudluse suurendamise kaudu. Küsimus 6 Osaliselt õige Hinne 1,3 / 4,0 Märgista küsimus Küsimuse tekst Küsimus 7 Õige Hinne 1,0 / 1,0 Märgista küsimus Küsimuse tekst Tarbimise piirkalduvus (MPC - marginal propensity to consume) on tarbimiskulutuste muudu ja kasutatava tulu muudu jagatis ning väljendab, kui suur osa igast täiendavast tuluühikust läheb tarbimiskulude katteks. Vali üks: Tõene Väär Tagasiside Küsimus 8 Õige Hinne 1,0 / 1,0 Märgista küsimus Küsimuse tekst Keinsistide seisukoht sissetulekute ja tarbimise seoste kirjeldamisel on, et tarbijad kalduvad sissetulekute suurenemisel suurendama ka tarbimist, kuid mitte sama suurel määral, kui kasvab nende sissetulek. Vali üks: Tõene Väär
alternatiivkuluga, mis kuuluvad firmale endale ja mida ta kasutab omaenese vajadusteks; on vajalik selleks, et neid ressursse kasutataks just selles firmas (harus). Koguprodukt – on kõik kulud või kulutused kokku. Keskmine produkt – on koguprodukti ja selle tootmiseks kasutatud ressursihulga jagatis. Piirprodukt – on täiendav toodang, mis saadakse muutuvressursi ühe täiendava ühiku kasutamise korral. Ta võrdub kogutoodangu muudu ja kasutatava ressursikoguse muudu jagatisega. Püsikulud – on kogukulu suurenemine toodangu mahu suurenemisel ühe ühiku võrra. Muutuvkulud – toodangumahust sõltuv kogutulu osa. Kogukulud – on firma püsi-ja muutuvkulude summa antud tootmistasemel. Keskmine kogukulu – ehk omahind, mis = kogukulu/ toodangu maht Keskmine püsikulu – on kogupüsikulu ja toodetud koguse jagatis. Keskmine muutuvkulu – on kogumuutuvkulu ja toodetud koguse jagatis.
Autonoomne säästmine AS Vastus 3 võrdub 50 Tarbimine sissetulekute Vastus 4 tasemel Y=400 on 300 Säästmine sissetulekute Vastus 5 tasemel Y=300 on 50 Tarbimise piirkalduvus MPC Vastus 6 võrdub 0,5 Küsimus 4 Õige Hindepunkte 1.0/1.0 Küsimuse tekst Tarbimise piirkalduvus (MPC - marginal propensity to consume) on tarbimiskulutuste muudu ja kasutatava tulu muudu jagatis ning väljendab, kui suur osa igast täiendavast tuluühikust läheb tarbimiskulude katteks. Valige üks: Tõene Väär Küsimus 5 Õige Hindepunkte 1.0/1.0 Küsimuse tekst Kui tarbimisfunktsioon CF on lineaarne ja autonoomne tarbimine AC>0, siis Valige üks või mitu: APC ei muutu, MPC väheneb APC ja MPC mõlemad vähenevad APC väheneb, MPC ei muutu APC ja MPC mõlemad suurenevad Tagasiside
Rühmatöö 6 Märkige joonisele argumendi muut ja 5 funktsiooni muut, kui x1 = 1 ja x2 = 2 4 y = -3x 2 + 2 x + 5 3 Leidke funktsiooni muudu üldavaldis. 2 1 Arvutage funktsiooni muut kohal 1 kui 2 1 0 1 2 3 4 5 6 x = 1 1 2 Kas tulemus ühtib joonisel kujutatuga? 3 4 5 Arvutage funktsiooni muut kohal 0 kui x = 1
1.10 Funktsiooni tuletis DEF 1.Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nim. funktsiooni y=f(x) muudu y ja argumendi muudu x suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. f´(x)=limy/x, piirprotsessis x->0 DEF 2. Kui funktsioonil f(x) on tuletis kohal x, siis öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv punktis x. f´(x0) <->f(x) D(x0) DEF 3. Funktsiooni y=f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x+)=limy/x, piirprotsessis x->0+ DEF 4. Funktsiooni y=f(x) vasakpoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x-)=limy/x, piirprotsessis x->0- Funktsiooni tuletis: Lause 1
arvestata neid avaliku sektori kulutuste hulka. Suurima osa tulusiirdest moodustavad reeglina sotsiaalkindlustuse maksed 24. Kogukulutused (E) on SKP komponentide summa (tarbimine, investeeringud, avaliku sektori kulutused ja netoeksport) 25. Investeerimine on uue kapitali tootmis- ja akumuleerimisprotsess (kapitali olemi suurendamist nim investeerimiseks) 26. Säästmise piirkalduvus (MPS) on säästmise muudu ja kasutava tulu muudu suhe. 27. Tarbimise piirkalduvus (MPC) on tarbimiskulutuste muud ja kasutatava tulu muudu suhe. 28. Impordi piirkalduvus (MPM) väljendab ühikulist muutust rahvuslikus kogutulus, mida kulututakse impordile 29. Inflatsioonilõhe- kogus , mille võrra kogunõudlus ületab täishõive kogutoodangu taset 30. Kogunõudlus (AD) on reaalne rahvamajanduse kogutoodang, mida tarbijad, ettevõtted,
Funkts f(x) katkevuspunkti a nim esimest liiki katkevuspunktiks, kui punktis a eksisteerivad funkts f(x) lõplikud ühepoolsed piirväärtused, kuid seejuures lim f ( x ) lim f ( x ) või pole funktsiooni väärtus punktis x = x0 määratud. x x0 + 0 x x -0 0 Funkts-i katkevuspunkti a, mis ei ole esimest liiki katkevuspunk, nim funkts f(x) teist liiki katkevuspunktiks Kui argument x muutub x (argumendi muudu) võrra ning omandab väärtuse x = x0 + x , siis ka funktsioon muutub y (funktsiooni muudu) võrra ja saab väärtuse y0 + y = f ( x0 + x ) . Funktsiooni muut y = f ( x0 + x ) - f ( x0 ) . Funkst-i y=f(x) nim pidevaks paremalt punktis a, kui lim (x0+)y=0 ja pidevaks vasakult lim (x0-)y=0 Funktsiooni nim pidevaks hulgal X-R, kui ta on pidev hulga X igas punktis (elementaarfunktsioon on pidev oma määramispiirkonna sisepunktides)
20. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. Funktsiooni muudu peaosa ja jääkliige. Olgu antud funktsioon, mis on diferentseeruv punktis a. Eeldame, et f (a)0. Valemist näeme, et funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f(a)x ja teine on . Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis x 0. Näeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui x ja teine liidetav on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus x suhtes
Ütest piima massina otsast tule vällä lõss tõsõst kuur. Kuurest teevaq inemiseq tavaliselt kodustel tingimustel võidu, võiu tegemises om võiu tegemis massin. Võiu tegemis massin om suur nelä kandiline puust annum, seda aetas edesi käsütsi, annuma seen ommava säändse tuuliku taolitse lapatsi mis ajaseq kuurt ringihe, kui vänta edesi ajat. Nii kavva tule vändäta kui kuur kokko lätt ja eraldus vadak. Nii muudu saamigi koton piimast kuurt ja kuurest võidu.
toatemperatuuril. Beckmanni termomeetri abil määratakse iga minuti järel vee temperatuur. Üheteistkümnendal minutil purustatakse ampull ning jälgitakse soola lahustumise mõju vee temperatuurile. Näidud võetakse kuni iga minuti järel muutub temperatuur ühepalju. Teoreetiline põhjendus, valemid: Soojusmahtuvus: C=c1g1+c2g2+c3v+c4g4 Eraldunud/neeldunud soojushulk: Erilahustuvussoojus Arvutused: Jooniselt leidsin lõigu EF ehk temperatuuri tegeliku muudu 3,62-2,675=0,945 J Graafik: Järeldus: Antud soola lahustuvussoojus on . See tähendab, et 1 g antud soola lahustumiseks kulub 382,65 J. Kasutatud kirjandus: Praktikumi juhend.
väärtust a ja b ( a b ) , siis ta omandab mingites punktides ka kõik vahepealsed väärtused. Kui see funktsioon omandab nii positiivseid kui ka negatiivseid väärtuseid, siis leidub kindlasti vähemalt üks punkt, kus ta muutub nulliks. Märkus. Teoreemid 2.1 ja 2.2 kehtivad ka n- muutuja funktsiooni korral ( n > 2 ) . 3. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised ja nende geomeetriline tõlgendus. Vaatleme kahe muutuja funktsiooni z = f ( x, y ) muutu. Kui me leiame funktsiooni muudu andes mõlemale argumendile vastava muudu, siis saame funktsiooni täismuudu. z = f ( x + x, y + y ) - f ( x, y ) Kui aga ainult x-muutuja saab muudu, y aga jääb konstantseks, siis saame funktsiooni osamuudu x järgi. x z = f ( x + x, y ) - f ( x, y ) Analoogselt jättes x konstantseks saame osamuudu y järgi. y z = f ( x, y + y ) - f ( x, y ) n-muutuja funktsiooni u = f ( x1 , x 2 ,..., x n ) osamuut xi järgi saadakse andes sellele
Siseenergia levimine ühelt kehalt teisele soojusülekanne. Siseenergia levib soojemalt kehalt jahedamale. Soojenevate kehade siseenergia suureneb sama palju kui väheneb jahenevate kehade siseenergia. Soojusliku tasakaalu korral puudub kehade vaheline soojusülekanne. Mehhaaniline töö. Siseenergiat saab suurendada ka tööga. Kineetiline energia suureneb siseenergia vähenemise arvelt. 8 ) kehade soojenemine ja jahtumine Temperatuuri muudu leidmiseks (t2-t1). Temperatuuri muut sõltub kehale kandunud soojushulgast. Erineva massiga kehade soojendamiseks temperatuuri muudu võrra kulub erinev soojushulk. Erineva aine soojendamiseks temperatuuri muudu võrra kulub erinev soojushulk. Erisoojus näitab, kui suur soojushulk peab kehale kanduma, et keha massiga 1kg soojeneks 1 kraadi võrra. Q = cm ( t2-t1 ) C = Q / m* ( t2-t1 ) 9 ) sulamine ja tahkumine Sulamine on aine üleminek tahkest olekust vedelasse
aga me ei saa integraali otseselt leida, kuna meil on tegemist liitfunktsiooniga ja suurus x sõltub omakorda mingist teisest suurusest. Sel juhul teeme integraalis kõigepealt muutuja vahetuse ja lahendame integraali kõigepealt ,,uue" muutuja järgi. Asendame x-i avaldise x=(t) Võtame eelduseks, et x=(t) on pidev funktsioon, millel leidub ka pöördfunktsioon. Kuna integraalis on vaja avaldada ka diferentsiaal dx, siis teeme seda: diferentsiaal on tuletise ja argumendi muudu (argumendi diferentsiaali) korrutis: järelikult on suurus dx = '(x) dt. Igal juhul tõestame, et muutuja vahetuse korral, kus x=(t), kehtib seos: f(x) dx = f[(t)]'(t)dt Selleks, et võrdust tõestada, peaksime olema suutelised mõlemast poolest võtma tuletise ja saama tulemuseks f(x) /vaata integraali omadusi/. [f(x) dx]' = f(x) see oli kähkukas Aga teist poolt tuleb diferentseerida kui liitfunktsiooni. Liitfunktsiooni diferentseerimisvalem on: Kui y= f[(t)] ja t=(x), siis
APC ei muutu, MPC väheneb APC ja MPC mõlemad suurenevad APC väheneb, MPC ei muutu Feedback Lineaarse tarbimisfunktsiooni puhul on sirge tõus määratud tarbimise piirkalduvusega MPC. Kuna sirge tõus on konstantne, siis antud tingimustel ka MPC on konstantne. 7.1.1. Question 9 Correct Mark 1.0 out of 1.0 Flag question Question text Tarbimise piirkalduvus (MPC - marginal propensity to consume) on tarbimiskulutuste muudu ja kasutatava tulu muudu jagatis ning väljendab, kui suur osa igast täiendavast tuluühikust läheb tarbimiskulude katteks. Select one: True False Feedback 8.1.1. Question 10 Correct Mark 1.0 out of 1.0 Flag question Question text Säästmisfunktsiooni kalde määrab säästmise piirkalduvus (MPS), mis väljendab igast täiendavast tuluühikust säästmiseks kasutatavat osa. Select one: True False
Ande Andekas-Lammutaja Matemaatika Funktsiooni tuletis Funktsiooni tuletiseks nimetatakse funktsioonimuudu ja argumendimuudu suhete piirväärtust argumendi muudu lähenedes nullile. lim x xlim f ( x + x ) - f ( x ) y ' = f ' ( x ) =x 0 = 0 y x Funktsiooni tuletise valemid: ' 1 1 =- 2 x x (x 2 ) ' = 2x x ' =1 c' = 0 [cf ( x)] ' = cf ' ( x ) ( x) ' = 1 2 x [ f ( x) ± g ( x)] ' = f ' ( x) ± g ' ( x) (x ) n ' = n x n -1
ehk f(x) = f(a) . Viimasest võrdusest on näha, et funktsioon y = f(x) on pidev, kui on täidetud järgmised tingimused: 1. funktsioon y = f(x) peab olema määratud kohal a 2. funktsioon y = f(x) peab olema lõplik piirväärtus kohal a ehk f(x) = f(x) = f(x) 3. peab kehtima võrdus f(x) = f(a) Def2. Funktsiooni y = f(x) nimetatakse pidevaks punktis x, kui ta on määratud punktis x ja selle mingis ümbruses ning y = 0. Seega on funktsioon y = f(x) kohal x pidev, kui argumendi muudu hääbumisel ka funktsiooni väärtuse muut hääbub. Pidevate funktsioonide omadused. 1. Kahe pideva funktsiooni summa on pidev funktsioon 2. Kahe pideva funktsiooni korrutis on pidev funktsioon 3. Kahe pideva funktsiooni jagatis on pidev funktsioon, kui jagaja ei võrdu vaadeldavas punktis nulliga 4. Liitfunktsioon on pidev, kui tema koostis osad on pidevad funktsioonid. 14. Katkevuspunktid ja nende liigitus. Tooge näiteid iga vaadeldud variandi kohta. Katkevuspunktid ja nende liigitus.
23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. Funktsiooni muudu peaosa ja jääkliige. Olgu antud funktsioon, mis on diferentseeruv punktis a. Eeldame, et f(a)0 kasutades mõisteid: x = x - a - argumendi muut kohal a y = f(x) - f(a) - funktsiooni muut kohal a . Näitasime, et Seega kui tähistame ja f'(a) vahe järgmiselt : Kehtib võrdus Püüame avaldada funktsiooni muutu y argumendi muudu x kaudu. Selleks avaldame kõigepealt võrdusest suhte ja korrutame saadud avaldise x-ga. Saame valemi
ja sama järku lõpmatult kasvavateks suurusteks. c.ii. Kui , siis nimetatakse suurusi ja eksvivalentseteks. lõpmatult kasvavateks suurusteks, märkides seda kujul ~. c.iii. Kui , siis nimetatakse suurust kõrgemat järku lõpmatult kasvavaks suuruseks suhtes. 13. Pideva funktsiooni definitsioon. Pidevuse geomeetriline sisu. Pideva funktsiooni muudu käitumine argumendi muudu lähenemisel nullile. Pidevuse säilimine aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise korral. a. Pideva funktsiooni definitsioon Funktsiooni f nimetatakse pidevaks punktis a, kui a.i. f on määratud argumendi väärtusel , st aX a.ii. eksisteerib lõplik piirväärtus a.iii. b. Pidevuse geomeetriline sisu Geomeetriliselt tähendab funktsiooni pidevust joone pidevust. Argumendi
100 Protsent Kui leiame arvu a , millest p% on b, siis jagame arvu b murruga p b b 100 a =b÷ = 100 = 100 p p Kui leiame arvu, mis saadakse suuruse a suurendamisel p% võrra, siis korrutame arvu a suurusega Protsent Kui leiame arvu, mis saadakse suuruse a vähendamisel p % võrra, siis korrutame arvu a suurusega Kui leiame mitu protsenti on mingi suurus kasvanud või kahanenud, siis tuleb: a) leida selle suuruse muudu absoluutväärtus: suuruse kasvamise korral lahutada lõppväärtusest lähteväärtus, kahanemise korral lähteväärtusest lõppväärtus; b) leida mitu protsenti on saadud muudu absoluutväärtus suuruse lähteväärtusest. Liitprotsendiline kasvamine Liitprotsendid suuruse kasvamise seaduspärasus, mille korral etteantud protsendimäärast tulenev muut lisatakse suurusele perioodiliselt. Näiteks iga aasta lõpul lisatakse algkapitalile a
Keskmine kiirus see on arvutatav kiirus, mis ei ole ühtlane liikumine.
Spidomeetri osuti näitab auto Hetkkiirust. Hetkkiiruseks nimetatatakse keha kiirust mingil
konkreetsel ajahetkel. Ühtlasel liikumisel on hetkiirus kogu aeg ühesugune ja võrdne ka kogu
liikumise keskmise kiirusega.
Ühtlane muutuv liikumine liikumine, kus kiirus muutub mistahes võrdsete ajavahemike
jooksul ühesuguste väärtuste võrra.
Kiirendus füüsikaline suurus, mis on võrdne kiiruse muudu ja sellele vastava ajavahemiku
suhtega. See näitab, kui palju muutub kiirus ajaühikus ja sisuliselt on tegemist kiiruse muutumise
kiirusega. Tal on kindel arvväärtus,
kindel tähis,kindel mõõtühik. ( Vektoriaalne suurus , Tal on alati kindel suund) Valem :
a= (v- v0)/ t ( v= at + v0 ) (t= v-v0/ a) SI-süsteem : m/ s2.
a) Kui v>v0 , siis kiirus kasvab ja a>0 .
b) Kui v
Q=L=RT·ln· v 1 673,15 s2=20,93·ln( 273,15 ) – 2,079·ln( 10 Q=L= 2078,5·673,15·ln( 0,175 ) = 5,66· 106 0,14 ·10 6 J 760 · 133,322 ) = 18,878 – 2,873 = 16,005 Leian entroopia muudu joonise jaoks: J/(kg·K) v2 10 Leian uue ruumala: Δs=R·ln( v 1 ) = 2078,5·ln( 0,175 ) p1 · v =8408,848 1 v2 = p2 Δs=s2-s1 s1=s2-Δs = 16005-8408,848=7596,2 kJ/(kg·K) Vastus:
ehk f(x) = f(a) . Viimasest võrdusest on näha, et funktsioon y = f(x) on pidev, kui on täidetud järgmised tingimused: 1. funktsioon y = f(x) peab olema määratud kohal a 2. funktsioon y = f(x) peab olema lõplik piirväärtus kohal a ehk f(x) = f(x) = f(x) 3. peab kehtima võrdus f(x) = f(a) Def2. Funktsiooni y = f(x) nimetatakse pidevaks punktis x, kui ta on määratud punktis x ja selle mingis ümbruses ning y = 0. Seega on funktsioon y = f(x) kohal x pidev, kui argumendi muudu hääbumisel ka funktsiooni väärtuse muut hääbub. Pidevate funktsioonide omadused. 1. Kahe pideva funktsiooni summa on pidev funktsioon 2. Kahe pideva funktsiooni korrutis on pidev funktsioon 3. Kahe pideva funktsiooni jagatis on pidev funktsioon, kui jagaja ei võrdu vaadeldavas punktis nulliga 4. Liitfunktsioon on pidev, kui tema koostis osad on pidevad funktsioonid. 14. Katkevuspunktid ja nende liigitus. Tooge näiteid iga vaadeldud variandi kohta. Katkevuspunktid ja nende liigitus.
Teepikkus Kiirus-näitab, kui suure teepikkuse läbib keha ajaühiku jooksul Hetkkiirus-kiirus kindlal ajahetkel(on lühikesel ajavahemikul läbitud tee keskmine kiirus) Keskmine kiirus-on kogu teepikkuse ja kogu liikumisaja jagatis Liikumisvõrrand-näitab keha koordinaatide sõltuvust ajast liikumisgraafik-näitab koordinaadi sõltuvust ajast(tõus nitab liikumise kiirust, saab leida algkoordinaadi) kiiruse võrrand kiiruse graafik Kiirendus-on võrdne kiiruse muudu ja selle muutmise aja jagatisega(iseloomustab kiiruse muutumise kiirust) Vaba langemine-ühtlaselt muutuv liikumine 3. Valemid at 2 s v - v0 at 2 s =x -x 0 x =x 0 +v0 t x = x 0 +v 0 t + v =v 0 +at v= a= s= v 2 =2as
seda, et suvalises piirprotsessis x a, kus x = a, läheneb graafiku jooksev punkt P(x, f(x)) ühele ja samale punktile AP = (a, b). Lõpuks, 3. tingimuse põhjal kehtib b = f(a), mis tähendab, et graafiku piirpunkt A asub samuti funktsiooni graafikul, st graafik on punktis A pidev joon. Pideva funktsiooni definitsioonis esineva 3. tingimuse võib kirja panna ka pisut teistsugusel kujul. Selleks kasutame alljärgnevalt defineeritud argumendi muudu ja funktsiooni muudu mõisteid: x = x - a - argumendi muut kohal a , y = f(x) - f(a) - funktsiooni muut kohal a . Pideva funktsiooni muudu kaitumine argumendi muudu lähenemisel nullile. Kehtib järgmine samaväärsete valemite ahel: limf(x) = f(a) limf(x)- f(a) = 0 limf(x) - limf(a) = 0 lim[f(x) - f(a)] = 0 limy = 0 limy = 0 . xa xa xa xa xa xa x0 Järelikult() on pideva funktsiooni definitsioonis esinev 3
e ≈ 2,72 Funktsiooni pidevus Funktsioon on pidev mingis punktis y0, kui funktsiooni graafiku joonistamisel punktist (f(x0) ; x0) läbi minnes ei pea pliiatsit paberilt tõstma. Joonis 8. Punktis x0 pideva funktsiooni f(x) korral Joonis 9. Piirväärtuste arvutamisel võivad ette tulla nn. määramatused. Need on järgmised: ; ; 0*∞; ∞ - ∞; ; ; Funktsiooni tuletis Funktsiooni tuletis on funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile (kui see piirväärtus on olemas). Olgu meil funktsioon y=f(x) Joonis 10. ∆x – argumendi x muut ∆y – argumendi x muudule ∆x vastav funktsiooni muut ∆y = f (x+∆x) – f(x) Tuletise tähised: y ´ ; yx´ ; f´(x) ; (diferentsiaal) ; Tuletise definitsioon sümbolites: ∆y f ( x +∆ x )−f (x ) y ´ = lim = lim ∆ x →0 ∆ x ∆ x →0 ∆x
annaabi.ee 
