VÄLISTATUD KOLMANDA SEADUS (ld principum exclusi tertii; ik law (principle) of the excluded third (middle) ): Kahest väitest, millest üks eitab seda, mida teine jaatab, on üks tingimata tõene ja teine väär ning kolmandat võimalust ei ole. Sümbolkujul: (p ¬p) , kus p tähistab otsustust (väidet), ¬ eitust ning disjunktsiooni (vähemalt ühe väite tõesust). Reegel välistab kompromissi vasturääkivas arutluses. Ei saa olla, et lause ja selle eitus on korraga väärad või korraga tõesed. (Reegli autoriks peetakse Aristotelest.) KÜLLALDASE ALUSE SEADUS (ld principum rationis sufficientis; ik principle of sufficient reason): Ühtki lauset ei saa pidada tõeseks ega vääraks ilma küllaldase aluseta. Reegli autoriks on G.W. Leibnitz. (Reegli kuuluvus klassikalisse loogikasse on vaieldav.) LOOGIKA AJALOOST (vt Tamme, Tammet, Prank. Loogika. 1997, lk 19-51) Parmenides (~540-470 eKr) eristab meeltel põhineva arvamuse dÒxa mõistusega
1) SAMASUSSEADUS : ühes ja samas arutluses peab kõiki väljendeid(märke, sõnu, fraase, lauseid) kasutama ühes ja samas tähenduses ehk ÜHE ARUTLUSE VÄLTEL EI TOHI MÄRKIDE, SÕNADE JA FRAASIDE TÄHENDUSED MUUTUDA. 2) VASTUOLU VÄLTIMISE SEADUS e. VASTURÄÄKIVUSSEADUS : ühes ja samas arutluses ei tohi ükski väide olla korraga tõene ja väär. 3) VÄLISTATUD KOLMANDA SEADUS : iga väite puhul on tõene kas väide ise või selle eitus ning kolmandat võimalust ei ole. Vastuolu vätlimise seaduse põhjal ei saa olla väide ja tema eitus korraga tõesed, väistatud kolmanda seaduse põhjal ei saa nad aga korraga väärad olla. 4) Küllaldase aluse seadus : ühtki väidet ei saa pidada tõeseks ega vääraks ilma küllaldase aluseta. LOOGIKAHARUD NING NENDE NIMETUSED 1) TRADITSIOONILINE LOOGIKA – koosneb peamiselt aristotellikust süllogistikast ning sellega seotud väite- ja mõisteõpetusest.
Seda seadust on peetud kõige tähtsamaks, kui mitte ainsaks loogikaprintsiibiks. Kui arutelus tekib vastuolu (vasturääkivus), siis sellise arutelu abil tehtud lõppjäreldus ei ole usaldatav, see võib tõestest eeldustest hoolimata olla juhuslikult väär või juhuslikult tõene. Välistatud kolmanda seadus (principle (law) ofthe exduded third or middle, ld principium exclusi tertii või tertium non datur): iga väite puhul on tõene kas väide ise või selle eitus ning kolmandat võimalust ei ole. Loogika õpetamise kogemus näitab, et mõnikord ei suudeta vastuolu vältimise seadusel ja välistatud kolmanda seadusel vahet teha. Oluline erinevus on see, et vastuolu vältimise seaduse põhjal ei saa väide ja tema eitus korraga tõesed olla, välistatud kolmanda seaduse põhjal ei saa nad korraga väärad olla. Välistatud kolmanda seadus on eraldi kasulik kas või nt vastuväitelise
Seda seadust on peetud kõige tähtsamaks, kui mitte ainsaks loogikaprintsiibiks. Kui arutelus tekib vastuolu (vasturääkivus), siis sellise arutelu abil tehtud lõppjäreldus ei ole usaldatav, see võib tõestest eeldustest hoolimata olla juhuslikult väär või juhuslikult tõene. Välistatud kolmanda seadus (principle (law) ofthe exduded third or middle, ld principium exclusi tertii või tertium non datur): iga väite puhul on tõene kas väide ise või selle eitus ning kolmandat võimalust ei ole. Loogika õpetamise kogemus näitab, et mõnikord ei suudeta vastuolu vältimise seadusel ja välistatud kolmanda seadusel vahet teha. Oluline erinevus on see, et vastuolu vältimise seaduse põhjal ei saa väide ja tema eitus korraga tõesed olla, välistatud kolmanda seaduse põhjal ei saa nad korraga väärad olla. Välistatud kolmanda seadus on eraldi kasulik kas või nt vastuväitelise
t t v v v t t t v t v v t t t v v v v t t v t t v v t t v t v v t v v v v t v v t t v v v v v t v Tõeväärtuste arvestusel peame silmas seda, et valemi tõeväärtuse arvutamise puhul mängivad rolli kõigi tema osalausete tõeväärtused. Seega a) esimese tehte tõeväärtuse saime nii: vaatasime tulpasid A ja C ning arvutasime välja nende disjunktsiooni tõeväärtuse ; b) teise tulba saime nii: vaatasime tulpa B implikatsiooni eeldusena ja eelmise tehte tõeväärtust implikatsiooni järeldusena ning arvutasime vastava tõeväärtuse lähtuvalt implikatsiooni tõeväärtuse reeglist; c) kolmanda tehte saime nii: eitasime eelmise tehte tõeväärtust; d) neljanda tehte saime nii: vaatasime tulba A ja eelmise tehte
Verbaalne esitus: Formaalne tähistus: Eitus: Mitte P, pole õige, et P. ~P, on ka teisi alternatiive. Ühe alternatiivi kehtimise nõue: PvQ P või Q Tingimuste samaaegse kehtimise nõue: P &Q P ja Q Järeldumine: P->Q Kui P siis Q Samaväärsus: P<->Q P ainult siis, kui Q Millist tehet nimetatakse binaarseks? Millised loogikatehted on binaarsed? Binaarsed tehted seovad kahte lauset, nendeks on konjuktsioon, disjunktsioon, ekvivalents ja implikatsioon. Millist tehet nimetatakse unaarseks? Millised loogikatehted on unaarsed? Unaarsed tehted on rakendatavad ühele lausele. Unaarseks on eitus. Milline aritmeetiline tehe vastab igale loogikatehtele? Konjuktsioon korrutamine. Disjunktsioon liitmine. Ekvivalents võrdumine. Implikatsioonile ei ole aritmeetikas analoogi. Millist loogikatehet nimetatakse loogikaliseks korrutamiseks
! või eitatakse. ! D1.4. Välistatud kolmanda seadus Kahest väitest, millest üks jaatab seda, mida teine eitab, on üks tõene ja teine väär. Alati. ! ! Kui üks väide ütleb JA ja teine sama asja kohta EI, siis üks nendest väidetest on 100% alati ! ! tõene ja teine 100% alati väär. Nt laused “Prantsusmaa kuningal on pikad küüned” ja selle ! ! eitus “Pole tõsi, et prantsusmaa kuningal oleksid pikad küüned” ei saa olla kunagi mõlemad ! ! tõesed või mõlemad väärad. Üks nendest on alati tõene ja teine alati väär. ! D1.5. Küllaldase aluse seadus Ühtki väidet ei saa pidada tõeseks ega vääraks ilma küllaldase aluseta. ! ! Ei peeta klassikalise loogika reegliks, ent sobib meile, sest õpime õigusteadusliku kallakuga ! ! loogikat
! või eitatakse. ! D1.4. Välistatud kolmanda seadus Kahest väitest, millest üks jaatab seda, mida teine eitab, on üks tõene ja teine väär. Alati. ! ! Kui üks väide ütleb JA ja teine sama asja kohta EI, siis üks nendest väidetest on 100% alati ! ! tõene ja teine 100% alati väär. Nt laused "Prantsusmaa kuningal on pikad küüned" ja selle ! ! eitus "Pole tõsi, et prantsusmaa kuningal oleksid pikad küüned" ei saa olla kunagi mõlemad ! ! tõesed või mõlemad väärad. Üks nendest on alati tõene ja teine alati väär. ! D1.5. Küllaldase aluse seadus Ühtki väidet ei saa pidada tõeseks ega vääraks ilma küllaldase aluseta. ! ! Ei peeta klassikalise loogika reegliks, ent sobib meile, sest õpime õigusteadusliku kallakuga ! ! loogikat
1. Sissejuhatus: 1.1. Mis on loogiline programmeerimine? l Programmeerimise paradigma l loogiline (LP) l funktsionaalne (FP) l jt Fookus: MIDA ARVUTADA l LP ja FP on deklaratiivsed programmeerimisstiilid; l LP põhineb loogika printsiipidel ja kasutab automaattõestamise protseduure (resolutsioon, unifitseerimine); l LP keel on Prolog, kuid LP ≠ Prolog; 1.1. Mis on loogiline programmeerimine? (2) l LP sobib tehisintellekti rakenduste programmeerimiseks: l loomuliku keele analüüs ( DCG grammatikareeglid) l ekspertsüsteemid (otsingu- ja järeldusreeglid) l kujundituvastus (tuvastusreeglid) l kitsendustega planeerimine (logistika, marsruudi otsimine) l rekursiivsete funktsioonide püsipunkti arvutus l jne l LP ei sobi: l Kiired numbrilised arvutused (n. maatriksarvutused, võrrandid) l OOP (kuigi on toetatud mõnes prologis) l kasutajaliideste programmeerimine (tugi on
SISSEJUHATUS MATEMAATILISSE LOOGIKASSE Kordamisküsimused (orienteeruv) Mõnede sümbolite tähendused sõna Materjal puudub & Konjuktsioon Ekvivalents üldisuskvantor Järeldumine Disjunktisoon ¬ Eitus olemasolukvantor Signatuur Implikatsioon Samaväärsus Loogiline järeldumine I. Lausearvutus Laused. Lausearvutuse tehted. Valem. Valemi tõeväärtus. Tõeväärtustabel. Laused Põhilised uuritavad objektid lausearvutuses on laused, mis võimaldavad pärineda ükskõik millisest valdkonnast. Oluline on, et igale lausearvutusele saaks vastavusse seada tõeväärtuse, mis kirjeldab lause tegelikkusele vastava määra. Eeldame, et käsitlevad laused rahuldavad järgmisi tingimusi: · Välistatud kolmanda seadus
Loogika harjutuseksami küsimused-vastused 1. Hägusloogikas võib lause tõesusaste olla: 0,25 2. Kui unaarne predikaat ei ole samaselt väär, siis on see kindlasti: Kehtestatav 3. Milline traditsioonilise loogika põhireegel ei ole otseselt ega kaudselt kasutusel klassikalise loogika põhialuste fikseerimisel: Küllaldase aluse seadus 4. Kuidas jagunevad küsimused vastuste hulga alusel? Õiged ja ebaõiged. 5. Atributiivse lihtväitena termin on alati piiritletud, kui ta esineb… Eitava väite predikaadina 6. Disjunktsioonitehte eitus on …
Lausearvutuslauseid tähistatakse formaalselt suurtähtedega: A, B, P, Q … Lihtlausetest koostatakse kindlate sidesõnade ja loog konstruktsioonide abil liitlauseid. Lausearvutuse lihtlauseid seotakse liitlauseteks 5 loogilise konstruktsiooni ehk loogikatehte abil. Binaarsed loogikatehted seovad kahte lauset (4 tk), unaarne loogikatehe on rakendatav üksikule lausele (1 tk – eitus). Loogiline korrutamine ehk konjunktsioon ehk JA-tehe. Loogiline liitmine ehk disjunktsioon ehk VÕI- tehe. Ekvivalents on seotud implikatsiooniga ehk 𝑷↔𝑸 on nagu 𝑃→𝑄 ja samal ajal ka 𝑄→𝑃. Tehted inversioon, konjunktsioon ja disjunktsioon on elementaarsed loogikatehted – nad pole avaldatavad mingite teiste lihtsamate loogikatehete kaudu, kuna nad ise ongi „lihtsaimad“ tehted. Nii liht- kui ka liitlausete formaalseid esitusi nim lausearvutusvalemiteks -> Def – Lihtlause formaalne tähis (nt: A) ja üksik tõeväärtuskonstant 0 1 on valem. Kui A on valem,
välistatud kolmanda seadus, Aristoteles (384-322) vb aluse seadus. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) Loogika roll Loogika ei suuda üldjuhul öelda meile, millised väited või uskumused vastavad tõele. Tõde tähendab, et me teame, kuidas asjad on. Loogika ei ütle meile seda. Loogika valdamine aitab meil otsustada, kas meie väljakujunenud uskumused ja seisukohad on omavahel kooskõlas. Kooskõlalisus Hulk väiteid või uskumusi on omavahel kooskõlas parajasti siis, kui kõik selle hulga liikmed saavad olla korraga tõesed. Vastasel juhul on see hulk mittekooskõlaline. Sellisel juhul ütleme, et vaatlusaluseid väiteid ei saa korraga jaatada. Näide: Oletame, et keegi usub kõike järgnevat: Igaüks, kes võtab astroloogiat tõsiselt, on hullumeelne. Mari on minu õde ja ükski minu õdedest ei ole abielus hullumeelsega. Mari abikaasa Jüri loeb igal hommikul ajalehest horoskoopi.
Lausearvutus on loogilise mõtlemise matemaatiline mudel. Lausearvutuse lause on lause, millele saab omistada tõeväärtust(0,1). Tõeväärtuseid on kaks, 0-väär, 1-tõene. Lihtlause on lihtsaim lausearvutuse lause. Lausearvutuse lauseid tähistatakse suutre tähtedega A, B, C. Liitlause koosneb lihtlausetest ning neid siduvatest konstruktisoonidest ja sidesõnadest. Lausearvutuse loogikatehted on inversioon, konjunktsioon, disjunktsioon, implikatsioon, ekvivalents. Binaarsed tehted on need tehted, mida saab teha kahe argumendi korral(konjunktsioon, disjunktsioon, implikatsioon, ekvivalents). Unaarne tehe on tehe, mida saab rakendada üksikule argumendile/operandile(inversioon). Ekvivalents on kahepoolne implikatsioon. Elementaarsed loogikatehted on inversioon, konjunktsioon, disjunktsioon, kuna nende abil saab esitada kõik teised tehted.
Lausearvutuslauseteks võivad olla: " 19 on algarv " " popcorn on hea " verbaalne esitus formaalne tähistus " jänesed jooksevad vihmaveetorudes " P eitus: __ Lausearvutuslauseteks ei ole (ei kõlba): " mitte P "; " pole õige, et P " P " kõigi maade proletaarlased, ühinege " " olla või mitte olla " Ühe alternatiivi kehtimise nõue: " P või Q " P∨Q
saab teostada õigustatud valiku mingite alternatiivide vahel.) 2_fl_vi-x OTSESED JÄRELDUSED (ik immediate inference) Otsese järelduse eelduseks on üks atributiivne lihtotsustus. Me juba tutvusime otseste järeldustega mida saab teha loogilise ruudu abil. 1. Järeldused muutmise teel (ik obversion): jaatav otsustus muutub eitavaks, eitav jaatavaks, predikaat asendatakse endisele vasturääkivaga. Järeldus muutmise teel on tegelikult ühe ja selle-sama ütlemine teisel viisil. Järelduse skeemides on joone peal eeldus, joone all järeldus. SaP: Kõik S on P Kõik varesed on linnud Ükski S ei ole mitte-P Ükski vares ei ole mittelind. SeP: Ükski S ei ole P Ükski rumalus ei ole tegemata Kõik S on mitte-P Kõik rumalused on tehtud SiP:
Tingimused 1. Välistatud kolmanda seadus. Iga lause on kas tõene või väär. 2. Mittevasturääkivuse seadus. Ükski lause pole korraga tõene ja väär. Lausearvutuse valemid on parajasti need, mida saab koostada alltoodud reeglite järgi: 1. Iga lausemuutuja on lausearvutuse valem. 2. Kui F on lausearvutuse valem, siis ka F on lausearvutuse valem. 3. Kui F ja G on lausearvutuse valemid, siis ka (F&G), (FVG),(F->G) ja (F<->G) on lausearvutuse valemid. Osavalem : Kõiki antud valemi konstrueerimise käigus tekkinud valemeid nimetatakse selle valemi osavalemiteks ehk alamvalemiteks, konstrueerimise viimasel sammul kasutatud suhet aga peatehteks.
MATEMAATILINE LOOGIKA 1. LAUSEARVUTUS Lausearvutuse tehted: Eitus (¬) Konjuktsioon (&) Disjunktsioon (V) Implikatsioon (->) Ekvivalents (<->) Lausearvutuse valemid on parajasti need, mida saab koostada alltoodud reeglite abil: o iga lausemuutuja on lausearvutuse valem o kui F on lausearvutuse valem, siis ka ¬F on lausearvutuse valem o kui F ja G on lausearvutuse valemid, siis ka (F&G), (FVG), (F->G) ja (F<->G) on lausearvutuse valemid Lausearvutuse valemi F tõeväärtus etteantud väärtustusel leitakse järgmiste reeglite abil: o 1) Kui F = ¬G, siis F = 1 parajasti siis, kui G = 0
väidavad, kusjuures sellel väitel on olemas ühene tõeväärtus. o . Välistatud kolmanda seaduse nõudel jäävad kõrvale kõik küsilaused ja paljud hüüdlaused, samuti kõik käsud ning mõttetud sõnaühendid. Mitte-vasturääkivuse seadus välistab mitmesugused paradoksid, näiteks „See lause siin on väär“, ja muud taolised väited, mille tõeväärtust pole võimalik üheselt määrata. o Tehte tulemuseks saadud lause tõeväärtus sõltub ainult komponentlausete tõeväärtustest. 2. Lausearvutuse tehted. Tehete järjekord. Lausearvutuse valem. [1] Tehted o Eitus (märk ¬). Igapäevakeeles väljendab eitus lause mittekehtimist, näiteks „Lehis ei ole okaspuu“. Selle lause võib kirja panna valemiga ¬A, kus A = „Lehis on okaspuu“. o Konjunktsioon (märk &) tähendab seost „ja“. Näiteks „Puhub tuul ja sajab vihma“ on valemkujul A & B.
Lihtlause on lihtsaim võimalik lausearvutuslause. Lausearvutuslauseid tähistatakse formaalselt suurtähtedega: A, B, P, Q … Lihtlausetest koostatakse kindlate sidesõnade ja loog konstruktsioonide abil liitlauseid. Lausearvutuse lihtlauseid seotakse liitlauseteks 5 loogilise konstruktsiooni ehk loogikatehte abil. Binaarsed loogikatehted seovad kahte lauset (4 tk), unaarne loogikatehe on rakendatav üksikule lausele (1 tk – eitus). Loogiline korrutamine ehk konjunktsioon ehk JA-tehe. Loogiline liitmine ehk disjunktsioon ehk VÕI-tehe. Ekvivalents on seotud implikatsiooniga ehk 𝑷 ↔ 𝑸 on nagu 𝑃 → 𝑄 ja samal ajal ka 𝑄 → 𝑃. Tehted inversioon, konjunktsioon ja disjunktsioon on elementaarsed loogikatehted – nad pole avaldatavad mingite teiste lihtsamate loogikatehete kaudu, kuna nad ise ongi „lihtsaimad“ tehted. Nii liht- kui ka liitlausete formaalseid esitusi nim lausearvutusvalemiteks ->
Riiklik toetus on piisav selleks, et üritust läbi viia. Ürituse läbiviimiseks on tarvilik, et oleks riiklik toetus. Kui koos teoreemiga (Kui A, siis B) kehtib ka pöördteoreem (Kui B, siis A), siis võetakse tavaliselt need teoreemid kokku üheks lauseks, kasutades ühte väljenditest ,,on tarvilik ja piisav," ,,siis ja ainult siis," ,,parajasti siis, kui.". Näide: Teoreem: Nelinurk on rööpkülik parajasti siis, kui tema diagonaalid poolitavad teineteist. Näide: Definitsioon: Rööpkülikuks nimetatakse nelinurka, mille diagonaalid poolitavad teineteist. Olemasolu ja üldistuse kvantorid Paljudes matemaatika lausetes esinevad sõnad ,,kõik," ,,iga," ,,leidub," ,,eksisteerib," ,,on olemas," ,,vähemalt üks.". Osa neist lausetest on tõesed, osa väärad. Selliste lausete kirjutamisel kasutatakse loogikas kahte märki. Üks neist on olemasolu
Küsimus 3 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Kui loogikaavaldises pole sulgudega määratud tehete järjekorda, siis KONJUNKTSIOONi, DISJUNKTSIOONi ja INVERSIOONi leidumisel avaldises . . . Vastus 1 kõige esimesena tehakse loogikaavaldises INVERSIOON Vastus 2 ...selle järel järgmisena tehakse KONJUNKTSIOON Vastus 3 ...ja viimasena tehakse DISJUNKTSIOON Küsimus 4 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Loogikatehetel on olemas võõrsõnalised nimetused. Vastus 1 Loogiline lahutamine on pole olemas sellist tehet! Vastus 2 Loogiline liitmine on disjunktsioon
Lausearvutus 1) a. Lausearvutuse lausetele esitatavad tingimused: a.i. Välistatud kolmanda seadus. Iga lause on kas tõene või väär. a.ii. Mittevasturääkivuse seadus. Ükski lause ei saa olla nii tõene kui ka väär. a.iii. Tehteid võib teostada ükskõik milliste lausetega. a.iv. Tehte tulemuseks saadud lause tõeväärtus sõltub ainult komponentlausete tõeväärtustest. 2) a. Eitus (märk ¬). Lause mittekehtimine. b. Konjunktsioon (märk &) tähendab seost ,,ja". c. Disjunktsioon (märk ) väljendab seost ,,või". Siin on kasutusel mittevälistav ,,või". d. Implikatsioon (märk ) väljendab tingimuslikku konstruktsiooni ,,kui ..., siis ...". e. Ekvivalents (märk ) tähendab matemaatikas sagedasti kasutatavat seost ,,parajasti siis, kui". f. Tehete järjekord kõrgemast madalamani ¬, &, , , . g. Def
uuega (arutlus). Struktuurist. Otsustus on mõte, milles subjekt on jaatavalt või eitavalt seotud predikaadiga. Antud definitsioonis Ilmar Lilleorg Loogika vihik 2006 sisalduvad otsustuse struktuuri põhilised koostisosad e. elemendid subjekt ja predikaat. Subjektiks nimetatakse mõtte elementi, mida iseloomustab /või ei iseloomust/ teatud predikaat. Sõnal "subjekt" on mitmeid erinevaid tähendusi. Keeleteaduses on subjekt (ld.k. - subjectum) lauses aluseks, predikaat (ld.k. - predicatum) - seevastu öeldiseks. Loogikas neid sõnu ei tõlgita ja otsustuse (mõtte) konstruktsioonis on need selle põhielementideks. Lisaks põhielementidele kuuluvad otsustuse ülesehitusse koopula (ld.k. - copula) ehk side, mis võib eesti
võrdsed. (Ei tohi olla liiga kitsas ega lai) Definitsioonis ei tohi olla ringi- mõistet ei tohi defineerida sama mõiste kaudu, mis ise muutub mõistetavaks defineeritava kaudu. NT: Pöörlemine on telje ümber liikumine Definitsioon peab olema selge- kasutada ei või segaseid väljendeid. NT: Arhidektuur on tardunud muusika Definitsioon peab olema jaatav- Defineeritava mõiste sisu saab avada ainult jaatava mõiste kaudu. Eitus ei määratle midagi. NT: Teater on maja, kus ei elata. (Maju, kus ei elata on palju) Kõiki mõisteid ei saa defineerida ja nende puhul kasutatakse teisi, defineerimisega sarnaseid võtteid: Kirjeldamine-individuaalsete objektide iseärasuste väljatoomine (lillede ehituse) Iseloomustamine- Toob esile objekti kõige olulisemad seesmised tunnused, lahus selle välisest kirjeldamisest (julge sõdur)
võrdus (−a) b = − (ab). Võttes siin a := 1, saame väite teise osa. (d) Väite (c) ning aksioomide (M2) ja (M1) põhjal (−a) (−b) = (−a) ((−1) b) = ((−1) (−a)) b = ab. 1.1.2 Järjestatud korpus Definitsioon. Korpust F nimetatakse järjestatud korpuseks (ordered field, упорядоченное поле), kui tema elementide vahel on defineeritud selline seos <, mis rahuldab järgmisi tingi- musi: (O1) iga kahe elemendi a ja b korral kehtib parajasti üks tingimustest a = b, a < b, b < a (trihhotoomia reegel), (O2) kui a < b ja b < c, siis a < c (transitiivsus), (O3) kui a < b, siis a + c < b + c (liitmise monotoonsus), (O4) kui a < b ja c > 0, siis ac < bc (korrutamise monotoonsus). Märgime, et tingimuse b < a võib kirjutada ka kujul a > b. Me nimetame elemente a > 0 positiivseteks ja elemente a < 0 negatiivseteks. Tähistame a 6 b, kui kehtib üks tingimustest a < b ja a = b
ka mõne füüsikalise aspekti poolest. Punktid ja kujud: pildi globaalsed omadused on määratud punktide asukohaga. Mistahes kaks pilti, mis erinevad oma kuju poolest, erinevad ka oma punktide asetuse poolest. Kaasumistees. Kaasumisteesi saab esitada kehtivana kõigis võimalikes maailmades, st paratamatult kehtivana ning nõrgemas versioonis, kehtivana üknes meie maailmas. M omadused kaasuvad F omadustega parajasti siis, kui paratamatult kõikidel asjadel, millel on samad F omadused, on ka samad M omadused. Eeldatakse, et see on asümmeetriline seos ja vastupidine seos ei kehti. F omadused määravad ära M omadused nii, et kahel entiteedil, millel on täpselt samad F omadused, peavad olema ka samad M omadused. M omadused ei saa muutuda ilma muutuseta F omadustes. Kuid ei saa liikuda vastupidi: sellest, et kahel entiteedil on samad M omadused, ei järeldu, et neil peavad
TARTU ÜLIKOOLI TEADUSKOOL PROGRAMMEERIMISE ALGKURSUS 2005-2006 Sisukord KURSUSE TUTVUSTUS: Programmeerimise algkursus.........................................6 Kellele see algkursus on mõeldud?..................................................................6 Mida sellel kursusel ei õpetata?.......................................................................6 Mida selle kursusel õpetatakse?......................................................................6 Kuidas õppida?.................................................................................................7 Mis on kompilaator?.............................................................................................8 Milliseid kompilaatoreid kasutada ja kust neid saab?......................................8 Millist keelt valida?...........................................................................................8 ESIMENE TEEMA: sissejuhatav sõnavõtt ehk 'milleks on v
Filosoofia 1.loeng MIS ON FILOSOOFIA? I Filosoofia mõiste. Traditsiooniliselt on mõiste tuletatud kreeka sõnadest philein, phileo – armastama ja sophia – tarkus. Keeleteadlased on aga sellele väitele vastu. Sõna philosophia esmakasutus langeb u. 5-4. saj e.m.a. Herodotos (5.saj e.m.a) kasutas verbi philosopheo, kuid see tähendas silmaringi avardamist, mitte filosofeerimist. Pythagoras (6.saj e.m.a) olevat end nimetanud tarkusearmastajaks ja ei lubanud end targaks nimetada, see olla kohane vaid jumalatele. Ka Sokrates (5.saj e.m.a) oli tarkusearmastaja, kes vastandas end sofistidele, kes pidasid end tarkadeks. Esimeseks filosoofiks peetakse Thalest (7.-6.saj e.m.a) Filosoofia määratlusi: Simon Blackburn määratleb filosoofiat kui midagi, mis uurib maailma üldiseid ja abstraktseid tunnuseid ja mõtlemise kategooriaid, (F uurib mille abil maailmale läheneme). Elmar Salumaa määratleb filosoofiat kui igasugust inimlikku järelemõtlemist, mille abil püüab ta jõuda se
tõene väide „haarab tõepärastena kaasa“ teised väited ja kogu diskursuse. Diskursus on ’tõepäratu’, kui ükski loetletud tingimustest on täitmata. 13. Argumendi eeldused peavad moodustama küllaldase aluse – mida see tähendab? 1) eeldused, mis kokku moodustavad aluse, 2) eeldustest on tuletatav järeldusotsustus1 ja 3) järeldus - järeldusseos aluse ja järeldusotsustuse vahel. argumendi alus küllaldane siis, kui sellest saab teha parajasti ühe järelduse. 14. Argument peab olema testitav (kontrollitav) – mida see tähendab? 15. Millised on formaalse loogika neli põhireeglit ja milline on nende tähendus informaalses loogikas ehk argumentatsiooniteoorias? Formaalse loogika põhireeglid: Samasuse seadus Mittevasturääkivuse seadus Välistatud kolmanda seadus Küllaldase aluse seadus
asjadele, mis pidid meis ideid tekitama. Kantiaanlikult mõeldes loobume sellest sõltuvusest asjadest. Mõistame põhjuslikkust, seadust, aega ja ruumi hoopis tunnetuse tarvilike viiside või eeltingimustena need moodustavadraamistiku, mis aitab organiseerida meie kogemust. Aeg (sisemeele kaemuse vorm); ruum (välismeele kaemuse vorm). Kategooriad ehk puhtad arumõisted: ainsus, paljus, kõiksus, reaalsus, eitus, piiramine, substants, põhjus, vastastikusus, võimalikkus, eksistents, paratamatus 61. Mõtlemine ja objektid "Senini on eeldatud, et meie teadmised peavad vastama objektidele. Ent kõik katsed meie teadmist objektidest laiendada, nende kohta midagi aprioorselt mõistete abil kindlaks tehes, on nendelt eeldustelt luhtunud. Seetõttu proovigem, et kas meid saadab metafüüsikassuurem edu, kui me eeldame, et objektid peavad vastama meie teadmisele
Programmeerimise algkursus 1 - 89 Mida selle kursusel õpetatakse?...................................................................................................3 SISSEJUHATAV SÕNAVÕTT EHK 'MILLEKS ON VAJA PROGRAMMEERIMIST?'......3 PROGRAMMEERIMISE KOHT MUUDE MAAILMA ASJADE SEAS.............................3 PROGRAMMEERIMISKEELTE ÜLDINE JAOTUS ..........................................................7 ESIMESE TEEMA KOKKUVÕTE........................................................................................8 ÜLESANDED......................................................................................................................... 8 PÕHIMÕISTED. OMISTAMISLAUSE. ...................................................................................9 ................................................................................................................................................. 9 SISSEJUHATUS.......
· Antud kõigi sõnade hulk S tähestikus A. Sõna v on sõna w prefiks, kui eksisteerib sõna uS nii, et w = vu. Näidata, et suhe ,,sõna v on sõna w prefiks" on osalise järjestuse suhe hulgal S. ALGEBRAD JA ALGEBRALISED SÜSTEEMID. Algebra on süsteem A = < M,S >, kus M on algebra alushulk (objektide hulk) ja S on algebra signatuur (operatsioonide hulk). Näiteks < 2 A , , , ) on algebra, mille alushulgaks on hulga A astmehulk ning signatuuriks tuntud hulgateoreetilised tehted (täiend, ühend ja ühisosa). Vastavalt tehetes osalevate operandide arvule määratakse signatuuri tüüp, mis on antud näites määratud vektoriga (1,2,2). Põhimõisted · Grupoid - lihtsaim algebra < M, · >, kus · on 2-kohaline operatsioon. · Parempoolne ühikelement e : mM (m · e = m). · Vasakpoolne ühikelement e : mM (e · m = m). · Ühikelement e : mM (m · e=e · m = m). Igas grupoidis pole rohkem kui üks ühikelement. · Grupoid on idempotentne, kui mM (m · m = m).
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
