Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Matemaatika abivalemid". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
astendaja, abivalemid, tehted, matemaatika, tehete, kommutatiivsus, assotsiatiivsus, jaotuvus, sulgude, avamine, harilike, murdudega, astmeks, astmetega, 3ab2, lahendid, ruutkolmliige= = kb kb : k b (murru taandamine). 1.3 Tehetevahelised seosed Kui x + a = b , siis x = b - a . Kui x - a = b , siis x = a + b . Kui a - x = b , siis x = a - b . a a Kui a : x = b ehk = b , siis x = ( b 0) . x b x Kui x : a = b ehk = b , siis x = ab ( a 0) . a 1.4 Tehted harilike murdudega d b a c a+c a c ad + bc + = + = b b b b d bd d b a c a-c a c ad - bc - = - = b b b b d bd a c ac a ac
ax 2 + bx = 0 x(ax + b) = 0 x1 = 0, x2 = - ba ax +bx+c=a(x-x1)(x-x2) P = 2 (a + b) x2+px+q=(x-x1)(x-x2) b S = ab ax 2 + b = 0 x1,2 = ± - ba Tehted ratsionaalarvudega -a+(-b) = - (a+b) Ruutfunktsioon a d = a2 + b2 ax2+bx+c=0; x1, 2 = - b ± b - 4 ac 2 y=ax2 a>0 a<0
Hulkliikmete korrutamine Tehted Arvu ruutjuur Funktsioonide graafikud Ring (a+b)2 =a2+2ab+b2 astmetega ⎧a, kui a > 0 Võrdeline seos : y=ax d (a-b)2=a2-2ab+b2 (a : b)n=an : bn ⎪ a>0 d = 2r r=
d) a n b n a b n Näide: x 5 y 5 xy 5 e) a n : b n a : b n Näide: x 3 : y 3 x : y 3 f) (a m ) n a mn Näide: x 3 7 x 21 g) a 2n a 2n , kui a 0, n Z , st. paarisarvulise astendaja korral saame positiivse tulemuse. h) a 2n1 a 2n1 , kui a 0, n Z , st. paaritu arvulise astendaja korral saame negatiivse tulemuse. i) a0 =1, kui a 0. NB! 0n = 0, kui n 0 j) 0 0 sellel avaldisel väärtus puudub! 1 k) a n n , kui a 0 ja n Z a 1 Näide: x 5 5 x 1 l) an a n 1
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK - alfa - nüü - beeta - ksii - gamma - omikron - delta - pii - epsilon - roo - dzeeta - sigma - eeta - tau - teeta - üpsilon
I OSA SISUKORD 1. ARVUHULGAD …………………………………………………… 2 2. ARITMEETIKA ……………………………………………….…… 3 2.1 Mõningate arvude kõrgemad astmed ………………………….……. 3 2.2 Hariliku murru põhiomadus ………………………………….…….. 3 2.3 Tehetevahelised seosed ……………………………………….…….. 3 2.4 Tehted harilike murdudega ………………………………….……… 4 2.5 Tehete põhiomadused ……………………………………….……… 5 2.6 Näited tehete kohta positiivsete ja negatiivsete arvudega …….…….. 5 2.7 Näited tehete kohta ratsionaalarvudega ……………………….……. 6 2.8 Protsent ja promill …………………………………………….……. 8 2.9 Näited protsentarvutusest …………………………………………..
Valemid a1 = a (ab)n = an bn a0 = 1 a n =an (an)m = anm an . am = an+m a-n = an an an-m am 1) ax2+bx=0 = x(ax+b) = x1=0 ja x2= -b Taandamata Ruutvõrrand 2) ax +bx+c=0 = x1,2= -b + b2-4ac = a(x-x1)(x-x2) 2 Taandatud Ruutvõrrand 3) x +px+q = x1,2= -p + p2-q = (x-x1)(x-x2) 2 Viete i teoreem x1+x2=-p X1 . x2= q Tegurdamine 2 2 (a+b)(a-b) = a -b 2 Ax +bx = x(ax+b) (a+b)2 = (a+b) . (a+b) = a2+2ab+b2 Ax2+bx+c = a(x-x1)(x-x2) (a-b)2 = (a-b) . (a-b) = a2-2ab+b2 A3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2) (a+b)3= a3+3a2b+3ab2+b2
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK Α α alfa Ν ν nüü Β β beeta Ξ ξ ksii Γ γ gamma Ο ο omikron Δ δ delta Π π pii Ε ε epsilon Ρ ρ roo Ζ ζ dzeeta Σ σ sigma
Põhikooli matemaatikakursuse põhivalemid Tehe Valem 1. Harilike murdude liitmine a c ad + bc + = b d bd 2. Harilike murdude lahutamine a c ad - bc - = b d bd 3. Harilike murdude korrutamine a c ac = b d bd 4. Harilike murdude jagamine a c ad : = b d bc 5. Astmete korrutamine am an = am+n 6
Negatiivsete arvudega teostatavate tehete a n an eeskirjad 5. = b bn 1. a + (-b) = -b + (-a) = -(a + b) 2. a + b = b + (-a) = b a , kui b a Abivalemid ja tegurdamine 3. a + b = b + (-a) = - (a b), kui b ( a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 a ( a - b) 2 ( a + b) 3 = a 2 - 2ab + b 2 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 4. a + a = a + (-a) = 0 ( a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 5
h ABC - telglõige Täispindala: St = Sk + Sp = · · r · m + · r2 m küljepikkus Kera Ruumala: · r3 Pindala: S = 4 · · r2 O - keskpunkt, r - raadius Valemid Tehted harilike murdudega Võrde põhiomadus Täisarvulise astendajaga aste an = a · a · ... · a a1 = a a0 = 1 n tegurit Aritmeetiline ruutjuur Ruutjuur korrutisest: Ruutjuur jagatisest: Tehted astmetega
Väga tähtsad matemaatika valemid 1. (A + b) (a - b) = a2 - b2 2. (A + b + c) 2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + bc + ca) 3. (A ± b) 2 = a2 + b2 ± 2ab 4. (A + b + c + d) 2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2 (ab + ac + ad + bc + bd + cd) 5. (A ± b) 3 = a3 ± b3 ± 3AB (± b) 6. (A ± b) (a2 + b2 m ab) = a3 ± b3 7. (A + b + c) (a2 + b2 + c2-ab - bc - ca) = a3 + b3 + c3 - 3abc = 1 / 2 (a + b + c) [(a - b) 2 + (b - c) 2 + (c - a) 2] 8.when + b + c = 0, a3 + b3 + c3 = 3abc 9. (X + a) (x + b) (x + c) = x3 + (a + b + c) x2 + (ab + bc + ac) x + abc 10. (X - a) (x - b) (x - c) = x3 - (a + b + c) x2 + (ab + bc + ac) x - abc 11.a4 + a2b2 + b4 = (a2 + ab + b2) (a2 - ab + b2) 12.a4 + b4 = (a2 - 2ab + b2) (a2 + 2ab + b2) 13.an + bn = (a + b) (n-1 - n-2 b + n-3 b2 - n-4 b3 + ... ... .. + b n-1) (Kehtib ainult siis, kui n on paaritu) 14.an - miljard = (a - b) (n-1 + n-2 b + n-3 b2 + n-4 b3 + ... ... ... + b n-1) {Kus n N) 15. (A ± b) 2n on alati posi
Ruutfunktsioon Sissejuhatav kordamine 1. Teosta tehted. Vastustes vabane negatiivsetest astendajatest. 3 1 2 3 1 a) 2 a b c 3 Lahendus: ; 1 4 2 s 3 t b) 4 5 3 4 s t Lahendus: . 2. Lihtsusta avaldis. a) xy(x + 3y) + (x + y)(x2 2xy y2) Lahendus: xy(x + 3y) + (x + y)(x2 2xy y2) =
..}. 2. Positiivsete täisarvude hulk Z + = N. 3. Negatiivsete täisarvude hulk Z - = { -1; -2; -3; . . . }. 4. Täisarvude hulk Z = Z Z { 0}. + - a 5. Ratsionaalarvude hulk Q = aZ bZ b 0 b 6. Irratsionaalarvude hulga I moodustavad lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud. 7. Reaalarvude hulk R = Q I. KORRUTAMISE ABIVALEMID 8. (a + b)(a + b) = a 2 - b 2 . 9. ( a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 . 10. ( a ± b) 3 = a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3 . 11. a 3 ± b 3 = ( a ± b)(a 2 ab + b 2 ) . ASTMED JA JUURED 12. Korrutise aste ( a b) = a b . n n n n a an 13. Jagatise aste = b bn 14. Võrdsete alustega astmete korrutis a m a n = a m+ n .
..}. 2. Positiivsete täisarvude hulk Z + = N. 3. Negatiivsete täisarvude hulk Z - = { -1; -2; -3; . . . }. 4. Täisarvude hulk Z = Z Z { 0}. + - a 5. Ratsionaalarvude hulk Q = aZ bZ b 0 b 6. Irratsionaalarvude hulga I moodustavad lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud. 7. Reaalarvude hulk R = Q I. KORRUTAMISE ABIVALEMID 8. (a + b)(a + b) = a 2 - b 2 . 9. ( a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 . 10. ( a ± b) 3 = a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3 . 11. a 3 ± b 3 = ( a ± b)(a 2 ab + b 2 ) . ASTMED JA JUURED 12. Korrutise aste ( a b) = a b . n n n n a an 13. Jagatise aste = b bn 14. Võrdsete alustega astmete korrutis a m a n = a m+ n .
astendamine juurimine korrutamise abivalemid teguriteks lahut. a0=1 n m (a+b)2=a2+2ab+b2 ax2+bx+c= am = an a(x-x1)(x-x2) am·an=am+n n ab = n a n b (a-b)2=a2-2ab+b2 am:an=am-n a n a (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 n = n b b m n mn (a ) =a n m a = nm a (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 (ab)n=anbn nm a n p = m a p a2-b2=(a+b)(a-b) (a:b)n=an:bn a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) 1 a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) a -n = an
Naturaalarvude hulk Naturaalarvud on arvud 0, 1, 2, 3, 4, 5,..., n-1, n, n+1,... Naturaalarvude hulka tähistatakse tähega N Naturaalarvude hulga omadused Naturaalarve saab kujutada punktidena arvkiirel Naturaalarve saab järjestada 0 1 2 3 4 1. a = b; 2. a > b; 3. a < b Naturaalarvude hulk on lõpmatu Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise tehete suhtes Naturaalarvude hulk ei ole lahutamise ega jagamise tehete suhtes kinnine Naturaalarvud Paaris- ja paaritu arvud arvuga 2 jaguvuse alusel Algarvud ja kordarvud - arvude jaguvuse alusel Algarv ühest suuremat naturaalarvu, mis jagub vaid ühe ja iseendaga Kordarvud kõiki ülejäänud ühest suuremaid naturaalarve NB! Arvud 0 ja 1 ei ole ei algarvud ega kordarvud Arvu a teguriteks nimetatakse kõiki neid
= cos n + i sin n . Seda valemit nimetatakse Moivre´i valemiks. 2. Juurimine. + 2k + 2k n r ( cos + i sin ) = n r cos + i sin . n n kompleksarvu n-ndal juurel on n erinevat väärtust. 3. Geomeetriline vektor. Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Lineaarsete tehete 8 omadust. Def. 1. Geomeetriliseks vektoriks nimetatakse suunatud lõiku. Geomeetriline vektor on kujutatud järgmisel joonisel. uuur uuur uuur uuur uuur uuur Def. 4. Vektorite AB ja BC summaks nimetatakse vektorit AC ja tähistatakse AC = AB + BC . Def. 5
Matemaatika 11. klassi praktikumi töö 1. Kirjalik arvutamine m Tehted astmetega (a:b)n = an : bn Tehted juurtega a n n am (ab)n = an * bn a b a b an am = an+m n m a n m a a a
1. Kompleksarv kui reaalarvude paar. Tehted kompleksarvudega. Tehete omadused. Kompleksarvu algebraline kuju. Tuletatavad tehted ja nende omadused. Kompleksarvuks nimetatakse reaalarvude paari (x,y). C = {(x;y) | x, y R} Tehted kompleksarvudega: z1 = (x1; y1) C; z2 = (x2; y2) C 1. liitmine: z1 + z2 = (x1 + x2; y1 + y2) 2. korrutamine: z1 * z2 = (x1x2 - y1y2; x1y2 + x2y1) Kompleksarvudega tehete omadused 1. liitmine on kommutatiivne, st z1 + z2 = z2 + z1 z1, z2 C korral 2. liitmine on assotsiatiivne, st (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) z1, z2, z3 C korral 3. liitmise suhtes leidub nullelement (reaalarv 0, 0 + z = z + 0 = z z C korral), st leidub C, nii et z + = + z = z z korral; = (0; 0) = 0 4. igal kompleksarvul z = (x; y) = x + yi leidub (liitmise suhtes) vastandarv, st selline arv w C, et z + w = w + z = 0; w = -z 5
.............................................................................. 7 Ratsionaalavaldise lihtsustamine..............................................................................................7 Tegurdamine e. korrutiseks teisendamine............................................................................ 8 Astendamine............................................................................................................................. 8 Naturaalarvuline astendaja................................................................................................... 8 Tehted astmetega.................................................................................................................. 8 Negatiivse täisarvulise astendajaga aste...............................................................................9 Arvu 10 astmed................................................................................................................
Valemid ruut Tehted harilike murdudega P= 4a S= a² d = a ∙ √2 a m a ∘n : =
Valemid, teoreemid, seosed, tunnused, tingimused MATEMAATIKA EKSAMIL XI KLASSIS 1) a2-b2 = (a+b)(a-b) 2) a3 + b3=(a+b)(a2-ab+b2) 3) a3 - b3=(a-b)(a2+ab+b2) 4) (a+b)3 =a3+3a2b+3ab2+b3 5) (a-b)3 =a3-3a2b+3ab2-b3 −b ± √ b2−4 ac 2 6) a) lahenda ax + bx+c =0 2a b) tegurda : ax2 + bx+c= a( x− x1 )( x−x 2) c) tegurda ax3 + bx2+ax+b= x2(ax+b)+ax+b = (ax+b)(x2+1) 7) lim an bn lim an lim bn n n n 8) lim an bn lim an lim bn n n n 9) lim anbn lim an lim bn n n n an 10) lim lim an lim bn n bn n n 11) Korrutise tuletise sõnastus ja valem (u * v ) ´ = Korrutise tuletis võrdub esimese teguri tu
Jagamine: 1 1 = 1 22 12 2 + 2 21 12 2 i Trig: 1 = 1 [cos(1 - 2 ) + i sin(1 - 2 )] a 2 + b2 i a 2 + b2 a 2 + b2 z 2 r2 Astendamine: [r (cos + i sin )] = r (cos n + i sin n ) + 2k + 2k Juurimine: n r (cos + i sin ) = n r + i sin n n 3. Geomeetriline vektor. Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Lineaarsete tehete 8 omadust. Geomeetriliseks vektoriks nimetatakse suunatud lõiku. Liitmine: AB + BC = AC . Arvu (skalaari) ja geomeetrilise vektori korrutiseks nimetatakse vektorit c, mis rahuldab tingimusi: 1. vektor c on paralleelne vektoriga ; 2. kui c 0 , siis vektori c suund ühtib vektori suunaga, c < 0 korral aga on vektorid c ja vastassuunalised; 3) vektori c pikkus
· Aritmeetiline keskmine x= , kus x 1 ; x 2 ; x 3 ; ; x n on andmed n · Positiivsete arvude geomeetriline keskmine (keskmine võrdeline) x g = n x 1 x 2 x 3 x n , kui x i > 0 ( a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 ( a ± b) 3 = a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3 · Korrutamise abivalemid a 2 - b 2 = ( a + b )( a - b ) a 3 ± b 3 = ( a ± b ) ( a 2 ab + b 2 ) Protsent 1 · 1 % on sajandik tervikust on 100 a · p % arvust a on p 100 b · Arv, millest b moodustab p% on 100 p a
ummeetriline maatriks 3 1 -1 3 1 -1 A= 1 3 2 = AT = 1 3 2 = A -1 2 1 -1 2 1 0 -1 2 0 1 -2 B= 1 0 -4 = B T = -1 0 4 = -B -2 4 0 2 -4 0 Teoreem 10 (transponeerimise omadusi). Maatriksid A ja B olgu sellised, et allpool esinevad tehted on m¨ a¨aratud ning R. Siis 1) (AT )T = A 2) (A)T = AT 3) (A ± B)T = AT ± B T 4) (AB)T = B T AT 5) det AT = det A Paneme t¨ahele tegurite j¨arjekorra muutumist omaduses 4). Lause 11. Iga ruutmaatriksi A korral on maatriks A+AT s¨ ummeetriline ja maatriks A - AT antis¨ ummeetriline. II
Üks- ja hulkliikmed © T. Lepikult, 2010 Matemaatiline avaldis Matemaatiliseks ehk analüütiliseks avaldiseks nimetatakse eeskirja, mis määrab teatava skalaarse suuruse (ehk avaldise väärtuse) leidmiseks konstantide ja muutujatega sooritatavad tehted ning nende sooritamise järjekorra. Näited 1) 2 52 on matemaatiline avaldis, mille väärtus on 27. 2) r2 on matemaatiline avaldis, mille väärtuse leidmiseks tuleb esmalt leida muutuja r väärtuse ruut ja seejärel korrutada tulemust arvuga = 3,14... 3) log( 5 x 2 sin x) - selle matemaatilise avaldise väärtuse leidmiseks tuleb 1) leida siinus nurgast, mille suurus radiaanides on x; 2) leida
8. KLASSI MATEMAATIKA ÜLEMINEKUEKSAM 1. Tehted arvude ja astmetega. Ruutjuur · Astmete korrutamine am × an=am+n · Astmete jagamine am : an=am-n · Korrutise astendamine(a × b)n=an × bn · Astme astendamine (am)n=amn · Jagatise astendamine ( )n=( ) · Kui astendaja on 0 a0=1 a 0 · Kui astendaja on negatiivne täisarv a-n = a0 Ruutjuur · Ruutjuureks antud positiivsest arvust nimetatakse niisugust positiivset arvu, mille ruut võrdub antud arvuga. · Ruutjuur nullist võrdub nulliga. · Mittenefatiivsete arvude korrutise ruutjuur võrdub tegurite ruutjuurte korrutisega. Ruutjuurte teisendused · Positiivset arvu, mille ruut esineb tegurina ruutjuure märgi all, võib tuua
Sissejuhatav 2. 04. 09. 06 Kordamine Kontrolltöö ja tunnikontroll. Vestlus. kordamine. Algebra. Tarkvara vihik. Tehted ratsionaalarvudega. 3. 05. 09. 06 Kordamine Harjutamine 4) 102 124 (paarilised) Avaldise väärtuse arvutamine. 2 2 (a + b)(a b) = a b
Korrutamise abivalemid (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 a 2 - b 2 = ( a + b )( a - b ) a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2 ) a 3 - b 3 = ( a - b)( a 2 + ab + b 2 ) (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 Näiteid · Lahutada tegureiks : 1. 6z 7 3z 5 = 3 z 5 (2z2 -1) 2. 5a (a + b ) 2b ( a + b) = (a + b)( 5a 2b) 3. 2a ( x +y) x y = 2a ( x +y) (x + y ) = ( x + y)(2a -1) 4
.., 2*p * = a1 * b1 + a2 * b2 + ... + an * bn (kus k on täisarv) .... Kompleksarvu trigonomeetriline kuju x r cos, y r sin n*1, n*2, ..., n*p x iy r cosir sin r cosi sin Avaldist võrduse paremal poolel nimetatakse kompleksarvu Maatriksite korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete = x iy trigonomeetriliseks kujuks; suurust r nimetatakse ning korrutamise vahel on kompleksarvu mooduliks ja suurust selle kompleksarvu järgmised: argumendiks; neid tähistatakse järgmiselt: 1) maatriksite korrutamine ei ole kommutatiivne, s.t. leiduvad r z| , arg z . sellised maatriksid A ja B, et Kompleksarvu z 0 argument on üheselt määratud kuni AB BA;
Arvuhulgad Naturaalarvudeks nimetatakse arve N={1; 2; 3; … ; n-1; n; n+1; …} Selles hulgas leidub esimene arv ja iga arvu korral sellele vahetult järgnev arv, kuid ei ole viimast arvu — niisugust naturaalarvu, mis oleks kõigist suurem. Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes, kuid mitte lahutamise ja jagamise suhtes. Liitmis- ja korrutamistehetel on hulgas N järgmised omadused: 1. Iga a, b N korral a b b a . Liitmis kommutatiivsus. 2. Iga a, b N korral a b b a . Korrutamise kommutatiivsus. 3. Iga a, b, c N korral a b c a b c . Liitmise assotsiatiivsus. 4. Iga a, b, c N korral a b c a b c . Korrutamise assotsiatiivsus. 5. Iga a, b, c N korral a b c a b a c . Korrutamise distributiivsus liitmise suhtes. Algarv on arv, mis jagub ainult ühe ja iseendaga.
Arvuhulgad Naturaalarvudeks nimetatakse arve N={1; 2; 3; … ; n-1; n; n+1; …} Selles hulgas leidub esimene arv ja iga arvu korral sellele vahetult järgnev arv, kuid ei ole viimast arvu — niisugust naturaalarvu, mis oleks kõigist suurem. Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes, kuid mitte lahutamise ja jagamise suhtes. Liitmis- ja korrutamistehetel on hulgas N järgmised omadused: 1. Iga a, b N korral a b b a . Liitmis kommutatiivsus. 2. Iga a, b N korral a b b a . Korrutamise kommutatiivsus. 3. Iga a, b, c N korral a b c a b c . Liitmise assotsiatiivsus. 4. Iga a, b, c N korral a b c a b c . Korrutamise assotsiatiivsus. 5. Iga a, b, c N korral a b c a b a c . Korrutamise distributiivsus liitmise suhtes. Algarv on arv, mis jagub ainult ühe ja iseendaga.
annaabi.ee 
