php?id=78717 lk 14. 4) a. Valemeid ja nimetatakse samaväärseteks, kui nende tõeväärtused on võrdsed igal neis valemeis esinevate muutujate väärtustusel. b. Põhisamaväärsused. https://moodle.ut.ee/mod/url/view.php?id=78717 lk 22. c. Samaväärsuste kasutamine teisendustes seisneb valemi mingi osavalemi asendamises temaga samaväärsega. Nagu algebras, säilitab selline osavalemi asendamine ka siin samaväärsuse ka terve valemi jaoks. d. Teoreem. Iga lausearvutuse valemi jaoks leidub temaga samaväärne valem, mis ei sisalda muid tehtemärke, kui d.i. ¬, &; d.ii. ¬, ; d.iii. ¬, . e. Tõestus. Kolm ülejäänud tehet saab avaldada antud komplekti kaudu. 5) a. Ütleme, et valemitest 1, 2,..., n järeldub valem , kui igal neis valemeis esinevate muutujate väärtustusel, millel 1, 2,..., n on tõesed, on ka tõene. b. Teoreem. Valemitest 1, 2,..
mingitel väärtustel Ütleme, et valemitest F1, F2, ... , Fn järeldub valem G, kui igas interpretatsioonis valemite vabade muutujate kõikidel väärtustel, kus valemid F1, F2, ... , Fn on tõesed, on ka valem G tõene Valemeid F ja G nimetatakse samaväärseteks, kui nende tõeväärtused on võrdsed igas interpretatsioonis valemite vabade muutujate kõikidel väärtustel Churchi teoreem: ei leidu algoritmi, mis suudaks suvalise predikaatloogika valemi puhul kindlaks teha, kas valem on samaselt tõene Igasuguse lõpliku võimsusega ja loenduva hulga interpretatsioonide vaatlemine on vajalik, sest saab konstrueerida valemi, mis on tõene parajasti siis, kui kandjas on n elementi, ja saab konstrueerida kehtestatava valemi, mis on väär igas lõpliku kandjaga interpretatsioonis
P(X) = false, kui argumendina esitet hulk on iseenda elemendiks. Kontrollime hulka Y = {X | P(X)} Eeldades, et Y kuuluks hulka Y, saame P(Y) = false => Y ei kuulu hulka Y Eeldades, et Y ei kuulu hulka Y, saame P(Y) = true => Y kuulub Y Paradokside elimineerimine hulkade hierarhia ja klassifitseerimisega. 2. Relatsioonid. Ekvivalentsi- ja järjestusseosed. Relatsioon ehk seos hulkade A ja B vahel on alamhulk A x B-le. Seos hulgal A on alamhulk A x A-le. Pöördrelatsioon R-1 on relatsiooni täiend. aRb -> Elemendid a ja b on seoses R Refleksiivsus - iga a korral aRa (a on iseendaga seoses) Sümmeetria iga a korral aRb => bRa (kõik seosed on vastastikused) Transitiivsus iga a korral aRb && bRc => aRc (põhimõtteliselt järjestusseos) Ekvivalentsiseoseks nimetatakse seost, mis on refleksiivne, sümmeetriline ja transitiivne. Elemendiga a (A element) ekvivalentsete elementide hulka nimetatakse a ekvivalentsiklassiks (hulgal A).
Lucas` arvud. [18]. Catalani arvud. [19]. Sündmused ja tõenäosus. Statistiline tõenäosus. Bernoulli suurte arvude seadus. [20]. Sõltuvad ja sõltumatud sündmused. Sündmuste summa ja korrutis. [21]. Täistõenäosuse valem. Bayesi reegel. [22]. Bernoulli valem (k katse õnnestumine katsete üldarvu n korral). [23]. Kord- ja algarvud. Algarvude jaotus, algarvulisuse kontroll, Eratosthenese sõel. [24]. Naturaalarvude kanooniline kuju. Suurim ühistegur ja vähim ühiskordne. [25]. Fermat teoreem. Pseudoalgarvud ja Carmichaeli arvud. [26]. Eukleidese algoritm. [27]. Lineaarsed diofantilised võrrandid. [28]. Täisarvude kongruentsid. Kongruentsi omadusi. [29]. Moodularitmeetika. [30]. Algarvulisuse Fermat` test. Miller-Rabini test. [31]. Graafid ja graafide omadused. Ahelad ja tsüklid graafis. [32]. Euleri graafid. Hamiltoni tsüklid. [33]. Puud. Puude omadused. [34]. Graafi vähima kaaluga aluspuud. [35]. Märgendatud puud. Puude esitamine arvuti mälus. [36]. Prüferi kood
ehk sümbolites: Kui A, siis B Kui ¬B, siis ¬A. Öeldakse ka, et need laused on loogiliselt samaväärsed. Näide1: Lause: ,,Kui nelinurk on rööpkülik, siis tema diagonaalid poolitavad teineteist." Pöördvastandlause: ,,Kui nelinurga diagonaalid ei poolita teineteist, siis nelinurk ei ole rööpkülik." Kehtigu teoreem: Kui A, siis B. Sel juhul öeldakse, et A on piisav tingimus selleks, et kehtiks B. Samuti öeldakse, et B on tarvilik tingimus selleks, et kehtiks A. Näide: Lause: Kui tuleb riiklik toetus, siis saame ürituse läbi viia. Riiklik toetus on piisav selleks, et üritust läbi viia. Ürituse läbiviimiseks on tarvilik, et oleks riiklik toetus. Kui koos teoreemiga (Kui A, siis B) kehtib ka pöördteoreem (Kui B, siis A), siis võetakse
LAUSEARVUTUS Diskreetne matemaatika ei tegele reaalarvudega ega pidevate funktsioonidega. Verbaalne esitus on mistahes info esitamine lingvistilise keele abil. Formaalne esitus on mistahes info esitamine ilma lingvistilise keele abita ehk esitus kokkulepitud sümbolite abil. Formaalne esitus peab olema üheselt tõlgendatav. Lausearvutus on loogilise mõtlemise matemaatiline mudel. Lausearvutuse lause võib olla iga verbaalne väide, millele saame omistada tõeväärtuse – tõene või vale. Lihtlause on lihtsaim võimalik lausearvutuslause. Lausearvutuslauseid tähistatakse formaalselt suurtähtedega: A, B, P, Q … Lihtlausetest koostatakse kindlate sidesõnade ja loog konstruktsioonide abil liitlauseid. Lausearvutuse lihtlauseid seotakse liitlauseteks 5 loogilise konstruktsiooni ehk loogikatehte abil.
= 0,1,2,... korral. T: Olgu L = L (M ), kus M = (Q , Σ, δ , Q0 , F ) ja Q = {q0 ,1 , . . . , qn }. Valime p = n. Siis sõne z = a1a2...an+1 aktsepteerimiseks peab automaat M tegema n+1 sammu. Järelikult vähemalt 1 olek peab korduma. Järelikult uw ∈ L(M), uvw ∈ L(M), uv2w ∈ L(M) jne. Keel L = {0n1n|n > 0} pole regulaarne. Sellise keele jaoks on vaja mälu. 6 Myhill-Nerode teoreem. DEF: Olgu keele L ⊆ Σ* (keel on kõigi sõnede hulga alamhulk) jaoks antud ekvivalentsiseos HL ⊆ Σ* × Σ* selline, et xHLy kehtib parajasti siis, kui iga z ∈ Σ* korral kehtib xz ∈ L yz ∈ L (iga suvalise z lisamisel x ja y sappa, kuuluvad saadud xz ja yz mõlemad keelde L või ei kuulu mõlemad). Teoreem: Keel L on regulaarne parajasti siis, kui seose HL ekvivalentsiklasside hulk on lõplik.
N ä iteks j ärj es tus s eos < tähendab naturaalarvu paaride hulka {(a,b): a< b} N ende tehete korral on kas utus el ka tähis tus kuj ul aRb näiteks a< b Ü les anne: A ntud on hulgad A= { 1,2,3,4} j a B= A .D efineerida relats ioon aRb nii et a< = b,leida s elle relats iooni mä äramis p iirkond j a muutu mi s piirkond. R = { (a,b): a< = b} R = { (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4),(4,4)} D om (R )= A R ange (R )= A 2. Relatsiooni esitamine (R.Palm järgi) R elats iooni võib es itada paaride loendina nagu ees pool, eriti j uhul kui paare on vähe. Teine võima lus relats ioonide es itamis eks on suunatud graaf. K as utame hulga A j a hulga B ele ment e gaafi tippudena (punktid joonis el) ja tõmb ame kaare punktis t a A punktini b B juhul kui paar (a,b) kuulub vas tavas s e relats iooni. Tule mus ena s aame graafi kus kaared viivad hulgas t A hulka B j a hulkade s ee s kaari pole
N ä iteks j ärj es tus s eos < tähendab naturaalarvu paaride hulka {(a,b): a< b} N ende tehete korral on kas utus el ka tähis tus kuj ul aRb näiteks a< b Ü les anne: A ntud on hulgad A= { 1,2,3,4} j a B= A .D efineerida relats ioon aRb nii et a< = b,leida s elle relats iooni mä äramis p iirkond j a muutu mi s piirkond. R = { (a,b): a< = b} R = { (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4),(4,4)} D om (R )= A R ange (R )= A 2. Relatsiooni esitamine (R.Palm järgi) R elats iooni võib es itada paaride loendina nagu ees pool, eriti j uhul kui paare on vähe. Teine võima lus relats ioonide es itamis eks on suunatud graaf. K as utame hulga A j a hulga B ele ment e gaafi tippudena (punktid joonis el) ja tõmb ame kaare punktis t a A punktini b B juhul kui paar (a,b) kuulub vas tavas s e relats iooni. Tule mus ena s aame graafi kus kaared viivad hulgas t A hulka B j a hulkade s ee s kaari pole
Formaalsete esituste ainus otstarve on nendes sisalduv info hiljem jälle verbaalseks (ehk mõnda lingvistilisse keelde) tagasi "üles lugeda" — Hulgad: Hulgaalgebra (Cantori algebra), Hulgaaritmeetika (taastada). — Loogika: Lausearvutus, Predikaatarvutus, Tõestusmeetodid Mistahes formaalne esitus peab olema üheselt tõlgendatav! — Loogikaalgebra (Boole'i algebra) — Loogikafunktsioonid: minimeerimine, normaalkujud . . . — Algebralised struktuurid: "mitteformaalne" ≡ "verbaalne" (sünonüümid) Fundamentaalalgebrad: Võred, Rühmad, Ringid, Korpused
17. Mis on sürjektsioon? Sürjektsioon on kõikjale määratud funktsioon. 18. Mis on injektsioon? Injektsioon on üks-ühene funktsioon. 19. Mis on bijektsioon? Bijektsioon on kõikjale määratud üks-ühene funktsioon. Bijektsioon on samaaegselt nii sürjektsioon kui ka injektsioon. 20. Mis järeldub bijektsiooni korral lähtehulga ja sihthulga võimsuste kohta? Bijektsiooni korral on lähtehulga ja sihthulga võimsused võrdsed. 21. Mis on binaarne relatsioon? Binaarne relatsioon on vastavuse erijuht, kus nii lähtehulk kui ka sihthulk on üks ja sama hulk. 22. Mis on binaarsuhte alushulk? Binaarsuhte alushulk on hulk, millel on määratud relatsioon. 23. Mis on relatsioonikriteerium? Relatsioonikriteerium on reegel, mille abil on alushulga elemendid seotud vastavuspaarideks. 24. Kas igal relatsioonil on relatsioonikriteerium alati olemas? Relatsioonil ei pea alati relatsioonikriteerium olemas olema. 25. Millised on relatsiooni esitusviisid
1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 G= 0 1 1 0 0 1 H= 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 Lahendus. Joonistades välja graafide täiendid, leiame, et graafi G täiend on tsükkel tippudega 1, 4, 5, 3, 2, 6 ning graafi H täiend on tsükkel tippudega 1, 2, 5, 4, 3, 6. Et kaks sama tippude arvuga tsüklit on isomorfsed, siis on ka graafid G ja H isomorfsed. Üks isomorfism on näiteks bijektsioon , mis teisendab graafi G tipud graafi H tippudeks järgmisel viisil: (1) = 1, (2) = 3, (3) = 4, (4) = 2, (5) = 5, (6) = 6. Materjal õpikus. Lk 5759 (graafide isomorfism). Lk 62, ülesanded 3741. Ülesanne 4
Hulk C AxB on mingi funktsiooni graafik parajasti siis, kui kehtivad tingimused: · iga x A korral leidub y B, et (x, y) C (igale elemendile hulgast A peab vastama mingi element hulgast B). · alati, kui (x, y1) G ja (x, y2) G, siis y1 = y2 (ühelegi elemendile hulgast A ei vasta kahte erinevat elementi hulgast B) 4 Funktsiooni kompositsioon Funktsioonide f : A B ja g : B C kompositsiooniks ehk liitfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni gf : A C, mis defineeritakse tingimusega. · Kompositsioon on assotsiatiivne: h(gf ) = (hg)f . · Kui f ja g on injektiivsed (sürjektiivsed, bijektiivsed), siis gf on injektiivne (sürjektiivne, bijektiivne). Funktsiooni pöördfunktsioon Bijektiivse funktsiooni f : A B pöördfunktsioon on funktsioon f -1 : B A seab igale
Graafid Graaf koosneb tippudest(sõlmedest) ja neid ühendavatest kaartest. Kaarega võib ühendada suvalisi graafi tippe, sealhulgas on võimalik kaar samale tipule (iseendale). Iga kaar on määratud kahe tipuga. Orienteeritud graaf: kaared on järjestatud tipupaarid. Def: Graaf on paar (V,E), kus V on mittetühi hulk ning E hulk, mille elementideks on hulga V kaheelemendilised alamhulgad. Näide lk 47 (Palm) Tipu aste tipust väljuvate servade arv. Teoreem: Igas graafis on kõigi tippude astmete summa võrdne servade arvu kahekordsega. Järeldus: Igas graafis on paaritu astemga tippe paarisarv. Ahel graafis tippude järjend, kus iga kaks järjestikust tippu on servaga ühendatud (esimene ja viimane on otstipud vahepeal sisetipud).
Lausearvutus: Diskreetne matemaatika ei tegele pidevate funktsioonidega. Diskreetne mate ei tegele reaalarvudega. Verbaalne esitus on lingvistilise keele kasutamine info edastamiseks. Formaalne esitus on ilma lingivtilise keele kasutamise info edastamine, peamiselt sümbolite abil. Formaalne esitus peab olema üheselt mõistetav. Lausearvutus on loogilise mõtlemise matemaatiline mudel. Lausearvutuse lause on lause, millele saab omistada tõeväärtust(0,1). Tõeväärtuseid on kaks, 0-väär, 1-tõene. Lihtlause on lihtsaim lausearvutuse lause. Lausearvutuse lauseid tähistatakse suutre tähtedega A, B, C. Liitlause koosneb lihtlausetest ning neid siduvatest konstruktisoonidest ja sidesõnadest. Lausearvutuse loogikatehted on inversioon, konjunktsioon, disjunktsioon,
SISSEJUHATUS MATEMAATILISSE LOOGIKASSE Kordamisküsimused (orienteeruv) Mõnede sümbolite tähendused sõna Materjal puudub & Konjuktsioon Ekvivalents üldisuskvantor Järeldumine Disjunktisoon ¬ Eitus olemasolukvantor Signatuur Implikatsioon Samaväärsus Loogiline järeldumine I. Lausearvutus Laused. Lausearvutuse tehted. Valem. Valemi tõeväärtus. Tõeväärtustabel. Laused Põhilised uuritavad objektid lausearvutuses on laused, mis võimaldavad pärineda ükskõik millisest valdkonnast. Oluline on, et igale lausearvutusele saaks vastavusse seada tõeväärtuse, mis kirjeldab lause tegelikkusele vastava määra. Eeldame, et käsitlevad laused rahuldavad järgmisi tingimusi: · Välistatud kolmanda seadus
Märkus 1: n muutuja funktsioonil võib esineda n esimest järku osatuletist. Nad iseloomustavad funktsiooni muutumise kiirust vastava koordinaattelje sihis. Kui wi > 0 siis funktsioon kasvab i- nda koordinaadi kasvades, kui wi < 0 siis funktsioon kahaneb i-nda koordinaadi kahanedes. Märkus 2: esimest järku osatuletistest arvutatud osatuletisi nimetatakse teist järku osatuletisteks. Tähis on wij . Neist võib edasi arvutada kõrgemat järku osatuletisi. Tähis on wij ...k . Schwarz´i teoreem pidevate funktsioonide segatuletised on võrdsed fxy=fyx Tuletis antud suunas. Granient Definitsioon: kui ühikvektori tähis n-mõõtmelises ruumis on l0, siis defineeritakse funktsiooni w` w = f (P ) tuletis vektori l0 suunas kui vektori l0 ja gradientvektori grad w skalaarkorrutist: l` w` = l0 gradw l` Järeldus: Geomeetriliselt on tuletis antud suunas gradientvektori projektsioon sellele w` diferentseerimissuunale
Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) §1. MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID 1. Ruum R m , hulgad selles ruumis Def. Kõigi m reaalarvust koosnevate järjestatud süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) hulka nimetatakse m-mõõtmeliseks ruumiks. Def. Kui m-mõõtmelises ruumis defineeritakse süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) ja Q = ( y1 ,..., y m ) m vaheline kaugus d (P, Q ) valemiga d (P, Q ) = (x - y i ) , siis nimetatakse seda ruumi 2 i i =1 m-mõõtmeliseks eukleidiliseks ruumiks ja tähistatakse R m . Süsteemi P = ( x1 ,..., x m ) nimetatakse ruumi R m punktiks ning reaalarve xi (1 i m ) punkti P koordinaatideks.
funktsiooni x = f −1 (y ) , mis igale arvule y ∈ Y = f (X ) seab vastavusse arvu x ∈ X , Osajadad. Bolzano-Wierstrassi)Monotoonseks jadaks nimetatakse jada, mis on kogu kusjuures y = f (x). ulatuses mittekasvav või mittekahanev. *Monotoonseks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas on *Bolzano- Weierstrassi teoreem: Igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva mittekasvav või mittekahanev. osajada. *Rangelt monotoonseks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas *Jada {Xn} osajadaks {Yn} nim. jada, mis on saadud jadast {Xn} lõpliku või lõpmatu on kasvav või kahanev
6.2 Hausdorffi ruumi omadusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64 ¨ 6.3 Ulesandeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66 7 KOMPAKTSUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 7.1 Kompaktsuse definitsioon ja lihtsamaid j¨areldusi . 68 7.2 Kompaktsus loenduva baasiga ruumides . . . . . . . . . .72 7.3 Kompaktsus meetrilistes ruumides . . . . . . . . . . . . . . . 76 7.4 Heine-Boreli teoreem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79 7.5 Kompaktsus ja pidevad kujutused . . . . . . . . . . . . . . . .83 ¨ 7.6 Ulesandeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84 8 SIDUSUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 8.1 Sidusus ja tema komponendid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85 8.2 Sidusad hulgad arvteljel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Perioodilised ja antiperioodilised funktsioonid. liikmeid. Pöördfunktsioon. Monotoonsed funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Lause. Arv a on jada { xn} kuhjumispunkt parajasti siis, kui leidub selline osajada { xnk} , mis 3. Jada definitsioon. Koonduvad jadad, jada piirväärtus. Jada piirväärtuse omadused. koondub arvuks a. 4. Jada tõkestatus. Monotoonsed jadad. Osajadad. Bolzano-Weierstraß'i teoreem. Lause. Jada { xn} koondub parajasti siis, kui ta on tõkestatud ja tal on vaid üks kuhjumispunkt. 5. Cauchy jadad ehk fundamentaaljadad. Kuhjumispunktimõiste. Kuhjumispunktide seos jada koonduvusega. 6. Funktsiooni piirväärtuse mõiste. Seos jada piirväärtusega. Reaalmuutuja funktsiooni 6. Arvu b nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks punktis a, kui iga > 0 leidub () > 0, et iga ühepoolsed piirväärtused. Funktsiooni piirväärtuse omadused
Koonduva jada tõkestatuse tõestus) Jada {Xn} nimetatakse tõkestatuks, kui
leidub selline arv M>0, et iga n N korral Xn Um(0).
*Lause: Iga koonduv jada on tõkestatud.
*Tõestus:
a). Tõestame, et iga koonduv jada on Cauchy jada.
b). Näitame, et iga Cauchy jada on tõkestatud.
8*(Monotoonsed jadad. Monotoonse ja tõkestatud jada koonduvuse seos. Osajadad. Bolzano-
Wierstrassi)Monotoonseks jadaks nimetatakse jada, mis on kogu ulatuses mittekasvav või
mittekahanev.
*Bolzano- Weierstrassi teoreem: Igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva osajada.
*Jada {Xn} osajadaks {Yn} nim. jada, mis on saadud jadast {Xn} lõpliku või lõpmatu hulga jada
elementide väljajätmise teel.
*Lause: Xn < Xn+1 ; Xn < M
*Tõestus: Fikseerime n. Xn < Xn+1 ; Xn < M ; Xn- Xn+1
4)Kui funktsioonidel f(x) ja g(x) on punktis a sama piirväärtus b ning leidub punkti a δ-ümbrus, et iga 0 < |x − a| < δ korral kehtib võrratuste ahel f(x) ≤ h(x) ≤ g(x), siis funktsiooni h(x) piirväärtus punktis a on samuti b. 5)lim (1 + 1/x)x = e; lim (1+1/x)x = e; lim (1+x)1/x = e x→+∞ x→ - ∞ x→ 0 4.Jada tõkestatus. Monotoonsed jadad. Osajadad. Bolzano – Weierstrass teoreem. Jada tõkestatus - Jada{xn} nimetatakse tõkestatuks, kui leidub selline arv M > 0, et iga n ∈ N korral xn ∈ UM (0), st ∀n ∈ N(| xn | ≤ M). Osajadad - Iga jada, mis saadakse jadast mingi lõpliku või lõpmatu hulga jada elementide väljajätmisel nim. selle jada osajadaks. Bolzano – Weierstrass teoreem - Igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva osajada. Monotoonne jada - jada, mis on kogu ulatuses mittekasvav võimittekahanev. 5.Cauchy jadad ehk fundamentaaljadad
. (1.1) . .. .. .. .. .. . . . . am1 am2 am3 ··· amn Sellisel juhul öeldakse, et maatriks on (m × n)-järku. Siinjuures ar- ve aij nimetatakse maatriksi elementideks, i = 1, 2, . . . , m ja j = 1, 2, . . . , n. Maatriksi elemendi aij indeks i näitab rida ja indeks j näitab veergu, mil- les element asetseb. Tavaliselt tähistame maatriksit ennast suure tähtega (näiteks A) ning maatriksi elemente tähistame indeksiga varustatud väikse tähega (näiteks aij ). Lühidalt esitatakse sama maatriksit ka kujul A = (aij ). Definitsioon 1
TTU¨ Matemaatikainstituut http://www.staff.ttu.ee/math/ Ivar Tammeraid http://www.staff.ttu.ee/itammeraid/ ¨ US MATEMAATILINE ANALU ¨ I Elektrooniline ~oppevahend Tallinn, 2001 Tr¨ ukitud versioon: Ivar Tammeraid, Matemaatiline anal¨ uu ¨ Kirjastus, ¨s I, TTU Tallinn 2001, 227 lk, ISBN 9985-59-289-1 ¨ Raamatukogu Viitenumber http://www.lib.ttu.ee TTU ~opikute osakonnas 517/T-15 c Ivar Tammeraid, 2001 Sisukord 0.1. Eess~ ona K¨aesoleva ~ oppevahendi aluseks on autori poolt viimastel aastatel Tallinna Tehnika¨ ulikoo- lis bakalaureuse~ oppe u ¨li~ opilastele peetud u ¨he muutuja funktsiooni diferentsiaal- ja inte- graalarvutuse loengud nimetuse "Matemaatiline anal¨ uu¨s I" all. Siiski ei ole tegu pelgalt u ¨hel semestril esitatu kirjapanekuga. Lisatud on
Lõplikku piirväärtust omavat jada nim. koonduvaks, vastasel juhul nim. jada hajuvaks. 9) · Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse definitsioon Muutuvat suurust a nim. Lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim a = 0. Muutuvat suurust a nim. Lõpmatult kasvavaks, kui lim |a|=. · Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos ja teoreem Lõpmatult kahanev ja kasvav suurus on omavahel pöördarvud. Teoreem: Suurus a on lõpmatult kasvav siis ja ainult siis, kui suurus on lõpmatult kahanev. · Tõkestatud suuruse definitsioon Muutuvat suurust a nim tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud. · Lõpmatult kahaneva ja tõkestatud suuruse korrutise teoreem Kui suurus a on lõpmatult kahanev ja suurus B on tõkestatud, siis nende korrutis aB on lõpmatult kahanev. 10)
Lõplikku piirväärtust omavat jada nim. koonduvaks, vastasel juhul nim. jada hajuvaks. 9) · Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse definitsioon Muutuvat suurust a nim. Lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim a = 0. Muutuvat suurust a nim. Lõpmatult kasvavaks, kui lim |a|=. · Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos ja teoreem Lõpmatult kahanev ja kasvav suurus on omavahel pöördarvud. Teoreem: Suurus a on lõpmatult kasvav siis ja ainult siis, kui suurus on lõpmatult kahanev. · Tõkestatud suuruse definitsioon Muutuvat suurust a nim tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud. · Lõpmatult kahaneva ja tõkestatud suuruse korrutise teoreem Kui suurus a on lõpmatult kahanev ja suurus B on tõkestatud, siis nende korrutis aB on lõpmatult kahanev. 10)
4 ¨ Ulesandeid 4.1 ¨ Ulesanne Arenda determinant teise rea ning kolmanda veeru j¨argi ning ar- vuta tema v¨a¨artus m~olemal viisil. V~ordle tulemusi. 4 3 -5 0 3 2 0 -5 1 0 -2 3 0 1 -3 4 4.2 ¨ Ulesanne Arvuta determinant omaduste (vt teoreem 2) abil. 3 6 5 6 4 5 9 7 8 6 6 12 13 9 7 = · · · = 5 4 6 6 5 4 2 5 4 5 3 4.3 Vandermonde'i determinant Arvuta n-j¨arku Vandermonde'i determinant 1 1 ... 1 x1 x2 ... xn Vn (x1 , . . . , xn ) := x21 x22 ... x2n = ··· = (xk - xi )
ei lähene nullile. Rida hajub
35. Arvrea koonduvuse Cauchy tunnus (sten)
36. Arvrea koonduvuse integraaltunnus
37. Vahelduvate märkidega read. Leibnizi tunnus
Vahelduvate märkidega rida on rida kujul a1a2+a3a4, ..., kus ai>0
Leibnitzi tunnus
Kui vahelduvate märkidega reas a1a2+a3a4, ..., liikmed on sellised, et a1>a2>a3>a4>...
ja nlim an = 0 , siis see rida koondub ja tema summa on positiivne arv, mis ei ületa rea
esimest liiget
38. Astmeread. Abeli teoreem
Abeli teoreem
a) Kui astmerida koondub mingi nullist erineva väärtuse x'0 korral, siis koondub ta absoluutselt
iga väärtuse x korral, mille puhulx
SISUKORD I. Maatriksid ja determinandid 1. Maatriksi m˜oiste. Tehted ja nende omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2. Permutatsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3. Determinandi m˜oiste. Omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4. Laplace’i teoreem. Determinandi arendamine rea ja veeru j¨argi . . . 34 5. Teoreem maatriksite korrutise determinandist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 6. P¨o¨ordmaatriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 II. Vektorruum u ¨le reaalarvude 7. Vektorruumi m˜oiste. Omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
df f u' = du df dy = dx dx Seda omadust nimetatakse diferentsiaali invariantsuseks. df dy = du du Sellest, kas me kirjutame ta sõltumatu muutuja x suhtes või sõltuva muutuja u suhtes... © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 20 Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Rolle'i teoreem (tõestusega). Definitsioon 1 Vaatleme funktsiooni y = f (x) vahemikus (a, b) Olgu x1 < x 2 , x1 , x 2 (a, b) 1) kui f ( x1 ) < f ( x2 ) f ( x) on kasvav; 2) kui f ( x1 ) f (x2 ) f ( x) on mittekahanev; 3) kui f ( x1 ) > f (x2 ) f ( x) on kahanev; 4) kui f ( x1 ) f (x2 ) f ( x) on mittekasvav. Olgu f (x) kasvav vahemikus (a, b) x = x 2 - x1
df f u' = du df dy = dx dx Seda omadust nimetatakse diferentsiaali invariantsuseks. df dy = du du Sellest, kas me kirjutame ta sõltumatu muutuja x suhtes või sõltuva muutuja u suhtes... © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 20 Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Rolle'i teoreem (tõestusega). Definitsioon 1 Vaatleme funktsiooni y = f (x) vahemikus (a, b) Olgu x1 < x 2 , x1 , x 2 (a, b) 1) kui f ( x1 ) < f ( x2 ) f ( x) on kasvav; 2) kui f ( x1 ) f (x2 ) f ( x) on mittekahanev; 3) kui f ( x1 ) > f (x2 ) f ( x) on kahanev; 4) kui f ( x1 ) f (x2 ) f ( x) on mittekasvav. Olgu f (x) kasvav vahemikus (a, b) x = x 2 - x1
SISUKORD I. Maatriksid ja determinandid 1. Maatriksi m~oiste. Tehted ja nende omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2. Permutatsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3. Determinandi m~oiste. Omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4. Laplace'i teoreem. Determinandi arendamine rea ja veeru j¨argi . . . 34 5. Teoreem maatriksite korrutise determinandist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 6. P¨o¨ordmaatriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 II. Vektorruum u ¨le reaalarvude 7. Vektorruumi m~oiste. Omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
