Oleme õppinud nelja põhitehet naturaalarvudega. · Liitmine · Korrutamine · Lahutamine · Jagamine NATURAALARVUDE HULK N 1. On järjestatud lõpmatu hulk,milles on vähim,kuid pole suurimat arvu. 2. On hulk, milles arvud järgnevad vahetult üksteisele ega kata kogu arvtelge. 3. On hulk, mis on kinnine liitmis- ja korrutamistehte suhtes. Ratsionaalarvud Ratsionaalarvuks nimetatakse arvu, mis avaldub jagatisena , kus a Ratsionaalarvud on need reaalarvud, mida saab esitada kahe täisarvu m ja n ( ) jagatisena nii, et kus on täisarvude hulk, on naturaalarvude hulk (v.a. null) ja on ratsionaalarvude hulk. Igal ratsionaalarvul on ka lõpmatu kümnendarendus ja see on alati perioodiline. Näiteks 2¾ = 11/4 = 2,7500000.... või 2,7499999... ja 0 = 0/1 = 0,00000... on ratsionaalarvud.
Tehted ratsionaalarvudega © T. Lepikult, 2010 Ratsionaalarvud Harilikke murde, nende vastandarve ja arvu 0 nimetatakse ühiselt ratsionaalarvudeks. Ratsionaalarve tähistatakse sümboliga Q. Ratsionaalarve võib ka defineerida kahe täisarvu jagatisena (sealjuures ei või jagaja muidugi null olla). Näited : 2 6 0 Q; 12 Q; - 1 Q; - Q; 4 Q. 11 13 Aga 2 Q, Q, kuna need arvud ei ole esitatavad kahe täisarvu jagatisena. Ratsionaalarvu esitamine kümnendmurruna Iga ratsionaalarv esitub kas lõpliku või (lõpmatu) perioodilise kümnendmurruna Näiteks: 2 = 2, (0);
27. Integraalide tabel. Määramata integraali omadused (ilma tõestusteta). 1. 2. 3. 28. Kirjeldada asendusvõtet määramata integraali avaldamisel. Integraali avaldamisel asendusvõttega tehakse selle integraali all muutuja vahetus. Valitakse mingi funktsioon u ja integreeritakse muutuja x asemel muutujat u. Eeldades et valitud funktsioon u on üksühene ja diferentseeruv, leitakse selle funktsiooni pöördfunktsioon. Leitud pöördfunktsioon kirjutatakse diferentsiaalide jagatisena, korrutatakse võrdust du-ga ning saadud funktsioonid asendadakse integraali all. Esitada ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks (tuletada pole vaja). 29. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted. Integraalsummaks nimetatakse lõigul (a;b) pideva funktsiooni f osalõikude punktide summasid Määratud integraal: Kui lõigu (a;b) mistahes jaotuse korral. Kus max ja punktide p
9.Absoluut- ja suhtarvud-kõik suurused jagunevad absoluutseteks ja suhtelisteks,absoluutsuurused on tunnetuslikult primaarsed.nad on otseselt loendatavad v mõõdetatavad(summa,raskus,kaugus).suhtelised suurused on abstarktsemad,neid saab mõõta vaid absoluutsuuruste kaudu.(sõidukiirus,tööviljakus).absoluutsete ja suhteliste suuruste väärtusi väljendavad aboluut-ja suhtarvud.suhtarvud saadakse jagamise teel.kui on saadud loenduse,mõõtmise v kaalumise teel on absoluutarv,kui jagatisena siis suhtarv. 10.Keskmised näitajad ja nende kasutamine-aritmeetiline keskmine,harmooniline k,geomeetriline ja logaritmkeskmine,kronoloogiline k,astmek,
takistus, r vooluallika sisetakistus, N võimsus, Q - soojushulk. Elektrivooluks nimetatakse laetud osakeste suunatud liikumist. Voolutugevuseks nimetatakse füüsikalist suurust, mis näitab, kui suur laeng läbib ajaühikus juhi ristlõiget: q I= . t Juhi elektritakistuseks nimetatakse füüsikalist suurust, mida on võimalik arvutada juhi otstele rakendatud pinge ja voolutugevuse jagatisena: U R= . I Takistus ei sõltu juhi otstele rakendatud pingest ega voolutugevusest juhis, vaid on määratud juhi enese omadustega. Elektrivoolu töö on võrdne voolutugevuse, pinge ja aja korrutisega: A = I U t. Elektrivoolu võimsus on võrdne voolutugevuse ja pinge korrutisega: N = I U. Joule-Lenzi seadus: juhis eralduv soojushulk on võrdeline voolutugevuse ruudu, juhi takistuse ja ajaga: Q = I2Rt
10klass 1.kursus 1.kontrolltöö 10.klassi matemaatika õpik, lk. 3 - 29 2 1. Arvutage arvude ja -11 a)summa vastandarv; b)vastandarvude vahe; c) vahe pöördarv; 5 d)pöördarvude summa; e)pöördarvude vahe ja vastandarvude summa jagatis; j)vastandarvude summa ja pöördarvude vahe korrutis. 2. Avaldage kahe täisarvu jagatisena a)0,(4); b)0,113(4); c)0,4(12); d)1,(8); e)0,3(5); f)2,3(154). 3 2 3. Arvutage. Vastus esitage hariliku murruna või segaarvuna. a) 1,2( 7 ) - ; b) 0,4( 35) +1 ; 10 11 9 1 2 3 2
takistus, r vooluallika sisetakistus, N võimsus, Q - soojushulk. Elektrivooluks nimetatakse laetud osakeste suunatud liikumist. Voolutugevuseks nimetatakse füüsikalist suurust, mis näitab, kui suur laeng läbib ajaühikus juhi ristlõiget: q I= . t Juhi elektritakistuseks nimetatakse füüsikalist suurust, mida on võimalik arvutada juhi otstele rakendatud pinge ja voolutugevuse jagatisena: U R= . I Takistus ei sõltu juhi otstele rakendatud pingest ega voolutugevusest juhis, vaid on määratud juhi enese omadustega. Elektrivoolu töö on võrdne voolutugevuse, pinge ja aja korrutisega: A = I U t. Elektrivoolu võimsus on võrdne voolutugevuse ja pinge korrutisega: N = I U. Joule-Lenzi seadus: juhis eralduv soojushulk on võrdeline voolutugevuse ruudu, juhi takistuse ja ajaga: Q = I2Rt
1. Ratsionaalarvud on need reaalarvud, mida saab esitada kahe täisarvu jagatisena. 2. Irratsionaalarvudeks nimetatakse mitteperioodilisi lõpmatuid kümnendmurde. 3. Reaalarvu absoluutväärtuseks nimetatakse mittenegatiivset reaalarvu, mis rahuldab tingimusi |x| = x,kui x0 ja |x| = -x,kui x< 0. 4. Reaalarvude hulk koosneb kõikidest ratsionaal- ja irratsionaalarvudest. 5. 6. Samasuseks nimetatakse matemaatikas tõest arvvõrdust sisaldavat võrdust, mis osutub tõeseks muutuja kõigi lubatud väärtuste korral. 7
12. Mida nimetatakse funktsiooni argumendi diferentsiaaliks? Näidata, et argumendi x korral kehtib valem Δy = dy + β , kus dy on sama järku lõpmatult väike suurus Δxx = dx . Vastavalt diferentsiaali definitsioonile, dy = f′(a)∆x . Tähistame funktsiooni y = x diferentsiaali sümboliga dx ja nimetame seda argumendi x diferentsiaaliks. Kui y = x, siis y′ = 1 ja rakendades valemit dy = f′(a)∆x saame dx = ∆x. 13. Esitada funktsiooni tuletis diferentsiaalide jagatisena. Olgu y = f(x) suvaline funktsioon. Asendame suuruse ∆x suurusega dx valemis dy = f′(a)∆x. Saame võrduse dy = f′(a)dx. Siit tuleneb järgmine valem tuletise jaoks diferentsiaalide suhte kaudu: f′(a) = dy/dx. 14. Esitada ja tõestada liitfunktsiooni tuletise valem. Liitfunktsiooni tuletise valemi tõestus. Olgu y = f(x) ja z = g(y) kaks diferentseeruvat funktsiooni ning olgu nendest moodustatud liitfunktsioon z = g[f(x)]. Funktsiooni tuletise
mida kasutatakse mõõtmiseks kas ainsa vahendina või koos lisaseadmetega. Kaudne ja otsene mõõtmine-Otsene on selline mõõtmine, mille korral meid huvitav füüsikalise suuruse väärtus on vahetult loetav mõõteriista skaalalt. Kaudne on mõõtmine, mile korral mõõtetulemus leitakse arvutuste teel otsemõõdetud suuruste kaudu.(nt auto kiirust saab otseselt mõõta spidomeetri abil aga ka leida kaudselt, arvutades kiiruse mõõdetud teepikkuse nng sõiduaja jagatisena.) • Ülesanne: a) Mõõda töölehe pikkus, laius ja pindala! b) Kuidas mõõta(mis meetodi abil) jalajälje pindala- ühik ruudu meetodiga ning sõrmuse ruumala-sukeldumismeetodiga. • Nimeta SI-süsteemi põhi- ja lisasuurused koos ühiku ja selle tähisega! (KT-s valikvastusega küsimus. • Selgita mõisteid kordne ja tuletatud ühik- • Mida näitab mõõtemääramatus? 10.Peeter on (164 2)cm ja Indrek (162 2)cm pikk. Kas on õige väide, et
4. Positiivsete täisarvude hulka tähistatakse sümboliga Z. Negatiivsete täisarvude
hulka tähistatakse sümboliga Z.
5. Täisarvu, mis jagub 2-ga, nimetatakse paarisarvuks. Ta esitatakse kujul 2n+1, kus n
kuulub hulka Z. Paaritu, mittejaguvad täisarvud, esitatakse kujul 2n+1, kus n kuulub
hulka Z.
6. Murdarvud tekivad täisarvude jagamisel a/b, kus jagaja b ei tohi olla 0.
7. Ratsionaalarvud on kõik täisarvud ja murdarvud.
8. Ratsionaalrvuks nimetatakse arvu, mis avaldub jagatisena a/b, kus a kuulub hulka Z,
b kuulub hulka Z ja b ei võrdu 0-ga.
9. Harilikmurd on murd, mis avaldub kujul a/b, kus a kuulub hulka N, b kuulub hulka N ja
b ei võrdu 0-ga. Kümnendmurd on murd, mis kirjutatakse koma abiga.
10. Lihtmurrus a/b on a
Esitada ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks (tuletada pole vaja). Asendusvõte määramata integraali avaldamisel Integraali avaldamisel asendusvõttega tehagse selle integraali all muutuja vahetus. 1. Valime mingi funktsiooni 2. Asendame integreerimise x järgi integreerimisega u järgi 3. Eeldades, et on üksühene ja diferentseeruv omab ta pöördfunktsiooni 4. Kirjutame funktsiooni tuletise diferentsiaalide jagatisena 5. Korrutame selle võrduse du-ga saame 6. Asendame x ja dx integraali all saame Ositi integreerimise valem Olgu ja kaks diferentseeruvat funktsiooni. 1. Paneme kirja nende korrutise diferentsiaali 2. Integreerime seda avaldist 3. Kuna , siis (konstandi C võib valemist välja jätta sest mõlemad määramata integraalid sisaldavad juba määramata konstante) 4. Viies võrduse teisele poolele saamegi 14
segaarv- naturaalarvu ja lihtmurru summa (2½=2+½) kümnendmurd - murd, mis on kirjutatud koma abil (3,75=3+7/10+5/100 Jätk järgmisel slaidil Arvuhulgad ● Pöördarvud (a ja 1/a) Vastandarvud (a ja -a) lõplik kümnendmurd (¾=0,75) lõpmatu kümnendmurd (17/6=2,8333....=2,8(3) Arvu, mis avaldub mitteperioodilise kümnend- murruna, nimetatakse irratsionaalarvuks. Ratsionaalarvuks nimetatakse arvu, misavaldub jagatisena a/b. Arvuhulkade omadusi ● Arvuhulka nimetatakse järjestatuks, kui iga tema kahe arvu a ja b korral kehtib üks kolmest võimalusest, kas a>b või a=b või a
Lihtmurd-lugeja on väiksem kui nimetaja Liigmurd-lugeja on suurem kui nimetaja Segaarv-koosneb täisarvust ja murdosast Algarv-1-st suurem naturaalarv, mis jagub ainult 1 ja iseendaga Kordarv-positiivne naturaalarv, mis jagub peale ühe ja iseenda veel mõne naturaalarvuga Kordsed-kõik need arvud, mis antud arvuga jaguvad Naturaalarv-arv, mis saadakse loendamise teel Täisarv-arv, mis on esitatav naturaalarvude vahena; murdosata arv Ratsionaalarv-arv, mis on esitatav kahe täisarvu jagatisena Lõikuvad sirged-2 sirget, millel on ainult 1 ühine punkt Ristuvad sirged-2 lõikuvat sirget, mille vahel on täisnurk Paralleelsed sirged-sirged, mis ei oma ühiseid punkte ehk mis kunagi ei lõiku Nürinurkne kolmnurk-kolmnurk, mille üks nurk on suurem kui 90 kraadi Teravnurkne kolmnurk-kolmnurk, mille kõik nurgad on teravnurgad Täisnurkne kolmnurk-kolmnurk, mille üks nurk on 90 kraadi Võrdhaarne kolmnurk-kolmnurk, mille kaks külge on võrdsed
Ohmi seadus. Takistus ja eritakistus: · Suurema pingega kaasneb suurem voolutugevus · Elektromeetriks nimetatakse metallkesta paigutatud ja skaalaga varustatud elektroskoopi · Ohmi seadus väidab, et voolutugevus juhis on võrdeline juhi otstele rakendatud pingega. · Võrdetegurit G nimetatakse juhtivuseks · Tema pöördväärtust aga juhi või vaadeldava vooluringi takistuseks. · Takistus on esitatav pinge ja elektritugevuse jagatisena. · Juhi takistus on 1 oom, kui juhi otstele rakendatud pinge 1V tekitab juhis voolu 1A Juhtide jadaühendus · Kõikides jadaühendustes juhtides on voolutugevus sama väärtusega · Jadamisi ühendatud juhtide kogutakistus on võrdne juhtide takistuste summaga · Pinge juhtide jada otstel on võrdne juhtide otstele rakendatud pingete summaga. Juhtide rööpühendus: · Voolutugevus rööbiti ühendatud juhtides on võrdne kõikide voolutugevuste summaga
väheneb teise suurus. Selle valem on y=a/x Geogebra = y=3/x Lineaarseks seoseks nimetatakse muutujate x ja y vahelist seost, kui y = a *x + b Geogebra : y=3-x Lineaarliikmeks nimetatakse seose y=a*x + b liiget a*x ja vabaliikmeks liiget b Ei pea läbima 0 punkti Võrrand on võrdus mille mõlemal poolel on suhted ehk jagatised. Võrde põhiomaduseks on see, et jagatisena esitatud võrduse korral on diagonaalide korrutised võrdsed. NT : Võrdekujuliseks võrrandiks nimetatakse võrdust, mis on võrde kujul ja mille üks liige on tundmatu. Nt : Võrde põhiomadust kutsutakse mõnikord ka ristkorrutiseks. Sagedus näitab, kui tihti mingi sündmus toimub. Suhteline sagedus näitab, kui suure osa moodustab kindel sündmus kõikide vaadeldud sündmuste arvust. Suhtelist sagedust väljendatakse protsentides .
hindade tõus, liiga kiire palgakasv, kaudsete maksude tõstmine jms). Küsimus 7 Õige Hinne 1,0 / 1,0 Märgista küsimus Küsimuse tekst Reaalsissetulek Vali üks või enam: võrdub nominaalsissetuleku ja hinnaindeksi jagatisega on alati väiksem kui reaalpalk kujutab endast inflatsiooni tõttu kaotatud tulu osa võrdub alati nominaaltuluga Tagasiside Reaalväärtus leitakse nominaalväärtuse ja hinnaindeksi jagatisena ning hõlmab endas lisaks palgale ka muid sissetulekuid. Küsimus 8 Õige Hinne 1,0 / 1,0 Märgista küsimus Küsimuse tekst Inflatsioonimäär väljendab vaatlusaluse perioodi hinnataseme protsentuaalset muutust võrreldes baasperioodi hinnatasemega. Vali üks: Tõene Väär Tagasiside Inflatsioonimäär väljendab hinnaindeksi protsentuaalset muutust ja on sellega hinnataseme kasvutempo väljendaja. Küsimus 9 Vale Hinne 0,0 / 1,0
Vaatleme määramata integraali 5 . Integraali avaldamisel asendusvõttega tehakse selle
integraali all muutuja vahetus. Selleks valitakse mingi funktsioon O = P ja integreerimine
muutuja järgi asendatakse integreerimisega muutuja O järgi. Eeldame, et P on üksühene ja
diferentseeruv. Tähistame funktsiooni P pöördfunktsiooni Q-ga. Seega = Q O . Paneme
<'
kirja funktsiooni Q tuletise diferentsiaalide jagatisena:
uut hindade tõusu. Question 5 Reaalsissetulek Complete Select one or more: Mark 1 out of 1 võrdub alati nominaaltuluga võrdub nominaalsissetuleku ja hinnaindeksi jagatisega kujutab endast in atsiooni tõttu kaotatud tulu osa on alati väiksem kui reaalpalk Reaalväärtus leitakse nominaalväärtuse ja hinnaindeksi jagatisena ning hõlmab endas lisaks palgale ka muid sissetulekuid. Question 6 Varjatud in atsiooni puhul on tegemist püsiva hinnataseme juures hüviste kvaliteedi, pakendi netokoguse või sortimendi kahanemisega. Complete Mark 1 out of 1 Select one: True False Varjatud in atsiooni korral jääb hind tavaliselt samaks, kuid toote kvaliteet või
koosneb*aine eritakistus näitab, kui suur on sellest ainest valmistatud, ühikulise pikkuse ja ühikulise ristlõike pindalaga keha takistus *eritakistuse ühikuks on oom meeter e oommeeter*OHMI SEADUS väidab, et voolutugevus juhis on võrdeline juhi otstele rakendatud pingega I=GU; I-voolutugevus, G-võrdetegur e juhtivus, U-pinge*tavaliselt esitatakse Ohmi seadus takistuse kaudu. Takistus on esitatav pinge ja voolutugevuse jagatisena.*juhi takistus on 1 oom, kui juhi otstele rakendatud pinge 1V tekitab juhis voolu 1A 7. *Voltmeeter ühendatakse vooluringi uuritava osaga paralleelselt e rööbiti*voltmeetri takistus peab olema võimalikult suur*ampermeeter ühendatakse vooluringi jadamisi e järjestikku *ampermeetri takistus peab olema väike*oommeeter8. Jadaühendus- jada otste vaheline pinge võrdub üksikutel takistitel tekkivate pingete summaga Uj=U+U...
Integraali avaldamisel asendusvõttega tehakse selle integraali all muutuja vahetus. Selleks valitakse mingi funktsioon u = ϕ(x) ja integreerimine muutuja x järgi asendatakse integreerimisega muutuja u järgi Eeldame, et ϕ on üksühene ja diferentseeruv. Tähistame funktsiooni ϕ pöördfunktsiooni ψ-ga. Seega x = ψ(u). Paneme kirja funktsiooni ψ dx tuletise diferentsiaalide jagatisena: du = ψ’(u). Korrutades seda võrdust du-ga saame dx = ψ’(u)du . Saame avaldise ∫ f ( x) dx = ∫ f [ψ (u)]ψ ’(u) du . ∫ udv=uv −∫ vdu 29. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted. Integraalsumma mõiste. Olgu antud funktsioon f, mis on pidev lõigul [a, b]. Jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . . , xn, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . .
Emj. on suurim pinge, mida antud vooluallikas on suuteline tekitama. ...=Ak/q, Ak- kõrvaljõudude töö, q- laeng. Vooluallika ül on tagada vooluringis pidev vool, tekitada jõud, mis paneks osakesed liikuma. Sõltub temperatuurist. Ohmi seadus vooluringi osa kohta- Ohmi seadus väidab, et voolutugevus juhis on võrdeline juhi otstele rakendatud pingega. Tavaliselt esitatakse Ohmi seadus takistuse kaudu, kus takistus on esitatav pinge ja voolutugevuse jagatisena. R=U/I. Ühik-juhi takistus on 1 oom, kui juhi otstele rakendatud pinge 1V tekitab juhis voolu 1A. Juhi takistus sõltub juhi mõõtmetest ja materjalist; temperatuurist. Elvoolu tööks nim elvälja tööd laengukandjate suunatud liikumise tagamisel. Juhis tehtud töö A on võrdeline voolutugevusega I, pingega U juhi otstel ja voolu kestusega t. A=Uit. elvoolu võimsus on võrdne voolutugevuse ja pinge korrutisega N=IU, 1W=1A*1V.
Üks kõik millise murru korral paneme koma taga oleva arvu lugejasse ja lahutame sellest mitteperioodis oleva arvu. Nimetajasse paneme üheksa ja nii mitu nulli kui on mitteperioodis olevaid numbreid, -1 null. Ratsionaalarvude hulk Q Täisarvude hulga ja murdarvude hulga ühend on ratsionaalarvude hulk (v.a. mitteperioodilised lõpmatud kümnendmurrud). a Ratsionaalarvuks nimetatakse arvu, mis avaldub jagatisena , kus aZ, bZ ja b0. b 0 7 0 =0 ; =- ; = iga arv. 7 0 0 Ratsionaalarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise korrutamise ja jagamise (v.a. 0) suhtes. Ratsionaalarvude hulk on tihe, st iga kahe ratsionaalarvu vahel on ratsionaalarv. Et iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise ja irratsionaalarv lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, siis võime öelda, et iga reaalarv avaldub lõpmatu
5) (sinx)' = cosx, 6) (cosx)' = -sinx, 7) (tanx)' = 1 /cos2 x , 8) (cotx)' = - 1 /sin2 x 9) (arcsinx)' = 1/ 1 - x2 10) (arccosx)' = - 1 / 1 - x2 11) (arctanx)' = 1/ 1 + x2 12) (arccotx)' = - 1 /1 + x2 19. Funktsiooni diferentsiaali definitsioon. Funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks punktis a nimetatakse tuletise f'(a) ja argumendi muudu x = x-a korrutist ja t¨ahistatakse dy v~oi df. Seega definitsiooni kohaselt dy = f'(a)x. Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena. f'(a) = dy /dx 20. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete korral. 1. (f + g)' = f' + g', 2. (fg)' = f'g + fg', 3.(f /g)'= f'g-fg'/ g2 Tõestada korrutise reegel. (fg)'(x) = lim x0 f(x + x)g(x + x) - f(x)g(x) x = = lim x0 1/ x / [f(x + x) - f(x)]g(x + x) + f(x)[g(x + x) - g(x)] /= = lim x0 f(x + x) - f(x)/x * lim x0 g(x + x) + +f(x) * lim x0 g(x + x) - g(x) x= = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = (f'g + fg')(x). Tuletada liitfunktsiooni diferentseerimise valemid.
siis öeldakse, et see funktsioon on diferentseeruv hulgas D. · Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised TEAD PEAST 22) 23) · Funktsiooni diferentsiaali definitsioon Funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks punktis a nim. tuletise f'(a) ja argumendi muudu x=xa korrutist ning tähistatakse dy või df. Seega def. kohaselt · Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena on 24) 25) · Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete korral 1 (f+g)' = f'+g' 2 (fg)' = f'g+fg' 3 4 (Cf)' = C' f + C f' = 0 f + C f' = C f' , C konstant 5 (fg)' = [f + (1)g]' = f' + [(1)g]' = f' + (1)g' = f' g' 6 · Tõestada korrutise reegel · Tuletada liitfunktsiooni diferentseerimise valemid LK 62
siis öeldakse, et see funktsioon on diferentseeruv hulgas D. · Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised TEAD PEAST 22) 23) · Funktsiooni diferentsiaali definitsioon Funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks punktis a nim. tuletise f'(a) ja argumendi muudu x=xa korrutist ning tähistatakse dy või df. Seega def. kohaselt · Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena on 24) 25) · Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete korral 1 (f+g)' = f'+g' 2 (fg)' = f'g+fg' 3 4 (Cf)' = C' f + C f' = 0 f + C f' = C f' , C konstant 5 (fg)' = [f + (1)g]' = f' + [(1)g]' = f' + (1)g' = f' g' 6 · Tõestada korrutise reegel · Tuletada liitfunktsiooni diferentseerimise valemid LK 62
Def. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. Tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu: Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised: 19. Def. Funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks punktis a nimetatakse tuletise f'(a) ja argumendi muudu x=x-a korrutist ja tähistatakse dy või df. Seega definitsiooni kohaselt dy=f'(a)x. Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena 20. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete korral: · (f+g)'=f'+g' · (fg)'=f'g+fg' · Tuletada liitfunktsiooni diferentseerimise valemid. Olgu y=f(x) ja z=g(y) kaks diferentseeruvat funktsiooni ja olgu nendest moodustatud liitfunktsioon z=g[f(x)]. Kuna funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y, siis same f'(x)= . Analoogiliselt toimime ka funktsiooniga g, mille argument on y ja sõltub muutuja z. Esitame g
Def. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. Tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu: Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised: 19. Def. Funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks punktis a nimetatakse tuletise f'(a) ja argumendi muudu x=x-a korrutist ja tähistatakse dy või df. Seega definitsiooni kohaselt dy=f'(a)x. Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena 20. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete korral: · (f+g)'=f'+g' · (fg)'=f'g+fg' · Tuletada liitfunktsiooni diferentseerimise valemid. Olgu y=f(x) ja z=g(y) kaks diferentseeruvat funktsiooni ja olgu nendest moodustatud liitfunktsioon z=g[f(x)]. Kuna funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y, siis same f'(x)= . Analoogiliselt toimime ka funktsiooniga g, mille argument on y ja sõltub muutuja z. Esitame g
Seega definitsiooni kohaselt dy = f(a)x f(a) = . 20. Korrutise tuletis (fg)(x) = = = [ f(x + x) - f(x)]g(x + x) + f(x)[g(x + x) - g(x)] }= = = f(x)g(x) + f(x)g(x) = (fg + fg)(x) Liitfunktsiooni diferenseerumise tuletamine. Olgu y =f(x) ja z = g(y) kaks diferentseeruvat funktsiooni ning olgu nendest moodustatud liitfunktsioon z = g[f(x)]. Tuletame meelde, et funktsiooni tuletise saab esitada sõltuva muutuja ja argumendi diferentsiaalide jagatisena. Kuna funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y, siis kirjutades valemi Üles punktis x, saame f(x) = . Analoogiliselt toimime ka funktsiooniga g, mille argument on y ja sõltuv muutuja z. Esitame g tuletise sõltuva muutuja ja argumendi diferentsiaalide jagatisena. Saame g(y) = . Viimaks avaldame ka liitfunktsiooni z = g[f(x)] tuletise tema argumendi on x ja sõltuva muutuja z diferentsiaalide jagatisena. Saame {g[f(x)]} = . Kasutades neid valemeid arvutame:
d. Materjali võime vastu panna kohalikule plastsele deformatsioonile. e. Materjali võime staatiliste jõudude toimel purunemata oluliselt deformeeruda ja pärast jõudude eemaldamist võtta tagasi esialgne kuju. Küsimus 5 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Märgista küsimus Küsimuse tekst Millised väited on õiged katkevenivuse kohta? Vali üks: a. Katkevenivus on sitkusnäitaja b. Katkevenivuse mõõtühikuks on N/mm² ja saadakse teimikule mõjuva jõu ja ristlõike jagatisena. c. Katkevenivus on katsekeha suhteline jäävpikenemine protsentides peale purunemist võrrelduna algpikkusega. d. Katkevenivus on tugevusnäitaja Küsimus 6 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Märgista küsimus Küsimuse tekst Milline mõju on teimiku mõõtudel ja kujul tugevusnäitajatele? Vali üks: a. Kuna tegemist on mehaanilise teimiga ja tulemus on mehaanikaline suurus, mis on võrreldav vaid konkreetsete katsetingimuste juures, siis tulemused võivad erineda b
9. Millised väited on õiged katkevenivuse kohta? Student Response Feedback A. Katkevenivus on tugevusnäitaja B. Katkevenivus on katsekeha suhteline jäävpikenemine protsentides peale purunemist võrrelduna algpikkusega C. Katkevenivuse mõõtühikuks on N/mm2 (ruudus) ja saadakse teimikule mõjuva jõu ja ristlõike jagatisena. D. Katkevenivus on sitkusnäitaja Score: 6/6 10. Kus kasutatakse plastsusnäitajaid? Student Response Feedback 1. Sitkuse hindamisel vastutusrikastes konstruktsioonides 2. Materjali survetöödeldavuse Student Response Feedback hindamisel 3. Materjali tugevuse hindamisel 4
Tuletis kui Funktsioon: Kui funktsioon f on diferentseeruv oma määramispiirkonna alamhulga D kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on diferentseeruv hulgas D. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised: 19. Funktsiooni diferentsiaali definitsioon : Funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks punktis a nimetatakse tuletise f(a) ja argumendi muudu x = x-a korrutist ja tähistatakse dy või df. Seega definitsiooni kohaselt Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena: lk 60 20. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete korral: lk 61-62 Tõestada korrutise reegel: lk 62 Tuletada liitfunktsiooni diferentseerimise valemid: Järgnevalt tuletame valemeid liitfunktsiooni diferentseerimiseks. Olgu y =f(x) ja z = g(y) kaks diferentseeruvat funktsiooni ning olgu nendest moodustatud liitfunktsioon z = g[f(x)]. Tuletame meelde, et funktsiooni tuletise saab esitada sõltuva muutuja ja argumendi diferentsiaalide jagatisena (valem (3.4)).
1) , C konstant 2) 3) , sealhulgas 4) , sealhulgas 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 19. FUNKTSIOONI DIFERENTSIAALI DEFINITSIOON Funktsiooni diferentsiaaliks punktis a nimetatakse tuletise ja argumendi muudu korrutist ja tähistatakse dy või df. Definitsiooni kohaselt: . Diferentsiaal sõltub kahest suurusest: punktist a, kus diferentsiaal on arvutatud, ja argumendi muudust . Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena 20. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete korral: 1) 2) 3) Tõestada korrutise reegel Kasutades tuletise definitsiooni ja piirväärtuste omadusi saame: Tuletada liitfunktsiooni diferentseerimise valemid Olgu ja kaks diferentseeruvat funktsiooni ning olgu nendest moodustatud liitfunktsioon . Funktsiooni tuletise saab esitada sõltuva muutuja ja argumendi diferentsiaalide jagatisena
Voolutugevuse sõltuvus pingest: Suurema pingega kaasneb suurem voolutugevus. Ohmi seadus väidab, et voolutugevus juhis on võrdeline juhi rakendatud pingega. Sellises sõnastuses tuntakse teda ka Ohmi seadusena vooluringi osa kohta. Võrdetegurit G nimetatakse juhtivuseks, tema pöördväärtust , aga juhi või vaadeldava vooluringi osa takistuseks. Tavaliselt esitatakse Ohmi seadust takistuse kaudu kujul . Selle põhjal on takistus esitatav pinge ja voolutugevuse jagatisena. Juhi takistus on üks oom (1), kui juhi otstele rakendatud pinge 1V tekitab juhis voolu 1 A. Seega Takistite jada ja rööpühendus: takisti-juhid, mis omavad kindlat takistust. Jadaühendusel võrdub jada otste vaheline pinge üksikutel takistitel tekkivate pingete summaga. Jadaühenduse kogutakistus võrdub üksikute takistite takistuste summaga. Rööpühenduse korral on kõigil takistitel sama pinge U, sest ühendusjuhtmetel pinget ei teki.
8). 12. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktide liigitus. 13. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul. 14. Funktsiooni tuletise definitsioon. Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 15. Funktsiooni diferentsiaali definitsioon. Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena. 16. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni korral (tõestusi ei küsita). Liitfunktsioon 17. Joone puutuja definitsioon. Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x) (st funktsiooni y = f(x) graafik). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel
d. Katkeahenemine on nii plastsus- kui ka sitkusnäitaja Score: 6/6 Küsimus 9 (6 points) Millised väited on õiged katkevenivuse kohta? Student Response: Õppija Vastuse variandid vastus a. Katkevenivuse mõõtühikuks on N/mm2 (ruudus) ja saadakse teimikule mõjuva jõu ja ristlõike jagatisena. b. Katkevenivus on katsekeha suhteline jäävpikenemine protsentides peale purunemist võrrelduna algpikkusega c. Katkevenivus on tugevusnäitaja d. Katkevenivus on sitkusnäitaja Score: 6/6 Küsimus 10 (6 points) Kus kasutatakse plastsusnäitajaid? Student Response: Õppija Vastuse variandid vastus
d. Katkeahenemine on nii plastsus- kui ka sitkusnäitaja Score: 6/6 Küsimus 9 (6 points) Millised väited on õiged katkevenivuse kohta? Student Response: Õppija Vastuse variandid vastus a. Katkevenivuse mõõtühikuks on N/mm2 (ruudus) ja saadakse teimikule mõjuva jõu ja ristlõike jagatisena. b. Katkevenivus on katsekeha suhteline jäävpikenemine protsentides peale purunemist võrrelduna algpikkusega c. Katkevenivus on tugevusnäitaja d. Katkevenivus on sitkusnäitaja Score: 6/6 Küsimus 10 (6 points) Kus kasutatakse plastsusnäitajaid? Student Response: Õppija Vastuse variandid vastus
Seega vastavalt tuletise definitsioonile saame: f (x) = Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 1) C= 0 , C - konstant 2) ( ) = a 3) ( ) = ln a , sealhulgas ( )´= 4) ( )´ = , sealhulgas (lnx)´= 5) (sin x)´ = cosx 6) (cos x) = -sin x 7) (tan x) = 8) (cot x) = - 9) (arcsin x) = 10) (arccos x)´ = - 11) (arctan x)´ = 12) (arccot x)´= - 19. Funktsiooni diferentsiaali definitsioon. Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena. Funktsiooni diferentsiaali mõiste. Funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks punktis a nimetatakse tuletise f(a) ja argumendi muudu x = x-a korrutist ja tähistatakse dy või df. Seega definitsiooni kohaselt dy = f(a)x . Diferentsiaal sõltub seega kahest suurusest: punktist a, kus diferentsiaal on arvutatud, ja argumendi muudust x. Rõhutamaks neid sõltuvusi võib kirjutada dy(a,x). Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena. f(a) =(dy)/(dx) 20
suurused piirprotsessis Juhul kui y=x saame dy=dx=1, siis on tavaks argumendi x muutu nimetada argumendi diferentsiaaliks ja tähistada sümboliga dx. seega See tähendab, et funktsiooni diferentsiaal kohal x võrdub funktsiooni tuletise ja argumendi diferentsiaali dx korrutisega. N. Leian diferentsiaali kohal x. Lause 2. Funktsiooni tuletis avaldub funktsiooni diferentsiaali dy ja argumendi diferentsiaali dx jagatisena: Kui funktsioonid on diferentseeruvad, siis liitfunktsiooni tuletis avaldub kujul: . Korrutades selle seose mõlemat poolt suurusega dx leiame, et Seosest järeldub, et funktsiooni kuju on invariantne muutujate vahetuses suhtes. Lause 3. Kehtivad seosed: Tõestan ühe neist. d(f(x))=(f'(x))dx Lause 4. Kui funktsioon f(x) on diferentseeruv punktis x, siis Geomeetriliselt tähendab funktsiooni
Muutujate vahetus määramata integraalis: f(x)dx Integraali avaldamisel asendusvõttega tehakse selle integraali all muutuja vahetus. Selleks valitakse mingi funktsioon u = (x) ja integreerimine muutuja x järgi asendatakse integreerimisega muutuja u järgi. Eeldame, et on üks ühene ja diferentseeruv. Tähistame funktsiooni pöördfunktsiooni -ga. Seega x = (u) . Paneme kirja funktsiooni tuletise diferentsiaalide jagatisena: dx/ du = '(u). Korrutades seda võrdust du-ga saame dx = '(u)du .Asendame x-i ja dx-i integraali all: f(x)dx =f[(u)]'(u)du . Muutujate vahetus määratud integraalis: Kui fC[a,b] ja (t) on pidevalt diferentseeruv lõigul [,] ja ()=a ja ()=b, siis b a f ( x )dx = f ((t))' (t)dt = f((t))d(t)
protsentides 2. Katkeahenemine ja katkevenivus on alati sama suured väärtused 3. Katkeahenemine on plastsusnäitaja 4. Katkeahenemine on nii plastsus- kui ka sitkusnäitaja Küsimus 6 Õige Hinne 1 / 1 Märgista küsimus Küsimuse tekst Millised väited on õiged katkevenivuse kohta? Vali üks või enam: 1. Katkevenivus on tugevusnäitaja 2. Katkevenivuse mõõtühikuks on N/mm² ja saadakse teimikule mõjuva jõu ja ristlõike jagatisena. 3. Katkevenivus on katsekeha suhteline jäävpikenemine protsentides peale purunemist võrrelduna algpikkusega. 4. Katkevenivus on sitkusnäitaja Küsimus 7 Õige Hinne 1 / 1 Märgista küsimus Küsimuse tekst Milline mõju on teimiku mõõtudel ja kujul tugevusnäitajatele? Vali üks või enam: 1. Tulemused on kindlasti väga erinevad, sest kui detail on suurema ristlõikega, siis selle purustamiseks on vaja suuremat jõudu. 2
saame: f ′(x) = Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 1) C′= 0 , C − konstant 2) ( ) = a 3) ( )′ = ln a , sealhulgas ( )´= 4) ( )´ = , sealhulgas (lnx)´= 5) (sin x)´ = cosx 6) (cos x)′ = −sin x 7) (tan x)′ = 8) (cot x)′ = - 9) (arcsin x)′ = 10) (arccos x)´ = - 11) (arctan x)´ = 12) (arccot x)´= - 19. Funktsiooni diferentsiaali definitsioon. Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena. Funktsiooni diferentsiaali mõiste. Funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks punktis a nimetatakse tuletise f′(a) ja argumendi muudu Δx = x−a korrutist ja tähistatakse dy või df. Seega definitsiooni kohaselt dy = f′(a)Δx . Diferentsiaal sõltub seega kahest suurusest: punktist a, kus diferentsiaal on arvutatud, ja argumendi muudust Δx. Rõhutamaks neid sõltuvusi võib kirjutada dy(a,Δx). Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena.
f(x)dx . Integraali (5.2) avaldamisel asendusvõttega tehakse selle integraali all muutuja vahetus. Selleks valitakse mingi funktsioon u = (x) ja integreerimine muutuja x järgi asendatakse integreerimisega muutuja u järgi. Eeldame, et on üksühene ja diferentseeruv. Tähistame funktsiooni pöördfunktsiooni -ga. Seega x = (u) Paneme kirja funktsiooni tuletise diferentsiaalide jagatisena: dx du = (u). Korrutades seda võrdust du-ga saame dx = (u)du . Integraalsumma mõiste. Olgu antud funktsioon f, mis on pidev lõigul [a, b]. Jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . . , xn, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b. Määratud integraali mõiste. Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga n, st n = max{x1,x2, . . . ,xn}
Seega definitsiooni kohaselt 20. · Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid 1. 2. Tõestus Kasutades tuletise piirväärtuse definisiooni ja tuletise arvutamise reegleid 3. · Liitfunktsiooni diferentseerimise valem Olgu kaks diferentseeruvat funktsiooni ja ning olgu nendest moodustatud liitfunktsioon . Funktsiooni tuletise saab esitada sõltuva muutuja ja argumendi diferentsiaalide jagatisena. Mistõttu on liitfunktsiooni tuletis selline 21. · Ilmutamata funktsiooni diferentseerimine Olgu vaatulse all funktsioon , mis on antud ilmutamata kujul . Funktsiooni ilmutamiseks tuleb lahendada võrrand y suhtes. Tuletise või aga arvutada ka otseselt, kuid tuleb meeles pidada, et kõik y-it sisaldavad liikmed on liitfunktsioonid, mille sisendiks on Teoreem Üksühese funktsiooni pöörfunktsiooni diferentseerimine
Ühik: 1m/s. 2. Inertsus Keha omadus, kus kehad püüavad oma liikumise kiirust säilitada. Mööduks mass: m, 1kg. 3. Võimsus On füüsikaline suurus, mis on määratud tehtud töö ja selleks kulunud aja jagatisega N=A/t ühikuks on 1W= 1J/1s= !kg* mruudus/sruudus 4. Jõumoment 5. Ainehulk , 1mol. Antud keha molekulide arvu ja Avogadro arvu suhe. Võib defineerida ka kui aine massi ja mollarmassi jagatisena. =N/NA=m/M (N-osakeste arv, NA-Avogardo arv 6.02*1023 1mol, m-aine mass 1kg, M-molaarmass 1kg/mol. 6. Pindpinevus 7. Massiühik 8. Võnkumise liigitus 9. TD I seadus Põhineb energia jäävuse seadusel. Süsteemile juurdeantav soojushulk kulub siseenergia suurendamiseks ja mehaaniliseks tööks, mis tehakse välisjõudude vastu: Q=U+A (Q-juurdeantav soojushulk 1J, U-siseeenergia muut 1J, A-välisjõudude
Valmis kroonilt 1,80le toob kaasa Hinne 1,0 / 1,0 Vali üks või enam: nõutava koguse kasvu 2,5% võrra nõutava koguse kasvu 250% võrra nõutava koguse vähenemise 2,5% võrra nõutava koguse kasvu 25% võrra Kui elastsuskoefitsient leiti koguse suhtelise muudu ning hinna suhtelise muudu jagatisena siis sellest tulenevalt ning Kuna E>1, siis hinna langus toob kaasa nõutava koguse suhteliselt suurema kasvu, antud juhul siis hinna langus 10% toob kaasa nõutava koguse suurenemise 25%. Küsimus 6 Nõudluse hinnaelastsuse koefitsient väljendab Valmis
5, siis hinna langus 2 kroonilt 1,80-le toob kaasa Valmis Hindepunkte 1.0/1.0 Valige üks või mitu: nõutava koguse kasvu 2,5% võrra nõutava koguse vähenemise 2,5% võrra nõutava koguse kasvu 250% võrra nõutava koguse kasvu 25% võrra Kui elastsuskoe tsient leiti koguse suhtelise muudu ning hinna suhtelise muudu jagatisena siis sellest tulenevalt ning Kuna E>1, siis hinna langus toob kaasa nõutava koguse suhteliselt suurema kasvu, antud juhul siis hinna langus 10% toob kaasa nõutava koguse suurenemise 25%. Küsimus 6 Nõudluse hinnaelastsuse koe tsient väljendab Valmis Valige üks või mitu: Hindepunkte 1.0/1.0 tarbijate reaktsiooni hinna muutustele
VÜK(360; 140; 35) = 23 32 51 71 = 8 9 5 7 = 2520 360 2 140 2 35 5 180 2 70 2 7 7 90 2 35 5 1 45 3 7 7 15 3 1 5 5 1 4) Iga naturaalarvu a ja b korral kehtib võrdus : a b = SÜT(a; b) VÜK(a; b) 11. Ratsionaalarvud. 1) Ratsionaalarvuks nimetatakse sellist arvu, mis avaldub jagatisena. 2) Ratsionaalarvude hulk on tihe, sest iga kahe mittevõrdse ratsionaalarvu vahel leidub veel lõpmata palju ratsionaalarve. 3) Ratsionaalarvude hulk on kinnine kõigi aritmeetiliste tehete suhtes v.a. 0-ga jagamine. 4) Iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. Iga lõpmatu perioodiline kümnendmurd avaldub ratsionaalarvuna. x=0,(36) x=1.2(43)
C. Katkeahenemine on algristlõikepindala ja purunemiskoha ahenenud osa pindala suhe protsentides D. Katkeahenemine on plastsusnäitaja. Score: 0/3 9. Millised väited on õiged katkevenivuse kohta? Student Response Student Response B. Katkevenivuse mõõtühikuks on N/mm2 (ruudus) ja saadakse teimikule mõjuva jõu ja ristlõike jagatisena. C. Katkevenivus on katsekeha suhteline jäävpikenemine protsentides peale purunemist võrrelduna algpikkusega D. Katkevenivus on tugevusnäitaja Score: 3/3 10. Kus kasutatakse plastsusnäitajaid? Student Response 1. Materjali keevitatavuse hindamisel 2. Sitkuse hindamisel vastutusrikastes konstruktsioonides 3. Materjali tugevuse hindamisel
DEF 1. Elementaarfunktsiooniks nim. iga funkstiooni, mis on esitatav põhiliste
elementaarfunktsioonide kaudu.
DEF 2. Funktsiooni Pn(x)=a0xn+a1xn-1+...+an-1x+an nim. n-astme polünoomiks ehk
täisratsionaalseks funktsiooniks.
Algebra põhiteoreem: igal komplekssete kordajatega n-astme polünoomil Pn(x) on täpselt n
kompleksset nullkohta x1, x2,...,xn.
DEF 3. Ratsionaalfunktsiooniks ehks murdratsionaalseks funktsiooniks nim. kahe polünoomi
jagatisena esitatavat funktsiooni f(x)= Qm(x)/Pn(x)
DEF 4. Ratsionaalfunktsiooni nim. lihtmurruks, kui m
annaabi.ee 
