4)kirjutada teise sulgu varem ette toodud ühistegurid oma märgiga am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)= =a(m+n)+b(m+n)=(a+b)(m+n) NB kontrollida, kas saadud kaksliikmete läbi korrutamisel saab esialgse avaldise 13.Kahe üksliikme summa ja vahe korrutis - võrdub nende üksliikmete ruutude vahega selgitus: ainult ruudud tulevad sellepärast, et neljast korrutisest teine ja kolmas koonduvad NB see on ka nn. ruutude vahe valem NB kasutada saab siis, kui sulud erinevad ainult märgi poolest 14.Kaksliikme ruut (summa) - esimese liikme ruut + kahekordne esimese ja teise liikme korrutis + teisi liikme ruut kui valemi kasutamine on raske, siis kasuta ruudu tähendust ja korruta kui kaksliikmeid 15.Kaksliikme ruut (vahe) - esimese liikme ruut - kahekordne esimese ja teise liikme korrutis + teise liikme ruut
23. Kesknurk, ringjoone kaar, kõõl. Kesknurk on nurk, mille tipp asetseb ringjoone keskpunktis ja haaradeks on raadiused. Lõiku, mis ühendab ringjoone kahte punkti nimetatakse kõõluks. Ringjoone kaar… --------------------------- 24. Piirdenurk, selle omadus. Thalese teoreem, Pythagorase teoreem. Nurka, mille tipp asetseb ringjoonel ja haaradeks on kõõlud nimetatakse piirdenurgaks. Thalese teoreem – Diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurkne! Pythagorase teoreem – Kaatetite ruutude summa on võrdne hüpotenuusi ruuduga. Valem - a² + b² = c² a² = c² - b² b² = c² - a² 25. Ringjoone puutuja ja puutepunkti joonestatud raadiuse joonestamine. Sirge, mis omab ringjoonega ainult ühe ühise punkti, nimetatakse ringjoone puutujaks. Puutepunkti tõmmatud ringi raadius on puutujaga alati risti. 26. Hulknurk, korrapärase hulknurga ümber- ja siseringjoone joonestamine. Hulknurk on kumera murdjoonega piiratud tasandi osa.
tegurite astendajad liidetakse. Näide (5 x 2 y 3 z ) (2 xy 2 z 2u ) 10 x 3 y 5 z 3 u Üksliikmete jagamisel kordajad jagatakse ja ühesuguste täheliste tegurite astendajad lahutatakse. Näide (5 x 2 y 3 z 4v) : (2 xy3 z 2 ) 2,5 x 21 y 33 z 42 v 2,5 xz 2v algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Hulkliikmed ja nende liitmine-lahutamine Hulkliikmena mõistetakse üksliikmete algebralist summat. Selles summas esinevaid üksliikmeid nimetatakse hulkliikme liikmeteks. Hulkliikmete liitmisel tuleb liidetavate hulkliikmete kõik liikmed kirjutada üksteise järele koos nende märkidega ja sarnased liikmed koondada. Näide ( 4 x 2 3 x 2 y y ) ( x 2 y 5 x 2 y ) 4 x 2 3 x 2
x +3 3x - 3 x+2 FUNKTSIOONI PIIRVÄÄRTUSE ARVUTAMINE Tülikas ja aeganõudev on funktsiooni piirväärtust leida, arvutades funktsiooni väärtusi selle koha ümbruses. Piirväärtuse arvutamiseks kasutatakse tavaliselt funktsiooni piirväärtuse omadusi ning mitmesuguseid avaldiste lihtsustamise võtteid. Need on ühise teguri sulgude ette toomine, summa ja vahe ruutude ning kuupide abivalemeid, ruutkolmliikme teisendamine korrutiseks, taandamine jne. Funktsiooni piirväärtuse arvutamisel on kasulik tunda piirväärtuse omadusi. Olgu f(x) ja g(x) pidevad funktsioonid ning c konstant. Kehtivad järgmised omadused: · lim[ f ( x) ± g ( x)] = lim f ( x) ± lim g ( x) xa xa xa · lim[ f ( x) g ( x)] = lim f ( x) lim g ( x) xa x a xa f ( x ) lim f ( x)
3. Leia lineaarliikme kordaja b väärtus, kui ruutfunktsiooni y = 3x 2 bx + 4 graafik läbib punkti A( 2; 2). Lahendus: Siin tuleb muutujate x ja y asemel panna vastavad väärtused ehk x = 2 ja y = 2. Saame 2 = 3 . (2)2 b . (2) + 4; 2 = 12 + 2b + 4; 2b = 10; b = 5. Vastus: b = 5 Ratsionaalavaldised ja murdvõrrandid Ruutkolmliikme tegurdamine 1. Tegurda ruutkolmliige x2 x 30. Lahendus: Kõigepealt leiame antud ruutkolmliikme nullkohad. Selleks lahendame ruutvõrrandi x2 x 30 = 0. Siis saame: x 2 x 30 0; x 0,5 0,5 2 30 ; x 0,5 30,25 ; x 0,5 5,5; x 1 0,5 5,5 6; x 2 0,5 5,5 5. Võrduse ax2 + bx + c = a(x x1)(x x2) järgi saame tulemuseks, et x2 x 30 = (x 6)(x + 5) 2. Tegurda ruutkolmliige 2x2 5x 3. Lahendus:
( ) ( )= ( ) = 5+3 2 6 6 5+ 3 6 5+ 3 6 5+ 3 3 · = = 5- 3 ( 5- 3 5+ 3 )( ) 22 25 - 311 11 Laiendame murdu nii, et nimetajasse tekiks ruutude vahe valem, s.o. (a+b)(a-b)=a²-b². Ratsionaalarvulise astendajaga aste m , kui n2 ja a>0. a = n am n 1 2
Põhivara 7. klass Protsendi mõiste: Ühte sajandikku osa mingist kogumist, tervikust nim. protsendiks (%). Jagatise väljendamine protsentides: Tihti on vaja teada, mitu % moodustab üks arv teisest. Kahe arvu jagatise väljendamiseks protsentides leiame selle jagatise esmalt kümnendmurruna ning korrutame siis sajaga. Näide: Arv 3 arvust 4 moodustab? 3 : 4 = 0,75 0,75 * 100 = 75% Tekstülesannete lahendamine % abil: Metsapäeval oli kavas istutada 2400 puud. Õpilased ületasid ülesande 16% võrra. Mitu puud istutati? Antud ülesannet saab lahendada kahel viisil. võimalus: 1% on 2400 : 100 = 24 16% on 16 * 24 = 384 16% 2400-st on 384 Kuna plaan ületati 16% võrra, mis vastab 384 puule, siis istutati 2400 + 384 = 2784 puud. võimalus: Mitu puud on 16% ? 2400 puud on 100% x puud on 16% x = 2400 * 16/100 = 384 Mitu puud istutati? 2400 + 384 = 2784
10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium JUURVÕRRANDID Kõiki juurvõrrandi lahendeid tuleb alati kontrollida, sest lahendamise käigus võivad tekkida võõrlahendid. Samas tuleb veenduda, et lahendamise käigus lahendeid kaotsi ei läheks. Lahendame võrrandi 9 x 8x 2 9 x 3. Mõnikord leitakse enne võrrandi lahendamist võrrandi määramispiirkond. Tõstame mõlemad võrrandi pooled ruutu, siis saame 9 x 8x 2 9 x 2 6 x 9, x 8x 2 9 x 2 6 x. Kas võrduse mõlemat poolt võib nüüd jagada x-ga ? Ei või, sest sel juhul läheb üks lahend x = 0 kaotsi ! x 8x2 9 (x 6) 0, millest järeldub, et üks lahend võib olla x 0. Lahendame nüüd võrrandi 8x 2 9 x 6, 8x 2 9 x 2 12 x 36, 7 x 2 12 x 27 0. 9
St saadud lahendeid tuleb kontrollida, sest paarisarvulise astendajaga astendamisel võivad tekkida võõrlahendid. Üks võimalus seda teha, on vaadata, kas lahendi asendamisel algvõrrandisse tekib samasus, teine võimalus on leida võrrandi määramispiirkond ja siis uurida, kas saadud lahendid sinna kuuluvad. Näide 27 Lahenda võrrand. 2x 4 x Lahendus: Jätame võrrandi vasakule poolele ainult juure ja tõstame siis mõlemad pooled ruutu: 2 x x4 2 2 x x 2 8 x 16; x 2 8 x 16 2 x 0; x 2 9 x 14 0; 9 81 56 9 25 x ; 2 2 95 x ; 2 9 5 14 x1 7; 2 2 95 4 x2 2. 2 2 Kontroll: x1 = 7 Vasak pool: 2 7 4 9 4 3 4 7. Parem pool: 7
Üksliige ehk monoom on arvuliste ja täheliste tegurite korrutis. Ülesanne 2 Arvutamise abivalemid : Valemi Valem Sõnades Näiteks nimetus Kahe arvu summa ja samade arvude vahe Ruutude vahe (a+b)(a-b)= a²- b² korrutis võrdub nende (a + 2b)(a 2b)= a²-(2b)² = valem arvude ruutude vahega. a² - 4b² Kahe arvu summa ruut on võrdne esimese arvu Summa ruudu (a+b)² = a² + 2ab + b² ruuduga, millele on (a + 3)² = a² +2 * a * 3 + 3² valem liidetud nende arvude =a²+ 6a + 9 kahekordne korrutis ja teise arvu ruut.
-2 x < -1 -1 < x < 1 ehk x [-2,-1[ ]-1,1[. Jättes eelneva võrratuse veel lõplikult lahendamata, toome siinkohal ära võrratuse lahendamise üldise eeskirja. Niisiis: võrratuse lahendamisel leitakse algul selle MP, seejärel teisendatakse võrratust liikmete üleviimise abil nii, et selle parem pool osutub nulliks. Nüüd on võrratuse teine pool üldiselt mitme avaldise korrutis ja/või jagatis. Viimasest võib ära jätta kõik ruutjuured ja alati positiivsed tegurid (näiteks alati positiivsed 5 ruutkolmliikmed jne); paarituarvuliste astendajate korral võib ära jätta astendaja. Kõik alati negatiivsed tegurid võib asendada arvuga -1. Järgnevalt leitakse kõigi ülejäänud tegurite nullkohad (lahendades vastavad võrrandid) ning kantakse need arvteljele. Seejärel tõmmatakse pidev kõverjoon, mis lõikab arvtelge ainult sellele
Ruutvõrrandi lahendid on x1 = 3 ja x2 = -2, kuid 3 on võõrlahend, seega murdvõrrandi lahendiks on -2. Juurvõrrand Juurvõrrandiks nimetatakse võrrandit, kus muutuja on juure all. Ei ole juurvõrrand, sest muutuja x ei ole juure all. Juurvõrrandit lahendadakse, viies juurega liikmed ühele poole ja juureta liikmed teisele poole ning seejärel tõstetakse mõlemad pooled ruutu. Näide: Ruututõstmist võib kasutada mitu korda, kui seda on juurtest lahtisaamiseks vaja. Edasi lahendatakse võrrandit nagu tavalist ruutvõrrandit. Antud näites -> Viime võrrandi ruutvõrrandi tavakujule, kust saame lahenditeks x1 = 3 ja x2 = 6, kuid kontrolli käigus selgub, et 6 ei ole sobiv lahend, seega on juurvõrrand lahendiks 3.
Näide 12. Lihtsustada avaldis ⋅ − 1 ⋅ . n 2 + an n − 1 1 − a2 Lahendus. Toome esimese murru nimetajas ühise teguri sulgude ette. Sulgudes viime ühisele nimetajale. Esimese murru lugeja ja viimase muru nimetaja taandame. Viimase murru lugejas toome kahest esimesest ja kahest viimasest liikmest teguri sulgude ette nii, et mõlemasse sulgu jääks üks ja sama avaldis. Siis toome selle avaldise 1 − n 3 omakorda sulgude ette. Taandame. Lahutame avaldise n3 − 1 abivalemiga teguriteks. Taandame. 20 a2 −1 n n −1 a − an − n + n 3 4 ⋅ −1 ⋅ = n 2 + an n − 1 1 − a2 1 a 2 − 1 n/ − n/ + 1 a(1 − n3 ) + n(1 − n3 )
võrdusmärki, Vietè'i teoreem: x1 + x 2 = - p ja x1 x 2 = q . x -1 = 25 - x 2 ( )2 tõstame mõlemad pooled ruutu ( x -1) 2 = ( 25 - x 2 ) 2 x 2 - 2 x + 1 = 25 - x 2 lahendame ruutvõrrandi x1 = -3, x 2 = 4 Kontrollime saadud lahendeid lähtevõrrandis.
Koos preemiaga, mis oli 2000 eurot, maksti puuraugu eest 11900 eurot. Leidke puuraugu sügavus. Vastus 9m k) Vaatleme kõiki kolmekohalisi arve, mis jagamisel kolmega annavad jäägi kaks 1) Kirjutage välja 3 esimest ja 3 viimast sellist arvu. 2) Leidke kõikide selliste arvude summa 3) Järgnevalt leidke kõigi kolmekohaliste arvude summa 4) Mitu protsenti punktis 2) leitud summa moodustab punktis 3) leitud summast. Vastus: 1) 101;104; 107 ja 992; 995; 998 2) 164850 3) 494550 4) ligikaudu 33% 3.Leia funktsiooni määramispiirkond. 3 x 3 x y y 4x 8 y 17 15 x 2 x 2
e-x dx, sin x2 dx. 3.2 Määramata integraali omadused Vaatame integreeruvaid funktsioone f ja g, kusjuures f (x)dx = F (x) + C, g(x)dx = G(x) + C. Lähtudes määramata integraali definitsioonist ja tuletise omadustest saab tõestada (vt [3], lk 160-162) järgmised integraalide põhiomadused. Lause 3.1 Kui funktsioonid f ja g on integreeruvad, siis 1. integraal funktsioonide summast võrdub liidetavate integraalide summaga (f (x) + g(x))dx = f (x)dx + g(x)dx; 2. integraal funktsioonide vahest võrdub integraalide vahega (f (x) - g(x))dx = f (x)dx - g(x)dx; 3. konstantse teguri c võib tuua integraali märgi ette cf (x)dx = c f (x)dx. Näide 3.3 Vastavalt sõnastatud lausele
296 Osaliselt analüüsida ülesannet 295. Olgu metallplaadi külg esialgu a. Saame võrrandi a 2 4 3 2 288 a 2 36 288 a 2 324 a 324 18cm siin jätsin a 324 kohe välja kui mittesobiva. Kontroll: 18 2 4 3 2 324 36 288 Vastus: metallplaadi külg oli algul 18 cm. 297 Analüüsida 295 ja 296. Olgu äralõigatavate ruutude küljed x (16 2 x )(10 2 x) 72 160 32 x 20 x 4 x 2 72 4 x 2 52 x 88 0 / 4 x 2 13 x 22 0 x 6,5 42,25 22 6,5 20,25 6,5 4,5 x1 2 või x 2 11 x 2 11 ei sobi, sest 2 x <10 x >5 (cm) x =2 (cm) Kontroll: (10 4)(16 4) 6 12 72(cm 2 ) Vastus: eemaldatud ruutude küljed on 2cm
296 Osaliselt analüüsida ülesannet 295. Olgu metallplaadi külg esialgu a. Saame võrrandi a 2 4 3 2 288 a 2 36 288 a 2 324 a 324 18cm siin jätsin a 324 kohe välja kui mittesobiva. Kontroll: 18 2 4 3 2 324 36 288 Vastus: metallplaadi külg oli algul 18 cm. 297 Analüüsida 295 ja 296. Olgu äralõigatavate ruutude küljed x (16 2 x )(10 2 x) 72 160 32 x 20 x 4 x 2 72 4 x 2 52 x 88 0 / 4 x 2 13 x 22 0 x 6,5 42,25 22 6,5 20,25 6,5 4,5 x1 2 või x 2 11 x 2 11 ei sobi, sest 2 x <10 x >5 (cm) x =2 (cm) Kontroll: (10 4)(16 4) 6 12 72(cm 2 ) Vastus: eemaldatud ruutude küljed on 2cm
Koos preemiaga, mis oli 2000 krooni, maksti puuraugu eest 11900 krooni. Leidke puuraugu sügavus. Vastus 9m k) Vaatleme kõiki kolmekohalisi arve, mis jagamisel kolmega annavad jäägi kaks 1) Kirjutage välja 3 esimest ja 3 viimast sellist arvu. 2) Leidke kõikide selliste arvude summa 3) Järgnevalt leidke kõigi kolmekohaliste arvude summa 4) Mitu protsenti punktis 2) leitud summa moodustab punktis 3) leitud summast. Vastus: 1) 101;104; 107 ja 992; 995; 998 2) 164850 3) 494550 4) ligikaudu 33% 9. Sõnalised ekstreemumülesanded a) Traadiga, mille pikkus on 800m, tuleb viierealiselt piirata ristkülikukujuline maatükk. Leida ristküliku mõõtmed nii, et maatüki pindala oleks suurim. Vastus. 40m, 40m b) Silindri telglõike ümbermõõt on 6dm. Milline on selle silindri suurim ruumala? Vastus. dm
Vastused x2 3x 1 4 I 1) ; 2) 0,61. II 1) 2 ; 2) 0,936. III 1) ; 2) 1,887 . 5x 1 x 3x 2 Näpunäited Lihtsustamisel vabastame kõigepealt avaldise negatiivsest astendajast ja astendajast 0: 1 I ja II x 2 2 , x 0 1 , III (3 x) 0 1 . x Lahutame avaldises esineva ruutude vahe tegureiks: 25 x 2 1 (5 x 1)(5 x 1) , 9 x 2 1 (3 x 1)(3 x 1) , 9 x 2 4 (3 x 2)(3 x 2) . 2 3 Lahendused I 1 5x 1 5x x 2 (1 5 x) x2 1) = = = . x 2
x1 = 0 ja 2x 3 = 0 ehk x2 = 1,5. Kuigi saadud võrrandil on kaks lahendit, sobib neist ülesande vastuseks ainult teine, sest ruudu külje pikku ei saa olla 0 cm. Kontroll: Kui ruudu külje pikkus on 1,5 cm, siis pindala on 1,5 . 1,5 = 2,25 cm2. Ristküliku küljed on 3 cm ja 1,5 cm ning pindala 3 . 1,5 = 4,5 cm2, mis on 2 korda suurem kui ruudu pindala. Vastab ülesande tingimustega. Vastus: Ruudu külg on 1,5 cm. 4. Kahe arvu vahe on 6. Nende arvude ruutude summa on 260. Leia need arvud. Lahendus: Tähistame ühe arvuga x, siis teine arv on 6 + x. Nende arvude ruutude summa st x2 + (6 + x)2, on 260. Saame võrrandi: x2 + (6 x)2 = 260. Lahendame selle. x2 + 36 + 12x + x2 = 260; 2x2 + 12x 224 = 0; 2 x 2 +12 x - 224 = 0 :2 x + 6 x -112 = 0; 2 x = -3 ± 3 2 +112 ; x = -3 ±11; x 1 = -3 +11 = 8; x 2 = -3 -11 = -14. Kui üks arv on 8, siis teine arv on 6 + 8 = 14.
296 Osaliselt analüüsida ülesannet 295. Olgu metallplaadi külg esialgu a. Saame võrrandi a 2 - 4 × 3 2 = 288 a 2 -36 = 288 a 2 = 324 a = 324 =18cm siin jätsin a = - 324 kohe välja kui mittesobiva. Kontroll: 18 2 - 4 × 3 2 = 324 - 36 - 288 Vastus: metallplaadi külg oli algul 18 cm. 297 Analüüsida 295 ja 296. Olgu äralõigatavate ruutude küljed x (16 - 2 x )(10 - 2 x) = 72 160 - 32 x - 20 x + 4 x 2 = 72 4 x 2 52 x + 88 = 0 / ÷ 4 x 2 -13 x + 22 = 0 x = 6,5 ± 42,25 -22 = 6,5 ± 20,25 = 6,5 ±4,5 x1 = 2 või x 2 = 11 x 2 = 11 ei sobi, sest 2 x <10 x >5 (cm) x =2 (cm) Kontroll: (10 - 4)(16 - 4) = 6 ×12 = 72(cm 2 ) Vastus: eemaldatud ruutude küljed on 2cm
Lineaaralgebra elemendid. M.Latõnina 1. MAATRIKSID 1.1. Üldmõisted Definitsioon 1. Maatriksiks nimetatakse riskülikujulist arvuliste elementidega tabelit, mis sisaldab n rida ja m veergu : Lühidalt maatriksit võib tähistada erinevate sulgudega (või kahekordsete püstjoontega): A = (aij ) = [aij ] = aij , (1.1) kus i = 1,...,n on rea number, j = 1,...,m on veeru number. Arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. Nii et esimene alumine indeks näitab, mitmendas reas asub element , ja teine alumine indeks - mitmendas veerus asub element. Maatriksi suurust saab väljendada valemiga: ridade arv x veergude arv. Antud maatriks (1.1) on suurusega n x m ja seda saab kirjutada järgmiselt : An x m või dim A = n x m (dimensioon suurus).
YMM3731 Matemaatiline analu¨u¨s I 2007/08 ~o.-a. su¨gissemestril 3,5 AP 4 2-0-2 E S Dots. Lembit Pallas TTU¨ Matemaatikainstituut V-404, tel. 6203056 e-post: [email protected] K¨asitletavad teemad on toodud punktide kaupa. Neid punkte tuleb vaadelda ka kui kollokviumide ja eksami teooriak¨ usimusi. 1. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid 2. Funktsioonide liigitamine (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioo- nid, kasvavad ja kahanevad funktsioonid) 3. P¨o¨ordfunktsioon 4. Liitfunktsioon 5. Jada piirv¨aa¨rtus 6. Funktsiooni piirv¨aa¨rtus ¨ 7. Uhepoolsed piirv¨aa¨rtused 8. L~opmatult kasvavad ja l~opmatult kahanevad suurused 9. Piirv¨a¨artusteoreemid 10. L~opmatult kahanevate suuruste v~ordlemine 11. Funktsiooni pidevuse m~oiste. Tarvilik ja piisav tingimus funktsiooni pidevuseks 12. Elementaarfunktsioonide pidevus 13. L~oigul
1. MAATRIKSID 1.1. Üldmõisted Definitsioon 1. Maatriksiks nimetatakse riskülikujulist arvuliste elementidega tabelit, mis sisaldab n rida ja m veergu : Lühidalt maatriksit võib tähistada erinevate sulgudega (või kahekordsete püstjoontega): [ ] a = aij A = (aij ) = ij , (1.1) kus i = 1,...,n on rea number, j = 1,...,m on veeru number. Arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. Nii et esimene alumine indeks näitab, mitmendas reas asub element , ja teine alumine indeks - mitmendas veerus asub element. Maatriksi suurust saab väljendada valemiga: ridade arv x veergude arv. Antud maatriks (1.1) on suurusega n x m ja seda saab kirjutada järgmiselt : An x m või dim A = n x m (dimensioon suurus). 3 -
V kui muud ei saa, pane hulkliikmele lihtsalt sulud ümber (kui on + või märke) 2 a = ( 2 a) TAANDAMINE- murru lugeja ja nimetaja jagamine ühiste teguritega. Nendeks võivad olla üksikud täisarvud, üksikud tähed, sulgavaldised. Taandada saab ainult siis, kui hulkliige on tegurdatud st. kõik liitmised ja lahutamised on ,,peidetud" sulgude sisse ja siis läheb maha terve sulg korraga, mitte sealt seest üksikute liikmete haaval KORRUTAMINE- JAGAMINE 1) tegurda lugejad ja nimetajad 2) jagamiseks pööra tagumine murd ringi 3) kirjuta kõik ühele murrujoonele 4) taanda LIITMINE LAHUTAMINE 1) tegurda nimetaja 2) leia ühine nimetaja ühine nimetaja arvudele 4 ja 6 on 12 ühine nimetaja üksikutele tähtedele a 3 ja a on a 3 b ja b on b ühine nimetaja sulgudele (a + b) ja (a + b) 2 on (a + b ) 2 (a b) ja (b a) leidmiseks võta neist ühes miinus sulu ette -(-b + a) = -(a b), ühine on
V kui muud ei saa, pane hulkliikmele lihtsalt sulud ümber (kui on + või – märke) 2 – a = ( 2 – a) TAANDAMINE- murru lugeja ja nimetaja jagamine ühiste teguritega. Nendeks võivad olla üksikud täisarvud, üksikud tähed, sulgavaldised. Taandada saab ainult siis, kui hulkliige on tegurdatud st. kõik liitmised ja lahutamised on „peidetud” sulgude sisse ja siis läheb maha terve sulg korraga, mitte sealt seest üksikute liikmete haaval KORRUTAMINE- JAGAMINE 1) tegurda lugejad ja nimetajad 2) jagamiseks pööra tagumine murd ringi 3) kirjuta kõik ühele murrujoonele 4) taanda LIITMINE – LAHUTAMINE 1) tegurda nimetaja 2) leia ühine nimetaja ühine nimetaja arvudele 4 ja 6 on 12 ühine nimetaja üksikutele tähtedele a 3 ja a on a 3 b ja b on b ühine nimetaja sulgudele (a + b) ja (a + b) 2 on (a + b ) 2 (a – b) ja (b – a) leidmiseks võta neist ühes miinus sulu ette -(-b + a) = -(a –b), ühine on
KARNAUGH' KAARDID Karnaugh' kaart on funktsiooni tõeväärtustabeli sihipärane topoloogiline ümberpaigutus tasandil või ruumis. T Ü Tõeväärtustabeli igale reale vastab kaardil üks ruut. T Karnaugh' kaartide topoloogia 2muutuja Karnaugh' kaart on tabel mõõtmetega 2 2 (või 1 4) ruutu ; 3muutuja Karnaugh' kaart on tabel mõõtmetega 2 4 = 8 ruutu ; 4muutuja Karnaugh' kaart on tabel mõõtmetega 4 4 = 16 ruutu ; e h n ik a t või i 6 - muutuja Karnaugh' kaart v ut Karnaugh' kaartide põhiomadused r
1 2 2 3 3 5 O 1 x c) (2 - 3 i) + (3 - 4 i) - (4 + 6 i) d) [0,(3) + 1,1(6)i] - [0,1(3) - 0,(2)i] Kompleksarvu reaalosa kujutatakse x-teljel, imaginaarosa aga y-teljel. Seepärast 833. Korruta. nimetatakse siin x-telge reaalteljeks ja y-telge imaginaarteljeks. a) (3 + 2i)(4 - 5i) b) (5 - 6i)(1 - 3i) c) (1 - i)(1 + i) Kui võtta komplekstasandilt punktid A(4; 3), B(-2; 1), C(-3; -2), D(5; 0) ja E(0; 3),
integraali esimest omadust kasutades, et d ( uv ) = udv + vdu . Pumkti 4.1.1 järelduse 3 põhjal saame viimasest võrduse uv = udv + vdu , millest omakorda valemi udv =uv - vdu , mis kannabki ositi integreerimise valemi nime. Ositi integreerimise valemi rakendamisel kerkib üles kaks põhiprobleemi. Esiteks - milliste funktsioonide korral seda rakendada ja teiseks - mida valida funktsiooniks u ja mida funktsiooni v diferentsiaaliks dv . Siin on ühest retsepti võimatu anda. Ositi integreerimise valem on rakendatav väga mitmesuguste funktsioonide integreerimisel, kaasa arvatud ka niisuguste integraalide korral, mille leidmine muude meetoditega on lühem ja lihtsam. Enam huvi pakuvad funktsioonid, mille
võimalikult suur arvu ruut, näiteks 4;9;16;25;36;49;64;81;100 ...; sellest tegurist saab ruutjuure leida ning tema järele kirjutada ruutjuur teisest tegurist; ruutjuure märgi ees olevad mitu arvu tuleb omavahel korrutada (mitte liita); kui on liita-lahutada mitu ruutjuurt samast arvust, siis toimub see nagu sarnaste liidetavate koondamine ehk mitu neid kokku saab 10.Teguri viimine ruutjuure märgi alla - Ül.1315 positiivset arvu, mis seisab tegurina juuremärgi ees, võib viia ruutu tõstetult tegurina juuremärgi alla NB juuremärgi all tuleb saadud arvud omavahel korrutada või jagada 2 11.Ruutvõrrand - võrrand ax +bx+c=0, Ül.1321,1324 milles antud arvud a,b,c (a 0), tundmatu Määrata kordajad ja liikmed. 2 2 1)2x +5x+7=0 x; kordajad a,b,c; ruutliige ax ; lineaarliige
lugejaks murdude lugejate summa. (Näide1) 2.Harilike murdude korrutis on murd,mille lugejaks on nende murdude lugejate korrutis ja nimetajaks murdude nimetajate korrutis.(Näide2) Harilike murdude jagatis on murd,mis saadakse esimese murru korrutamisel teise murru pöördarvuga.(Näide3) 3,4-kümnendmurrud.(Näide4) 5.negatiivsed ja erimärgilised arvud.(Näide5) 6.sulud,astendamine,korrutamine,jagamine,liitmine,lahutamine 7. 35=3*3*3*3*3=243.(Näide6) 8.(Näide8) Ruutude vahe valem: a² - b² = (a+b)(a-b) Vaheruudu valem: (a - b)² = a² - 2ab + b² Summaruudu valem: (a + b)² = a² + 2ab + b² Kuupide summa valem: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) Kuupide vahe valem: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) Summakuubi valem: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ Vahekuubi valem: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ 9.arvu ruutjuureks nimetatakse mittenegatiivset reaalarvu , mille ruut on antud arv a. (Näide9) 10
Kordamine III(sirge, ringjoon, parabool, vektor) 1. On antud kolmnurk tippudega A(1;2), B(4;3) ja C(2;5). Leidke sirgete AB ja AC võrrandid ning lõikepunktid koordinaattelgedega; 2) Leidke läbi tipu C joonestatud küljega AB paralleelse sirge võrrand; 3) Leidke läbi tipu C joonestatud küljega AB ristuva sirge tõus. 2. Lõik otspunktidega on ringjoone diameetriks. Leidke: 1) ringjoone võrrand; 2) sellele ringjoonele punktides (2,5; 4,5) ja (0;2) joonestatud puutujate võrrandid ja nende puutujate lõikepunkt. 3. Tuletage joone võrrand, kui joone iga punkti kaugused punktidest M(0;-3) ja N(2;3) on võrdsed. Näidake, et otsitav joon on lõigu MN keskristsirge. 4. Parabool läbib punkte (-1;0), (5;0) ja (0;-10). Leidke parabooli võrrand ja tema haripunkti koordinaadid ning puutuja võrrand punktis (0;-10). 5. Leidke parabooli y = x2 2x haripunkti koordinaadid. 1) Vektori v =(a;9) alguspunkt asetseb antud parabool
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
