TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Mehhatroonikainstituut JÜRI KIRS INSENERIMEHAANIKA III Loenguid ja harjutusi dünaamikast Tallinn 2004 J. Kirs Loenguid ja harjutusi dünaamikast 2 III osa. DÜNAAMIKA §1. Sissejuhatus 1. Dünaamika aine ja põhikategooriad Dünaamikaks nimetatakse mehaanika osa, milles uuritakse materiaalsete kehade liikumist neile rakendatud jõudude mõjul. Staatikas uuritakse ainult jõudusid ja jõusüsteeme ning seal ei uurita seda, kuidas
Tallinna Tehnikaülikool Mehhatroonikainstituut Kodutöö D-1 Punkti dünaamika II põhiülesanne Variant 19 Õppejõud: Jüri Kirs Üliõpilane: Matrikli number: Rühm: Kuupäev: 17.11.09 Tallinn 2009 Ülesanne nr 1. Punktmass massiga m saab algkiiruse v 0 ja liigub keskkonnas, mille takistus on R = b v . Millise aja vältel jääb punktmass seisma ja millise vahemaa ta läbib selle ajaga? Lahendus gg Põhivõrrand m x = Fx , kus Fx = - R ja takistusjõud R = b v kokkuvõttes põhivõrrand gg gg
Esimest järku: ydy + xdx = 0; x2yzx + xy2zy = exy. Teist järku: y'' + y = 2ex; zxx + zyy = 0. ning nurgaga fikseeritud suunast. Punkti, mille suhtes kaugusi mõõdetakse, nimetatakse pooluseks. Poolusest väljuvat kiirt, mis Diferentsiaalvõrrandi lahend on funktsioon, mille asetamisel võrrandisse saame samasuse sõltumatute muutujate suhtes. Olgu fikseerib suuna, nimetatakse 'polaarteljeks. Kaugust poolusest r nimetatakse radiaalkoordinaadiks ehk polaarraadiuseks. Nurka F(x,y,z) määratud piirkonnas c R3. Vahemikus (a,b) määratud funktsiooni y=y(x) nimetatakse võrrandi F(x,y,y') = 0 lahendiks
a = at2 + a n2 ühikvektor. r r Kui at > 0 , siis a t v Normaalkiirendus r r Kui at < 0 , siis a t v Iseloomustab kiiruse suuna muutumist ajas. r v2 r an = n , kus n on kiirusega ristiolev r ühikvektor Kinemaatika võrrandid Pöörlemise kinemaatika võrrandid ax t 2 = 0 ± t x = x0 + v0 x t + 2 t2 = 0 t ± v x = v0 x + a x t 2 Ühtlaselt muutuval, ühesuunalisel liikumisel: s v = v0 ± a t v a t2 at
Tallinna Tehnikaülikool Mehhatroonikainstituut Jüri Kirs, Kalju Kenk Kodutöö D-2 D'Alembert'i printsiip Tallinn 2007 Kodutöö D-2 D'Alembert'i printsiip Leida mehaanikalise süsteemi sidemereaktsioonid kasutades d'Alembert'i printsiipi ja kinetostaatika meetodit. Kõik vajalikud arvulised andmed on toodud vastava variandi juures. Seda, millised sidemereaktsioonid süsteemi antud asendis tuleb leida, on samuti täpsustatud iga variandi juures
80. 81. Jäiga keha tasapinnaline liikumine · poolus punkt, ümber mille kujund pöörleb mingi nurkkiirusega 82. nurkkiirus ei sõltu pooluse valikust · kiiruste hetkeline tsenter punkt, mille kiirus võrdub nulliga.... teisisõnu vist, et ümber selle punkti toimubki pöörlemine. Teoreem: kui tasapinnalise kujundi nurkkiirus ei võrdu nulliga, siis on kiiruste 83. hetkeline tsenter olemas. 84. Liitliikumine · indeks e punkti kaasaliikumine. Kirs ütleb, et ,,lööme punkti keha külge(liikuv taustsüsteem) kinni ja vaatame siis selle punkti liikumist · Indeks r-relatiivne liikumine, vaadeldakse punkti liikumist taustsüsteemi suhtes. · ac = 2e vr Indeks c-Coriolise kiirendus. Iseloomustab kaasaliikumise kiirenduse muutumist relatiivsel liikumisel ja relatiivse kiiruse muutumist kaasaliikumist. · Taustsüsteemi enda liikumone on vaatluse alt väljas. 85
MATEMAATLINE ANALÜÜS II 1. KORDSED INTEGRAALID Kordame kõigepealt mõningaid teemasid Matemaatlise analüüsi I osast. 1.1 Kahe muutuja funktsioonid Kui Tasndi R 2 mingi piirkonna D igale punktile x, y D seatakse ühesel viisil vastavusse arv z, siis öeldakse, et piirkonnas D on määratud kahe muutuja funktsioon z f x, y . Piirkoda D nimetataksefunktsiooni f määramispiirkonnaks. See on mingi piirkond xy-tasandil. Näide 1. Poolsfääri z 1 x2 y 2 määramispiirkonnaks on ring x 2 y2 1.
....16 22. Kirjeldada logaritmilise diferentseerimise võtet. Millistel juhtudel seda võtet rakendatakse? Tuua näide. .................................................................................................................................... 17 23. Eeskiri parameetrilisel kujul antud funktsiooni diferentseerimiseks. ......................................18 24. Eeskiri ilmutamata kujul antud funktsiooni diferentseerimiseks. ............................................18 25. Funktsiooni diferentsiaal, diferentsiaali omadused, tuua näiteid diferentsiaali kasutamisest ligikaudsel arvutamsel. .................................................................................................................. 19 26. Funktsiooni kõrgemat järku tuletis. ......................................................................................... 19 27. Kirjeldage joone puutuja ja normaali võrrandite leidmist. ...................................................... 19 28
14. Funktsiooni katkevuspunktid 15. Funktsiooni tuletise m~oiste, selle geomeetriline ja mehhaaniline t~olgendus 1 16. Pidevus ja diferentseeruvus 17. M~onede p~ohiliste elementaarfunktsioonide tuletised 18. Diferentseerimisreeglid 19. P¨o¨ordfunktsiooni tuletis 20. Liitfunktsiooni tuletis 21. Logaritmiline diferentseerimine 22. Ilmutamata funktsiooni tuletis 23. Parameetrilisel kujul esitatud funktsiooni tuletis 24. Funktsiooni diferentsiaal 25. K~orgemat j¨arku tuletised 26. Joone puutuja ja normaali v~orrandid 27. Rolle'i teoreem 28. Cauchy teoreem 29. Lagrange'i teoreem 30. L'Hospitali reegel 31. L'Hospitali reegel teistel m¨aa¨ramatuse juhtudel 32. Taylori valem 33. Funktsioonide ex , sin x ja cos x arendid Maclaurini valemi j¨argi 34. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine 35. Funktsiooni lokaalsed ekstreemumid 36. Funktsiooni suurim ja v¨ahim v¨a¨artus antud l~oigul 37. Funktsiooni graafiku kumerus ja n~ogusus
2 cos sin 2 2 sin x / 2 x = lim x->0cos(x+ x/2) lim x->0 x / 2 = x=0 cosx*1 =cosx 16.Kõrgemat järku tuletised Y=f(x)-dif-v-> y'=lim x->0 y/ x-y'=y'(x)-f-n! *(y')'=y'' II järku tuletis *(y'')'=y''' III järku tuletis *(y(n-1))'=yn NB! Y=sinx; y=cosx; y=e', y=P3(x)=a0x3+a1x2+a2x+a3 *y=sinx, y'=cosx=sin(x+ /2), y''=-sinx=cos(x+ /2)=sin(x+2 /2); yn=(sinx)n=sin(x+n /2) 17. f-ni diferentsiaal Y=f(x)-> y'=f'(x)= lim x->0 y/ x=>dif-v(hulgas D=(a;b)-> y/ x=y'+ n| x=> y=y' x+ n x; y-f-ni muut; y' x-f-ni diferentsiaal; n x- kõrgemat järku lõpmata väikesed suurused. *Def F-ni diferentsiaaliks nim f-ni muudu peaosa. Nt dy=y' x; y=x, y'=x'=1 dy= y' x=1 x=dx=> dy= y'dx. *Argumendi enda dif on võrdne argumendi enda dif-ga: y'=dy/dx.*Dif geom. Tõlgendus:JOONIS! Y'=tan , PRS: dy=y' x=tan * x=SR/PR*PR=SR=> dy=SR *Järeldus: F-ni dif isel joone puutuja punkti,
. . . . . . . . . . 40 4.5 Tähtsad piirväärtused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.6 Pidevad funktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.7 Funktsiooni katkevusviise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.8 Pidevate funktsioonide omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5 Funktsiooni tuletis ja diferentsiaal 47 5.1 Keskmine kiirus ja hetkkiirus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.2 Tuletise definitsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.3 Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.4 Diferentseerimise reeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
r s ds moodul erinevad vähe, seega- lim = lim = . t 0 t t 0 t dt Läbitud teepikkuse arvutamine s Eelnevast avaldisest järeldub, et v . Antud võrdus on seda täpsem mida väiksem on t. t N Kiirus on aja funktsioon v=v(t). Avaldis lim x 0 f ( x)x . Järelikult on punkt ajavahemikus t1 t2 kuni t2 läbinud tee, mille pikkus avaldub integraaliga s = v (t ) dt . t1 Ühtlane liikumine Liikumist, mille kiiruse suurus ei muutu, ehkki suund võib muutuda, nimetatakse ühtlaseks.
dt ajaühikus an = v 2 r , kus r on trajektoori antud punkti kõverusraadius. Ühtlaselt muutuval ( ax = const ) x-telje sihilisel liikumisel, punktmassi koordinaat ja kiiruse projektsioon x-teljele ajahetkel t avalduvad vastavalt valemitele x = x 0 + v 0xt + axt 2 / 2 ning v x = v 0x + axt . Ühtlaselt muutuva liikumise korral, mis on kõigi kolme koordinaattelje sihiliste ühtlaselt muutuvate liikumiste summa, lisanduvad analoogilised võrrandid ka teiste telgede jaoks. G G Keha pöörlemist ümber telje iseloomustavad nurkkiirus ja nurkkiirendus . d Nurkkiirus iseloomustab pöördenurga muutumist ajaühikus = ja ühtlasel dt G
5.2 Töö, võimsus, kasutegur 5.3 Energia, selle liigid 5.3 Energia jäävuse seadus 5.4 Konservatiivsed jõud. Potentsiaalse energia gradient 5.5 Põrge 5.5a Absoluutselt mitteelastne põrge 5.5b Absoluutselt elastne põrge 6. PÖÖRDLIIKUMISE DÜNAAMIKA 6.1 Jõumoment 6.1a Newtoni III seaduse analoog pöördliikumisel. 6.2 Impulsimoment 6.3 Impulsimomendi jäävuse seadus. 6.4 Inertsimoment 6.5 Pöördliikumise dünaamika põhivõrrand 6.6 Steineri lause 6.7 Mõningate lihtsamate kehade inertsimomentide arvutamine 6.7a Homogeense varda inertsimoment varda keskpunkti suhtes. 6.7b Ketta inertsimoment tema sümmeetriatelje suhtes 6.8 Pöörleva keha kineetiline energia. 7. VÕNKUMISED 7.1 Tasakaalu liigid 7.2 Sumbuvvõnkumine 7.2 Harmooniline võnkumine. 7.2a Matemaatiline pendel 7.2b Füüsikaline pendel 7.3 Harmoonilise võnkumise energia. 7.4 Sundvõnkumine. Resonants 8. LAINED 8
artustele erinevad ruumi punktid. Kui muutuja t jookseb l¨abi kogu l~oigu [T1 , T2 ], siis t-le vastav punkt kujundab ruumis Rm punktihulga, mida nimetatakse jooneks. V~orrandeid (6.2) nimetatakse selle joone parameetrilisteks v~ orranditeks ja muutujat t selle joone parameetriks. 2) Vektorid mitmemõõtmelises ruumis. Punkti kohavektor. Vektori suunaline sirge ja selle parameetrilised võrrandid. Vektorite skalaarkorrutis. Mitmemõõtmeline ruum kui eukleidiline ruum. Cauchy-Schwartzi võrratus. Teljed mitmemõõtmelises ruumis. Olgu antud 2 punkti A = (a1 , a2 , . . . , am ) ja B = (b1 , b2 , . . . , bm ) ruumis Rm . Vaatleme punktist A punkti B suunatud sirgl~oiku. See on punktide P = (x1 , x2 , . . . , xm ) hulk, mille koordinaadid xi rahuldavad parameetrilisi v~orrandeid x1 = a1 + (b1 - a1 )t
üldlahend mis sisaldab suvalist konstanti C Diferentsiaalvõrrandi Diferentsiaalvõrrandi erilahendiks nimetatakse diferentsiaalvõrrandi lahendit, erilahend mis on saadud üldlahendist konstantidele arvuliste väärtuste andmisel Cauchy ülesanne Cauchy ülesandeks nimetatakse ülesannet, kus on vaja leida diferentsiaalvõrrandi F(x,y,y',...,y(n))=0 lahend y, mis rahuldab algtingimusi y(x0)=y0, y'(x0)=y1,..., y(n-1)(x0)=yn-1 Lahendi olemasolu ja Olgu f(x,y) ja f'y määratud ja pidevad muutujate x,y piirkonnas D. Siis iga ühesuse teoreem punkti (x0, y0) D korral on Cauchy ülesandel y'=f(x,y), y(x 0)=y0 parajasti üks lahend y=y(x) Lineaarne Lineaarseks esimest järku diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mis
x taustsüsteem r - punktmassi kohavektor vaadeldavas taustsüsteemis. v - punktmassi kiirusvektor vaadeldava taustsüsteemi suhtes. Punktmassi koordinaadid tema kohavektori komponendid (projektsioonid). r (t ) = i x(t ) + j z (t ) + k y (t ) = ( x, y , z ) . (1.1) Trajektoor keha liikumisjoon. Seda kirjeldavad võrrandid parameetrilised võrrandid, x = x(t ) y = y(t ), (1.2) z = z(t ) kus parameetriks on aeg. Punktmassi kiirusvektoriks nimetatakse tema kohavektori ajalist tuletist: dr v= = r . (1.3) dt Rõhutame, et punktmassi kiirusvektor on alati suunatud piki tema trajektoori puutujat.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.8 L~opmatult kahanevate ja l~opmatult kasvavate suuruste v~ordlemine. 43 2.9 Funktsiooni pidevus. Katkevuspunktide liigitus. . . . . . . . . . . 45 ¨ 2.10 Uhepoolne pidevus. Pidevus hulkadel. Elementaarfunktsioonide pidevus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.11 L~oigul pidevate funktsioonide omadusi. . . . . . . . . . . . . . . . 52 3 Tuletis ja diferentsiaal 57 3.1 Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali m~oisted. . . 57 3.2 N¨aiteid tuletiste kohta rakendustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Tuletiste arvutamise p~ohireeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 Ilmutamata funktsiooni, p¨o¨ordfunktsiooni ja parameetrilise funk- tsiooni diferentseerimine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 iii
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.8 L~opmatult kahanevate ja l~opmatult kasvavate suuruste v~ordlemine. 43 2.9 Funktsiooni pidevus. Katkevuspunktide liigitus. . . . . . . . . . . 45 ¨ 2.10 Uhepoolne pidevus. Pidevus hulkadel. Elementaarfunktsioonide pidevus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.11 L~oigul pidevate funktsioonide omadusi. . . . . . . . . . . . . . . . 52 3 Tuletis ja diferentsiaal 57 3.1 Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali m~oisted. . . 57 3.2 N¨aiteid tuletiste kohta rakendustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Tuletiste arvutamise p~ohireeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 Ilmutamata funktsiooni, p¨o¨ordfunktsiooni ja parameetrilise funk- tsiooni diferentseerimine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 iii
163 Tugevusanalüüsi alused 11. DETAILIDE PAINDEDEFORMATSIOONID 11. DETAILIDE PAINDEDEFORMATSIOONID 11.1. Varda elastne joon Elastne joon = painutatud varda telje (ehk Elastse joone igat punkti neutraalkihi) kujutis peatasandil iseloomustavad selle läbipaine ja puutuja pöördenurk (Joon. 11.1): Läbipaine = varda elastse joone Pöördenurk = elastse joone puutuja (telje) siire telje ristsihis (vB) tõusunurk (B) Painutatud konsool Konsooli elastne joon
taktsagedus ja operatiivmälu maht 5) Temperatuur küdeva pliidi raual konkreetsel ajahetkel: T = T(x, y), x,y tasapinnalised ristkoordinaadid 16. Kirjeldada eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrandi lahendamist. Diferentsiaalvõrrandi F=(x,y,y') lahendiks nimetatakse iga funktsiooni y = y (x), mille asendamisel võrrandisse saame samasuse. Näide Näidata, et funktsioon on diferentsiaalvõrrandi lahend (C1 ja C2 on suvalised konstandid). ja asendades lahendi y (x) ning 2. järku tuletise algvõrrandisse, saame samasuse: ( sin cos ) ( sin cos ) 0 1 2 1 2 - C x - C x + C x +C x 3 Lahendus: Leiame tuletised (POLE VAJA) Näide y'+1=0 y=-x sest(-x)'=1 y=-x+c, c=const(-;) Eralduvate muutujatega DV Eralduvate muutujatea diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse võrrandit kujul...jne(Slaid21-22jne, loeng10) Tõestamisülesanded 1
Suurust lt nim. füüsikalise pendli taandatud pikkuseks. Seega on füüsikalise pendli taandatud pikkus võrdne niisuguse matem. pendli pikkusega, mille võnkeperiood on võrdne antud füüs. pendli võnkeperioodiga. MATEM. PENDEL- Matem. pendliks nim. idealiseeritud süs.-mi, mis koosneb kaalutust ja venimatust niidist, mille mass on koondunud ühte punkti. Matem. pendli küllalt heaks lähenduseks on pika peene niidi otsa riputatud väike raske kuulike. Pöördemomendi avaldis: M= = -mgl*sin . (joon.6) Pendli pöörlemise dünaamika põhivõrrand. Tähistan nurkkiirenduse ning, et pendli inertsimoment on ml 2 saan, ml2= -mgl*sin . Seda võrrandit saab teisendada: +g/lsin=0. Matem. pendli võnkumissagedus sõltub ainult pendli pikkusest ja raskuskiirendusest, kuid ei sõltu pendli massist. Matem. pendli võnkeperioodi valem keskkoolist on T=2l/g. Võrrandi +g/l sin=0 lahendamine annab võnkeperioodi valemi T = T=2l / g{1+(1/2)2sin2 a/2+(1/2*3/4)2sin4 a/2+...}. §42
Antud süsteem määrab iga t [T1, T2] korral ühe kindla ruumi Rm punkti P =(x1, x2, . . . , xm). Üldiselt vastavad muutuja t erinevatele väärtustele erinevad ruumi punktid. Kui muutuja t jookseb läbi kogu lõigu [T1, T2], siis t-le vastav punkt kujundab ruumis Rm punktihulga, mida nimetatakse parameetriliseks jooneks. 2) Vektorid mitmemõõtmelises ruumis. Punkti kohavektor. Vektori suunaline sirge ja selle parameetrilised võrrandid. Vektorite skalaarkorrutis. Mitmemõõtmeline ruum kui eukleidiline ruum. Cauchy-Schwartzi võrratus. Teljed mitmemõõtmelises ruumis. · 2 punkti A = (a1, a2, . . . , a m) ja B = (b1, b2, . . . , bm) ruumis Rm.Vaatleme punktist A punkti B suunatud sirglõiku. See on punktide P = (x1, x2, . . . , xm) hulk, mille koordinaadid x-id rahuldavad parameetrilisi võrrandeid x1 = a1 + (b1 - a1)t
Antud süsteem määrab iga t [T1, T2] korral ühe kindla ruumi Rm punkti P =(x1, x2, . . . , xm). Üldiselt vastavad muutuja t erinevatele väärtustele erinevad ruumi punktid. Kui muutuja t jookseb läbi kogu lõigu [T1, T2], siis t-le vastav punkt kujundab ruumis Rm punktihulga, mida nimetatakse parameetriliseks jooneks. 2) Vektorid mitmemõõtmelises ruumis. Punkti kohavektor. Vektori suunaline sirge ja selle parameetrilised võrrandid. Vektorite skalaarkorrutis. Mitmemõõtmeline ruum kui eukleidiline ruum. Cauchy-Schwartzi võrratus. Teljed mitmemõõtmelises ruumis. · 2 punkti A = (a1, a2, . . . , a m) ja B = (b1, b2, . . . , bm) ruumis Rm.Vaatleme punktist A punkti B suunatud sirglõiku. See on punktide P = (x1, x2, . . . , xm) hulk, mille koordinaadid x-id rahuldavad parameetrilisi võrrandeid x1 = a1 + (b1 - a1)t
Integraalsumma ∑𝑛𝑘=1 𝑓(𝑃𝑘 ) ∆𝑠𝑘 jaotame kaheks neid punkte ühendava joone valikust.Tõestus: Kõigepealt näitame, et: ∮Г 𝑋𝑑𝑥 = − ∬𝐷 𝑋𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦. 1. Olgu D punktis antud kahe muutuja funktsioonil lokaalset ekstreemumit ei ole. Seega tekib probleem, kuidas teha liidetavaks. Esimesse liidetavasse võtame need korrutised, mis sisaldavad piirkonna D1 osapiirkondi, selle normaalne piirkond x-telje suhtes, st D={(x,y)} ( ׀a ≤ x ≤ b) ˄ (𝜑 (x) ≤ 𝜑 (x))}. Rajajoont Г läbime positiivses
punktis Fy0, siis dy/dx= -(Fx(x,y)/Fy(x,y)) Teoreem ilmutamata funktsioonist tõestusega Olgu ühemuutuja funktsioon y=f(x) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x,y)=0. Eeldame, et tuletis f'(x) eksisteerib punktis x=a ja osatuletised Fx'(P) ja Fy'(P) eksisteerivad punktis P(a,f(a)). Peale selle, olgu Fy'(a,f(a))0. Siis kehtib valem F ' (a, f (a )) f ' (a ) = - x' Fy (a, f (a )) Tõestus. Leiame kõigepealt funktsiooni F(x,f(x)) tuletise avaldise. df F Kuna teoreemi eelduste kohaselt (a ) , ja ( a, f ( a )) eksisteerivad, dx y siis täistuletise arvutamise eeskirja põhjal kehtib x=a korral järgmine valem dF F F df ( x, f ( x )) = ( x, f ( x )) + ( x, f ( x )) ( x) dx x y dx
∆x on keha absoluutne pikenemine, l keha esialgne pikkus, S keha ristlõike pindala. 16. Hooke’ seadus? Mis on mehaaniline pinge ja kuidas sellest sõltub elastsusjõud? Kuidas muutub energia deformatsiooni käigus? Hooke’i seadus väidab, et suhteline deformatsioon on võrdeline deformeeriva pingega. ∆l F =k ∙ l S , kus Δl on absoluutne pikenemine, l – keha esialgne pikkus, F – venitav jõud, S – keha ristlõike pindala, k – materjalist sõltuv võrdetegur, mida nimetatakse elastsuskoefitsiendiks. F on suunatud kehast väljapoole(venitamine), samuti Δl. S Teine kuju: Fel = -k ∙ Δx, kus k = I ∙ E . k on keha jäikus, ∆x keha pikkuse muutus (võrreldes tasakaaluasendiga) ning E on elastsusmoodul. Miinusmärk k ees näitab, et elastsusjõud on vastassuunaline deformeeruva jõuga. Mehaaniline pinge iseloomustab keha sees mõjuva surve-, tõmbe- või nihkejõu suurust keha pingalaühiku kohta.
Keha liikumisvõrrand r(t)=x(t)i+y(t)+z(t)k, kus x(t), y(t), z(t) on kolm sõltumatut funktsiooni. Teist järku diferentsiaalvõrrand (Newtoni II) r=a= d²r/dt² = 1/m *F Ruutpolünoomi r(t) = r0+v0+ a/2 *t² -ühtlaselt muutuva liikumise valemit, kus r0 algasend, v0 algkiirus, a kiirendus Keha pöörlemisvõrrand (t)=0 + 0 *t + /2 *t² - ühikud on radiaan Newtoni II seadus (kiirendus- ja impulssesitus) r=a= 1/m *F Impilss ehk liikumishulk p= mv Kulgliikumise diferentsiaalvõrrand a=1/m *F r= d²r/dt²=1/m *F Kulg diferentsvõrr lahendamine jõu puudumisel ning konstantse jõu korral (tuletusega) a) kui jõud on null, x=0 d/dt (dx/dt)=0 dx/dt=v0x=const, dx=voxdt voxdt=voxt+x0 , kus vox ja x0 on koordinadi väärtusega ajahetkel t=0. b) kui j]ud on konstantne (raskujõud: F=mg, hõõrdejõud: F=P), on võrrandi lahendiks polünoom x= x0 + vox*t + ax/2 *t²; ax=1/m *Fx Töö: skalaarkorrutis ja joonintegraal A=Fs=Fscos((Fs)), kus s=r=r2-r1 ning ((Fs)) tähistab vektorite vahelist nu
0 kuuli mass m. Süsreemil on kaks vabadus astet. p p Teinud baromeetrilises valemis asenduse mi m Võnkumiste võrrandid: x=acost ja j 2
TÕESTUSED, TULETUSKÄIGUD, PÕHJENDUSED!!! 23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana y = f'(a)x + , kus = r(x)x Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f'(a)x ja teine on . M~olemad liidetavad on l~opmatult kahanevad protsessis x 0. V~ordleme neid suurusi x suhtes. Esiteks, eelduse f'(a) 0 p~ohjal saame lim dy x= lim f'(a)/x* x= lim f'(a) = f(a) 0. x0 x0 x0 Teiseks kehtib lim / x = lim r(x)x /x = lim r(x) = 0. x0 x0 x0 N¨aeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama j¨arku l~opmatult kahanev suurus kui
C, kus F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon ja C konstant, mida nimetatakse integreerimiskonstandiks. Muutujat x nimetatakse integreerimismuutujaks. Integraali märgi all olevat funktsiooni f(x) nimetatakse integreeritavaks funktsiooniks. Integraalialuseks avaldiseks nimetatakse avaldist f(x)dx. Näide: 2 xdx = x +C 2 1. MÄÄRAMATA INTEGRAALI OMADUSED 1. Tuletis määramata integraalist võrdub integreeritava funktsiooniga [ f ( x) dx ] = f ( x ) 2. Diferentsiaal määramata integraalist võrdub integraalialuse avaldisega: d f ( x ) dx = f ( x ) dx 3. Määramata integraal mingi funktsiooni tuletisest võrdub selle funktsiooniga pluss suvaline integreerimiskonstant: F ( x ) dx = F ( x ) +C 4. Konstantse teguri võib tuua integraalimärgi ette: kf ( x ) dx = k f ( x ) dx , kus k = const 5. Summat ja vahet võib integreerida liikmeti: [ f ( x ) ± g ( x )] dx = f ( x ) dx ± g ( x ) dx INTEGREERIMISE PÕHIVALEMID
Loengukonspekt õppeaines MASINAMEHAANIKA Koostanud prof. T.Pappel Mehhatroonikainstituut Tallinn 2006 2 SISUKORD SISSEJUHATUS 1. ptk. MEHHANISMIDE STRUKTUURITEOORIA 1.1. Kinemaatilised paarid, lülid, ahelad 1.1.1. Kinemaatilised paarid 1.1.2. Vabadusastmed ja seondid 1.1.3. Lülid, kinemaatilised ahelad 1.2. Kinemaatilise ahela vabadusaste. Liigseondid. Liigliikuvused 1.2.1. Vabadusaste 1.2.2. Liigseondid. Liigliikuvused. 1.3. Mehhanismide struktuuri sünteesimine 1.3.1. Struktuurigrupid 1.3.2. Kõrgpaaride arvestamine 1.3.3. Kinemaatiline skeem. Struktuuriskeem 2. ptk. MEHHANISMIDE KINEMAATILINE ANALÜÜS 2.1. Eesmärk. Algmõisted 2.2. Mehhanismide kinemaatika analüütilised meetodid
C, kus F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon ja C konstant, mida nimetatakse integreerimiskonstandiks. Muutujat x nimetatakse integreerimismuutujaks. Integraali märgi all olevat funktsiooni f(x) nimetatakse integreeritavaks funktsiooniks. Integraalialuseks avaldiseks nimetatakse avaldist f(x)dx. Näide: 2 xdx = x +C 2 1. MÄÄRAMATA INTEGRAALI OMADUSED 1. Tuletis määramata integraalist võrdub integreeritava funktsiooniga [ f ( x) dx ] = f ( x ) 2. Diferentsiaal määramata integraalist võrdub integraalialuse avaldisega: d f ( x ) dx = f ( x ) dx 3. Määramata integraal mingi funktsiooni tuletisest võrdub selle funktsiooniga pluss suvaline integreerimiskonstant: F ( x ) dx = F ( x ) +C 4. Konstantse teguri võib tuua integraalimärgi ette: kf ( x ) dx = k f ( x ) dx , kus k = const 5. Summat ja vahet võib integreerida liikmeti: [ f ( x ) ± g ( x )] dx = f ( x ) dx ± g ( x ) dx TÕESTUSED 1. [ f ( x) dx ] = f ( x )
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
