Eksamikordamisküsimused (0)

Diskreetne Matemaatika 2018  Link küsimuste juurde:  ​Matemaatika kordamisküsimused​     Sisukord    Sisukord 1  Soojendus 2  LAUSEARVUTUS  MATEMAATILINE LOOGIKA 2  Hulgad 6  Arvusüsteemid 12  Vastavused ja relatsioonid 18  Järjestussuhted 27  LOOGIKAFUNKTSIOONID 35  KARNAUGH’ KAARDID 45  McCLUSKEY’ MINIMEERIMISMEETOD 46  JÄÄKFUNKTSIOONID 48  LOOGIKAFUNKTSIOONIDE KLASSID 50  DIGITAALSKEEMIDE ELEMENDID 52  LOOGIKAFUNKTSIOONIDE SÜSTEEMID 56  GRAAFID 58  Palju õnne! 67     


Soojendus  1. Millise matemaatikavaldkonnaga  ​Diskreetne Matemaatika ​ ei tegele?  Diskreetne matemaatika ei tegele reaalarvudega ega pidevate funktsioonidega.  2. Milliste arvudega Diskreetne Matemaatika ei tegele?  ​Diskreetne matemaatika ei tegele  reaalarvudega, negatiivsete ja kümnendarvudega(komadega arvud).  3. Milliseid funktsioone nimetatakse  ​pidevateks  ​? ​Pidevad funktsioonid on sellised, mille graafik  on esitatav pideva (kõver)joonena.  4. Mis on verbaalne esitus?  ​Verbaalne esitlus igapäevane suhtluskeel ehk sõnaline esitlus ja kirjalik  esitlus.  5. Mis on formaalne esitus?  ​Formaalne esitlus on kirjalik esitlus läbi kokkulepitud sümbolite abil.  Näiteks hulkade esitamine suurtähtede abil.  6. Milline omadus peab olema  ​formaalsetel esitustel ​ ? ​ ​Mistahes formaalne esitus peab olema  üheselt tõlgendatav ehk loetav.      LAUSEARVUTUS  MATEMAATILINE LOOGIKA  1. Mis on lausearvutus?  ​Lausearvutus on loogilise mõtlemise matemaatiline mudel.  2. Milline lause on lausearvutuslause?  ​Lausearvutuse lause võib olla iga verbaalne väide, mis võib  omandada tõeväärtust(True, False, 1, 0).  3.   ​Millised tõeväärtused on olemas? Kuidas neid tähistatakse?​ ​True, False, 1, 0  4. Milline lause on lihtlause?  ​Kõige basicum lause, kus on üks öeldis. Näiteks: Õues sajab vihma.   5. Kuidas lausearvutuslauseid tavaliselt tähistatakse?  ​Suurtähtedega: A,B, P, Q  6. Mis on liitlause? Kuidas ja millest neid moodustatakse?  ​Koosneb lihtlausetest.   7. Millised on lausearvutuse loogikatehted? Nende tähistused ja verbaalsed  tähendused? ​Lausearvutuses on 5 loogikatehet: 1 unaarne (inversioon e eitus  )) ja 4 binaarset: x (   1) konjunktsioon ehk JA-tehe (&),  


2) disjunktsioon ehk VÕI-tehe (V),   3) implikatsioon ehk järelduse tegemine NB! Õigest ei tohi järeldada valet  ), → (   4) ekvivalents ehk samaväärsus ( ). ↔   8. Millist tehet nimetatakse binaarseks? Millised loogikatehetest on  ​binaarsed  ​? ​Binaarsel tehtel  on 2 operandi ehk binaarsed on konjunktsioon, disjunktsioon, implikatsioon ja ekvivalents.  9. Millist tehet nimetatakse unaarseks? Millised loogikatehetest on  ​unaarsed  ​? ​Unaarsel tehtel  on 1 ​(üks)​ operand ehk selleks on inversioon.  10. Milline  ​aritmeetiline ​ tehe vastab igale loogikatehtele? ​Konjunktsioon - korrutamine,  disjunktsioon - liitmine.  11. Millist loogikatehet nimetatakse loogiliseks korrutamiseks? Millist loogiliseks liitmiseks?  Loogiline liitmine on disjunktsioon ehk VÕI-tehe. Loogiline korrutamine on konjuktsioon ehk  JA-tehe.  12. Milline omavaheline seos on  ​ekvivalentsil ​ ja ​implikatsioonil ​?​ ​Mõlemad koosnevad eeldusest ja  järeldusest (ekvivalentsis on mõlemad operandid samaaegselt teineteise eelduseks ja järelduseks,  implikatsioonis eeldus   järeldus) →   13. Millised on elementaarsed loogikatehted? Miks neid nimetatakse elementaarseteks?  Inversioon, konjunktsioon ja disjunktsioon on elementaarsed, sest neid pole võimalik avaldada  mingite teiste lihtsamate loogikatehete kaudu ( ​nad ise ongi kõige lihtsamad​). Kõik teised  loogikatehted on avaldatavad nende kolme kaudu.   14. Mis on ​ ​lausearvutusvalem​? Lausearvutusvalemi definitsioon. ​Nii liht- kui ka liitlausete  formaalseid esitusi nimetatakse lausearvutusvalemiteks.  15. Lausearvutuses kasutatavate loogikatehete definitsioonid (tõeväärtustabelina).      inversioon  konjunktsioon  disjunktioon  impikatsioon  ekvivalents  A   B  Ā  A ⋀ B  A ⋁ B  A ➝ B  A ↔  B  0    0 
0    1 
1    0 
1    1  1 
1 
0 
0  0 
0 
0 
1  0 
1 
1 
1  1 
1 
0 
1  1 
0 
0 
1 


  16. Milline on loogikatehete prioriteedijärjestus? Millal see oluliseks osutub?  ​Prioriteedijärjestus:  Inversioon, konjunktsioon, disjunktsioon, implikatsioon, ekvivalents. Oluline on see siis, kui  sulgudega pole tehete järjekorda avaldises määratud.  17. Milline lause on samaselt tõene? Mis on tautoloogia? ​ ​Lause on samaselt tõene, kui ta omandab  tõeväärtuse “1” mistahes väärtuskombinatsiooni korral. Tautoloogia - kõigi X väärtuste puhul on  funktsioon tõene.  18. Milline lause on samaselt väär? Mis on vastuolu ​? ​Omandab “0” mistahes  väärtuskombinatsiooni korral. Vastuolu - samaselt väär lause.  19. Millega on asendatav samaselt tõene lause ja samaselt väär lause? ​ ​Vastavalt konstantidega 1 ja  0.  20. Mis on predikaat? ​ ​Lause (valem), mis sisaldab 1 või rohkem muutujat.  21. Millal  ​predikaat ​ omandab ​tõeväärtuse​?​ Siis kui predikaadi muutujad asendada väärtustega  lubatud väärtustehulgast.  22. Kuidas  ​predikaate ​ ja ​predikaatmuutujaid​ tavaliselt tähistatakse? ​Predikaate suurtähtedega,  muutujaid väiketähtedega  23. Milline predikaat on ühekohaline? Milline on kahekohaline?  ​Vastavalt ühe (P(x)) ja kahe (P(x,  y)) muutujaga.  24. Kuidas nimetatakse teisiti  ​ühekohalist ​ predikaati?​ ​Omadus  25. Mida näitab predikaadi määramispiirkond? ​  ​Määramispiirkond näitab, mis väärtusi predikaat  võib omandada.  26. Millal on predikaatlause täidetav ehk kehtestatav? ​  ​Kui lause on tõene ainult osade  muutujateväärtuste “x” korral.  27. Millised kvantorid on olemas? Millised on nende tähised? ​ ​Üldsuse kvantor - ∀, olemasolu (ehk  eksistentsi) kvantor - ∃.  28. Millise loogikatehte üldistuseks on üldsuse kvantor? ​ ​Konjuktsiooni ehk predikaat kehtib oma  määramispiirkonna kõikide x-ide korral.  29. Millise loogikatehte üldistuseks on eksistentsikvantor? ​ ​Disjunktsioon ehk predikaat kehtib  vähemalt ühe oma määramispiirkonna x korral. 


30.   ​Millist muutujat nimetatakse seotud muutujaks ja millist vabaks muutujaks?​ ​Seotud muutuja  on muutuja, millele on rakendatud kvantorit. Kvantorimärgiga mitteseotud predikaatmuutujad on  vabad muutujad.  31.   ​Mida tähendab hüüumärgiga eksistentsikvantor?​ ​Hüüumärgiga eksistentsikvantor  ​∃!x​ ​väidab  seotud muutuja kohta: “leidub täpselt üks x”.  32.   ​Millal on kaks predikaati võrdväärsed?​ ​Siis kui nende tõeväärtuspiirkonnad langevad kokku.  33.   ​Mida nimetatakse loogikaseadusteks?​ ​Loogikaseadused on kuni 3 operandiga lihtsaimad  samaselt tõesed lausearvutusvalemid ja lausearvutusvalemite võrdused.  34.   ​Esitada: 1.    ​1.  ​topelteituse seadus:    x x   1   =   1   2.   ​Neeldumisseadused:  ​ ​ ​   ;   & ( A V  B )  A  A =    V  ( A & B )  A A =       ​3. ​DeMorgani seadused ​ :​  ;  x  &  x      x  V  x     1 2 =   1 2     x  &  x x  V   x    1 2 =   1 2     4.  ​välistatud kolmanda seadus:   V  A  1 A =     5.  ​vastuolu seadus:  &  A  0 A =     6.  ​kontrapositsiooni seadus:    B   B   A   A →   =   →     35.  Milline oleks assotsiatiivsusseaduse verbaalne esitus? ​ “Avaldise väärtus ei olene tehete  järjekorrast”.    A )   A B )  A ⋀ B ⋀ C = ( ⋀ B ⋀ C =   ⋀ ( ⋀ C   36.   ​Milline oleks kommutatiivsusseaduse verbaalne esitus?​ ​“Tehte väärtuse ei olene operandide  järjekorrast”.    B  B  A A ⋀   =   ⋀     37.   ​Milline binaarne loogikatehe ​pole​ ​kommutatiivne ​?​ ​Implikatsioon.  38.   ​Millist avaldise teisendusvõimalust esitab distributiivsusseadus?​ ​Sulgude lahtikorrutamist ja  -liitmist.    (B  C)  A      C A ⋀   ⋁   =   ⋀ B ⋁ A ⋀     39.   ​Millise loogikaväärtusega ​disjunktsioon ​ ei muuda avaldise väärtust​?    ​Idempotentsus: Iseendaga korrutamine ei muuda loogikaväärtust.  ja iseenda   A  A ⋀     juurdeliitmine ei muuda loogikaväärtust   ja välistatud kolmanda seadus ei muuda loogiväärtust.  V  A A   40.   ​Millise loogikaväärtusega ​konjunktsioon ​ ei muuda avaldise väärtust?​ Nagu eelnevalt mainitud  idempotentsus, siis   ehk iseenda korrutamisel iseendaga jääb järele vaid üks.   A A ⋀    


41.   ​Milline on ​disjunktsiooni ​ tulemus, kui vähemalt üks operandidest on loogikaväärtus 1 ?  Vastus on 1.  42.   ​Milline on ​konjunktsiooni ​ tulemus, kui vähemalt üks operandidest on loogikaväärtus 0 ?  Vastus on 0.  43.  Mitme muutuja jaoks on DeMorgani seadused laiendatavad?  ​Ükskõik kui paljudele. Kui võtta  eeelduseks, et DeMorgani seadus on rakendatav kahele muutujale, siis seda arvesse võttes võime  rakendada DeMorgani seadust piiramatule arvule muutujatele.  44.  Milleks loogikaseadusi rakendatakse?  ​Loogikaseadused võimaldavad formaalsete teisenduste  abil saada lausetest uusi, esialgsega loogiliselt samaväärseid lauseid.  Hulgad  1. Millest hulk koosneb?  ​Hulk koosneb hulgaelementidest ehk hulk sisaldab elemente.  2. Kuidas hulka tavaliselt tähistatakse?  ​Hulka tähistatakse suurtähtedega.  3. Millised hulga  ​esitusviisid ​ on olemas? ​Suurtähtedega esitamine, Venni diagramm, elementide  tä, osaline loetelu, kus on mingi regulaarne äratuntav seaduspä või siis üldise avaldise kaudu, mis kehtib kõigi hulgaelementide jaoks.  4. Millal on hulgad teineteisega  ​võrdsed  ​? ​Hulgad on võrdsed kui sisaldavad täpselt samu elemente.   5. Kui palju (mitu tk.) võib ühte hulgaelementi hulgas sisalduda?  ​Hulgaelemendid ei tohi  korduda, seega tohib hulgaelemente sisalduda hulgas vaid ühe korra.   6. Milliste sümbolitega esitatakse elemendi  ​kuulumist  ​või ​mittekuulumist​ hulka? , ∈   ∈   /   7. Millal on mingi hulk teise hulga osahulgaks?  ​Kui ühe hulga kõik elemendid on samal ajal ka  teise hulga elemendid. Näiteks  (Naturaalarvud kuuluvad ka reaalarvude hulka).     N ∈ R   8. Millal on kaks hulka  ​teineteise osahulkadeks ​? ​Kui kaks hulka on võrdsed, sest iga hulk on enda  hulga osahulk, seega kui hulgad on võrdsed on nad ka üksteise osahulgad.  9. Mis on Venni diagramm?  ​Venni diagrammid on hulkade esitamine graafilisel kujul . 


   Joonis 1.  10.   ​Milline on ​kahe hulga ​ Venni diagramm? ​Kolme hulga​ Venni diagramm? ​Kahe hulga venni  diagramm on Joonis 1. Ja kolme hulgaga on Joonis2.  Joonis2.  11. Mis on universaalhulk?  ​Universaalhulk on hulk kuhu kuuluvad kõik vaadeldavad hulgad, kui  vaadata joonist nr  ​2​ siis näeme, et selleks on kogu ristkülik.   12. Mis on hulga täiend?  ​Hulga täiend on mingi hulga eitus ehk kõik, mis pole see hulk. Joonisel  kaks ​(2)​ on näiteks hulga A täiendiks kõik peale hulga A.  13. Milline hulk on tühi hulk?  ​Olukord, kus hulka ei kuulu ükski element.   14. Millised hulgad on alati iga hulga osahulkadeks?  ​Tühi hulk  ja hulk ise on samuti enda ⊘   osahulgaks.  15. Millise hulga osahulgaks on iga hulk?  ​Iga hulk on iseenda osahulgaks:   ja  iga   A ⊂ A   universaalhulga osahulgaks.  16. Mitu erinevat osahulka on  ​n  ​elemendilisel hulgal?  .​ ​Vähemalt 2– iga hulk on iseenda osahulk 2n   ning tühihulk on iga hulga osahulk.  17. Mis on hulga astmehulk?  ​Antud hulga kõikide osahulkade hulk.  18. Mitu elementi on  ​n  ​elemendilise hulga astmehulgas?  2 n   19. Millist hulka nimetatakse lõplikuks hulgaks?  ​Kui ta sisaldab kindla arvu elemente.  20. Millist hulka nimetatakse lõpmatuks hulgaks?  ​Kui ta sisaldab piiramatult (lõpmatult) palju  elemente.  


21. Millist hulka nimetatakse loenduvaks hulgaks?  ​Kui tema elementidele saab hakata vastavaks  seadma naturaalarve. Iga lõplik hulk on alati ka loenduv (sest saad üle lugeda, mitu elementi seal  on). Lisaks on naturaalarvud ja täisarvud loenduvad (kuigi need on lõpmatud).  22. Mis on " ​loendamine ​"? ​Kui elementidele saab vastavaks seada naturaalarve ehk neid saab kokku  lugeda.  23. Tuua näide lõpmatust loenduvast hulgast ja lõpmatust mitteloenduvast hulgast.  ​Lõpmatud  loenduvad hulgad- naturaalarvude ja täisarvude hulk. Lõpmatu mitteloenduv hulk- reaalarvude  hulk  24.  Millised hulgaaritmeetilised tehted on olemas? Millised on nende  ​tehtemärgid ​?   1) Hulga täiend  A     2) Hulkade ühend   ehk hulgaaritmeetiline liitmine. ⋃      A   B ⋃   3) Hulkade ühisosa   ehk hulgaaritmeetiline korrutamine. ⋂     A   B ⋂   4) Hulkade vahe \ ehk hulgaaritmeetiline lahutamine. 


  A \ B  5) Hulkade sümmeetriline vahe  Δ     A   B Δ   25. Millised on  ​unaarsed ​ ja millised on ​binaarsed​ hulgaaritmeetilised tehted? ​Unaarne (ühe  operandiga): täiend. Binaarsed (kahe operandiga): ühend, ühisosa, vahe, sümmeetriline vahe  26. Millisele  ​aritmeetilisele tehtele ​ vastab iga konkreetne ​hulgaaritmeetiline​ tehe? ​Liitmine-  hulkade ühend, korrutamine- hulkade ühisosa, lahutamine- hulkade vahe.  27. Millist tehet nimetatakse hulgaaritmeetiliseks korrutamiseks?  ​Hulkade ühisosa.   28. Millist tehet nimetatakse hulgaaritmeetiliseks liitmiseks?  ​Hulkade ühend.  29. Selgita, millised elemendid kuuluvad kahe hulga  ​ühendisse ​? ​Elemendid, mis kuuluvad kas  hulka A või hulka B. Vt joonist:      30. Selgita, millised elemendid kuuluvad kahe hulga  ​ühisosasse ​? ​Elemendid, mis kuuluvad hulka A  ja samal ajal ka hulka B. Vt joonist: 


    31. Millised hulgad on mittelõikuvad?  ​Kui  ehk hulkadel puudub ühisosa. Vt joonist: A ⋂ B =   ⊘     32. Mis on lõpliku hulga võimsus?  ​ võimsus |A| = 5.  33. Mida väljendavad Grassmanni valemid?  ​Hulkade ühisosa või ühendi elementide arvu.  34. Milliseid tehteid asendavad hulgaaritmeetilised asendusseosed?  ​Asendusseaosed võimaldavad  asendada hulgatehteid \ ja   hulgaalgebrasse kuuluvate tehete  kaudu: Δ   ⋂   ⋃    ∖ B  A  A =   ⋂ B   )   ( )  Δ B  A ∖ B)  B ∖ A)  ( A = ( ⋃ ( =     A ⋂ B ⋃   B ⋂ A    B) =  ) =   Δ B  (A  ) ∖ (A  A =   ⋃ B ⋂ A  ) ( ⋃ B  A  B ⋂ ( ⋂   A  )  A  ) ( ⋃ B ⋂ ( ⋃ B   35. Milline on hulgaaritmeetiliste tehete  ​prioriteedijärjestus ​? Millal see oluliseks osutub? ​Kui  sulgudega pole määratud teisiti, tehakse hulgaavaldises tehted nende prioriteedijärjekorras:    ∖   Δ   ⋂   ⋃      36. Mille poolest erinevad teineteisega duaalsed hulgaavaldised?  ​Tehtemärkide poolest. Selleks, et  avaldised oleksid duaalsed, tuleb hulgaavaldises asendada:  1) Kõik ühisosatehted  tehtega  ; ⋂ ⋃   2) Kõik ühenditehted  tehtega  ; ⋃ ⋂   3) Kõik tühjad hulgad   universaalhulgaga I; ⊘   4) Kõik universaalhulgad I tühja hulgaga  ; ⊘   Näiteks on duaalsed avaldised    (B  C)   ja     (B  C)   või  A  = I ja A  =  A ⋂ ⋃ A ⋃ ⋂   ⋃ A ⋂ A ⊘    


37. Mis on hulgaavaldise Cantori normaalkuju?  ​Ühisosade ühend või ühendite ühisosa, kus täiendit  on rakendatud ainult üksikutele hulgatähistele. Normaalkujulises hulgaavaldises pole ühisosa  täiendit ( ) ega ühendi täiendit ( ) ega ülejäänud kahte hulgatehet: \  . A  B ⋂   A  B ⋃   Δ   38. Milline on  ​Cantori  ​minimaalne ​normaalkuju​? ​Vähima keerukusega ehk vähima arvu  hulgatähistega.  39. Milline on  ​Cantori ​ täielik ​normaalkuju​? ​Selline ühisosade ühend, kus igas ühisosatehtes  osalevad operandidena kõik avaldises leiduvad hulgad. Ehk avaldis sisaldab igas ühendis või  ühisosas kõiki hulki, mis selles hulgaavaldises üldse leiduvad. Näiteks:  A    )  (A    )  A    ) ( ⋃ B ⋃ C ⋂   ⋃ B ⋃ C ⋂ ( ⋃ B ⋃ C   B  )  B  ) ( ⋃ C ⋂ ( ⋃ C   40. Kuidas teisendatakse  ​mittetäielik ​ Cantori normaalkuju ​täielikuks​? ​Kasutatakse  kleepimisseadust, et igas ühisosatehtes osaleks operandidena kõik avaldises leiduvad hulgad.   41. Mis on hulkade ristkorrutis?  ​Kahe hulga ristkorrutis ehk otsekorrutis A x B on järjestatud  paaride hulk, kus paari esimene element on esimeseks teguriks olevast hulgast ja paari  teine element on teiseks teguriks olevast hulgast. Ristkorrutise tulemuseks on hulgaelementide  järjestatud paaride hulk. Näide:      Elementide (paaride) arv ristkorrutises: |A x B| = 6  Ristkorrutistehtes võib olla ka rohkem kui kaks hulka, näide:          42. Kuidas esitatakse järjestatud paari?  ​Paari esimene element peab olema esimesest hulgast ning  teine element teisest hulgast:   =/   43. Mis on hulkade otseruut?  ​Hulga ristkorrutis iseendaga. A x A =  . Näide: A2   


44. Mis on korteež?  ​Järjestatud paare, kolmikuid, nelikuid jne nimetatakse ka korteežideks.  “Järjestatud paar” on seega ka “2-kohaline korteež”.    45. Kuidas on esitatav  ​tasandi ​ iga punkt? ​Tasandi iga punkt on esitatav tema koordinaatide  järjestatud paariga.  46. Kuidas on esitatav  ​ruumi ​ iga punkt? ​Ruumi iga punkt on esitatav tema koordinaatide järjestatud  kolmikuga.     Arvusüsteemid  1.  Milline on tuntuim mittepositsiooniline arvusüsteem?  ​Tuntuim mittepositsiooniline  arvusüsteem on rooma numbrid.  2. Mis on positsioonilise arvusüsteemi alus? Mida ta määrab? ​ ​Positsioonline arvsüsteemidel on  täisarvuline alus  ​p. ​Alus määrab ära, mis arvsüsteemiga on tegu s.t et kui alus on 10, siis on tegu  kümnendsüsteemiga.   3. Mis on arvujärgu kaal? Kuidas on iga järgu kaal määratud?  ​Arvujärgu kaal on mingi  arvusüsteemi aluse aste selle arvujärgu indeksiga. 


   4. Mida näitab koma? ​ ​Koma näitab, millal täisarvulised järgukaalud lähevad üle murdarvulisteks  arvudeks.   5. Millised arvujärgud on kõrgemad/madalamad järgud?  ​Kõrgemateks järkudeks loetakse  naturaalarve ehk nullist suuremaid arve ja madalamateks nullist väiksemaks.   6. Milline on täisosa madalaima järgu kaal suvalises arvusüsteemis?  ​Madalaim järgukaal on 0,  mis omakorda tähendab seda, et astendatav alus on alati võrdne nulliga, kuna  .    on alati  1 x 0 =     7. Mitu erinevat järguväärtust võib olla arvusüsteemi igas järgus?  ​Igas järgus a i saab olla p  erinevat numbrimärki ehk järguväärtust. Kui p = 10 , siis        a i ∈   8. Mis on number? Mis on arv? ​Igal 10ndnumbril on tema traditsiooniline väärtus 0 ..... 9. Järgu  väärtus on selles arvujärgus asuva numbri väärtus. Arv koosneb numbritest. näide: arv 1024  koosneb neljast numbrist: '1' '0' '2' '4'  9. Kuidas avaldub arvu väärtus?  ​Mistahes positsioonilises arvusüsteemis (ehk iga aluse p korral )  avaldub arvu väärtus N järgneva korrutiste summana : N = . . . . + a3  p3 + a2  p2 + a1  p1 + a0  p0 + a-1 p-1 + a-2 p-2 + . . . . . . . . s.t. järgukaalud ja järguväärtused on omavahel korrutatud : . .  . . a5 a4 a3 a2 a1 a0 a-1 a-2 a-3 a-4 . . . . a i . . . . . . . . p5 p4 p3 p2 p1 p0 p-1 p-2 p-3 p-4 . . . . pi . .  . . / ¯¯ näide: ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯  10ndsüsteemne arv 12310 (indeks näitab siin arvusüsteemi ) on väärtusega "sada kakskümmend  kolm" ainult sellepärast, et järgnev tehe annab sellise tulemuse: 1 2 3 10 = 1  100 + 2  10 + 3  1 =  12310  |______________________________________________________________________________ 


10. Millise numbri lisamine täisosa ette või murdosa lõppu ei muuda arvu väärtust?  ​Täisosa ees  ja murdosa järel asuvad '0'-d (  = 0) ei mõjuta arvu väärtust N.   a i   11. Mis on arvu tüvenumbrid?  ​Arvu tüvenumbrid on arvu numbrid alates kõrgeimast mittenullisest  numbrist kuni madalaima mittenullise numbrini. Kuigi madalaim ja kõrgeim tüvenumber pole  kumbki 0 , võivad nende "vahel" olla tüvenumbriteks ka '0'-d. näide: arvus 0.0000120003000 on  tüvenumbriteks 120003 . Üleskirjutatud arvu süsteemikuuluvuse täpsustamiseks lisame talle  süsteemi näitava indeksi: 3728 ei ole mitte "kolmsada seitsekümmend kaks" vaid on 8ndsüsteemne  arv "kolm-seitse-kaks"  12. Millist teisendust nimetame ka arvu "väärtuse leidmiseks" ?   ​Mõiste "arvu väärtus" on  eranditult seotud ainult 10ndsüsteemiga. 10ndsüsteem on kõigi teiste arvusüsteemidega võrreldes  tähtsas eristaatuses, kuna inimesed "tunnetavad" arve just 10ndsüsteemis. "väärtuse leidmine" ja  "10ndsüsteemi teisendamine" on sünonüümid. Pole olemas "kahendsüsteemset väärtust" ega  "kaheksandsüsteemset väärtust"; on olemas 2ndsüsteemne esitus ja 8ndsüsteemne esitus.  13. Mida näitab arvu järel olev indeks?  ​See näitab arvu kuulumist mingisse süsteemi näiteks,     on kümnendsüsteemi kuuluv arv ja 127   on kaheksandsüsteemi kuuluv arv.  8 10  8    14. Milline on lihtsaim võimalik arvusüsteem?  ​Lihtsaim võimalik arvusüsteem on kahendsüsteem.  15. Kuidas on määratud arvujärkude kaalud kahendsüsteemis?  ​2ndsüsteemi järgukaalud on arvu  2 täisarvastmed :   25  2    2    2    2    2   4 3 2 1 0    32   16   8    4     2    1  16. Kuidas toimub arvu teisendus mingisse teise arvusüsteemi?  ​Erinevatesse arvusüsteemidesse  teisendamiseks on erinevad lahendused:  1) Teisendus 10ndsüsteemi:  ● 2ndsüsteemist -  1110 2 = 1 * 2 3 + 1 * 22 + 1 * 21 + 0 * 20 = 8 + 4 + 2 = 1410   ● 8ndsüsteemist-    3 92 6 372 8 =   * 8 2 + 7 * 81 + 2 * 80 = 1 + 5 + 2 = 25010   ● 16ndsüsteemist-  0 60 A6 16 = 1 * 16 1 + 6 * 160 = 1 + 6 = 16610    2) Teisendus 10ndsüsteemist toimub jagamise teel:  ● 2ndsüsteemi- teisendame 10ndarvu  2ndkujule: 37 10  


       :2 
           ​Jääk  37  1  18  0  9  1  4  0  2  0  1  1  0    2ndarvu leidmiseks tuleb ülevalt tabelist lugeda arv alt üles ehk  = 37 10 100101 2   ● 8ndsüsteemi- teisendame 10ndarvu   8ndkujule: 236 10    
 
 
            ​ :8                 Jääk  236  4  29  5  3  3  0    =  236 10 354 8   ● 16ndsüsteemi- teisendame 10ndarvu   16ndkujule: 255 10              ​ :16                 Jääk  255  15  15  15  0    =  255 10 F F 16   3) Teisendus 2ndsüsteemist: 


● 8ndsüsteemi- grupeerime 2ndarvu 1011010100111 kolmesteks gruppideks ja  vajadusel lisame algusesse nulle juurde:     1     3    2     4     7 
001|011|010|100|111    ehk  1011010100111 2 = 132478   ● 16ndsüsteemi- grupeerime 2ndarvu 1011010100111 neljasteks gruppideks,  vajadusel lisame algusesse nulle juurde:      1      6       A     7 
0001|0110|1010|0111    ehk  1011010100111 2 = 16A716     17. Millised neli arvusüsteemi on kõige olulisemad?  ​Nendeks on: kahend, kaheksandik, kümnendik  ja kuueteistkümnendik süsteem.  18. Mis on oktaalarvud ? Millisele arvusüsteemile viitab nimetus hex?  ​8ndarve nimetatakse  Oktaalarvudeks ja hex arvudeks nimetatakse 16ndarve.  19. Kuidas tähistatakse kuueteistkümnendnumbreid väärtustega 10 11 12 13 14 15 ?   Neid tähistatkse A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15  20. Milline on suurima alusega praktiliselt kasutatav arvusüsteem?  ​16ndsüsteem on "suurim"  praktiliselt kasutatav arvusüsteem.   21. Milleks 16ndsüsteemi kõige enam kasutatakse?  ​Baidi mistahes võimalikku sisu / koodi saab  seega esitada kahejärgulise 16ndarvuna: ( suvalised juhuslikud näitebaidid ).  22. Kuidas saab arve teisendada 2ndsüsteemi , 8ndsüsteemi ja 16ndsüsteemi vahel?  ​Kuna kõikide  nende süsteemide alused on arvu 2 täisarvastmed, siis saab arvuteisendusi teha numbrimärkide  astendamise teel. 2ndarvu saab teisendada 8ndkujule, asendades iga tema järkudekolmiku  (000...111) vastava 8ndnumbriga (0...7). 2ndarvu teisendamisel 16ndkujule, tuleb asendada iga  tema järkudenelik (0000...1111) vastava 16ndnumbriga (0...F). Näited:  ● 8ndsüsteemi- grupeerime 2ndarvu 1011010100111 kolmesteks gruppideks ja vajadusel  lisame algusesse nulle juurde:     1     3    2     4     7 
001|011|010|100|111    ehk  1011010100111 2 = 132478   ● 16ndsüsteemi- grupeerime 2ndarvu 1011010100111 neljasteks gruppideks, vajadusel  lisame algusesse nulle juurde:       1      6       A     7 


0001|0110|1010|0111    ehk  1011010100111 2 = 16A716   23. Millised arvud on naturaalarvud ?  ​Naturaalarve tähistatakse N tähega ja nendeks on on kõik  positiivsed täisarvud.   24. Millised arvud on algarvud ?  ​On suuremad kui üks ja jaguvad vaid iseendaga ja arvuga 1.  25. Millised murdarvud on ratsionaalarvud?  ​Kõik murdarvud (nt  ), kus jagaja ei ole 0. 1 10    26. Mis on kahendvektor? Mis on kahendvektori pikkus ?  ​(n-järguline) kahendvektor on  kahendnumbritena 0 ja 1 esitatud loogikaväärtuste ühemõõtmeline jada pikkusega n  27. Millised erinevused on kahendvektoril ja kahendarvul?  ​Kahendvektoris ei tohi ära jätta  algusnulle, nagu seda tohib teha kahendarvu puhul  0101  = 01 0 / 1   28. Millised kahendvektorid on lähisvektorid?  ​lähisvektorid (lähiskoodid) on võrdse pikkusega  kahendvektorid, mis erinevad teineteisest ainult ühes kahendjärgus. näide: järgnevad 2 vektorit on  teineteise lähisvektorid : 1011 1001  29. Mitu erinevat lähisvektorit on n-järgulisel kahendvektoril?   ​Iga n-järguline kahendvektor  omab n tükki lähisvektoreid.  30. Mis on intervall?  ​Intervall on võrdse pikkusega kahendvektorite hulk võimsusega  . 2n   Näiteks on meil jä, tegemist on intervalliga, sest ta  sisaldab   kahendvektorit ja igaüks neist omab selles hulgas 2 lähisvektorit. 22 = 4    31. Millised järgud on intervalli olulised järgud?  ​Intervalli olulisteks järkudeks (olulisteks  muutujateks) on tema vektorite need 2ndjärgud, mille väärtus on kõikidel vektoritel kogu intervalli .   32. Kuidas on intervalli suurus seotud tema mitteoluliste järkude arvuga?  ( mitteolulised järgud muutuvad kõikvõimalikes kombinatsioonides ) oluliste järkude ja  mitteoluliste järkude ARV : Kui intervallis on   m-järgulist vektorit, siis on intervallil ( m - n ) 2n   olulist järku ja n mitteolulist järku.  33. Millest koosneb intervalli vektoresitus? Kuidas ta moodustatakse?  ​Intervalli vektoresitus  koosneb sümbolitest 0 1 –, kus intervalli olulised järgud on tähistatud konstantidega 0 1 ja  mitteolulised järgud on tähistatud sümboliga –.  Nä vektoresitus on 01–0.  


34. Mis on n-mõõtmeline Boole'i ruum?  ​Kõikvõimalike n-jä   n   võimsusega  . Näide: |{0, 1}  |   2n :     n = 2n   3-mõõtmeline Boole’i ruum  on kõikide 3-jä   3   000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111}   3 = {                 | |{0, 1}   3 = 23 = 8    35. Tuua näide võrreldavatest kahendvektoritest.  ​10 > 00, 101 > 001, 0101 < 0111, 01101 >  01000  36. Tuua näide mittevõrreldavatest kahendvektoritest.  ​ 001 ja 0011 (erinevad pikkused), 10 ja 01,  101 ja 010, 00101 ja 01001.  37. Kas erinevate pikkustega kahendvektorid võivad olla võrreldavad?  ​Ei, omavahel saab  võrrelda ainult võrdse pikkusega 2ndvektoreid.   38. Mis on mooduli rakendamine täisarvule?  ​Mooduli m rakendamise tulemus osutub võrdseks  arvuga m jagamise jäägiga. Näiteks 8 mod 4 = 0, 10 mod 4 = 2, 8 mod 5 = 3   39. Millises väärtustevahemikus võib olla mooduli rakendamise tulemus?  ​Mooduli m  rakendamisel osutub selleks vahemikuks 0 …. (m-1).  Vastavused ja relatsioonid  1. Mis on vastavus? ​ ​Vastavus (tähis  ) ehk seos seab ühe hulga elementidele vastavaks teise hulga φ   mingeid elemente. //  Hulgad, mis on omavahel seotud.   2.   ​Mis on vastavuse lähtehulk?​ ​Hulk, mille järgi hakatakse seoseid leidma. Näide: Hulk A on  õpilased ja hulk B on hinded, siis kui hakkame märkima, mis hinde keegi sai, siis lähtehulgaks on  hulk A ehk õpilased ja sihthulgaks on hulk B ehk hinded. Seda tähistatakse,   implikatsiooni →   sümboliga, kuid tegu  ​pole implikatsiooniga, ​vaid antud juhul​ sümboliseerib suunda​.   3. Millise hulga osahulgaks vastavus osutub? ​ ​Vastavust defineeritakse lähtehulga ja sihthulga  ristkorrutise osahulgana. Vastavus  : A  B on hulk  φ → φ  x B ⊂ A   4. Mis on vastavuse määramispiirkond/ Muutumispiirkond? ​ ​Määramispiirkond on lähtehulk ja  muutumispiirkond on sihthulk. 


5. Mis on vastavuse täiend? ​ ​Vastavuse täiend on järjestatud paarid mis ei kuulu vastavusse.   6. Mis on vastavuse pöördvastavus? ​ ​Pöördvastavus on nagu nimi viitab, siis mingi asja vastupidine  olek. Antud juhul on tegu olukorraga, kus vahetame kohad sihthulkade ja lähtehulkadel.   7. Millist tehet saab vastavusega teha? ​ ​Kompositsioonitehet. Näiteks kui on kolm hulka, siis  kirjutatakse välja paarid esimese ja kolmanda hulga vahel. Nt alumise joonise kompositsioonitehte     8. Milline vastavus on kõikjal määratud?  ​Kus osalevad kõik lähtehulga elemendid. Vt joonist:    9. Milline vastavus on kõikjale määratud?  ​Kus osalevad kõik sihthulga elemendid. Vt joonist:   10.   ​Milline vastavus on ühene? ​Kui igale määramispiirkonna elemendile vastab täpselt üks  muutumispiirkonna element. Vt joonist: 


  11.   ​Milline vastavus on​ ​üks-ühene​? ​Kui ta on ühene (e igale määramispiirkonna elemendile vastab  üks muutumispiirkonna element) ja muutumispiirkonna iga element vastab täpselt ühele  määramispiirkonna elemendile. Vt joonist:    12.   ​Mis on funktsioon? ​Kõikjal määratud ühene vastavus.   13.   ​Milline funktsioon on​ ​osaliselt määratud? ​Kui lähtehulgas leidub vastavuses mitteosalevaid  elemente. Vt joonist:    14.   ​Mis on ​pealekujutus  ​? ​Pealekujutust nimetatakse ka sürjektsiooniks ehk kõikjale määratud  funktsiooniks.  15.   ​Mis on sürjektsioon? ​Kõikjale määratud funktsioon (peab olema ka ühene ja kõikjal määratud).  Vt joonist: 


  16. Mis on injektsioon?  ​Üks-ühene funktsoon. Vt joonist:    17. Mis on bijektsioon?  ​ Kõikjale määratud üks-ühene funktsioon. Bijektsioon on seega nii  sürjektsioon kui ka injektsioon. Vt joonist:    18.   ​ Mis järeldub ​bijektsiooni ​ korral lähtehulga ja sihthulga võimsuste kohta?​ ​Need on sama  võimsad.  19.   ​Mis on binaarne relatsioon? ​Vastavuse erijuht, kus nii lähtehulk kui ka sihthulk on üks ja sama  hulk. Relatsiooni tähis: R. Kui R on binaarne relatsioon ja   R, siis öeldakse, et “a ja b   ∈   on relatsiooonis”, tähistatakse a R b.    Hulk M 


20.  Mis on binaarsuhte alushulk?  ​Hulk, millel on relatsioon määratud. Üleval joonisel hulk M (sest  a R b).  21.  Mis on relatsioonikriteerium?  ​Kui alushulga elemendid on seotud vastavuspaarideks mingi  reegli (tunnuse, tingimuse) abil.  Nä  ehk selles näites on reegliks (tunnuseks) jagunemine (paaris on  elemendid, mis jaguvad üksteisega ehk jääk on 0)  22.   Kas igal relatsioonil on  ​relatsioonikriteerium ​ alati olemas? ​Ei ole  23.   Millised on relatsiooni esitusviisid?  ​Orienteeritud graaf, järjestatud paaride hulk,  naabrusmaatriks.  24.   Millised on relatsioonide omadused?   1) Transitiivsus- ​ on olemas ka otsetee. Vt joonist: (ehk on olemas otsetee nr 1 ja 3 vahel)    2) Antitransitiivsus ​ - ei ole otseteed. Vt joonist: (ehk nr 1 ja 3 vahel pole otseteed)    3) Refleksiivsus ​ - kõik elemendid on iseendaga seotud. Maatriksis on diagonaalis kõik ühed,  vt joonis 1. Joonisel 2 on näha, et kõik elemendid on iseendaga seotud (punased jooned).   Maatriksi enda saame nii, et võtame kõik graafi tipud ja leiame tippudevahelised seosed,  kui tipud on seotud, siis paneme number ühe, vastasel juhul paneme nulli.      a  b  c  a  1  1  0 


b  0  1  1  c  0  0  1     Joonis 1.       Joonis 2.  4) Antirefleksiivsus ​ - ükski element pole iseendaga seotud. Maatriksis on diagonaalis kõik  nullid, vt joonis 1. Joonisel 2 on näha, et ükski element pole iseendaga seotud.  Joonis 1.    Joonis 2.   5) Sümmeetria ​ - kahe elemendi omavaheline suhtlus. Nt kahesuunalised tänavad, vt joonist:    6) Antisümmeetria  ​- puuduvad sümmeetrilised omadused. Nt ühesuunaline tänav, vt joonist:    25.   Milline relatsioon on  ​mitterefleksiivne ​? ​mittesümmeetriline​? ​Mittetransitiivne​? ​Need  koosnevad kahest äärmusest ehk nt mitterefleksiivne koosneb nii refleksiivsetest omadustest kui ka  antirefleksiivsetest.   26.    Mis on relatsiooni  ​kaugus ​ mingi konkreetse omaduseni? ​Järjestatud paaride arv, mis tuleb  relatsiooni lisada või sellest eemaldada, et konkreetne omadus kehtima hakkaks.  ​ ​Tähistatakse d(R,  . Vt joonist: ) α i  


  Sellel maatriksil on d (R,  = 1 - kaugus antirefleksiivsusest ja ) α1      d (R,   = 5 - kaugus refleksiivsusest ) α 2   27.    Mis on relatsiooni transitiivne sulund? Milline on tema tähis? ​ Relatsiooni transitiivse sulundi  saamiseks tuleb lisada talle need järjestatud paarid, mis on vajalikud transitiivsuse tekkimiseks.  Tähistatakse  . Vt joonist: (tuleb lisada punased jooned, et saada transitiivne sulund) R ︿     28. Millega osutub võrdseks  ​transitiivse ​ relatsiooni ​transitiivne sulund​? ​See jääb samaks, sest   = R: R ︿   Kuna antud relatsioon on juba transitiivne siis tema transitiivne sulund on  sama.  29. Milliste omadustega relatsioon on ekvivalentsisuhe?  ​Kui ta on refleksiivne, transitiivne ja  sümmeetriline.  Vaadeldav binaarsuhe on ekvivalentsisuhe. 


30. Mis on ekvivalentsiklass?  ​Ekvivalentsisuhte alushulga selline osahulk, mille kõik elemendid on  omavahel relatsioonis. Vt joonist: , mis on  osahulgad.  31.   ​Mis on hulga tükeldus? ​Tükeldus ehk klassijaotus on selle hulga mittelõikuvate osahulkade hulk,  millel on kindlad omadused. , mis on tükeldatud  järgnevaks mittelõikuvate osahulkade hulgaks ehk tü }  32. Millest  ​tükeldus ​ koosneb? ​Hulga tükeldus koosneb ekvivalentsisuhte ekvivalentsiklassidest.  33. Mis on tükelduse  ​plokk ​ (ehk tükelduse ​tükk​)​ ​? ​Tükelduse koosseisu kuuluvaid ekvivalentsiklasse  nimetatakse ka tükelduse plokkideks ehk tükelduse tükkideks.   34. Millisel juhul on kaks hulgaelementi (konkreetse ekvivalentsisuhte kohaselt)  ​ekvivalentsed ​?   Kui nad kuuluvad ühte ekvivalentsiklassi ja on refleksiivsed, sümmeetrilised ja transitiivsed.   Joonisel on hulgaelemendid a ja b ekvivalentsed.  35. Millised omadused on tükelduse osahulkadel?   ● Ükski plokk pole tühi hulk.  B     ( B    = )    ∀ i ∈ P i /   ⊘   ● Mistahes kaks plokki ei oma ühisosa  B  , ∀B     ( B        )    ∀ i   j ∈ P i ⋂ B j =   ⊘ ● Kõikide plokkide ühend võrdub tükeldatud hulgaga      B   ...........       B    M B 1 ⋃   2 ⋃ B n−1 ⋃   n =    


36. Milliseid tehteid saab tükeldustega teha?  ​Tükelduse jaoks on defineeritud 2 aritmeetilist tehet:  liitmine ​ ja ​korrutamine​ ja võrdlustehted ​“väiksem kui” <​ ja​ “suurem kui” >.   NB! Omavahel liita, korrutada ja võrrelda saab ainult sama hulga tükeldusi. Tükelduste liitmine  või korrutamine annavad tulemuseks sama hulga mingi kolmanda tükelduse.   37. Kas erinevate hulkade tükeldustega saab teha tehteid?  ​Ei, tehteid saab teha ainult sama hulga  tükeldustega.  38. Mis on tükelduste korrutiseks või tükelduste summaks?   1) Tükelduste korrutiseks on tegurite plokkide ühisosad. Nä,  millel on tükeldused P1 ja P2:  P1 =    2 5 8  4 6 7 1 3   P2 =     3  7  2 8  5 1 4 6   P1 ja P2 korrutise leidmiseks võtame tegurite plokkide ühisosad  P1 * P2 =    Saime vastuseks 6-plokilise tükelduse.   4 6  3  7  2 8  5 1   2) Tükelduste summaks on kahe ploki ühend, kui liidetavate tükelduste mingi plokkidepaar  omab ühisosa. Nä, millel on tükeldused P1 ja P2:  P1 =    2 5 8  4 6 7 1 3   P2 =     3  7  2 8  5 1 4 6   P1 ja P2 summa leidmiseks vaatame, kas neil leidub ühisosa ja kui leidub, siis võtame  nende plokkide ühendid:  P1 + P2 =   Saime vastuseks 2-plokilise tükelduse.    2 5 8 1 3 4 6 7   39. Millisel juhul on tükeldus mingist teisest tükeldusest väiksem?  ​Kui selle hulga tükelduse  ​iga  plokk ​ sisaldub tervikuna sama hulga mingi teise tükelduse plokis. Nä,  millel on tükeldused P1 ja P2:  P1 =  3  7  2 8  5     P2 =    2 5 8  4 6 7 1 3   P1 * P2 =   ühisosaks on P1 plokid 3  7  2 8  5    


P1 + P2 =   ühendiks on P2 plokid   2 5 8  4 6 7 1 3   Antud juhul on P1 < P2, sest tükelduse P1 iga plokk sisaldub tervikuna tükelduse P2 mingis plokis.  40. Millisel juhul on tükeldused teineteisega mittevõrreldavad?  ​Kui hulga tükelduse iga plokk ei  sisaldu tervikuna sama hulga mingi teise tükelduse mingis plokis. Nä,  millel on tükeldused P1 ja P2:  P1 =    2 5 8  4 6 7 1 3   P2 =     3  7  2 8  5 1 4 6   P1 * P2 =   saime uue ploki   4 6  3  7  2 8  5 1   P1 + P2 =   saime uue ploki    2 5 8 1 3 4 6 7   Antud juhul on P1 ja P2 mittevõrreldavad, sest tükelduste plokid ei sisaldu tervikuna teise  tükelduse plokkides.   41. Millisel juhul on tükeldused võrdsed?  ​Kui nad koosnevad samadest plokkidest. Näiteks on hulk   P1 =    2 5 8  4 6 7 1 3   P2 =    2 8 5  6 4 7 3 1   P1 = P2, sest tükelduste plokid on samad.  42. Kas tükelduste korrutis on teguriteks olnud tükeldustest suurem või väiksem?  ​Väiksem  43. Kas tükelduste summa on liidetavateks olnud tükeldustest suurem või väiksem?  ​Suurem  44. Mis on nulltükeldus? Mis on ühiktükeldus? Kuidas neid tähistatakse?   1) Nulltükeldus on hulga väikseim võimalik tükeldus. Nulltükelduse kõik plokid on väikseimad  võimalikud ehk üheelemendilised :  . Seda tähistatakse ka 0-ga:   2  3  4 1   6  7  8 5    = 0   2  3  4 1   6  7  8 5   2) Ühiktükeldus on hulga suurim võimalik tükeldus. Ühiktükeldus koosneb ühest plokist, mis  sisaldab hulga kõiki elemente:  . Seda tähistatakse ka 1-ga:   1 2 3 4 5 6 7 8    = 1. 1 2 3 4 5 6 7 8    


Järjestussuhted  1. Mis on osaline järjestussuhe?  ​Relatsioon, mis on antisümmeetriline (ühesuunaline tänav e  tagasiteed pole) ja transitiivne (leidub otsetee).  Elemendid võivad olla ka iseendaga seotud.  2. Milline on range osaline järjestussuhe?  ​Kui osaline järjestussuhe on ka antirefleksiivne (pole  iseendaga seotud), siis on tegemist range osalise järjestussuhtega. ( < )    3. Milline on mitterange osaline järjestussuhe?  ​Kui osaline järjestussuhe on samas ka refleksiivne  (iseendaga seotud), siis ta on mitterange osaline järjestussuhe. ( <= )    4. Mis on järjestuskriteerium?  ​Järjestussuhet määrav reegel (ehk järjestussuhte  relatsioonikriteerium- kui alushulga elemendid on seotud vastavuspaarideks mingi kindla reegli  alusel)   5. Millist hulka nimetatakse osaliselt järjestatuks?  ​Hulka, kus vähemalt 2 elementi pole omavahel  vaadeldava võrdluskriteeriumiga võrreldavad.  6. Kuidas esitatakse järjestussuhet lühidalt tema alushulga ja järjestuskriteeriumi abil?  (alushulk; järjestuskriteerium). 


Näiteks on meil alushulk     > <{}> <{}> <{3}> <{4}>} ning selle  relatsioonikriteerium on  . Järjestussuhet esitame alushulga ja järjestuskriteeriumi abil nii: ⊂   ( ) ;   ⊂   7. Mis on täielik järjestussuhe? Tuua näiteid.  ​Kui hulga mistahes 2 elementi on järjestatavad ( ehk  relatsiooni järjenduskriteeriumi abil võrreldavad).  a, b   [a  ) V  ( a   ) ]   ∀   ∈ M ≤ b ≥ b Nä järjestuskriteeriumiga <. See osutub täielikult järjestatud hulgaks.  Ehk antud hulk oleks järjestatud järgmiselt        4 1 < 2 < 3 <     8. Mis on Hasse diagramm? Kuidas ta koostatakse?  ​On osalise järjestussuhte (antisümmeetriline,  transitiivne) illustratiivne graafiline esitlus. Diagramm koosneb joontega ühendatud alushulga  elementidest.  Kui  , siis b paigutatakse diagrammil kõrgemale kui a ja nad a  ) ja (a  = )   ( ≤ b / b   ühendatakse omavahel joontega. * Transitiivsust ja reflektiivsust esitavaid jooni diagrammile ei  märgita.   Näiteks on osaline järjestus ( ), siis selle Hasse diagramm on: ;   ⊂   Ära on jä vahel, sest olemasolevad jooned  näitavad, et  }  3, 4}  -->
Selle hulga minimaalne element on (1) ja maksimaalsed elemendid on   (16, 24, 18)  11. Mis on järjestussuhte vähim element? Mis on suurim element?  ​Kui hulgas leidub element, mis  on väiksem igast teisest selle hulga elemendist, siis see element on vaadeldava hulga vähim ehk  esimene element, ja vastupidi suurim ehk viimane element on selle hulga teistest elementidest  suurem. Kui järjestatud hulgal on ainult üks minimaalne element, siis on see ka vähim element ja  kui järjestatud hulgal on üks maksimaalne element, siis see on ka suurim element.    Esimesel hulgal on vähimaks ja ka  ainsaks minimaalseks elemendiks 1, suurimat elementi pole (on 3 maksimaalset). Teisel hulgal on  suurimaks ja ka ainsaks maksimaalseks elemendiks a, vähimat elementi pole (on 2 minimaalset).  12. Mis on osaliselt järjestatud hulga mingi osahulga ülemtõke?  ​Kui me eraldame osaliselt  järjestatud hulgast M välja mingi tema osahulga S (  ja element  on suurem   ) S ⊂ M     m ∈ M   osahulga S mistahes elemedist, siis element m on hulga S ülemtõke. Alamhulgal võib olla mitu  ülemtõket. 

< ning selle osahulga ülemtõketeks on  elemendid 24 ja 36.  13. Mis on osaliselt järjestatud hulga mingi osahulga alamtõke?  ​Olgu endiselt hulk M ja tema  osahulk S  . Element m  M on hulga S alamtõke, kui m on väiksem osahulga S S  M) ( ⊂     ∈   mistahes elemendist. Alamhulgal võib olla mitu alamtõket.  ja selle osahulga alamtõkkeks on  element 1.  14. Mis on ülemraja? Kuidas teda teisiti nimetatakse ja kuidas tähistatakse?  ​Ülemrajaks  nimetatakse osahulga S väikseimat ülemtõket. Seda tähistatakse sup(S) ja nimetatakse ka  supremumiks, osa allikates tähistatakse ka lub(S) (ingl. Least upper bound) 

< ning selle osahulga ülemraja on c  15. Mis on alamraja? Kuidas teda teisiti nimetatakse ja kuidas tähistatakse?  ​Alamrajaks  nimetatakse osahulga S suurimat alamtõket. Seda tähistatakse inf(S) ja nimetatakse ka infimumiks.  Osa allikates tähistatakse ka glb(S) (ingl. Greatest lower bound).  ning selle osahulga alamraja on f  16. Mis on võre?  ​Võre on on osaline järjestussuhe, kus alushulga suvalise kahe elementi jaoks leidub  alamraja ja ülemraja.  Võre ülemraja on 12 ja alamraja on 1.  17. Millised 2 tehet on võres defineeritud tema elementidele?  ​Kaks binaarset tehet (ingl meet ja  join) tehtemärkidega  ja  ⋀   ⋁ .  


18. Mis on võreavaldis?  ​Võttes binaarsete tehete  operandiseks võre alushulga elemente ja  ⋀   ⋁   saame koostada võreavaldisi. Järgmises punktis esitatud seadused ongi esitatud võrdustena, kus  võrdusmärgi mõlemal poolel on võreavaldis.   19. Millised seadused kehtivad võreavaldiste jaoks?   1) Kommutatiivsus           b a ⋁ b =   ⋁ a a ⋀ b = b ⋀ a   2) Assotsiatiivsus           a )    a  b ) ( ⋀ b ⋀ c =   ⋀ ( ⋀ c a )  c  a  b  c) ( ⋁ b ⋁   =   ⋁ ( ⋁     3) Neeldumine a (a  b) = a       a  (a   b) = a ⋀ ⋁ ⋁ ⋀   4) Idempotentsus a   a = a        a  a = a ⋀ ⋁   20. Kuidas saadakse duaalne võreavaldis?  ​Kui asendada võreavaldises kõik tehted  ja tehtega  ⋀   ⋁   vastupidi kui asendada kõik tehted  tehtega  .   ⋁ ⋀   21. Mis on võreavaldiste duaalsusprintsiip?  ​Kui kaks võreavaldist on võrdsed, siis on ka nende  duaalsed avaldised omavahel võrdsed.  22. Kuidas avalduvad võretehete kaudu võ alamraja ja ülemraja ?  ​Kui  osahulga S ülemtõkete hulgas leidub selline ülemtõke, mis eelneb kõikidele teistele sama osahulga  ülemtõketele ( s.t on nendest väiksem), siis sellist ülemtõket nimetatakse selle osahulga ülemrajaks  ehk supremumiks.   Alamraja on osahulga selline alamtõke, mis järgneb kõikidele teistele sama osahulga alamtõketele  ( s.t on nendest suurem), siis sellist alamtõket nimetatakse selle osahulga alamrajaks ehk  infimumiks.   23. Mis on võre alamtõke? Mis on võre ülemtõke?   ​Alamtõke on kui element on võrreldava hulga  mistahes elemendist väiksem ja vastupidi, ülemtõke on suurem kui mistahes võrreldava hulga  element.  . S osahulga alamtõkkeks on 1 ja ülemtõkkeks on 24 ja 36.   


  24. Millisel juhul võib alamtõke või ülemtõke puududa?  ​Kui võre on lõpmatu. Alamtõke võib  puududa ka siis, kui väikseim element asub osahulgas S. Ülemtõke võib puududa, kui suurim  element asub osahulgas S.  25. Milline võre on tõkestatud?  ​Võre on tõkestatud kui tal on olemas nii alamtõke kui ülemtõke.  26. Milline võre on distributiivne?  ​Kui hulga elementide  korral kehtib distributiivsus a, , c   )   ( b   ∈ M   ehk  ●    b  c)  (a  b)   a  c) a ⋀ ( ⋁   =   ⋀   ⋁ ( ⋀     ●    b  c)  (a  b)   ( a  c) a ⋁ ( ⋀   =   ⋁   ⋀   ⋁     27. Mis on võreelemendi täiend? Kuidas teda tähistatakse?  ​Võre mingi elemendi  täiendiks     a ∈ M   on võreelement  , mille korral kehtivad järgmised:   a ∈ M   ●  ja   V  a  I  a =     a  0  a ⋀   =     Alloleval võrel on elemendi b täiendiks elemendid c ja a. 


  28. Mitu täiendit saab olla tõkestatud distributiivse võre igal elemendil?  ​On ära tõestatud, et igal  elemendil on täpselt üks ​(1) ​täiend.  29. Milline võre on täienditega võre?  ​Kui võre igal elemendil on olemas vähemalt üks täiend.   30. Milline võre on Boole'i algebra? Tuua näiteid Hasse diagrammidena.  ​Boole’i algebrad on  tõkestatud, distributiivsed ja täienditega võred.    


31. Milliseid osalise järjestussuhte elemente nimetatakse aatomiteks?  ​Osalise järjestussuhte  vähimat elementi katvaid elemente nimetatakse aatomiteks(juhul kui vähim element eksisteerib).  Ülevalolevas  võres on aatomiteks 2, 3, 5 → kuna nad katavad võre alamtõket (1).   32. Kuidas on Boole'i algebras tema kõik elemendid aatomite kaudu esitatavad?  ​Boole’i algebras  on võimalik esitada kõiki elemente (peale alamtõkke) tehte V abil.       LOOGIKAFUNKTSIOONID  1. Mis on loogikaalgebra?  ​Loogikaalgebra   on Boole’; ; ;    ) (   ⋀   ⋁     kus alushulgaks on kõ. Sellise kaheelemendilise võre Hasse  diagramm oleks:   Loogikaalgebra kui võre, Hasse diagramm.  2. Millest loogikaalgebra koosneb?  ​Loogikaalgebra  ehk Boole’i algebra  { 0 1}; ; ja eitus) (   ⋀   ⋁     koosneb loogikavää, millel on defineeritud kolm elementaarset loogikatehet: 1  unaarne tehe: inversioon, ja binaarsed tehted konjunktsioon ja disjunktsioon.  3. Mis on loogikamuutuja?  ​Muutuja   on loogikamuutuja, kui ta saab omandada väärtust  või x x i   ainult hulgast  .  0, 1}     xi ∈ { 1 2 n  4. Kuidas nimetatakse numbrimärkidega 0 ja 1 esitatud loogikaväärtusi? ​ “Konstant 0” ja  “konstant 1”.  5. Mis on loogikaavaldis? Loogikaavaldise definitsioon.  ​Loogikaavaldis on loogikamuutujad  ,   x i   konstante 0 1 ja tehtemärke sisaldav kooslus, mis tema muutujate   väärtustamisel omandab   x i   samuti loogikaväärtuse 0 või 1. 


6. Millist loogikatehet tähendab tehtemärgi puudumine operandide vahel?  ​Konjunktsiooni ehk  korrutamist.  7. Mitu loogikatehet on olemas? Mitu operandi nendest igaühel on?  ​5 tükki, millest kõigil on 2  operandi:             A       A        A          A A ⋁ B ⋀ B → B ↔ B ⊕ B   8. Millisel tingimusel on kaks loogikaavaldist omavahel võrdsed?  ​Kui loogikaavaldiste  tõeväärtustabelid on omavahel võrdsed.   9. Kuidas saadakse mingi loogikaavaldise jaoks tema duaalne kuju?  ​Loogikaavaldis omandab  oma duaalse kuju, kui:   ● Konjunktsioonid asendada disjunktsiooniga  ● Disjunktsioon  asendada Konjunktsiooniga  ● Avaldise kõik konstandid 0 asendada konstandiga 1  ● Avaldise kõik konstandid 1 asendada konstandiga 0  10. Milline seos on omavahel hulgaalgebral ja loogikaalgebral ?  ​Nii hulgaalgebra kui ka  loogikaalgebra on isomorfsed ehk samaväärsed, kui nendes teha järgnevad asendused.   ● Tehte ühisosa ehk  asendada konjunktsiooniga & ⋂     ● Tehte ühend ehk  sendada disjunktsiooniga V ⋃ a   ● Tühi hulk ehk  asendada konstant 0 a ⊘   − g   ● Universaalhulk ehk I asendada konstant 1-ga   11. Milleks kasutatakse loogikatehete asendusseoseid? Millistele tehetele on nad olemas?  Asendusseoseid kasutatakse selleks, et teisendada loogikafunktsioone elementaarsele kujule.  Asendusseosed asendavad mitteelementaarseid loogikatehteid, kasutades selleks elementaarseid  loogikatehteid.   ● Implikatsioon      x  y  x → y =   ⋁      ● Ekvivalents    y  ( x  y)(y  x)   x y  x y x ↔   =   →   →   =   ⋁     ● Summa mooduliga 2:    y  x y  x y x ⊕   =   ⋁     12. Mis on n-muutuja loogikafunktsioon?  ​N-muutuja loogikafunktsioon  on vastavus  ( x x ........x )  f 1 2 n   n-muutuja Boole’ loogikavää:  n  


.Seega seab n-muutuja loogikafunktsioon igale n-järgulisele ( x x ........x ) {0, 1}      f 1 2 n :     n →       kahendvektorile (e argumentvektorile)  vastavaks loogikaväärtuse 0 või 1. x .... x     x1 2 n ∈ {0, 1}   n   Näiteks 2-muutuja loogikafunktsioon   on seega vastavus  .  ( x x ) f 1 2  ( x x ) f 1 2 : {0, 1}   2 →       13. Mis on argumentvektor ja mida ta esitab?  ​Argumentvektor on algtermidele konstantväärtuse  andmine, mille tulemusel saame funktsiooni tõeväärtuse. Näide allolevad näited on samaväärsed  ehk ekvivalentsed.      (Argumentvektorid) x x 1 2   f( ) x x 1 2    00  0  01  0  10  0  11  1         14. Mida näitab loogikafunktsiooni tõeväärtustabel?  ​Loogikafunktsiooni tõeväärtustabel näitab  loogikaavaldise väärtust iga argumentvektori korral tabelina, teine variant on kasutada vastavuse  diagrammi.  15. Mis on funktsiooni 1-de piirkond? Mis on 0-de piirkond? Kuidas neid tähistatakse?   1)  Funktsiooni 1-de piirkond on Karnaugh’ kaardil olevad algtermid, mis moodustavad  disjunktiivse funktsiooni. Funktsiooni 1-de piirkonna tähistusega moodustavad need argumentvektorid x x ...x   , mille korral ƒ(x x ...x )  1 V 1 ⊂ {0, 1}   n 1 2 n ∈ V 1   1 2 n =  


2) 0-de piirkond  on Karnaugh’ kaardil olevad algtermid, mis moodustavad konjunktiivse  funktsiooni. Funktsiooni 0-de piirkonna tähistusega moodustavad need argumentvektorid x x ...x   , mille korral ƒ(x x ...x )  0 V 0 ⊂ {0, 1}   n 1 2 n ∈ V 0   1 2 n =   16. Mis on funktsiooni mitteoluline muutuja?  ​Funktsiooni mitteoluline muutuja on mittekonstantne  muutuja, mida ei võeta arvesse disjunktiivse või konjunktiivse normaalkuju väljakirjutamisel.   17. Millisele kujule on mitteolulis(t)e muutuja(te)ga loogikaavaldis alati teisendatav?  Mitteoluliste muutujatega loogikaavaldis on alati teisendatav kujule, kus mitteolulised muutujad  puuduvad.   18. Milline loogikafunktsioon on osaliselt määratud?  ​Osaliselt määratud loogikafunktsioon on  funktsioon, mis pole lõplikult määratud. Ehk osa loogikafunktsiooni muutujaid kuulub  määramatuspiirkonda.  19. Mis on funktsiooni määramatuspiirkond? Kuidas seda tähistatakse?  ​Määramatuspiirkond on  funktsiooni tõeväärtus algtermidega, mille väärtus pole teada ehk selle väärtus võib olla nii 1 kui  ka 0, kuid korraga saab omada vaid ühte väärtust. Tähistame kriipsuga( - ).  20. Millega võrdub funktsiooni 1-de piirkonna, 0-de piirkonna ja määramatuspiirkonna ühend ?  Ühend moodustab kogu funktsiooni tõeväärtuse.   21. Millise väärtuse omandab funktsioon oma määramatuspiirkonnas ?  ​Määramatuspiirkonnas  võib funktsioon omandad nii 1 kui ka 0.  22. Kuidas esitatakse tõeväärtustabelis funktsiooni määramatuspiirkonda ?  ​( - ) ​ ​märgiga.  23. Mida tehakse funktsiooni määramatuspiirkonnaga ?  ​Määramatused on määratud kas 1ks või  0ks.  24. Mitu täielikult määratud funktsiooni sobivad esitama funktsiooni, mille | V  | = n?  −      See on   funktsioon. Kui on kaks algtermi, mis on määramatuspiirkonnas, siis definitsioonist   2 n   tulenevalt on meil võimalik leida 4 täielikult määratud funktsiooni.  25. Millised on loogikafunktsioonide esitusviisid?  ● Tõeväärtustabel  ● Karnaugh’ kaart   ● Numbriline kümnendesitus  ● Loogikaavaldis 


26. Kuidas koostatakse loogikafunktsioonile numbriline 10ndesitus?  Tegu on kompkaktse esitusviisiga, kus 2nd venktorid on asendatud kümnendarvudega. 1-de  piirkonna esitades kasutatakse kreeka tähte “sigma”   ja 0-de esitamiseks “piid”  Σ Π   27. Mida esitab iga 10ndarv numbrilise 10ndesituse koosseisus?  ​Iga kümnendarv on vastav  kahendvektorile. Funktsiooni 10ndesitus võib olla antud kas 1-de või 0-de piirkonna järgi:   - funktsiooni 10ndesitus 1-de piirkonna järgi (10ndarv sulu sees) (x x x )  Σ (1, 6, 7)   ƒ 1 2 3 =       1    - funktsiooni 10ndesitus 0-de piirkonna järgi (x x x )  Π (0, 3, 5)   ƒ 1 2 3 =       0   28. Mis on algterm?  ​Algterm on avaldise koosseisu kuuluv loogikamuutuja  või selle inversioon    x i x i   või konstant 0, 1. Ehk  lgterm  x  ;  ; 1, 0 } A ∈ -->
V  V  V  V  V  V  (x x x )   x x  V   f 1 2 3 = x 1 2 3 x 1 x2 x3    x x 1 2 x3 x x x 1 2 3 x 1 x2 x3 x x 1 2 x3 x 1 x2 x3 x x x 1 2 3   1-de piirkonna 
argumentvektorid  Vastavad 
konstituendid  000  x 1 x2 x3   001  x 1 x2 x3   010     x x 1 2 x3   011  x x x 1 2 3   100  x 1 x2 x3   101  x 1 x2 x3   110  x x 1 2 x3   111  x x x 1 2 3       36. Mis on täielik konjunktiivne normaalkuju (TKNK)?  ​TKNK sisaldab kõiki argumentvektorite  muutujaid, mille loogikaguntksiooni väärtuseks osutavad nullid. TKNK leidmisel ja välja  kirjutamisel tuleb tähele panna, et argumentvektor 001    , vaid hoopis  =/ x1 x2 x3 V   x  V  x 1 2 x3 võrdne disjunktsioonide konjunktsiooniga, kus algtermid on teispidise väärtusega.   37. Mis on loogikaavaldise keerukus?  ​Loogikaavaldise keerukus  ​(L)​ näitab kui mitu algtermi kuulub  tema koosseisu. Näiteid:              [(  x   V  x )x ]  3 L 1 2 3 =      L(x   x   V  x x   )  4   1 3 2 3 =   (x  )  2 L → 0 =     38. Mis on minimaalne DNK (MDNK) ? Mis on minimaalne KNK (MKNK) ?  ​Minimaalne DNK  või MKNK on minimaalne võimalik kontuur, mis katab ära kõik 1-de piirkonda kuuluvad  argumentvektorid või kõik 0-de piirkonda kuuluvad argumentvektorid.   39. Millisest loogikafunktsiooni piirkonnast tuleneb DNK? Millisest piirkonnast tuleneb KNK?   DNK- 1-de piirkonnast, KNK- 0-de piirkonnast. 


40. Kuidas kirjutatakse funktsiooni tõeväärtustabelist välja funktsiooni TDNK või TKNK ?  Tuleb kirjutada välja kõik algtermid. Kui on tegu TDNK-ga, siis kirjutame välja funktsiooni  konjunktsioonide disjunktsiooni ja TKNK-ga vastupidiselt.  41. Mitu erinevat täielikku disjunktiivset/ konjunktiivset normaalkuju ( TDNK/  TKNK  ) on  igal loogikafunktsioonil? ​Alati üks.  42. Mitu TDNK elementaarkonjunktsiooni väärtustub 1-ks suvalise argumentvektori korral?  ​1,  sest see avaldis saab tõene olla ainult juhul kui kõik algtermid   ehk on võrdsed ü   ∈     43. Mitu TKNK elementaardisjunktsiooni väärtustub 0-ks suvalise argumentvektori korral?  Loogikafunktsiooni erinevate väärtuste arv -1 ehk kõik peale 0 argumentvektori on loogikaavaldise  tõeväärtuseks 1.  44. Milline loogikafunktsioon ei oma TDNK-d? Milline loogikafunktsioon ei oma TKNK-d?  Samaselt tõesel funktsioonil ei eksisteeri TKNK-d, kuna tal puudub nullide piirkond.  Samaselt  vääral funktsioonil ei eksisteeri TDNK-d, kuna tal puudub ühtede piirkond.   45. Mitu erinevat 1-muutuja loogikafunktsiooni on olemas?  ​Maksimaalselt on 4 erinevat  1-muutuja loogikafunktsiooni.     x  f(x)  f(x)  f(x)  f(x)  0  0  0  1  1  1  0  1  0  1    f(x) = 0   f(x) = x  f(x) =  x   f(x) = 1    46. Milline on ainus oluline 1-muutuja loogikafunktsioon?  ​Ainuke “efektiivne” on inversioon.  47. Kuidas võib nimetada 0-muutuja loogikafunktsioone?  ​Konstant 1 ja konstant 0.  48. Mitu erinevat 2-muutuja loogikafunktsiooni on olemas?  ehk 16 erinevat.     16  2 4 =      49. Millised 2-muutuja funktsioonid sõltuvad mõlemast oma muutujast?       x  x 1 2   f1  f2  f4  f6  f7  f8  f9  f11  f13  f14 


00  0  0  0  0  0  1  1  1  1  1  01  0  0  1  1  1  0  0  0  1  1  10  0  1  0  1  1  0  0  1  0  1  11  1  0  0  0  1  0  1  1  1  0      x  x 1 2   x    1 → x 2   x    2 → x 1       x 1 ⊕ x 2     V x  x 1 2   x  V x  1 2       x 1 ↔ x 2     x 2 → x 1       x 1 → x 2   x  x  1 2     Lühidalt kokkuvõttes.  1. Konjunktsioon  2. Implikatsiooni inversioon  3. Pöördimplikatsiooni inversioon  4. Ekvivalentsi inversioon  5. Summa moodul 2  6. Disjunktsioon  7. Disjunktsiooni inversioon  8. Ekvivalents  9. Pöördimplikatsioon  10. Implikatsioon    50. Milline erinevus on implikatsioonil ja pöördimplikatsioonil?  ​Funktsiooni tõeväärtuse poolest.  51. Mis on Peirce'i nool ("Peirce arrow")?  ​Peirce’ i nool on või-eitus. Ehk disjunktsiooni  inversioon. Ja seda tähistatakse noolega    A  B  A V  B =   ↓     52. Mis on Shefferi kriips ("Sheffer stroke")?  ​Tegu on sarnaselt Peirce’i noolele funktsiooniga, mis  on disjunktsiooni asemel konjunktsiooni eitus ehk JA-EI.   | B  A & B  A =     53. Mitu erinevat 3-muutuja loogikafunktsiooni on olemas?  ​Loogikaguntsioonil, millel on kolm  muutujat on  ehk 256 erinevat väärtust, sest kolme muutujaga on 8 erinevat tõeväärtust ja seal   2 8   tulenevalt on  . Nelja muutujaga oleks vastavalt   ehk 65536 loogikafunktsiooni.   2 8   2 16   


54. Miks nimetatakse loogikatehet  "summa mooduliga 2" ja "välistav VÕI" ?  ​Sest vastupidiselt  või tehtele on xor väärtus f(11) korral võrdne nulliga aga või korral ühega ja sellest tulenevalt ka  nimi.  55. Millest tuleneb lühend XOR ?  ​XOR: Loogikatehtest summa mooduliga 2 nimetatakse ka  “Välistav Või”. See on üks või teine, kuid mitte mõlemad koos.   56. Millise loogikatehte inversiooniks on loogikatehe summa mooduliga 2 ?  ​Ekvivalentsi. (XNOR)  57. Millise 3-tähelise lühendiga tähistatakse loogikatehet summa mooduliga 2?  ​XOR.  58. Kuidas avaldatakse tehet  elementaarsete loogikatehete kaudu?  x x  V  x x x 1 ⊕ x2 =   1 2 1 2   59. Mida teeb avaldisele konstandi 1 juurdeliitmine tehtega  ?  ​Inverteerib avaldise väärtuse.  60. Milline on tulemus paaritu arvu konstantide 1 kokkuliitmisel tehtega  ?  ​Tulemuseks on tehte  väärtuse inversioon. Seega pole vahet kas kirjutada   on sama kui 1           1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 1   lisamine.   61. Milline on tulemus paarisarvu konstantide 1 kokkuliitmisel tehtega  ?  ​Paarisarvuliste 1  konstantide kokkuliitimisel väärtus ei muutu, seega võib nende kirjutamise ära jätta.   62. Milline on tulemus paaritu arvu muutujate x kokkuliitmisel tehtega  ?  ​Liites paaritu arvu  muutujaid on tulemuseks olukord, kus jääb järele ainult üks muutuja x ehk  .     x x ⊕ x ⊕ x =     63. Milline on tulemus paarisarvu muutujate x kokkuliitmisel tehtega  ?  ​Liites loogikamuutujale x  tema enda, on tulemuseks alati 0 olenemata x-i väärtusest.   64. Milline on tulemus muutuja x ja tema inversiooni x kokkuliitmisel tehtega  ?  ​Selle tulemuseks  on 1, sest    1 ja samuti 1  0  1 seega x   1 0 ⊕ 1 =   ⊕   =   ⊕ x =     65. Millal võib DNK-s asendada kõik disjunktsioonitehted V tehetega    (summa moodul ⊕   kahega)?  ​Kui ( paljude operandidega) disjunktsioonitehete operandidest on väärtusega 1 paaritu  arv operande ( näiteks ainult üks operand), siis võib sellises avaldises asendada kõik  disjunktsioonitehted summa moodul kahega.   66. Kuidas saab mittetäieliku DNK või KNK teisendada täielikuks ?  ​Kleepimisseaduse abil, mis  võimaldab meil puuduvad algtermid kleepida juurde, et saada TDNK või TKNK.  67. Kumb normaalkuju (DNK või KNK) on praktikas olulisem?  ​DNK. Avaldise teisendamine  viibki pärast   ● - mittelementaarsete loogikatehete asendamist asendusseoste abil; 


● - sulgude lahtikorrutamist distributiivsusseadus abil  ● Konjunktsioonide “ konstant 0”-deks korrutamist  Avaldise tavaliselt disjunktiivseks normaalkujuks ( ​DNK) .  68. Millise põhiseose abil saab DNK teisendada KNK-ks?  ​ Teise distributiivsusseaduse ehk sulgude  lahtiliitmise abil. Näiteks    x   (x   )(x ) x 1 ⋁ x2 3 =   1 ⋁ x2 1 ⋁ x3   69. Leia põhjus, miks ühise teguri sulgude ette toomisel (tavaliselt) ei jää kunagi sulgudesse  neeldumist kujul   ( x  V  x y ) ?  ​ Sest x (1 V y) = x. Ühise teguri sulgude ettetoomisel ei jää  sulgudesse enam ühist tegurit (sulgudesse jääb antud juhul 1 V y, x tuuakse sulgude ette).  70. Milline loogikafunktsioon on nõrgalt määratud?  ​Suure määramatuspiirkonnaga funktsioone  nimetatakse nõrgalt määratud funktsioonideks.   71. Millised intervallid on ortogonaalsed?  ​Intervallid, mis ei oma ühisosa (s.t kui nad on  mittelõikuvad kahendvektorite hulgad).   72. Mis on ortogonaalsustehe? Millele teda rakendatakse?  ​Ortogonaalsustehe on nõrgalt määratud  funktsioonis minimaalse DNK ja KNK leidmiseks kasutatav meetod. Tehet rakendatakse erinevate  piirkondade kõikvõimalikele paaridele. Kui meil on näiteks nii 0-de kui ka 1-de piirkonnas teada 3  piirkonda, siis kokku tuleb 3x3 ruutu ehk 9 tehet.    #  0  1  –  0  0  1  0  1  1  0  0  –  0  0  0  Kui kokku satuvad 0 ja 1, siis on tulemuseks 1, muidu on tulemuseks 0.  73. Mis on loogikafunktsiooni implikant? Mis on lihtimplikant?  ​Implikant on loogikafuntksiooni  iga 1-de piirkonna intervall(intervall on lähisvektorite arv). Lihtimplikant on maksimaalne ehk  suurim implikant. Lihtimplikant ei sisaldu tervikuna mitte üheski teises, veelgi suuremas selle  funktsiooni implikandis.  


Siin Karnaugh’ kaardil on 7 implikanti {011}{100}{101}{0-1}{10-}{-01}(tähistatud kõik erinevate värvidega) ja 3 lihtimplikanti  (tähistatud roosa, punase ja tumesinisega)  74. Mis on funktsiooni taandatud DNK? Mitu erinevat taandatud DNK-d võib funktsioonil  olla? ​Taand.DNK on funktsiooni kõigi lihtimplikantide disjunktsioon. Sarnaselt TDNK-ga on on ka  funktsioonil vaid üks Taand.DNK.Funktsioonil saab olla ainult  ​üks​ taandatud DNK.  75. Milline seos on funktsiooni taandatud DNK ja MDNK vahel ?  ​Mõlemad funktsioonid  koosnevad lihtimplikantidest ehk maksimaalsetest implikantidest, aga MDNKl on minimaalne  võimalik lihtimplikantide arv, kuid Taand.DNK-l on maksimaalne arv lihtimplikante ehk kõik  lihtimplikandid.         KARNAUGH’ KAARDID  1. Mis on Karnaugh' kaart?  ​ Karnaugh kaart on funktsiooni tõeväärtustabeli ümberpaigutamine  tasandile.   2. Millised on  ​Karnaugh' kaardi ​ põhiomadused? ​Karnaugh kaardi põhiomadused on 1) kaardi iga  ruudu naaberruutude arv võrdub kaardi muutujate arvuga. 2) suvalise kahe naaberruudu  argumentvektorid on teineteise lähiskoodid.   3. Milline on suurim  ​Karnaugh' kaart  ​? ​Suurim karnaugh kaart on 6-muutuja kaart.  4. Millise suurusega  ​Karnaugh' kaardid ​ on tasandilised? Millised on ruumilised? ​Kuni nelja  muutujaga karnaugh kaardid on tasandilised ja 5-6 on ruumilised.  5. Mis on  ​Karnaugh' kaardi ​ kontuurid? Millised on kontuuride võimalikud suurused? ​Kaardi  kontuurid on kindlate mõõtmetega ruutude grupid. Kontuuride võimalikud suurused on ainult kahe  astmed.  


6. Millist küljepikkust  ​Karnaugh' kaardi ​ kontuuridel kunagi ei esine? ​Kontuuridel ei tohi olla  kunagi külje pikkuseks 3 ruutu.  7. Mida esitab  ​Karnaugh' kaardi ​ iga kontuur? ​Iga kontuur vastab kahendvektori mingile  intervallile.   8. Mitu erinevat muutujaväärtuste piirkonda leidub  ​n ​-muutuja ​Karnaugh' kaardil​ ? ​n-muutuja  kaardil on   piirkonda. 2n   9. Milleks  ​Karnaugh' kaarti ​ kõige enam kasutatakse? ​Loogikafuntksioonide minimeerimiseks.  10. Mis on funktsiooni minimeerimine?  ​Leida minimaalne arv maksimaalselt suuri kontuure, et  oleks kaetud MKNK või MDNK.   11. Kuidas kasutatakse  ​Karnaugh' kaarti ​ funktsiooni minimeerimisel ? ​ Paigutakse  tõeväärtustabel Karnaugh kaardile, katta ühed, või nullid, leida konstantsed muutujad nende  kontuuride piires, kirjutada need muutujad välja.   12. Millest oleneb elementaarkonjunktsioonide arv, kui MDNK saadakse  ​Karnaugh' kaardilt  ​?  See sõltub mitu kontuuri on kaardil.  13. Kas kontuuri suurenemisel  ​konstantsete muutujate arv ​ kontuuri ulatuses suureneb või  väheneb ?  ​väheneb   14. Mitu konstantset muutujat on 1-ruudulises kontuuris?  ​Sõltuvalt muutujate arvust.  Maksimaalselt kuus muutujat ja minimaalselt 1.  15. Mitu konstantset muutujat on (suurimas võimalikus) kontuuris, mis katab  ​terve​ kaardi?  Konstant 1. Konstantsed muutujad ise puuduvad.   16. Miks on suuremad kontuurid minimaalse normaalkuju leidmisel eelistatud?  ​Kui leida  minimaalne normaalkuju, siis on vajalik leida maksimaalselt suured kontuurid, et leida  minimaalne normaalkuju.  17. Miks eelistatakse katta vajalikud ruudud võimalikult  ​väikse arvu ​ erinevate kontuuridega?  Sest üksteise sees paiknevad kontuurid neelduvad.   18. Mille poolest erineb elementaardisjunktsiooni väljakirjutamine 0-de kontuurist (võrreldes  elementaarkonjunktsiooni ​ väljakirjutamisega 1-de kontuurist) ? ​Kui me kirjutame välja  elementaarkonjunktsiooni, siis jäävad konstantsed väärtused samaks, kuid kui kirjutame välja  elementaardisjunktsiooni, siis on konstantsed muutujad pöördväärtustega.  


  McCLUSKEY’ MINIMEERIMISMEETOD    1. Kui suure muutujatearvu korral on McCluskey' minimeerimismeetod rakendatav?  Muutujate arv pole piiratud.   2. Millised on McCluskey' meetodi põhietapid?  ​Põhietappideks on kleepimissammu tegemine ehk  kleepimisreegel, märgime ära lihtimplikandid. Seejärel tuleb valida minimaalne kate.  3. Mis on McCluskey' meetodis 10ndarvu indeks?  ​1-de arv selle arvu kahendkujus.  4. Millistele tingimustele peavad vastama McCluskey' meetodiga kleebitavad 10ndarvud?  Omavahel saab kokku kleepida vaid naabersektsioonide arve, numbrilises meetodis saab kokku  kleepida vaid neid arve, mille vahe on mõni 2 aste (1, 2, 4, 8 jne). Väiksema indeksiga (ehk  ülemisest) sektsioonist pärit kleebitav arv peab ka oma väärtuselt väiksem olema.    5. Millistele tingimustele peavad vastama McCluskey' meetodiga kleebitavad intervallid ?  Kleebitavad intervallid peavad olema lähisvektorid.   6. Millised McCluskey' meetodi 2 modifikatsiooni on olemas? Mille poolest nad erinevad?  Intervallmeetod ja numbriline meetod. Erinevad esituskuju poolest.   7. Millised sarnasused on McCluskey' meetodiga ja Karnaugh' kaardiga minimeerimisel?   1) Karnaugh kaardil naaberruutudes paiknevad koodid on ka McCluskey kleepimistabelis  naaberlahtrites ehk McCluskey meetod kleebib kokku neidsamu koode, mis ka Karnaugh  kaardil oleksid kontuuridesse kokkuseotavad.  2) Intervallide kasvatamine kleepides on samaväärne kontuuride suurendamisega Karnaugh  kaardil. Igale kleepimistabelis moodustunud intervallile vastab üks kindel kaardikontuur.  8. Mida teeb McCluskey' minimeerimismeetod funktsiooni määramatuspiirkonnaga?  ​Lisab  määramatuspiirkonna kas 1-de piirkonnale (MDNK leidmiseks) või 0-de piirkonnale (MKNK  leidmiseks).  9. Mille poolest erinevad osaliselt määratud ja täielikult määratud funktsiooni minimeerimine  McCluskey' meetodil?  ​Osaliselt määratud funktsiooni puhul tuleb määramatuspiirkond lisada  kas 1-de piirkonnale (MDNK leidmisel) või 0-de piirkonnale (MKNK leidmisel). KUID pärast 


kleepimistabeli lõplikku moodustumist on meetodi teises etapis eesmärgiks leida minimaalne kate  ainult tegelikule (“rangele”) 1-de (või 0-de) piirkonnale, mitte kogu laiendatud piirkonnale.  10. Kuidas toimitakse, kui kleepimistabelis ei õnnestu mõnda seal leiduvat arvu / 2ndvektorit  kleepida mitte ainsatki korda?  ​Need osutuvad lihtimplikantideks (märgistad ära nt A1 ja kirjutad  teises etapis tabelisse.).  11. Kuhu (kuidas) paigutuvad kleepimistabeli koostamisel sellised arvud / 2ndvektorid, mis  Karnaugh' kaardil asuvad kõrvuti naaberruutudes?  ​Need satuvad ka kleepimistabelis  naabersektsioonidesse/naaberlahtritesse ehk McCluskey’ meetod kleebib kokku needsamad  koodid, mis ka Karnaugh’ kaardil oleksid kontuuridesse kokkuseotavad.  12. Mis määrab numbrilise McCluskey' meetodi viimastel sammudel, millised 2ndjärgud  intervalli esindajaks valitud arvu 2ndkujus kuuluvad elimineerimisele?  ​Elimineeritakse välja  need järgud, mille kaaluga võrdne vahe kaasnes selle lihtimplikandiga A.  13. Miks tohib numbrilises McCluskey' meetodis valida intervalli esindajaks suvalise arvu selle  intervalli koosseisust?  ​Sest me saame sellest intervallist igal juhul sama  elementaarkonjunktsiooni. Näiteks lihtimplikandis A1 on arvud 1-3-5-7 ehk kahendarvudena   001  011  101  111. Lihtimplikandiga A1 kaasnevad vahed 2 ja 4 vastavad nende kahendarvude  kahele kõrgemale järgule (sest nende järgukaalud on 4 ja 2). Kõik neli kahendarvu erinevad  üksteises ainult nendes järkudes, mis elimineeritakse välja. Kõikides “allesjäävates” järkudes (siin  on selliseid ainult üks) on nendes neljas kahendarvus sama järguväärtus 1, mis annabki DNK  liikmeks   mistahes arvuvaliku korral A1-st. x 3   JÄÄKFUNKTSIOONID  1. Mis on jääkfunktsioon? Millest oleneb jääkfunktsiooni muutujate arv?  ​Kui asendada  n-muutuja funktsiooni f( x1 x2 ..... xn ) avaldises osad tema muutujad konstantidega 0 või 1 , siis  selliselt saadavat lihtsamat loogikafunktsiooni nimetatakse algse n-muutuja funktsiooni  jääkfunktsiooniks. Kui asendada n-muutuja funktsiooni f( x1 x2 ... xi ... xn ) avaldises üks tema  muutuja xi konstandiga 0 või 1 , siis on jääkfunktsiooniks (n1)-muutuja funktsioon.  2. Kus asub jääkfunktsiooni f ( x1 1 x3 ) tõeväärtustabel Karnaugh' kaardil?  


  3. Mis on loogikafunktsiooni tuletis?  ​Seega on n-muutuja funktsiooni tuletis (n1)-muutuja  funktsioon, kus puudub see muutuja   , mille järgi tuletis võeti.   x i   4. Mis on Shannoni arendus?  ​Shannoni arendus on ( jääkfunktsioone sisaldav) loogikaavaldise üks  erikuju.  5. Millised Shannoni arenduse liigid on olemas?  ​Disjunktiivne ja konjunktiivne arendus, mille alla  kuuluvad omakorda veel täielik (kõigi muutujate järgi) ja osaline arendus.  6. Milline loogikaavaldis on täieliku Shannoni arenduse tulemuseks?  ​Shannoni arendus  samaaegselt kõikide muutujate järgi on täielik arendus. Täieliku arenduse jääkfunktsioonideks  saavad jääda ainult konstandid ( 0 1 ). 


7. Mis jäävad jääkfunktsioonideks täieliku Shannoni arenduse korral?  ​Täieliku arenduse  jääkfunktsioonideks saavad jääda ainult konstandid ( 0 1 )   LOOGIKAFUNKTSIOONIDE KLASSID  1. Millistesse klassidesse loogikafunktsioonid liigituvad? Kuidas igat klassi tähistatakse?  ●  Nulli säilitavad funktsioonid     K 0   ●  - Ühte säilitavad funktsioonid     K 1   ●  - Pööratavad funktsioonid     K p   ● - monotoonsed funktsioonid     K m   ● - lineaarsed funktsioonid     K l   2. Milline on klassi kuuluvuse tunnus iga konkreetse klassi jaoks?   ●  Funktsioon on nulli säilitav, kui ta kõikide muutujate väärtustamisel 0-ks väärtustab     K 0 −   funktsiooni ise samuti nulliks.   klassi kuuluvust kontrollitakse tõeväärtustabeli esimesest reast.     K 0   f , f , f , f , f , f , f , f }    -->
funktsiooniga, sest kui keskelt teha tabel pooleks, siis näeme, et funktsiooni väärtused on täpselt  vastupidised.  f , f , f , f }   -->
Hasse diagrammil tuleb läbida kõikvõimalikud teed 000, 001, 110, 111 ja tuleb veenduda, et seda  teed läbides funktsiooni tõeväärtus ei väheneks. Sellest aga ei piisa, et ainult ühe tee puhul  tõeväärtused ei kasva, selleks et veenduda monotoonsuses peavad kõik teed olema  monotoonsed ehk ei tohiks kasvada. 3 argumendi funktsioonil on meil kokku 6 võimaliku teed.   ●  Funktsioon on lineaarne kui ta on esitatav summa moodul kahega.  . Selleks et     K l −     0, 1}   c i ∈ {     kontrollida funktsiooni lineaarsust tuleb veenududa, et loogikaavaldis on esitatav kujul:        x    x  ..…    c 0 ⊕ c 1 1 ⊕ c 2 2 ⊕ . ⊕   x    c n n Näide: 2-muutuja funktsioonide lineaarsus.    x    x 1 2   x    x 1 2    V  x    x 1 2       x 1 ↔ x 2       x 1 ⊕ x 2 00  0  0  1  0  01  0  1  0  1  10  0  1  0  1  11  1  1  1  0    Näitest ilmneb, et konjunktsioon ja disjunktsioon pole lineaarsed, sest nende korral   (00)  f(01) f(10) = (11)   f ⊕   ⊕   ⊕   / f   3. Millist tingimust täitev 2-muutuja loogikafunktsioon on lineaarne?  Kui 2-muutuja loogikafunktisoon on vastav allolevale.   (00)  f(01) f(10) f(11)   f ⊕   ⊕   ⊕   =     DIGITAALSKEEMIDE ELEMENDID  1. Millest koosnevad digitaalseadmed?  ​Digitaalseadmed koosnevad loogikaelementidest, mis  teevad loogikaväärtustega 0 ja 1 lihtsamaid loogikatehteid. EHK iga digitaalseade koosneb  loogikaskeemi(de)st ja töötleb 1-de ja 0-de kogumeid.   2. Millest koosneb loogikaskeem?  ​Loogikaelementide ehk 0 ja 1 omavahelisel kokkuühendamisel  saadakse loogikaskeem.  3. Mida loogikaskeemid ( ja digitaalseadmed ) töötlevad?  ​1-de ja 0-de kogumeid.  


4. Mida teevad loogikaelemendid?  ​Iga digitaalseadme elementaarseteks koostisosadeks on  loogikalemendid, mis teevad loogikaväärtustega 0 ja 1 lihtsamaid loogikatehteid.  5. Milline on lihtsaim loogikaelement?  ​Invertor ehk EI- element. Invertor teostab eitust.    6. Milline loogikaelement realiseerib igat konkreetset loogikatehet?  1) Invertor ehk EI-element (inversioonitehe)    2) JA-element (konjunktsioon e loogiline korrutamine)    3) VÕI-element (disjunktsioon e loogiline liitmine)    4) Summa moodul 2    Summa moodul kahe kaudu saab ka avaldada ekvivalentsi, kui me inverteerime summa moodul  kahe.     7. Mida tähendavad lühendid NAND NOR XOR ? 


● NAND -> JA-EI  ​element teeb oma sisendite konjuktsiooni inversiooni.    ●  NOR -> VÕI-Ei  ​element teeb oma sisendite disjunktsiooni inversiooni.    ● XOR -> Summa moodul 2  ​(Exclusive OR)    8. Milliste loogikatehete jaoks on olemas oma spetsiaalsed loogikaelemendid?  ​Spetsiaalsed  loogikaelemendid inversioon, disjunktsioon ja konjunktsioon, VÕI-EI, JA-EI, Summa moodul 2. 


 Inglise keeles:  ​NOT, AND, OR, NAND, NOR, XOR.    9. Mis on multipleksor? Mitu väljundit on igal multipleksoril?  Multipleksorid on loogikaskeemides kasutavatad kommunikatsioonielemendid. Kuigi  multipleksorid ise ei realiseeri ühtegi loogikatehet, saab neil omavahel sobivalt ühendades ja  juhtides realiseerida nende abil suvalist loogikafunktsiooni. Alati on multipleksoril ainult  ​1 ​väljund.    10. Millist liiki sisendid on multipleksoril?  ​Nagu eelneval joonisel paistab, siis on multipleksoril  andmesisend ja juhtsisend. 


11. Kuidas on omavahel seotud multipleksori juhtsisendite ja andmesisendite arv?  Juhtsisendite arv andmesisendite arv on mõlemad seotud multipleksori arvuga n. Andmesisendite  arv on  ja juhtsisend ongi multipleksorite arv ehk n.   2n   12. Milline on lihtsaim multipleksor? Kui palju sisendeid tal on?  ​Lihtsaim multipleksor on  1-multipleksor, millel on 1 juhtsisend ja 2 andmesisendit.  13. Millise loogikaavaldiste teisendusmeetodiga on multipleksorskeemide koostamine seotud?  Funktsioonide avaldised saab multipleksorskeemina realiseerimiseks sobivale kujule teisendada  Shannoni disjunktiivse arendusega ​.       LOOGIKAFUNKTSIOONIDE SÜSTEEMID  1. Mis on loogikafunktsioonide süsteem?  ​Loogikafunktsioonide süsteem on loogikafunktsioonide  hulk. Süsteemi võivad kuuluda lisaks loogikatehetele ka konstandid 0 ja 1.  2. Mis on iseloomulik mingis konkreetses süsteemis esitatud loogikaavaldisele?  ​Kui  loogikaavaldis kuulub mingisse süsteemi, siis on see avaldis esitatud ainult selles süsteemis  loogikatehteid kasutades. Näiteks Red Mülleri baas on esitatud summa moodul kahe, konjuktsiooni  ja konstant ühega.   3. Milline loogikafunktsioonide süsteem on täielik?  ​Kui temas sisalduvaid funktsioone ehk tehteid  kasutades on võimalik esitada suvalist loogikaavaldist ( ehk suvalist loogikafunktsiooni).  Loogikafunktsioon on täielik kui ta sisaldab:  ● K0- Nulli mitte säilitavat funktsiooni  ● K1 - Ühte mitte säilitavat funktsioonid  ● Kp - mitte Pööratavad funktsioonid  ● Km - mitte monotoonsed funktsioonid  ● Kl - mitte lineaarsed funktsioonid   4. Süsteemi täielikkuse kriteerium  ​põhineb funktsiooni  ​mittekuulumisel ​  5. Milline loogikafunktsioonide süsteem on nõrgalt täielik?  ​Kui funktsiooni sisaldab ühte  mittemonotoonset ja mittelineaarset funktisooni. ​ ​Nõrgalt täielik on funktsioon, kui pärast f(0) või 


f(1) lisamist süsteemile muutub funktsioon täielikuks, ehk kuulub kõikidesse loogikafunktsioonide  klassidesse.  6. Milline on nõrgalt täieliku süsteemi tunnus?  ​Loogikafunktsioon sisaldab ühte  ​mittemonotoonset  ja ühte  ​mittelineaarset​ funtksiooni.   7. Milline loogikafunktsioonide süsteem on baas?  ​Baas on minimaalne täielik  loogikafunktsioonide süsteem.  8. Mitu baasi saab koostada 2-muutuja loogikafunktsioonidest f0 . . . . f15 ?  ​17 baasi  9. Millised loogikatehted moodustavad üksi baasi? Mis on Shefferi baas ? Mis on Peirce'i baas  ? ​Pierce baas ehk VÕI-EI baas ja Shefferi baas ehk JA-EI.   ● Pierce nool -    x   x  x x1 ↓   2 ↔   1 V   2   ● Shefferi kriips   | x   x  x x1 2 ↔   1   2   10. < ?  ​ Teisendades funktsiooni  DNK kujule ja rakendades sellele topeltinversiooni ja DeMorgani seadust, saame me JA-EI baasi.   11. < ?  ​Teisendades funktsiooni  KNK kujule ja rakendades sellele topeltinversiooni ja  DeMorgani seadust, saame me JA-EI baasi.   12. ​ Tuleb panna  topeltinversioon kogu tehtele ja seejärel rakendada DeMorgani seadust.  13. Millistest tehetest koosnevad implikatiivsed baasid?  ​Implikatiivsed baasid koosnevad   ja  {0           }   -->
20. Mille asendamiseks kasutatakse üleminekuseoseid konkreetsesse baasi?  ​Avaldises  olemasolevate tehete asendamine puudu olevate seostega,   21. Püüa leida tunnus, mis võimaldab Reed-Mulleri polünoomi (avaldist) vaadates kohe ütelda,  kas sellise polünoomina esituv loogikafunktsioon on lineaarne?  ​Kui loogikamuutujate arv,  mille väärtus on võrdne ühega on paaritu, siis on tegu lineaarse muutujaga.t        x      x    c 0 ⊕ c 1 1 ⊕ c 2 2    GRAAFID  1. Mis on graaf ? Millest graaf koosneb?  ​Graaf on objektidevaheliste seoste mudel joonisel.  Graafid koosnevad objektidest nt punktidest ehk tippudest ja kaartest, mis ühendavad või seovad  erinevaid tippe omavahel.  2. Mille poolest erinevad orienteeritud graaf ja orienteerimata graaf ?  ​Orienteeritud graafiga  (Joonis 1) on tegu siis kui kaartel on suund ehk suunatud, kuid oritenteerimata graafil (Joonis 2)  see omadus puudub ehk suund puudub.     3. Mis on tühi graaf ? Mis on täielik graaf ( ​ ​täisgraaf​ )? ​Graaf on tühi (Joonis 1), kui tal pole  ühtegi kaart. Graaf on täielik (Joonis 2), kui iga tipp on ühendatud teiste tippudega.   


4. Mis on tipu väljundaste? Mis on tipu sisendaste?  ​Siseendaste on sellesse tippu saabuvate kaarte  arv. Väljundaste on aga vastupidiselt väljuvate kaarte arv. Mõlemaid saab vaadelda ainult  orienteeritud graafi puhul.          Antud graafi tipu c väljundaste on 2 ja sisendaste 1.  5. Mis on orienteerimata graafi tipu aste?  ​Orienteerimata graafi tipu aste on selle tipuga seotud  kaarte arv.  Antud graafi tipu c aste on 2.  6. Mis on paaristipp? Mis on paaritu tipp?  ​Paaristippudeks nimetatakse tippe, millel on  paarisarvulise astmega tipud. Paarituarvulises on siis vastavalt paaritu arv astendajaks.  7. Mitu  ​paaritut tippu ​ saab graafil olla? ​Kuna iga kaare mõlemad otsad on seotud mingi tipuga, siis  jõuame järelduseni, et igal graafil on paarisarv paarituid tippe.   8. Mis on tee? Mis on lihttee? Mis on elementaartee?   1) Tee on orienteeritud graafi kaarte järjestus, kus iga järgmise kaare algustipuks on eelmise  kaare lõpptipp. Tee pikkus pole piiratud ja ja kaared võivad tee koosseisus korduda.   Tipp c on alguspunkt ning tee on tähistatud punasega. 


2) Lihttee on tee, millel puuduvad korduvad kaared, kuid graafi tippe võivad kaared korduvalt  läbida.     3) Elementaartee on tee, mis ei läbi ühtegi graafi tippu üle ühe korra.      9. Milline graaf on sidus? Milline graaf on ühepoolselt sidus?  ​Orienteeritud graaf on sidus  (Joonis 1), kui kui igast tema tipust leidub tee mistahes teise tippu. Orienteeritud graaf on  ühepoolselt sidus (Joonis 2), kui mistahes kahe tipu vahel leidub üks tee teineteiseni.     10. Mis on ahel? Mis on lihtahel? Mis on elementaarahel?  


1) Ahel on orienteerimata graafil sama, mis orienteeritud graafil on tee.   2) Lihtahel on orienteerimata graafil sama, mis orienteeritud graafil on lihttee ehk puuduvad  korduvad kaared, kuid korduvad tipud võivad olla.    3) Elementaarahel on orienteerimata graafil sama, mis orienteeritud graafil on elementaartee  ehk kõiki tippe võib läbida ühekordselt.     11. Mis on suletud tee? Mis on kontuur? Mis on tsükkel?   1) Suletud tee on orienteeritud graafil tee, mis lõppeb iseenda alguspunktis.  Siin joonisel algab ja lõppeb tee tipus a ehk tee on suletud. 


2) Kontuur on suletud elementaartee (tippe võib läbida 1 kord) orienteeritud graafil.   Siin joonisel algab ja lõppeb tee tipus a ja kõiki tippe läbitakse  ühekordselt.  3) Tsükkel on orienteerimata graafi suletud elementaarahel.  Tee algab ja lõppeb tipus a, tippe läbitakse ühekordselt.  12. Mis on Hamiltoni kontuur? Mis on Hamiltoni tsükkel?  ​Hamiltoni kontuur (Joonis 1) läbib kõik  graafi  ​tipud​ täpselt 1 kord ja lõpeb oma algustipus, mis on orienteeritud graafil. Hamiltoni tsükkel  (Joonis 2) on sama mis Hamiltoni kontuur, kuid kehtib orienteerimata graafi puhul.    13. Mis on Euleri kontuur? Mis on Euleri tsükkel?  ​Euleri kontuur (Joonis 1) on suletud lihttee  (puuduvad korduvad kaared) ehk kaartejärjestus, mis läbib täpselt ühe korra kõik orienteeritud  graafi  ​kaared​ ja lõpeb oma algustipus. Euleri tsükkel (Joonis 2) on suletud lihtahel ehk  kaartejärjestus, mis läbib kõik orienteerimata graafi kaared ja lõpeb oma algustipus. NB! Kõik  tipud peavad olema  ​paaristipud​. 


  14. Milline on Euleri graafi tunnus  ​orienteerimata ​ graafi korral? ​Euleri orienteerimata graafil  peab olema igal tipul paarisarvuline kaarte arv.   15. Milline on Euleri graafi tunnus  ​orienteeritud ​ graafi korral? ​Euleri graafis leidub Euleri graaf  siis kui iga tipu sisendaste ja väljundaste on võrdsed.  16. Mis on jääkgraaf? ​ Graafi  Jääkgraaf on: on graaf  , kus  G  (T , K)      =       (T , B)   Q =           B ⊂ K Seega saadakse jääkgraaf osade kaarte ärajätmisega, kusjuures kõik tipud säilivad.     Kui graafil G võtta ära punased kaared, siis saame tema jääkgraafi Q.  17. Mis on taandatud graaf?  ​Graafi G = (T, K), kus T on graafi tipud ja K on graafi kaared,  taandatud graaf on Q = (D, B), kus on ära jäetud osad graafi G tipud ja nende tippudega seotud  kaared.     ja D    B ⊂ K ⊂ T   Kui graafil G ära jätta punased kaared ja tipus, siis saame tema taandatud graafi Q. 


18. Mis on alamgraaf?  ​Graaf on mingi graafi alamgraaf, kui ta on selle graafi mingi taandatud  graafi suhtes jääkgraaf (ehk on sellele graafile samaaegselt nii taandatud kui ka jääkgraaf).  19. Milline graaf on kahealuseline?  ​Graaf on kahealuseline, kui tema kõik tipud jagunevad kaheks  mittelõikuvaks osahulgaks selliselt, et graafi iga kaar seob ühe osahulga mingit tippu teise  . Sama osahulga tippude vahel ühtki kaart pole.   Graaf G2 ostutub kahealuseliseks ,sest vastavad mittelõ ja     20. Milline graaf on tasandiline?  ​Graaf on tasandiline, kui ta on paigutatav tasandile selliselt, et ta  kaared ei lõiku (s. t kaared lõikuvad ainult tippudes)    21. Mis on orienteeritud graafi baas? Kas baas on  ​suurim ​ või ​väikseim​ võimalik hulk?  Orienteeritud graafi baas on minimaalne tippude osahulk  , kus hulga B tippudest leidub   B ⊂ T   tee selle graafi mistahes teise tipuni(ehk graafi iga tipp on baasist saavutatav). Orienteeritud  graafi G = (T, K ) baas B ongi see kogu eelnev jutt. Baas on väikseim võimalik hulk. 


                   22. Mis on graafi sõltumatute tippude hulk? Kas ta on  ​suurim ​ või ​väikseim​ võimalik hulk? ​Graafi  G = (T, K) sõltumatute tippude hulk S on graafi tippude selline osahulk , kus suvalised 2 tippu  hulgas S pole graafil kaarega seotud. Graafi sõltumatute tippude hulga leidmisel on eesmärgiks  leida maksimaalne selline hulk konkreetse graafi jaoks. Graaf võib omada mitmeid erinevaid  sõltumatute tippude hulki.     Graafi G1 maksimaalne sõ  Graafi G2 maksimaalne sõltumatute tippude hulkadeks osutuvad 4 erinevat hulka:          23. Millised graafid on isomorfsed? Mille poolest võivad  ​isomorfsed ​ graafid teineteisest erineda?  Isomorfsete graafide puhul on tegemist samade graafidega, mis erinevad ainult tippude ja kaarte  tähistuste poolest ja nende paigutuse poolest graafide joonisel.  


  24. Mis on pöördgraaf?  ​Orienteerimata graafi G pöördgraaf on samade tippudega orienteerimata  graaf, mis sisaldab kaari nende tippude vahel, kus graafis G pole kaart ja vastupidi: ei oma kaart  nende tippude vahel, kus graafis G on kaar olemas.     25. Mis on multigraaf? ​ Multigraaf on kordsete kaartega graaf.Graaf, mille võib ümber joonistada  selliselt, et kahe tipuvahelised kordsed kaared võib asendada tippudega.    26. Mis on puu? Kuidas on puu  ​tippude ​ ja ​kaarte​ arv omavahel seotud? ​Puu on sidus tsükliteta  orienteerimata graaf. Kui puul on n tippu, siis on tal (n-1 ) kaart.    


27. Mis juhtub puu  ​sidususega ​ kui tema suvaline kaar eemaldada? ​Kui puult üks kaar eemaldada,  siis pole graaf enam sidus ja seega pole enam tegu puuga.  28. Mis juhtub, kui puule lisada 1 kaar juurde?  ​Kui puule lisada üks graaf juurde, siis tekib  tsükkkel ja saadud graaf pole enam puu.   29. Mis on " ​graafi värvimine ​"? ​graafide värvimine, kus graafi tippudele omistatakse erinevad värvid  kui need on omavahel seotud kaartega.   30. Mis on graafi kromaatiline arv?  ​Graafi kromaatiline arv on minimaalne arv, mis näitab mitme  erineva värviga õnnestub graafi tipud värvida selliselt, et naabertipud oleksid erinevat värvi.   31. Millise graafi  ​kromaatiline arv ​ on 1 ? Millise graafi ​kromaatiline arv​ on 2 ? ​Graafi kromaatiline  arv 1 on ainult tühjal graafil. ( Ilma ühegi kaareta). Graafi kromaatiline arv 2 on kahealuselisel  graafil.  32. Kui suur võib maksimaalselt olla  ​tasandilise ​ graafi ​kromaatiline arv​ ?  ​Maksimaalselt saab olla  tasandilise graafi  ​kromaatiline ​arv 4, sest nelja värviga on võimalik eraldada kõik tipud.   33. Mille poolest erinevad graafi naabrusmaatriks ja intsidentsusmaatriks?  ​Kui  intsidentsusmaatriksi tabelis on ridadeks graafi tipud ja veergudele vastavad graafi kaared.  Maatrikselement 1 tähistab suunatud kaare saabumist sellesse tippu,  ning element -1 märgib  sellest tipus väljuvat kaart.   Naabrusmaatriks ehk lähedusmaatriks, kus nii read kui veerud on graafi tipud. Naabrusmaatriksi  element 1 näitab, et sellele reale vastavast tipust on graafis kaar sellele veerule vastavasse tippu.  Maatrikselement 0 näitab kaare puudumist nende tippude vahel.       Palju õnne!   Sa oled jõudnud lõpusirgele. Nüüd on vaja veel asjalikult sammud Marguse eksamile seada ja eksam 
sooritada.  
Edu!