Füüsikaline suurus -Füüsikaline suurs on keha, aine, nähtuse või protsessi oluline omadus, mida saab kvalitatiivselt eristada ja kvantitatiivselt üheselt määrata. Sama liiki suurused on need, mida saab üksteise suhtes järjestada kvantitatiivse kasvu alusel. (töö, soojus, energia, pikkus, laius, paksus, ümbermõõt jne.)Füüsikalise suuruse väärtus saadakse teatud hulga ühikute kujul, lähtudes selle mõõtmiseks kokkulepitud skaalast. Põhilised ühikud füüsikaliste suuruste mõõtmiseks on määratud SI süsteemiga Füüsikaliste suuruste süsteem on kokkulepitud printsiipide järgi koostatud füüsikaliste suuruste kogum, kus ühed suurused (põhisuurused) loetakse sõltumatuteks ja teised (tuletatud suurused) loetakse teistest suurustest tuletatuteks. Põhisuurust käsitletakse mingis suuruste süsteemis leppeliselt sõltumatu suurusena( Mehaanikas pikkus, mass ja aeg=LMT süsteem) . Tuletatud suurus on
lähteandmetega seotud suurused, millest võib sõltuda mõõtetulemus, aga ka niisugused suurused nagu ümbritseva mõõtekeskkonna temperatuur, õhurõhk ja niiskus. 10.Ühik Ühik on täpselt def. suurus, mida leppelislt kasutatakse teiste sama liiki suuruste võrdlemiseks ja kvantitatiivseks iseloomustamiseks. Seega ühik on kasutusel samaliigiliste suuruste väärtuste väljendamiseks. Kuna ühik on samaliigiline suurusega, siis peab olema ühikud samapalju kui on mõõdetavaid suurusi. Ühikutel on leppelislt omistatud nimetused ja tähised. Nii on 1 m pikkuse ühik, 1 s ajaühik ja 1 Bq radioaktiivse aine aktiivsuse ühik, kusjuures m, s ja Bq on vastavate ühikute tähised. 11. Ühikute süsteem Ühikute süsteem on põhi- ja tuletatud ühikute kogum, mis on kehtivate reeglitega määratletud kooskõlas nimetatud suuruste süsteemiga.
tõelisest väärtusest olla nii suurem kui ka väiksem, mistõttu võib viga olla nii positiivne kui ka negatiivne. Seepärast on vea ees märk "‘±"’. Mõõtetulemust on korrektne kirjutada koos veaga. Kui mikromeetriga mõõdetud lõigu pikkus on 15,0 µm ja viga on 0,2 µm, siis kirjutatakse mõõtetulemus järgmiselt: l = (15,0 ± 0,2) · 10−6 m = (15,0 ± 0,2) µm . Ühik µm (või 10−6 m) on toodud sulgudest välja, sest pikkuse ja selle vea ühikud on ühesugused (sulge võib ka avada, korrutades ühikuga läbi mõõtetulemuse ja selle vea, kuid nii tavaliselt siiski ei tehta). Vastuses võib tüvenumbreid olla maksimaalselt niipalju, kui väikseima tüvenumbrite arvuga al- gandmetes. Seda reeglit tuleb aga eirata, kui mõni suurus on antud väiksema tüvenumbrite arvuga kui kõik teised. Näiteks on kõik andmed esitatud kolme - nelja tüvenumbriga ning üks füüsikaline suurus vaid kahega
atoms in 0,012 kg of carbon-12. When the mole is used, the elementary entities must be specified and may be atoms, molecules, ions, electrons, other particles, or specified groups of such particles. Kandela - the candela is the luminous intensity in a given direction of a source that emits monochromatic radiation of frequency 540 x 1012 hertz and has a radiant intensity in that direction of 1/683 watts per steradian SI tuletatud ühikud - tuletatud SI ühikud on saadud SI põhiühikutest ühendades suuruste füüsikalisi omadusi. Kordühik - mõõtühik, mis saadakse antud mõõtühiku korrutamisel ühest suurema täisarvuga (N: kilomeeter on meetri detsimaalne kordühik, tund on sekundi mittedetsimaalne kordühik). Osaühik - mõõtühik, mis saadakse antud mõõtühiku jagamisel ühest suurema täisarvuga. Suuruse väärtus - Arv ja mõõtühik, mis koos väljendavad suurust kvantitatiivselt. Vastavalt mõõtühiku liigile
I tund: Füüsika kui loodusteadus. Eesmärk jõuda füüsikasse läbi isiklike kogemuste. Kuidas kujunes sinu maailmapilt? (Sündmused tekitavad signaale, mida me oma meeleorganitega aistingutena tajume. Tajude tulemused töötab inimaju läbi ja nii tekibki inimese ettekujutus ehk kujutluspilt maailmast) Mil viisil füüsika õppimine on Sinu kujutlust maailmast muutnud? Kuidas füüsikas tehtud uurimused ja teadussaavutused on muutnud ühiskonna elukorraldust? (Füüsika uurimused võimaldavad luua ja välja töötada üha keerulisemaid ning paremaid seadmeid jmt.) Mis on maailm? Mida mõista loodusena ja millest see koosneb? Mis on füüsika? Et kreeka keeles tähendab sõna πχυσισ (physis) loodust. Sellepärast võime füüsikat julgesti pidada loodusteaduseks. Loodusteadusi on teisigi nagu bioloogia, geograafia, geoloogia, keemia ja astronoomia. Kuid kuna füüsika uurib kõige üldisemaid kõikjal ja kõigi keha
mittennustatava väärtuse mingist võimalikust väärtuste hulgast. Diskreetne juhuslik suurus: võimalike väärtuste hulk on lõplik Pidev juhuslik suurus: võimelike väärtuste hulk on kontiinum Jaotusfunktsioon on tõenäosus, et juhusliku suuruse väärtus ei ületa funktsiooni argumenti. Jaotusfunktsioon peab rahuldama järgmisi tingimusi: monotoonsus (kui b>a, siis F(b)>F(a), normeeritus (x-lõpmatus korrral lim F(x)=0, xlõpmatus lim F(x)=1) Jaotustihedus on jaotusfunktsiooni tuletis. Arvkarakteristikud kujutavad endast mingeid jaotusseaduse järgi leitavad funktsionaale, millega opereerimine/arvutused on enamasti lihtsamad kui kogu jaotusseadusega opereerimine. Juhusliku suuruse arvkarakteristikuid võib jagada: moment ja mittemomentkarakteristikud, asendi-,hajuvus- ja kujukarakteristikud, kvantiilkarakteristikud. Keskväärtus on juhusliku suuruse asendikarakteristik, mille abil iseloomustatakse juhusliku suuruse jaotuse keskkoha/tsentri asukohta
pidev juhuslik suurus: võimalike väärtuste hulk on pidev (nt mõõtetulemused pidevalt skaalalt)
Juhusliku suuruse omadused määrab (täielikult) tema jaotusseadus:
jaotusfunktsioon - tõenäosus, et juhuslik suurus väärtus ei ületa funktsiooni argumenti x: F(x) = P (X
21-40 5 5/25=0,2 41-60 2 2/25=0,08 61-80 4 4/25=0,16 81-100 6 6/25=0,24 =0,10 3 4.1 Joonis 1. Histogramm 0.35 0.3 0.25 0.2 Vahemikku sattumise tõenäosus 0.15 0.1 0.05 0
A Osa · L - mõõtetulemuse aluseks on mõõteriista näidud L. K- kalibreerimistunnistuse parand READ - lugemi võtmine (ümardamine lähima täisjaotiseväärtuseni) PAR - mõõteliinide paralleelsus RECT - ristseis RS - baaspinna asend F - mõõtejõud T temperatuur RO pinnakaredus MAT materjal RE - mõõtmiste vähesed kordused Mudel üldkujul: - pinna hälve sirgjoonelisusest, STR = f(mõõtevahendi näit, faktorid) STR = f(faktorid)= f(Lmax Lmin; K; READ, PAR, RECT, RS, F; T, RO, RE)
Jaotushulknurk (sageduse polügoon) on graafiline kujutis jaotustabelile. Kasutades sündmuse tõenäosuse
kaudse arvutamise võtteid, on tuletatud alljärgnev tõenäosuse jaotus. Tõenäosus, et n võimalikust
sündmusest toimub m sündmust.
F2(x1; x2; t1; t2) = P((X(t1)
( )= ∑ = ∑ ( + ) = ∑ + ∑ ( 1) = +
∑ ( )
= + ∑ = +
D(X) = E(X ) – E(X) = λ + λ – λ = λ
2 2 2 2
15. Jaotusfunktsiooni ja tihedusfuntsiooni vahelised seosed
Funktsiooni f(x) nimetatakse juhusliku suuruse X tihedusfunktsiooniks, kui f(X) = F’(X). Seega F(X) = ∫ ( )
Olgu X pidev juhuslik suurus jaotusfunktsiooniga F(X). Leiame tõenäosuse, et see juhuslik suurus satuks vahemikku
(x, x+∆x): P(x
k! k=0 k! k=0 k! k=2 ( k −2 ) ! i=0 i!
∞ k ∞
λ
E ( X 2 )=∑ k 2 e−λ =∑ ¿
k=0 k! k=0
D(X) = E(X ) – E(X) = λ + λ – λ = λ
2 2 2 2
14. Jaotusfunktsiooni ja tihedusfuntsiooni vahelised seosed
Funktsiooni f nimetatakse juhusliku suuruse X tihedusfunktsiooniks, kui f(X)
X
= F’(X). Seega F(X) = ∫ f ( t ) dt
−∞
Olgu X pidev juhuslik suurus jaotusfunktsiooniga F(X). Leiame tõenäosuse, et
see juhuslik suurus satuks vahemikku (x, x+∆x): P(x
fF (x, 1, 2) fS (t, ) = B (1 + t2/) ( +1)/2 T = Z / U 15. Ühe juhusliku argumendi funktsioon Jaotusfunktsioon y muutujate x alusel 16. Kahe juhusliku argumendi funktsioon F(Z), kui Z = X+ Y 17. Ühtlaste jaotuste summa ja normaaljaotuste summa f(x)=1/a ja f(y)=1/a intervallis !0 & 2f@ g(z) = 0 kui z 0, g(z) = z/4a2 kui 0 z 2a, g(z) = 1 z/4a2 kui 2f z 4a, g(z) = 0 kui z 4a. Norm jaotusel keskmiste ja dispersioonide summa uuele. 18. Jaotuste kujutamine graafikuna. Histogramm. Polügon Teoreetiline ja empiiriline 19. Hüpoteesi kontroll, et põhikogum jaotub normaaljaotuse järgi, 2 testiga Empiiriliste ja teoreetiliste sageduste erinevus; n'i = n h (ui) / D> (ui); 2yf,k ] (ni n'i)2 / n'i; k = s 3; 20. Matemaatiline ootus ja tema omadused M(X) = xkpk., M(X) = xf x dx ; M(c) = c; M(X+c) = M(X)+c 21. Dispersioon ja tema omadused
Punkthinnangud Matemaatilise statistika ülesanne Matemaatiline statistika on teadus, mis käsitleb katse- või vaatlusandmete kogumise, klassifitseerimise ja oluliste karakteristikute hindamise meetodeid. Matemaatiline statistika ülesanded: 1. Juhusliku suuruse X mõõtmise käigus on saadud sõltumatud tulemused x1, x2, ... , xn. Nende tulemuste põhjal tuleb hinnata selle juhusliku suuruse jaotusfunktsiooni F(x). 2. Jaotuse parameetrite hindamine: Valimi põhjal tuleb otsustada, millised on üldkogumi jaotust iseloomustava jaotusfunktsiooni parameetrid. Näiteks normaaljaotuse korral tuleb hinnata keskväärtust ja standardhälvet (dispersiooni). 3. Statistiliste hüpoteeside kontrollimine Tunnused Katsel jälgitakse tavaliselt juhuslikke suurusi , mis väljendavad uuritava nähtuse omadusi ning avalduvad reeglina mõõtmis- või vaatlustulemustena
F ( b )=F ( a ) +P( a< X ≤ b) ning kuna tõenäosus on alati mittenegatiivne, siis saamegi
F(b) ≥ F(a).
Vahetult eelnevast tõestusest saame avaldada ka vahemikku langemise tõenäosuse
P ( a< X ≤ b )=F ( b )−F ( a ) , kui a
voolutugevus – I(1A); laeng – q(1C); elektripinge – U(1V); takistus – R(1Ω, loe oom). Nagu näed võib mõni sümbol tähendada ka erinevaid suurusi. Nende suuruste seas on osa selliseid, mille ühik defineeritakse (selgitatakse lühidalt) mõne nähtuse kaudu ja säilitatakse kui etaloni, neid ühikuid nimetatase põhiühikuteks (1m;1s;1K;1kg;1A;1mol) Ülejäänud ühikud saadakse vastavalt valemitele põhiühikute seostena. Näiteks kiiruse ühik, 1m/s, saadakse valemist v=s/t , kus teepikkus mõõdetakse meetrites ja selle läbimiseks kulunud aeg sekundites. NB! Ära aja segi füüsikaliste suuruste tähiseid (kokkuleppelised sümbolid, mis tähistavad lühidalt füüsikalist suurust) ja nende ühikuid (asuvad arvväärtuse taga ja on märgitavad ühe või
P( Ai B ) P( Ai ) P( B / Ai )
P( Ai / B) = =
P( B) P( A1 ) P( B / A1 ) + P( A2 ) P( B / A2 ) + ... + P( An ) P( B / An )
P( Ai B ) P( Ai ) P( B / Ai )
Erijuhul kui n=2 saame P( Ai / B) = =
P( B) P( A1 ) P( B / A1 ) + P( A2 ) P( B / A2 )
i=1,2
7. Juhusliku suuruse jaotusfunktsiooni definitsioon. Selle omadused (tõestustega).
Kogu reaalarvude hulga R määratud funktsiooni F(x)=P(X
hüpoteese objekti mudeli kohta. Mediaani hinnang: - kasvavalt järjestatud valimi keskelement (kui valimi maht on paaritu arv) - kasvavalt järjestatud valimi keskelementide poolsumma (kui valimi maht on paarisarv) Haare: valimi suurima ja vähima elemendi vahe Statistika põhiteoreem: Empiiriline jaotusfunktsioon FN(x) on teoreetilise (üldkogumi) jaotusfunktsiooni F(x) nihutamata ja mõjus hinnang. Histogramm: Histogramm on enimkasutatav (üldkogumi) jaotustiheduse hinnang. Histogrammi kasutatakse ettekujutuse saamiseks üldkogumi jaotusseadusest ning ta kujutab endast tulpdiagrammi, mille tulpade kõrgused näitavad vastavasse vahemikku sattumise sagedust. 2-jaotus on kasutusel normaaljaotusega juhusliku suuruse dispersiooni hinnangu jaoks usaldusvahemike arvutamisel. t-jaotus (Studenti jaotus) on kasutusel normaaljaotusega juhusliku suuruse keskvaartuse hinnangu jaoks usaldusvahemike arvutamisel.
1. Muutuvad suurused.
Def. 1 *Suurusi, mis omand erinevaid väärtusi(vaadeldavas protsessis) nim
muutuvateks suurusteks. *Suurusi, mis omand. konstantseid püsivaid väärtusi
nim jäävateks suurusteks e. konstantideks. *Tähistus: x,y,z...u,v,w,t *NT
ühtlane liikumine-> kiirus konstantne v, teepikkus ja aeg muutuvad *Muutuvad
suurused on tavaliselt reaalarvud-> geom võime esitada sirgel *absoluutsed
konstandid- mistahes protsessis vaadeldavad suurused: =3,14..., e =2,71
1. väärtused on diskreetsed x: x1,x2,x3 (arvjada) 2. väärtused omand pideva
alamhulga reaalteljel (+joonised!): *X={x IR|axib} lõik * X={x IR|a
Matemaatiline anal¨ uu¨s I Jaan Janno ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . .
Matemaatiline anal¨ uu¨s I Jaan Janno ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨ avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsio
mis katab hinnatava parameetri a tõenäosusega : P(|ã a| < ) = Arv > 0 iseloomustab hinnangu täpsust. Usalduspiirkonna leidmine p(a) S= 0 ã- ã+ a p(a) juhusliku suuruse a tihedusfunktsioon. Usalduspiirkonna (ã , ã + ) leidmiseks tuleb: 1. Arvutada valimi põhjal punkthinnang ã; 2. Ette anda usaldusnivoo (näiteks 95%; 99%); 3. Leida seosest P(|ã a| < ) = suurus , mis määrabki usalduspiirkonna. Normaaljaotuse keskväärtuse usalduspiirkond suure valimi korral Eeldame, et valimi maht on küllalt suur (n > 30) või standardhälve on eelnevalt teada (näiteks mõõteriista täpsus on teada). Olgu X ~ N(m, ). Leiame keskväärtuse punkthinnangu aritmeetilise keskmise abil: 1n x = xi
A Osa · L - mõõtetulemuse aluseks on mõõteriista näidud L. K- kalibreerimistunnistuse parand READ - lugemi võtmine (ümardamine lähima täisjaotiseväärtuseni) PAR - mõõteliinide paralleelsus RECT - ristseis RS - baaspinna asend F - mõõtejõud T temperatuur RO pinnakaredus MAT materjal RE - mõõtmiste vähesed kordused Mudel üldkujul: - pinna hälve sirgjoonelisusest, STR = f(mõõtevahendi näit, faktorid)
nende vektorite pikkuste ja nendevahelise nurga koosiinuse korrutist. ab = |a||b|cos Omadused: 1) On arvuline suurus 2) ab = 0, kui a = 0 vôi b = 0 vôi a risti b 3) ab = 1, kui a || b Avaldis koordinaatides: a*b = (a1b1 + a2b2 + a3b3). 17. Kahe vektori vektorkorrutis (mõiste, omadused, avaldis koordinaatides). Kahe vektori vektorkorrutis nim. vektorit, mille: 1) Pikkus on vôrdne nende vektorite pikkuste ja nendevahelise nurga siinuse korrutisega; 2) Siht on rist môlema vektoriga määratud tasandiga; 3) Suund on määratud Parema Käe ReegliTM järgi. Omadused: 1) Ei ole arvuline suurus; 2) ax b = 0, kui a = 0 vôi b = 0 vôi a || b; 3) ax b = |a||b|, kui a risti b . Avaldis koordinaatides: i j k x1 y1 z1 axb = x1 y1 z1 a b c =x 2 y2 z2
5. Mittearvuline tunnus järjestustunnus, nominaaltunnus. Järjestustunnus mittearvuline tunnus, mille väärtused on järjestatavad (Krafti klass, puistu Orlovi boniteet). Nominaaltunnus mittearvuline tunnus, mille väärtused pole järjestatavad. 6. Juhuslik suurus ehk juhuslik muutuja suurus või muutuja, mille väärtus enne mõõtmist või katset ei ole teada. 7. Kuidas on defineeritud jaotusfunktsioon? Jaotusfunktsiooni skitseerimine, graafikult lugemine (kvantiil, kvartiil, mediaan, täiendkvantiil). · Juhusliku suuruse X jaotusfunktsiooni väärtus argumendi x kohal on sellest väiksemate väärtuste esinemise suhteline sagedus (tõenäosus) F(x) = P(X < x). · 0 F(x) 1 ehk jaotusfunktsiooni piirväärtused on 0 ja 1. · F(x) on mittekahanev ja pidev. · P(a < X b) = F(b) F(a) 8. Mis on juhusliku suuruse p-kvantiil? Mis on juhusliku suuruse q-täiendkvantiil?
MLK 6004 Kvantmehhaanika 35 II OSA Lainevõrrand. Statsionaarsed olekud. 27. Schrödingeri võrrand Schrödingeri võrrand on mikromaailma mehaanika ehk kvantmehhaanika lainepõhivõrrand. Schrödinger lähtus oma võrrandi koostamisel üldisest lainevõrrandist, mis kirjeldab igasuguseid (hääle-, veepinna-,elektromagnet- jne) laineid ja sulandas selle de Broglie h seosega = . Saadud võrrand on diferentsiaalvõrand, s o võrrand, mis sisaldab p muuhulgas ka tuletisi. Diferentsiaalvõrrandi lahendid pole arvud, nagu algebralisel võrrandis, vaid funktsioonid, antud juhul siis leiulainet esitavad lainefunktsioonid. Kvantmehhaanika kirjeldab laineid. Nende lainete kuju ja ajalist käitumist iseloomustab nn lainefunktsioon . Teades osakesele mõjuvaid jõude, on võimalik leida vastav lainefunktsioon nn Schrö
tekib intervall) 2. Klassides arvutatakse kokku olevat hulka v 3. Sagedus, mis kogu üldkogumis peab võrduma 1-ga (Intervalli jäävate valimite arv jagatakse üldkogumi arvuga) 4. Sageduse suhteline tihendus saadakse kui sagedus jagatakse intervalli vahesummaga ( ) 5. Kumulatiivne sagedus saadakse liites väärtuste juurde järgmise rea sageduse ( ) väärtus Histogramm on astmeline kujund, mis kujundab endal ristkülikuid, mille alused on võrdsed intervalli vahesummaga ( ) ning kõrgus võrdne sageduse suhtelise tihedusega . Pindala on alati võrdne 1-ga. Kumulatiivse sageduse graafik kujundab endal ristkülikuid, mille alused on võrdsed intervalli vahesummaga ( ) ja kõrgus võrdne kumulatiivse sagedusega , kasvades 0-st 1-ni. 2. Juhuslik sündmus. Tehted sündmustega. Sündmuse sagedus ja tõenäosus.
Iseloomustab täielikult juhusliku suuruse väärtuste jaotumist nende esinemise tõenäosuse järgi. Kui jaotusf.F(x) on teada siis iga x korral on võimalik leida, kui tõenäone on, et juhusliku suuruse väärtused on väiksemad kui x. OMADUSED: kuna jaotusf. on oma olemuselt tõenäosus, siis on tal kõik tõenäosuse omadused, st jaotusfunkts.väärtused saavad olla vahemikus 0≥F(x)≤1. ; Jaotusfunktsioon on mittekahanev funktsioon; F(-∞)=0; F(+∞)=1. Jaotusfunktsiooni graafik sõredate suuruste korral on trepiastmete kujuline. Pidevate juhuslike suuruste korral on sujuvalt ülesminev, mitte astmik. 22. Juhusliku suuruse tihedusfunktsioon – nimetatakse jaotusfunktsiooni esimest tuletist, st P(x)=F’(x). OMADUSED: Tihedusfunkts.on ainult pidevatel juhuslikel suurustel!; mittenegatiivne funktsioon p(x)≥0, st tihedusf. on kas võrdne nulliga v omab positiivseid väärtuseid. ; P(-∞)=0, st tihedusf
Diskreetse juhusliku suurused X ja Y on sõltumatud, siis suuruse X tõenäosusjaotuseks nimetatakse E(XY) = EX EY funktsiooni p(x), kus p(x) = P(X = x). See 2. Kui juhuslikud suurused X ja Y funktsioon omandab positiivseid väärtusi on sõltumatud, siis ainult nende argumentide korral, mis on D(X+Y) = DX + DY. juhusliku suuruse võimalikeks Pideva juhusliku vektori väärtusteks. Tõenäosusjaotust esitatakse kas jaotusfunktsiooni F(x,y) saab esitada valemina või tabeli abil, milles loetletakse tihedusfunktsiooni abil. Kui leidub niisugune juhusliku suuruse kõikvõimalikud väärtused ja funktsioon f(x,y), et siis nimetatakse seda nende omandamise tõenäosused. juhuslikku vektorit pidevaks, funktsiooni Normaaljaotus on pidev jaotus, mis võib f(x,y) aga selle juhusliku vektori omandada kõiki reaaltelje väärtuseid, teda tihedusfunktsiooniks.Kui jaotusfunktsioon F(x,
6. Konstrueerime samas teljestikus nõutud graafikud Empiiriline jaotus Vahemi pi(ni/n ni k ) 0-14 9 0,150 15-29 7 0,117 1 30-44 3 0,217 1 45-59 3 0,217 60-74 6 0,100 75-89 5 0,083 90-104 7 0,117 Summa 6 : 0 1 Histogramm 14 13 13 12 10 9 8 7 7 6 6 5 4 2 0
MTMM.00.340 Kõrgem matemaatika 1 2016 KÄRBITUD loengukonspekt Marek Kolk ii Sisukord 0 Tähistused. Reaalarvud 1 0.1 Tähistused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.2 Kreeka tähestik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.3 Reaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.4 Summa sümbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Maatriksid ja determinandid 7 1.1 Maatriksi mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Tehted maatriksitega . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L M N T Mõõtmistulemus mõõtarv L on seega: 1.2 Nihik Nihikut kasutatakse pikkuse mõõtmiseks. Ta koosneb mõõteharudega joonlauast ja sellel nihutatavast samasuguste harudega raamist. Mõõtetulemus saadakse joonlaua põhiskaalalt ja raamil olevalt nooniuselt. Mõõteharud on kohandatud ka detaili siseläbimõõdu mõõtmiseks. Enamasti tuleb sel juhul skaalalt saadud lugemile liita mõõteharule märgitud parand, näiteks 10 mm. Aukude sügavuse mõõtmiseks on nihiku liikuv raam varustatud vardaga. Nihiku nooniuse täpsus on tavaliselt 0,1 mm või 0,05 mm. 1.3 Kruvik Kruvikuga saab pikkust mõõta täpsemalt kui nihikuga. Ta kujutab endast metallkambrit, millele on kinnitatud liikumatu mõõtepind kand ja liikuv mõõtepind mikromeetrilise kruvi otsapinna näol. Kruvi samm on tavaliselt 1 või 0,5 mm. Kruviga on jäigalt ühendatud trummel, mille serv
MAJANDUSMATEMAATIKA I Ako Sauga Tallinn 2003 SISUKORD 1. MUDELID MAJANDUSES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Mudeli mõiste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Matemaatiliste mudelite liigitus ja elemendid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Matemaatilise mudeli struktuur ja sisu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2. FUNKTSIOONID JA NENDE ALGEBRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Arvud ja nende hulgad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Funktsionaalne sõltuvus . . . . . . . . . .
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
