Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Funktsioonid I". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
funktsi, määramis, oonid, graafik, ühtib, sümeetriline, paarisfunktsioon, sõltuvus, parabool, muutuja, kahanemisvahemik, astmefunktsioonid, paaritufunktsioon, pöördfunktsioon, nullkoht, positiivsuspiirkond, negatiivsuspiirkond, hüperbool, muutumispiirkond, lineaarfunktsioon, ruutfunktsioon, parabooli, haripunkti, määramispiirkond, üldmõisteAnde Andekas-Lammutaja Matemaatika Funktsioon Funktsiooniks nimetatakse vastavust, mis seab sõltumatu muutuja x igale väärtusele hulgale X vastavusse sõltuva muutuja y ühe kindla väärtuse hulgast Y (Funktsioon on seos kahe muutuja vahel, kus ühe muutuja igale väärtusele vastab üks kindel teise muutuja väärtus). Võrdelise seose valemiks on y = ax ja tunnuseks a = y/x. Graafikuks on sirgjoon, mis läbib punkte (0;0) ning (1;a). Pöördvõrdelise seose valemiks on y = a/x, kus x 0 ja tunnuseks a = xy. Graafikuks on hüperbool. Lineaarfunktsiooni valemiks on y = ax + b ning graafikuks sirgjoon, mis läbib punkte (0;b) ning (1;a+b). Funktsiooni määramispiirkond (X) on sõltumatu muutuja e. argumendi x väärtuste e
pöördfunktsioon; astme-, eksponent-, logaritm- ja trigonomeetrilised funktsioonid. Põhioskused Võrdeline jaotamine; funktsioonide garaafikute skitseerimine ja lugemine; funktsiooni nullkohtade, määramis-, muutumis-, positiivsus-, negatiivsuspiirkondade, kasvamis- ja kahenemisvahemike leidmine võrrandite ja võrratuste lahendamise teel; pöördfunktsioon, selle määramis- ja muutumispiirkonna leidmine ning graafiku skitseerimine. Valemid Võrdeline sõltuvus y = ax a Pöördvõrdeline sõltuvus y x Diferentseeruva funktsiooni uurimine Nullkohtade hulk X0 : f x 0 funktsiooni f(x) nullkohtade x1; x2; x3 leidmine Positiivsuspiirkond X : f x 0 Negatiivsuspiirkond X : f x 0
funktsiooni väärtusi saab leida. Tähistatakse X.
y-väärtuste hulka nimetatakse funktsiooni muutumispiirkonnaks. Tähistatakse Y
Funktsiooni positiivsuspiirkonnaks nimetatakse nende väärtuste hulka, mille korral
funktsiooni väärtuste hulk on positiivne
Funktsiooni negatiivsuspiirkonnaks nimetatakse nende väärtuste hulka, mille korral
funktsiooni väärtuste hulk on negatiivne
+
X -positiivsuspiirkond
-
X -negatiivsuspiirkond
Parabooli haripunkti leidmine Xh=x1+x2/2, kui parabool ei lõiku x-teljega Xh=-b/2a
Kui x1
Funktsioonid ja nende graafikud © T. Lepikult, 2010 Funktsioon Kui muutuva suuruse x igale väärtusele, mis kuulub tema muutumispiirkonda, vastab teise suuruse y üks kindel väärtus, siis öeldakse, et y on x funktsioon. Asjaolu, et üks muutuja on teise funktsioon, tähistatakse y = f(x). Näited: Kuubi ruumala on tema serva pikkuse funktsioon, suusataja poolt läbitud teepikkus on aja funktsioon, vedru deformatsioon on tõmbejõu funktsioon jne. Funktsiooni argument Muutujat x nimetatakse seejuures sõltumatuks muutujaks e. argumendiks. Argumendi x väärtuste hulka, mille puhul saab määrata funktsiooni y väärtusi vastavalt eeskirjale f(x), nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks
(lk 3) Suurust, mis võib omandada erinevaid arvulisi väärtusi, nimetatakse muutuvaks suuruseks ehk muutujaks. Suurust, mille arvuline väärtus ei muutu, nimetatakse jäävaks suuruseks. Näiteks ühtlase liikumise korral on kiirus jääv suurus ja läbitud teepikkus muutuv suurus. Muutuva suuruse kõigi võimalike väärtuste hulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks 5. Defineerida ühene funktsioon, ühese funktsiooni argument, sõltuv muutuja, määramispiirkond ja väärtuste hulk. (lk 3 - 4) Ühene funktsioon on funktsioon vaid ühe muutujaga ehk y=f(x), puuduvad liitfunktsiooni omadused. Argument ehk muutuja on x ja sõltuv muutuja on y (sellel on oma kindel väärtus, mis sõltub x-st). Muutuva suuruse ehk x-i kõigi võimalike väärtuste hulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks 6. Millist funktsiooni nimetatakse mitmeseks? (lk 4)
paarisfniks? (lk. 147) 14. Milline omadus iseloomustab paarisfni graafikut? 15. Missugust fni nim. paariituks? (lk147,148) 16. Milline omadus iseloomustab paaritu fni graafikut? Vastused 1. Fni määramispiirkonnaks X nimetatakse argumendi x kõigi väärtuste hulka mille korral saab funkts. Väärtust arvutada 2. Fni mutuumispiirkonnaks Y nim. Funktsiooni kõigi väärtuste hulka 3. Fniks nimetatakse seost, mis seab sõltumatu muutuja x igale väärtusele hulgast X vastavasse sõltuvusse muutuja y ühe kindla väärtuse hulgast Y. 4. Fni nullkohtadeks X0 nim. Argumendi x kõigi väärtuste hulka ille korral fni väärtus on null (y=0) 5. Fni positiivsuspiirkonnaks X+ nim argumendi x väärtuste hulka mille korral fni väärtused on positiivsed (y on suurem kui 0). 6. Fni negatiivsuspiirkonnaks X+ nim argumendi x väärtuste hulka mille korral fni
Tõkestatud hulga definitsioon: reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik ( a, b ) nii, et A ( a, b ). Tõkestatud hulgad on näiteks kõik lõplikud vahemikud ( a, b ), lõigud [a, b] ja poollõigud [a, b), (a, b]. Tõkestamata hulgad on aga näiteks lõpmatud vahemikud (-, a), (a, ) ja lõpmatud poollõigud (-, a], [a, ). 2. Jääv ja muutuv suurus. Suuruse muutumispiirkond. Funktsiooni definitsioon. Funktsiooni argument, sõltuv muutuja, määramispiirkond ja väärtuste hulk. Funktsiooni esitamine tabelina ja analüütiliselt. Funktsiooni graafiku mõiste. Graafiku omadused. V: Jääv ja muutuv suurus: Suurust, mis võib omandada erinevaid arvulisi väärtusi, nimetatakse muutuvaks suuruseks ehk muutujaks. Suurust, mille arvuline väärtus ei muutu, nimetatakse jäävaks suuruseks. Näiteks ühtlase liikumise korral on kiirus jääv suurus ja läbitud teepikkus muutuv suurus. Samas mitte ühtlase liikumise korral on ka kiirus
Funktsioon Funktsiooni definitsioon Olgu X mingi reaalarvude hulk. Kui muutuja x igale väärtusele hulgas X vastab muutuja y üks kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon. Asjaolu, et üks muutuja on teise funktsioon, tähistatakse y = f (x), y = y (x), y = (x) jne. Muutujat x nimetatakse seejuures sõltumatuks muutujaks e. argumendiks. Muutujat y, mille väärtused leitakse vastavalt sõltumatu muutuja väärtustele, nimetatakse sõltuvaks muutujaks. Argumendi x väärtuste hulka, mille puhul saab määrata funktsiooni y väärtusi vastavalt eeskirjale f (x), nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks. Määramispiirkonnale vastavat funktsiooni väärtuste hulka nim. funktsiooni muutumispiirkonnaks. 2 Funktsiooni esitusviise Funktsiooni esitus tabelina x x1 x2 ....... xn y y1 y2 ...... yn
/ (q 1), kus a1 on geomeetrilise jada esimene liige, q on alates teisest liikmest liikme ja sellele eelneva liikme jagatis ja ei tohi võrduda ühega ning n on liikmete arv jadas. 8. Hääbuva geomeetrilise jada summa avaldub kujul S = a 1 / (1 q), kus a 1 on geomeetrilise jada esimene liige, q on alates teisest liikmest liikme ja sellele eelneva liikme jagatis ning n on liikmete arv jadas. 9. Funktsioon vastavus (eeskiri), mis seab sõltumatu muutuja x igale väärtusele hulgast X vastavusse sõltuva muutuja y ühe kindla väärtuse hulgast Y. 10. Funktsiooni määramispiirkond X sõltumatu muutuja ehk argumendi x väärtuste hulk. *Näide: funktsiooni f (x) määramispiirkond on R {0}. Funktsiooni muutumispiirkond Y sõltumatu muutuja y väärtuste ehk funktsiooni väärtuste hulk. *Näide: funktsiooni f (x) = x(2) muutumispiirkond on kõigi mittenegatiivsete reaalarvude hulk. 11
2) Lahendage võrrand f(x) = 1 3) Lahendage võrratus f(x) > 0 lõigus 0, . 4) Leidke funktsiooni f(x) miinimumkoht vahemikus (0; 2) ja arvutage funktsiooni väärtus sellel kohal. 1 8. Antud on funktsioon f ( x ) x 2 x 2 . 1) Leidke funktsooni f(x) määramispiirkond. 2) Leidke funktsiooni f(x) kasvamis- ja kahanemisvahemik. 3) Skitseerige funktsiooni f(x) graafik. 4) Lahendage võrrand f( log2 t) = 3, kui t > 1. 9. (1999) Antud on funktsioon y = x3 5x2 + 3x 11. 1) Leidke selle funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 2) Leidke sellel funktsiooni suurim väärtus lõigul [0 ; 5]. 10. (1999) Antud on funktsioonid f(x) = ln x ja g(x) = - 2. 1) Skitseerige ühes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud. 2) Leidke a) millistes punktides on nende väärtused võrdsed;
Graafiku omadused: · Graafiku punkti P teist koordinaati f(x) võib tõlgendada P ´´kõrgusena´´ x-telje suhtes. Kui f(x)>0 on kõrgus positiivne ja vastupidi negatiivne. · Suvaline y-teljega paaleelne sirge saab funktsiooni graafikut lõigata max ühes punktis. (ühesus) · Juhul, kui vaadeldvav fun on mitmene, siis eksisteerib vähemalt üks y-teljega paralleelne sirge, mis lõikab fun graafikut mitmes punktis. 3. Funktsioon on paarisfunktsioon kui kehtib võrdus f(-x)=f(x) Paarisfunktsioon on sümmeetriline y-telje suhtes. Funktsioon on paaritu kui kehtib võrdus f(-x)=-f(x) Paaritu funktsioon on sümmeetriline 0-punkti suhtes. Funktsiooni f nim perioodiliseks, kui leidub konstant C>0 nii, et iga xX korral kehtib võrdlus f(x+C)=f(x). Väiksemat sellist konstanti C nim funkt f perioodiks. Kasvamis- ja kahanemispiirkond. Olgu funktsiooni maaramispiirkonna alamhulgas D
1.Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda 4.Üksühese funktsiooni ja pöördfunktsiooni definitsioonid. Vaatleme funktsiooni y=f(x). Toome lisaks muutujale x ± absoluutväärtuse Seosed funktsiooni ja tema pöördfunktsiooni ja y sisse ka kolmanda muutuja t. x= (t). Siis saab ka Funktsioonil f on piirväärtus kohal a, kui suvalises piirprotsessis xa, mis omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. määramispiirkondade ja väärtuste hulkade vahel, vastastikune muutuja y avaldada parameetri t kaudu. y = (t). rahuldab tingimust xa, funktsiooni väärtus f(x) läheneb lõpmatusele
2. Mida nimetatakse funktsiooni graafikuks? Kas ringjoon sobib mingi funktsiooni graafikus? Kui reaalarvude hulga X igale elemendile on mingi eeskirja f abil vastavusse seatud ainult üks reaalarv y, siis öeldakse, et hulgas X on määratud funktsioon f, ja kirjutatakse ( ) Funktsiooni ( )graafikuks nimetatakse punktide (x,y) hulka {( )} ( ) xy-tasandil. Funktsiooni graafik on joon võrrandiga ( ). Ringjoon ei saa olla mingi funktsiooni graafik, kuna vertikaalne joon lõikab ringoone kahes punktis. 3. Millist hulka nimetatakse funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks, millist muutumispiirkonnaks? Millega tuleb arvestada määramispiirkonna leidmisel? Hulka { ( )} nim funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks ja hulka { ( ) } tema väärtuste hulgaks ehk muutumispiirkonnaks.
......24 38. Määratud integraal ja tema omadused. .................................................................................... 24 39. Piisavad ja tarvilikud tingimused funktsiooni integreeruvuseks. ............................................ 25 40. Kirjeldada integraali ligikaudset arvutamist ristkülikvalemi abil. ...........................................25 41. Kirjeldada integraali ligikaudset arvutamist trapetsvalemi abil. ............................................. 26 42. Kahe muutuja funktsioon, tema määramispiirkond ja muutumispiirkond. Tuua näiteid kahemuutuja funktsioonide kohta. .................................................................................................26 43. Kahe muutuja funktsiooni pidevus ja katkevus. ......................................................................27 44. Mitme muutuja funktsiooni täismuut ja täisdiferentsiaal. ....................................................... 27 45. Diferentsiaalvõrrandid
I Võrdeline seos y = a*x graafikuks sirge II Lineaarne seos y = ax + b graafikuks sirge III Pöördvõrdeline sõltuvus a y= graafikuks hüperbool x IV Ruutfunktsioon y = ax2 + bx + c ;a0 graafikuks parabool a) Avaneb kuhu b) nullkohad [ax2 + bx + c=0] c) -b haripunkt XHP= 2a VI Erijuhud Funktsioon ja funktsiooni määramispiirkond a) a lahenda a 0 1 b) a0 a
elementi ,siis öeldaks, et hulgale x on defineeritud funktsioon. Funktsiooni y argumendiks e sõltumatuks muutujaks nimetatakse muutujat x . Sõltuvaks muutujaks nimetatakse funktsiooni y Funktsiooni määramispiirkond- Funktsiooni y määramispiirkonnaks nimetatakse argumendi x muutumispiirkonda, see on nende x väärtuste hulk, millas funktsiooni avaldis on arvutatav. Funktsioonide liigid- Funktsioone võime jagada: 1. Paaris ja paaritu funktsioonid · Paarisfunktsioon on funktsioon, kus iga x-i korral f(x)= f(-x)(sümmeetriline y-telje suhtes). · Paaritu funktsioon on funktsioon, kus iga x-i korral f(x)= - f (x) ( muutuma peavad kõik märgid) (sümmeetriline 0 punkti suhtes). 2. Perioodiline funktsioonid · Perioodiline funktsioon on selline funktsioon, kus iga x-i korral f(x+T)=f(x). Vähim T väärtus on periood. Näiteks trigonomeetrilised funktsioonid. 3
19.Arvu absoluutväärtus 20.Muutuvad ja jäävad suurused = 3.14 e = 2,71 x,y,z 06.01 21.Lõik, vahemik, poollõik Vahemik on sirge paiknevate punktide hulk, mis asub kahe punkti vahel Lõik on sirge, mis ühendab kaht punkti A ja B (punktid A ja B kaasa arvatud) Seda lõiku tähistatakse AB Poollõik on reaalarvude hulga alamhulk (), mis koosneb kõigist reaalarvudest 22.Funktsiooni mõiste Seost, mis määrab viisi ( ), kuidas sõltuv muutuja ( ) on seotud sõltumatu muutujaga ( ) selliselt, et igale sõltumatu muutuja väärtusele () vastaks ainult üks sõltuva muutuja väärtus, nimetatakse funktsiooniks. 23.Funktsiooni argument Sõltumatut muutujat nimetatakse funktsiooni argumendiks ja seda tähistatakse tähega x 24.Funktsiooni määramis- ja muutumispiirkond ( ) Funktsiooni määramispiirkonnaks on kõikide selliste muutuja x väärtuste hulk,
d.v. Suuruse miinus lõpmatuks ümbruseks nim suvalist vahemikku (-M;-), kus M>0. Arv x kuulub minus lõpmatuse ümbrusesse kui x<-M. e. Tõkestatud hulga definitsioon Reaalarvudest koosnevat hulka A nim tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik (a,b) nii, et A(a,b) 2. Jääv ja muutuv suurus. Suuruse muutumispiirkond. Funktsiooni definitsioon. Funktsiooni argument, sõltuv muutuja, määramispiirkond ja väärtuste hulk. Funktsiooni esitamine tabelina ja analüütiliselt. Funktsiooni graafiku mõiste. Graafiku omadused. a. Jääv ja muutuv suurus a.i. Muutujaks ehk muutuvaks suuruseks nim suurust, mis võib omandada erinevaid arvulisi väärtusi. a.ii. Jäävaks suuruseks nim suurust, mille arvuline väärtus ei muutu. b. Suuruse muutumispiirkond
tegemist üksnes juhul, kui mistahes võrdsetes ajavahemikes läbitakse võrdsed teepikkused. Eelmise tabeli alusel ei saa öelda, kas liikumine on ühtlane või mitte. Kui selle tabeli puhul jätta kõrvale füüsikaline sisu (tabeli esimeses veerus on sel juhul muutujad x ja y), siis saab öelda, et tegemist on võrdeliste suurustega. Kui tegemist ei ole fikseeritud suurustega (näiteks tee pikkus, aeg; ostetud bensiini kogus, makstud rahasumma vms), siis tähistame üldjuhul sõltumatu muutuja tähega x ja sõltuva muutuja tähega y. Sel juhul võime öelda järgmiselt: kahe suuruse x ja y vaheline sõltuvus on võrdeline sõltuvus, kui nende suuruste vastavate y väärtuste jagatis on jääv (konstantne), st = a. Arvu a (kus a 0) nimetatakse x võrdeteguriks. 1.3. Pöördvõrdelised suurused
neil vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. 2. Anaüüutiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. 3.Graafiline esitusviis. Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistikus. Funktsiooni f graafiku definitsioon on järgmine: G = {P = (x, f(x)) || x X} . Kui f(x) > 0, siis graafik paikneb ülalpool x-telge. Kui aga f(x) < 0, siis graafik jääb x-teljest allapoole. Kui suvaline y-teljega paralleelne sirge saab funktsiooni graafikut lõigata maksimaalselt ühes punktis, siis funktsioon on ühene. Juhul, kui eksisteerib vähemalt üks y-teljega paralleleelne sirge lõikab funktsiooni graafikut mitmes punktis, vaadeldav funktsioon on mitmene. 3. Paaris- ja paaritud funktsioonid. Perioodilised funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Astmefunktsioon
nimetatakse muutuvaks suuruseks ehk muutujaks. Suurust, mille arvuline väärtus ei muutu, nimetatakse jäävaks suuruseks. Suuruse muutumispiirkond- Muutuva suuruse kõigi võimalike väärtuste hulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks. Funktsiooni definitsioon- Olgu antud 2 muutuvat suurust x ja y. Funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y ühe kindla väärtuse. Funktsiooni argument- muutuja x, sõltumatu. Sõltuv muutuja- muutuja y. Määramispiirkond- argumendi x muutumispiirkonda. Tähis X. y= f(x). Väärtuste hulk- Hulka Y = {f(x) || x kuulub X} Funktsiooni esitamine tabelina- Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse tabeli ühes reas (veerus) ja neil vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. Funktsiooni esitamine analüütiliselt- Funktsioon esitatakse valemi kujul
38. Nullvektor, vastandvektor, vektorite vahe · Hüperbool a 0 = ( 0;0 ) y= x a = ( x; y ) vas tan dvektor - a = ( - x;- y ) · Parabool a - b = ( x1 - x 2 ; y1 - y 2 ) y = ax 2 + bx + c 39. Vektori korrutamine arvuga Põhiparabool y=x 2 k a = ( kx; ky ) a? y=ax2 (ruutliikme kordaja) 40. Vektorite skalaarkorrutis
Matemaatika 1. Arvjada lõpmatu järjestatud arvuhulk. 2. Aritmeetiline jada jada, milles alates II-st liikmest iga liikme ja talle eelneva liikme vahe on jääv suurus. 3. Geomeetriline jada jada, milles alates II-st liikmest on iga liikme ja sellele eelneva liikme jagatis jääv suurus. 4. Hääbuv jada ehk nullile lähenev jada. Kui jadas järjest kaugemale minnes selle jada liikmed erinevad arvust 0 kui tahes vähe. 1. Võrdeline seos y=ax. Graafikuks on sirge, mis läbib punkti (0;0). 2. Pöördvõrdeline seos y=a/x graafikuks on hüperbool, mis koosneb kahest harust, harud lähenevad telgedele, kusjuures kunagi ei puutu telge. 3. Funktsiooni: 4. Määramispiirkond x-i väärtuste hulk ehk argumentide hulk, mille korral on võimalik arvutada funktsiooni (y) väärtust. 5. Muutumispiirkond funktsiooni (y-i)väärtuste hulk. 6. Nullkohad nim. neid argumendiväärtuseid, mille korral funktsiooni väärtu
astmest ( n < m) , siis nim. seda funktsiooni lihtmurdratsionaalfunktsiooniks. 35. Liigmurdratsionaalfunktsioon- kui murru lugeja aste on suurem murru nimetaja astmest ( n > m ) on tegu liigmurdratsionaalfunktsiooniga. 36. Riemanni integraal- piirväärtust lim , 0 = lim f ( i) x i , 0 ( summa n kuni i = 1) nimetatakse funktsiooni f (x) määratud integraaliks e. Riemanni integraaliks lõigus [ a; b ] . 37. Kahe muutuja funktsioon- kui igale arvupaarile ( x; y) ehk punktile P = ( x; y ) hulgast D on mingi eeskirja f abil seatud vastavusse üks reaalarv z, siis öeldakse, et hulgal D on määratud kahe muutuja funktsioon z = f (x , y ). 38. n-muutuja funktsioon- kui igale elemendile ehk punktile P = ( x1, x2, ..., xn ) hulgast D on mingi eeskirja f abil seatud vastavusse üks reaalarv z, siis öeldakse, et hulgal D on määratud n muutuja funktsioon z = f (x1, x2, ..., xn ) 39
arvulisi väärtusi, nimetatakse muutuvaks suuruseks ehk muutujaks. Suurust, mille arvuline väärtus ei muutu, nimetatakse jäävaks suuruseks. Suuruse muutumispiirkond- Muutuva suuruse kõigi võimalike väärtuste hulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks. Funktsiooni definitsioon- Olgu antud 2 muutuvat suurust x ja y. Funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y ühe kindla väärtuse. Funktsiooni argument- muutuja x, sõltumatu. Sõltuv muutuja- muutuja y. Määramispiirkond- argumendi x muutumispiirkonda. Tähis X. y= f(x). Väärtuste hulk- Hulka Y = {f(x) || x kuulub X} Funktsiooni esitamine tabelina- Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse tabeli ühes reas (veerus) ja neil vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. Funktsiooni esitamine analüütiliselt- Funktsioon esitatakse valemi kujul
On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. 2. Analüütiline Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. 3.Graafiline Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistikus. Funktsiooni f graafiku definitsioon on järgmine: G = {P = (x, f(x)) || x X} . · Graafiku omadused: o Kui f(x) > 0, siis graafik paikneb ülalpool xtelge. o Kui aga f(x) < 0, siis graafik jääb xteljest allapoole. o Kui suvaline yteljega paralleelne sirge saab funktsiooni graafikut lõigata maksimaalselt ühes punktis, siis funktsioon on ühene. o Juhul, kui eksisteerib vähemalt üks yteljega paralleleelne sirge lõikab funktsiooni graafikut mitmes punktis, vaadeldav funktsioon on mitmene. 3.
On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. 2. Analüütiline Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. 3.Graafiline Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistikus. Funktsiooni f graafiku definitsioon on järgmine: G = {P = (x, f(x)) || x X} . · Graafiku omadused: o Kui f(x) > 0, siis graafik paikneb ülalpool xtelge. o Kui aga f(x) < 0, siis graafik jääb xteljest allapoole. o Kui suvaline yteljega paralleelne sirge saab funktsiooni graafikut lõigata maksimaalselt ühes punktis, siis funktsioon on ühene. o Juhul, kui eksisteerib vähemalt üks yteljega paralleleelne sirge lõikab funktsiooni graafikut mitmes punktis, vaadeldav funktsioon on mitmene. 3.
12 a >0 a <0 x x x 1 x 2 x 1 x 2 Lahendid: x < x1 x > x 2 . Lahendid: x1 < x < x 2 . II. D = 0 , siis x1 = x 2 = x0 . Graafik puudutab x-telge: a >0 a <0 x 0 x x x 0 Lahendid: x < x0 x > x0 Lahendid puuduvad III. D < 0 . Nullkohad puuduvad. Graafik ei lõika x-telge, on terves ulatuses ülal- või
x1 + x 2 x0 = 2 , kui A( x1 ; y1 ) , B( x 2 ; y 2 ) y1 + y 2 y0 = 2 · Ringjoon (x a)2 + (y b)2 = r2 Kui a = b = 0, siis x2 + y2 = r2 · Parabool y = ax2 + bx + c D = b2 4ac Kui a < 0 ja D > 0, siis avaneb parabool allapoole. Kui a > 0 ja D > 0, siis parabool avaneb ülespoole. 4. Funktsioonid ja nende graafikud Valemid · Võrdeline sõltuvus y = ax a · Pöördvõrdeline sõltuvus y= x Diferentseeruva funktsiooni uurimine
vahemik (a, b) nii, et A (a, b). Jääv suurus suurus, mille arvuline väärtus ei muutu. Muutuv suurus suurus, mis võib omandada erinevaid arvulisi väärtusi. Suuruse muutumispiirkond muutuva suuruse kõigi võimalike väärtuste hulk. Funktsioon Olgu antud 2 muutuvat suurust x ja y. Funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y ühe kindla väärtuse. Funktsiooni argument Muutuja x Sõltuv muutuja Muutuja y Määramispiirkond argumendi x muutumispiirkond Väärtuste hulk - Y={ f(x) || x X } Funktsiooni esitamine tabelina Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse tabeli ühes reas ja neile vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas. Võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. Funktsiooni analüütiline esitusviis valemi kujul. Funktsiooni graafiline esitusviis esitatakse graafikuna tasandi ristkoordinaadistikus.
võrratuse märk muutub vastupidiseks, st f() > (), siis on f kahanev hulgas D. Kasvamispiirkonnas funktsioonigraafik tõuseb, kahanemispiirkonnas langeb. Astmefunktsioon y = , kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Määramispiirkond: Eksponentfunktsioon y = , kus astmealus a on konstantne ja rahuldab võrratust a>0. Lisaks sellele eeldame veel, a 1, sest muidu oleks see konstantne funktsioon. X=R, Y = (0,). Graafik on juhtudel a > 1 (kasvav) ja 0 < a < 1 (kahanev). Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sinx, X = R, Y = (-1,1), graafik perioodiline perioodiga 2, paaritu funktsioon y = cosx, X = R, Y = (-1,1), graafik perioodiline perioodiga 2, paarisfunktsioon y = tanx, X = R / || k Z, Y = R, graafik periood on , paaritu funktsioon y = cotx, X = R/ k || k Z, Y = R, periood on , paaritu funktsioon 4
MATA TEOORIA Teooriaküsimused nr. 1 1) Mis on funktsioon? Mis on sõltumatu muutuja, sõltuv muutuja? Eeskirja, mis seab sõltumatu muutuja igale väärtusele vastavusse sõltuva muutuja mingi ühe kindla väärtuse, nimetatakse funktsiooniks. Sõltuv muutuja - Valemis muutuja, mille väärtus sõltub ühest või enamast teisest muutujast. Sõltumatu muutuja - Valemis iga muutuja, mille väärtus ei sõltu ühestki teisest muutujast. 2. Mis on funktsiooni määramispiirkond muutumispiirkond? Mis on funktsiooni loomulik määramispiirkond? Funktsiooni määramispiirkond - valemina antud funktsiooni argumendi x selliste väärtuste hulk, mille korral on võimalik funktsiooni f(x) väärtust välja arvutada. Funktsiooni muutumispiirkond - muutuja y kõigi väärtuste hulk.
"Matemaatiline analüüs I" Funktsioon Funktsioon- Kui muutja x igale väärtusele piirkonnas X vastab muutuja y kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon piirkonnas X. Sõltumatu muutuja on x, sõltuv y Funktsiooni määramispiirkond-Funktsiooni y määramispiirkonnaks nimetakse argumendi x muutumispiirkonda. Funktsioonide liigid- 1. Paaris funktsioon-rahuldab tingimust f(x)=f(-x) ja see on sümmeetriline y-telje suhtes. (Nt:y=x2) 2.Paaritu funktsioon-rahuldab tingimust f(-x)=-f(x) ja see on sümmetrialine 0 punkti suhtes. (y=sinx) 3.Perioodilised funktsioonid- rahuldab tingimust f(x+T)=f(x), T on periood. 4
annaabi.ee 
