Vektor Tehted vektoritega Vektori mõiste Suurusi, mida saab esitada ühe arvuga, nimetatakse skalaarseteks suurusteks Suurust, mille täielikuks määramiseks on peale arvväärtuse vaja ka sihti ja suunda, nimetatakse vektoriaalseks suuruseks Vektor Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku sellist sirglõiku iseloomustavad siht, suund ja pikkus: siht näitab, kuidas vektor asetseb suund näitab, kummale poole on vektor sihil suunatud pikkus on vektori arvväärtuseks Vektorite tähistamisest B a AB b a A L B LK A BA K Vektorite võrdsus Vektorid on samasihilised, kui nad on paralleelsed samasihilisi vektoreid nimetatakse kollin...
korrutisega ning mis on lähtevektoriga sama- või vastassuunaline vastavalt sellele,kas arv on positiivne või negatiivne. Vektorruumi mõiste kõigi n-dimensionaalsete vektorite hulka nim n-dimensionaalseks vektorruumiks Kahe vektori skalaarkorrutis nim arvu, mis on võrdne nende vektorite pikkuste ja vektoritevahelise nurga koosinuse korrutisega Skalaarkorrutise omadused 1. skalaarkorrutis on null siis ja ainult siis kui vähemalt üks vektoritest on nullvektor või kui vektorid on omavahel risti. 2. skalaarkorrutis on kommutatiivne: a*b=b*a 3.skalaarkorrutis on assotsiatiivne skalaariga korrutamise suhtes: a(ab)=(aa)b 4. skalaarkorrutis on distributiivne: (a+b)y= ay+by. Need omadused saavad põhjendada lähtudes skalaarkorrutise definitsioonist. (nim, skalaarruuduks) Koordinatidega antud kahe vektori skalaarkorrutis Kasutades skalaarkorrutise omadusi saame arvutada vektorite a ja b skalaarkorrutise, kui need veektorid on
suunatud) ja vektori arvväärtus. Vektoreid tähistatakse kas AB (nool peal) või a (nool peal). Kollinaarsed vektorid on samasihilised ehk paralleelsed, nende vastavad koordinaadid on võrdelised. Kollineaarseteks nimetatakse kaht vektorit u ja v, mille vahel kehtib seos u = kv, kus k on konstant. Jagunevad sama- ning vastassuunalisteks. Kahte vektorit nimetatakse võrdseteks, kui nad on samasihilised, samasuunalised ja ühepikkused. Nullvektor on vektor, mille algus- ja lõpp-punkt ühtivad. Vastandvektoriteks nimetatakse vektoreid, mis on samasihilised, võrdse pikkusega aga vastandsuunalised. Vektori koordinaatide leidmiseks lahutatakse lõpp-punkti koordinaatidest vastavad alguspunkti koordinaadid. Vastandvektori koordinaadid erinevad märgi poolest. Vektori pikkus võrdub ruutjuurega selle vektori koordinaatide ruutude summast. Ühikvektoriks nimetatakse vektorit, mille pikkus on üks. Vektorite summa
Kõrgema matemaatika kordamisküsimused eksamiks 1. Kahe vektori skalaar- ja vektorkorrutis Vektoriks nim suunaga ja pikkusega sirglõiku. Tähistatakse , kus A ja B tähistavad vastavalt vektori algus- ja lõpp-punkti. Vektori mooduliks nim vektori pikkust. Tähistatakse . Ühikvektoriks nim vektorit, mille pikkus võrdub ühega. . Nullvektoriks nim vektorit, mille alguspunkt ja lõpppunkt ühtivad. . Vabavektoriks nim vektorit, mille alguspunkt ei ole fikseeritud, st vektori asendit võib paralleellükke abil muuta. Kahte vektorit nim võrdseks, kui nad on võrdsete moodulitega ning samasuunalised. Vektorite võrdsus erineb lõikude võrdsusest. Vektoreid nim kollineaarseteks, kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel ja samal sirgel. Võivad olla sama või vastassuunalised. . Vektoreid nim komplanaarseteks, kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuv...
lineaarkombinatsiooni: 0⃗ a1 +…+ 0⃗ a p−1 +1⃗ a p +0⃗ a p +1+ …+0⃗ aq −1+1 ⃗ aq + 0⃗ a k =⃗0 aq +1+ …+0 ⃗ Kuna kaks kordajat on nullist erinevad, st nullvektor saadi mittetriviaalsel viisil. LAUSE: Ühest vektorist koosnev vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv, kui see koosneb vaid nullvektorist, st ⃗a =⃗0 . Tõestus: Tarvilikkus. Eeldame, et ⃗a =⃗0 . Siis λ ≠ 0 , korral λ ⃗a =λ ⃗0 =⃗0 . Seega on mittetriviaalne lineaarkombinatsioon võrdne nullvektoriga ja vektorite süsteem on lineaarselt sõltuv. Piisavus
lähtevektori pikkuse korrutisega ning mis on lähtevektoriga sama- või vastassuunaline vastavalt sellele,kas arv on positiivne või negatiivne. Vektorruumi mõiste kõigi n-dimensionaalsete vektorite hulka nim n-dimensionaalseks vektorruumiks Kahe vektori skalaarkorrutis nim arvu, mis on võrdne nende vektorite pikkuste ja vektoritevahelise nurga koosinuse korrutisega Skalaarkorrutise omadused 1. skalaarkorrutis on null siis ja ainult siis kui vähemalt üks vektoritest on nullvektor või kui vektorid on omavahel risti. 2. skalaarkorrutis on kommutatiivne: a*b=b*a 3.skalaarkorrutis on assotsiatiivne skalaariga korrutamise suhtes: a(ab)=(aa)b 4. skalaarkorrutis on distributiivne: (a+b)y= ay+by. Need omadused saavad põhjendada lähtudes skalaarkorrutise definitsioonist. (nim, skalaarruuduks) Koordinatidega antud kahe vektori skalaarkorrutis Kasutades skalaarkorrutise omadusi saame arvutada vektorite a ja b skalaarkorrutise, kui need
AB = (c-a)2+(d-b)2 0 a c x · ühikvektor · punkti kohavektor Vektorite liitmine a b a b kolmnurgareegel b a a+ b b a+b rööpkülikureegel a b c hulknurgareegel a a+ b+ c Vektorite vahe · nullvektor a -a · vastandvektor a · vektorite lahutamine a -b b Vektori korrutamine arvuga Kui v=(m;n) ja r on reaalarv, siis rv=(rm;rn) r>0 r<0 r= -1 r=0 Vektorite skalaarkorrutis u*v= u * v *cos v u v cos 0°=1 u =180° v v
AB = (c-a)2+(d-b)2 0 a c x · ühikvektor · punkti kohavektor Vektorite liitmine a b a b kolmnurgareegel b a a+ b b a+b rööpkülikureegel a b c hulknurgareegel a a+ b+ c Vektorite vahe · nullvektor a -a · vastandvektor a · vektorite lahutamine a -b b Vektori korrutamine arvuga Kui v=(m;n) ja r on reaalarv, siis rv=(rm;rn) r>0 r<0 r= -1 r=0 Vektorite skalaarkorrutis u·v= u · v ·cos v u v cos 0°=1 u =180° v v
Vektor Tehted vektoritega Vektori mõiste Suurusi, mida saab esitada ühe arvuga, nimetatakse skalaarseteks suurusteks Suurust, mille täielikuks määramiseks on peale arvväärtuse vaja ka sihti ja suunda, nimetatakse vektoriaalseks suuruseks Vektor Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku sellist sirglõiku iseloomustavad siht, suund ja pikkus: siht näitab, kuidas vektor asetseb suund näitab, kummale poole on vektor sihil suunatud pikkus on vektori arvväärtuseks Vektorite tähistamisest B a AB b a A L B LK A BA K Vektorite võrdsus Vektorid on samasihilised, kui nad on paralleelsed samasihilisi vektoreid nimetatakse kollin...
üksteise suhtes. Vektorite vaheline nurk Vektori projektsioon Vektori a projektsiooniks vektori b sihile nimetame arvu |a| cos θ, kus θ on vektori a ja vektori b vaheline nurk, st θ = ∠(a,b) Ristreeper on ristkoordinaadisüsteemi ristreeper. 1 Skalaarkorrutis Kahe vektori skalaarkorrutiseks nimetatakse arvu Skalaarkorrutamise omadused 1. Skalaarkorrutis on null parajasti siis, kui vähemalt üks vektoritest on nullvektor või kui vektorid on omavahel risti. 2. Skalaarkorrutis on kommutatiivne: a · b = b · a. 3. Skalaarkorrutis on assotsiatiivne arvuga korrutamise suhtes: k(a · b) = (ka) · b. 4. (a +b) · c = a · c +b, c distributiivsus. Arvutamise valem koordinaatides ristreeperis Parema käe kolmik Kolmevektorilist vektorsüsteemi {x, y, z} nimetatakse parema käe kolmikuks, kui vaadelduna vektori z lõppp-punktist toimub vektori x pööre vektorini y lühemat teed
r r r Telgede suunalised ühikvektorid on i = ( 1; 0; 0 ) , j = ( 0;1; 0 ) , k = ( 0; 0;1) . Nende r uuur kaudu avaldub vektor v = AB = ( X ; Y ; Z ) järgmiselt: r uuur r r r v = AB = Xi + Yj + Zk . Punkti kohavektoriks nimetatakse vektorit koordinaatide alguspunktist antud punktini. r Nullvektor: 0 = ( 0; 0; 0 ) . uuur uuur Vastandvektor: kui AB = ( X ; Y ; Z ) , siis BA = ( - X ; - Y ; - Z ) . r uuur Vektori pikkus: v = AB = X + Y + Z . 2 2 2 r r Ühikvektori tähis on v° (vektori v suunaline vektor, mille pikkus on üks ühik). r 1 r X Y Z
- Kollineaarsed vektorid a b , kui = b1 b2 AB = ( x 2 - x1 ; y 2 - y1 ) a = a12 + a 22 - Vektori koordinaadid ja pikkus - Nullvektor ja vastandvektor - Vektorite liitmine - Vektorite lahutamine x + x 2 y1 + y 2 - Vektori korrutamine arvuga C = 1 ; 2 2 - Lõigu keskpunkti koordinaadid a b = a b cos
skalaariga korrutamise suhtes) 8) ∀ ⃗a ∈V , ∀ ⃗b ∈V , ∀ λ∈R korral λ ( ⃗a + b⃗ )=λ ⃗a + λ ⃗b (distributiivsus liitmise suhtes) Vektor – vektorruumi element. Skalaar – reaalarv VAHETUD JÄRELDUSED AKSIOOMIDEST LAUSE: Vektorruumis leidub ainult üks nullvektor. Tõestus: Oletades väite vastaselt, et vektorruumis V on kaks erinevat nullvektorit ⃗ 01 ≠ 0⃗2 . Valides kõigepealt nullvektori rolli ⃗ 02 , seega ⃗ 01 + ⃗
VEKTORARVUTUS 1. Vektori komponendid Erinevalt skalaarist on vektoril peale suuruse määratud ka suund. Vektori suurust nimetatakse tema absoluutväärtuseks. On olemas vaid üks vektor, millel pole suunda nullvektor. Vektorid on võrdsed, kui on võrdsed nende absoluutväärtused ja suunad. Olenemata suunast on ühikvektori absoluutväärtus 1. Siin ja edaspidi kasutame vektori tähistamiseks noolekest tähise peal. Nii kujutab a vektorit, aga a sellesama vektori absoluutväärtust. z k j y i x
Suurusi, mis on täielikult iseloomustatud oma arvväärtusega nimetatakse skalaarideks (skalaarna suurus). Skalaari saab esitada arvteljel. Suurusi, mis on iseloomustatud oma arvväärtuse (suuruse), sihi ja suunaga nimetatakse vektoriteks. (arvväärtuse määrab punktide vaheline kaugus, sihi määrab punktidega antud sirge s(A,B), suund on määratud punktide järjestusega.) Vastandvektor sama suurus ja siht, aga erinev suund. Vabavektor vektori alguspunkt ei ole fikseeritud. Nullvektor pikkus on null, siht ja suund määramata. Ühikvektor . pikkus/arvväärtus on üks. Võrdsed vektorid sama siht suund ja arvväärtus. Kollineaarsed vektorid pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel sirgel. Komplanaarsed vektorite kolmik, pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel tasandil. 2)Lineaarsed tehted vektoritega. (liitmine ja arvuga korrutamine) Vektorite liitmine operatsioon, mis seab kahele vektorile vastavusse kolmanda.
Mata eksami kordamisküsimused 1. Determenandi põhiomadused. Alam D ja minoor. Crameri meetodil võrrandsüsteemi lahendamine · Determinant ei muutu, kui tema read ja veerud ümber paigutada. See omadus väljendab determinantideridade ja veergude samaväärsust. · Kui determinandis kaks rida omavahel ümber paigutada, siis muutub determinandi märk vastupidiseks. · Determinandi mingi rea kõigi elementide korrutamisel ühe ja sama teguriga korrutub kogu determinant selle teguriga. See omadus võimaldab D-i rea või veeru elementide ühist tegurit D-i märgi ette tuua, mis harilikult lihtsab tunduvalt arvutusi. · Kui D-s on kaks rida omavahel võrdsad, siis D võrdub nulliga. Seega on eelmise omaduse tõttu D võrdne nulliga ka siis kui D-i kaks rida on võrdelised. · Kui D-s mingi rea iga element kujutab kahhe liidetava summa siis laguneb D kahe sama järku D- i summaks, kui es...
kaaskompleksarv. Kompleksarvude liitmise, korrutamise ja jagamise valemid. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvu geomeetriline tõlgendus, Kaaskompleksarvude ja kompleksarvude summa geomeetriline tõlgendus. Trigonomeetrilisel kujul antud kompleksarvude korrutamise, jagamise, astendamise ja juurimise valemid. Juurte arv. 11. Geomeetriline vektor. Vektorite kollineaarsus, vektorite võrdsus. Nullvektor. Kolmnurka ja rööpküliku reegel. Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Lineaarsete tehete 8 omadust 12. Aritmeetiline vektor. Lineaarsed tehted aritmeetiliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Aritmeetiline ruum. 13. Vektorruumi ja vektori definitsioon. Vektorruumi 5 näidet. Vektorite lineaarne kombinatsioon (näide geomeetriliste vektorite kohta). Triviaalne ja mittetriviaalne Vektorite lineaarne kombinatsioon.
Crameri valemid: xi =Di/D iga i Nn. |A|=D 0 ,m=n SUUNATUD LÕIKUDE VEKTORRUUM: Kidunud lõik juhtum, kus lõigu algus ja lõpp punkt langevad kokku. Kidunud lõigu korral ei ole lõigu suund üheselt määratud Seotud vektor Lõiku, millel on fikseeritud alguspunkt, s.o. suund, nimetatakse suunatud lõiguks ehk seotud vektoriks. Seotud vektorit alguspunktiga X ja lõpp-punktiga Y tähistame edaspidi abil. Kõigi seotud vektorite hulka tähistame abil. Seotud nullvektor Seotud vektor, mille algus ja lõpp-punkt langevad kokku Seotud vektori pikkus Seotud vektori pikkuseks, tähis | |, nimetame teda määrava lõigu XY pikkust, s.t. | | := |XY |. Vastandvektor Seotud vektorit nimetame seotud vektori vastandvektoriks. Seotud vektori vastandvektorit t¨ahistame abil, s.t. - := . Kollineaarsed seotud vektorid Kui kaks vektorit on omavahel paralleelsed OMADUSED:
Tõestused Omadus 1.4. Maatriksite liitmine on kommutatiivne, s.t. mistahes X, Y Mat(m, n) korral kehtib X + Y = Y + X. Tõestus: Iga X = (xij) ja Y = (yij) korral hulgast Mat(m, n), tänu reaalar- vude liitmise kommutatiivsusele (1.11), saame X + Y = (xij + yij) = (yij + xij) = Y + X X + Y = Y + X Omadus 1.10. (X + Y ) = X + Y Tõestus (X + Y ) = ((xij) + (yij)) = ( (xij + yij)) = ( xij + yij) = = ( xij) + ( yij) = (xij) + (yij) = X + Y (X + Y ) = X + Y; Omadus 1.15. Mistahes maatriksi X Mat(m, n) ning vastavate ühikmaatriksite Em Mat(m,m) ja En Mat(n, n) korral XEn = X, EmX = X Tõestus Maatriksite X = (xij ), kus i Nm, j Nn, ja n-järku ühikmaatriksi E1 = (ij) korrutise XE1 = (yij) üldelement avaldub = = , , , =1 mistõttu XE1 = X. Juhul kui E2 on m-järku ühikmaatriks, siis ...
pindalaga: a b a b sin ; vektorkorrutis ei ole kommutatiivne, tulemus sõltub tegurite järjekorrast: a b b a ; 5 vektorkorrutis on võrdne nulliga, kui üks vektoritest on nullvektor või vektorid on kollineaarsed; a b a b , kui a b ; a b a b a b ; a b c a b a c . Näide 1: a 0,5,1 b 3,2,1 Leida a b ja neileehitatud rööpküliku pindala
FÜÜSIKA EKSAM 1. VEKTORID Vektorid ja skalaarid Suurusi, mida saab esitada ühe arvuga, nimetatakse skalaarseteks suurusteks Suurust, mille täielikuks määramiseks on peale arvväärtuse vaja ka sihti ja suunda, nimetatakse vektoriaalseks suuruseks Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku sellist sirglõiku iseloomustavad siht, suund ja pikkus: siht näitab, kuidas vektor asetseb suund näitab, kummale poole on vektor sihil suunatud pikkus on vektori arvväärtuseks Vektori koordinaatide arvutamine: Kui A(x1;y1) ja B(x2;y2), siis vektor AB = (x2-x1;y2-y1) Nullvektor Vektorit O = (0; 0) nimetatakse nullvektoriks o nullvektori pikkus on võrdne nulliga o nullvektori alguspunkt ja lõpp-punkt ühtivad o nullvektori siht ja suund ei ole määratud Vektorite liitmine Vektorite summa koordin...
ristkordinaadisüsteemi ristreeper. Iga vektor a on esitatav kujul a=xi+yi+zi, kus x,y,z on reaalarvud 16.Komplanaarsed vektorid- Vektoreid nimetatakse komplanaarseteks, kui nad asetsevad kas ühel tasandil või paralleelsetel tasanditel 17.Skalaarkorrutis- kahe vektori a, b skalaarkorrutiseks nimetatakse arvu a ∙ b=|a||b| cos ∠(a , b) 18.skalaarkorrutamise omadused- skalaarkorrutis on null parajasti siis, kui vähemalt üks vektoritest on nullvektor või kui vektorid on omavahel risti skalaarkorruti on kommutatiivne: a ∙ b=b∙ a skalaarkorruti on assotsiatiivne arvuga korrutamise suhtes: k ( a ∙ b )=(ka) ∙b ditributiivsus: ( a+b ) ∙ c=a∙ c +b ∙ c 19.arvutamise valem koordinaatides ristreeperis- a ∙ b=x 1 x 2 + y 1 y 2+ z 1 z2 20
torruumi nimetatakse ratsionaalseks, reaalseks v~ oi kompleksseks. Vektorruumi nullvektori t¨ ahistamiseks kasutatakse ka arvu 0. Lugeja peab kontekstist m~ oistma, millal on tegemist arvuga 0 ja millal nullvektoriga. Selguse huvides v~ oib kasutada ka t¨ahistust 0V . VI. Vektorruumid 3 2.2 N¨ aide: nullruum Nullruumiks nimetatakse vektorruumi O := {o}, milles on u ¨ksainus element - nullvektor o. Nullruumi t¨ ahistamiseks v~oib kasutada j¨allegi arvu 0. Nullruumi nimetatakse ka triviaalseks vektorruu- miks. Nullruume u ¨le erinevate korpuste tuleb lugeda erinevateks. 2.3 N¨ aide: korpused Iga korpus on vektorruum u ¨le iseenda. 2.4 N¨ aide: maatriksruumid Matk × n (K) on vektorruum u ¨le K. Arvutusoperatioonid defineeri- sime II. peat¨ ukis. 2.5 N¨
........................................................................ 31 Vektorite liitmine....................................................................................................................32 Geomeetriliselt....................................................................................................................32 Algebraliselt........................................................................................................................32 Nullvektor, vastandvektor...................................................................................................... 32 Vektorite lahutamine.............................................................................................................. 32 Vektori korrutamine arvuga....................................................................................................32 Vektorite kollineaarsus.....................................................................................
ning nendevaheline nurk Skalaarkorrutis a b = a x bx +a y b y +a z b z = a b cos Kui vektorid on risti, siis skalaarkorrutis on null. Vektorkorrutis on vektor, mis on risti mõlema korrutatava vektoriga. Kui vektorid on kollineaarsed (vektorite sihid paralleelsed, = 0 ), siis vektorkorrutis on nullvektor. Kui vektorid ei ole kollineaarsed, siis vektorkorrutis on risti vektorite sihilise tasapinnaga. Vektorkorrutis moodustab teguritega parema käe kolmiku. i j k ay az ax az ax ay Vektorkorrutis a ×b = a x ay az = i - j+ k =
Rakendusülesande d. Kahe punkti Õpilane: Lõiming Vektor tasandil. Joone vaheline kaugus. 1) selgitab mõisteid vektor, ühik-, füüsikaga. võrrand. Vektori mõiste ja null- ja vastandvektor, vektori Vektori tähistamine. koordinaadid, kahe vektori käsitlemine. Nullvektor, vaheline nurk; ühikvektor, 2) liidab, lahutab ja korrutab vastandvektor, vektoreid arvuga nii seotud vektor, geomeetriliselt kui ka vabavektor. koordinaatkujul; Vektorite võrdsus. 3) arvutab kahe vektori Vektori skalaarkorrutise ning rakendab koordinaadid
1.Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. Lineaarse võrrandi all mõistetakse võrrandit kujul a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b , (1) kus a1 , a2 , ... , an ja b on fikseeritud arvud ning x1 , x2 , ... , xn on tundmatud. Arvu b nimetatakse vaadeldava võrrandi vabaliikmeks, arve a1 , a2 , ... , an aga tema kordajateks. Def. 1. Võrrandi (1) lahendiks nimetatakse selliseid tundmatute x1 , x2 , ... , xn väärtusi c1 , c2 , ... , cn R , et pärast nende paigutamist võrrandi (1) vasakusse poolde tundmatute asemele kehtiks võrdus a1c1 + a2c2 + ... + ancn = b . Võrrandi (1) lahend on n arvust c1 , c2 , ... , cn koosnev järjestatud lõplik jada. Seega saab teda vaadelda aritmeetilise vekt...
2 2 36. Vektor. Tehted vektoritega a b ( x - a ) 2 + ( y - b) 2 = R2 49. Fn-ide graafikud 37. Vektorite liitmine · Lineaar u + v = ( x1 + x 2 ; y1 + y 2 ) y = ax + b 38. Nullvektor, vastandvektor, vektorite vahe · Hüperbool a 0 = ( 0;0 ) y= x a = ( x; y ) vas tan dvektor - a = ( - x;- y ) · Parabool
suurused • - vektoriaalsed (ruumilist suunda ja sihti omavad füüsikalised suurused, iseloomustab nii pikkus kui ka suund ja siht) Vektorid Vektorid Vektorid • Mis iseloomustab vektorit • Samasihilised, vastand-, võrdsed vektorid. • Vektori moodul • Vektorite esitamine, koordinaadid, graafikusse joonestamine • Vektori pikkus • Vektorite liitmine ja lahutamine (kolmnurga ning rööpkülikureegli järgi) • Nullvektor • Vektori korrutamine arvuga, skalaarkorrutis, projektsioon (ei küsi KT-s) ning vektorkorrutis Vektorid • Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku, mida iseloomustavad: • - siht (näitab, kuidas vektor asetseb) • - suund (näitab, kummale poole on vektor sihil suunatud • - pikkus (vektori arvväärtus) • Vektorid on samasihilised (kollineaarsed), kui nad on paralleelsed. Samasihilised vektorid on kas samasuunalised või vastassuunalised.
3) kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaarühik. Arvu a nimetatakse kompleksarvu reaalosaks ja teist liidetavatbi aga tema imaginaarosaks. Arvu, mille ruut on - 1 , nimetatakse imaginaarühikuks ja tähistatakse sümboliga i. Kaht kompleksarvu z = a + bi ja z =a - bi , mis erinevad ainult imaginaarosa märgi poolest, nimetatakse kaaskompleksarvudeks. 12.Geomeetriline vektor. Vektori pikkus. Vektorite kollineaarsus, vektorite võrdsus. Nullvektor. Kolmnurka ja rööpküliku reegel. Geomeetriliseks vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku. pikkus on vektori arvväärtus vektorid võrdsed siis, kui nende pikkus on sama, nad paralleelsed ehk seisavad ühel sirgetel ja suunatud ühel suunal 13.Aritmeetiline vektor. Vektori koordinaatid. Lineaarsed tehted aritmeetiliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Aritmeetiline ruum. 14.Vektori definitsioon.
m = n = r: süsteemil on üks ja ainus lahend; n = r < m: süsteemil üks ja ainus lahend (osa võrrandeid ,,kattuvad"); m = r < n: lõpmata palju lahendeid, n - m vaba tundmatut; r < m n: lõpmata palju lahendeid, n - r vaba tundmatut. 2.9 Homogeenne lineaarvõrrandisüsteem Definitsioon 2.15 Lineaarvõrrandisüsteemi (2.5) A·x=b nimetatakse homogeenseks, kui kõigi tema võrrandite vabaliikmed võrduvad nulliga, s.t. b on nullvektor b = 0. Vastasel korral nimetatakse võrrandisüsteemi mittehomogeenseks. 22 2.9. Gauss'i elimineerimise meetod Märkus 2.8 Homogeensel lineaarvõrrandisüsteemil A·x=0 on alati lahend olemas. Selleks on null-lahend x = 0 (nullvektor), mida nimetatakse triviaalseks lahendiks. Null-lahend aga ei pruugi olla ainuke lahend.
Vektori v = (a; b) vastandvektoriks nimetatakse vektorit – v = (–a; –b) Näide. Vektori v = (4; –3) vastandvektor on vektor – v = (–4; 3). Vektori v = (a; b) ja selle vastandvektori – v = (–a; –b) summa on nullvektor O (0;0) Vektori lahutamine tähendab selle vektori vastandvektori liitmist. Kui v = (a; b) ja u = (c; d), siis v – u = v +(– u ) = (a; b) + (–c; –d) = (a – c; b – d) Näide
1. Kompleksarv kui reaalarvude paar. Tehted kompleksarvudega. Tehete omadused. Kompleksarvu algebraline kuju. Tuletatavad tehted ja nende omadused. Kompleksarvuks nimetatakse reaalarvude paari (x,y). C = {(x;y) | x, y R} Tehted kompleksarvudega: z1 = (x1; y1) C; z2 = (x2; y2) C 1. liitmine: z1 + z2 = (x1 + x2; y1 + y2) 2. korrutamine: z1 * z2 = (x1x2 - y1y2; x1y2 + x2y1) Kompleksarvudega tehete omadused 1. liitmine on kommutatiivne, st z1 + z2 = z2 + z1 z1, z2 C korral 2. liitmine on assotsiatiivne, st (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) z1, z2, z3 C korral 3. liitmise suhtes leidub nullelement (reaalarv 0, 0 + z = z + 0 = z z C korral), st leidub C, nii et z + = + z = z z korral; = (0; 0) = 0 4. igal kompleksarvul z = (x; y) = x + yi leidub (liitmise suhtes) vastandarv, st selline arv w C, et z + w = w + z = 0; w = -z 5. korrutamine on kommutatiivne, st z1z2 = z2z1 z1, z2 C korral 6. korrutamine on assotsiatiiv...
r r r Telgede suunalised ühikvektorid on i = ( 1; 0; 0 ) , j = ( 0;1; 0 ) , k = ( 0; 0;1) . Nende r uuur kaudu avaldub vektor v = AB = ( X ; Y ; Z ) järgmiselt: r uuur r r r v = AB = Xi + Yj + Zk . Punkti kohavektoriks nimetatakse vektorit koordinaatide alguspunktist antud punktini. r Nullvektor: 0 = ( 0; 0; 0 ) . uuur uuur Vastandvektor: kui AB = ( X ; Y ; Z ) , siis BA = ( - X ; - Y ; - Z ) . r uuur Vektori pikkus: v = AB = X + Y + Z . 2 2 2 r r Ühikvektori tähis on v° (vektori v suunaline vektor, mille pikkus on üks ühik). r 1 r X Y Z
Telgede suunalised ühikvektorid on i 1; 0; 0 , j 0; 1; 0 , k 0; 0;1 . Nende r uuu r kaudu avaldub vektor v AB X ; Y ; Z järgmiselt: r uuu r r r r v AB Xi Yj Zk . Punkti kohavektoriks nimetatakse vektorit koordinaatide alguspunktist antud punktini. r Nullvektor: 0 0; 0; 0 . uuur uuu r Vastandvektor: kui AB X ; Y ; Z , siis BA X ; Y ; Z . r uuu r Vektori pikkus: v AB X Y Z . 2 2 2 r r Ühikvektori tähis on v (vektori v suunaline vektor, mille pikkus on üks ühik).
¨ TALLINNA TEHNIKAULIKOOL MATEMAATIKAINSTITUUT Peeter Puusemp TOPOLOOGILISED RUUMID Loengukonspekt Tallinn 2003 SISUKORD Eess˜ona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 TOPOLOOGILINE RUUM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1 Topoloogilise ruumi definitsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Topoloogilise ruumi baas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Kinnised hulgad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 ¨ 1.4 Ulesandeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 ¨ 2 UMBRUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1 Punkti u ¨mbruste s¨ usteem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Topoloogia m¨a¨a...
nurga, ja kui kuue vektori summa on null, siis kuusnurga. Hoolikas lugeja muidugi märkab, et oleme siin natuke luisanud. Kui võtame vek- torid ja , siis ei teki ju siiski kolmnurka, sest kõik vektorid on samal sirgel. Õnneks ongi see pisiasi ainus, mis saab muidu nii ilusa seose untsu ajada. Nullvektor, vastandvektor Arvude liitmisel on ühel arvul eriline roll: arv null. Mõnda arvu temaga kokku liites saame tulemuseks selle arvu enda. Analoogne objekt vektorite hulgas on nullvek- tor: vektor, millega liitmisel on tulemuseks vektor ise. Kolmemõõtmeline nullvek- tor on siis muidugi . Sarnaselt arvudega võib siis defineerida ka vastandvek- tori: vektori, millega liitmisel saame tulemuseks nullvektori
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
