A ¬ Eitus, muudab tõeväärtust vastupidiseks. B t v v t ,,ja, ning, ka, aga, kuid" A B A & B Konjunktsioon on tõene ainult siis, kui kõik t t t tema osalaused on tõesed. t v v v t v v v v ,,või" A B A B Disjunktsioon on väär ainult siis, kui kõik t t t tema osalaused on väärad. t v t v t t v v v ,,Kui ..., siis" A B A B Implikatsioon on väär ainult siis, kui eeldus t t t on tõena ja järeldus on väär. t v v eeldus > järeldus v t t v v t ,,on võrdne" A B A B Ekvivalents on tõene siis, kui tema t t t osalausete tõeväärtused on võrdsed. t v v v t v v v t
1. Milliste loogika tehete jaoks on operandide jrjekord oluline? Implikatsioon 2. Missugused seaduse tepoolest on olemas? Neeldumisseadus DeMorgani seadus vlistatud kolmanda seadus kontrapositsiooniseadus vastuolu seadus topelteituse seadus 3. "TAUTOLOOGIA" on lause, mis on alati vr? False 4. Vali loetelust alternatiivne nimetus neile loogika tehetele! Disjunktsioon - VI-tehe Konjunktsioon - JA-tehe Implikatsioon - jreldamine 5. Milliseid kvantoreid on vimalik eitada? Olemasolu kvantorit 6. Millised kvantorid on olemas? Olemasolukvantor ldsusekvantor 7. Kui loogikaavaldises pole sulgudega mratud tehete jrjekorda,siis KONJUNKTSIOONI, INVERSIOONI, DISJUNKTSIOONI leidumisel tehaksekigepealt... a-inversioon b-konjunktsioon c-disjunktsioon 8. Mitu erinevat tehet kasutatakse lausearvutuses? 5 9. Loogika tehetel on olemas vrsnalised nimetused! Loogiline korrutamine - konjunktsioon
Lausearvutuse tehted, 3. KT Eitus ¬p Konjunktsioon p & q. (korrutustehe) Loomulikus keeles on konjunktsiooni indikaatoriteks ja, ning, ent, kuid, aga, nii...kui ka...; vahel võib konjunktsiooni tähistada ka punkt või koma. Disjunktsioon p ∨q. Või (liitlause) Lause on tõene parajasti siis, kui vähemalt üks lausetest p ja q on tõene. Lause on väär vaid siis, kui mõlemad p ja q on väärad (0). Implikatsioon p →q. Lause on väär ainult siis, kui p on tõene ja q on väär. Implikatsioon on tõene parajasti siis, kui tehte esimeselt komponendilt teisele liikudes ei teki tõekadu. Lühemalt: lausearvutuses on kasutusel materiaalne implikatsioon, mis on alati tõene, välja arvatud siis, kui alus on tõene ja tagajärg on väär. Ekvivalents p↔q. Loomulikus keeles on ekvivalentsi indikaatoriteks väljendid … siis ja
Tõekvantor Normaalkvantor Olemasolu kvantor Loogikakvantor Küsimus 4 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Mitut erinevat loogikatehet kasutatakse lausearvutuses? (sisesta arv/number: ) Vastus: 5 Küsimus 5 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Loogikatehetel on olemas võõrsõnalised nimetused. Loogiline korrutamine on konjunktsioon Loogiline liitmine on disjunktsioon Järeldamistehe on implikatsioon Eitus on inversioon Loogiline lahutamine on pole olemas sellist tehet! Küsimus 6 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Milliseid kvantoreid on võimalik EITADA? Vali üks või enam: lausekvantorit olemasolu kvantorit tõekvantorit ühtegi kvantorit ei saa eitada Küsimus 7 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Milliste loogikatehete jaoks on operandide järjekord oluline? Vali üks või enam: distributsioon ekvivalents disjunktsioon
Answer: 5 Küsimus 4 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Flag question Küsimuse tekst Loogikatehetel on olemas võõrsõnalised nimetused. Loogiline lahutamine on pole olemas sellist tehet! Eitus on inversioon Loogiline korrutamine on konjunktsioon Loogiline liitmine on disjunktsioon Järeldamistehe on implikatsioon Küsimus 5 Osaliselt õige Hinne 0,50 / 1,00 Flag question Küsimuse tekst Milliste loogikatehete jaoks on operandide järjekord oluline? Vali üks või enam: implikatsioon distributsioon inversioon ekvivalents konjunktsioon disjunktsioon Küsimus 6 Osaliselt õige Hinne 0,83 / 1,00 Flag question Küsimuse tekst
binaarset (kahe operandiga) tehet. ( aritmeetilise liitmise analoog loogikas ) k a Kui A ja B on suvalised lausearvutuslaused alternatiivsete tõeväärtustega i loogiline järeldamine ehk implikatsioon n 0 või 1 , siis nendevaheliste loogikatehete tulemuseks olevate liitlausete ( ei oma aritmeetikas analoogi ) h tõeväärtused on järgnevad: e t loogiline samaväärsus ehk ekvivalents
~P, on ka teisi alternatiive. Ühe alternatiivi kehtimise nõue: PvQ P või Q Tingimuste samaaegse kehtimise nõue: P &Q P ja Q Järeldumine: P->Q Kui P siis Q Samaväärsus: P<->Q P ainult siis, kui Q Millist tehet nimetatakse binaarseks? Millised loogikatehted on binaarsed? Binaarsed tehted seovad kahte lauset, nendeks on konjuktsioon, disjunktsioon, ekvivalents ja implikatsioon. Millist tehet nimetatakse unaarseks? Millised loogikatehted on unaarsed? Unaarsed tehted on rakendatavad ühele lausele. Unaarseks on eitus. Milline aritmeetiline tehe vastab igale loogikatehtele? Konjuktsioon korrutamine. Disjunktsioon liitmine. Ekvivalents võrdumine. Implikatsioonile ei ole aritmeetikas analoogi. Millist loogikatehet nimetatakse loogikaliseks korrutamiseks? Millist loogikaliseks liitmiseks? Loogiline korrutamine on konuktsioon, liitmine on dusjunktsioon.
Question 3 Vali loetelust õige alternatiivne nimetus nendele loogikatehetele. Correct Mark 1 out of 1 konjunktsioon on disjunktsioon on implikatsioon on Question 4 otsusta, kas see väide on tõene või vale: Correct "Tautoloogia" on lause, mille tõeväärtus on alati VALE. Mark 1 out of 1 Select one: True
programmeerimises. Predikaatarvutus on lausearvutuse laiendus, milles kasutatakse täiendavalt redikaadi, inviidi ja kvantori mõisteid. Lausearvutus Lausemuutujad: A, B, C, ... Loogikatehted: &, V, , , Kirjavahemärgid: () Loogikatehted Konjunktsioon - &, AND Konjunktsioon kahe lause vahel on tõene täpselt siis, kui mõlemad tema osalaused on tõesed. Disjunktsioon – V, OR Disjunktsioon kahe lause vahel on väär täpselt siis, kui mõlemad tema osalaused on väärad. Implikatsioon -, IF...THEN... Implikatsioon kahe lause vahel on väär täpselt siis, kui tema vasakpoolne osalause on tõene ja parempoolne osalause on väär. Ekvivalents - Ekvivalents kahe lause vahel on tõene täpselt siis, kui mõlemad tema osalaused on ühesuguse tõeväärtusega. Eitus- , NOT Tõese lause eitus on väär ja vastupidi. Tõeväärtustabelid p q p&q pVq pq pq 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0
Lausearvutuse lause on lause, millele saab omistada tõeväärtust(0,1). Tõeväärtuseid on kaks, 0-väär, 1-tõene. Lihtlause on lihtsaim lausearvutuse lause. Lausearvutuse lauseid tähistatakse suutre tähtedega A, B, C. Liitlause koosneb lihtlausetest ning neid siduvatest konstruktisoonidest ja sidesõnadest. Lausearvutuse loogikatehted on inversioon, konjunktsioon, disjunktsioon, implikatsioon, ekvivalents. Binaarsed tehted on need tehted, mida saab teha kahe argumendi korral(konjunktsioon, disjunktsioon, implikatsioon, ekvivalents). Unaarne tehe on tehe, mida saab rakendada üksikule argumendile/operandile(inversioon). Ekvivalents on kahepoolne implikatsioon. Elementaarsed loogikatehted on inversioon, konjunktsioon, disjunktsioon, kuna nende abil saab esitada kõik teised tehted.
VÕI-EI kujulise loogikaavaldise saamiseks tuleb KNK-le rakendada topeltinversiooni koos järgneva DeMorgani seaduse rakendamisega. Küsimus 5 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 Millised loogikatehted järgnevatest kuuluvad implikatiivse baasi koosseisu ? vali kõik õiged : Valige üks või mitu: inversioon implikatsioon konjunktsioon disjunktsioon Küsimus 6 Õige Hindepunkte 1,00/1,00 Millised loogikatehted ja konstandid kuuluvad Reed-Mulleri baasi koosseisu ? vali kõik õiged : Valige üks või mitu: implikatsioon konstant 1 inversioon ekvivalents summa mooduliga 2 (välistav VÕI) konstant 0 konjunktsioon disjunktsioon Küsimus 7 Õige Hindepunkte 1,00/1,00
VÕI-EI kujulise loogikaavaldise saamiseks tuleb KNK-le rakendada koos järgneva topeltinversiooni rakendamisega. DeMorgani seaduse Küsimus 5 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Millised loogikatehted järgnevatest kuuluvad implikatiivse baasi koosseisu ? vali kõik õiged : Vali üks või enam: implikatsioon konjunktsioon disjunktsioon inversioon Küsimus 6 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Millised loogikatehted ja konstandid kuuluvad Reed- Mulleri baasi koosseisu ? vali kõik õiged : Vali üks või enam: konstant 0 konjunktsioon summa mooduliga 2 (välistav VÕI) ekvivalents inversioon konstant 1 disjunktsioon implikatsioon Küsimus 7 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Millised loogikafunktsioonid peavad
komplekti korral kaks loogikaavaldist on alati võrdsed, kuna nad on mõlemad loogikaavaldised Küsimus 3 Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Kas järgnev väide on õige ? Kui mingi avaldise duaalsele kujule leida omakorda edasi selle duaalne kuju, siis on tulemuseks esialgne avaldis. Vali üks: Tõene Väär Küsimus 4 Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Millise loogikatehtega on samaväärne tehtemärgi puudumine operandide vahel ? Vali üks: ekvivalents disjunktsioon implikatsioon konjunktsioon inversioon Küsimus 5 Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Millised järgnevad võrdused on loogikaalgebra põhiseosteks (ehk kehtivad nende muutujate x y z suvaliste väärtuste korral) Vali üks või enam: 1 2 3 4 5 6 7 8 Küsimus 6 Õige / Hinne 1,00 / 1,00 Sea võrdsed avaldised omavahel vastavaks (avaldised allpool) 5. avaldisega vasakpoolses veerus võrdub parempoolses veerus avaldis: nr. 2 3
FORMAALSETE LAUSETE hulgaks, need esinevad sümbolkujul, neil pole iseenesest ei tõeväärtust ega tavakeelset kuju. LAUSEARVUSTUSE TEHE on formaalsete lausete hulgal defineeritud tehe, mille tulemi kuju on üheselt määratud operandide ja tehtesümboliga. LAUSEARVUSTUSE TEHTED 1. EITUS 2. KONJUNKTSIOON p&q, on tõene parajasti siis, kui p ja q mõlemad on tõesed. 3. DISJUNKTSIOON p v q, on tõene parajasti siis, kui vähemalt üks lausetest p ja q on tõene. 4. IMPLIKATSIOON p--) q, on väär parajasti siis, kui p on tõene ja q on väär. Lausearvustuses on kasutusel MATERIAALNE IMPLIKATSIOON ( lk 265), mis on alati tõene, välja arvatud siis, kui alus on tõene ja tagajärg on väär. 5. Ekvivalents p(--)q, on tõene parajasti siis, kui tema operantidel on ühesugune tõeväärtus. 6. Antiekvivalents ehk välistav disjunktsioon p+q, on alati tõene parajasti siis, kui tema operantidel on erinevad tõeväärtused.
Jüri ja Mari õpivad Nii Jüri kui ka Mari õpivad ... Eitus ¬, NOT, ~ Tõese lause eitus on väär ja vastupidi. Jüri ei õpi täna Ma ei saa mitte midagi aru Disjunktsioon V, OR Disjunktsioon kahe lause vahel on väär täpselt siis, kui mõlemad tema osalaused on väärad. Jüri õpib või vaatab telekat Välistav disjunktsioon xor, exclusive or On disjunktsioon, mis on väär ka juhul kui tema mõlemad osalaused on tõesed. Sa sööd kõik ära või sa saad karistada Implikatsioon , IF... THEN... Implikatsioon kahe lause vahel on väär täpselt siis, kui tema vasakpoolne osalause on tõene ja parempoolne osalause on väär. Tõeväärtustabelid p q p&q pq pq pq 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 Ülesanne A- sajab vihma Sajab vihma ja külmetab B sajab lund Sajab vihma või lund ja on külm C sajab rahet Sajab vihma, kuid ei saja lund
Lehekülg 1/6 24.11.2012 19:35 KONTROLLKÜSIMUSTEGA TEST - loogikaalgebra file:///C:/Users/CPU/Desktop/Diskmati_TESTID_moodle__'s_-_100%... väärtus "-1" loogikatehe IMPLIKATSIOON loogikatehe DISJUNKTSIOON väärtus "0" väärtus "2" loogikatehe VÄLISTAV VÕI loogikatehe EKVIVALENTS
Loogikatehetel on olemas võõrsõnalised nimetused. Vastus 1 Loogiline lahutamine on pole olemas sellist tehet! Vastus 2 Loogiline liitmine on disjunktsioon Vastus 3 Loogiline korrutamine on konjunktsioon Vastus 4 Järeldamistehe on implikatsioon Vastus 5 Eitus on inversioon Küsimus 5 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Millised kvantorid on olemas? Vali üks või enam: Tõekvantor Olemasolu kvantor Loogikakvantor Üldsuse kvantor Lausekvantor Normaalkvantor Küsimus 6 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Vali loetelust õige alternatiivne nimetus nendele loogikatehetele. Vastus 1
disjunktsioon Lehekülg 1/4 24.11.2012 19:37 KONTROLLKÜSIMUSTEGA TEST - funktsioonide täielikud süsteemid... file:///C:/Users/CPU/Desktop/Diskmati_TESTID_moodle__'s_-_100%... implikatsioon Question 6 Millised loogikatehted ja konstandid kuuluvad Reed-Mulleri baasi Correct koosseisu ? Mark 1.00 out of vali kõik õiged : 1.00 Select one or more:
t v v t Eitus muudab lause tõeväärtuse vastupidiseks. Konjunktsioon p q p&q t t t t v v v t v v v v Konjunktsioon on tõene ainult siis, kui mõlemad tema osalaused on tõesed. Disjunktsioon p q pq t t t t v t v t t v v v Disjunktsioon on väär ainult siis, kui mõlemad tema osalaused on väärad. Implikatsioon p q pq t t t t v v v t t v v t Implikatsioon on väär ainult siis, kui tema eeldus on tõene ja järeldus väär. Ekvivalents p q pq t t t t v v v t v v v t Ekvivalents on tõene ainult siis, kui tema osalausete tõeväärtused on samad. Tautoloogia, kontradiktsioon ja kontingentne valem
Kuna loogikaavaldisel võib olla mitu erinevat samaväärset esituskuju, siis sobivad avaldise esitamiseks ka mitmed erinevad loogikaskeemid. Ülalloetletud loogikatehetel NOT AND OR NAND NOR XOR on "oma" spetsiaalsed loogikaelemendid. 6. Implikatsioon realiseeritakse asendusseose x 1 x 2 = x ¯ 1 Z x 2 kaudu:
3 (implikantide arvu määramine õnnestub kiiremini, kui see kaart joonistada ümber paberile ja hakata seal implikante kaardile äramärkima. Silmaga ekraanilt implikante loendades kulub palju aega ja väga kerge on eksida) Küsimus 10 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Millise loogikatehte osalusel esitub loogikafunktsiooni tuletis ? Vali üks: disjunktsioon ekvivalents konjunktsioon implikatsioon summa mooduliga 2 Küsimus 11 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Disjunktiivne Shannoni arendus kõigi muutujate järgi annab funktsiooni täieliku DNK Küsimus 12 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Kuidas nimetatakse sellist (n-1)muutuja funktsiooni, mis saadakse mingi n-muutuja funktsiooni mingi muutuja asendamisel konstandiga 0 või 1 ? (sisesta ühesõnaline vastus) Vastus: jääkfunktsioon Küsimus 13
monotoonsed funktsioonid ? konstantsed funktsioonid ? eksponentsiaalsed funktsioonid ? pidevad funktsioonid ? pööratavad funktsioonid ? nulli säilitavad funktsioonid ? määramatust säilitavad funktsioonid ? lineaarsed funktsioonid ? Küsimus 9 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Millise loogikatehtega on võimalik funktsiooni tõeväärtustabeli abil äratunda selle funktsiooni lineaarsust ? Vali üks: lahutamine summa mooduliga 2 jagamine implikatsioon konjunktsioon inversioon ekvivalents disjunktsioon Küsimus 10 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Kui loogikafunktsiooni normaalkujulises avaldises ei leidu mitte ühtegi inversiooni, siis selline funktsioon on alati . . . ( vali kõik õiged ) Vali üks või enam: nulli säilitav ? ühte säilitav ? pööratav ? - VALE monotoonne ? lineaarne ? - VALE Küsimus 11 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 kas järgmine väide on õige või vale ?
tekitab … Osajaatav või osaeitav lause. 45.Väidetesüsteem on kooskõlaline parajasti siis, kui … See pole vastuoluline 46.Üldeitavast väitest saab pärast ümber pööramist … väide. Üldeitav 47.Kehtivas tingiv-kategoorilises süllogismis: Väljendab teine eeldus alternatiivi. 48.Eroteetilises loogikas peetakse vastuseks … Ainult asjakohast (küsija seisukohalt lähtudes) verbaalset vastukaja. 49.Materiaalne implikatsioon on alati tõene siis, kui: Selle tagajärg on tõene. 50.Milline järgnevatest väidetest vastab deontilisele mittevasturääkivuse printsiibile? Toimingu sooritamine ja mittesooritamine ei saa korraga olla kohustuslik. 51.Tahtmatu viga arutluses on: Paralogism. 52.Aleetilises modaalses loogikas kehtib, et …. Iga tõene lause on võimalik. 53.Klassikaline definitsioon kuulub … definitsioonide hulka. Intensionaalsete 54
aktiveerivad kogu reegli (ehk reegli tabatusmäär r). Operaator JA, mis seob tingimuspoole eeldusi vastab hägusas loogikas t-normile, seega N (22) r = I ir , (r = 1, ..., R) i =1 Järeldusalgoritmi järgmiseks sammuks on iga üksiku reegli (hägusa) väljundi Fr(y) arvutamine e. implikatsioon, mida esindab lingvistiline operaator SIIS. Klassikalises loogikas on implikatsioon defineeritud kui A B = ¬A U B . (23) Selle (materiaalse) implikatsiooni ebasoovitavate interpolatsiooniomaduste tõttu leiab too hägusloogikas siiski vähe kasutamist; reeglina on SIIS realiseeritud t-normina 2 Fr ( y ) = r r , (r = 1, ..., R) (24)
00 out of a maximum of 100.00 13 14 15 Finish review Question 1 Millise loogikatehte osalusel esitub loogikafunktsiooni tuletis ? Correct Mark 1 out of 1 Select one: summa mooduliga 2 implikatsioon konjunktsioon disjunktsioon ekvivalents Question 2 Osaliselt määratud loogikafunktsioonile MDNK leidmisel McCluskey' meetodiga lisatakse
ebaloogilised funktsioonid ? Question 9 Millise loogikatehtega on võimalik funktsiooni tõeväärtustabeli abil Correct äratunda selle funktsiooni lineaarsust ? Mark 1.00 out of 1.00 Select one: implikatsioon disjunktsioon konjunktsioon summa mooduliga 2 lahutamine ekvivalents jagamine
Def.7 Arvu nim funi w=F(P) piirväärtuseks kohal A ja tähist limP-Af(P)=, kui arvu iga ümbruse U korral leidub punkt A
ümbrus S nii, et f(P)U niipea kui PS (PA,PD).
Def.7' Arvu nim funi w=F(P) piirväärtuseks kohal A kui iga E>0 korral leidub arv >0 nii, et |f(P)-|
Loogikafunktsiooni implikant Lihtimplikant Taandatud DNK Taandatud DNK (TaDNK) on funktsiooni kõikide lihtimplikantide disjunktsioon. Mõistel IMPLIKANT pole mingit seost loogikatehtega implikatsioon. Eelmise näitefunktsiooni Taandatud DNK esitub Karnaugh' kaardil : Ü Loogikafunktsiooni implikandiks nimetatakse tema 1-de piirkonna x 2 x3 T mistahes intervalli ( ehk tema igat "ühtede intervalli" ).
Loogikaaalgebra ja hulgaalgebra on isomorfsed, kõik hulgaalgebra seadused kehtivad ka loogikaalgebras, tehes järgnevad asendused: ühend disjunktsiooniks, ühisosa konjuktsiooni,s tühi hulk konstandiks 0 ja universaalhulk konstandiks 1 Vaata põhiseoseid ja õpi selgeks lk 156-157 Milleks kasutatakse loogikatehete asendusseoseid? Millistel tehetel on nad olemas? Et asendada mitteelementaarseid loogikatehteid elementaarsete loogikatehete kaudu. Nad on olemas tehetel implikatsioon,ekvivalents ja moodul summast 2-ga. Mis on n-muutuja loogikafunktsioon? N-muutuja loogikafunktsioon f(x1,x2......,xn) on vastavus n-muutuja Boole Ruumist {0,1}n loogikaväärtuste hulka {0,1} Mis on argumentvektor ja mida ta esitab? Argumentvektor on loogikamuutujate väärtuskomplekt, mis esitab funktsiooni igale üksikule muutujale omistatud väärtust 1 või 0. Mida näitab loogikafunktsiooni tõeväärtustabel?
2. Konjunktsioon &(AMPERSAND), ^, A & B sidesõna ’ja’ või ’ning’ Sidesõna ’ja’ või ’ning’ kasutamine ei tähenda tingimata konjunktsiooni, vahel peame vaatama lihtlausena: Jüri ja Mari on üliõpilased. Jüri ja Mari on sõbrad. (Jüri on sõber ja Mari on sõber – nad pole ilmtingimata omavahel sõbrad) Jüri ja Mari vestlevad. 3. Disjunktsioon v (WEDGE) A v B sidesõna ’või’ 4. Implikatsioon (ing k material conditional) – järeldusseos A B või A B (A implitseerib Bd) ’kui …, siis …’ 5. Ekvivalents (ing k material biconditional) A B või A B ’parajasti siis’ Tehete prioriteet määratakse sulgudega, va eituse puhul, mis tehakse alati esimesena. T – true, F – false 1) eitus – muudab tõese vääraks ja väära tõeseks; eitus nõuab, et tõe väärtus peab muutuma
Disjunktsiooni mittevälistavus jääb mõnikord kahe silma vahele. Siinkohal sobiks näide isikust, kes viibib kõrge torni tipus paiknevas akna ja seinaluugiga ruumis. Mis asjaoludel on tõsi, kui kõnealune isik väidab „Ma avan akna või luugi”? See väide on tõene, kui ta avab vaid akna, see on tõsi, kui ta avab vaid luugi, ja on tõsi ka siis, kui ta avab nii akna kui ka luugi. Väide on väär vaid siis, kui see isik ei ava kumbagi avaust. IMPLIKATSIOON (implication) Tõeväärtuste Boole’i algebras defineeritakse muutujate p ja q implikatsioon kui binaarne tehe, mille tulem on väär parajasti siis, kui tema esimene operand p on tõene ja teine operand q on väär. Implikatsiooni kui lausearvutuse tehte tulemi tõeväärtus on sellele tehtele vastava tõeväärtusfunktsiooniga määratud. Lausete p ja q implikatsioon on konkreetse kujuga lause, mille ehituse määrab see, et ta on just lausete p ja q implikatsioon. D7.3
vihkavad kommuniste, on neonatsid. Kõik, kes vihkavad kommuniste, on neonatsid. Sa vihkad kommuniste. Sa oled neonats. Epiheireem on süllogism, kus üks või mõlemad eeldused on entümeemid. ! 5/14 14. LAUSEARVUTUSE TEHTED. Vastavalt tehete järjekorrale: Eitus – tähistatakse märgiga ¬. Konjunktsioon – tähistatakse märgiga &. Disjunktsioon – tähistatakse märgiga ∨. Implikatsioon – tähistatakse märgiga →. Ekvivalents – tähistatakse märgiga . Antiekvivalents – tähistatakse märgiga ⊕. 15. LAUSEARVUTUSE VALEMITE KLASSIFITSEERIMINE. TÕESUSTABELID. 16. TEKSTI INTERPRETEERIMINE LAUSEARVUTUSE VALEMITEKS. Teksti tõlkimisel loogika keelde peab järgima minimaalse interpretatsiooni printsiipi. Tekstist tuleb välja lugeda ainult seda infot, mis seal tõesti on.
vihkavad kommuniste, on neonatsid. Kõik, kes vihkavad kommuniste, on neonatsid. Sa vihkad kommuniste. Sa oled neonats. Epiheireem on süllogism, kus üks või mõlemad eeldused on entümeemid. ! 5/14 14. LAUSEARVUTUSE TEHTED. Vastavalt tehete järjekorrale: Eitus tähistatakse märgiga ¬. Konjunktsioon tähistatakse märgiga &. Disjunktsioon tähistatakse märgiga . Implikatsioon tähistatakse märgiga . Ekvivalents tähistatakse märgiga . Antiekvivalents tähistatakse märgiga . 15. LAUSEARVUTUSE VALEMITE KLASSIFITSEERIMINE. TÕESUSTABELID. 16. TEKSTI INTERPRETEERIMINE LAUSEARVUTUSE VALEMITEKS. Teksti tõlkimisel loogika keelde peab järgima minimaalse interpretatsiooni printsiipi. Tekstist tuleb välja lugeda ainult seda infot, mis seal tõesti on. Näiteks pole võimalik lausest "Mats läheb kõrtsi või koju", kui tähistada A "Mats läheb
B Sajab lund F On talv C Sajab rahet G On külm D Sajab H On soe Kirjutada valemite abil: c) Kui on soe ja sajab, siis on suvi Õige vastus: H&DE [4 punkti] Tüüpilisemad vead: H&DE Lause väidab lisaks nõutavale veel muudki, näiteks väidab, et suviti peab alati olema soe ja sadama. [2 p] implikatsioon tagurpidi E(H&D) "Kui on suvi, siis on soe ja sajab" [0 p] 0 p - 5% 1 p - 10% 2 p - 5% 3 p - 19% 4 p - 62% d) Kui suvel sajab, siis ainult vihma Õige vastus: E&DA [4 punkti] Tüüpilisemad vead: (ED)A "Kui suvel kogu aeg sajab, siis sajab vihma" Lugesin vastuse osaliselt õigeks, kuna mõningane sisuline sarnasus on olemas. [2 p] E&DA See lause väidab lisaks nõutavale ka muudki, näiteks et talvel ei saa
Disjunktsiooni mittevälistavus jääb mõnikord kahe silma vahele. Siinkohal sobiks näide isikust, kes viibib kõrge torni tipus paiknevas akna ja seinaluugiga ruumis. Mis asjaoludel on tõsi, kui kõnealune isik väidab ,,Ma avan akna või luugi"? See väide on tõene, kui ta avab vaid akna, see on tõsi, kui ta avab vaid luugi, ja on tõsi ka siis, kui ta avab nii akna kui ka luugi. Väide on väär vaid siis, kui see isik ei ava kumbagi avaust. IMPLIKATSIOON (implication) Tõeväärtuste Boole'i algebras defineeritakse muutujate p ja q implikatsioon kui binaarne tehe, mille tulem on väär parajasti siis, kui tema esimene operand p on tõene ja teine operand q on väär. Implikatsiooni kui lausearvutuse tehte tulemi tõeväärtus on sellele tehtele vastava tõeväärtusfunktsiooniga määratud. Lausete p ja q implikatsioon on konkreetse kujuga lause, mille ehituse määrab see, et ta on just lausete p ja q implikatsioon. D7.3
SISSEJUHATUS MATEMAATILISSE LOOGIKASSE Kordamisküsimused (orienteeruv) Mõnede sümbolite tähendused sõna Materjal puudub & Konjuktsioon Ekvivalents üldisuskvantor Järeldumine Disjunktisoon ¬ Eitus olemasolukvantor Signatuur Implikatsioon Samaväärsus Loogiline järeldumine I. Lausearvutus Laused. Lausearvutuse tehted. Valem. Valemi tõeväärtus. Tõeväärtustabel. Laused Põhilised uuritavad objektid lausearvutuses on laused, mis võimaldavad pärineda ükskõik millisest valdkonnast. Oluline on, et igale lausearvutusele saaks vastavusse seada tõeväärtuse, mis kirjeldab lause tegelikkusele vastava määra. Eeldame, et käsitlevad
Diskmatt terminid Lausearvutus Disjunktsioon: liitlause on tõene, kui vähemalt üks osalause on tõene Ekvivalents: liitlause on tõene, kui osalaused on sarnased Implikatsioon: liitlause on tõene, kui esimene muutuja on väär või teine muutuja on tõene Inversioon: eitus Ja-tehe: konjunktsioon Konjunktsioon: liitlause on tõene, kui mõlemad osalaused on tõesed Lause: iga lause, mille puhul saab rääkida tema vastavusest tegelikkusele (millel on tõeväärtus) Olemasolu kvantor: näitab, et predikaat kehtib oma määramispiirkonna vähemalt ühe muutujate puhul Predikaat: lause, mis sisaldab ühte või enamat muutujat
sõltub selle osalausete tõeväärtustest. Konjunktsioonil on osalausete samadel tõeväärtustel alati sama tõeväärtus. Inimkeelse ja puhul on oluline ajaline järjestus, põhjuslikkus jm seosed, aga konjunktsioon kõigest ühendab lauseid/väiteid. Loogiline eitus ¬, muudab väite tähenduse vastupidiseks. Disjunktsioon v, mis saab olla nii kaasav (tähendus: ja/või) kui ka välistav (kas üks või teine, aga mitte mõlemad). Tähenduselt lähedane inimkeele sõnale või. Implikatsioon , sarnane inimkeele tingimuslausega kui... siis. PREDIKAATARVUTUS: Predikaat seos, tunnus vms, mis kehtib argumentide kohta. Argument - subjekt Lihtpredikaatide representeerimine 1 predikaat (verb; ilma ajata) + mõned argumendid (konstantsed). Predikaadid viitavad omadustele: formaalses semantikas tähendab ,,predikaat" hulka. Tavanoomenid on semantiliselt predikaadid, sest neid
t tegur x tuuakse võrduse vasakus pooles sulgude ette, misjuhul sulgudesse Asendusseosed asendavad mitteelementaarseid loogikatehteid v u jääb konstant 1 : r implikatsioon: x w xy = x (1 w y ) = x ( 1) = x A ekvivalents: summa mooduliga 2: ( ka "välistav VÕI" XOR )
loogikatehete kaudu, kuna nad ise ongi „lihtsaimad“ tehted. Nii liht- kui ka liitlausete formaalseid esitusi nim lausearvutusvalemiteks -> Def – Lihtlause formaalne tähis (nt: A) ja üksik tõeväärtuskonstant 0 1 on valem. Kui A on valem, siis valemid on ka 𝐴̅ ja (A). Kui A ja B on valemid, siis on valemid ka 𝐴∧𝐵,𝐴∨𝐵,𝐴→𝐵,𝐴↔𝐵. Loogikatehete prioriteet: inversioon, konjunktsioon, disjunktsioon, implikatsioon, ekvivalents. Samaselt tõene ehk tautoloogia on lause, mis omandab tõeväärtuse 1 koostislausete mistahes väärtuskombinatsiooni korral (nt: 𝐴∨𝐴̅). Samaselt väär ehk vastuolu on lause, mis omandab tõeväärtuse 0 koostislausete mistahes väärtuskombinatsiooni korral (nt: 𝐴∧𝐴̅). Samaselt tõesed laused võib kõikjal asendada konstandiga 1, samaselt väärad konstandiga 0. Predikaat on lause (valem), mis sisaldab ühte või enamat muutujat
kärsitus ja depressioon, eraldiseisvalt. Need leiud pakuvad kliiniliseks praktikaks mitmeid vihjeid. Esmalt psühhopaatia hindamise kõrged tulemused (eriti käitumis/impulsiivsuse tunnuseid kajastavate aspektide puhul) ei tohiks arstidele märku anda õigusrikkujate väiksemast suitsiidiohust, mida arstlik tarkus teha võib. See võib olla seniste leidude kõige lihtsam, kuid olulisim kliiniline implikatsioon. Teiseks, kindlaid antisotsiaalse isiksusehäire ja psühhopaatia hindamise indekseid kasutades saab samaaegselt üsna hästi suitsiidimõtteid ning sellele kaldumist prognoosida. Puhtpragmaatilisest perspektiivist võiks see aidata ohu vähendamise ressursside suunamist kõrgema ohuga õiguserikkujatele. 8 Kokkuvõte
tiiger näub või mõlemad korraga näuvad. Disjunktsioon on väär siis ainult siis, kui ta mõlemad osalaused on väärad. Tähistused: pq p or q Tõeväärtustabel: p q pq 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 18_fl_i-v IMPLIKATSIOON: (implication): Lausete p ja q implikatsiooniks nimetatakse lauset, mis on väär parajasti siis, kui tema esimene komponentlause on tõene ja teine komponentlause on väär. Implikatsiooni esimest komponentlaust nimetatakse aluseks ja teist tagajärjeks. Implikatsiooni tunnuseks on seos kui ... siis ... . Nt: Kui täna on kolmapäev, siis eile oli teisipäev. Tähistused: p q pq if p then q Tõeväärtustabel: p q pq
Seda mida me usume, me ei tea, seda mida teame me ei usu Paradoksid Berry: "The smallest positive integer not definable in fewer than twelve words" Paradoks selles, et see üheselt defineerib seda numbrit, mis on 11- sõnaline Vastuolu on selles, et mida me nimetame See on kirjeldus, aga nt 734 on nimetus Curry paradoks: jõuluvana on olemas Kui see lause vastab tõele, siis jõuluvana on olemas Kui see lause on tõene, siis X (tähistame lauset: ) S Millal S vastab tõele See on implikatsioon Vt: implikatsioon, curry paradoks 3 ust: A B C 1 ukse taga on sportauto, 2 ukse taga on kitsed Kui arvate ära, millise auto taga on sportauto, saate selle endale Inimene nt arvab A Pärast seda Monty Hall avab nt C ukse, näitab, et seal on kits Nüüd küsib, kas inimene tahab muuta oma valikut Inimene mõtleb, enne olid sansid 1/3, nüüd on sansid ½, inimene mõtleb, et miks ta peaks nüüd vahetama. Sai justkui tõestuse, et pole päris vale Kui valib uuesti A, siis tema sansid on 2/3
aldavad nende alusel koostada min.elementide arvuga juhtimisskeemi. Projekt. etapid- 1. skeemi töösünaline kirj.koostamine 2.talitlustingimuste esitamine 3.Loogikavalemi minimeerimine 4.lülitusskeemi koostamine. Sign.jagunevad- 1. Sisendsign 2.väljudsign. 3.vahesign. 12. El.ajamite juht.skeemide sõlmed loogikaelem.baasil- Loogikatehete elemendid-1.Disjunktsioon (VÕI-OR) 2.Konjunktsioon (NING-AND) 3.Iversioon (EI-NO) 4.implikatsioon 5.Keeld 6.Ekvivalents (EXCL NOR (XNOR)) 7.Antivalents e.välistav VÕI (EXCL OR(XOR)) 8.Pierce´i nool (EI- EGA;(VÕI-EI)- NOR;) 9.Shefferi kriips (NING-EI; NAND) Valm.ka veel loogikael. EXCL OR; EXCL NOR. Sign. iseloomu järgi liigitataxe kont.vabad loogikael.: Potentsiaalel; Impullsel.(tavaliselt kujutataxe sünk.süsteemina). 13. Türistoride kasut. El.ajamite jõuahelates- Türistorskeeme kasut.el.ajamites mitmesuguste ül.täitmisex:1.regul
1 – predikaadi aarsus. Horni lause (clause) Lause esineb fakti või reegli kujul. Iga lause algab predikaadi nimega ja lõpeb punktiga. Mitu sama funtori ja aarsusega lauset defineerivad Horni lause alternatiivid. Loogikatehted , - konjunktsioon ; - disjunktsioon not - eitus (eitus kehtib ainult Prologi andmebaasi kontekstis so ”suletud maailma” eeldus) b:- a või s:- a -> b (reegli kehas) – implikatsioon s:- not(a);b. ; (käsurealt) nõuab otsingumootorilt järgmist lahendit Reeglid Reegel ehk tingimuslik Horni lause. Päringud (queries) - Päring defineerib programmi jaoks sihi (goal). - Päring: call(Goal) on semantiliselt samaväärne päringuga ?– Goal - Päringu muutujad väärtustatakse päringu täitmisel, kui leidub sobiv unifitseering - ”;” kasutamine päringus sunnib tagasivõtul otsima uut lahendit.
ongi „lihtsaimad“ tehted. Nii liht- kui ka liitlausete formaalseid esitusi nim lausearvutusvalemiteks -> Def – Lihtlause formaalne tähis (nt: A) ja üksik tõeväärtuskonstant 0 1 on valem. Kui A on valem, siis valemid on ka 𝐴̅ ja (A). Kui A ja B on valemid, siis on valemid ka 𝐴 ∧ 𝐵, 𝐴 ∨ 𝐵, 𝐴 → 𝐵, 𝐴 ↔ 𝐵. Loogikatehete prioriteet: inversioon, konjunktsioon, disjunktsioon, implikatsioon, ekvivalents. Samaselt tõene ehk tautoloogia on lause, mis omandab tõeväärtuse 1 koostislausete mistahes väärtuskombinatsiooni korral (nt: 𝐴 ∨ 𝐴̅). Samaselt väär ehk vastuolu on lause, mis omandab tõeväärtuse 0 koostislausete mistahes väärtuskombinatsiooni korral (nt: 𝐴 ∧ 𝐴̅). Samaselt tõesed laused võib kõikjal asendada konstandiga 1, samaselt väärad konstandiga 0. Predikaat on lause (valem), mis sisaldab ühte või enamat muutujat
Esimene väide on alus ehk antetsedent (ld. antecedens, ik antecedent) teine on tagajärg ehk konsekvent (ld consequens ik consequent). Lausearvutuse defineerisime implikatsiooni Kui p, siis q, valemina p q binaarse tehtena, mis annab tõese lause alati, välja arvatud juhtum, kui esimene osalause (p) on tõene ning teine (q) väär. Sellist implikatsiooni nimetatakse ka materiaalseks implikatsiooniks (ik material implication). Materiaalne implikatsioon on konditsionaali kõige väiksema tugevusega (nõudlikkusega) vorm. Väljaspool lausearvutust on kasutusel väga erinevaid konditsionaale: nt selline, mis nõuan aluse ja tagajärje vahel põhjuslikku seost. Klassikalises loogikas on kasutusel formaalne implikatsioon (ik logical implication), milles antentsedent implitseerib konsekvendi, kui leidub tõestus, mis lähtub alusest kui eeldusest ning jõuab välja tagajärjeni kui järelduseni
10. Milline seos on omavahel hulgaalgebral ja loogikaalgebral? Loogikaalgebra ja hulgaalgebra on isomorfsed. Kõik loogikaalgebra seadused kehtivad ka hulgaalgebras, kui teha asendused: konjunktsioon – ühisosa, disjunktsioon – ühend, konstant 0 – tühi hulk, konstant 1 – universaalhulk. 11. Milleks kasutatakse loogikatehete asendusseoseid? Millistele tehetele on nad olemas? Asendusseosed asendavad mitteelementaarseid loogikatehteid implikatsioon, ekvivalents, summa mooduliga 2 elementaarsete loogikatehete kaudu. 12. Mis on n-muutuja loogikafunktsioon? N-muutuja loogikafunktsioon on vastavus n- muutuja Boole’i ruumist loogikaväärtuste hulka {0, 1}. 13. Mis on argumentvektor ja mida ta esitab? Argumentvektor ehk kahendvektor esitab funktsiooni igale üksikule muutujale omistatavat väärtust 0 või 1. 14. Mida näitab loogikafunktsiooni tõeväärtustabel
L — päike on loojunud ∨ loogiline liitmine e. disjunktsioon e. VÕI-tehe M — Ferrari on kiirem kui McLaren ( aritmeetilise liitmise analoog loogikas ) H — Häkkinen võidab sõidu → loogiline järeldamine e. implikatsioon ( ei oma aritmeetikas analoogi) Esitada järgnevad liitlaused lausearvutusvalemitena: ↔ loogiline samaväärsus e. ekvivalents Kui vihma sajab, siis on suvi või väljas on soe ( võrdusmärgi ' = ' analoog loogikas)
Väljundis on f10 x2 inversioon 1010 1 kui x2=0 ja f10 = x2 x21 Y 0 kui x2=1 Väljundis on f11 x1 1011 0 ainult siis f11 = x2 x1 x11 Y implikatsioon f11 = x1 gx2 x2 kui ??? f12 x1 inversioon e. x1 eitus 1100 f12 = x1 x11 Y Väljundis on f13 x2 1101 null ainult siis f13 = x1 x2
annaabi.ee 
