Kolmekordse int-ga: Xdydz + Ydzdx + Zdxdy = ( X x + Y y + Z z )dxdydz - Gauss-Ostrogradri D valem. Kui rajajoon, siis seos joonintegraaliga: Stokasi valem: (Z y - Yz )dydz + ( X z - Z x )dxdz + (Yx - X y )dxdy = Xdx + Ydy + Zdz +L +L sõltub int pinna poolest. Kui xy-tasandil, siis z=0 ja Stokasi valem taandub Greeni valemiks. Arvridade teooria põhimõisteid Vaateleme reaalarvudest mood lõpmatut jada u1+ u2+ ... +un+... = u n nim lõpmatuks n =1 reaalarvuks, liidetavaid aga nim rea liikmeteks, liidetavat un nim rea üldliikmeks. Rea esimese n n
Contents Contents.................................................................................................................................. 1 1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Geomeetrilise rea osasumma ja summa valemite tuletamine....................................... 2 2. Integraaltunnus. Näidata, mis tingimustel rida ja vastav päratu ingegraal koonduvad samaaegselt. Muutujavahetus päratus integraalis ()............................................................... 3 3. Positiivsete arvridade võrdlustunnused. Üks tunnustest tuletada........................................ 3 4. D'Alemberti ja Cauchy tunnused. Üks neist tuletada........................
Contents Contents.................................................................................................................................. 1 1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Geomeetrilise rea osasumma ja summa valemite tuletamine....................................... 2 2. Integraaltunnus. Näidata, mis tingimustel rida ja vastav päratu ingegraal koonduvad samaaegselt. Muutujavahetus päratus integraalis ()............................................................... 3 3. Positiivsete arvridade võrdlustunnused. Üks tunnustest tuletada........................................ 3 4. D'Alemberti ja Cauchy tunnused. Üks neist tuletada........................
1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Avaldist , kus on reaalarvud, nimetatakse arvreaks. Selle rea esimese liikme summat nimetatakse selle rea -ndaks osasummaks, st. Eeltoodud rida nimetatakse koonduvaks, kui selle rea osasummade jada { } on koonduv, st , kusjuures suurust S nimetatakse selle rea summaks. Kui ei eksisteeri lõplikku piirväärtust siis nimetatakse seda rida hajuvaks. Näide 1
). 22. Joonintegraali rakendusi. 23. Pindintegraalid (Ostrogradski ja Stokes’i valem – mis seosed need valemid annavad?). Kuidas arvutada esimest liiki pindintegraali? 24. Rajade määramine integraalidel. 25. Arvread (definitsioon, lisaks definitsioonid: rea liige, rea üldliige, rea osasumma, rea hajumine ja koondumine, koonduvate ridade omadused). 26. Rea koonduvuseks tarvilik tingimus. 27. Geomeetriline ja harmooniline rida. 28. Positiivsete arvridade koonduvustunnused (Cauchy, D’Alembert, võrdlustunnus, integraaltunnus). 29. Vahelduvate märkidega rea koonduvustunnus (Leibnizi tunnus). 30. Absoluutselt koonduv rida ja tingimisi koonduv rida (definitsioonid, omadused). 31. Funktsionaalrida (definitsioon). 32. Taylori ja Maclaureni read (definitsioon, leidmine). 33. Astmerida (definitsioon, omadused, koonduvusraadius ja koonduvusintervall – kuidas neid leida?). 34. Fourier rea rakendusalasid.
võrdub nulliga. Joonintegraali sõltumatus integreerimisteest (tuletada vastav valem kahemõõtmelisel juhul ja esitada vastav valem ilma tuletamata kolmemõõtmelisel juhul ). Konservatiivse jõuvälja mõiste. 44. Esimest liiki pindintegraali definitsioon. Pinna pindala ja pinna massi arvutamine (tuletada vastavad valemid). 45. Arvrida, arvrea osasumma ja arvrea summa. Geomeetriline rida ja selle koonduvus. Sõnastada ja tõestada arvrea koonduvuse tarvilik tingimus. 46. Arvridade koonduvustunnused: majoranttunnus, d'Alemberti tunnus, integraaltunnus ja Leibnitzi tunnus. 47. Funktsionaalrea mõiste. Funktsionaalrea koonduvuspiirkond. Funktsionaalrea majont. Majoranttunnus funktsionaalrea koonduvuse hindamisel. 48. Astmerea mõiste. Asterea koonduvusvahemik ja koonduvusraadius. Nihutatud asterida. Taylori ja McLaurini read.
1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Avaldist Kui f ∈ L 1(R) on lokaalselt tükiti sile, siis Fourier’ teisendus on pööratav, st F −1F f = f . Fourier’ teisenduse omadusi: • F f(t +
Geomeetriline rida- ∑ a qn kui q on suurem või võrdne 1ga siis n →0 hajub ja kui on väiksem 1st siis koondub ∞ Harmooniline rida- ∑ n1k kui k on väiksem või võrdne 1ga siis n →0 hajub, kui k on suurem kui üks koondub. 29.Positiivsete arvridade koonduvustunnused (Cauchy, D’Alambert, võrdlustunnus, integraaltunnus) lim √n u n=C Cauchy tunnus: n →∞ kui C on väiksem 1 siis koondub, kui C on suurem 1 siis hajub. Kui C=1 siis jääb küsimus lahtiseks u n+1 D’Alamberti tunnus: lim =D kui D on väikesm 1 siis koondub
..... Avaldist S ai = a1+ a2+ a3+... nim. arvreaks i =1 Lim a i = 0. Arvrea koonduvuse tarvilik tingimus. Kui rida ai koondub, siis i =1 i 32. Arvridade koonduvustunnused (majorant- d'Alamberti, integraal- ja Leibnitzi tunnused) Olgu antud positiivsete liidetavatega read a i=1 i ja b
(1) hajub. Arvrea koonduvuse tarvilik tingimus. Kui rida (1) koondub, siis nlim u n = 0. See tingimus pole piisav rea (1) koonduvuseks. 1 1 Näiteks rida (harmooniline rida ) hajub, kuigi lim u n = lim = 0. n =1 n n n n 23. Arvridade tähtsamad koonduvustunnused (esimene võrdlustunnus, d´Alembert´i tunnus, Cauchy tunnus, Leibnizi tunnus). Arvridade tähtsamad koonduvustunnused. Rida u1 + u 2 + ... + u n + ... = u n (1) n =1 nimetatakse positiivseks reaks, kui un 0, n=1,2,... Positiivsete ridade koonduvust saab kindlaks teha järgmiste tunnuste abil: · Võrdluslause. Kui positiivsete ridade (1) ja
siis rida hajub. 32. Rea koonduvuse tarvilik tingimus Rea koonduvuse tarvilik tingimus: kui rida ai =1 i koondub siis, kui nlim an = 0 33. Positiivsete arvridade võrdlusteoreemid majoranttunnus Olgu antud positiivsete liikmetega read ai ja bi ja, kusjuures aibi, st teine rida majoreerib ehk on esimese rea majorant. Kui majoreeriv rida bi koondub, siis koondub ka ai integraaltunnus Olgu S=ai positiivsete liikmetega rida, kusjuures a1a2a3 ... Peale selle olgu f(x) niisugune pidev ja mittekasvav funktsioon, et f(1)=a1, f(2)=a2, f(3)=a3,... Siis kehtivad järgmised väited 1) kui f ( x)dx 1
Rida, mis koondub, kuid ei koondu absoluutselt, nimetatakse tingimisi koonduvaks. 1 n 1 1 Näide Rida (-1) = 1 - + - ... koondub tingimisi ( koondub eelmise n =0 n +1 2 3 1 1 1 näite põhjal), samas rida u n = = 1 + + + ... hajub (harmooniline rida). n =1 n =0 n + 1 2 3 2.4. Arvridade tähtsamad koonduvustunnused. Rida u1 + u 2 + ... + u n + ... = u n (1) n =1 nimetatakse positiivseks reaks, kui un 0, n=1,2,.... Positiivsete ridade koonduvust saab kindlaks teha järgmiste tunnuste abil. Võrdluslause. Kui positiivsete ridade (1) ja
Me lähtume ratsionaalse argumendiga ekspo- nentfunktsioonist, mis defineeritakse aritmeetiliste tehete abil, ning rakendades piirprotsessi, jätkame selle reaalarvulistele argumentidele. Logaritmfunktsioon määratakse kui eksponent- funktsiooni pöördfunktsioon, astmefunktsioon ja hüperboolsed funktsioonid saadakse ekspo- nentfunktsioonist vastavate liitfunktsioonide moodustamise teel. Trigonomeetriliste funkt- sioonide defineerimise viime täielikult läbi siis, kui oleme arvridade teooria välja arendanud. 3.4.1 Ratsionaalse astendajaga astme- ja eksponentfunktsioon Ratsionaalse argumendiga astmefunktsioon. Kuna funktsioon idR : R → R, x 7→ x on pidev, siis astmefunktsioon y = xp kui pidevate funktsioonide korrutis on iga p ∈ N korral lause 3.9 kohaselt pidev hulgas R. Sama lause põhjal on ka funktsioon 1
. . , Sn , . . . piirv¨aa¨rtus on definitsiooni kohaselt S, kui > 0 korral N , et kui n N , siis |Sn - S| < Viimane tingimus on samav¨aa¨rne tingimusega - < Sn - S < ehk S - < Sn < S + , st vaadeldav jada on t~okestatud. Seega kehtib. Teoreem 1. Monotoonselt kasvaval jadal on l~oplik piirv¨a¨artus parajasti siis, kui jada on t~okestatud. Positiivsete liikmetega arvridade osasummade jadad on kasvavad, sest Sn = Sn-1 + un ja et un > 0, siis Sn > Sn-1 . Teoreem 2 (v~ ordlustunnus). Kui alates indeksist k0 , st k k0 korral on t¨aidetud tingimus uk vk , (8.7) 4 siis 1) rea (8.6) koonduvusest j¨areldub rea (8.1) koonduvus ja 2) rea (8.1) hajuvusest j¨areldub rea (8.6) hajuvus. T~oestus
annaabi.ee 
