nende vahel s arvu. Läheme permutatsioonilt 1 ... +1 ... -1 ... (2.2) s üle permutatsioonile 1 ... +1 ... -1 ... (2.3) s samm-sammult, hakates vahetama kõrvuti olevaid arve. Vahetame permu- tatsioonis (2.2) arvu i temale järgnevate arvudega, viies ta arvu k järele. Selle protseduuri käigus toimub s + 1 kõrvuti oleva arvupaari vahetust. Nüüd toome arvu k arvu i esialgsele kohale, vahetades s korda kõrvuti olevaid arve. Seega saime permutatsioonist (2.2) permutatsiooni (2.3), va- hetades kokkuvõttes (s + 1) + s = 2s + 1 korda kõrvuti olevaid arvupaare. Iga selline arvupaari vahetus, nagu teame, muutis permutatsiooni paarsust. Kuna 2s + 1 on paaritu arv, siis permutatsioonid (2.2) ja (2.3) on erineva paarsusega. Võtame nüüd kaks permutatsiooni 12.....n, 1 2 ... Neist esimene on nn. loomulik permutatsioon
vektori all vabavektoreid kui pole öeldud teisiti. Samasihilisteks ehk kollineaarseteks ehk paralleelseteks nimetatakse vektoreid, mis asetsevad ühel ja samal sirgel või paralleelsetel sirgetel. Vektorid on võrdsed, siis kui nad on võrdsete pikkustega, kollineaarsed ja samasuunalised. Vastandvektorid on vektorid, mis on võrdse pikkusega, samasihilised kuid vastassuunalised. Vektorit tasandil saab esitada arvupaari abil, milles olevaid arve nimetatakse koordinaatideks. Esimene koordinaat näitab, kuidas tuleb liikuda x-telje sihis, et jõuda vektori alguspunktist lõpp-punkti. Teine koordinaat näitab, kuidas tuleb liikuda y-telje sihis, et jõuda vektori alguspunktist lõpp-punkti. Vektoreid saab liita algebraliselt ja geomeetriliselt. Kahe vektori liitmisel algebraliselt tuleb vektorite vastavad koordinaadid liita, tulemuseks saadakse vektor. a + b ( ax + bx ; ay + by )
kompleksarvude jagatise leidmiseks. Kompleksarvude z1 C ja z2 C jagatis z1/z2 leitakse avaldisest
z1/z2= = z1z2/ z2 z2 ehk üldjuhul on jagatise valemix a1 + ib1/ a2 + ib2 = a1a2 + b1b2 /a22 + b22+
i(b1a2 - a1b2 / a22 + b22). Trigonom. Kompleksarvu argumendi jaoks kehtivad võrdused cosfi = a/r;
sinfi = b/r; ehk a = rcos fi, b = rsinfi, millest z = r(cosfi + isinfi):Saadud avaldist nim kompleksarvu
trigonomeetrilisex kujux . Igale nullist erinevale kompl'le saab vastavusse seada ühe arvupaari (r;fi).
Kompl 0 jaoks argumenti ei defineerita. Punkti z asukoht komplekstasandil ei muutu, kui argumendile
liita 2kPi, kus k on mingi täisarv. Seetõttu lepitakse kokku, et vaadeldakse ainult argumente vahemikus
-Pi
teineteise vastandarvud; võrrandite liikmed koonduvad) vastavate poolte liitmisel saada ühe -2x=2|:(-2) tundmatuga võrrand ja see lahendada; x=-1 saadud ühe tundmatu väärtus asendada I võrrandist leian väärtuse teisele süsteemi lihtsamasse võrrandisse, saada tundmatule võrrandi teise tundmatu väärtuse -4 (-1)+5y=-1 leidmiseks; kontrollida, kas saadud 5y=-1-4 arvupaari korral on võrrandite vasakud 5y=-5|:5 pooled võrdsed paremate pooltega; y=-1 kirjutada välja lahend Kontroll. Lahend on x=-1 y=-1 V1=-4 (-1)+5 (-1)=4-5=-1 P1=-1 V1=P1 NB pole oluline, kumb tundmatu esmalt V2=2 (-1)-5 (-1)=-2+5=3 P2=3 V2=P2 kõrvaldada (teha nii, et on lihtsam); kui Vastus. Lahend on x=-1 y=-1 antud süsteemis pole kohe vajalikke vastandarve, siis tuleb võrrand(id) ise
Näiteks y = x2 - x. Funktsiooni y = f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi, st võrrand F(x, y) = 0 kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis. Nt. x2 - sin y + y = 0. Parameetriliselt antud joon. Olgu lõigul [T1, T2] antud kaks funktsiooni x = (t) ja y = (t). Kirjutame need funktsioonid üles süsteemina x = (t) y = (t) , t [T1, T2] See süsteem määrab iga t [T1, T2] korral ühe kindla arvupaari ehk tasandi punkti ristkoordinaatidega (x, y) = ((t), (t)). Üldiselt vastavad muutuja t erinevatele väärtustele ka erinevad tasandi punktid. Kui muutuja t jookseb läbi kogu lõigu [T1, T2], siis t-le vastav punkt kujundab tasandil teatud joone. Neid võrrandeid nimetatakse selle joone parameetrilisteks võrranditeks ja muutujat t selle joone parameetriks. 8. Muutuvat suurust nim lõpmatult väikeseks e lõpmatult kahanevaks, kui lim=0.
komplanaarsed ehk kui nad asetsevad kas ühel tasandil või paralleelsetel tasanditel 3 Arvutamise valem koordinaatides Kolmele vektoritele ehitatud rööptahukas Maatriks Maatriksiks nimetatakse ümarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on eristatavad read ja veerud. Maatriksit, milles on m rida ja n veergu, nimetatakse täpsemalt (m, n)-maatriksiks. Maatriksi mõõtmed Arvupaari (m, n) nimetatakse selle maatriksi mõõtmeteks. Maatriksi järk Ruutmaatriksit mõõtmetega (n, n) nimetatakse ka n-järku maatriksiks. Kui on ruutmaatiks, siis näitab mitu rida ja veergu maatriksil on. Näiteks kolmandat järku ruutmaatriksil on 3 rida ja 3 veergu. Maatriksi elemendid Reaalarve, milledest maatriks koosneb, nimetatakse maatriksi elementideks. Maatriksite elemente tähistatakse vastavate väikeste ladina tähtedega, mis võivad olla varustatud ka indeksitega: a, b, c..
6) Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetriliselt antud joone mõiste. Funktsiooni = ! ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on ja paremal pool avaldis, mis võib sisaldada muutujat , kuid mitte muutujat . Funktsiooni = ! ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab ja läbisegi, st võrrand & , = 0 kus & on mingi ja sisaldav avaldis. =O 4 N , 4 Q) , Q* =P 4 Süsteem määrab iga 4 Q) , Q* korral ühe kindla arvupaari ehk tasandi punkti ristkoordinaatidega , = O 4 , P 4 . Kui muutuja 4 jookseb läbi kogu lõigu Q) , Q* , siis 4-le vastav punkt kujundab tasandile teatud joone. Süsteemi võrrandeid nimetatakse selle joone parameetrilisteks võrranditeks ja muutujat 4 selle joone parameetriks. 7) Järjestatud muutuva suuruse mõiste. Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Muutuva suuruse ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid. Koonduvad ja hajuvad jadad.
paremal pool avaldus, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Ilmutamata funktsioon Funktsiooni y=f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi, st võrrand F(x,y)=0, kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis. Parameetriliselt antud joone mõiste Olgu lõigul [T1, T2] antud kaks funktsiooni x = (t) ja y = (t). Kirjutame need funktsioonid üles süsteemina { x = (t) y = (t) , t [T1, T2] . Süsteem määrab iga t [T1, T2] korral ühe kindla arvupaari ehk tasandi punkti ristkoordinaatidega (x, y) = ((t), (t)). Üldiselt vastavad muutuja t erinevatele väärtustele ka erinevad tasandi punktid. Kui muutuja t jookseb läbi kogu lõigu [T1, T2], siis t-le vastav punkt kujundab tasandil teatud joone. Võrrandeid nimetatakse selle joone parameetrilisteks võrranditeks ja muutujat t selle joone parameetriks. Järjestatud muutuva suuruse mõiste - Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on järjestatud,
¨ 1.1. Uldm~ oisted Olgu R reaalarvude hulk. K~oike, mida saab teha reaalarvudega, eel- dame lugejale teadaolevaks. Definitsioon 1.1. Tabelit reaalarvudest, milles on eristatavad read ja veerud ning on paigutatud u ¨marsulgudesse, nimetatakse maatriksiks. Definitsioon 1.2. Maatriksit, millel on m rida ja n veergu, nime- tatakse t¨apsemalt (m, n)-maatriksiks. Arvupaari (m, n) nimetatakse selle maatriksi m~ o~ otmeteks. Definitsioon 1.3. Maatriksit, millel on ridade ja veergude arv v~ordne, s.o. m=n, nimetatakse ruutmaatriksiks. Maatriksit, millel ridade ja veer- gude arv on erinev, s.o. m = n, nimetatakse ristk¨ ulikmaatriksiks. Ruut- maatriksit m~ o~ otmetega (n, n) nimetatakse ka n-j¨ arku maatriksiks. Definitsioon 1.4
¨ 1.1. Uldm˜ oisted Olgu R reaalarvude hulk. K˜oike, mida saab teha reaalarvudega, eel- dame lugejale teadaolevaks. Definitsioon 1.1. Tabelit reaalarvudest, milles on eristatavad read ja veerud ning on paigutatud u ¨marsulgudesse, nimetatakse maatriksiks. Definitsioon 1.2. Maatriksit, millel on m rida ja n veergu, nime- tatakse t¨apsemalt (m, n)-maatriksiks. Arvupaari (m, n) nimetatakse selle maatriksi m˜ o˜ otmeteks. Definitsioon 1.3. Maatriksit, millel on ridade ja veergude arv v˜ordne, s.o. m=n, nimetatakse ruutmaatriksiks. Maatriksit, millel ridade ja veer- gude arv on erinev, s.o. m = n, nimetatakse ristk¨ ulikmaatriksiks. Ruut- maatriksit m˜ o˜ otmetega (n, n) nimetatakse ka n-j¨ arku maatriksiks. Definitsioon 1.4
Kompleksarvude z1 C ja z2 C jagatis z1/z2 leitakse avaldisest z1/z2= = z1z2/ z2 z2 ehk üldjuhul
on jagatise valemix a1 + ib1/ a2 + ib2 = a1a2 + b1b2 /a22 + b22+ i(b1a2 - a1b2 / a22 + b22).
Trigonom. Kompleksarvu argumendi jaoks kehtivad võrdused cosfi = a/r; sinfi = b/r; ehk a = rcos fi, b
= rsinfi, millest z = r(cosfi + isinfi):Saadud avaldist nim kompleksarvu trigonomeetrilisex kujux . Igale
nullist erinevale kompl'le saab vastavusse seada ühe arvupaari (r;fi). Kompl 0 jaoks argumenti ei
defineerita. Punkti z asukoht komplekstasandil ei muutu, kui argumendile liita 2kPi, kus k on mingi
täisarv. Seetõttu lepitakse kokku, et vaadeldakse ainult argumente vahemikus -Pi
xu',xv',yu',yv' terves piirkonnas D siis kehtib valem (x,y)dxdy= [x(u,v), y(u,v)] || J(u,v)dudv D D 9. Polaarkoordinaadid ja nende seos ristkoordinaatidega. Kahekordse integraali teisendamine polaarkoordinaatidesse. Olgu A=(a;b) fikseeritud punkt xy-tasandil. Punkti P=(x;y) polaarkoordinaatideks punkti A suhtes nim arvupaari ja , kus on P ja A vaheline kaugus ja on nurk, mis tekib liikumisel x-telje suunaliselt vektorilt vektorile AP vastupäeva. polaarkaugus ja -polaarnurk. Ristkoordinaadid avalduvad polaarkoordinaatide kaudu järgmiste seostega: x=a + cos , y=b + sin Kahekordse integraali teisendamine polaarkoordinaatidesse: Vaatleme ristkoordinaatides x ja y antud kahekordse integraali D (x,y)dxdy teisendamist polaarkoordinaatidesse ja . Olgu
avaldisega võrrandis , siis muutub see võrrand samasuseks F(x, f(x)) 0 Ilmutamata kujul antud funktsiooni ilmutamiseks tuleb lahendada võrrand muutuja y suhtes. Kui sellel võrrandil on mitu lahendit, siis defineerib ta mitu funktsiooni. Parameetriliselt antud joon. Olgu lõigul [T1, T2] antud kaks funktsiooni x = (t) ja y = (t). Kirjutame need funktsioonid Üles sÜsteemina x = (t) y = (t) , t [T1, T2] See süsteem maarab iga t [T1, T2] korral ühe kindla arvupaari ehk tasandi punkti ristkoordinaatidega (x, y) = ((t), (t)). Üldiselt vastavad muutuja t erinevatele väärtustele ka erinevad tasandi punktid. Kui muutuja t jookseb läbi kogu lõigu [T1, T2], siis t-le vastav punkt kujundab tasandil teatud joone. Neid võrrandeid nimetatakse selle joone parameetrilisteks võrranditeks ja muutujat t selle joone parameetriks. 7. Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on järjestatud, kui tema väärtustest on
f ( x, y )dxdy = f ( x(u, v), y(u, v)) J (u, v) dudv D D' xu xv , kus J (u , v ) = on funktsionaaldeterminant yu yv ehk jakobiaan 9. Polaarkoordinaadid ja nende seos ristkoordinaatidega. Kahekordse integraali teisendamine polaarkoordinaatidesse Olgu punkt A(a,b) fikseeritud punkt tasandil. Punkti P(x,y) polaarkoordinaatideks punkti A suhtes nimetatakse arvupaari ja , kus =|PA|=(x-a)2+(y-b)2 ja on nurk, mis tekib liikumisel x-telje suunaliselt vektorilt vektorile AP vastupäeva. Kokkuleppeliselt ]-,] x=cos+a x'=cos x'=-sin y=sin+b y'=sin y'=cos cos - sin J ( ,) = = cos 2 + sin 2 = sin cos Seega f ( x, y )dxdy = f ( cos + a, sin + b) dd D D' 10
z1 z2 z3 29.Kolmele vektoritele ehitatud rööptahukas - Vektorite a,b,c segakottutise absoluutväärtus võrdub nende vektoritele ehitatud rööptahuka ruumalaga |abc|=V rt ( a ,b , c ) 30.Maatriks- Maatriksiks nimetatakse ümarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on eristatavad read ja veerud. 31.maatriksi mõõtmed-Maatriksit milles on m rida ja n veergu nimetatakse (m,n)-maatriksiks. Arvupaari (m,n) nimetatakse selle maatriksi mõõtmeteks 32.maatriksi järk- naturaalarvude paari m × n, kus m ja n on vastavalt maatriksi ridade ja veergude arvud. n rea ja veeruga ruutmaatriksi järguks loetakse lihtsalt arvu n. 33.maatriksi elemendid- Reaalarvud millest maatriks koosneb 34.maatriksi ja maatriksite hulga tähistused- Maatrikseid tähistatakse tavaliselt suurte ladina tähtedega (A,B,...,X,Y,Z). Maatriksi elemente
y = (t) b. <=> y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx Radiaanides antud Süsteem määrab iga t[T, T] korral ühe kindla arvupaari ehk tasandi punkti ristkoordinaatidega (x,y)=( (t), (t)). Muutuja t 1
Funktsiooni y = f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Funktsiooni y = f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi Parameetriliselt antud joone mõiste. Olgu lõigul [T1,T2] antud kaks funktsiooni x = (t) ja y = (t). Kirjutame need funktsioonid üles süsteemina x = (t) y = (t), t [T1,T2]. Süsteem määrab iga t [T1,T2] korral ühe kindla arvupaari ehk tasandi punkti ristkoordinaatidega (x,y) = ((t),(t)). Üldiselt vastavad muutuja t erinevatele väärtustele ka erinevad tasandi punktid. Kui muutuja t jookseb läbi kogu lõigu [T1,T2], siis t-le vastav punkt kujundab tasandil teatud joone. Võrrandeid nimetatakse selle joone parameetrilisteks võrranditeks ja muutujat t selle joone parameetriks. Parameetrilisel kujul antud funktsioon. Toome lisaks muutujatele x ja y sisse ka kolmanda muutuja t (nn parameetri). Olgu muutuja x
KORDAMISKÜSIMUSED 2015/2016 Kõrgem matemaatika MTMM. 00.145 (6EAP) 1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n-veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega. Kui aij on reaalarvud ning i = 1; 2;...;m ja j = 1; 2;...; n, siis tabelit: nimetatakse täpsemalt (m x n)-maatriksiks ja kasutatakse tähistusi Am x n või Amn. Arvupaari (m; n) nimetatakse maatriksi A mõõtmeteks. Tabelis paiknevaid arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. i reaindeks; j veeruindeks. reamaatriks (1 x n); veerumaatriks (m x 1); ruutmaatriks m = n Tähistused: maatriksi järk naturaalarvude paar m x n (ridade ja veergude arv). ruutmaatriksi korral järk n (n = ridade arv = veergude arv). maatriksi liigid: nullmaatriks kõik elemendid 0. tähistus teeta
2. Kompleksarvu trigonomeetriline kuju -2 3 + 4i = 5[cos (53°7' + n·360°) + i sin (53°7' + n·360°)], kus n on suvaline täisarv. Olgu antud kompleksarv z oma algebralisel kujul: z = a + bi. See kompleksarv määrab tasandil järjestatud arvupaari (a; b). Näide 3. Esitame trigonomeetrilisel kujul arvu -4 + 4i. y Leiame mooduli r, saame y 2 2
muutujat y. Näiteks y = x2 - x. Funktsiooni y = f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi, st võrrand F(x, y) = 0 , (1.4) kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis. Näiteks x2 - sin y + y = 0. Parameetriliselt antud joone mõiste: Olgu lõigul [T1, T2] antud kaks funktsiooni x = (t) ja y = (t). Kirjutame need funktsioonid üles süsteemina Süsteem määrab iga t [T1, T2] korral ühe kindla arvupaari ehk tasandi punkti ristkoordinaatidega (x, y) = ((t), (t)). Üldiselt vastavad muutuja t erinevatele väärtustele ka erinevad tasandi punktid. Kui muutuja t jookseb läbi kogu lõigu [T1, T2], siis t-le vastav punkt kujundab tasandil teatud joone. Võrrandeid nimetatakse selle joone parameetrilisteks võrranditeks ja muutujat t selle joone parameetriks. . Järelikult on vaadeldava joone võrrand x ja y kaudu esitatuna järgmine: Seda joont nimetatakse ellipsiks
muutub võrrand samasuseks. F(x, f(x))=0. Ilmutatamta kujul antud funktsiooni ilmutamiseks tuleb lahendada võrrand muutuja y suhtes. Kui võrrandil on mitu lahendit, siis defineerib ta mitu funktsiooni. b. Parameetriliselt antud joone mõiste Olgu lõigul [T, T] antud kaks funktsiooni x=(t) ja y=(t). Süsteem määrab iga t[T, T] korral ühe kindla arvupaari ehk tasandi punkti ristkoordinaatidega (x,y)=(). Muutuja t erinevatele väärustele vastavad erinevad tasandi punktid. Kui t jookseb läbi koju lõigu [T, T], siis t-le vastav punkt kujutab tasandil teatud joone. võrrandeid nimetatakse selle joone parameetrilisteks võrranditeks ja muutujat t selle joone parameetriks. c. Parameetrilisel kujul antud funktsioon Vaatleme funktsiooni y=f(x). Toome lisaks muutujale x ja y sisse ka kolmanda
6. · Ilmutatud funktsioon Funktsiooni ilmutatud kujuks on võrrad mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis võib sisaldada muutujat x ,kuid mitte y. · Ilmutamata funktsioon Funktsiooni ilmutamata kujuks on võrrad, mis sisaldab x ja y läbisegi · Parameetrilisel kujul antud joon Olgu antud lõigul kaks funktsiooni ja . Kirjutame nad üles süsteemina: Süsteem saab iga korral ühe kindla arvupaari, ehk tasandil punkti ristkordinaatidega . Üldiselt vastavad muutujale t ka erinevad tasandi punktid, kui muutuja t jookseb läbi kogu lõigu, siis t-le vastav punkt kujundab tasandile vastava joone. Muutujat t nimetame joone parameetriks. · Parameetrilisel kujul antud funktsioon Vaateleme funktsiooni ja lisaks muutujale x ja y toome ka sisse kolmanda muutuja t (parameetri). Olgu muutuja x parameetri t funktsioon
kuid mitte muutujad y. Funktsiooni y = f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi. St võrrand F(x,y) = 0, kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis. Ilmutamata kujul võrrandi avaldamiseks on vaja lahendada võrrand muutuja y suhtes. Parameetriliselt antud joone mõiste Olgu lõigul [T1,T2] antud kaks funktsiooni x=(t) ja y=(t), kirjutame nad üles süsteemina. Süsteem määrab iga t [T 1,T2] korral ühe kindla arvupaari ehk tasandi punkti ristkoordinaatidega (x,y) = ((t),(t)). Üldiselt vastavad muutuja t väärtused erinevatele väärtustele ka erinevad tasandi punktid. Kui muutuja t jookseb läbi kogu lõigu [T1,T2], siis t-le vastav punkt kujundab tasandil teatud joone. Neid võrrandeid nimetatakse selle joone parameetrilisteks võrranditeks ja muutujat t selle joone parameetriks. Parameetrilisel kujul antud funktsioon Vaatleme funktsiooni y = f(x), võtame lisaks
Seega määrab võrrand (1.5) ilmutamata kujul kaks erinevat funktsiooni. Asendades kas y = - või y= võrrandisse (1.5), saame võrduse + = 1, mis peale lihtsustamist muutub samasuseks 0 0. Parameetriliselt antud joone mõiste. Olgu lõigul [T1, T2] antud kaks funktsiooni x = (t) ja y = (t). Kirjutame need funktsioonid üles süsteemina: , t [T1, T2] . Süsteem (1.6) määrab iga t [T1, T2] korral ühe kindla arvupaari ehk tasandi punkti ristkoordinaatidega (x, y) = ((t), (t)). Üldiselt vastavad muutuja t erinevatele väärtustele ka erinevad tasandi punktid. Kui muutuja t jookseb läbi kogu lõigu [T1, T2], siis t-le vastav punkt kujundab tasandil teatud joone. Võrrandeid (1.6) nimetatakse selle joone parameetrilisteks võrranditeks ja muutujat t selle joone parameetriks. Parameetrilisel kujul antud funktsioon. Vaatleme funktsiooni y = f(x).
yu yv on funktsionaaldeterminant ehk jakobiaan Polaarkoordinaadid ja nende seos ristkoordinaatidega. Kahekordse integraali teisendamine polaarkoordinaatidesse Olgu punkt A(a,b) fikseeritud punkt tasandil. Punkti P(x,y) polaarkoordinaatideks punkti A suhtes nimetatakse arvupaari ja , kus =|PA|=(x-a)2+(y-b)2 ja on nurk, mis tekib liikumisel x-telje suunaliselt vektorilt vektorile AP vastupäeva. Kokkuleppeliselt ]-,] x=cos+a x'=cos x'=-sin y=sin+b y'=sin y'=cos cos - sin J ( ,) = = cos 2 + sin 2 = Seega sin cos f ( x, y )dxdy = f ( cos + a, sin + b) dd D D' 20
Seega määrab võrrand (1.5) ilmutamata kujul kaks erinevat funktsiooni. Asendades kas y = − või y= võrrandisse (1.5), saame võrduse + = 1, mis peale lihtsustamist muutub samasuseks 0 ≡ 0. Parameetriliselt antud joone mõiste. Olgu lõigul [T1, T2] antud kaks funktsiooni x = φ(t) ja y = ψ(t). Kirjutame need funktsioonid üles süsteemina: , t ∈ [T1, T2] . Süsteem (1.6) määrab iga t ∈ [T1, T2] korral ühe kindla arvupaari ehk tasandi punkti ristkoordinaatidega (x, y) = (φ(t), ψ(t)). Üldiselt vastavad muutuja t erinevatele väärtustele ka erinevad tasandi punktid. Kui muutuja t jookseb läbi kogu lõigu [T1, T2], siis t-le vastav punkt kujundab tasandil teatud joone. Võrrandeid (1.6) nimetatakse selle joone parameetrilisteks võrranditeks ja muutujat t selle joone parameetriks. Parameetrilisel kujul antud funktsioon. Vaatleme funktsiooni y = f(x).
MAATRIKS: Maatriks nimetatakse ümarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on eristatavad read ja veerud. Maatriksi mõõtmed Maatriksit, milles on m rida ja n veergu nimetatakse täpsemalt (m,n)- maatriksiks ning arvupaari (m,n) selle maatriksi mõõtmeteks. Maatriksi järk Omadus, mis esineb ainult ruutmaatriksil: Näiteks Mat(n,n) nim. n-järku maatriksiks. Maatriksi elemendid nimetatakse reaalarve, milledest maatriks koosneb. Maatriksi ja maatriksite hulga tähistused Maatrikseid tähistatakse tavaliselt suurte ladina tähtedega: A, B,....X, Y, Z. Maatriksite elemente tähistatakse vastavate väikeste ladina tähtedega, mis võivad olla varustatud ka indeksitega: a, b, c, jne. Kõigi (kõikvõimalike
selleks valida võimalikult lihtsa joone. See joon ei pea läbima kõiki katsepunkte, vaid ainult katsepunkte ümbritsevaid mõõtemääramatuse piirkondi. Näeme, et meie katses saab graafikuks võtta sirgjoone. • Sirget on võimalik väljendada matemaatilise võrrandi abil. Võrrandi tuletamiseks valime joonestatud sirgel välja ühe punkti ning leiame graafikult sellele punktile vastava massi ja pikenemise. Valime näiteks väärtused m=110g ja Δl=11,1cm. Selle arvupaari põhjal leiame, kui palju venib kumminöör ühikulise massiga koormise mõjul. Jagame valitud pikenemise vastava massiga. • Kui me soovime ennustada, kui palju venib kumminöör näiteks 50-grammise koormise korral, siis tuleb mass saadud arvuga läbi korrutada. Me saame Δl=50g×0,10 cm/g=5,0cm • Füüsikaline mudel on alati lihtsustus. • Mudel kirjeldab loodust kindlates fikseeritud tingimustes. Nende puudumisel ei tarvitse selline mudel enam kehtida
pool on y ja paremal pool avaldis, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Funktsiooni y = f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi. Parameetriliselt antud joon. Olgu lõigul [T1, T2] antud kaks funktsiooni x = (t) ja y = (t). Kirjutame need funktsioonid üles süsteemina { x = (t) y = (t) , t [T1, T2] . Süsteem määrab iga t [T1, T2] korral ühe kindla arvupaari ehk tasandi punkti ristkoordinaatidega (x, y) = ((t), (t)). Üldiselt vastavad muutuja t erinevatele väärtustele ka erinevad tasandi punktid. Kui muutuja t jookseb läbi kogu lõigu [T1, T2], siis t-le vastav punkt kujundab tasandil teatud joone. Võrrandeid nimetatakse selle joone parameetrilisteks võrranditeks ja muutujat t selle joone parameetriks. Parameetrilisel kujul antud funktsioon. Vaatleme funktsiooni y = f(x). Toome lisaks muutujatele x ja y
3. täidetakse protseduuri tegevustik, mille tulemusena a ja b väärtused vahetavad omavahel koha ning kuna X ja Y on nende parameetritega seostatud, siis vahetavad ka X ja Y oma väärtused; 4. pärast protseduuri lõppu antakse programmi täitmise järg tagasi protseduuri väljakutsunud programmiosale, täpsemalt protseduuri väljakutsele järgnevale käsule. Kui selleks käsuks on näiteks Writeln( X:4, Y:4 ); siis väljundina ekraanil näeksime järgmist arvupaari: 20 10 GLOBAALSED JA LOKAALSED MUUTUJAD Alamprogrammide kasutamisega kaasneb teisigi olulisi mõisteid. Nendeks uuteks mõisteteks on MUUTUJATE TEGEVUSPIIRKOND, GLOBAALNE ja LOKAALNE MUUTUJA. Muutuja tegevuspiirkonna määratleb ära tema deklareerimise koht. Tavaliselt on nii, et globaalsed muutujad deklareeritakse väljaspool kõiki programmi käsuridasid sisaldavaid osi, enne alamprogramme ja põhiprogrammi. Lokaalsed muutujad deklareeritakse alamprogrammi alguses.
3. täidetakse protseduuri tegevustik, mille tulemusena a ja b väärtused vahetavad omavahel koha ning kuna X ja Y on nende parameetritega seostatud, siis vahetavad ka X ja Y oma väärtused; 4. pärast protseduuri lõppu antakse programmi täitmise järg tagasi protseduuri väljakutsunud programmiosale, täpsemalt protseduuri väljakutsele järgnevale käsule. Kui selleks käsuks on näiteks Writeln( X:4, Y:4 ); siis väljundina ekraanil näeksime järgmist arvupaari: 20 10 Globaalsed ja lokaalsed muutujad Alamprogrammide kasutamisega kaasneb teisigi olulisi mõisteid. Nendeks uuteks mõisteteks on MUUTUJATE TEGEVUSPIIRKOND, GLOBAALNE ja LOKAALNE MUUTUJA. Muutuja tegevuspiirkonna määratleb ära tema deklareerimise koht. Tavaliselt on nii, et globaalsed muutujad deklareeritakse väljaspool kõiki programmi käsuridasid sisaldavaid osi, enne alamprogramme ja põhiprogrammi. Lokaalsed muutujad deklareeritakse alamprogrammi alguses.
Olgu l~oigul [T1 , T2 ] antud kaks funktsiooni x = (t) ja y = (t). Kirjutame need funktsioonid u ¨les s¨ usteemina { x = (t) (1.6) y = (t) , t [T1 , T2 ] . S¨usteem (1.6) m¨a¨ arab iga t [T1 , T2 ] korral u¨he kindla arvupaari ehk tasandi punkti ristkoordinaatidega (x, y) = ((t), (t)). Uldiselt¨ vastavad muutuja t erinevatele v¨a¨artustele ka erinevad tasandi punktid. Kui muutuja t jookseb l¨ abi kogu l~oigu [T1 , T2 ], siis t-le vastav punkt kujundab tasandil teatud joone. V~orrandeid (1.6) nimetatakse selle joone parameetrilisteks v~ orranditeks ja muu- tujat t selle joone parameetriks. N¨ aide. Vaatleme joont { x = a cos t
0 0. Parameetriliselt antud joon. Olgu l~oigul [T1 , T2 ] antud kaks funktsiooni x = (t) ja y = (t). Kirjutame need funktsioonid u ¨les s¨ usteemina x = (t) (1.6) y = (t) , t [T1 , T2 ] . S¨ usteem (1.6) m¨a¨arab iga t [T1 , T2 ] korral u ¨he kindla arvupaari ehk tasandi punkti ristkoordinaatidega (x, y) = ((t), (t)). Uldiselt ¨ vastavad muutuja t erinevatele v¨a¨artustele ka erinevad tasandi punktid. Kui muutuja t jookseb l¨abi kogu l~oigu [T1 , T2 ], siis t-le vastav punkt kujundab tasandil teatud joone. V~orrandeid (1.6) nimetatakse selle joone parameetrilisteks v~ orranditeks ja muu- tujat t selle joone parameetriks. N¨ aide. Vaatleme joont x = a cos t
Järgnevalt näitame, kuidas mõnda matemaatilist objekti hulkade abil kirjeldada. Meie raamatu piires neil kirjeldustel küll suurt oluli- sust pole, kuid võibolla on lihtsalt põnev lugeda. Näiteks võib hulkade abil kirjeldada kõiki funktsioone [lk 64]. Ruutfunktsiooni – masinat, mis seab igale reaalarvule vastavusse tema ruudu – võime kirjeldada järjestatud arvupaaride hulgana: . Idee on siin mõelda, et iga arvupaari esimese liikmega seatakse vastavusse teine liige. Kui vaatleksime funktsiooni ainult täisarvudel nullist seitsmeni, võksime kirjeldava hulga ka elementhaaval välja kirjutada: Naljakal kombel on mõne lihtsama matemaatilise objekti kirjeldamiseks aga tarvis kauem mõelda. Näiteks kuidas kirjeldada arvu 4 ainult hulkade abil, arvudest rää- kimata? Selleks on mitu viisi. Kirjeldame siin ühte võimalikku viisi.
annaabi.ee 
