lausearv4up (0)

Word Pro - LAUSEARVcolor.lwp



Verbaalsed  ja  Formaalsed  esitused
   Verbaalne  esitus   on  mistahes info  esitamine  lingvistilise  keele  abil   
(nii suuline kui ka kirjalik esitus). Näiteks  ajalugu  ja  filosoofia  on valdkonnad, kus kogu informatsioon on
esitatud ainult  verbaalselt. Formaalne  esitus   on  mistahes info  (reeglina kirjalik)  esitamine  ilma
lingvistilise  keele  abita  ehk  esitus kokkulepitud  sümbolite
(märgisüsteemi) abil. Näiteks  matemaatika ,   füüsika  ja  keemia  on valdkonnad, kus infot
esitatakse nii  verbaalselt  kui ka  formaalselt. Mõtlemine  on  alati  verbaalne  ehk toimub mingi lingvistilise  keele  abil.
Mistahes formaalne esitus  on  algupäraselt verbaalse  info  "salvestamiseks".
Pole olemas "formaalset mõtlemist";  on olemas  formaalne väljendusoskus. Formaalsete  esituste  ainus  otstarve  on  nendes  sisalduv  info  hiljem  jälle
verbaalseks  (ehk mõnda  lingvistilisse  keelde)  tagasi  "üles lugeda"  
(taastada).
Teisiti väljendudes:    kõike, mida saab esitada  formaalselt ,  saab esitada ka
verbaalselt . Mistahes  formaalne  esitus  peab  olema  üheselt  tõlgendatav  (loetav) . Formaalsete esituste  ühe kasuliku rakendusena võib muuhulgas vaadelda
informatsiooniedastust ühest lingvistilisest keelest teise. Formalismina  ei õnnestu esitada mitte igasugust verbaalset infot, kuid
loogilise mõtlemise konstruktsioonide  jaoks  on  piisavalt head formaalsed
väljendusvahendid  olemas.   "mitteformaalne"     "verbaalne"      (sünonüümid) LAUSEARVUTUS Lausearvutus  on  loogilise  mõtlemise  matemaatiline  mudel. Lausearvutuse  lause  võib olla  iga  verbaalne  (ehk lingvistilises keeles
väljendatud)  väide,  millele  saame  omistada  tõeväärtuse  —  tõene  või  
vale. Tõeväärtusi  tähistame  numbritega  0  ja  1.
0  —  vale (väär) 1  —  tõene Lausearvutuslause peab omandama ühe tõeväärtuse nendest kahest
alternatiivist. Lausearvutuslauseteks  võivad  olla:
" 19 on algarv "
" popcorn  on  hea "
" jänesed  jooksevad  vihmaveetorudes " Lausearvutuslauseteks  ei  ole  (ei kõlba): " kõigi  maade  proletaarlased, ühinege  "
" olla  või  mitte  olla " Lihtsaimaid  võimalikke  lausearvutuslauseid  nimetatakse  lihtlauseteks.
Lihtlauseid  ei saa  enam  jagada  veelgi  lihtsamateks  lauseteks. Lausearvutuslauseid  tähistame  formaalselt  suurtähtedega:  A, B,  P,  Q . . . Lihtlausetest  koostatakse  kindlate sidesõnade  ja  loogiliste
konstruktsioonide abil  liitlauseid: " kui palka ei tõsteta  või  tööaega ei vähendata, siis algab streik "
" ülemus  on  kohal  ainult  siis,  kui  tema auto  on  maja  ees" Liitlause koosseisu kuuluvat lauset nimetatakse ka  osalauseks. Lausearvutuse  lihtlauseid  seotakse  liitlauseteks  5  loogilise
konstruktsiooni ehk  loogikatehte  abil. 4 sidumiskonstruktsiooni seovad igaüks  kahte lauset  ( binaarsed
loogikatehted)  ja  1  tehe  viiest on  rakendatav  üksikule  lausele  ( unaarne
loogikatehe) P     Q  Samaväärsus  (ekvivalents): " P (siis ja) ainult siis, kui Q " P     Q  Järeldumine : " Kui P ,  siis Q " "P kehtimisest järeldub Q kehtimine " P     Q  Tingimuste samaaegse kehtimise nõue: " P  ja  Q " P     Q  Ühe  alternatiivi  kehtimise  nõue: " P  või  Q " __ P  P eitus: " mitte P ";  " pole õige, et P " formaalne  tähistus verbaalne  esitus JA-tehte märgina kasutatakse ka sümbolit  'ampersand ' :   &     ( &     ) Ekvivalentsitehte märgina  kasutatakse  ka  sümbolit     ~   (~    ) VÕI-tehte märgina  kasutatakse  ka  sümbolit     +    ( +     )    __ Inversiooni  tähistatakse erinevates allikates erinevalt:    A        A     A' Aritmeetilise liitmise  tehtemärki    ' + '    sobib kasutada  VÕI-tehte  ehk  
disjunktsiooni  tehtemärgina sellepärast, et  disjunktsioon  on  "tavalise"
aritmeetilise liitmise analoog loogikas. ( Sümbol    '     '     on  siin ja edaspidi  kasutusel  tähenduses   " on samaväärne" ) Loogikatehted  lausearvutuses   loogiline  samaväärsus   ehk   ekvivalents
 ( võrdusmärgi  ' = '  analoog  loogikas )    loogiline  järeldamine   ehk   implikatsioon
 ( ei oma aritmeetikas analoogi )    loogiline  liitmine   ehk   disjunktsioon   ehk   VÕI-tehe
 ( aritmeetilise  liitmise  analoog  loogikas )    loogiline  korrutamine   ehk   konjunktsioon   ehk   JA-tehe
 ( aritmeetilise  korrutamise  analoog  loogikas )    loogiline eitus   ehk   inversioon      ¯ tehte nimi  ja  selgitus tehtemärk Edaspidi eelistame loogikatehete nimedena kasutada termineid   inversioon  
disjunktsioon    konjunktsioon    implikatsioon    ekvivalents. Implikatsioonitehte  operandide  staatus: eeldus    järeldus Ekvivalentsitehte mõlemad operandid  on  samaaegselt  teineteise eelduseks  ja  
järelduseks : kui      P    Q       siis      P    Q       ja samal ajal ka       Q    P Lausearvutusvalemid Nii  liht-  kui ka  liitlausete  formaalseid  esitusi  nimetatakse  
lausearvutusvalemiteks.     Lausearvutusvalem  on defineeritud järgnevalt: / ¯¯    definitsioon:   ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ \    Lihtlause  formaalne tähis  (näiteks:  A )   ja   üksik  tõeväärtuskonstant              0    1       on  valem         __      TTÜ    Arvutisüsteemide       Instituut


   Kui   A   on  valem,  siis on valemid ka    A    ja    (   A )    Kui   A    ja    B    on  valemid,  siis on valemid ka A      B A       B A      B          A     B |___________________________________________________________________________________ | Eelnev määratlus välistab  valemite  hulgast näiteks sellised sümbolitekooslused :   A    B A  B     A (    B  B  ( A Lausearvutusvalemit  võime nimetada ka  loogikaavaldiseks. Loogikatehete prioriteet Kui sulgudega pole tehete järjekord avaldises määratud teisiti, siis määrab
tehete teostusjärjekorra  loogikatehete prioriteedijärjestus :        ¯¯    Inversioon  teostatakse avaldistes kõikjal esimesena.  Nagu aritmeetikas, nii
on ka loogikas  korrutamine  (konjunktsioon)  prioriteetsem kui  liitmine
(disjunktsioon). / ¯¯    näited:   ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ \ Olgu  antud  järgnevad  lihtlaused  (väited): S    —    on suvi O   —   väljas on soe V   —   vihma sajab P   —   väljas on pime R   —   päikesevarjutus kestab L   —   päike on loojunud M  —   Ferrari on kiirem kui McLaren H   —   Lewis Hamilton võidab sõidu Esitame  järgnevad  liitlaused  lausearvutusvalemitena  (ehk läheme verbaalselt  esituselt üle  formaalsele  esitusele): Kui vihma sajab, siis on suvi või väljas on soe V    ( S   O ) Väljas on pime (siis ja) ainult siis, kui päike on
loojunud ja pole suvi  või  päikesevarjutus kestab     __    P    ( L   S   R ) Kui on suvi või päike pole loojunud, siis väljas pole pime   __   __  ( S   L )      P Kui vihma sajab, siis Hamilton ei võida sõitu    __ V       H Kui McLaren on kiirem kui Ferrari ja vihma ei saja,
siis Hamilton võidab sõidu       __     __   ( M   V )      H Hamilton ei võida sõitu (siis ja) ainult siis, kui
Ferrari on kiirem kui McLaren või vihma sajab  __ H       ( M     V )   Kuigi eelnevate lausete tõeväärtus on (nende esitaja hinnangul)  tõene , ei
tähenda see seda, et lausearvutuses tegeletakse ainult  tõesete lausetega. / ¯¯    näited:   ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ \ Järgnevalt "teisendame" vastupidi:  loeme antud  lausearvutusvalemeid  ehk
taastame lause  verbaalse esituse:      __ R       ( L   P )  Kui päikesevarjutus kestab, siis päike pole loojunud
ja on pime       __ O       ( S   L ) Soe on (siis ja) ainult siis, kui on suvi või päike
pole loojunud          __ ( V      S  )     ( P      O  ) Vihma sajab (siis ja) ainult siis, kui on suvi või väljas on pime ja külm            __ ( V      O      P )       S Kui vihma sajab ja on soe ja pole pime, siis on suvi      __   __ ( M      H  )     ( V      H  ) McLaren on kiirem kui Ferrari ja Hamilton võidab või  vihma sajab ja Hamilton ei võida |___________________________________________________________________________________ | Formaalse esituse  eelised:  sõltumatus lingvistilisest keelest  kompaktsus  võimalus loogikaseaduste abil teisendada lausearvutusvalemeid muule 
(loogiliselt) samaväärsele kujule. Loogikaseadusi  ja  lausearvutusvalemite teisendust nende abil vaatleme
edaspidi. Loogikatehete definitsioonid Eelnevalt esitasime ainult loogikatehete nimetused ja selgitasime nende
tähendust.  Sellest aga ei ilmnenud, milles seisneb nende abil "arvutamine". Loogikatehete  definitsioonid  määravad  nende  resultaadi  kõikide  
operandiväärtuste  kombinatsioonide  korral   (ehk  määravad  nende
"käitumise"  kõikvõimalikes  olukordades). Loogikatehete  operandideks on  tõeväärtused  (0 ja 1)  ja tulemuseks on
samuti tõeväärtus.   Seega  loogikatehted  "töötlevad tõeväärtusi uuteks
tõeväärtusteks".   Kuna  lausearvutuslaused  omavad samuti tõeväärtust, siis
saab loogikatehteid rakendada ka neile. Lausearvutuses  kasutatakse ühte  unaarset  (ühe operandiga)   ja  nelja  
binaarset  (kahe operandiga)  tehet. Kui  A  ja  B  on  suvalised lausearvutuslaused  alternatiivsete tõeväärtustega
0 või 1 ,  siis nendevaheliste  loogikatehete  tulemuseks  olevate  liitlausete   
tõeväärtused  on  järgnevad:   1 1 1 1 0 1   1 0 0 1 0 0 1   0 0 1 1 0 1 0   1 1 1 0 0 1 0   0     ___ A  ekvivalents implikatsioon disjunktsioon konjunktsioon inversioon      TTÜ    Arvutisüsteemide       Instituut


Seega  oleneb  iga  liitlause  tõeväärtus  teda  moodustavate  lihtlausete
tõeväärtustest  ja  nende  sidumiseks  kasutatud  loogikatehetest. Unaarset tehet  inversioon  võib eelnevas tabelis esitada ükskõik kumba
loogikamuutujat  (A või B)  kasutades; eelnevas tabelis defineeritakse ta
juhtumisi  A  kaudu. Tehted  inversioon ,  konjunktsioon  ja  disjunktsioon  on  elementaarsed
loogikatehted.  Nad pole avaldatavad mingite teiste lihtsamate loogikatehete
kaudu, kuna nad ise ongi "lihtsaimad" tehted.  Kõik muud loogikatehted  (ka
implikatsioon  ja  ekvivalents)  on avaldatavad  kolme elementaarse
loogikatehte:   inversiooni ,  konjunktsiooni   ja  disjunktsiooni   kaudu. / ¯¯    näited:   ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ \ Olgu antud mingid lihtlaused (tähised)  järgnevate  (meelevaldselt omistatud)  
tõeväärtustega: S  =   0   O  =   1     V   =   0 P  =   1   L  =   1     M  =   1         H  =   0 Leiame koostislausete selliste tõeväärtuste korral  järgnevate  liitlausete  
tõeväärtused, kasutades loogikatehete eeltoodud definitsioone.       __ O       ( S   L )    __     __ O       ( S   L )   =   1       ( 0  1 )   =   0         [vale]           __ ( V      S )       ( P      O )     __ __ ( V  S )    (   P    O )   =    ( 0    0 )       ( 1    1 )  =   1      [tõene] ————————————————————————————————————————————           __ ( S      O      P )       S         __        __ ( S    O      P )     S   =   ( 0    1    1 )    0   =    1       [tõene] ————————————————————————————————————————————      __     __ ( M      H )        ( V      H )   __   __  __    __ ( M  H )      ( V  H )   =   ( 1    0  )    ( 0    0  )   =   0       [vale] |___________________________________________________________________________________ | Tautoloogia .   Vastuolu Lause  on  samaselt tõene,  kui  ta omandab  tõeväärtuse  1  koostislausete
mistahes  väärtuskombinatsiooni  korral.  Samaselt tõest  lauset nimetatakse ka  tautoloogiaks.
Lihtsaim näide tautoloogiast oleks lause:       __ A     A Lause  on  samaselt väär,  kui ta omandab  tõeväärtuse  0    koostislausete
mistahes  väärtuskombinatsiooni  korral. 
Samaselt väära lauset  nimetatakse ka  vastuoluks.
Lihtsaim näide samaselt väärast lausest oleks:    __ A     A Samaselt tõesed  laused võib kõikjal asendada  (tähistada)  konstandiga  1  ja samaselt väärad  laused  konstandiga   0 .  Predikaadid
Predikaat  on lause  (valem) , mis sisaldab ühte või enamat  muutujat.
(Predikaatlause) Predikaatlause tõeväärtus oleneb  väärtustatud muutuja(te)  tõeväärtus(t)est. Kui predikaadi muutujad asendada  mingite konkreetsete väärtustega  
lubatud väärtustehulgast, siis predikaat muutub  lauseks  (ehk  omandab
tõeväärtuse).
Predikaate tähistatakse suurtähtedega;  temas sisalduvaid muutujaid  
(predikaatmuutujaid)  väiketähtedega. Ühekohaline  predikaat  on  ühe muutujaga: P ( x )      . . . muutujat  x  sisaldav  lause  või  valem . . . Kahekohaline  predikaat  on  kahe muutujaga: P ( x , y )      . . . muutujaid  x  ja  y  sisaldav  lause  või  valem . . . Predikaat  võib olla  esitatud  ka  verbaalselt: A ( x )       " x  on  algarv " Reeglina eelistame predikaate võimalusekorral esitada  formaalselt  ehk  
valemitekujul   ( predikaatvalem ). Predikaatmuutujate kohta tuleb alati eelnevalt täpsustada, milliseid väärtusi  
ta võib omandada ehk milline on predikaadi  määramispiirkond. Olgu   x   täisarv  ja  vaatleme  ühekohalist  predikaati: P ( x )     (   x   >  2 )    ( x  <  4 ) Väärtustades    x  = 3  saame  tõese  predikaatlause  (predikaatvalemi): P ( 3 )     (   3  >  2 )       ( 3  <  4 )   =     1 ehk P ( 3 )     1   ehk    tõene Omistades  predikaatmuutujale  mõne muu  täisarvulise  väärtuse: P ( 5 )     (   5  >  2 )       ( 5  <  4 )   =     0 ehk P ( 5 )     0   ehk    vale Ühekohalist predikaati  nimetatakse  omaduseks. Kui predikaatmuutuja  mingi konkreetse väärtuse   n  korral  predikaatlause   P ( n )   osutub tõeseks,  siis  ütleme,  et  " n-il  on  omadus  P ". Eelmises näites:    täisarvul  3  on omadus  P ;  täisarvul  5  pole. Predikaatlause   P ( x )  võib  olla:   täidetav  ehk  kehtestatav :  kui ta on  tõene ainult  osade      muutujaväärtuste    x  korral  (ehk on tõene  osas oma määramispiirkonnas);   samaselt tõene : kui ta on  tõene (kehtiv)  kogu määramispiirkonnas;   samaselt väär : kui ta ei kehti  oma määramispiirkonna  mitte mingite  muutujaväärtuste korral; Kvantorid   Kui soovime väita , et  predikaat    P ( x )   kehtib  oma määramispiirkonna   kõikide    x-ide  ( x1   x2   x3  . . . . )  korral  ehk: P ( x1 )      P ( x2 )     P ( x3 )      P ( x4 )     1 ..... siis kasutame sellise väite kompaktsemaks esitamiseks üldsuse  kvantorit :     x P   (  x ) ehk  üldkujul: x (  . . . . mistahes  lause  muutuja   x  osalusel . . . .  ) Kui  kvantorit  rakendatakse  üksikule predikaaditähisele, võib  sulud  ära jätta. Üldsuse kvantorit     interpreteeritakse  valemi lugemisel tähenduses  "iga". Kui  soovime  väita,  et  predikaat    P ( x )   kehtib  vähemalt  ühe  oma   määramispiirkonna muutuja    x   korral  ehk: P ( x1 )      P ( x2 )     P ( x3 )      P ( x4 )     1 ..... siis  kasutame  sellise  väite  kompaktsemaks esitamiseks olemasolu kvantorit   ehk  eksistentsikvantorit     :    x P ( x )      TTÜ    Arvutisüsteemide       Instituut


ehk  üldkujul:    x  ( . . . . mistahes  lause  muutuja  x  osalusel . . . . ) Eksistentsikvantorit     interpreteeritakse  valemi lugemisel tähenduses    "leidub"  ehk  "eksisteerib". Kvantorid     ja   sobivad  seega  predikaadi   P   (  x )   kehtestatavuse   täpsustamiseks  nii  lõpliku  määramispiirkonna  kui  ka  lõpmatu
määramispiirkonna korral. Kui  predikaadile    P ( x )  on rakendatud kvantorit,  siis  ta omandab kohe tõeväärtuse.   Kvantoriga predikaadi tõeväärtus  ei olene  enam  
predikaatmuutujale    x  omistatud konkreetsest väärtusest. Kvantori  rakendamise  tulemuseks  on  seega  uus,  tõeväärtusega  lause. / ¯¯    näide:   ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ \ Rakendame  eelnevalt  vaadeldud  predikaadile P ( x )      (   x   >  2 )     ( x  <  4 ) esmalt  üldsuse kvantorit  ning  seejärel  olemasolu kvantorit   ning leiame
tulemuseks olevate lausete tõeväärtused:
x P   (  x )      [vale]    x P ( x )   [tõene] |___________________________________________________________________________________ | Kvantorit  võib  predikaaditähise  asemel  rakendada  ka  predikaatlausele  
endale:
   x  [ ( x  >  2 )   ( x  <  4 ) ] Kvantorite määratlusest järeldub  järgmine seos: Kui lause    x P ( x )    osutub  tõeseks,  siis      x P ( x )   on  samuti  tõene. Muutujaid, millele on rakendatud kvantorit, nimetatakse   seotud muutujateks. Kvantorimärgiga mitteseotud predikaatmuutujad  on  vabad muutujad. näide: x P   (  x , y )     korral:    x  on  seotud   ja   y  on  vaba muutuja.   __ Eksistentsikvantorit  saab  ka  "eitada" :       x    "ei leidu   x-i . . ." Hüüumärgiga eksistentsikvantor     ! x    väidab  seotud muutuja kohta: "leidub  täpselt  üks    x  . . . . . ." Kvantorid       ja    on omavahel  seotud  järgneva  samaväärsusega:      __     __ x P   (  x )            x P ( x ) Kvantorit saab rakendada ka sellisele lausele, millele on juba eelnevalt
kvantorit rakendatud: x    x  ( x + y  =  9 ) (eelneva predikaatlause tõeväärtus oleneb ta määramispiirkonnast) Kvantoriga  võivad olla seotud  ka  mitu muutujat. Järgnevad predikaatvalemid on samaväärsed: x,y P   (  x , y )      x   y P   (  x , y ) Sarnaselt muutujateta lausearvutuslausetega  saab  ka  predikaate siduda  
liitpredikaatideks  nendesamade loogikatehetega:         ¯¯                      Predikaadid  on  võrdväärsed  (ekvivalentsed) ,  kui  nende  
tõeväärtuspiirkonnad  langevad  kokku. / ¯¯    näide:   ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ \ Olgu  naturaalarvulise  määramispiirkonnaga  ühekohalised  predikaadid: P ( x )      " x  jagub  3-ga " Q ( x )      " x  jagub  4-ga " S ( x )      " x  jagub  12-ga " T ( x )  =   P ( x )       Q   (  x ) . . . .  siis: S ( x )       T   (  x ) |___________________________________________________________________________________ | / ¯¯    näide:   ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ \   On antud  reaalarvulise määramispiirkonnaga predikaadid:   N ( x )      " x  on  naturaalarv " Z ( x )      " x  on  täisarv " P ( x )      " x  on  algarv " H ( x )      " x  on  paarisarv " D ( x , y )      " x  jagub  y-ga " Leiame järgnevate  predikaatlausete  tõeväärtuse:      1. x [ N   (  x )    Z   (  x )  ] ( tõene ) __ 2. x [ Z   (  x )   H ( x )       H ( x ) ] ( tõene ) 3. x    y  [ Z ( x )    Z (  y )   D ( x , y ) ] ( tõene ) 4.      x  [ P ( x )    H ( x ) ] ( tõene ) märkus:   
kui predikaatide määramispiirkonnaks oleks  reaalarvude asemel täisarvud ,  siis
2.  ja  3.  predikaatvalem  lihtsustuksid:         __ x [ H   (  x )       H ( x ) ] x    y  [ D ( x , y ) ] |___________________________________________________________________________________ | Märgime, et eelnevad predikaatlaused on saadud  kvantori rakendamise,
mitte  muutujate väärtustamise teel. /¯¯    näide:   ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯\   Leiame  kahekohalise  predikaadi     P ( x , y )    tõesuspiirkonna: P ( x , y )       x 2   y 2  =   0 P ( x , y )  on tõene, kui:    ( x   = y   )         ( x   =    y  )     __________________________________________________________________________________ P ( x , y )     (   x  >  0  )    ( y  <  0 ) P ( x , y )  on tõene, kui:     ( x  <  0 )    ( x  >  0 )    ( y  <  0 )   __________________________________________________________________________________ P ( x , y )     (   x  >  0  )    ( y  <  0 ) P ( x , y )  on tõene, kui:     ( x  >  0 )    ( y  <  0 )   |___________________________________________________________________________________ | Edaspidi kasutame  predikaatvalemeid  definitsioonides  ja muude oluliste
seoste esitamiseks vaadeldavate objektide vahel. Definitsioone esitades me enam ei keskendu sellele, kas esitatud
predikaatlaused on  tõesed, vaid me eeldame endastmõistetavalt, et nad  on  
tõesed  ja  keskendame kogu tähelepanu ainult lause poolt esitatavale infole. Loogikaseadused Loogikaseadused   on  kuni kolme operandiga  lihtsaimad samaselt tõesed lausearvutusvalemid   ja  samaselt tõesed
lausearvutusvalemite võrdused. Loogikaseadused  ei ole  aksioomid.  Nende kehtivus tuleneb  loogikatehete      ¯¯                                definitsioonidest.      TTÜ    Arvutisüsteemide       Instituut


Järgnevalt olgu meil  loogikaseaduste  esitamiseks    3  lauset    A   B   C     mis  omavad  tõeväärtusi   0  või  1. assotsiatiivsus: A     B    C    =    (A    B)    C     =    A    (B    C) A     B    C    =    (A    B)    C     =    A    (B    C) assotsiatiivsus  verbaalsel kujul:    "avaldise väärtus ei olene  tehete  järjekorrast" kommutatiivsus: A     B    =    B    A A     B    =    B    A kommutatiivsus  verbaalsel kujul:    "tehte väärtus ei olene  operandide  järjekorrast" idempotentsus: A     A   =   A A     A   =   A "iseendaga  korrutamine  ei muuda loogikaväärtust" "iseenda  juurdeliitmine  ei muuda loogikaväärtust" neeldumine: A       (A    B)    =     A A       (A    B)    =     A distributiivsus:    (sulgude  "lahtikorrutamine"  ja  "lahtiliitmine") A     (B    C)    =     (A    B)      (A    C) A     (B    C)    =     (A    B)      (A    C) seadused konstantidega  0 ja 1: A     0   =   A A     1   =   A A     1   =   1 A     0   =   0 topelteituse seadus:         __         __   A      =   A DeMorgani  seadused:     _______     __      __ A     B     =    A    B    _______        __       __ A     B     =    A    B DeMorgani  seadused on laiendatavad piiramatult suurele muutujatearvule.
Kolme  muutuja  jaoks  kehtivad  nad  kujul: ___________    __        __       __  A     B    C     =    A      B        C ___________    __        __        __   A     B    C     =    A     B     C välistatud kolmanda seadus:       __ A       A   =   1  vastuolu seadus:     __ A       A   =   0 kontrapositsiooni seadus:       __        __ A   B    =    B  A süllogismi seadus: [  (A   B)      (B  C) ]        (A  C) Muud loogikaseadused (ehk samaselt tõesed  loogikaavaldised ja võrdused):      __ A B   =  A    B                __ 1 A   =  A        A 0   =  A 0   A A   A         A   1 A   B =    (AB)      (BA)  Kõikides eelnevates võrdustes saab võrdusmärgi  ' = '  asendada  
ekvivalentsitehtega  '   '.   Sellisel juhul saame  samaselt tõesed  ekvivalentsid. /¯¯    näide:   ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯\ Vaatleme lauseid    A      "   suudan ära õppida  matemaatilise analüüsi "  ja lauset    D      "   suudan ära õppida  diskreetse matemaatika " Koostame  implikatsiooniga  (ehk järeldustehtega)  liitlause      A D Selle liitlause tõeväärtus on enamike õpilaste hinnangul  tõene ,  kuna  diskr.
matem.  on  oluliselt lihtsam matemaatikavaldkond kui  matemaatiline analüüs. (Märgime, et lause    A  D   tõesusest ei tohi järeldada, nagu oleks  diskreetne matemaatika  osa   matemaatilisest analüüsist ) Kui    A  D   on  tõene  ,  siis vastavalt  kontrapositsiooni seadusele  peab tõene olema ka lause
  __       __   D   A ehk verbaalsel kujul:   " kui ma ei suuda ära õppida   diskreetset matemaatikat ,   siis ma ei suuda ära õppida (ka)  matemaatilist analüüsi "   ..... millest järeldub, et eksmatrikuleerimisohu vältimiseks on  (kaudselt)
möödapääsmatu   diskreetne  matemaatika  selgeks saada. ( Märgime, et lause    A  D   tõesusest ei järeldu  mitte midagi  lause   DA   tõeväärtuse kohta.  See võib olla  nii  tõene  kui ka  vale . ) |___________________________________________________________________________________ | Loogikaseadused  võimaldavad  formaalsete  teisenduste  abil  saada  
lausetest (valemitest)  uusi,  esialgsega  loogiliselt  samaväärseid  lauseid. /¯¯    näide:   ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯\ Võtame  eespool  olnud  lause:
Kui McLaren on kiirem kui Ferrari ja vihma ei saja,
siis Hamilton võidab sõidu: __      __      ( M   V )      H . . . . ja  eespool olnud ühe teise lause vähemuudetud kuju: Kui Hamilton ei võida sõitu, siis Ferrari on kiirem
kui McLaren või vihma sajab:   __ H       ( M     V   )    Kontrollime  nende lausete  loogilist samaväärsust  ühe lause valemesituse  formaalse teisendusega  teise lause valemiks. Selleks teisendame  esimese  valemi  teiseks kontrapositsiooni ,  DeMorgani  ja  topelteituse  seaduste  abil:    __          __ A   B    =   B  A   ______   __       __ A     B       =   A      B                           TTÜ    Arvutisüsteemide       Instituut


__                       A     =     A ———————————————————————————————————————     __      __     ( M  V   )      H   ________   __   __        __  H       ( M   V  )   __        __   __   __        __  H       ( M   V  ) __   H       ( M     V   ) |___________________________________________________________________________________ | HARJUTUSÜLESANDED   Kontrollida tõeväärtustabeli väljaarvutamisega  DeMorgani seadust 
   Kontrollida tõeväärtustabeli väljaarvutamisega  neeldumisseadust    Kontrollida tõeväärtustabeli väljaarvutamisega  kontrapositsiooni seadust    Kontrollida, kas  süllogismi seadus  on  samaselt tõene  lause   Kontrollida, kas  A  ja  B  kõikvõimalike väärtuskombinatsioonide korral kehtib võrdus [ ( AB )      ( BA ) ]             A   B     Kontrollida, kas  A  B  C  kõikvõimalike väärtuskombinatsioonide korral kehtib võrdus [ ( AB )      ( BC ) ]             A   C   KORDAMISKÜSIMUSED    Millise matemaatikavaldkonnaga  Diskreetne Matemaatika  ei tegele?
 Milliste arvudega  Diskreetne Matemaatika  ei tegele?
 Milliseid funktsioone nimetatakse  pidevateks ?
 Mis on verbaalne esitus?
 Mis on formaalne esitus?
 Milline omadus peab olema  formaalsetel esitustel ?
 Mis on lausearvutus?
 Milline lause on lausearvutuslause?
 Millised tõeväärtused on olemas?  Kuidas neid tähistatakse?
 Milline lause on lihtlause?
 Kuidas lausearvutuslauseid tavaliselt tähistatakse?
 Mis on liitlause?  Kuidas ja millest neid moodustatakse?
 Millised on lausearvutuse loogikatehted?   Nende tähistused ja verbaalsed tähendused? 
 Millist tehet nimetatakse binaarseks?   Millised loogikatehetest on  binaarsed ?
 Millist tehet nimetatakse unaarseks?   Millised loogikatehetest on  unaarsed ?
 Milline aritmeetiline tehe vastab igale loogikatehtele?
 Millist loogikatehet nimetatakse loogiliseks korrutamiseks?  Millist loogiliseks liitmiseks?
 Milline omavaheline seos on  ekvivalentsil  ja  implikatsioonil ?
 Millised on elementaarsed loogikatehted?  Miks neid nimetatakse  elementaarseteks ?
 Mis on lausearvutusvalem?  Lausearvutusvalemi definitsioon.
 Lausearvutuses kasutatavate loogikatehete definitsioonid  (tõeväärtustabelina).
 Milline on loogikatehete prioriteedijärjestus?  Millal see oluliseks osutub? 
 Milline lause on samaselt tõene?  Mis on tautoloogia?
 Milline lause on samaselt väär?  Mis on vastuolu?
 Millega on asendatav samaselt tõene lause  ja  samaselt väär lause?
 Mis on predikaat?
 Millal  predikaat  omandab  tõeväärtuse?
 Kuidas  predikaate  ja  predikaatmuutujaid  tavaliselt tähistatakse?
 Milline predikaat on ühekohaline?  Milline on kahekohaline?
 Kuidas nimetatakse teisiti  ühekohalist  predikaati?
 Mida näitab predikaadi määramispiirkond?
 Millal on predikaatlause täidetav ehk kehtestatav?
 Millised kvantorid on olemas?  Millised on nende tähised? 
 Millise loogikatehte üldistuseks on  üldsuse kvantor? 
 Millise loogikatehte üldistuseks on  eksistentsikvantor?   Millist muutujat nimetatakse seotud muutujaks  ja millist vabaks muutujaks? 
 Mida tähendab hüüumärgiga eksistentsikvantor? 
 Millal on kaks predikaati võrdväärsed? 
 Mida nimetatakse loogikaseadusteks? 
 Esitada:  1. topelteituse seadus       2. neeldumisseadused       3. DeMorgani seadused  4. välistatud kolmanda seadus       5. vastuolu seadus       6. kontrapositsiooni seadus   Milline oleks assotsiatiivsusseaduse verbaalne esitus?
 Milline oleks kommutatiivsusseaduse verbaalne esitus?
 Milline binaarne loogikatehe  pole  kommutatiivne?
 Millist avaldise teisendusvõimalust esitab distributiivsusseadus? 
 Millise loogikaväärtusega  disjunktsioon  ei muuda avaldise väärtust?
 Millise loogikaväärtusega  konjunktsioon  ei muuda avaldise väärtust?
 Milline on  disjunktsiooni  tulemus, kui vähemalt üks operandidest on loogikaväärtus  1 ?
 Milline on  konjunktsiooni  tulemus, kui vähemalt üks operandidest on loogikaväärtus  0 ?
 Mitme muutuja jaoks on  DeMorgani seadused  laiendatavad?
 Milleks loogikaseadusi rakendatakse?      TTÜ    Arvutisüsteemide       Instituut © H. Lensen     M. Kruus