Produktsioonid
1. Generatiivne grammatika
Produktsioon e ümberkirjutusreegel.
Alustame lähtesümbolist
IT MATEMAATILISED ALUSED Loogika (TAUNO ÕUNAPUU) 30.01.14 Loogika on teadus mõtlemise reeglitest, struktuuridest ja vormidest. Loogikat võib pidada ka mõtlemise mudeliks, nimelt arutlemise mudeliks keeles. Loogika esitab väiteid ja arutlusi formaliseeritud kujul, kasutades kuntslikke formaalseid keeli. Selle valdkonnaga tegelevad nii filosoofia kui ka matemaatika. Klassikaline loogika puhul võib eristada kahte formaalset keelt – lausearvutust ja predikaatarvutust. Lausearvutus on klassikalise loogika lihtsaim osa, mis tegeleb lihtlausete vaheliste seoste uurimisega ning mille abil on võimalik välja selgitada, kuidas liitlause tõeväärtus sõltub osalausete tõeväärtustest.Lausearvutust kasutatakse väga paljudes valdkondades, rakendusalad ulatuvad arutluste analüüsist filosoofias liittingimuste konstrueerimiseni programmeerimises. Predikaatarvutus on lausearvutuse laiendus...
Tõestus lk 124 Teoreem 4. Ei leidu Turingi masinat, mis kontrolliks argumentide x ja y järgi, kas masin Tx lõpetab argumendil y töö lõpliku arvu sammudega. Tõestus lk. 125 Teoreem 5. (Rice'i teoreem) Olgu A kõigi Turingi mõttes arvutatavate funktsioonide hulga mittetühi pärisalamhulk. Ei leidu Turingi masinat, mis kontrolliks argumendi x järgi, kas Turingi masina Tx poolt arvutatav funktsioon kuulub hulka A. III. Predikaatarvutus Predikaadid ja indiviidid. Kvantorid. Predikaadid: · Seoseid elementide vahel väljendavad predikaadid. · Predikaate tähistame predikaatsümbolitega A, B, C, koos argumentidega; argumentideks on termid. · Predikaate võib omavahel kombineerida lausearvutuse tehete ja kvantoritega 7 Indiviidid: · objektid, mille kohta midagi väidetaks
-(p v q) = -p & -q Konjunktsiooni eitus on eituste disjunktsioon ja vastupidi Materiaalne implikatsioon p->q= -p v q Ümberpööramine p-> q = -q -> -p Materiaalne ekvivalents Täiendavad LA reeglid: Taandamise reeglid: P&1=p P&0=0 P & -p = 0 loogiline vastuolu (samaselt väär) Pv1=1 Pv0=p P v –p = 1 loogiline tautoloogia (samaselt tõene) P -> p = 1 Implikatsiooni eitus: -(p -> q) = p & -q Predikaatarvutus Objekt, mille kohta midagi väidetakse – subjekt e indiviid See, mida indiviidide kohta väidetakse – predikaat Predikaat ise ei oma tõeväärtust, aga ta muutub kas tõeseks või vääraks kui talle omastada mingisugune hulk/väärtus. Kvantori rakendamine vabale muutujale (predikaadis) – hulga v kogusemääraja 1) A – üldisuskvantor – kõik, iga, suvaline, mistahes, alati, kõikjal, mitte ükski, mitte midagi
Gödeli teoreem on formaalse aritmeetika mittetäielikkuses. Gödel väitis, et igas formaalses aritmeetikas leidub tõene lause, mis ei ole antud formaalses aritmeetikas tõestatav. Täielikkuse teoreem; http://cs.ttu.ee/kursused/itv0010/various/lrttyld.html : ,,1930. aastal tõestas Gödel, et loogika baaskeel, Fregest lähtuv ja Russelli, Whiteheadi, Hilberti, Tarski, Gentzeni töödes kaasaegse kuju saanud esimest järku predikaatarvutus on täielik: iga tegelikult õige väide, mida saab predikaatarvutuses kirja panna, on predikaatarvutuse formaalsete reeglite abil tõestatav. Siinkohal toetub ``õigsuse'' mõiste Tarski, poolt rajatud teooriale semantikast ja mudelitest." Esmapilgul tundub teoreem täielikkusest olevat vastuolus järgmises lõigus vaadeldava teoreemiga formaalse aritmeetika mittetäielikkusest, kuid see vastuolu on ainult näiline: predikaatarvutuse keeles ei saa otseselt kirja panna matemaatilise
1. Sissejuhatus: 1.1. Mis on loogiline programmeerimine? l Programmeerimise paradigma l loogiline (LP) l funktsionaalne (FP) l jt Fookus: MIDA ARVUTADA l LP ja FP on deklaratiivsed programmeerimisstiilid; l LP põhineb loogika printsiipidel ja kasutab automaattõestamise protseduure (resolutsioon, unifitseerimine); l LP keel on Prolog, kuid LP ≠ Prolog; 1.1. Mis on loogiline programmeerimine? (2) l LP sobib tehisintellekti rakenduste programmeerimiseks: l loomuliku keele analüüs ( DCG grammatikareeglid) l ekspertsüsteemid (otsingu- ja järeldusreeglid) l kujundituvastus (tuvastusreeglid) l kitsendustega planeerimine (logistika, marsruudi otsimine) l rekursiivsete funktsioonide püsipunkti arvutus l jne l LP ei sobi: l Kiired numbrilised arvutused (n. maatriksarvutused, võrrandid) l OOP (kuigi on toetatud mõnes prologis) l kasu...
ameerika filosoof ja loogik Charles Sanders Peirce (1839-1914) ning saksa matemaatik Ernst Schröder. 2.4.2 Frege Saksa matemaatiku Gottlob Frege (1848-1925) 1879. aastal avaldatud lühikest teost Kontseptuaalne notatsioon ("Begriffsschrift") võib julgelt nimetada 19. sajandi olulisemaks loogikaraamatuks. Selles raamatus esitab Frege kogu kaasaja loogika fundamentaalseima süsteemi, nn. esimest järku predikaatarvutuse. Predikaatarvutus baseerub lausearvutusel, predikaatidel ja kvantoritel ``iga x jaoks kehtib ...'' ning ``on olemas selline x, et ...'', võimaldades kirjeldada asjade omadusi ja omavahelisi suhteid. Teatud mõttes on võimalik öelda - Wittgensteini parafraseerides -, et kõike, mida saab rangelt kirjeldada, saab kirjeldada predikaatarvutuse keeles. Viimane väide ei tähenda seda, et predikaatarvutuse keel on alati kõige praktilisem, selgem või mugavam meetod ükskõik mille rangeks kirjeldamiseks,
teadmuse esitamise ja arutluse meetodit võib nimetada loogikaks? Tooge näiteid teadmuse esitamise ja arutluse meetodite kohta, mis on ja mis ei ole loogikad. Kas loogika selgitab, kuidas inimene mõtleb? 28. Matemaatiline loogika:keel ja interpretatsioon. Erinevate interpretatsioonide näited. Matemaatiline loogika, on loogika formaliseeritud haru mis on mitmete teadmiste kujutamise keelte aluseks. Mat. Loogika keel on näiteks Prolog. 29. Lausearvutus, predikaatarvutus. Mittemonotoonsed loogikad. CLIPS, JESS ja nende edasiarendused. lk 21 30. Lause, muutuja, loogikatehe. Aksioom, tautoloogia. Tuletusreeglid, järeldamine, tuletus, teooria. Tõeväärtus. Mudel. 31. Semantika. Semantika erinevates valdkondades, selle seosed teadmistega Semantika on keeleüksuse (sõna, lause) tähendus antud kontekstis; aga ka keeleteaduse haru, mis uurib keele ja tegelikkuse suhteid. Üldisemalt, semantika räägib tähendusest; 32
tõesed, väistatud kolmanda seaduse põhjal ei saa nad aga korraga väärad olla. 4) Küllaldase aluse seadus : ühtki väidet ei saa pidada tõeseks ega vääraks ilma küllaldase aluseta. LOOGIKAHARUD NING NENDE NIMETUSED 1) TRADITSIOONILINE LOOGIKA – koosneb peamiselt aristotellikust süllogistikast ning sellega seotud väite- ja mõisteõpetusest. Mõisteloogika. 2) KLASSIKALINE LOOGIKA – lausearvutus ja predikaatarvutus. Klassikalises loogikas on väljend LAUSE sama tähendusega, mis PROPOSITSIOON(väitlause sisu, mis pole seotud konkreetse keele või ütlemisviisiga). Eesti keelses predikaatloogikas on väljendil lause veel tähendus KINNINE VALEM. Klassikalises loogikas järgitakse loogika kolme esimest põhiseadust ning JÄETAKSE VÄLJA KÜLLALDASE ALUSE SEADUS, sest klassikaline loogika ei käsitle propositsioonide ning maailma vahelisi seoseid.
Fonoloogia kordamisküsimused 1. Fonoloogiline hierarhia Lausung > intonatsiooniline fraas > fonoloogiline fraas > prosoodiline sõna () > jalg ehk kõnetakt (F, ) > silp () > moora () > segment ehk foneem 2. Foneem, allofoon Foneem foneemi ei öelda välja, s.o abstraktne üksus. Ei sõltu kontekstist, vaid hääldus eristab, nii on nt provansaali keeles 'õhtu' seRo ja 'saag' sero (kontekst on sama: se_o) Allofoon allofoone öeldakse selgelt välja. Konteksti poolt määratud, nt kas mõnes Lõuna-Rootsi dialektis on R alati silbi alguses ja r on alati silbi koodas. Foneemid eristavad alati tähendusi, allofoonid on foneemivariandid. Provanssaali r ja R eristavad tähendusi, järelikult need on kaks erinevat foneemi, samuti ph, p ja b hindi keeles. (ph on tegelikult üks häälik, aspireeritud p, aga seda märgitakse transkriptsioonis kahe tähega) Eesti keeles on klusiilide kirjapilt segadusseajav. Tegelikult "sada" hääldub [sata]. Mõni inimene hä...
Paradoksid -> tüüpide teeoria Filosoofilised vaated: logitsism HILBERT 1862-1943 ( LOOGIK JA MATEMAATIK) Filosoofilistelt vaadetelt formalist "Hilberti programm" matemaatikale kindlate aluste rajamiseks: Matemaatika alused tuleb esitada loogika keeles, range aksiomaatikana. Tuleb tõestada, et nimetatud aksiomaatika ei ole vastuoluline, st temast ei ole võimalik tuletada korraga mingit väidet A ja sellesama väite eitust -A KURT GÖDEL 1906-1978 1930: loogika baaskeel predikaatarvutus on täielik 1931: formaalne aritmeetika ei ole täielik, seda ei saagi lõpliku formaalse süsteemiga kirjeldada TURINGI MASIN 1935-1937: artikkel Turingi masinast: universaalsus, mittelahenduvus Lihtne abstraktne arvuti, mida kasutatakse arvutatavuse ja selle piiride uurimiseks. Kuna masina seisundite ja lindil olevate tähiste arv on lõplik, siis on ka tabel lõpliku suurusega ja seda saab hoida lindil. LAMBDA ARVUTUS 1936: Churchi tees universaalsus, mittelahenduvus
LÄÄNE FILOSOOFIA Leo Näpineni loengute lühikonspekt. Kasutatav TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOLIS aines HHF3080-FILOSOOFIA, HHF3081-FILOSOOFIA ja HHF3060-FILOSOOFIA FILOSOOFIA AINE Sõna ,,filosoofia" on tõlgitav ,,tarkuse armastus". Phileo = armastan. Sophia = tarkus. Filosoofia algselt tarkusearmastus oligi, kuid nii pole see siiski alati olnud. Ka veel hiljuti oli filosoofia ja kohati on ta praegugi pigem teadmisega kui tarkusega tegelev distsipliin. Filosoofia kujunes vana-kreekas 7.-6. sajandil e.m.a. seoses linnriikide ehk poliste tekkimisega. Mütoloogilne maailmapilt asendus filosoofilisega. Esimesed filosoofid olid Thales, Anaximandros, Anaximenes, Empedokles, Pythagoras, Herakleitos, Parmenides jt. Filosoofia oli algselt osa mütoloogiast. Eristatakse Herakleitose joont ja Parmenidese joont filosoofia ajaloos. Herakleitos tunnistas saamise (tekkimine, muutumine, kadumine) ja olemise (see, mis muutumise kestel samaks jääb) ühtsust ning r...
Lausearvutuse elemendid. Keskajal Boethius (480-525). Aristoteles ladina keelde. Skolastikud panevad aluse ka analüütilisele filosoofiale. Raimon Lull (1235-1315) Võtab kasutusele sümbolid. G. W. Leibnitz (1646-1716). Idee luua universaalne sümbolkeel, mida võib kontrolloda ka masinaga. Tegi palju matematilise loogika jaoks, kuid ei avaldanud. G. Boole (1815-64) Lausearvutus. Seda arendas A. de Morgan. (1806-1871). Gottlob Frege (1848-1925) Esimest järku predikaatarvutus. Georg Cantor (1845-1918). Hulgateooria ja paradoksid. Bertrand Russell (1872-1970). Paradoksid, tüüpide teooria Alfred Tarski (1902-1983). Objektkeel ja metakeel. Kurt Gödel (1906-1978). Mittetäielikkuse teoreem. Alan Turing (1912-1954). Universaalne programmeeritav arvuti. 4_fl_i-v L2. MÕISTEÕPETUSEST KONTEKST ja TEKST
mitteklassikaliseks.Ajalooliselt oli esimene loogika Aristotelese loogika, mis arenes edasi nn traditsiooniliseks loogikaks. Traditsiooniline loogika koosneb peamiselt aristotellikust süllogistikast ning sellega seotud väite- ja mõisteõpetusest. Traditsiooniline loogika on tänapäeval taandunud lausearvutuse ja predikaatarvutuse ees, mis on arvutuslikult võimsamad kui traditsiooniline loogika. Klassikaline loogika on lausearvutus ja predikaatarvutus. Mõneti lihtsustatult võib öelda, et traditsiooniline loogika on mõisteloogika ja klassikaline loogika on predikaatarvutus ehk predikaatloogika, kuna lausearvutus on esitatav predikaatarvutuse osana. Klassikalises loogikas on väljend lause sama tähendusega, mis propositsioon (väitlause sisu, mis pole seotud konkreetse keele või ütlemisviisiga). Klassikalises loogikas järgitakse loogika kolme esimest
ole võimalik tuletada korraga mingit väidet A ja sellesama väite eitust -A Intuitsionism: Brouwer & Heyting Ei aktsepteeri näiteks: A v -A - -A <=> A (((A => B) => A) => A) Formaalne süsteem Tarski ja Carnap Süntaks Tuletamisreeglite süsteem Semantika Kurt Gödel (1906-1978) 1930: loogika baaskeel predikaatarvutus on täielik 1931: formaalne aritmeetika ei ole täielik, seda ei saagi lõpliku formaalse süsteemiga kirjeldada Tõestuse idee: Tõestuse alusidee on tuntud valetaja paradoks: kas väide ``ma praegu valetan'' on tõene või mitte? Lihtne arutlus näitab, et ta ei saa olla kumbagi. Koostame nüüd sellise aritmeetilise väite A, mis ütleb, et seesama A ei ole tõestatav (see väide ei ütle, et A ei ole tõsi!). Siis ei saa väide A ise olla vale.
Ajalooliselt oli esimene loogika Aristotelese loogika, mis arenes edasi nn traditsiooniliseks loogikaks. Traditsiooniline loogika koosneb peamiselt aristotellikust süllogistikast ning sellega seotud väite- ja mõisteõpetusest. Traditsiooniline loogika on tänapäeval taandunud lausearvutuse ja predikaatarvutuse ees, mis on arvutuslikult võimsamad kui traditsiooniline loogika. Klassikaline loogika on lausearvutus ja predikaatarvutus. Mõneti lihtsustatult võib öelda, et traditsiooniline loogika on mõisteloogika ja klassikaline loogika on predikaatarvutus ehk predikaatloogika, kuna lausearvutus on esitatav predikaatarvutuse osana. Klassikalises loogikas on väljend lause sama tähendusega, mis propositsioon (väitlause sisu, mis pole seotud konkreetse keele või ütlemisviisiga). Klassikalises loogikas järgitakse loogika kolme esimest
Formaalsete esituste ainus otstarve on nendes sisalduv info hiljem jälle verbaalseks (ehk mõnda lingvistilisse keelde) tagasi "üles lugeda" — Hulgad: Hulgaalgebra (Cantori algebra), Hulgaaritmeetika (taastada). — Loogika: Lausearvutus, Predikaatarvutus, Tõestusmeetodid Mistahes formaalne esitus peab olema üheselt tõlgendatav! — Loogikaalgebra (Boole'i algebra) — Loogikafunktsioonid: minimeerimine, normaalkujud . . . — Algebralised struktuurid: "mitteformaalne" ≡ "verbaalne" (sünonüümid) Fundamentaalalgebrad: Võred, Rühmad, Ringid, Korpused
Matemaatika alused tuleb esitada loogika keeles, range aksiomaatikana. Tuleb tõestada, et nimetatud aksiomaatika ei ole vastuoluline, st temast ei ole võimalik tuletada korraga mingit väidet A ja sellesama väite eitust -A. Intuitsionism: Brouwer & Heyting Ei aktsepteeri näiteks: A v -A, - -A <=> A, (((A => B) => A) => A). Formaalne süsteem - Tarski ja Carnap: Süntaks, Tuletamisreeglite süsteem, Semantika. Täielikkus ja mittetäielikkus Kurt Gödel (1906-1978) 1930: loogika baaskeel predikaatarvutus on täielik 1931: formaalne aritmeetika ei ole täielik, seda ei saagi lõpliku formaalse süsteemiga kirjeldada Tõestuse idee: Tõestuse alusidee on tuntud valetaja paradoks: kas väide ``ma praegu valetan'' on tõene või mitte? Lihtne arutlus näitab, et ta ei saa olla kumbagi. Koostame nüüd sellise aritmeetilise väite A, mis ütleb, et seesama A ei ole tõestatav (see väide ei ütle, et A ei ole tõsi!). Siis ei saa väide A ise olla vale