Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Loogika ". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
väited, suviti, implikatsioon, laused, korrektne, populaarne, väiteid, punktiga, kohmakas, tehtega, veerus, muudki, lugesin, tagurpidi, sisuline, vihmasadu, ilusat, lausetLoogika 2011/12 Loogika ...on teadus mõtlemise reeglitest, struktuuridest ja vormidest. Loogikat võib pidada ka mõtlemise mudeliks, nimelt arutlemise mudeliks keeles. Antiikaeg Parmenides (5 saj ema) Zenon - reductio ad absurdum Induktsioon Õppimine ehk üldistuste tegemine Reeglid Erandid Statistika Kiire reageerimine on oluline ellujäämise seisukohast Deduktsioon Reeglite rakendamine ehk järelduste tegemine Tuletamine Õigete reeglite rakendamine õigetele faktidele garanteerib alati edu Mõtlemise aspektid Kui väide A on õige, siis A on õige Kui A ja B, siis A Ei ole tõsi, et A ja mitte A Modus ponens: Kui Ast järeldub B ja A on tõsi, siis on ka B tõsi. Näide: Iga anarhist on vabaabielu pooldaja Mõned valitseva partei liikmed on anarhistid --------------------------------------------- Mõned valitseva partei liikmed on vabaabielu pooldajad Näite jätk Iga x on y Mõni z on x ------------------- Mõni z on y Loogika - keel formaliseeritudkuj
Tõestamise teooria. Loogika seadused. Vastandab tegelikult oleva ja kindla teadmise sofistidele. Induktsioon. Sokrates (470-399). Induktsioon ja üldiste tunnuste leidmine üksikutes mõistetes. Platon (427-347). Väitluskunsti ülesanne on vastuolude avastamine. ARISTOTELES (384-322) Loogika on tööriist kõikide teaduste jaoks. Võttis kasutusele muutujad, väite komponendid (1) kvantor, (2) subjekt, (3) koopula, (4) eitus, (5) predikaat. Süllogismid. Modaalsed väited. Stoikud: Zenon Kitionist (333-264) ja eriti Chrysippos (279-206). Lausearvutuse elemendid. Keskajal Boethius (480-525). Aristoteles ladina keelde. Skolastikud panevad aluse ka analüütilisele filosoofiale. Raimon Lull (1235-1315) Võtab kasutusele sümbolid. G. W. Leibnitz (1646-1716). Idee luua universaalne sümbolkeel, mida võib kontrolloda ka masinaga. Tegi palju matematilise loogika jaoks, kuid ei avaldanud. G. Boole (1815-64) Lausearvutus. Seda arendas A. de Morgan. (1806-1871)
Argumentatsiooni (arutluse) komponendid Üldiselt: argumentatsioon on omavahel (loogiliselt) seotud väidete kogum, mille eesmärk on meid milleski veenda (nt mingi seisukoha õigsuses, mingi tegevuse soovitavuses. Just veenmine on komponent, mis eristab argumentatsioone ka teistest loogiliselt seotud väidetekogumitest: näiteks "Ma kihutan autoga sellepärast nii kiiresti, et mul on gaas põhjas" pole mitte argumentatsioon, vaid seletus. Väited Oma vormi poolest on väited subjekt-predikaat konstruktsioonid1: Subjekt see väite komponent mille kohta midagi väidetakse. Predikaat - see väite komponent, mida väidetakse. Oma sisu poolest jaotuvad subjekt-predikaat konstruktsioonid laias laastus hinnanguteks ja propositsioonideks. Propositsioon on väitelause mõte või sisu, mis saab olla tõene või väär. Nt ei saa olla tõene või väär väite "Lennart Meri on paha" sisu, kuna tegemist on hinnanguga. Hinnang
Loogikas on mitmeid formaliseeritud süsteeme ning järeldamise reeglid ja printsiibid on teatud mõttes suhtelised, nad sõltuvad konkreetse loogika valdkonna süntaksi iseärasustest. Kuigi arutluse kehtivust saab kontrollida mitmeti, on suure enamuse loogikavaldkondade arutlusmeetodite aluseks ikkagi klassikaline loogika. Arutlus on kehtiv (ik valid) siis ja ainult siis, kui ei saa olla nii, et arutluse eeldused on tõesed väited, aga paratamatult tuletatud järeldus on väär. Kehtiv arutlusvorm garanteerib tõeste eelduste puhul tõese järelduse ning on loogika seisukohalt seaduspärane. Arutlus ei ole kehtiv (või on mittekehtiv ik invalid) siis, kui antud vormi järgi arutledes ei paratamatu, et me saame tõestest eeldustest tõese järelduse. St, et arutlus ei ole loogika seisukohalt seaduspärane. Arutlus on korrektne (ik sound) siis ja ainult siis, kui ta on kehtiv ning kõik tema eeldused
arutluses korduvalt, olema kasutatud iseendaga identselt. ! ! See tähendab, et kui me kasutame ühes arutluses mingisugust terminit või väidet korduvalt, ! ! siis ei tohi arutluse sees terminite ja väidete tähendused muutuda. ! D1.3. Vasturääkivusseadus Kui mingis arutluses peetakse tõeseks kaht väidet, millest üks jaatab seda, mida teine eitab, siis öeldakse, et arutlus on vasturääkiv. ! ! Arutlus pole loogiliselt korrektne, kui omavahel vastuolus olevaid väiteid mõlemat jaatatakse ! ! või eitatakse. ! D1.4. Välistatud kolmanda seadus Kahest väitest, millest üks jaatab seda, mida teine eitab, on üks tõene ja teine väär. Alati. ! ! Kui üks väide ütleb JA ja teine sama asja kohta EI, siis üks nendest väidetest on 100% alati ! ! tõene ja teine 100% alati väär. Nt laused “Prantsusmaa kuningal on pikad küüned” ja selle !
arutluses korduvalt, olema kasutatud iseendaga identselt. ! ! See tähendab, et kui me kasutame ühes arutluses mingisugust terminit või väidet korduvalt, ! ! siis ei tohi arutluse sees terminite ja väidete tähendused muutuda. ! D1.3. Vasturääkivusseadus Kui mingis arutluses peetakse tõeseks kaht väidet, millest üks jaatab seda, mida teine eitab, siis öeldakse, et arutlus on vasturääkiv. ! ! Arutlus pole loogiliselt korrektne, kui omavahel vastuolus olevaid väiteid mõlemat jaatatakse ! ! või eitatakse. ! D1.4. Välistatud kolmanda seadus Kahest väitest, millest üks jaatab seda, mida teine eitab, on üks tõene ja teine väär. Alati. ! ! Kui üks väide ütleb JA ja teine sama asja kohta EI, siis üks nendest väidetest on 100% alati ! ! tõene ja teine 100% alati väär. Nt laused "Prantsusmaa kuningal on pikad küüned" ja selle !
ma a s u s an t Pr An Ha t s V rm i s o l me I X Põ h r s o kl ik n 20 a s oo 10 s l e Vabariik tsus Pran Riik Euroopas is e , u e F anca , R e publiq F r a nce n im etus: lik Amet Pindala 5
L — päike on loojunud ∨ loogiline liitmine e. disjunktsioon e. VÕI-tehe M — Ferrari on kiirem kui McLaren ( aritmeetilise liitmise analoog loogikas ) H — Häkkinen võidab sõidu → loogiline järeldamine e. implikatsioon ( ei oma aritmeetikas analoogi) Esitada järgnevad liitlaused lausearvutusvalemitena: ↔ loogiline samaväärsus e. ekvivalents Kui vihma sajab, siis on suvi või väljas on soe ( võrdusmärgi ' = ' analoog loogikas)
SS.r-i jl i i I i I o ?We0;/^, a-- c-!--*Lo- clon'u!.*0A*n w+*n,*.*.-- " 0 o U0.+U^^- *f^r** /Lp^-,^-;* ^rE^J" U"^!rc-A^/-o- tpt^^,t t- kZzy"a- t^"M^h-r"^' G,tt- y,n**t-aoJ*t bqt'^'&o^---"^t 9 Nt"-"&a^- ".-&J t/^o'14^-^4^4y" Irrnqrlrr'ta!. 0"X^ !Ul^t- wta,Lt*ua*U,v(, g ^ ao -/" U i r/oh-{L la r#a^o!"nd;*. al--& Vou^e..^.!r}nr-),- *.b- N*tAtr"k ,/^o,fur.iaL fv[ nlto^ d, oc< cl'*r,Q'a* . -u H^r,vr;
Matemaatiline anal¨ uu¨s I Jaan Janno ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . .
Matemaatiline anal¨ uu¨s I Jaan Janno ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨ avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsio
kõne väljendab) ka seda, kui süsteemselt kõnelejal õnnestub oma mõtteid väljendada; · loogika kui teadus (õpetus, filosoofia vms), mis uurib keeles väljenduva mõtlemise kõige olulisemaid aspekte. Meie tähelepanu keskendub loogikale kui teadusele või õpetusele ning sellega on seotud ka kõne ja mõtlemise loogika. Mitteloogiku jaoks on loogika vajalik eelkõige arutluste teostamiseks, jälgimiseks ning kontrollimiseks. On olnud aegu, mil loogika väiteid peeti maailma kohta käivateks. Nii arvas Aristoteles ja nii usuti väga sageli ka keskajal. Tänapäeval mõistetakse loogikat ikkagi pigem kui õige arutlemise uurimise teadust. Loogika on teadus (õpetus) meetoditest ja printsiipidest, mida Kasutatakse õige ja ebaõige arutlemise (järeldamise) eristamiseks. ,,Eesti entsüklopeedias" on loogika defineeritud kui teadus õigest mõtlemisest, selle vormidest ja struktuuridest
YMM3731 Matemaatiline analu¨u¨s I 2007/08 ~o.-a. su¨gissemestril 3,5 AP 4 2-0-2 E S Dots. Lembit Pallas TTU¨ Matemaatikainstituut V-404, tel. 6203056 e-post: [email protected] K¨asitletavad teemad on toodud punktide kaupa. Neid punkte tuleb vaadelda ka kui kollokviumide ja eksami teooriak¨ usimusi. 1. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid 2. Funktsioonide liigitamine (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioo- nid, kasvavad ja kahanevad funktsioonid) 3. P¨o¨ordfunktsioon 4. Liitfunktsioon 5. Jada piirv¨aa¨rtus 6. Funktsiooni piirv¨aa¨rtus ¨ 7. Uhepoolsed piirv¨aa¨rtused 8. L~opmatult kasvavad ja l~opmatult kahanevad suurused 9. Piirv¨a¨artusteoreemid 10. L~opmatult kahanevate suuruste v~ordlemine 11. Funktsiooni pidevuse m~oiste. Tarvilik ja piisav tingimus funktsiooni pidevuseks 12. Elementaarfunktsioonide pidevus 13. L~oigul
[ f (e3 ) ] = ( a21 a22 a23) [e3 ] Maatriksi A nimetatakse lineaarteisenduse maatriksiks antud baasi korral. Geomeetrilises mõttes pakuvad huvi sellised vektorid, mis säilitavad oma sihi teatava lineaarteisenduse korral. Aksioom3 Nullvektorist erinevat vektorit x nimetatakse lineaarteisenduse f omaväärtusele vastavaks omavektoriks, kui on rahuldatud tingimus: f ( x ) = x . Vektorarvutus Algmõistetele tuginedes sõnastatakse teatavad laused, mida nimetatakse aksioomideks ehk postulaatideks. Aksioom1 Eksisteerib vähemalt üks punkt. Aksioom2 Igale kahele kindlas järjekorras võetud punktile a ja b seatakse vastavusse parajasti üks vektor. Aksioom3 Iga punkti A ja vektori a korral leidub parajasti üks punkt B, nii et punktidele A ja B vastab vektor. Aksioom4 Kui AB = CD kehtib, siis ka AC = BD. Toodud nelja aksioomi ja liitmise definitsiooni põhjal saame järeldada järgmist:
Kodutöö nr 3 õppeaines TUGEVUSÕPETUS (MES0420) Variant Töö nimetus A B Tala tugevusanalüüs 2 3 Üliõpilane Üliõpilaskood Esitamise kuupäev Õppejõud Uku Luhari 202132 15.11.2020 Priit Põdra Konsooliga talaks tuleb kasutada kuumvaltsitud INP-profiiliga ühtlast varrast, mis on valmistatud terasest S235. Tala on koormatud aktiivse punkt- ja joonkoormusega. Tala joonmõõtmed on antud seostega: b = a/ 2. Punktkoormuse väärtus on F = 10 kN ja ühtlase joonkoormuse intensiivsus tuleb avaldisest p = F/ b. Varuteguri nõutav väärtus on [ S]
c ' ,t-r,(r l t,{ -' i == 9,tt KONTROL LTO{) nr. b N;,";, ...T."..S-cg.ff x,,,"ur, .....F.t].-n... VONKUMISFi ja LAINED 05. detsernber2005 / . .. l.1. Harmoonj ,eit ionk va punkti v6nke[lnplitrrud orr 8 cm, nurksagedu,s 4 s-1, alffaas
c ' ,t-r,(r l t,{ -' i == 9,tt KONTROL LTO{) nr. b N;,";, ...T."..S-cg.ff x,,,"ur, .....F.t].-n... VONKUMISFi ja LAINED 05. detsernber2005 / . .. l.1. Harmoonj ,eit ionk va punkti v6nke[lnplitrrud orr 8 cm, nurksagedu,s 4 s-1, alffaas
L+l''-. Ir + T Jr4 i- tr il ti I r l T i ^t-. I J I I I I I I l l I I I T 1 4.). il I rl .i ,: -tt f -l -l-liI- -J' rlll ii"lr ( x ot ''S - tt -t-f . t i ' t' l J 5 uctR6.e,t,4"y 4,)' ... Ahi 2 uu.4DLl,
[,t02 uulllsJ i b tfiV? wtlYlteddg salsJ urt1yta6 t nV7 Z t#1, t l, euepdgrlg G=ONVS]-InsnlnruvH snsunyGln MUr33ruO39 Vnvrnrny ,".'i:9 snISeI elUeeloueuesu; 67/a9d/4 looM n e),1 ! u L,|al eu u ! I lel ^J "// 'r/.7//1 4l 'set4aawosllslr sgn[nt1 ef apeerr1lntl ewxld prye1g npp4 epelapl ,€, ' (stu o o ts I I a fo t d p w q e 41 , seulaewry
(kehtib). Kui vahetada teoreemis ,,Kui A, siis B" eeldus ja väide ning asendada nende eitustega, saame lause ,,Kui ¬B, siis ¬A". Seda lauset nimetatakse antud teoreemi pöördvastandlauseks Antud teoreemi kehtivusest järeldub alati selle teoreemi pöördvastandlause kehtivus ning vastupidi ehk sümbolites: Kui A, siis B Kui ¬B, siis ¬A. Öeldakse ka, et need laused on loogiliselt samaväärsed. Näide1: Lause: ,,Kui nelinurk on rööpkülik, siis tema diagonaalid poolitavad teineteist." Pöördvastandlause: ,,Kui nelinurga diagonaalid ei poolita teineteist, siis nelinurk ei ole rööpkülik." Kehtigu teoreem: Kui A, siis B. Sel juhul öeldakse, et A on piisav tingimus selleks, et kehtiks B. Samuti öeldakse, et B on tarvilik tingimus selleks, et kehtiks A.
kõne väljendab) ka seda, kui süsteemselt kõnelejal õnnestub oma mõtteid väljendada; • loogika kui teadus (õpetus, filosoofia vms), mis uurib keeles väljenduva mõtlemise kõige olulisemaid aspekte. Meie tähelepanu keskendub loogikale kui teadusele või õpetusele ning sellega on seotud ka kõne ja mõtlemise loogika. Mitteloogiku jaoks on loogika vajalik eelkõige arutluste teostamiseks, jälgimiseks ning kontrollimiseks. On olnud aegu, mil loogika väiteid peeti maailma kohta käivateks. Nii arvas Aristoteles ja nii usuti väga sageli ka keskajal. Tänapäeval mõistetakse loogikat ikkagi pigem kui õige arutlemise uurimise teadust. Loogika on teadus (õpetus) meetoditest ja printsiipidest, mida Kasutatakse õige ja ebaõige arutlemise (järeldamise) eristamiseks. „Eesti entsüklopeedias" on loogika defineeritud kui teadus õigest mõtlemisest, selle vormidest ja struktuuridest
#;h_èMZ-C}#v#R^#&#*;Y9`0#?
#SVrM6+#1nM#Z3j1##Kv?
#P^###ocQEz0#qq#z4?Um?
#a#z##[#[##J%#J@
##GI_- k#G Z t%d #S##jRc#mg#
3#m#|s<|#ATW#:6c *[` # [X
#<#Q##> 4mT~*i6#- -
,u#U#Ayrmb#44lq#x#ZQml#d##{
:uZG3r?S#T0l-c#n U%y#%]90#
zw[*wV1Q####n##c4$r##Xy.APio*E##
#s I#wN#x>j=5Yr5O#^4 ;#}#Mahi%[8,GR-
_6mx-
Analoogia jaotatakse veel tuletatud teadmise iseloomu või järelduse tõepärasuse astme järgi nii: 1. Range analoogia, mis annab tõepärase teadmise. Ülekantavateks tunnusteks on erinevate esemete vahelised suhted. 2. Mitterange analoogia, mis annab tõenäolise järelduse. NT: Laeva mudeli katsetamine basseinis ja järeldus, et mudeli järgi ehitatud laeval on samad omadused, mis mudelil. 3. Populaarne analoogia, mis on levinud argimõtlemises. TÕESTUS Tõestus- On mingi ühe otsustuse või otsustuse süsteemi kindlakstegemine teiste, silmnähtavalt tõeste või varem tõestatud otsustuste abil. Tõestamise ja järeldamise erinevus seisneb: 1. Tõestuses on argumentide tõesus üks põhinõudeid, järeldus seda aga tihti ei arvesta 2. Tõestatav otsustus, mis vastab süllogismi järeldusele, on juba ette teada.
opee a!ltlt p!Ha. 31. Tuletada kolnnuga |23 oiginaalvonning si- 1z3 v|rrayy ()*y.pm"12 t+ 2. gete .t2 ja 23 vahelisc nuga () salUs. 32. opopafrepy o-epxi.!rar'| 32. Tule.tadapiianiidi TB( pinalaotus koos B. punktiga P. 3+.opHyosAB. 33+.Leida l6igu B kus, 34+. ppa1 poe*tlo3r] 34+.Leida l6igu B eestvaade,kui on antud ,B,, AB , eaaH|: A,B. , a(b)oea AB ligu B pikkus ( nig punkti .- keus (kl pdhi- . paooH
1. Kompleksarv kui reaalarvude paar. Tehted kompleksarvudega. Tehete omadused. Kompleksarvu algebraline kuju. Tuletatavad tehted ja nende omadused. Kompleksarvuks nimetatakse reaalarvude paari (x,y). C = {(x;y) | x, y R} Tehted kompleksarvudega: z1 = (x1; y1) C; z2 = (x2; y2) C 1. liitmine: z1 + z2 = (x1 + x2; y1 + y2) 2. korrutamine: z1 * z2 = (x1x2 - y1y2; x1y2 + x2y1) Kompleksarvudega tehete omadused 1. liitmine on kommutatiivne, st z1 + z2 = z2 + z1 z1, z2 C korral 2. liitmine on assotsiatiivne, st (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) z1, z2, z3 C korral 3. liitmise suhtes leidub nullelement (reaalarv 0, 0 + z = z + 0 = z z C korral), st leidub C, nii et z + = + z = z z korral; = (0; 0) = 0 4. igal kompleksarvul z = (x; y) = x + yi leidub (liitmise suhtes) vastandarv, st selline arv w C, et z + w = w + z = 0; w = -z 5. korrutamine on kommutatiivne, st z1z2 = z2z1 z1, z2 C korral 6. korrutamine on assotsiatiivne, st (z1z2)z3 = z1(z2z3) z1, z2, z3 C korral
A-1 B = BA-1 , s.t B=B A A Siit j¨areldub, et t¨ahistus (jagatis) BA on kahem~ otteline. Regulaarse A korral on jagamistehteid u ¨ ldiselt kaks, parem- ja vasakpoolne: B/A := BA-1 , AB := A-1 B, det A = 0 Vaid kommuteeruvate maatriksite korral on jagatis u ¨heselt defi- neeritud ning t¨ahistus B A korrektne. 6 Maatriksv~ orrandid Maatriksv~orrandites on oluline tundmatu maatriksi asetus korru- tistes. Vaatleme vaid lihtsamaid lineaarseid maatriksv~orrandeid. 6.1 Tundmatu maatriks X on korrutises paremal Lause 16. Regulaarse maatriksi A korral on v~ orrandi AX = B ainus lahend X = A-1 B. oestus. N¨aitame k~oigepealt, et A-1 B on v~orrandi AX = B la- T~ hend. T~oepoolest A(A-1 B) = (AA-1 )B = I B = B
r f (P ) s r = grad f (P ) s e , kus s e = r . s s Analoogiliselt f ( x, y, z ) korral: s e = (cos , cos , cos ) , grad f (P ) = ( f x (P ), f y (P ), f z (P )) . Teoreem 3: Kehtivad järgmised väited: df r 1. Tuletis r võrdub vektori grad f projektsiooniga vektori s sihile; ds df 2. Tuletis r on maksimaalne (minimaalne) kui tuletis on võetud grad f suunas ds (vastavalt vastassuunas). Tõestus. r Olgu nurk vektorite grad f ja s vahel. 1. Skalaarkorrutise definitsiooni põhjal: f r = grad f (P ) s e =| grad f || se | cos =| grad f | cos = pr sr grad f s
ributiivne. 3 Mistahes kolme maatriksi X, Y M at(p, q) ja Z M at(q, r) korral (X ± Y )Z = XZ ± Y Z. 4 Mistahes kolme maatriksi X M at(p, q) ja Y, Z M at(q, r) korral X(Y ± Z) = XY ± XZ. (1.23) Nende omaduste t~oestamiseks kasutame summeerimism¨arki ja tema omadusi. Ilma viimaseta on nende omaduste t~oestamine u ¨sna kohmakas. N¨aiteks maatriksite korrutamise valemi (1.20) saab abil kirja panna j¨argmiselt: q zij = xis ysj , i Np , j Nr . (1.24) s=1 Alustame omaduste 1 - 4 t~oestamist. 16 1 Maatriksite X = (xij ), i Np , j Nq , Y = (yij ), i Nq , j Nr ja
ributiivne. ◦ 3 Mistahes kolme maatriksi X, Y ∈ M at(p, q) ja Z ∈ M at(q, r) korral (X ± Y )Z = XZ ± Y Z. 4◦ Mistahes kolme maatriksi X ∈ M at(p, q) ja Y, Z ∈ M at(q, r) korral X(Y ± Z) = XY ± XZ. (1.23) Nende omaduste t˜oestamiseks kasutame summeerimism¨arki Σ ja tema omadusi. Ilma viimaseta on nende omaduste t˜oestamine u¨sna kohmakas. N¨aiteks maatriksite korrutamise valemi (1.20) saab Σ abil kirja panna j¨argmiselt: q zij = xis ysj , ∀ i ∈ Np , ∀ j ∈ Nr . (1.24) s=1 Alustame omaduste 1◦ − 4◦ t˜oestamist. 16 1◦ Maatriksite X = (xij ), ∀ i ∈ Np , ∀ j ∈ Nq ,
#Sissejuhatus Euroopa Parlamendi valimistel moodustab Eesti Vabariik he valimisringkonna. See thendab, et kikides valimisjaoskondades saab valida htesid ja samu kandidaate erinevalt Riigikogu valimistest. Eestist valitakse europarlamenti kuus saadikut, kokku on Euroopa Parlamendis 732 saadikut 25-st Euroopa Liidu riigist. Riigikogus esindatud erakondade esinumbrid europarlamendi valimisnimekirjades on Kristiina Ojuland Reformierakonnast, Edgar Savisaar Keskerakonnast, Tunne Kelam Isamaa ja Res Publica Liidust, Ivari Padar Sotsiaaldemokraatlikust Erakonnast, Marek Strandberg Eestimaa Rohelistest ja Anto Liivat Rahvaliidust. Eesti Reformierakond esitas 12 kandidaati, Eestimaa hendatud Vasakpartei 6, Eesti Keskerakond 12, Erakond Isamaa ja Res Publica Liit 12, Vene Erakond Eestis 6, Erakond Eesti Kristlikud Demokraadid 3, Sotsiaaldemokraatlik Erakond 12, Erakond Eestimaa Rohelised 12, Libertas Eesti Erakond 6, Eestimaa Rahvaliit 12, Pllumeeste Kogu 2 kandidaati. ksikkandidaatidena soovi
MATEMAATLINE ANALÜÜS II 1. KORDSED INTEGRAALID Kordame kõigepealt mõningaid teemasid Matemaatlise analüüsi I osast. 1.1 Kahe muutuja funktsioonid Kui Tasndi R 2 mingi piirkonna D igale punktile x, y D seatakse ühesel viisil vastavusse arv z, siis öeldakse, et piirkonnas D on määratud kahe muutuja funktsioon z f x, y . Piirkoda D nimetataksefunktsiooni f määramispiirkonnaks. See on mingi piirkond xy-tasandil. Näide 1. Poolsfääri z 1 x2 y 2 määramispiirkonnaks on ring x 2 y2 1. Funktsiooni z ln x y määramispiirkonnaks on pooltasand y x (sirgest y x ülespoole jääv tasandi osa: vaata joonist). Kahe muutja funktsioon ise esitab pinda xyz-ruumis (ruumis R 3 ). Näide 2. Funktsiooni z x2 y 2 graafikuks on pöördparaboloid (vaata allpool olevat joonist) Kahe muutuja funktsiooni f nivoojoonteks nimetatakse jooni f x, y c Näide 3. Tüüpiline näide nivoojoo
1. Vektorite liitmine ja lahutamine (graafiline meetod ja vektori moodulite kaudu). Kuidas leida vektorite skalaar- ja vektorkorrutis? Graafiline liitmine: Kolmnurga reegel – eelmise vektori lõpp-punkti pannakse uue vektori algpunkt. Vektorite liitmisel tuleb aevestada suundasid. Saab kuitahes palju vektoreid kokku liita. Rööpküliku reegel – vektorite alguspunkt paigutatakse nii, et nende alguspunktid ühtivad. Saab ainult kahte vektorit kokku liita. ax – x-telje projektsioon ay – y-telje projektsioon az – z-telje projektsioon i, j, k – vektori komponendid ⃗a + b⃗ =i⃗ ( a x + bx ) + ⃗j ( a y +b y ) + ⃗k (a z +b z ) Skalaarkorrutis: ⃗a ∙ ⃗b=|⃗a||b⃗| cosα=a x b x +a j b j +a z b z Kui suudame ära näidata, et vektorid on risti, siis võime öelda, et skalaarkorrutis on 0. ⃗ ⃗ Vektorkorrutis: |a⃗ × b|=¿ ⃗a∨∙∨b∨sinα Vektorid on võrdsed, kui suund ja siht on sama. Samasihilised võivad olla eri
Matemaatiline anal¨ uu¨ s II 1. osa 1) Mitmemõõtmelise ruumi ja selle punkti mõisted. Kaugus mitmemõõtmelises ruumis. Kauguse omadused. Parameetrilised jooned. Mitmem~ o~ otmelise ruumi definitsioon. Hulka, mille elementideks on k~oik m reaalarvust koosnevad j¨arjestatud s¨ usteemid (a1 , a2 , . . . , am ), nimetatakse m- m~o~ otmeliseks ruumiks, s¨ usteemi A = (a1 , a2 , . . . , am ) selle ruumi punktiks ja arve a1 , a2 , . . . , am punkti A koordinaatideks. m-m~ o~ otmelist ruumi t¨ahistame umboliga Rm . s¨ Ruumi Rm punkte A = (a1 , a2 , . . . , am ) ja B = (b1 , b2 , . . . , bm ) nimetatakse v~ ordseteks ja kirjutatakse A = B, kui nende koordinaadid on v~ordsed, st a1 = b1 , a2 = b2 , . . . , am = bm . Nullpunktiks ehk koordinaatide alguspunktiks ruumis Rm nimetatakse punkti O = (0, 0, . . . , 0). Kaugus ruumis Rm . Olgu ruumis Rm antud kaks punkti A = (a1 , a2 ,
annaabi.ee 
