kokkulepitud sümbolite abil. Formaalne esitus peab olema üheselt tõlgendatav. Lausearvutus on loogilise mõtlemise matemaatiline mudel. Lausearvutuse lause võib olla iga verbaalne väide, millele saame omistada tõeväärtuse – tõene või vale. Lihtlause on lihtsaim võimalik lausearvutuslause. Lausearvutuslauseid tähistatakse formaalselt suurtähtedega: A, B, P, Q … Lihtlausetest koostatakse kindlate sidesõnade ja loog konstruktsioonide abil liitlauseid. Lausearvutuse lihtlauseid seotakse liitlauseteks 5 loogilise konstruktsiooni ehk loogikatehte abil. Binaarsed loogikatehted seovad kahte lauset (4 tk), unaarne loogikatehe on rakendatav üksikule lausele (1 tk – eitus). Loogiline korrutamine ehk konjunktsioon ehk JA-tehe. Loogiline liitmine ehk disjunktsioon ehk VÕI- tehe. Ekvivalents on seotud implikatsiooniga ehk 𝑷↔𝑸 on nagu 𝑃→𝑄 ja samal ajal ka 𝑄→𝑃
• Argumentide x hulka X nimetatakse määramispiirkonnaks. • Suuruse y muutumispiirkonda Y nimetatakse muutumispiirkonnaks. Funktsioon on antud, kui on teada: a) F-ni määramispiirkond X b) Eeskiri, mis seab argumendi x igale väärtusele piirkonnas X vastavusse funktsiooni y väärtuse. 3. Ilmutamata ja ilmutatud kujul funktsioon. Näited. Ilmutatud funktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni, kus funktsiooni esitava võrduse vasakul pool on ainult sõltuv muutuja y ja paremal pool muutujast x sõltuv avaldis. Ilmutamata funktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni, mille väärtused leitakse x ja y siduvast võrrandist (üldjuhul f(x; y) = 0). N: ilmutatud f-nid: y = 2x+1, ilmutamata kujul: x2 + y2 = 1 4. Funktsiooni graafik (definitsioon, piltlik esitus). Funktsiooni y = f(x) graafikuks nimetatakse kõigi niisuguste punktide (x, f(x)) hulka, kus x ∈ X. Lühidalt, Funktsiooni graafik = { (X, f(x)) : x ∈ X } 5
ruumala, mis pealt on piiratud funktsiooni z=f(x,y) graafikuga, alt funktsiooni z=g(x,y) graafikuga ja küljelt Definitsioon 2. Öeldakse, et kahe muutuja funktsioonil on punktis P2(x2, y2) lokaalne miinimum, kui sellel ∭∆ 𝑓(𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝜌 𝑠𝑖𝑛𝜑, 𝑧)𝜌 𝑑𝜑 𝑑𝜌𝑑𝑧 .Vaatleme üleminekut sfäärkoordinaatidele, kus teisendus on kujul
12. Kas erinevate pikkustega kahendvektorid võivad olla võrreldavad? Omavahel saab võrrelda ainult võrdsete pikkustega vektoreid. Loogikafunktsioonid ja loogikaavaldised 1. Mis on loogikaalgebra? Loogikaalgebra on Boole’i algebra erijuht, kus alushulgaks on kaheelemendiline hulk {0,1}. 2. Millest loogikaalgebra koosneb? Loogikaalgebra koosneb loogikaväärtuste hulgast {0,1}, millele on defineeritud 3 elementaarset loogikatehet: unaarne tehe inversioon (¯) ja binaarsed tehted konjunktsioon (∧) ja disjunktsioon (∨). 3. Mis on loogikamuutuja? Muutuja x on loogikamuutuja, kui ta saab omandada üksnes väärtusi {0 1} 4. Kuidas nimetatakse numbrimärkidega 0 ja 1 esitatud loogikaväärtusi? Konstant. 5. Mis on loogikaavaldis? Loogikaavaldise definitsioon. Loogikaavaldis on loogikamuutujatest, konstantidest ja tehtemärke sisaldav kooslus, mis muutujate väärtustamisel omandab samuti väärtuse 0 või 1. 6
Diskmatt terminid Lausearvutus Disjunktsioon: liitlause on tõene, kui vähemalt üks osalause on tõene Ekvivalents: liitlause on tõene, kui osalaused on sarnased Implikatsioon: liitlause on tõene, kui esimene muutuja on väär või teine muutuja on tõene Inversioon: eitus Ja-tehe: konjunktsioon Konjunktsioon: liitlause on tõene, kui mõlemad osalaused on tõesed Lause: iga lause, mille puhul saab rääkida tema vastavusest tegelikkusele (millel on tõeväärtus) Olemasolu kvantor: näitab, et predikaat kehtib oma määramispiirkonna vähemalt ühe muutujate puhul Predikaat: lause, mis sisaldab ühte või enamat muutujat Samaselt tõene predikaat: predikaat, mis kehtib kogu määramispiirkonnas
Lausearvutus on loogilise mõtlemise matemaatiline mudel. Lausearvutuse lause on lause, millele saab omistada tõeväärtust(0,1). Tõeväärtuseid on kaks, 0-väär, 1-tõene. Lihtlause on lihtsaim lausearvutuse lause. Lausearvutuse lauseid tähistatakse suutre tähtedega A, B, C. Liitlause koosneb lihtlausetest ning neid siduvatest konstruktisoonidest ja sidesõnadest. Lausearvutuse loogikatehted on inversioon, konjunktsioon, disjunktsioon, implikatsioon, ekvivalents. Binaarsed tehted on need tehted, mida saab teha kahe argumendi korral(konjunktsioon, disjunktsioon, implikatsioon, ekvivalents). Unaarne tehe on tehe, mida saab rakendada üksikule argumendile/operandile(inversioon). Ekvivalents on kahepoolne implikatsioon. Elementaarsed loogikatehted on inversioon, konjunktsioon, disjunktsioon,
Diskreetse Matemaatika alla kuuluvad: Formaalsete esituste ainus otstarve on nendes sisalduv info hiljem jälle verbaalseks (ehk mõnda lingvistilisse keelde) tagasi "üles lugeda" — Hulgad: Hulgaalgebra (Cantori algebra), Hulgaaritmeetika (taastada). — Loogika: Lausearvutus, Predikaatarvutus, Tõestusmeetodid Mistahes formaalne esitus peab olema üheselt tõlgendatav! — Loogikaalgebra (Boole'i algebra) — Loogikafunktsioonid: minimeerimine, normaalkujud . . . — Algebralised struktuurid: "mitteformaalne" ≡ "verbaalne" (sünonüümid) Fundamentaalalgebrad: Võred, Rühmad, Ringid, Korpused
2. Lausearvutuse tehted. Tehete järjekord. Lausearvutuse valem. [1] Tehted o Eitus (märk ¬). Igapäevakeeles väljendab eitus lause mittekehtimist, näiteks „Lehis ei ole okaspuu“. Selle lause võib kirja panna valemiga ¬A, kus A = „Lehis on okaspuu“. o Konjunktsioon (märk &) tähendab seost „ja“. Näiteks „Puhub tuul ja sajab vihma“ on valemkujul A & B. o Disjunktsioon (märk ∨) väljendab seost „või“. Näiteks „Helen laulab või Mart laulab“ on valemkujul A ∨ B. Sidesõna „või“ kasutatakse siin mittevälistavas tähenduses: „Kas A või B või mõlemad“. Igapäevases keeles on käibel ka välistav „või“: „Kas A või B, 1 aga mitte mõlemad“, näiteks „Ma külvan põllule rukist või panen põllule kartulid“.
Vastavus - eksamil tudengi poolt saadud hinne. Millistel tingimustel on osaliselt määratud funktsioon; täielikult määratud funktsioon; sürjektsioon; injektsioon; bijektsioon? BINAARSUHTED Meie poolt vaadeldavad binaarsuhteid võib käsitleda kui vastavuse erijuhtu, kus lähte- ja sihthulk langavad kokku (D()=R()=A). Tähistame järgnevas binaarsuhet tähega R AxA. Binaarsuhet on mugav interpreteerida suhte graafiga - s.o. orienteeritud graaf, kus hulga A elemendid vastavad tippudele ja seosed elementide vahel - kaartele. Suhte võime esitada binaarmaatriksina (naabrusmaatriksina). Näide. Hulga A={a,b,c,d,e} elementideks on arvutikomponendid: a-sisendseade, b- aritmeetika- loogikaseade, c-juhtseade, d-mälu, e-väljundseade. Binaarsuhe R seob kahte elementi, kui esimene seade annab teisele infot arvuti töö käigus. a b c d e a 1 1 1 1 0
Millistel tingimustel on osaliselt määratud funktsioon; täielikult määratud funktsioon; sürjektsioon; injektsioon; bijektsioon? BINAARSUHTED 4 Meie poolt vaadeldavad binaarsuhteid võib käsitleda kui vastavuse erijuhtu, kus lähte- ja sihthulk langavad kokku (D()=R()=A). Tähistame järgnevas binaarsuhet tähega R AxA. Binaarsuhet on mugav interpreteerida suhte graafiga - s.o. orienteeritud graaf, kus hulga A elemendid vastavad tippudele ja seosed elementide vahel - kaartele. Suhte võime esitada binaarmaatriksina (naabrusmaatriksina). Näide. Hulga A={a,b,c,d,e} elementideks on arvutikomponendid: a-sisendseade, b- aritmeetika- loogikaseade, c-juhtseade, d-mälu, e-väljundseade. Binaarsuhe R seob kahte elementi, kui esimene seade annab teisele infot arvuti töö käigus. a b c d e a 1 1 1 1 0
Vali üks: hüüumärk muudab kvantori tähenduse vastupidiseks hüüumärk täpsustab, et "leidub täpselt 1" hüüumärk rõhutab kvantori suurt tähtsust Küsimus 3 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Kui loogikaavaldises pole sulgudega määratud tehete järjekorda, siis KONJUNKTSIOONi, DISJUNKTSIOONi ja INVERSIOONi leidumisel avaldises . . . Vastus 1 kõige esimesena tehakse loogikaavaldises INVERSIOON Vastus 2 ...selle järel järgmisena tehakse KONJUNKTSIOON Vastus 3 ...ja viimasena tehakse DISJUNKTSIOON Küsimus 4 Õige Hinne 1,00 / 1,00 Loogikatehetel on olemas võõrsõnalised nimetused. Vastus 1
vaid 1 kindel element). Lõpmatut hulka nimetatakse loenduvaks, kui see on võrdvõimas naturaalarvude hulgaga. |H| on hulga võimsus ehk lõpliku hulga korral elementide arv hulgas. Lõpmatu hulga võimsus leitakse, seades tema elemendid bijektiivsesse vastavusse (üks- ühesesse) mõne tuntud võimsusega hulga (näiteks naturaalarvude hulga) elementidega. 4. Graafid. Puude esitused. Programmide esitamine puuna Mittejärjestatud ja mitteorienteeritud graaf on paar G = (A,R), kus A on tippude hulk ja kaarte hulk R on seos hulgal A. Graafi saab esitada paaride hulgana (A + R analüütiliselt, või predikaadina) või joonisena. Graafide võrdsus: Graafid G1 = (A1, R1) ja G1 = (A2, R2) on võrdsed ehk isomorfsed, kui leidub selline bijektiivne kujutus f: A1 A2 nii, et aR1b = f(a)R2f(b) Kui igale tipule a G1-st leidub tipp b G2-st, millele saab vastavusse seada samade tippude kaared ja kõik G2 tipud saavad ka kaetud.
Loogilist liitmist nimetatakse ka disjunktsiooniks. Loogiline eitus (EI). EI-funktsioonil on argumendi vastandväärtus. Kui argument on 1, siis funktsioon võrdub 0 ning vastupidi. EI-tehet tähistatakse kriipsuga sümboli peal, näiteks argumendi x eitus on x . Loogilist eitust nimetatakse ka inversiooniks. Loetletud kolm loogikatehet moodustavad loogiliselt täieliku süsteemi, mida rakendades saab realiseerida mis tahes loogikafunktsiooni. Kõiki kolme loogika põhifunktsiooni on loogikaalgbra reeglite alusel võimalik realiseerida ainult üht tüüpi loogikaelementide kas NING-EI või VÕI-EI abil. Järelikult võib NING-EI- ja VÕI-EI-elemente ning tehteid nendega nimetada universaalseteks loogikaelementideks ja -teheteks. Lisaks põhifunktsioonidele leiavad kasutamist mitmed loogika tüüpfunktsioonid, nagu alternatiiv, ekvivalentsus, implikatsioon jt. Niisuguste funktsioonide ja elementide olemasolu lihtsustab loogikalülituste sünteesi
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
