Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Hulkliige". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
liikmega, sulgude, kaksliikme, arvudega, hulkliige, korrutamine, korrutamisel, ruuduga, miinus, komponendis, summat, liikmeteks, hulkliikmete, liitmine, miinusmärk, kummagi, rühmitamisvõte, samade2.ptk Hulkliikmed 8.klass Õpitulemused Näited 1.Hulkliige - üksliikmete summa üksliikmed: ; ; ; 2.Hulkliikme liikmed ja kordajad - korrastatud hulkliige liikmed: üksliikmed, mille liitmisel hulkliige moodustub liikmed on ; -2 ; kordaja: iga liikme ees olen arv kordajad on 1; -2; 1 3.Korrastatud hulkliige - järjestada hulkliikme liikmed muutujate astendajate summa kahanemise järjekorras, võrdsete astendajate summa puhul lähtuda tähestikust, liikmed normaalkujulised, võimalusel koondada 4.Kaksliige - hulkliige, milles on kaks mittesarnast liiget 5.Kolmliige - hulkliige, milles on kolm mitte- sarnast liiget 6.Hulkliikmete liitmine - kui sulgude ees on plussmärk, siis tuleb sulgude avamisel jätta sulgude sees olnud liikmete märgid endiseks, s.t. ühe hulkliikme liikmed kirjutatakse teise
HULKLIIKMED(2.ptk) Mis on hulkliige? Hulkliikmeks nimetatake üksikliikmete summat. Kordajad 3 Hulkliikme liikmed Hulkliikmete liitmine ja lahutamine (5a-6b+7)+(2a-9b-5)=5a-6b+7+2a-9b-5 =3a+3b+12 Kui sulgude ees on + märk , siis tuleb sulgude avamisel jätta sulgude sees olnud liikmete märgid endiseks. Kui sulgude ees on märk, siis tuleb sulgude avamisel muuta sulgude sees olnud liikmete märgid vastupidiseks. Hulkliikmete korrutamine üksikliikmega 1,5 3( 1) Ava sulud ( ) 2) Koondatakse.( Sarnased liidetavad, astendajad ei muutu) Hulkliikmete jagamine üksliikmetega 1) Teguri toomine sulgudest välja Hulkliikme teisendamist korruiseks nimetatakse hulkliikmete tegurdamiseks. 6 6 Tuues miinusmärgi ette muudame sulgudes märgid vastupidiseks. Kaksliikmete korrutamine (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd Võimalisel ka koondatakse (6a-3)(2a+3)-(3a-4)(2a+1)= Rühmitamisvõte Ruutude vahe valem (a+b)(a-b)=
2ab ; ab ; 7ab Sarnased üksliikmed erinevad ainult eesoleva arvulise teguri poolest. NÄIDE 1: Avaldises 3x - 8 - 6x + 4 NÄIDE 2: 3x - 8 - 6x + 4 = (3 - 6)x + (-8 + 4) = -3x – 4 NÄIDE 3: x + 5y - y + 7x = (1 + 7)x + (5 - 1)y = 8x + 4y NÄIDE 4: 5m + 2n - 6 - 5m + 4 = (5 - 5)m + 2n + (-6 + 4) = 2n – 2 NÄIDE 5: 3a2 + 4xy - a2 + xy - 5xy - 2a2 = (3 - 1 - 2)a2 + (4 + 1 - 5)xy = 0 NÄIDE 5: 7yw – 4w² - 8w² - 10w² = 7yw – 22w² 5. Hulkliige, hulkliikmete liitmine ja lahutamine. Hulkliige on üksliikmete summa. 2a + b ; 2a + b + 7c + 2 ; 3yzx NÄIDE 1: (3 + 7v²) + (3 + 6v) = 3 + 7v² + 3 + 6v = 6 + 7v² + 6v NÄIDE 2: (-6w² - 4) – (5 + 7w² - 8w) = -6w² - 4 – 5 -7w² + 8w = 13w² - 9 + 8w NB! Miinus märk sulu ees, muudab märgi sulu sees!!! 6. Hulkliikmete korrutamine ja jagamine üksliikmega. Hulkliikme korrutamisel üksliikmega korrutame hulkliikme iga liikme üksliikmega ja tulemused liidame.
1) Võrdsete alustega astme korrutamine. *Võrdsete alustega astme korrutamisel astendajad liidetakse. am x an = a m+n 2)Võrdsete alustega astme jagamine. *Võrdsete alustega astmete jagamisel astendajad lahutatakse. am : an = a m-n 3) Korrutise astendamine. *Korrutise astendamisel võib astendada iga tegur eraldi ja siis saadud tulemus korrutada. ( a x b )m am x bm 4) Jagatise astendamine. *Jagatise astendamisel võib astendada eraldi jagatava ja jagaja ja seejärel jagada üks tulemus teisega. ( a x b ) m am : bm 5) Astme astendamine,
Näide Üksliikmete 3,7x, 5x3 ja - x2 lahutamisel üksliikmest 6 saame avaldise 6 3,7 x 5x 3 x 2 Üksliikmete liitmisel ja lahutamisel saadud avaldisi nimetatakse algebralisteks summadeks. Üksliikmete algebralises summas võib muuta liidetavate järjekorda. algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Üksliikmete algebralise summa koondamine. Üksliikmete korrutamine ja jagamine Kui üksliikmete algebralises summas esineb sarnaseid liikmeid, siis need koondatakse, s. t. asendatakse kõik sarnased liikmed üheainsa liikmega, mille kordaja võrdub asendatavate liikmete kordajate summaga. Näited 4 x 2 3xy 5 x 2 xy x 2 4 xy abc 2 3x 3 2,5ac 2b (5 x)3 xy 122x 3 1,5abc 2 xy 125x 3 Üksliikmete korrutamisel kordajad korrutatakse ja ühesuguste täheliste tegurite astendajad liidetakse.
Jäägu see aga lahendajaile iseseisvaks tööks.) Samas saame selle punkti ka välja arvutada. Parabool on alati sümmeetriline. Järelikult, kui parabool lõikab x-telge ehk tal on nullkohad, siis kahe nullkoha keskpunkti läbibki parabooli sümmeetriatelg. Arvutame. Nullkohad saavad vaid siis olla, kui muutuja y = 0. See tähendab, et paneme võrrandi y = 2x2 6x võrduma väärtusega 0. Saame 0 = 2x2 6x. Antud juhul võtame muutuja x sulgude ette. Saame x(2x 6) = 0. Kasutame loogikat. Korrutise tulemus on ainult siis 0, kui üks korrutatavatest on 0. Meil on kaks korrutise tegurit: x ja 2x 6. Et korrutis tuleks null, peavad mõlemad võrduma nulliga. Nii saamegi, et x1 = 0 ja 2x 6 = 0. Viimasest seosest saame, et 2x = 6, millest x2 = 3. See läheb kokku ka meie joonisega. Nende kahe punkti keskkoha saame kätte, kui nende vahekauguse jagame kahega. [0 (3)] : 2 = 1,5.
1. harilik murd Harilik murd näitab, mitmeks võrdseks osaks on tervik jaotatud ja mitu sellist osa on võetud. 2. kümnendmurd Kümnendmurd on komaga arv. N: 23,4 ;14,1 ; 3,8 ; 10,5 3.murru taandamine Hariliku murru taandamiseks nimetatakse murru lugeja ja nimetaja jagamist ühe ja sama nullist erineva arvuga. 4.Astmete korrutamine Ühe ja sama arvu astmete korrutamisel astendajad liidetakse. 32 · 31 = 32 + 1 = 33 = 3 · 3 · 3 = 27 5.Astmete astendamine Astme astendamisel astendajad korrutatakse. 6.Astmete jagamine Ühe ja sama arvu astmete jagamisel astendajad lahutatakse. a m : a n = a m-n 7.Negatiivne astendaja Murd, mille lugejaks on arv 1 nimetajaks sama aste positiivse astendajaga. 1 a -n = n , kus a 0 a 8.Arvu standardkuju Kui arv on esitatud kahe teguri korrutisena, millest üks jääb arvude 1 ja 10 vahele ning teine
Reaalarvu absoluutväärtus: | | - absoluutväärtuse märgid. Nt. |-5| = 5 ; |5| = 5 Arvteljel tähendab arvu absoluutväärtus sellele arvule vastava punkti kaugust arvtelje nullpunktist. Teineteise vastandarvude absoluutväärtused on võrdsed. 1 Ratsionaalarvude liitmine ja lahutamine: +(+a) = +a +(-a) = -a -(-a) = +a -a(+a) = -a Ratsionaalarvude korrutamine ja jagamine: (+)*(+) = + (+) : (+) = + ( - )* ( - ) = + (-):(-)=+ ( - ) * (+) = - (+) : ( - ) = - (+) * ( - ) = - ( - ) : (+) = - Kui negatiivseid tegureid on paarisarv on korrutis positiivne. Kui negatiivseid tegureid on paaritu arv on korrutis negatiivne. Kahe samamärgilise arvu jagatis on positiivne. Kahe erimärgilise arvu jagatis on negatiivne. Arvu aste: 2³=222=8 a0=1, kui a0 , st iga arv astmes 0 on võrdne ühega (kui see arv ei ole 0).
y; protsendi leidmisel moodustada teine arv y 20 korrutis; võrrand võib tekkida võrdsetest nende summa x+y (44) 24+20=44 suurustest (antud juhul on võrdsed arvude erinevus x-y 24-20=4 vahe ja osa teisest arvust); vajadusel 20% teisest arvust 0,2y 0,2 20=4 teisendada võrrand normaalkujule; need on võrdsed 4=4 kasutada sobivat lahendusvõtet; VÕRRANDISÜSTEEM kontrollida saadud arvudega läbi võrrandi x+y=44 koostamise osa x-y=0,2y teisendan teise võrrandi normaalkujule x-1,2y=0 võrrandisüsteem normaalkujul x+y=44 | (-1) x-1,2y=0 saan liitmisvõtte jaoks sobiva kuju
…… 3 2.1 Mõningate arvude kõrgemad astmed ………………………….……. 3 2.2 Hariliku murru põhiomadus ………………………………….…….. 3 2.3 Tehetevahelised seosed ……………………………………….…….. 3 2.4 Tehted harilike murdudega ………………………………….……… 4 2.5 Tehete põhiomadused ……………………………………….……… 5 2.6 Näited tehete kohta positiivsete ja negatiivsete arvudega …….…….. 5 2.7 Näited tehete kohta ratsionaalarvudega ……………………….……. 6 2.8 Protsent ja promill …………………………………………….……. 8 2.9 Näited protsentarvutusest …………………………………………... 9 2.10 Arvu absoluutväärtus ………………………………………………. 10 2.11 Ülesanded ……………………………………………………….….. 11 3
..........................................................................32 Algebraliselt........................................................................................................................32 Nullvektor, vastandvektor...................................................................................................... 32 Vektorite lahutamine.............................................................................................................. 32 Vektori korrutamine arvuga....................................................................................................32 Vektorite kollineaarsus...........................................................................................................33 Ühikvektorid ja .....................................................................................................................33 Kahe vektori skalaarkorrutis....................................................................................
Arvu kordsed on kõik need arvud, mis antud arvuga jaguvad. Näide. 16 ja 36 on arvu 2 kordsed, sest nad jaguvad 2-ga 16 : 2 = 8 36 : 2 = 18 Kõik mingi arvu kordsed jaguvad selle arvuga. Arvu standarskuju on korrutis, mis koosneb ühe ja kümne vahel olevast tegurist ja kümne mingist astmest. Arvu tegurid - kõik arvud, millega antud arv jagub, on selle arvu tegurid. Arvu tegurid on ühtlasi ka arvu jagajad. Näide 1. Arvu 10 tegurid on 1, 2, 5 ja 10, sest arv 10 jagub nende arvudega. 10 : 1 = 10 10 : 2 = 5 10 : 5 = 2 10 : 10 = 1 Näide 2. Arvude ühistegur : Arvutamisseadused : Liitmise vahetuvusseadus (kommutatiivsuse seadus), Liitmise ühenduvusseadus (assotsiatiivsuse seadus), Korrutamise vahetuvusseadus (kommutatiivsuse seadus), Korrutamise ühenduvusseadus (assotsiatiivsuse seadus), Korrutamise jaotuvusseadus (distributiivsuse seadus) , Korrutise jagamise seadus, Summa jagamise seadus, Jagatise põhiomadus . Nt. 1
Lõpmatu x>a ]a; [ [a; ) vahemik x korrutamisel astendajad liidetakse: am an am n 2) Võrdsete alustega astmete jagamisel astendajad lahutatakse: am : an am n 3) Korrutise aste võrdub tegurite astmete korrutisega: a bn an bn 4) Jagatise aste võrdub jagatava ja jagaja astmete jagatisega: n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 8. MAATRIKSID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Maatriksi mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Maatriksite liitmine ja lahutamine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Maatriksi korrutamine skalaariga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 ©Audentese Ülikool, 2003. Koostanud A. Sauga MAJANDUSMATEMAATIKA I Mudelid Maatriksi transponeerimine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Maatriksite korrutamine . . . . . . . . . . . .
võrdsed . Definitsioon 2 . Maatriksite Am x n = (aij ), ja B m x n = (bij) vaheks nimetatakse maatriksit , mille elementideks on maatriksite A ja B vastavate elementide vahed A B = (aij ) - (bij) = (aij - bij ) Näide 2 : 2 - 5 6 4 - 1 - 7 2 - 4 - 5 - (-1) 6 - (-7) - 2 - 4 13 - = = 0 11 - 3 1 - 2 3 0 - 1 11 - (-2) - 3 - 3 - 1 13 - 6 4. Korrutamine arvuga (skalaariga) Definitsioon 3 . Maatriksi Am x n = (aij) korrutiseks skalaaarvuga k nimetatakse maatriksit, mille elementideks on algmaatriksi elementide korrutised selle arvuga ,s.t. k A = (k aij), ( i = 1,...,m; j = 1,...,n). Näide3: 2 1 - 5 2 2 1 2 - 5 2 4 2 - 10 A = 2 A = = .
YMM3731 Matemaatiline analu¨u¨s I 2007/08 ~o.-a. su¨gissemestril 3,5 AP 4 2-0-2 E S Dots. Lembit Pallas TTU¨ Matemaatikainstituut V-404, tel. 6203056 e-post: [email protected] K¨asitletavad teemad on toodud punktide kaupa. Neid punkte tuleb vaadelda ka kui kollokviumide ja eksami teooriak¨ usimusi. 1. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid 2. Funktsioonide liigitamine (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioo- nid, kasvavad ja kahanevad funktsioonid) 3. P¨o¨ordfunktsioon 4. Liitfunktsioon 5. Jada piirv¨aa¨rtus 6. Funktsiooni piirv¨aa¨rtus ¨ 7. Uhepoolsed piirv¨aa¨rtused 8. L~opmatult kasvavad ja l~opmatult kahanevad suurused 9. Piirv¨a¨artusteoreemid 10. L~opmatult kahanevate suuruste v~ordlemine 11. Funktsiooni pidevuse m~oiste. Tarvilik ja piisav tingimus funktsiooni pidevuseks 12. Elementaarfunktsioonide pidevus 13. L~oigul
a+b = b+a ab = ba a ( b + c) = ( b + c) a Ühenduvus ehk assotsiatiivsus: a + ( b + c) = ( a + b) + c a ( bc ) = ( ab ) c Jaotuvus ehk distributiivsus: a ( b + c ) = ab + ac a ( b - c ) = ab - ac Sulgude avamine: a + ( b + c) = a + b + c a - ( b + c) = a - b - c a + ( b - c) = a + b - c a - ( b - c) = a - b + c 1.6 Protsent ja promill Üks protsent ( 1 % ) on üks sajandik osa tervikust (arvust). Üks promill ( 1 ) on üks tuhandik osa tervikust (arvust). a Arvude a ja b suhe protsentides on 100 % . b Kui p % arvust a on m, siis
t. D = b2 - 4ac 0). Esimesel juhul on võrrandil kaks erinevat reaalarvulist 2Sõna "kompleksne" tähendab eesti keeles "liitne"; selle nimetuse andis arvudele lahendit, teisel juhul on lahendid võrdsed. a + bi esmakordselt saksa matemaatik Gauss (1777-1855). Missugused on aga ruutvõrrandi lahendid siis, kui võrrandi diskriminant on Kompleksarvude korrutamine ja jagamine negatiivne ? Vaatleme mõnda näidet. Korrutame arvud a + bi ja c + di. Kaksliikmete korrutamise reegli järgi 2 2 4 2 Näide 4. Lahendame võrrandid x + 16 = 0, x - 2x + 10 = 0 ja x - 3x - 4 = 0. (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac - bd + (ad + bc)i. Seega 1) Kui x2 + 16 = 0, siis x = ± -16 = ± 16·i2 = ± 4i. Seega x1 = -4i ja x2 = 4i
võrdsed . Definitsioon 2 . Maatriksite Am x n = (aij ), ja B m x n = (bij) vaheks nimetatakse maatriksit , mille elementideks on maatriksite A ja B vastavate elementide vahed A B = (aij ) - (bij) = (aij - bij ) Näide 2 : 2 - 5 6 4 - 1 - 7 2 - 4 - 5 - (-1) 6 - (-7) - 2 - 4 13 - = = 0 11 - 3 1 - 2 3 0 - 1 11 - ( -2) - 3 - 3 - 1 13 - 6 · Korrutamine arvuga (skalaariga) Definitsioon 3 . Maatriksi Am x n = (aij) korrutiseks skalaaarvuga k nimetatakse maatriksit, mille elementideks on algmaatriksi elementide korrutised selle arvuga ,s.t. k A = (k aij), ( i = 1,...,m; j = 1,...,n). Näide3: 2 1 - 5 2 2 1 2 - 5 2 4 2 - 10
2x² -28x +90 = 0/:2 x² -14x + 45 = 0 x = 7± 49 - 45 = 7± 4 = 7±2 x 1 = 5 või x 2 = 9 1) kui x 1 = 5 (üks arv), siis teine on 14 x =14 -5 = 9 Kontroll: 9 +5 = 14 9² + 5² = 81 + 25 =106 kui x 2 = 9 (üks arv), siis II arv on 14 -9 = 5 Näeme, et põhimõtteliselt on tegemist samade arvudega, ainult kohad on vahetunud. Vastus: osad on 5 ja 9 278 Analüüsi 277 x² +(18 x)² =170 jne h ( h + 2) 279 Olgu kolmnurga kõrgus h, alus on siis h+2, saame võrrandi = 40/ × 2 2 h(h +2) = 80; h² +2h -80 = 0 h = -1 ± 1 +80 = -1 ± 81 = -1 ± 9
x² +196 -28x +x² = 106 2x² -28x +90 = 0/:2 x² -14x + 45 = 0 x = 7 49 45 = 7 4 = 7 2 x 1 = 5 või x 2 = 9 1) kui x 1 = 5 (üks arv), siis teine on 14 x =14 -5 = 9 Kontroll: 9 +5 = 14 9² + 5² = 81 + 25 =106 kui x 2 = 9 (üks arv), siis II arv on 14 -9 = 5 Näeme, et põhimõtteliselt on tegemist samade arvudega, ainult kohad on vahetunud. Vastus:osad on 5 ja 9 278 Analüüsi 277 x² +(18 x)² =170 jne h ( h 2) 279 Olgu kolmnurga kõrgus h, alus on siis h+2, saame võrrandi = 40/ 2 2 h(h +2) = 80; h² +2h -80 = 0 h = -1 1 80 = -1 81 = -1 9
x² +196 -28x +x² = 106 2x² -28x +90 = 0/:2 x² -14x + 45 = 0 x = 7 49 45 = 7 4 = 7 2 x 1 = 5 või x 2 = 9 1) kui x 1 = 5 (üks arv), siis teine on 14 x =14 -5 = 9 Kontroll: 9 +5 = 14 9² + 5² = 81 + 25 =106 kui x 2 = 9 (üks arv), siis II arv on 14 -9 = 5 Näeme, et põhimõtteliselt on tegemist samade arvudega, ainult kohad on vahetunud. Vastus:osad on 5 ja 9 278 Analüüsi 277 x² +(18 x)² =170 jne h ( h 2) 279 Olgu kolmnurga kõrgus h, alus on siis h+2, saame võrrandi = 40/ 2 2 h(h +2) = 80; h² +2h -80 = 0 h = -1 1 80 = -1 81 = -1 9
ab ba a b c b c a Ühenduvus ehk assotsiatiivsus: a b c a b c a bc ab c Jaotuvus ehk distributiivsus: a b c ab ac a b c ab ac Sulgude avamine: a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c 1.6 Protsent ja promill Üks protsent 1 % on üks sajandik osa tervikust (arvust). Üks promill 1 ‰ on üks tuhandik osa tervikust (arvust). a Arvude a ja b suhe protsentides on 100 % .
b) cos x arccos( ) 2n x 2n , sest 2 2 3 1 1 2 arccos( ) arccos . 2 2 3 3 2 2 4 Kui n 0 , siis x1 ; kui n 1 , siis x2 2 . 3 3 3 III Ligikaudsete arvudega arvutamisel on soovitav teha vahepealsed tehted kalkulaatoril järjest, vahetulemusi ümardamata ja alles lõpptulemus ümardada vajaliku täpsuseni. Õigeks tuleks lugeda ka ligikaudsed vastused: toru läbimõõt 0,6 dm ja ruumala 1,0 dm3, mis on antud algandmete täpsusega. 16 17
ning k-permutatsioone Kombinatsioonid- k-kombinatsiooniks nimetatakse hulga A igat k-elemendilist alamhulka. (Nt. hulk[3] 2-kombinatsioonid: {12,13,23}). *Arvutada saab: [4]. Binoomi valem. Pascali kolmnurk. *Kombinatsioonide arvu tähist nimetatakse sageli ka binoomkordajaks. See tulenebgi aga (Newtoni) binoomivalemist. Binoomi valem-Valem, mis esitub kujul , ning sisuliselt kujutab ta endast ,,summa ruudu valemit" astmel n. Selgub aga, et binoomivalemi sulgude avamisega saame sellise üksliikmete summa, kus iga liikme kordaja e. binoomkordaja vastab sisuliselt kombinatsioonide arvule , kus k on konkreetse üksliikme x'i aste ning n on algse sulgavaldise aste. Näiteks: Toetused aga multinoomvalemile, saaksime binoom-koefitsente välja arvutada ka valemi abil, kus k1 on üksliikme esimese kordaja aste, k2 aga teise kordaja aste. Omadusi: *Binoomkordajad on sümmeetrilised alumise indeksi suhtes:
mentidega (A + B)ij := aij + bij Teiste s~onadega, maatriksite liitmisel liidame vastavad elemendid. N¨ aide: summa arvutamine Arvutame maatriksite summa 1 2 3 3 -2 1 1+3 2-2 3+1 + = 4 5 6 -6 4 -5 4-6 5+4 6-5 4 0 4 = -2 9 1 1.5 Maatriksi korrutamine arvuga Maatriksi A = (aij ) ja arvu R korrutiseks A nimetatakse maatriksit elementidega (A)ij := aij . Korrutis A defineeritak- se valemiga (A)ij := aij . Ilmselt A = A, sest (arvude korral) aij = aij . Teiste s~onadega, maatriksi korrutamisel arvuga korrutame an- tud arvuga maatriksi k~oik elemendid. II. Maatriksarvutus 3 N¨ aide: korrutise arvutamine Arvutame maatriksi ja arvu korrutise
Korrutamisel ja jagamisel vastavalt korrutatakse või jagatakse nii kordajaid kui muutujaid. 15 4 3 6 4 2 5 3 2 5 2 3 = 10 3 (3 3 2 )(4 4 4 ) = 12 7 6 3 2 2 3 = 5 2 3 8 5 3 4 = 2 3 Kahe hulkliikme korrutamisel korrutatakse esimese hulkliikme iga liige läbi teise hulkliikme iga liikmega ja saadud avaldised liidetakse. (6 + 7)(4 + 9) = 24 2 + 54 + 28 + 63 2 = 24 2 + 82 + 63 2 Ühise teguri toomisel sulgude ette jagatakse kõik liikmed läbi nende suurima ühisteguriga. 8 3 - 24 2 = 8 2 ( - 3) 15 4 2 - 45 2 2 + 5 3 3 = 5 2 2 (3 2 - 9 + ) 6 Matemaatika ja statistika 2008/2009
struktuuri – täieliku järjestatud korpuse – konkreetsed esitused. Sellest tõsiasjast lähtudes defineerime me käesolevas kursuses kõigi reaalarvude hulga R kui täieliku järjes- tatud korpuse. 1.1 Järjestatud korpused 1.1.1 Korpuse aksioomid Definitsioon. Korpuseks (field, поле) nimetatakse hulka F , milles on defineeritud kaks bi- naarset tehet, liitmine A : F × F → F , (a, b) 7→ a + b ja korrutamine M: F × F → F, (a, b) 7→ ab (= a · b) , ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 7 nii et on täidetud järgmised tingimused (korpuse aksioomid ): (A1) a + b = b + a kõikide a, b ∈ F korral (liitmise kommutatiivsus), (A2) (a + b) + c = a + (b + c) kõikide a, b, c ∈ F korral (liitmise assotsiatiivsus), (A3) eksisteerib element 0 ∈ F , et b + 0 = b iga b ∈ F puhul (nullelemendi olemasolu),
Seepärast nimetatakse seda loogikat ka binaarloogikaks. Loogilisi muutujaid tähistatakse ladina tähestiku tähtedega. Sõltumatuid muutujaid (sisendeid) nimetatakse argumentideks, neist sõltuvaid muutujaid aga funktsioonideks. Loogikafunktsiooni kõik argumendid on loogilised muutujad, millel on kaks väärtust 0 ja 1. Kõiki loogikafunktsioone väljendavad kolm põhitehet: loogiline korrutamine, loogiline liitmine ja loogiline eitus. Loogiline korrutamine (NING). NING-funktsioon on võrdne ühega ainult juhul, kui kõik argumendid on võrdsed ühega. Tehte tähistamiseks kasutatakse nii harilikku korrutus- märki ( • ) kui ka loogilise korrutamise eritähist - katust ( ∧ ). Loogilist korrutamist nimetatakse ka konjunktsiooniks. Loogiline liitmine (VÕI). VÕI-funktsioon on üks siis, kui kas või üks argumentidest võrdub ühega. VÕI-tehte tähistamiseks kasutatakse kas pluss (+) märki või loogilise liitmise
1. Punktmassi kinemaatika. 1.1 Kulgliikumine 1.2 Vaba langemine 1.3 Kõverjooneline liikumine 1.4a Horisontaalselt visatud keha liikumine 1.4b Kaldu horisondiga visatud keha liikumine. 2. Pöördliikumine 2.1 Ühtlase pöördliikumisega seotud mõisted 2.2 Kiirendus ühtlasel pöördliikumisel 2.3 Mitteühtlane pöördliikumine. Nurkkiirendus 2.4 Pöördenurga, nurkkiiruse ja nurkkiirenduse vektorid. 3. Punktmassi dünaamika 3.1. Inerts. Newtoni I seadus. Mass. Tihedus. 3.2 Jõu mõiste. Newtoni II ja III seadus 3.3 Inertsijõud 4. Jõudude liigid 4.1 Gravitatsioonijõud 4.1a Esimene kosmiline kiirus. 4.2 Hõõrdejõud 4.2a Keha kaldpinnal püsimise tingimus. 4.2b Liikumine kurvidel 4.3 Elastsusjõud 4.3a Keha kaal 5 JÄÄVUSSEADUSED 5.1 Impulss 5.1a Impulsi jäävuse seadus. 5.1b Masskeskme liikumise teoreem 5.1c Reaktiivliikumine (iseseisvalt) 5.2 Töö, võimsus, kasutegur 5.3 Energia, selle liigid 5.3 Energia
Eesti Põllumajandusülikool Tehnikateaduskond Mehaanika ja masinaõpetuse instituut Enno Saks Joonestuspakett AutoCAD 2000 (versioon 15.0) II Kolmemõõtmeline raalprojekteerimine & Programmeeritud joonestamine Tartu 2000 1. Ruumilised koordinaadid Ruumiliste jooniste valmistamiseks on vajalik tunda tähtsamaid ruumilisi koordinaatsüs- teeme (vt joonis 1): ristkoordinaate xyz, silinderkoordinaate rz ja sfäärkoordinaate . Silinderkoordinaatide saamiseks tuleb punkt P(x,y,z) projekteerida XY-tasandile, selleks on joonisel 1 punkt P'(x,y,0). Punkti P' kaugus koordinaatide algusest O ongi parajasti polaar- raadius r (r = x 2 + y 2 ), polaarnurk (0O < 360O , või ka 180O < 180O ) on aga nurk X-telje positiivse suuna ja polaarraadiuse vahel, kusjuures x = rcos , y = rsin . Koordinaadid r ja on tavalised polaarkoordinaadid
Võib tekkida küsimus, et kuidas saab muutuda see, mida tähendab arv. See on vajalik selleks, et tagada matemaatilise keele ühene mõistetavus ja selgus. Või tei- selt poolt vaadatuna on matemaatikud aru saanud, et arvutada – liita ja lahutada, korrutada ja jagada – saab mitte ainult arvudega 1, 2, 3, 4, 5 ..., vaid ka palju keeru- lisemate objektidega. See näitab, kuivõrd on arvude mõiste tegelikult suhteline – kas arvuks nimetame kõike, millega oskame arvutada, või peaksime arvudeks nimetama ainult objekte, mis koosnevad numbritest? Arvude arengust saab pike- malt lugeda aga arvuhulkade peatükist [lk 78]. 22
1.8. Posti kriitiline koormus ja kriitiline pinge. Piirsaledus. Kriitiline koormus Kasutades nõtkepikkuse mõistet Lo, saame Euleri kriitilise koormuse avaldise kirjutada nii E 2 EI Pkr = Kus: Lo 2 EI = Posti ristlõike vähim paindejäikus L0 = L arvutuslik posti nõtkepikkus = nõtkepikkuse redutseerimistegur Avaldisest selgub, et posti krritiline koormus on võrdeline posti netoristlõike paindejäikusega ja pöördvõrdeline nõtkepikkuse ruuduga. Posti otste kinnitustingimustest tulenev tegur võib erinevates suundades toimuvatel nõtkumistel olla erinev nagu ka paindejäikus EI. Inertsmomendi määramisel tuleb arvestada ristlõike selle teljega, mille suunaga risti toimub nõtkumine. Saleda posti arvutamisel tuleb arvestada ka posti omakaalu või piki telge E E rakendatud lauskoormust p. Sel juhul: Pkr = Pkr - pL Kui pL> Pkr siis tuleb
annaabi.ee 
