1 1. LOOGIKA PÕHIREEGLID. SEMANTILINE KOLMNURK Loogika määratlemisest Sõna loogika näib olevat kujunenud kreeka väljendist logik¾ tscnh, mis tähendab mõtlemise või arutlemise kunsti. Kui püüda mõista, mis on loogika, siis üks võimalus on lähtuda selle sõna kasutamisviisidest tavakeeles. Eesti keelt kõneldes saab sõna loogika Kasutada erinevates tähendustes: · sündmuste, asjade või süsteemide loogika, s.o sisemine korrapära, mis võimaldab sündmustest, asjadest või süsteemidest aru saada, selleks võib olla ka millegi tööpõhimõte; · mõtlemise loogika, s.o mõtlemises esinev korrapära, mis võimaldab teha järeldusi, sh selliseid, mida varem ei teata; · teksti või jutu loogika (loogilisus), see iseloomustab lisaks mõtlemise loogikale (mida
SEMANTILINE KOLMNURK: TEEMA 1!! 1 1. LOOGIKA PÕHIREEGLID. SEMANTILINE KOLMNURK Loogika määratlemisest Sõna loogika näib olevat kujunenud kreeka väljendist logik¾ tšcnh, mis tähendab mõtlemise või arutlemise kunsti. Kui püüda mõista, mis on loogika, siis üks võimalus on lähtuda selle sõna kasutamisviisidest tavakeeles. Eesti keelt kõneldes saab sõna loogika Kasutada erinevates tähendustes: • sündmuste, asjade või süsteemide loogika, s.o sisemine korrapära, mis võimaldab sündmustest, asjadest või süsteemidest aru saada, selleks võib olla ka millegi tööpõhimõte; • mõtlemise loogika, s.o mõtlemises esinev korrapära, mis võimaldab teha järeldusi, sh selliseid, mida varem ei teata; • teksti või jutu loogika (loogilisus), see iseloomustab lisaks mõtlemise loogikale (mida kõne väljendab) ka seda, kui süsteemselt kõnelejal õnnestub oma mõtteid väljendada;
LOOGIKA KONSPEKT EKSAMIKS (autor – mis iganes, kas tead teda või mitte, ei vastuta selles materjalis sisalduva informatsiooni (eba)õigsuse eest; palun ärge solvuge ega süüdistage) 1. LOOGIKA PÕHIREEGLID. ! D1.2. Samasusseadus Ühes ja samas arutluses, ühes ja samas suhtes peab iga termin või väide, kui ta esineb arutluses korduvalt, olema kasutatud iseendaga identselt. ! ! See tähendab, et kui me kasutame ühes arutluses mingisugust terminit või väidet korduvalt, ! ! siis ei tohi arutluse sees terminite ja väidete tähendused muutuda. ! D1.3. Vasturääkivusseadus
LOOGIKA KONSPEKT EKSAMIKS (autor mis iganes, kas tead teda või mitte, ei vastuta selles materjalis sisalduva informatsiooni (eba)õigsuse eest; palun ärge solvuge ega süüdistage) 1. LOOGIKA PÕHIREEGLID. ! D1.2. Samasusseadus Ühes ja samas arutluses, ühes ja samas suhtes peab iga termin või väide, kui ta esineb arutluses korduvalt, olema kasutatud iseendaga identselt. ! ! See tähendab, et kui me kasutame ühes arutluses mingisugust terminit või väidet korduvalt, ! ! siis ei tohi arutluse sees terminite ja väidete tähendused muutuda. ! D1.3. Vasturääkivusseadus
Arutlus väljendub keeles lausete hulgana. Klassikalises loogikas käsitletakse arutlust kui propositsioonide hulka või ka kui väidete hulka. Üks neist on järeldus, ülejäänud on eeldused. Tuletis järgneb eeldustest paratamatult (ik necessarily). Et rõhutada tuletise paratamatut iseloomu, alustatakse tema sõnastamist väljendiga järelikult, siit järeldub või sellepärast jt. Neid väljendeid nimetatakse eelduse ja tuletuse seoseks. Loogika ülesandeks on seaduste ja printsiipide formaliseerimine, millest kinnipidamine on paratamatu, kui soovime saada tõestest eeldustest tõese järelduse. Loogikas on mitmeid formaliseeritud süsteeme ning järeldamise reeglid ja printsiibid on teatud mõttes suhtelised, nad sõltuvad konkreetse loogika valdkonna süntaksi iseärasustest. Kuigi arutluse kehtivust saab kontrollida mitmeti, on suure enamuse loogikavaldkondade arutlusmeetodite aluseks ikkagi klassikaline loogika.
1.LOOGIKA AINE JA PÕHIREEGLID Ratsionaalne mõtlemine- järjekindel ja reeglipärane mõisteline mõtlemine, kusjuures reeglid peavad olema mingil viisil õigustatud. Need võivad tugineda nt kogemuse üldisusele, mille allikaks peetakse tihti tegelikkust. Ratsionaalse mõtlemise eesmärk- tegelikkusega kohanemine. LOOGIKA UURIMISVALDKOND ongi peamiselt ratsionaalse mõtlemise seaduspärasused ja mõtlemise aktide produktid. Irratsionaalne mõtlemine- ebakindel, reeglipäratu või järgib väljendamatuid või vaieldavaid reegleid. Ei kuulu otseselt loogika uurimisvaldkonda, kuid selle olemasoluga tuleb arvestada. Võib tugineda mõtleja sisemistele ajenditele, nt soovidele või hirmudele, sageli neid ajendeid ei teadvustata. Mõnikord on mõtlemise aluseks irratsionaalne soov või usk, aga arutluskäigud
1) tehted sulgudes 2) tehted eitusega 3) konjunktsioon 4) disjunktsioon 5) implikatsioon 6) ekvivalents 7) antiekvivalents Võrdse prioriteediga tehted sooritatakse vasakult paremale. Väidete süsteem on vastuoluline siis, kui tõesustabelis pole ühtegi rida, kus väited oleksid kõik korraga tõesed. Kui aga leidub rida, milles süsteemi väited on korraga tõesed, siis oleme leidnud kontranäite väitele, et selle süsteemi kõik väited ei saa korraga tõesed olla. Laused on ekvivalentsed, kui nende tõeväärtused langevad kokku (tabeli kaks viimast veergu mõlema lause kohta on samade tõeväärtusnumbritega). Reeglid: õ 287 Kommutatiivsus (disjunktsiooni ja konjunktsiooni korral): (P v q) = (q v p) Assotsiatiivsus Distributiivsus Liiasus P=pvp p=p&p Kahekordne eitus p = - - p De Morgani teoreem –(p & q) = -p v –q -(p v q) = -p & -q
Hinnang ei saa olla tõene või väär (teda ei saa ei tõestada ega ümber lükata). Üht ja sama propositsiooni võivad väljendada väga erinevad grammatilised konstruktsioonid: a) Suvel sajab vihma, talvel lund. b) Kui on suvi, siis sajab vihma ja kui on talv, siis sajab lund. c) It rains in summer and it snows in winter Laused a) - c) väljendavad üht ja sama propositsiooni; erinevus on ainult keelelises konstruktsioonis. Järgnevad laused väljendavad täpselt sama propositsiooni: 1) Vaprad metsavennad tapsid reeturliku kommunisti. 2) Reeturlikud metsavennad tapsid vapra kommunisti. Erinevus on ainult nendesse lausetesse kätketud hinnangutes: esimeses peetakse metsavendi vaprateks ja teises reeturlikeks; samamoodi: esimeses lauses peetakse kommunisti reeturlikuks, teises vapraks. Autluste põhitüübid 1 Tänapäeva loogikas on üldiselt näidatud, et väitelausete struktuur on märksa keerulisem, kuida siinse
1. Sissejuhatus: 1.1. Mis on loogiline programmeerimine? l Programmeerimise paradigma l loogiline (LP) l funktsionaalne (FP) l jt Fookus: MIDA ARVUTADA l LP ja FP on deklaratiivsed programmeerimisstiilid; l LP põhineb loogika printsiipidel ja kasutab automaattõestamise protseduure (resolutsioon, unifitseerimine); l LP keel on Prolog, kuid LP ≠ Prolog; 1.1. Mis on loogiline programmeerimine? (2) l LP sobib tehisintellekti rakenduste programmeerimiseks: l loomuliku keele analüüs ( DCG grammatikareeglid) l ekspertsüsteemid (otsingu- ja järeldusreeglid) l kujundituvastus (tuvastusreeglid) l kitsendustega planeerimine (logistika, marsruudi otsimine) l rekursiivsete funktsioonide püsipunkti arvutus l jne l LP ei sobi: l Kiired numbrilised arvutused (n. maatriksarvutused, võrrandid) l OOP (kuigi on toetatud mõnes prologis) l kasutajaliideste programmeerimine (tugi on
sõnaga kui, nimetatakse teoreemi eelduseks, ja osa, mis on seotud sõnaga siis, väiteks. Näide: Kui kaks vektorit on risti, siis nende vektorite skalaarkorrutis on null. Näide: Kui nurgad on kõrvunurgad, siis nende summa on 180o. Teoreemi tõestamine tähendab selle näitamist, et eeldusest A järeldub väide B. Tõestamisel lähtutakse aksioomidest ja varem tõestatud teoreemidest. Vahetades teoreemis ,,Kui A, siis B" eelduse ja väite, saame lause ,,Kui B, siis A". Seda lauset nimetatakse antud lause pöördlauseks. Kui lause kehtib, siis selle lause pöördlause ei pruugi kehtida. Näide: Lause: ,,Kui arv lõpeb nulliga, siis ta jagub viiega" (kehtib). Pöördlause: ,,Kui arv jagub viiega, siis ta lõpeb nulliga" (ei kehti). Näide: Lause: ,,Kui kolmnurga küljed on võrdsed, siis on ta nurgad võrdsed"(kehtib). Pöördlause: ,,Kui kolmnurga nurgad on võrdsed, siis ta küljed on võrdsed" (kehtib).
Eitus: Mitte P, pole õige, et P. ~P, on ka teisi alternatiive. Ühe alternatiivi kehtimise nõue: PvQ P või Q Tingimuste samaaegse kehtimise nõue: P &Q P ja Q Järeldumine: P->Q Kui P siis Q Samaväärsus: P<->Q P ainult siis, kui Q Millist tehet nimetatakse binaarseks? Millised loogikatehted on binaarsed? Binaarsed tehted seovad kahte lauset, nendeks on konjuktsioon, disjunktsioon, ekvivalents ja implikatsioon. Millist tehet nimetatakse unaarseks? Millised loogikatehted on unaarsed? Unaarsed tehted on rakendatavad ühele lausele. Unaarseks on eitus. Milline aritmeetiline tehe vastab igale loogikatehtele? Konjuktsioon korrutamine. Disjunktsioon liitmine. Ekvivalents võrdumine. Implikatsioonile ei ole aritmeetikas analoogi. Millist loogikatehet nimetatakse loogikaliseks korrutamiseks? Millist loogikaliseks liitmiseks?
Matemaatiliste tõestuste meetodid 1. Otsesed tõestuse meetodid M ate maa tiline s üs teem koos neb aks ioomides t, teoreemides t, definits ioonides t ja defineeri ma ta obj ektides t. A ks ioom on laus e, mid a eeldataks e tõene olevat. D ef in its ioon i kas utataks e uute konts epts ioonide ja mõis t ete s elgitamis eks teadaolev ate mõis te te kaudu. T eoreem on väide, mis on tões tatud. L em m a - väiks ema is es eis va tähts us ega teoree m, mis on enamas t i abiks teoree mi de tões ta mis e l. Järeld u s - toeree mis t ots es elt järelduv tule mus N äited: D efineeri ma ta obj ektid: punktid, jooned D efinits ioon: Kolmnurg a ümber mõ õt on võrdne s elle kol mnurga külgede s ummag a Teoree m: Täis nuks e kolmnurga kaatet ite ruutude s umma võrdub hüpotenuus i ruuduga. J äreldus : kui kolmnurg a külj ed on võrds e pikkus ega, s iis on s elle kolmnug a nurgad s amut i võrds ed. Teoree mi tões us e põhj endamis t, nimet ataks e tões tus eks . Loogika o
Diskreetse Matemaatika alla kuuluvad: Formaalsete esituste ainus otstarve on nendes sisalduv info hiljem jälle verbaalseks (ehk mõnda lingvistilisse keelde) tagasi "üles lugeda" — Hulgad: Hulgaalgebra (Cantori algebra), Hulgaaritmeetika (taastada). — Loogika: Lausearvutus, Predikaatarvutus, Tõestusmeetodid Mistahes formaalne esitus peab olema üheselt tõlgendatav! — Loogikaalgebra (Boole'i algebra) — Loogikafunktsioonid: minimeerimine, normaalkujud . . . — Algebralised struktuurid: "mitteformaalne" ≡ "verbaalne" (sünonüümid) Fundamentaalalgebrad: Võred, Rühmad, Ringid, Korpused
Õpetaja Ilmar Lilleorg Maria Sillandi RP 121-T LOOGIKA Aine lõppeb testiga. Mis koosneb ülesannetest (Täpne mõistete sisu: mis on loogika, mis on mõtlemine - 3-4 küsimust). 70p. 51% on positiivse hinde piir. Töös tehnikat kasutada ei tohi. Õpetaja annab A4 formaadis spikri ise tööle. Materjalid: 1. Õppejõud. 2. Loogika harjutused ja ülesanded 1999 (pole kiiret sellega) On ka digiväljaandes. 3. http://web.zone.ee/aristoteles/ 4. Ene Graiberg ''Loogika, keel ja mõtlemine'' 1996 5. Galine Vuks ''Formaalse loogika ehk õige mõtlemise alused'' 1991 Aristotelese loogika (klassikaline loogika, formaalne loogika,
Matemaatiliste tõestuste meetodid 1. Otsesed tõestuse meetodid M ate maat ilin e s üs teem koos neb aks ioomides t, teoreemides t, definits ioonides t ja defineeri ma ta obj ektides t. A ks ioom on laus e, mid a eeldataks e tõene olevat. D ef in its ioon i kas utataks e uute konts epts ioonide ja mõis t ete s elgitamis eks teadaolev ate mõis te te kaudu. Teoreem on väide, mis on tões tatud. L em m a - väiks e ma is es eis va tähts us ega teoreem, mis on ena mas ti abiks teoreemide tões ta mis e l. Järeld u s - toeree mis t ots es elt j ärelduv tule mus N äited: D efineeri ma ta obj ektid: punktid, jooned D efinits ioon: Kolmnurga ümber mõõ t on võrdne s elle kolmnurga külgede s ummaga Teoree m: Täis nuks e kolmnurga kaatet ite ruutude s umma võrdub hüpotenuus i ruuduga. J äreldus : kui kolmnurga külj ed on võrds e pikkus ega, s iis on s elle kolmnug a nurgad s amut i võrds ed. Teoree mi tões us e põhj endamis t, nimeta taks e tões tus eks . Loogika on vah
sooritatakse. tehteid vasakult paremale, siis võib tehete järjekorda täpsustavatest sulgudest loobuda. 3. Valemi välimised sulud võib ära jätta Väärtustus: Kui lausemuutuja A on tõene, siis kirjutame A=1; kui lausemuutuja A on väär, siis kirjutame A=0. Kui omistame korraga tõeväärtused mitmele lausemuutujale, siis seda tõeväärtuste komplekti nimetame väärtustuseks. Tehete väärtuste arvutamine: lausearvutuse valemi F tõeväärtus etteantud väärtustel leitakse järgmiste reeglite abil: 1. Kui F = ¬G, siis F = 1 parajasti siis, kui G = 0. 2. Kui F = G & H, siis F = 1 parajasti siis, kui G = 1 ja H = 1. 3. Kui F = G V H, siis F = 1 parajasti siis, kui G = 1 või H = 1. 4. Kui F = G -> H, siis F = 1 parajasti siis, kui G = 0 või H = 1. 5. Kui F = G <->H, siis F = 1 parajasti siis, kui G = 1 ja H = 1 6. või G = 0 ja H = 0. Tõeväärtustabeli vasakus pooled on muutujate kõik väärtused
Loogika harjutuseksami küsimused-vastused 1. Hägusloogikas võib lause tõesusaste olla: 0,25 2. Kui unaarne predikaat ei ole samaselt väär, siis on see kindlasti: Kehtestatav 3. Milline traditsioonilise loogika põhireegel ei ole otseselt ega kaudselt kasutusel klassikalise loogika põhialuste fikseerimisel: Küllaldase aluse seadus 4. Kuidas jagunevad küsimused vastuste hulga alusel? Õiged ja ebaõiged. 5. Atributiivse lihtväitena termin on alati piiritletud, kui ta esineb… Eitava väite predikaadina 6. Disjunktsioonitehte eitus on … Selle operandide eituste konjunktsioon. 7. Traditsioonilisele arutlusele „üldiselt üksikule“ vastab klassikalises loogikas … Üldisuskvantori eemaldamine. 8
Loogija ja juriidiline argumentatsioon LOENG 1 Loogika – logos - teadus õigest mõtlemisest. Mõtlemisreeglid. Väidete põhjendamise teadus. Loogika kui inimtegevuse teatud järjepidevus. Loogika on kõige lähedasem matemaatika. Loogika on normatiivne teadus, mis määrab mõtlemise reeglid. Meil on vaja loogikat väitluskunstiks. Argumenteerimisoskus, teadustöö tegemises jne.Loogika aitab paremini pidada kõnesid. Jaguneb: Formaalseks-see millega meie tegeleme, matemaatiline loogika; dialektiline loogika-tegeleb seoste ja dünaamikaga. Formaalloogika uurib õige mõtlemise üldstruktuure selle keerulises vormis. Formaalloogika põhimõisteks on mõtlemise loogiline vorm.
SISSEJUHATUS MATEMAATILISSE LOOGIKASSE Kordamisküsimused (orienteeruv) Mõnede sümbolite tähendused sõna Materjal puudub & Konjuktsioon Ekvivalents üldisuskvantor Järeldumine Disjunktisoon ¬ Eitus olemasolukvantor Signatuur Implikatsioon Samaväärsus Loogiline järeldumine I. Lausearvutus Laused. Lausearvutuse tehted. Valem. Valemi tõeväärtus. Tõeväärtustabel. Laused Põhilised uuritavad objektid lausearvutuses on laused, mis võimaldavad pärineda ükskõik millisest valdkonnast. Oluline on, et igale lausearvutusele saaks vastavusse seada tõeväärtuse, mis kirjeldab lause tegelikkusele vastava määra. Eeldame, et käsitlevad laused rahuldavad järgmisi tingimusi: · Välistatud kolmanda seadus. Iga lause on kas tõene või väär · Mittevasturääkivuse seadus
vabaabielu pooldajad Näite jätk Iga x on y Mõni z on x ------------------- Mõni z on y Loogika - keel formaliseeritudkujul, kasutades kunstlikke formaalseid keeli Lausearvutuse keel Predikaatarvutuse keel Reeglid Samasusseadus ühegi lause sisu ei muutu arutluse käigus Vasturääkivusseadus ükski lause ei saa olla endaga vastuolus Välistatud kolmanda seadus iga lause on kas tõene või väär, kolmandat võimalust ei ole Küllaldase aluse seadus ühtli lauset ei saa pidada tõeseks või vääraks ilma küllaldase aluseta. Näide Maril on täna hea tuju Kui Maril on hea tuju, siis on Jüri õnnelik ------------------------- Jüri on täna õnnelik Lauseid.... Elu on elu Tööpäev kestab reedel kella poole viieni Jüri on ja ei ole mees Lausearvutus Boole algebra Jagamine lauseteks ja osalauseteks Lausearvutus on klassikalise loogika lihtsaim osa, mis tegeleb lihtlausete vaheliste seoste uurimisega ning mille abil on võimalik välja
Eitus (¬) Konjuktsioon (&) Disjunktsioon (V) Implikatsioon (->) Ekvivalents (<->) Lausearvutuse valemid on parajasti need, mida saab koostada alltoodud reeglite abil: o iga lausemuutuja on lausearvutuse valem o kui F on lausearvutuse valem, siis ka ¬F on lausearvutuse valem o kui F ja G on lausearvutuse valemid, siis ka (F&G), (FVG), (F->G) ja (F<->G) on lausearvutuse valemid Lausearvutuse valemi F tõeväärtus etteantud väärtustusel leitakse järgmiste reeglite abil: o 1) Kui F = ¬G, siis F = 1 parajasti siis, kui G = 0 o 2) Kui F = G & H, siis F = 1 parajasti siis, kui G = 1 ja H = 1 o 3) Kui F = G H, siis F = 1 parajasti siis, kui G = 1 või H = 1 o 4) Kui F = G H, siis F = 1 parajasti siis, kui G = 0 või H = 1 o 5) Kui F = G H, siis F = 1 parajasti siis, kui G = 1 ja H = 1 või G = 0 ja H = 0
Diskreetse matemaatika elemendid 2013/2014 LAUSEARVUTUS. TÕESTUSED. 1. Lausearvutuse lausetele esitatavad tingimused. [1] o Välistatud kolmanda seadus. Iga lause on kas tõene või väär. o Mittevasturääkivuse seadus. Ükski lause ei saa olla nii tõene kui ka väär. o Nende nõuete põhjal kuuluvad vaadeldavate hulka ainult nii sugused laused, mis midagi väidavad, kusjuures sellel väitel on olemas ühene tõeväärtus. o . Välistatud kolmanda seaduse nõudel jäävad kõrvale kõik küsilaused ja paljud hüüdlaused, samuti kõik käsud ning mõttetud sõnaühendid. Mitte-vasturääkivuse seadus välistab mitmesugused paradoksid, näiteks „See lause siin on väär“, ja muud taolised väited, mille tõeväärtust pole võimalik üheselt määrata. o Tehte tulemuseks saadud lause tõeväärtus sõltub ainult komponentlausete tõeväärtustest. 2. Lausearvutuse tehted. Tehete järjekord
3. OTSUSTUSÕPETUS Otsustus on mõtlemise vorm (mõte), millel on teatud kindel tõeväärtus. Tõeväärtus näitab otsustuse (mõtte) kehtivust või mittekehtivust. Keeleteaduslikult otsustus on lause. Kuid kõik laused ei ole otsustused. Nimelt, küsilause, käsulause, hüüdlause - need laused ei ole otsustused, kuna neil puudub tõeväärtus. Näiteks, mis päev on täna, tulge appi, sõida seenele - on laused, kuid ei ole otsustused, sest ei ole võimalik arutleda nende tõeväärtuse üle. Terminoloogiast. Eestikeelses loogikaalases kirjanduses on sõna "otsustus" kasutusele võetud 1924.a. V.Thselpanovi loogikaõpikus. Tõsi, sõna-sõnalises tõlkes peaks see olema "arutlus", mis sisult sobiks isegi paremini kui otsustus. Termin "propositio" - kõnesoleva mõiste algkuju on tõlgitud kui esitus, ettepanek, mis ei kuulu loogikaalasesse sõnavarasse. Galina
Lausearvutuse lause võib olla iga verbaalne väide, millele saame omistada tõeväärtuse – tõene või vale. Lihtlause on lihtsaim võimalik lausearvutuslause. Lausearvutuslauseid tähistatakse formaalselt suurtähtedega: A, B, P, Q … Lihtlausetest koostatakse kindlate sidesõnade ja loog konstruktsioonide abil liitlauseid. Lausearvutuse lihtlauseid seotakse liitlauseteks 5 loogilise konstruktsiooni ehk loogikatehte abil. Binaarsed loogikatehted seovad kahte lauset (4 tk), unaarne loogikatehe on rakendatav üksikule lausele (1 tk – eitus). Loogiline korrutamine ehk konjunktsioon ehk JA-tehe. Loogiline liitmine ehk disjunktsioon ehk VÕI- tehe. Ekvivalents on seotud implikatsiooniga ehk 𝑷↔𝑸 on nagu 𝑃→𝑄 ja samal ajal ka 𝑄→𝑃. Tehted inversioon, konjunktsioon ja disjunktsioon on elementaarsed loogikatehted – nad pole avaldatavad mingite teiste lihtsamate loogikatehete kaudu, kuna nad ise ongi „lihtsaimad“ tehted
LAUSEARVUTUS 4 sidumiskonstruktsiooni seovad igaüks kahte lauset ( binaarsed loogikatehted) ja 1 tehe viiest on rakendatav üksikule lausele ( unaarne Ü loogikatehe) T Lausearvutus on loogilise mõtlemise matemaatiline mudel. T
Programmeerimiskeel on tähistuste ja reeglite süsteem algoritmide esitamiseks arvutile. Inimesele sobiva kuju alusel jaotatakse progemiskeeled · masinkeeled (masinkood konkreetse raali 01010 jada, autokood konkreetse raali märgiline progemiskeel) · algoritmilised e kõrgtaseme keeled (raalist sõltumatute protsesside kirjeldamiseks) aritmeetilised arvutused algebraliselt peamiste algoritmiliste juhtstruktuuride jaoks oma laused IO kirjeldamise laused erinevad andmetüübid / objektid · teadmiste esitamise e spetsifitseerimiskeeled teadmuskeeled, deklaratiivsed keeled Arvutikeelena võib kasutada mistahes märgisüsteemi, mis on raalile söödavale kujule teisendatav. Arvutiprogramm kui translaator, mis tõlgib sisendi väljundiks. 6. Programmeerimiskeelte formaalne spetsifitseerimine. Transleerimisprotsessi osad.
Loogika – sissejuhatus ja põhimõisted Järeldus on 1 lause Klassikalise loogika põhiseadused: samasuse ehk identsuse seadus, vasturääkivusseadus, välistatud kolmanda seadus, Aristoteles (384-322) vb aluse seadus. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) Loogika roll Loogika ei suuda üldjuhul öelda meile, millised väited või uskumused vastavad tõele. Tõde tähendab, et me teame, kuidas asjad on. Loogika ei ütle meile seda. Loogika valdamine aitab meil otsustada, kas meie väljakujunenud uskumused ja seisukohad on omavahel kooskõlas. Kooskõlalisus Hulk väiteid või uskumusi on omavahel kooskõlas parajasti siis, kui kõik selle hulga liikmed saavad olla korraga tõesed. Vastasel juhul on see hulk mittekooskõlaline. Sellisel juhul ütleme, et vaatlusaluseid väiteid ei saa korraga jaatada. Näide: Oletame, et keegi usub kõike järgnevat: Igaüks, kes võtab astroloogiat tõsiselt, on hullumeelne.
xn=a, xn-a= n *Kui suurusel piirväärtus on olemas, siis kehtib seos, et xn- a on tõkestamatult kahanev , siis saame xn=a+ n tõkestamatult kah suurus *Kui meil see vahe on tõkes kah siis iga puhul leidub N IN, mille korral | xn-a|< , n>N; arvtelg(x1,0,a- ,xN+1(üles),a,a+ ,x2(üles)) .*Järeldus 1)tõk kah suuruse piirväärtus on 0: limn-> n=0 2)tõk kasvava suuruse piirväärtus on võrdne : limn-> xn= 3)konstandi piirväärtus on tema ise 8. Laused piirv. Kohta Lause 1. kui suurusel on piirv olemas, siis on see üheselt määratud. Järeldus. Üks piirv: xn=a+ n, teine piirv: xn=b+ n=> a b=> kui avaldame ühe avaldise teisest, siis saame 0= (a-b)+( n- n); a-b(lõplik IR)= n- n(tõkestamatult kah suuruste vahe=> tõk kah suurus) =>vastuoluline a b, st piirväärtus üheselt määratud, mida oligi vaja tõestada. Lause2. Summa piirväärtus on piirväärtuste summa ja vahe on piirv vahe. Lause3. Korrutise
nt {0n1n | n>0 } vt üleval. Lõpliku magasinmäluga automaadi poolt aktsepteeritav keel on kontekstivaba. KV keelte hulk ongi see hulk keeli, mida pinuautomaadid aktsepteerivad. 12 Ühe olekuga pinuautomaatide ja Greibachi mõttes normaliseeritud KV-grammatikate ekvivalentsus. Teoreem: Iga pinuautomaadi M jaoks leidub ühe olekuga M′, nii et nad aktsepteerivad samu keeli. T: teeme palindroome (aiassadassaia) aktsepteeriva automaadi, kogu olekute loogika on asendatud magasini panemise ja sealt võtmise loogikaga. Teoreem: Ühe olekuga pinuautomaadi M jaoks leidub KV grammatika G, nii et L(M)=L(G). DEF: KV grammatika on Greibachi normaalkujul, kui tema produktsioonid on kujul A→aA1A2…An või A→a (muu on tühi sõne) või kujul S → ε, kui keelde L (G) peab kuuluma ka tühi sõne. Iga KV grammatika on teisendatav Greibachi normaalkujule. T: 1) grammatika peab olema Chomsky nk-l. 2) mitteterminaalid nimetatakse ümber A1-ks, A2-ks jne
1. Kompleksarv kui reaalarvude paar. Tehted kompleksarvudega. Tehete omadused. Kompleksarvu algebraline kuju. Tuletatavad tehted ja nende omadused. Kompleksarvuks nimetatakse reaalarvude paari (x,y). C = {(x;y) | x, y R} Tehted kompleksarvudega: z1 = (x1; y1) C; z2 = (x2; y2) C 1. liitmine: z1 + z2 = (x1 + x2; y1 + y2) 2. korrutamine: z1 * z2 = (x1x2 - y1y2; x1y2 + x2y1) Kompleksarvudega tehete omadused 1. liitmine on kommutatiivne, st z1 + z2 = z2 + z1 z1, z2 C korral 2. liitmine on assotsiatiivne, st (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) z1, z2, z3 C korral 3. liitmise suhtes leidub nullelement (reaalarv 0, 0 + z = z + 0 = z z C korral), st leidub C, nii et z + = + z = z z korral; = (0; 0) = 0 4. igal kompleksarvul z = (x; y) = x + yi leidub (liitmise suhtes) vastandarv, st selline arv w C, et z + w = w + z = 0; w = -z 5. korrutamine on kommutatiivne, st z1z2 = z2z1 z1, z2 C korral 6. korrutamine on assotsiatiivne, st (z1z2)z3 = z1(z2z3) z1, z2, z3 C korral
6.ptk Ruutvõrrand 8.klass Õpitulemused Näited 1.Arvu ruut - kahe võrdse teguri korrutis Ül.1262,1263 2 a a=a ; mistahes ratsionaalarvu ruut on Leida arvu ruut taskuarvuti abil. mittenegatiivne 2 2 2 2 15 =225; 28 =784; 41 =1681; 57 =3249 Lihtsustada avaldis ja arvutada. 2 2 2 2 2,4 2 =(2,4 2) =4,8 =23,04 NB ruutjuure pöördtehe; saab kasutada 2 näiteks ruudu ja ringi pindala arvutamisel =3,5 =12,25 2 2 2 2 2 (-4,5) 4 -8 (-1,5) =(-4,5 4) -(-8
siis saab seda teada üksnes aposterioorselt. Aprioorne teadmine on see, mida on võimalik saada mitte- empiiriliselt kas mõistusliku arutluse või intuitsiooni teel. Üheks aprioorsete teadmiste allikaks on peetud ka kaasasündinud ideid. Analüütiline/Sünteetiline See eristus on loogilis-semantiline ning käib selle kohta, mis määrab väite tõeväärtuse (=selle, kas lause on tõene või väär). Analüütilised väited on need, mille tõeväärtus on määratud üksnes tema osade tähenduse poolt. Sünteetiliste väidete tõeväärtuses mängib rolli ka see, kuidas maailm on. Näiteks väite "Kõik luiged on valged" tõesus sõltub sellest, kas kõik luiged on tõepoolest valged ta sõltub sellest, milline on maailm. Need on sünteetilised laused. Seevastu lause "Kõik poissmehed on vallalised" tõeväärtus sõltub üksnes tema koostisosade tähendusest - tegemist on analüütilise lausega.
laused_1 siis laused_1 [ Else [ muidu laused_2 ] laused_2 ] tõene tingimus väär End If [ lõpp kui ] ... laused_1 laused_2 ... tingimus - võrdlus või loogikaavaldis, väärtuseks tõeväärtus True või False Mitmerealine If-lause võrdlus : avaldis - üldjuht :avaldis: võrdlustehe mitmene x =valik 0, D >= 0, 2 * 3 + 5 > a - 3 loogikaavaldis: võrdlus loogikatehe võrdlus [loogikatehe võrdlus ] ... If ting_1loogikatehted: Then Or, And, ... x >= vs And x <= px; a >= b + c Or b >= a + c Or c >= a + b if-laused
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
