Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Algebralised süsteemid". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
poolrühm, rahuldab, korrutamine, rühmaks, assotsiatiivsus, abeli, aditiivne, ühikelement, järjestatud, liitmise, tehte, liitmine, kommutatiivsuse, võrrandid, jagatise, algebralised, refleksiivsus, sümmeetria, tehe, algebralisele, osutub, distributiivne, korpust, vaatleme, erijuhtruutvormi asemele uue ruutvormi. Otsitakse võimalikult Permutatsioon on teatava hulga kõikidest elementidest kõrvaldiagonaali elemendid on teineteise vastandarvud, nimetatakse distributiivsus vektorite liitmise suhtes lihtsat kuju. F= moodustatud mingi konkreetne järjestus Pn=n! Öeldakse, et kui kompleksarvude hulgaks, ning tema elemente nimetatakse Kõik ruutvormid on muutujate regulaarse tisenduse väiksem indeks asetseb suurema indeksi ees, siis nad moodustavad loomuliku järjestuse. Vastasel juhul räägitalse, et kompleksarvudeks.
on defineeritud tehte suhtes kinniseks. · Seda tehet f nim kas liitimiseks või korrutamiseks. f liitmine- aditiivne- f(a+b)=a+b f korrutamine- multiplikatiivne- f(a*b)=a*b · Arvude vallas etendavad tähtsat osa arvud 0, 1, -a, a-1. Need mõisted võime üle kanda mistahes ühe või kahe arvutusoperatsiooniga määratud algebralistesele süsteemile. · Eeldame, et lisaks vaadeldav arvutusoperatsioon rahuldab nn assotsiatiivsuse seadust. Kehtivad järgmised: (a+b)+c= a+(b+c) (a*b)c= a(b*c) · Def3: Algebralist süsteemi M, milles defineeritud arvutusoperatsioon rahuldab assotsiatiivsuse seadust nim poolrühmaks. Kehtib: (a+b)+c=a+(b+c) - aditiivne poolrühm, liitmise assotsiatiivsus, lubatud liita (a*b)c= a*(b*c) multiplikatiivne poolrühm, korrutamise assotsiatiivsus · Öeldakse, et tegemist on kommutatiivsuse seadusega. Kehtivad järgmised:
Algebralised süsteemid Hulk on määratud, kui on teada eeskiri elementide leidmiseks DEF 1: kui hulgas M on igale kahele kindlas järjekorras võetud elementide paarile ( a ; b ) seatud vastavusse mingi eeskirja f alusel teatav element f( a ; b ), siis öeldakse, et selles hulgas M on määratud arvutusoperatsioon e tehe DEF 2: hulka M milles on def vähemalt 1 arvutusop/tehe nim algebraliseks süsteemiks DEF 3: alg süst M milles def a.o. rahuldab assotsiatiivsuse seadust nim poolrühmaks · + adiktiivne poolrühm · * multiplikatiivne poolrühm DEF 4: alg süst M milles def a.o. rahuldab nii assotsiatiivsuse kui ka kommutatiivsuse seadust nim kommutatiivseks poolrühmaks DEF 5: elementi e hulgast M mis iga a hulgast M korral rahuldab tingimust e * a = a ja a * e = a nim hulga M ühikelemendiks Kui süsteemis M leidub ühikelement, siis sellist elementi a -1 hulgast M, mis teatava a hulgast
1. Kompleksarv kui reaalarvude paar. Tehted kompleksarvudega. Tehete omadused. Kompleksarvu algebraline kuju. Tuletatavad tehted ja nende omadused. Kompleksarvuks nimetatakse reaalarvude paari (x,y). C = {(x;y) | x, y R} Tehted kompleksarvudega: z1 = (x1; y1) C; z2 = (x2; y2) C 1. liitmine: z1 + z2 = (x1 + x2; y1 + y2) 2. korrutamine: z1 * z2 = (x1x2 - y1y2; x1y2 + x2y1) Kompleksarvudega tehete omadused 1. liitmine on kommutatiivne, st z1 + z2 = z2 + z1 z1, z2 C korral 2. liitmine on assotsiatiivne, st (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) z1, z2, z3 C korral 3. liitmise suhtes leidub nullelement (reaalarv 0, 0 + z = z + 0 = z z C korral), st leidub C, nii et z + = + z = z z korral; = (0; 0) = 0 4. igal kompleksarvul z = (x; y) = x + yi leidub (liitmise suhtes) vastandarv, st
o 5. Vahe seosed teiste tehetega: AB = A (A∩ B), A∪ B = A∪ (B A), (AB)C = A(B∪ C). o 6. Sümmeetriline vahe avaldub sümmeetriliselt A ja B suhtes: AΔ B = (A∪ B) (A∩ B] 16. Hulkade otsekorrutis. Otseaste. Otsekorrutise omadused [3, 4, 5] Hulkade otsekorrutis 13 o DEF: Hulkade A ja B otsekorrutiseks e. Descartes’i korrutiseks nimetatakse hulka A × B, mille moodustavad kõik järjestatud paarid (a, b), kus a∈A ja b∈B: A × B = { (a, b) | a∈A & b∈B } Otseaste o DEF: Hulga A n-ndaks otseastmeks An nimetatakse otsekorrutist A × … × A, kus A esineb n korda. Otsekorrutise omadused o Otsekorrutis ei ole kommutatiivne ega assotsiatiivne operatsioon. o Tõestus. Juba üheelemendiliste hulkade puhul koosnevad vastavad otsekorrutised erinevatest elementidest: {1}×{2} ≠ {2}×{1}, sest {1}×{2} = {(1, 2)}, aga {2}×{1} =
z = a + bi = r cos + ir sin ehk z = r ( cos + i sin ) . (3) Avaldist võrduse paremal poolel nimetatakse kompleksarvu z = a + bi trigonomeetriliseks kujuks; suurust r nimetatakse kompleksarvu z mooduliks ja suurust selle kompleksarvu argumendiks; neid tähistatakse järgmiselt: r = z , = arg z . 2. Kompleksarvude liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise valemid. Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude korrutamise, jagamise, astendamise ja juurimise valemid. 1. Komplesarvude liitmine. Kahe kompleksarvu z1 = a1 + b1i ja z2 = a2 + b2i summaks nimetatakse võrdusega z1 + z2 = ( a1 + b1i ) + ( a2 + b2i ) = ( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 ) i (1) määratud kompleksarvu. Vektoritena kujutatud kompleksarve liidetakse vektorite liitmise reegli põhjal. 2
Arvu ja maatriksi A korrutise tähiseks on A. Vastavalt defnitsioonile on seega reaalarvu R ja maatriksi A = (aij ) Mat (m, n) korrutiseks maatriks: A= ehk A = ( aij ) Mat (m,n). Maatriksi reaalarvuga korrutamise omadused. Mistahes R ja mistahes X,Y Mat(m,n) korral kehtivad: 1). 1X = X. 2) (-1)X = -X. 3) 0X = . 4) = 5) ()X = (X). 6) (X + Y ) = X +Y . 7) (+ )X = X + X. 8) (X - Y ) = X - Y . 9) ( - )X = X - X. Maatriksite korrutamise omadused. 1. Maatriksite korrutamine on assotsiatiivne, s.t. mistahes kolme maatriksi X Mat(p, q), Y Mat(q, r ) ja Z Mat(r ,s) korral (XY )Z = X(YZ): 2. Mistahes maatriksi X Mat(m, n) ning vastavate ühikmaatriksite Em Mat(m;m) ja En Mat(n, n) korral XEn = X; EmX = X: 3. Mistahes kolme maatriksi X,Y Mat(p, q) ja Z Mat(q,r ) korral (X±Y )Z = XZ ±YZ: 4. Mistahes kolme maatriksi X Mat(p, q) ja Y , Z Mat(q, r ) korral X(Y±Z) = XY ±XZ: Maatriksite transponeerimise omadused. 1. Mistahes maatriksite X, Y Mat(m, n) korral
AT=A 42.kaldsümmeetriline maatriks- kui AT= -A 43.maatriksite võrdsus-Maatriksid on võrdsed, kui nendel on samad mõõtmed ja ühesugustel kohtadel on võrdsed elemendid 44.maatriksite liitmine-Maatriksite A ja B summat tähistatakse A+B ja defineeritakse valemiga a11 +b 11 a12 + b12 ⋯a 1n +b 1 n A + B= ( ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1+b m 1 a m 2+ bm 2 ⋯amn +b mn ) Liitmise omadused: Maatriksite liitmine on assotsiatiivne st. Mistahes X , Y , Z ∈ Mat ( m , n ) korral ( X +Y ) + Z=X +(Y + Z) Iga X ∈ Mat (m , n) ning nullmaatriksi Θ∈ Mat (m, n) korral X +Θ= X ,Θ+ X=X Iga X ∈ Mat (m , n) ning tema vastandmaatriksi −X ∈ Mat ( m , n ) korral X + (−X ) =Θ, (−X ) + X =Θ
Definitsioon 1.11. K~ oikv~ oimalike m~ o~otmetega maatriksite hulka t¨ a- histame M at abil. K~ oigi (m, n)-j¨ arku maatriksite hulka t¨ahistame aga M at(m, n) abil. 8 1.2. Maatriksite liitmine, selle omadused Enne, kui anname maatriksite liitmise m~oiste, p¨o¨ordume korraks tagasi meile tuntud reaalarvude hulga R juurde. Selles hulgas on antud liitmine ja korrutamine. Tegelikult on reaalarvude liitmine ja korrutamine u ¨hesuguse olemusega: nimelt v~oetakse kaks reaalarvu kindlas j¨arjekorras ning antakse eeskiri kuidas nende abil u¨heselt m¨a¨arata uus reaalarv. Juhul kui olete tuttav kujutuse m~oistega, siis reaalarvude liitmine ja korrutamine on kuju- tused + :R × R - R; (x, y) - x + y,
Definitsioon 1.11. K˜ oikv˜ oimalike m˜ o˜otmetega maatriksite hulka t¨ a- histame M at abil. K˜ oigi (m, n)-j¨ arku maatriksite hulka t¨ahistame aga M at(m, n) abil. 8 1.2. Maatriksite liitmine, selle omadused Enne, kui anname maatriksite liitmise m˜oiste, p¨o¨ordume korraks tagasi meile tuntud reaalarvude hulga R juurde. Selles hulgas on antud liitmine ja korrutamine. Tegelikult on reaalarvude liitmine ja korrutamine u ¨hesuguse olemusega: nimelt v˜oetakse kaks reaalarvu kindlas j¨arjekorras ning antakse eeskiri kuidas nende abil u¨heselt m¨a¨arata uus reaalarv. Juhul kui olete tuttav kujutuse m˜oistega, siis reaalarvude liitmine ja korrutamine on kuju- tused + :R × R −→ R; (x, y) −→ x + y,
mentidega (A + B)ij := aij + bij Teiste s~onadega, maatriksite liitmisel liidame vastavad elemendid. N¨ aide: summa arvutamine Arvutame maatriksite summa 1 2 3 3 -2 1 1+3 2-2 3+1 + = 4 5 6 -6 4 -5 4-6 5+4 6-5 4 0 4 = -2 9 1 1.5 Maatriksi korrutamine arvuga Maatriksi A = (aij ) ja arvu R korrutiseks A nimetatakse maatriksit elementidega (A)ij := aij . Korrutis A defineeritak- se valemiga (A)ij := aij . Ilmselt A = A, sest (arvude korral) aij = aij . Teiste s~onadega, maatriksi korrutamisel arvuga korrutame an- tud arvuga maatriksi k~oik elemendid. II. Maatriksarvutus 3 N¨ aide: korrutise arvutamine Arvutame maatriksi ja arvu korrutise
A ● kaldsümmeetriline maatriks Maatriksit A nimetatakse kaldsümmeetriliseks, kui AT = −A. Tehted maatriksitega: ● maatriksite võrdsus Me nimetame maatriksit A = (aij ) võrdseks maatriksiga B = (bkl), kui neil maatriksitel on samad mõõtmed ning ühesugustel kohtadel on võrdsed elemendid aij = bij . Maatriksite A ja B võrdsust tähistame A = B. ● Liitmine ● Lahutamine Sama põhimõte nagu liitmisel. ● arvuga korrutamine Ehk kõik liikmed korrutatakse sama kordajaga läbi. ● maatriksite korrutamine Korrutise AB eksisteerimiseks peab maatriksi A veergude arv võrduma maatriksi B ridade arvuga. Seda korrutise eksisteerimise eeldust võib nimetada tegurite järkude kooskõla tingimuseks. Seejuures on saadud maatriks C, kus on maatriksi A ridade arv ja maatriksi B veergude arv. ● transponeerimine ja nende omadused
Üks neist on olemasolu kvantor (loetakse ka ,,leidub"), teine üldisuse kvantor (loetakse ka ,,iga"). Kvantori märgi taha tuleb alati kirjutada muutuja, millele see kvantor rakendub. Näide: x, x3 - 27 = 0 tähendab, et leidub x, mille korral x3 - 27 = 0. Üldisel kujul: ,,Leidub x, mille korral kehtib P(x)" ehk ,,vähemalt ühel objektil x on omadus P(x)" ,,Leiduma" = leidub vähemalt üks objekt (s.t võib leiduda ka mitu), mis rahuldab antud tingimust. Väljendit ,,leidub täpselt üks" tähistatakse tavaliselt sümboliga !. Näiteks, !x , 2x - 4 = 0. Näide: x , x2 + 1 > 0 tähendab, et iga reaalarvu x korral on x2 + 1 suurem nullist. Kui lauses kasutatakse üldisuse kvantorit, siis selle lausega väidetakse midagi kõigi antud liiki objektide kohta ja seetõttu peab neid väiteid tõestama ka üldkujul. Seevastu lause ümberlükkeks piisab ainult ühest kontranäitest.
S — on suvi tehtemärk tehte nimi ja selgitus O — väljas on soe ¯¯ loogiline eitus e. inversioon V — vihma sajab P — väljas on pime ∧ loogiline korrutamine e. konjunktsioon e. JA-tehe R — päikesevarjutus kestab ( aritmeetilise korrutamise analoog loogikas ) L — päike on loojunud ∨ loogiline liitmine e. disjunktsioon e. VÕI-tehe M — Ferrari on kiirem kui McLaren ( aritmeetilise liitmise analoog loogikas )
nullid(0) Maatriksi A=aij ridade elemente nimetatakse selle maatriksi reavektoriks (aritm. vektorid)=) , Maatriksi veeruvektorid on aritm.vektorid ) , Maatriksi lineaar tehete orrel kehtivad vektorruumide lin.tehete omadused,kui ja A=aij B=bij abc A+B=B+A, (A+B)+C=A+(B+C), A+==A, vastand maatriks B , nii et A+B=B+A=, (a+b)A=aA+bA, a(A+B)=aA+aB, (ab)B=A*(bB), 1A=A 7. Maatriksite korrutamine ja transponeerimine. Maatriksite ja korrutise leidmiseks esitatakse vastavalt reavektorite ja veeruvektorite kujul ( A= ja )korrutise leidmiseks kasutatakse skalaarkorrutist. Transponeerimine m=i A=aij (A read on veergudes) transp-d maatriks on =bij . bij= aij iga i ja j korral Reeglid , , 8. Elementaarteisendused maatriksi ridadega ja veergudega.ühik maatriksi leidmine maatriksi elementaarteisenduste abil.
elemendid on võrdsed ning kõrvaldiagonaali elemendid teineteise vastandarvud. = ( a -b) (b a) Def1 Kui hulgas on määratud tehe/ arvutus operatsioon ja kui selle hulga mistahes kahe elemendiga sooritatud tehte tulemus on uuesti selle hulga element, siis öeldakse, et hulk on vaadeldava tehte suhtes kinni. Hulk C on osutunud kinniseks kõigi 4 aritmeetilise tehte suhtes (liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine). Omadused hulgas C: Om1 + ( + ) = ( + ) + Om2 +=+ Om3 += Om4 + (-) = Om5 = Om6 ( ) = ( ) Om7 ( + ) = + Om8 E= Hulka, kus kehtivad nimetatud 8 arvutusseadust nimetatakse kommutatiivseks korpuseks. Samas moodustab antud hulk vektorruumi ja baasiks on arv 1, i. i = -1 = ( 2 × 2) järku kaldsümmeetriline maatriks.
f(x2), siis on f kahanev hulgas D. o Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik tõuseb, kahanemispiirkonnas aga langeb. · Astmefunktsioon on funktsioon järgmisel kujul y = xa, kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a. · Eksponentfunktsioon on funktsioon järgmisel kujul: y = ax , kus astme alus a on konstantne ja rahuldab võrratust a > 0. Lisaks sellele võrratusele eeldame veel, et a =1 Eksponentfunktsiooni korral X = R ja Y = (0,). Funktsioon y = ax on kasvav kogu oma määramispiirkonnas, kui a > 1 ja kahanev kogu oma määramispiirkonnas, kui 0 < a < 1. · Trigonomeetrilised funktsioonid y = sin x, y = cos x, y = tan x ja y = cot x radiaanides antud argumendiga x. Trigonomeetriliste funktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad:
f(x2), siis on f kahanev hulgas D. o Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik tõuseb, kahanemispiirkonnas aga langeb. · Astmefunktsioon on funktsioon järgmisel kujul y = xa, kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a. · Eksponentfunktsioon on funktsioon järgmisel kujul: y = ax , kus astme alus a on konstantne ja rahuldab võrratust a > 0. Lisaks sellele võrratusele eeldame veel, et a =1 Eksponentfunktsiooni korral X = R ja Y = (0,). Funktsioon y = ax on kasvav kogu oma määramispiirkonnas, kui a > 1 ja kahanev kogu oma määramispiirkonnas, kui 0 < a < 1. · Trigonomeetrilised funktsioonid y = sin x, y = cos x, y = tan x ja y = cot x radiaanides antud argumendiga x. Trigonomeetriliste funktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad:
Loengukursus Tartu Ülikooli loodus- ja täppisteaduste valdkonna üliõpilastele 2019./2020. õppeaasta Toivo Leiger Joonised: Ksenia Niglas Pisitäiendused 2016–20: Märt Põldvere, Natalia Saealle, Indrek Zolk, Urve Kangro 2 Sisukord 1 Reaalarvud 6 1.1 Järjestatud korpused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Korpuse aksioomid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Järjestatud korpus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Täielik järjestatud korpus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1
Teoreetiline informaatika Kordamisküsimuste vastused Eero Ringmäe 1. Hulkade spetsifitseerimine, tehted hulkadega, hulgateooria paradoksid. Hulk: Korteezh järjestatud lõplik hulk. Hulk mingi arv elemente, mille vahel on leitav seos klassifitseeritud elementide kogum. Hulk samalaadsete objektide järjestamata kogum. Hulga esitamine: elementide loeteluna A = {2;3;4} predikaadi abil A = {x | P(x)} Tühihulk on iga hulga osahulk. Iga hulk on iseenda osahulk. Hulga boleaan kõigi osahulkade hulk. H boleaan on 2H. 2H = {x | x on osahulgaks H-le}. Boleaani võimsus |2H| = 2|H| Tühja hulga boleaani võimsus on 1. Tehted:
ruutmaatriksi korral järk n (n = ridade arv = veergude arv). maatriksi liigid: nullmaatriks kõik elemendid 0. tähistus teeta ruutmaatriks ridade arv = veergude arv m=n diagonaalmaatriks ruutmaatriks, mille kõik elemendid väljaspool peadiagonaali on 0. ühikmaatriks diagonaalmaatriks, mille kõik peadiagonaali elemendid on 1. tähistus E. 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). Korrutamine arvuga: maatriksi korrutamisel arvuga korrutatakse kõik tema elemendid selle arvuga. (m x n)-maatriksi A = (aij) korrutiseks reaalarvuga c nimetatakse (m x n)- maatriksit cA = (bij), kus indeksite i ja j kõigi väärtuste korral bij = caij Maatriksite liitmine: samamõõtmeliste maatrikside liitmisel summeeritakse nende vastavad elemendid. Kahe (m × n)-maatriksi A = (aij ) ja B = (bij ) summaks nimetatakse (m × n)-maatriksit A +
MLT 6004 Kvantmehhaanika 10 13. Mis on operaator? Operaator on teisenduseeskiri, millega saame ühest funktsioonist teise. Igale füüsikalisele suurusele seatakse vastavusse teatud lineaarne operaator, mida rakendatakse olekufunktsioonile. Selle operaatori omaväärtused annavad vastava füüsikalise suuruse arvulised väärtused, s o mõõtmistulemused teatud olekutes. Operaatori omaväärtuste järjestatud hulka nimetatakse omaväärtuste spektriks. Operaatori omaväärtuste spekter võib olla kas pidev või diskreetne või osaliselt pidev, osaliselt diskreetne. Operaatorite märkimiseks kasutame suuri tähti märgiga tähe kohal, nt A^ , B^ , C^ , L^ , M^ ,... Operaatori sümbol kirjutatakse tavaliselt vasakule funktsioonist, millele ta mõjub. Kui operaator L^ seab funktsioonile (q ) vastavusse funktsiooni (q ) , siis kirjutame selle seose:
Iga hulk on universaalhulga osahulgaks. Astmehulk on hulga kõikide osahulkade hulk. Astmehulgaks n-elemendilisele hulgale on 2^n. Lõplik hulk on hulk, kus on teatud arv hulgalemente. Lõpmatu hulk on hulk, kus on lõptmatu arv hulgaelemente. Loenduv hulk on hulk, mille igale elemendile saav vastavusse seada nat. arv. Hulgaaritmeetilised tehted on ühend, ühisosa, täiend, vahe ja sümmeetriline vahe. Korrutamine on nagu ühisosa. Liitimine nagu ühend. Ühendisse kuuluvad hulkade need elemendid, mis ei kuulu mõlemasse hulka. Ühisossa kuuluvad vaid need elemendid, mis on mõlemal hulgal olemas. Mittelõikuvad hulgad on need, millel pole ühisosa. Võimsus on hulga elementide arv. Grassmanni valemid on valemid, mis aitavad leida hulkade ühendi võimsust ning ühisosa võimsust.
universaalse hulga elemendid, mis ei kuulu hulka A: A' = { x U | (x A) } = { x U | ¬(x A) }. f. Venni diagrammid, tehete algebralised omadus, nende tõestamine ja kontroll https://moodle.ut.ee/mod/resource/view.php?id=78718 lk 5 12 16) a. Hulkade A ja B otsekorrutiseks e. Descartes'i korrutiseks nimetatakse hulka A × B, mille moodustavad kõik järjestatud paarid (a, b), kus a A ja b B: A × B = {(a, b) | a A & b B }. b. Hulga A n-ndaks otseastmeks An nimetatakse otsekorrutist A×...× A, kus A esineb n korda. c. Otsekorrutise omadused. https://moodle.ut.ee/mod/resource/view.php? id=78718 lk 13 15. Funktsioonid ja relatsioonid 17) a. Def. Binaarseks seoseks ehk relatsiooniks hulkade X ja Y elementide vahel
Määramispiirkond on järgmine:
d.i. a=p/q, kus p,q Z ja q on paaritu. (Täisarvuliste astendajatega
funktsioon)
d.ii. a=p/q, kus p,q Z ja q on paaris või a on irratsionaalne arv. (Paaris
juured)
e. Eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid, nende määramispiirkonnad,
väärtuste hulgad ja graafikud
e.i. y=, kus astme alus a on konstantne ja rahuldab väärtust a>0. Lisaks ,
sest a=1 korral saame konstantse funktsiooni y==1.
Eksponentfunktsiooni korral . y= on kasvav kui a>1. y= on kahanev kui
0
· Arvuhulka nimetatakse tihedaks, kui iga tema kahe erineva arvu vahel leidub veel sama hulga arve. · Arvuhulka nimetatakse kinniseks mingi tehte suhtes, kui selle hulga iga kahe arvu korral kuulub alati samasse hulka ka vaadeldava tehte tulemus. · Kui arvuhulga igale arvule vastab üks kindel arvtelje punkt ja vastupidi, igale arvtelje punktile vastab üks kindel selle arvuhulga arv, siis öeldakse, et see arvuhulk on pidev. Naturaalarvude hulk N · on järjestatud lõpmatu hulk, milles on vähim, kuid pole suurimat arvu · on hulk, milles arvud järgnevad vahetult üksteisele ega kata kogu arvtelge · on hulk, mis on kinnine liitmis- ja korrutamistehte suhtes. Täisarvude hulk Z · on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim, kui ka suurim arv · on hulk, milles arvud järgnevad vahetult üksteisele ega kata kogu arvtelge · on hulk, mis on kinnine liitmis-, korrutamis- ja lahutamistehte suhtes Ratsionaalarvude hulk Q
a1 , a2 , ... , an aga tema kordajateks. Def. 1. Võrrandi (1) lahendiks nimetatakse selliseid tundmatute x1 , x2 , ... , xn väärtusi c1 , c2 , ... , cn R , et pärast nende paigutamist võrrandi (1) vasakusse poolde tundmatute asemele kehtiks võrdus a1c1 + a2c2 + ... + ancn = b . Võrrandi (1) lahend on n arvust c1 , c2 , ... , cn koosnev järjestatud lõplik jada. Seega saab teda vaadelda aritmeetilise vektorina ( c1 ; c2 ; ... ; cn ) , kus x1 = c1 , x2 = c2 , ... , xn = cn . Mõnikord on sobiv paigutada arvud c1 , c2 , ... , cn veergu ja vaadelda lahendit kui üheveerulist maatriksit c1
Kahe hulga A ja B ühendiks nimetatakse hulka AB, mis koosneb nii hulga A kui ka hulga B elementidest. AB={x:x A või x B} Kahe hulga A ja B ühisosaks nimetatakse hulka AB, mis koosneb hulkade A ja B ühistest elementidest. AB={x:x A ja x B} Hulkade ühisosa ja ühendi omadused: 1. Idempotentsus a. AA=A AA=A 2. Kommutatiivsus a. AB=BA AB=BA 3. Assotsiatiivsus a. (AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC) 4. Distributiivsus a. A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) 5. Neelduvus a. A(AB)=A A(AB)=A Universaalhulk: Tihti on käsitluses fikseeritud teatav hulk X ja kõik vaadeldavad hulgad on selle hulga alamhulgad. Sellisel juhul nimetatakse hulka X universaalseks. Hulga A täiendiks nimetatakse hulka A'=XA. (universaalhulga X suhtes)
c = AC, kusjuures C on vektori b lõpp-punkt. Analüütiliselt: AB + BC = AC. 2) RÖÖPKÜLIKU REEGEL: kahe vektori liitmiseks tuleb nad viia ühisesse alguspunkti ja lugeda summavektoriks nende vektorite poolt määratud rööpküliku selle diagonaaliga antud vektor, millel on liidetavatega ühine alguspunkt. MÄRKUS. Sõnastatud reeglid on samaväärsed. OMADUSED 1) Kommutatiivsus: a + b = b + a. 2) Assotsiatiivsus: (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c. 3) Nullvektori omadus: a + 0 = a. VEKTORI KORRUTAMINE ARVUGA: R × V V: (, a) a: 1) korrutisvektori pikkus: a = a , 2) korrutisvektori siht: a || a, 3) korrutisvektori suund: a a, kui > 0, a a, kui < 0. MÄRKUS. Vektori korrutamisel arvuga saadakse esialgsega kollineaarne vektor. Muutuda võivad vektori pikkus ja suund. OMADUSED 1) Assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes: (a) = ()a. 2) Distributiivsus arvude liitmise suhtes: ( + )a = a + a
c = AC, kusjuures C on vektori b lõpp-punkt. Analüütiliselt: AB + BC = AC. 2) RÖÖPKÜLIKU REEGEL: kahe vektori liitmiseks tuleb nad viia ühisesse alguspunkti ja lugeda summavektoriks nende vektorite poolt määratud rööpküliku selle diagonaaliga antud vektor, millel on liidetavatega ühine alguspunkt. MÄRKUS. Sõnastatud reeglid on samaväärsed. OMADUSED 1) Kommutatiivsus: a + b = b + a. 2) Assotsiatiivsus: (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c. 3) Nullvektori omadus: a + 0 = a. VEKTORI KORRUTAMINE ARVUGA: R × V V: (, a) a: 1) korrutisvektori pikkus: a = a , 2) korrutisvektori siht: a || a, 3) korrutisvektori suund: a a, kui > 0, a a, kui < 0. MÄRKUS. Vektori korrutamisel arvuga saadakse esialgsega kollineaarne vektor. Muutuda võivad vektori pikkus ja suund. OMADUSED 1) Assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes: (a) = ()a. 2) Distributiivsus arvude liitmise suhtes: ( + )a = a + a
Kui aga funktsiooni ! rakendamisel argumentidele ) ja * võrratuse märk muutub vastupidiseks, st ! ) > ! * , siis on funktsioon ! kahanev hulgas (. Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik tõuseb, kahanemispiirkonnas aga langeb. Astmefunktsioon on funktsioon kujul = + , kus on nullist erinev konstantne astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest . Eksponentfunktsioon on funktsioon kujul = , , kus astme alus on konstantne ja rahuldab võrratust > 0. Eeldades, et 1, siis = ja = 0, . Kui > 1 on graafik kogu oma määramispiirkonnas kasvav. Kui 0 < < 1 kahaneb graafik kogus määramispiirkonnas. Trigonomeetrilised funktsioonid on =01 , = 230 , =4 1 , = 234 radiaanides antud argumendiga . = 0 1 = = -1,1 , = 230 = = -1,1 , 2 +1 = 4 1 = 6 89 ; = , 2
Vasturääkiv, kooskõlaline, määratu süsteem. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. 8. Süsteemi lahendamine Crameri valemitega. Maatriksi minor. Maatriksi astak. Maatriksi ridade ja veergude elementaarteisendused. Maatriksi rea juhtelement, treppmaatriks. Treppmaatriksi astak. Kronecker-Capelli teoreem 9. Gaussi meetodi sisu. 10. Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kompleksarvu reaalosa ja imaginaarosa, kompleksarvude võrdsus, kaaskompleksarv. Kompleksarvude liitmise, korrutamise ja jagamise valemid. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvu geomeetriline tõlgendus, Kaaskompleksarvude ja kompleksarvude summa geomeetriline tõlgendus. Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude korrutamise, jagamise, astendamise ja juurimise valemid. Juurte arv. 11. Geomeetriline vektor. Vektorite kollineaarsus, vektorite võrdsus. Nullvektor. Kolmnurka ja rööpküliku reegel
Maatriksit tähistatakse suure tähega: Maatriksi järk tähistab maatriksi mõõtmeid: A on m*n järku maatriks. Liigid: · Ruutmaatriks (m=n) · Diagonaalmaatriks ruutmaatriks, mille peadiagonaalis arvud, muud elemendid 0-d. · Ühikmaatriks diagonaalmaatriksi erijuht. Peadiagonaali elemendid 1-d. Täh E. · Nullmaatriks kõik nullid. Täh . 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). · Korrutamine arvuga: korrutades maatriksit reaalarvuga, muutuvad kõik elemendid, selle arvu korra suuremaks. · Maatriksite liitmine: mõõtmed peavad olema samad. Ühemaatriksi elemendid liidetakse teise maatriksi vastavate elementidega: A = (a ij) ja B = (bij) A+B =(cij) kus cij = aij + bij. · Maatriksite lahutamine : esimese maatriksi ja teise maatriksi vastandmaatriksi summa. A B = A + (B)
annaabi.ee 
