Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Duaalne simpleksmeetod". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
simpleksmeetod, lahend, simplekstabel, duaalne, primaarse, lubatava, primaarset, lahendite, esmalt, reast, sihifunktsiooni, süsteemist, teisendus, reeglist, selajuures, sellistest, jagatis, veerus, kasutamisel, sammul, lähenemine, kordajad, rakendamise, meetoditest, eespool1. Kontrollida sirgete õigsust (märgistada teljed) Sirged lõikavad koordinaattelge järgmistes punktides: 1. kitsendus 2. kitsendus x1 x2 x1 x2 0 15 0 9 10 0 15 0 2. Märgistada lubatud lahendite piirkond. A x1 + 2x2 <= 22 D 3x1 + 5x2 >= 45 C 3. Lubatud lahendite piirkonna moodustavad järgmised punktid,
1. Kontrollida sirgete õigsust (märgistada teljed) Sirged lõikavad koordinaattelge järgmistes punktides: 1. kitsendus 2. kitsendus x1 x2 x1 x2 0 15 0 9 10 0 15 0 2. Märgistada lubatud lahendite piirkond. A x1 + 2x2 <= 22 D 3x1 + 5x2 >= 45 C 3. Lubatud lahendite piirkonna moodustavad järgmised punktid,
Simpleksmeetod Graafiline lahendus Lahendamine käsitsi Simpleksmeetod on lineaarsete planeerimis-ülesannete universaalne lahend Meetodi autor on ameerika matemaatik G. B. Dantzing aastast 1947. Nimetus t nimetatakse n-dimensionaalses ruumis kumerat hulktahukat, millel on n+1 tipp Selleks, et lahendada ülesannet simpleks-meetodiga, peab ülesanne vastama j 1. Kõik kitsenduste süsteemi vabaliikmed peavad olema mittenegatiiv (negatiivse vabaliikme korral korrutada võrratuse mõlemaid pooli -1-ga). 2. Sihifunktsioon peab olema esitatud maksimumfunktsioonina (max f(x) = - min f(x)). 3
.. , An ja b. Uue süsteemi leidmiseks tuleb süsteemi igas reas vasakul pool korrutada vastava järjekorranumbriga tundmatu veerumaatriks esimese tundmatu veerumaatriksiga, seejärel teisega jne. Paremale poole jääb vastava järjekorranumbriga tundmatu veerumaatriksi korrutis vabaliikmete veerumaatriksiga. Märkused. 1) Saame võrrandisüsteemi lahendid, kui projekteerime parema poole b veergude ruumi. 2) Kui parem pool b kuulub veergude ruumi, on Ax = b täpne lahend leitav Gaussi meetodiga. 3) TEOREEM: Normaalvõrrandisüsteemil ATA = ATb on ühene lahend, kui maatriksi A veerud on lineaarselt sõltumatud. 4) Gaussi teisenduste korral vähimruutude lahend muutub, see pole vähimruutude ülesandes lubatud. 4. Kumerad hulgad Def: Hulk QcR2 on kumer, kui kõikide punktipaaride x1,x2 jaoks kogu neid punkte ühendav sirglõik kuulub sellesse hulka. Teoreem: Kumerate hulkade Q1...Qk ühisosa on kumerhulk. Tõestus: =!!!! !
KVANDI EKSAM Lineaarsed planeerimisülesanded: Mõisted: · Matemaatilised meetodid võimaldavad majandusprobleeme formaliseerida ja neid lahendada. Tegelevad optimaalsete lahendite väljatöötamisega · Lineaarne planeerimisülesanne ülesanne leida tundmatutele sellised mittenegatiivsed väärtused mis kajastaksid sihifunktsiooni optimaalset väärtust, rahuldades kõiki kitsendusi. · Lubatav lahend ehk plaan - sellised lahendid, mis rahuldavad kõiki kitsendusi ja tingimussüsteemi mittenegatiivsuse nõuet · Optimaalne lahend tundmatute väärtused, mis muudavad sihifunktsiooni kas maksimaalseks või minimaalseks · Optimaalsuskriteerium juhtimiseesmärgi kvantitatiivne hinnang( sihifunktsioon ) · Optimeerimine vastavalt sihifunktsioonile ja kitsendustele parima lahendi leidmine Max põhikujuline ülesanne:
.......... x = n Süsteemi lahendiks nimetatakse suurusi n , mis rahuldavad antud süsteemi. Süsteemi on võimalik kirjutada maatriksite abil: A = (aik) süsteemi maatriks, mis koosneb tundmatute kordajatest, B = (bi) _ vabaliikmete maatriks-veerg, X = (xk) tundmatute maatriks-veerg. Nende maatriksite abil on lineaarse võrrandisüsteemi kuju AX = B. a. Antud võrrandisüsteemil võib leiduda ainult üks lahend, kui m = n ja DA 0. b. Süsteemil puudub lahend, kui võrrandid on vastuolulised. c. Süsteemil on lõpmata palju lahendeid,kui tundmatute arv on suurem võrrandite arvust või võrrandid on lineaarselt sõltuvad s.t. DA = 0. Sel juhul kasutatakse üldlahendit ja erilahendeid. Süsteemide lahendamise meetodid. 1. Lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine maatrikskujul:
.......... x n =n mis rahuldavad antud süsteemi. Süsteemi on võimalik kirjutada maatriksite abil: A = (aik) süsteemi maatriks, mis koosneb tundmatute kordajatest, B = (bi) _ vabaliikmete maatriks-veerg, X = (xk) tundmatute maatriks-veerg. Nende maatriksite abil on lineaarse võrrandisüsteemi kuju AX = B. a. Antud võrrandisüsteemil võib leiduda ainult üks lahend, kui m = n ja DA 0. b. Süsteemil puudub lahend, kui võrrandid on vastuolulised. c. Süsteemil on lõpmata palju lahendeid,kui tundmatute arv on suurem võrrandite arvust või võrrandid on lineaarselt sõltuvad s.t. DA = 0. Sel juhul kasutatakse üldlahendit ja erilahendeid. Süsteemide lahendamise meetodid. 1. Lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine maatrikskujul:
a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b, (1) kus a1 , ... , an ja b on fikseeritud (antud) arvud ning x1 , ... , xn on tundmatud. http://www.hot.ee/habib/MindReader.htm Arvu b nimetatakse vaadeldava võrrandi vabaliikmeks, arve a1 , ... , an aga tema kordajateks. Näide Võrrandis 5 x + 3 y - 2 z = -4 on vabaliikmeks arv 4, kordajateks arvud 5, 3 ja 2 ning tundmatud on tähistatud tähtedega x, y ja z. Lineaarse võrrandi lahend Definitsioon Lineaarse võrrandi (1) lahendiks nimetatakse sellist tundmatute x1 , ... , xn väärtuste komplekti c1 , ... , cn , R, mis asendamisel võrrandi (1) vasakusse poolde muudavad selle samasuseks: a1 c1 + a2 c2 + ... + an cn b. Näide Võrrandi 5 x + 3 y - 2 z = -4 üheks lahendiks on x = 1, y = -1 ja z = 3, kuna antud tundmatute väärtuste asendamisel võrrandisse saame samasuse: 5·1 + 3 ·(-1) - 2 ·3 -4
Lineaaralgebra elemendid. M.Latõnina 1. MAATRIKSID 1.1. Üldmõisted Definitsioon 1. Maatriksiks nimetatakse riskülikujulist arvuliste elementidega tabelit, mis sisaldab n rida ja m veergu : Lühidalt maatriksit võib tähistada erinevate sulgudega (või kahekordsete püstjoontega): A = (aij ) = [aij ] = aij , (1.1) kus i = 1,...,n on rea number, j = 1,...,m on veeru number. Arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. Nii et esimene alumine indeks näitab, mitmendas reas asub element , ja teine alumine indeks - mitmendas veerus asub element. Maatriksi suurust saab väljendada valemiga: ridade arv x veergude arv. Antud maatriks (1.1) on suurusega n x m ja seda saab kirjutada järgmiselt : An x m või dim A = n x m (dimensioon suurus).
1. MAATRIKSID 1.1. Üldmõisted Definitsioon 1. Maatriksiks nimetatakse riskülikujulist arvuliste elementidega tabelit, mis sisaldab n rida ja m veergu : Lühidalt maatriksit võib tähistada erinevate sulgudega (või kahekordsete püstjoontega): [ ] a = aij A = (aij ) = ij , (1.1) kus i = 1,...,n on rea number, j = 1,...,m on veeru number. Arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. Nii et esimene alumine indeks näitab, mitmendas reas asub element , ja teine alumine indeks - mitmendas veerus asub element. Maatriksi suurust saab väljendada valemiga: ridade arv x veergude arv. Antud maatriks (1.1) on suurusega n x m ja seda saab kirjutada järgmiselt : An x m või dim A = n x m (dimensioon suurus). 3 -
HULGATEOORIA PÕHIMÕISTEID HULK - algmõiste, intuitiivse definitsiooni järgi objektide kogum. George Cantor (1845-1918) - saksa matemaatik, hulgateooria rajaja. Hulgad jaotuvad lõpmatuteks ja lõplikeks. Meie kursuses käsitletakse lõplikke hulki, mõnikord ka lõpmatuid loenduvaid hulki. Hulgateoreetilised operatsioonid Hulkade ühend A B = { x ( x A) V ( x B ) } Hulkade ühisosa (lõige) A B = { x ( x A) & ( x B ) Hulga täiend A = { x ( x I ) & ( x A ) }, kus I on nn. universaalhulk. Hulkade vahe A B = { x ( x A) & ( x B ) } Hulkade sümmeetriline vahe A B = { x (( x A ) & ( x B )) V (( x A ) & ( x B )) } Hulga A astmehulgaks 2A nimetatakse hulga A kõigi alamhulkade hulka. Hulgateoreetiliste operatsioonide omadused Kommutatiivsusseadused A B = B A B = B Assotsiatiivsusseadused A ( B C ) = ( A B ) C A ( B C ) = ( A B )
AIY3310 Diskreetne matemaatika Lühikonspekt Käesolev lühikonspekt katab suure osa aines AIY3310 (endise koodiga LIY3310) loetavast. Samal ajal ei saa seda materjali vaadelda kui antud aine täiskonspekti, mille läbitöötamine garanteeriks hea eksamiresultaadi. Loengutes ja harjutustundides käsitletakse mitmeid probleeme tunduvalt põhjalikumalt. Sellest hoolimata usun, et antud kirjutisest on paljudele tudengitest lugejatele kasu valmistumisel kontrolltööks ja eksamiks. Margus Kruus HULGATEOORIA PÕHIMÕISTEID HULK - algmõiste, intuitiivse definitsiooni järgi objektide kogum. George Cantor (1845-1918) - saksa matemaatik, hulgateooria rajaja. Hulgad jaotuvad lõpmatuteks ja lõplikeks. Meie kursuses käsitletakse lõplikke hulki, mõnikord ka lõpmatuid loenduvaid hulki. Hulgateoreetilised operatsioonid · Hulkade ühend AB={x |(xA)V (xB)} · Hulkade ühisosa (lõige) AB={x |(xA)& (xB) · Hulga täiend A = { x | ( x I ) & ( x A ) }, kus I on nn. universaalhulk. ·
Majandusprobleemi formuleerimine ja otsustuskeskkonna analüüs Vastav mudelipüstitus koos vajalike andmete ettevalmsitamisega Mudeli lahendamine ja lahendustulemuste analüüs ning info ettevalmistamist otsuste langetamiseks Otsuse tegemine LINEAARSED PLANEERIMISÜLESANDED Kasumi saamine on alati seotud teatud kitsendustega, mis tulenevad inimese käsutuses olevate ressursside piiratusest. Ekstreemumülesanded- leida selline lahend, mis annab teatud funktsioonile suurima või vähima võimaliku väärtuse. Lineaarne planeerimisülesanne- ülesannet leida muutujate (tundmatute) sellised mittenegatiivsed väärtused, mis annaksid etteantud lineaarsele funktsioonile (sihifunktsioonile) optimaalse (maksimaalse või minimaalse) väärtuse ning rahuldaksid seejuures kõiki etteantud lineaarseid võrratusi või võrdusi (kitsendusi). Kui lisaks sellele on esitatud nõue, et osa tundmatuid (või kõik tundmatud)
koostada selline tootmisplaan, mille puhul tootmisest ja toodedete müügist saadav kasum oleks suurim) 2. Optimaalse segu (dieedi) koostamine (etteantud nõuetele vastava odavaima segu kosotamine) Põhireeglid majandusprobleemi formuleerimiseks LPÜ-na 1. Defineerida majandusprobleem, analüüsida seda. Määratleda muutujad, mille väärtused on otsitavad ( nende suuruste kohta langetatakse otsus xj) 2. Defineerida sihifunktsioon. Määratleda sihifunktsiooni kordajad, mis otseselt mõjutavad z-ni kuuluvate muutujate väärtuse kujunemist. 3. Määratleda kitsendused, nende sisu ja mõju juhtimiseesmärkide saavutamisele. 4. Selgitada ressursside olemasolu ja nende kulunormid (kitsendussüsteemi kordajad) 5. Mittenegatiivsuse nõue 6. Majandussituatsiooni iseloomustavad tunnused ja tingimused tabelisse. 7. Formaliseerida matemaatiliste funktsioonidena sihifunktsioon ja kitsendused.
a1 = a a0 = 1 a n a n am an © Allar Veelmaa 2014 5 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium LINEAAR- JA RUUTVÕRRANDI LAHENDAMINE 1) Lineaarvõrrandi ax + b = 0 lahendamine b Kui a ≠ 0, siis lahend on x a Kui a = 0, siis on kaks võimalust: a) kui b = 0, siis võrrandi 0 · x = 0 lahendiks sobib iga arv. b) kui b ≠ 0, siis võrrandil 0 · x = b lahendeid ei ole. 2) Ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendamine: Kui a = 1, siis sellist võrrandit nimetatakse taandatud ruutvõrrandiks ja esitatakse kujul x2 + px + q = 0 ning see lahendatakse valemiga p p2
..,am poolt moodustatud vektorsüsteemiks Vektorvõrrand Võrrandit kujul 1a1 + 2a2 + · · · + mam = 0, kus {a1, a2, . . . , am} on ette antud vektorsüsteem ja 1, 2, . . . , m R on otsitavad, nimetatakse vektorsüsteemi {a1, a2, . . . , am} poolt määratud vektorvõrrandiks. Iga sellist otsitavate väärtuste komplekti 1, 2, . . . , m, mille korral eelpooltoodud võrdus paika peab, nimetatakse selle vektorvõrrandi lahendiks. Vektorvõrrandi 0 lahend lahendikomplekt 1=0, 2=0... m =0 Vektorsüsteemi alamsüsteem Vektorsüsteemi {ai1 , ai2 , . . . , aik} nimetame vektorsüsteemi {a1, a2, . . . , am} alamsüsteemiks. Vektorsüsteemi lineaarne sõltuvus (sõltumatus) Vektorsüsteemi {a1, a2, . . . , am} nimetame lineaarselt sõltuvaks (lineaarselt sõltumatuks), kui vektorvõrrandil 1a1+ 2a2 + ... + mam on rohkem kui 1 lahend (on ainult 1 lahend) ?Tulemused lineaarse sõltuvuse kohta väikese elementide arvuga vektorsüsteemides
Matemaatiline anal¨ uu¨s I Jaan Janno ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . .
Matemaatiline anal¨ uu¨s I Jaan Janno ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨ avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsio
YMM3731 Matemaatiline analu¨u¨s I 2007/08 ~o.-a. su¨gissemestril 3,5 AP 4 2-0-2 E S Dots. Lembit Pallas TTU¨ Matemaatikainstituut V-404, tel. 6203056 e-post: [email protected] K¨asitletavad teemad on toodud punktide kaupa. Neid punkte tuleb vaadelda ka kui kollokviumide ja eksami teooriak¨ usimusi. 1. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid 2. Funktsioonide liigitamine (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioo- nid, kasvavad ja kahanevad funktsioonid) 3. P¨o¨ordfunktsioon 4. Liitfunktsioon 5. Jada piirv¨aa¨rtus 6. Funktsiooni piirv¨aa¨rtus ¨ 7. Uhepoolsed piirv¨aa¨rtused 8. L~opmatult kasvavad ja l~opmatult kahanevad suurused 9. Piirv¨a¨artusteoreemid 10. L~opmatult kahanevate suuruste v~ordlemine 11. Funktsiooni pidevuse m~oiste. Tarvilik ja piisav tingimus funktsiooni pidevuseks 12. Elementaarfunktsioonide pidevus 13. L~oigul
Täh A-1. Igal ruutmaatriksil ei ole pöördmaatriksit. Ruutmaatriksil A leidub pöördmaatriks A-1 siis kui selle determinant on nullist erinev. Transponeeritakse alamdeterminante. Nt: detA = -45 7. Lineaarse võrrandisüsteemi mõiste, normaalkuju, laiendatud maatriks. Lubatavad elementaarteisendused lineaarse võrrandisüsteemi laiendatud maatriksiga. Võimalike lahendite arv. Lineaarse võrrandisüsteemi üld- ja erilahend. Lineaarseks võrrandisüsteemiks n tundmatu x1,x2,...,xn suhtes nim lõplikust arvust lineaarsetest võrranditest koosnevat süsteemi: Laiendatud maatriks: · Kahe rea asukoha vahetamine · Rea korrutamine mis tahes nullist erineva arvuga · Ühele reale minig nullist erineva arvuga korrutatud sama maatriksi mõne teise rea liitmine.
Arvutame [(A + B)]ij = (A + B)ij = (aij + bij ) = aij + bij = (A)ij + (B)ij = (A + B)ij ¨ a¨anud omadused t~oestatakse analoogiliselt. Ulej¨ II. Maatriksarvutus 5 2.2 Maatriksite vahe Maatriksite A ja B vahe A - B defineeritakse valemiga A - B := A + (-B) Maatrikstehete omadusi illustreerib h¨asti j¨argmise teoreemi t~oestus. orrandi A + X = B ainus lahend on X = B - A. Teoreem 4. V~ oestus. N¨aitame k~oigepealt, et B - A on v~orrandi lahend: T~ A + (B - A) = A + B + (-A) = A + B + (-1)A = 1A + (-1)A + B = [1 + (-1)]A + B = 0A + B = 0 + B = B Olgu Y veel mingi lahend, s.t A + Y = B. Siis Y = 0 + Y = (-A + A) + Y = -A + (A + Y ) = -A + B = B + (-A) = B - A ¨tlebki, et lahend B - A on ainus. mis u J¨ areldus 5. V~
MAJANDUSMATEMAATIKA I Ako Sauga Tallinn 2003 SISUKORD 1. MUDELID MAJANDUSES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Mudeli mõiste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Matemaatiliste mudelite liigitus ja elemendid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Matemaatilise mudeli struktuur ja sisu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2. FUNKTSIOONID JA NENDE ALGEBRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Arvud ja nende hulgad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Funktsionaalne sõltuvus . . . . . . . . . .
c) Võrrandi mõlemat poolt võib korrutada (jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga. Lineaarvõrrand Lineaarvõrrandiks nimetatakse võrrandit kujul ax+b=0, kus a ja b on antud arvud ning x on tundmatu. b ax + b = 0 ax = -b | :a x=- a Kui a0, siis võrrandil on üks lahend. Kui a=0 ja b0, siis lahendid puuduvad. Kui a=b=0, siis on lahendeid lõpmatult. Näiteülesanne 1: Näiteülesanne 2: 2(x - 3) + x + 6 = 3x 17 + 5(x 2) = 5x 2x 6 + x + 6 - 3x = 0 17 + 5x 10 -5x = 0 3x - 3x - 6 + 6 = 0 7=0 0=0 VASTUOLU, seega lahendid puuduvad. SAMASUS, seega lahenditeks on kõik reaalarvud.
Xk = , k = 1,2 ....n, DA kus DA on süsteemi maatriksi determinant ja Dk on determinant, milles süsteemi determinandis k- veerg on asendatud vabaliikmete veeruga. Crameri peajuht 1) vorrandisusteemi tundmatute arv m ja vorrandite arv n on vordsed, st nm ; 2) tundmatute kordajatest moodustatud determinant on nullist erinev. Carmeni peajuhul on vorrandisusteemil uksainus lahend ja tundmatud avalduvad determinantide jagatisena: Näide: Crameri valemite abil lahendada võrrandisüsteem: 2 x1 - 4 x 2 + 3 x3 = 1 x1 + 3 x 2 + 2 x3 = 4 . 3x - 5x + 4 x = 1 1 2 3 2 - 4 3 1 3 2 3 -5 4 DA = = -6; 1 - 4 3 D1 = 4 3 2 = 9; 1 -5 4 2 1 3 D2 = 1 4 2 = -3; 3 1 4 2 - 4 1 D3 = 1 3 4 = -12, 3 -5 1
empiiriline jaotusseadus (näiteks jaotustiheduse funktsioon) on kooskõlas teoreetiliselt eeldatava jaotusseadusega (näiteks normaalse või ühtlase vm jaotusega). Kontrollimiseks kasutatakse kriteeriume, millest levinumad on Pearsoni kriteerium 2 ja Kolmogorovi kriteerium. Pearsoni kriteeriumi kasutusnäide: Kasutatakse ühe ettevõtte tööliste pikkuse kohta saadud statistilist materjali. Tööliste arv n=1000. Esmalt määratakse tähtsamad arvkarakteristikud hinnangud Ex*=166cm ja x*=6cm. Statistiline rida koostatakse nii, et tööliste pikkuste vahemikud oleksid võrdsed x*-ga ja paigutuksid Ex*-st kahele poole (vasakule ja paremale). Hüpotees: X allub normaaljatusele. Pearsoni kriteeriumi järgi kontrollimiseks on olemas vastavad tabelid. Kolmogorovi kriteerium: Vaadeldakse statistilise (F*(x)) ja vastava teoreetilise (F(x)) jaotusfunktsiooni suurimat erinevust: D = max|F*(x) F(x)|
muutujatel on mõtet; antud juhul muidugi 6. Milline on lineaarse planeerimise ülesande kanooniline kuju? Kuidas see saadakse standardsest kujust? Me teisendame standardse kuju kanoonilisele kujule lisamuutujate abil 7. Mis on planeerimisülesande lubatav hulk? Mudeli lubatavaks hulgaks nimetatakse kõigi selliste punktide hulka, mis rahuldavad mudeli kõiki kitsendusi. 8. Mis on planeerimisülesande lubatav lahend, optimaalne lahend? Luvatav lahend on lahend, mis rahuldab kõiki mudeli kitsendusi. Optimaalne lahend on lubatava hulga punkt, mis annab sihifunktsioonile optimaalse väärtuse 9. Mis on lineaarse planeerimise ülesande baaslahend, lubatav baaslahend? ● Lubatav baaslahend on simplekssüsteemi (lineaarplaneerimine kanoonilisel kujul) lahend, mis rahuldab mittenegatiivsuse nõuet. ● Baaslahend on simplekssüsteemi lahend (lineaarplaneerimine kanoonilisel
EKSAMIKÜSIMUSED 2009 1. Infoedastussüsteemi struktuurskeemid. Üksikute osade: infoallikas, kooder, edastuskanal jne ühtsed kirjeldused. Infoedastuse põhiseadused. (Slaididelt: paragrahv 1) Struktuurskeem: info allikas -> kodeerimine -> edastuskanal -> dekodeerimine -> info tarbija Info allikas edastamisele kuuluvad teatud sõnumid ajalise järjestikuse jadana, siia lisandub ideaalne vaatleja, kes saab sõnumis aru; info allikad on pidevad (elektrilised signaalid) ja diskreetsed (lõplik arv teateid, diskreetsed allikad võivad olla lihtallikad ja kahendallikad); diskreetsed lihtallikad võivad olla mäluta (üksteiele järgnevad sümbolid on teineteisest statistiliselt sõltumatud) või mäluga (sümbolid on stat. sõltuvad); diskreetsel kahendallikal on kaks võimalikku väljundsümbolit null ja üks; Kodeerimine kooder on sobituste kogu; Edastuskanal edastuskanalil on välismõjud; edastuskanal on tehniliste vahendite kogum, toimib teatud reaalses füüsikalises
1) veenduda, et antud maatriks on ruutmaatriks ja selle determinant et võrdu nulliga. detA = -45 2) leida kõikide elemendite alamdeterminandid ja esialgsed elemendid nendega asendada 3) transponeerida saadud maatriks ja korrutada see läbi 1/detA 7. Lineaarse võrrandisüsteemi mõiste, normaalkuju, laiendatud maatriks. Lubatavad elementaarteisendused lineaarse võrrandisüsteemi laiendatud maatriksiga. Võimalike lahendite arv. Lineaarse võrrandisüsteemi üld- ja erilahend. Lineaarseks võrrandisüsteemiks n tundmatu x1,x2,...,xn suhtes nimetatakse lõplikust arvust lineaarsetest võrranditest koosnevat süsteemi: homogeenne süsteem kõik vabaliikmed on nullid laiendatud maatriksiks nimetatakse maatriksit, mis tekib süsteemi maatriksi A täiendamisel vabaliikmete veerumaatriksiga B, st maatriksit: (A B) = maatriksi elementaarteisendused:
1.Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. Lineaarse võrrandi all mõistetakse võrrandit kujul a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b , (1) kus a1 , a2 , ... , an ja b on fikseeritud arvud ning x1 , x2 , ... , xn on tundmatud. Arvu b nimetatakse vaadeldava võrrandi vabaliikmeks, arve a1 , a2 , ... , an aga tema kordajateks. Def. 1. Võrrandi (1) lahendiks nimetatakse selliseid tundmatute x1 , x2 , ..
geomeetriliste vektorite korral. Nullvektori osas on = (0; 0; ...; 0); - = (- a1; -a2; ... -an) = (-1); - = + (-) = + (-1) 6. Maatriksi defnitsioon ja tähistused. Lineaarsed tehted maatriksitega ja nende omadused. K - korpus; m, n - positiivsed naturaalarvud; (mxn)-maatriks üle korpuse K - m-realine ja n-veeruline skalaaride tabel; K(mxn) - kõigi (mxn)-maatriksite hulk üle korpuse K (mxn)-maatriksiks nimetatakse m reast ja n veerust koosnevat ristkülikukujulist arvude tabelit A = ||aij|| = (aij R iga i ja j korral) Erikujulised maatriksid: 1. ruutmaatriksid (m=n) 2. diagonaalmaatriks (m=n; aij = 0 ij) 3. skalaarmaatriks (m=n; aij = 0 ij; a11 = a22 = ... = ann) Lineaarsed tehted maatriksitega A = ||aij|| Kmxn; B = ||bij|| Kmxn; c K 1. liitmine: A + B = ||cij|| Kmxn; cij = aij + bij i,j 2. skalaariga korrutamine: cA = ||dij|| Kmxn; dij = caij i,j
LTMS.00.022 ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS Loengukursus Tartu Ülikooli loodus- ja täppisteaduste valdkonna üliõpilastele 2019./2020. õppeaasta Toivo Leiger Joonised: Ksenia Niglas Pisitäiendused 2016–20: Märt Põldvere, Natalia Saealle, Indrek Zolk, Urve Kangro 2 Sisukord 1 Reaalarvud 6 1.1 Järjestatud korpused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Korpuse aksioomid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Järjestatud korpus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Täielik järjestatud korpus . . . . . . . . . . . . .
4. Determinandi arendamine rea või veeru järgi. PEATÜKK 1. MAATRIKSID JA DETERMINANDID 1.1 Maatriksi mõiste Maatriksi A vastandmaatrik- Definitsioon 1.1 siks nimetatakse maatriksit -A Maatriksiks nimetatakse m reast ja n veerust koosnevat ristküliku- ehk arvuga -1 läbikorrutatud maatriksit A. kujulist arvude tabelit a11 a12 a13 ··· a1n
35. Millistel maatriksitel on olemas pöördmaatriks? Siis kui antud maatriksi determinant ei võrdu 0-ga 36. Mis on lineaarplaneerimise ülesande lubatav hulk? Lubatavaks hulgaks nimetatakse kõigi selliste punktide (x1 , x2 ) hulka x1x2-tasandil, mis rahuldavad mudeli kõiki kitsendusi. 37. Kirjeldada, mis on lineaarplaneerimise ülesande baaslahend, lubatav baaslahend. Lubatav baaslahend on ülesande lubatava hulga iga tipp Baaslahend suvaline lubatavate lahendite hulga tipp 38. Milline seos on lineaarplaneerimise ülesande optimaalsete lahendite ja lubatavate baaslahendite vahel? lubatavate baaslahendite hulgast valitakse välja tipp, milles sihifunktsiooni väärtus on suurim kui lähtetipus, vastav baaslahend ongi optimaalne lahend 39. Kuidas saab leida duaalse ülesande optimaalse lahendi ilma duaalset
annaabi.ee 
