maneograafiline Riigi territooriumil rajatakse kindlad punktide võrgud, need punktid kindlustatakse maastikul kapitaalselt ja nende koordinaadid määratakse suurima võimaliku täpsusega. Võrke tehakse GPS-mõõtmiste abil. Riigi põhivõrgu I klassis 13 punkti ja II klassis 199 punkti. Riigi tihendusvõrgus praegu 3922 punkti (kõik paarispunktid, omavaheline vahekaugus ca 500m). Lisaks riiklikule põhi- ja tihendusvõrgule rajatakse asulates ja linnades kohalik geodeetiline põhivõrk. NL-i ajal oli igal linnal ja asulal oma geodeetiline koordinaatide süsteem ja seal olid antud kindelpunktide koordinaadid. Nüüdseks on rajatud uus tugipunktide võrk, kus koordinaadid on riiklikus ühtses koordinaatide süsteemis. Tiheduspunktide vahele rajatakse polügonomeetrilised käigud, mis ka kuskil sõlmpunktis ka ' lõikuvad. Selle süsteemi vead on m =±1,5 ' ' md =±2..3 mm Kõrguselise võrgu moodustavad reeperid
2m või +/- 2,5 m, äärmine viga on +/- 3m. Keskmine ruutviga (m) kasutatakse ühe suuruse võrdtäpsete mõõtmise hindamiseks. Krv on eriti tundlik suuremate vigade suhtes. Võrdtäpsete mõõtmiste hindamine hälvete järgi ühe mõõtmise ja kõige tõenäolisema väärtuse aritmeetilise keskmise hindamine hälvete järgi Besseli valemist arvutatud krv-ga. Hälbeks nim. aritmeetilise keskmise L ja iga üksiku mõõtmistulemuse li vahet vi. (vt. valemite lehelt osa nr.4 b-punkti) Mõõtmiste täpsuse hindamine kaksikmõõtmiste järgi kui objekti mõõdetakse kaks korda nim. seda kaksikmõõtmiseks. Nt. nurga mõõtmisel Rp asendis ja Rv asendis. Ligikaudsed ja ümardatud arvud nendeks on mõõtmistulemused. Arvude ümardamisel lähtutakse Gaussi reeglist: 1) viimane allesjääv number ei muutu kui sellele järgnev arv on < 5.
võetud yo=500 000 m. Riigi geodeetilise süsteemi ristkoordinaatide alguspunkti A geodeetilised ja ristkoordinaadid on samad ka baaskaardi TM projektsioonis, mis tagab baas- ja põhikaardi geodeetiliste koordinaatide ühtsuse ning kaardilehtede sarnase jaotuse. Et abipinnad on erinevad, siis samade maapinnapunktide ristkoordinaadid on üldiselt erinevad. 9. Joone orienteerimine: asimuut, rumb, direktsiooninurk, tabelinurk. Orienteerimiseks nimet. joonte suuna määramist ilmakaarte suhtes. · Asimuut horisontaalnurk, mida mõõdetakse päripäeva põhja suunast kuni antud jooneni.(0-360o) · Rumb teravnurgaks taandatud asimuut. Rumbi mõõdetakse kas põhja- või lõuna suunas kuni antud jooneni. (0-90o) · Direktsiooninurk horisontaalnurk, mida mõõdetakse telgmeridiaanist või
võetud yo=500 000 m. Riigi geodeetilise süsteemi ristkoordinaatide alguspunkti A geodeetilised ja ristkoordinaadid on samad ka baaskaardi TM projektsioonis, mis tagab baas- ja põhikaardi geodeetiliste koordinaatide ühtsuse ning kaardilehtede sarnase jaotuse. Et abipinnad on erinevad, siis samade maapinnapunktide ristkoordinaadid on üldiselt erinevad. 9. Joone orienteerimine: asimuut, rumb, direktsiooninurk, tabelinurk. Orienteerimiseks nimet. joonte suuna määramist ilmakaarte suhtes. Asimuut horisontaalnurk, mida mõõdetakse päripäeva põhja suunast kuni antud jooneni.(0-360o) Rumb teravnurgaks taandatud asimuut. Rumbi mõõdetakse kas põhja- või lõuna suunas kuni antud jooneni. (0-90o) Direktsiooninurk horisontaalnurk, mida mõõdetakse telgmeridiaanist või
11. Eesti kaardilehtede nomenklatuur, selle praktiline vajadus. 12. Eesti ristkoordinaatide süsteem L-EST 97 Põhineb LAMBERT-EST-il. x telg on kollineaarne LAMBERT-EST telgmeridiaaniga. Lähtepunkti geodeetilised koordinaadid: B0=57°31'03.19415" L0=24°00' Lähtepunkti ristkoordinaadid: x0= +6375 000 m y0=+500 000m 13. Joone orienteerimine: asimuut, direktsiooninurk, nendevahelised seosed. Meridiaanide koondumine. Rumb, tabelinurk. Asimuut on horisontaalnurk, mida mõõdetakse meridiaani (keskpäevajoone) põhjasuunast päripäeva kuni antud jooneni ( 0°- 360°). Asimuut on kas magnetiline või geograafiline. Eestis on nende erinevus 7°. Direktsiooninurk horisontaalnurk, mida mõõdetakse telgmeridiaani või temaga paralleelse joone põhja suunast päripäeva kuni antud jooneni. Kasutusele võeti, et lihtsamates ülesannetes vältida meridiaanide koonduvuse mõju pidevat arvestamist.
11. Eesti kaardilehtede nomenklatuur, selle praktiline vajadus. 12. Eesti ristkoordinaatide süsteem L-EST 97 Põhineb LAMBERT-EST-il. x telg on kollineaarne LAMBERT-EST telgmeridiaaniga. Lähtepunkti geodeetilised koordinaadid: B0=57°31'03.19415" L0=24°00' Lähtepunkti ristkoordinaadid: x0= +6375 000 m y0=+500 000m 13. Joone orienteerimine: asimuut, direktsiooninurk, nendevahelised seosed. Meridiaanide koondumine. Rumb, tabelinurk. Asimuut on horisontaalnurk, mida mõõdetakse meridiaani (keskpäevajoone) põhjasuunast päripäeva kuni antud jooneni ( 0˚-360˚). Asimuut on kas magnetiline või geograafiline. Eestis on nende erinevus 7˚. Direktsiooninurk – horisontaalnurk, mida mõõdetakse telgmeridiaani või temaga paralleelse joone põhja suunast päripäeva kuni antud jooneni. Kasutusele võeti, et lihtsamates ülesannetes vältida meridiaanide koonduvuse mõju pidevat arvestamist.
Greenwichi (null-) meridiaani tasandi ja Maa ekvaatoritasandi lõikejoon; Y-koordinaadi telg on täisnurga all X ja Z teljega, ta on ekvaatortasandil ja on suunatud ida poole 2. Punkti A asukoht referentsellipsoidil määratakse geodeetiliste koordinaatidega B ja L. Punkti geodeetiline laius B on nurk punkti läbiva ellipsoidi normaali N ja ekvaatoritasandi vahel. Seda mõõdetakse ekvaatorist põhja või lõuna suunas 0°-90°. Punkti geodeetiline pikkus L on nullmeridiaani ja punkti A läbiva meridiaani tasandite vaheline kahetahuline nurk, mida mõõdetakse ekvaatori tasandil nullmeridiaanist ida või lääne suunas 0°-180°.
veel: Meil võeti kõigepealt aluseks Paldiski meridiaan, y-telg on ekvaator. Aga x-telg viidi 500 km lääne poole selleks, et pool Eestit poleks negatiivsete y-väärtustega. paldiskit lõikav joon on ikka algpunkt, aga lihtsalt selle väärtus Yo=500km. 500km algpunkti telge nihutada on veidi overkill. see oleks omadega Rootsis 13. Joone orienteerimine: asimuut, direktsiooninurk, nendevahelised seosed. Meridiaanide koondumine. Rumb, tabelinurk. Asimuut on kas magnetiline või geograafiline ehk tõeline põhjasuund. Joone tõeliseks asimuudiks nimetatakse horisontaalnurka seisupunkti geograafilise meridiaani põhjasuuna ja seisupunktist lähtuva maastikujoone suuna vahel, mida loetakse päripäeva 0 - 360 kraadini. Määramiseks kasutatakse 1)Päikese seniitkaugust 2) Päikese tunninurka. Direktsiooninurk on nurk (päripäeva) kaardivõrgu põhjasuuna ja seisupunkti ning objekti vahelise suuna vahel
Kuna Eesti ala jääb ekvaatorist põhjapoole, on siin alal kõikide punktide geograafiline laius põhjalaius. Geograafilised koordinaadid ei ole absoluutsed, sest ühel punktil võib olla mitu geograafilist koordinaati. See tuleneb sellest, et maakera mõõtmeid pole võimalik täpselt välja arvutada. Mis on punkti geodeetilised koordinaadid, nende määramine Geodeetilised koordinaatideks on B (laius) ja L (pikkus), mis määravad punkti asendi referentsellipsoidil. Kolmas koordinaat on geodeetiline kõrgus h, mis määrab punkti kauguse ellipsoidist piki normaali. Geodeetilised ja astronoomilised koordinaadid ei ühti. Seda põhjustab loodjoone kõrvalekalle maaellipsoidi normaalist. Kõrvalekalle määratakse gravimeetriliste ja kõrgtäpsete geodeetiliste mõõtmistega. Mis on tasapinnalised ristkoordinaadid? Tasapinnalised ristkoordinaadid x ja y on kasutusel ainult tasandil, mida maakera ei ole. Maakera tasapinnale teisendamiseks kasutatakse
suuruse väärtus. Mõõtmisel selgitatakse välja, mitu korda mahub mõõtühik ehk etalon mõõdetavase suurusesse. Mõõtmised jagunevad kahte liiki: 1) Otsesed mõõtmised väärtus vahetu mõõtmise tulemusel 2) Kaudsed mõõtmised väärtus arvutuslikult Geodeesias kasutatavad mõõtühikud : Nurgamõõduühik (Kraad 1/360 täispöördest, Goon 1/400 täispöördest 90o = 100.000 g). Joonemõõduühikuks on meeter. 13.Mõõtmistulemuste vead: sulgemisviga, jäme viga, süstemaatiline viga, juhuslik viga, tõeline viga, keskmine ruutviga, suhteline viga. Tuua näiteid. Sulgemisviga- mõõdistamiskäigu sulgemisel mõõtmisandmetest arvutatud suuruse (nurk, kõrguskasv või koordinaatide juurdekasv) erinevus võrreldes lähtepunktide andmetest arvutatud suurusega. Jäme viga-tekib hooletuse ja metoodika mitte jälgimise tõttu. Need tuleb mõõtmistulemuste seast kõrvaldada ja asendada uute mõõtmistulemustega.
Geograafiline laius on ekvaatori tasapinna ja punkti läbiva loodjoone nurk. Geograafilist laiust mõõdistatakse ekvaatorist põhja või lõuna suunas. Kuna Eesti ala jääb ekvaatorist põhjapoole, on siin alal kõikide punktide geograafiline laius põhjalaius. 5. Mis on punkti geodeetilised koordinaadid; nende määramine? Geodeetilised koordinaatideks on B (laius) ja L (pikkus), mis määravad punkti asendi referentsellipsoidil. Kolmas koordinaat on geodeetiline kõrgus h, mis määrab punkti kauguse ellipsoidist piki normaali. Geodeetilised ja astronoomilised koordinaadid ei ühti. Seda põhjustab loodjoone kõrvalekalle maaellipsoidi normaalist. Kõrvalekalle määratakse gravimeetriliste ja kõrgtäpsete geodeetiliste mõõtmistega. 6. Mis on tasapinnalised ristkoordinaadid? Tasapinnalised ristkoordinaadid x ja y on kasutusel ainult tasandil, mida maakera ei ole.
pikkus. Maksimaalne hälve on suurem, kui 1/8 diagonaali pikkus; lõikenurgad on üle 8º, keskmine üle 24º 7. Lõpp-punkti KRV 2 [m s ] = 49x6 = 294 mm 2 2 M' 2 2 m [ Dn+1,i ] = [m ]+ β = 660.93203 mm2 s ρ M' = 25.7086 mm (Lõpp-punkti KRV) kõige nõrgema punkti äärmine viga = 2 x 25 = 50 mm käigu suhteline sulgemisviga = 1: 24,000 dx dy x y 7 67346.75 14185.23 -1.7521 -1.0522 D 7 45.0922 194.85 67247 14360 0.68 -60.284 5 119.72 93.9868 176.54 67292.092240492 14554.85043 689.08 5.34007 199.93 67386.079002229 14731.39076 559.06 -129.81 152.15 67391
Otseülesanne Teodoliitkäigu arvutus(ehk tundmatule punktile ristkoordin. arvutus) Antud: Punkt A X ja Y koordinaadid, joone direktsiooninurk, jooneHD Arvutada: Xb=Xa+HDab*cos alfa AB Yb=Ya+HDab*sin alfa AB Vastuülesanne Teodoliitkäigu sidumine kindelpunktidega ehk direktsiooninurga leidmine Antud: kindelpunktid Xa Ya , Xb Yb Arvuta rumb: tan(rumb)=(Yb-Ya)/(Xb-Xa), Vastus absoluutväätuses! Leiad direktsiooninurga( teed kindlaks veerandi abil) Arvutused mahamärkimistöödeks Sul on teada horisontaalnurk ja joone pikkus ning tuleb leida punkti asukoht looduses.(Punkti koordinaadid on teada) Punkti leidmisel tuleb tagasivaate suunalugem ära nullida. 2. loeng Mõõdistamise põhimõte 1) Tsentreerid ja horisonteerid tahhümeetri kindelpunkti 2) Mõõdad tagasivaate lugemi
Eksamiabimees 1.Geodeetiline otseülesanne. Geodeetiliseks otseülesandeks on ülesanne, kus on antud punkti A koordinaadid (xA, yA), kaldenurk punktilt A punkti B (AB) ning kahe punkti vaheline kaugus dAB. Antud: xA, yA, AB, dAB X yAB B Leida: xB, yB ? XB xB =xA+ xAB AB yB =yA+ yAB x,y- koordinaatide juurdekasvud, "+" vôi "-". dAB xAB Tuleb arvestada millise veerandi nurgaga on tegemist. XA A xAB = dAB *cosAB yAB = dAB *sinAB xB =xAB + xA 0 YA YB Y yB =yAB + yA 2.Geodeetiline vastuülesanne. Antud on 2 punkti koordinaadid (xA,yA,xB,yB) IV veerand I veerand ja leida tuleb nurk (AB) ja punktidevaheline kaugus dAB. x + x +
instrumentide abil. Rakendusgeodeesia - käsitleb ehitiste (hooned, teed, sillad jne) rajamisel rakendatavaid mõõtmismeetodeid ja mõõteriistu. Üheks haruks on ehitusgeodeesia. 2. Selgitada, mida kätkeb endas topo-geodeetiline uuring Topo-geodeetilise uuringu eesmärgiks on saada vajalikke lähteandmeid maa-alade planeerimiseks või ehitusprojekti koostamiseks ja ehitamiseks. Topo-geodeetiliste välitööde tulemusena koostatakse aruanne mille koosseisu kuulub geodeetiline alusplaan ehk geoalus. 3. Iseloomusta geoidi, pöördellipsoidi, referentsellipsoidi? Geoid -keha, mille pinnaks on merede ja ookeanide rahulikus olekus pind, mida on mõtteliselt laiendatud mandrite alla ning mille raskuskiirenduse väärtused on kõikides punktides ühesugused. Geoidil on kaks tunnust: Geoid on igal pool kumer; Loodi ehk raskustungi jooned on igas geoidipunktis risti tema pinnaga.
kaldejoone ja horisontaaljoone vaheline nurk. Geodeetiliseks võrguks nim maastikul kindlustatud ja ühtses koordinaatide süsteemis olevat geodeetiliste punktide kogumit, millest lähtutakse geodeetilistel ja topograafilistel mõõdistamistel. Liigid: *Plaaniline geodeetiline võrk punktide asend on määratud geograafiliste ja ristkoordinaatidega, kõrguselise võrgu punktide asend absoluutsete ja/või geodeetiliste kõrgustega.*Kõrguseline geodeetiline võrk nende ülesannete lahendamiseks rajatakse veel gravismeetriliste punktide võrk, kus mõõdetakse raskuskiirenduse väärtused. (veel on ka põhivõrk, tihendusvõrk, mõõdistamisvõrk). Tiheda asustusega aladel ja kinnisel maastikul kasutatakse põhiliselt teodoliitkäike, avatud maastikul on sobiv kasutada kolmnurkade süsteemi, polaarkiirte ja lõigete meetodit. Teodoliitkäik murdjoonte süst, punktid ei ole kindlustatud, mõõdetakse horisontaalnurgad ja lõikude pikkused
Rumb- Antud suuna ja meridiaani lähima suuna vaheline teravnurk. Tabelinurk- teravnurgaks taandatud direktsiooninurk. 14. Joone koordinaatide juurdekasvude arvutamine selle joone direktsiooninurga ja joone pikkuse horisontaalprojektsiooni järgi. X= I,IV+ II,III- Y=I,II+ III,IV- 15. Pöörülesanne, antud on kahe punkti koordinaadid 16. IV I III II 17. Riiklik geodeetiline referentssüsteem Riigi ulatuses peavad ruumiandmes olema ühtses geodeetilises süsteemis. 18. Tagatud peab olema mõõdistamsvõrgu punktide omavaheline nähtvavus ja mõõdistamisvõrgu punktid peavad paiknema piisava tihedusega. 19. Direktsiooninurkade määramiseks kasutatakse plaanilise geodeetilise põhivõrgu punkte. Alustades mõõtmist ühest paarispunktist, saab teodoliitkäigu kõikidele külgedele arvutada direktsiooninurgad.
ANALÜÜTILISE GEOMEETRIA VALEMID 1. Vektori koordinaadid a = Xi +Yj + Zk = ( X ; Y ; Z ) 2. Vektori koordinaatide seos lõpp- ja alguspunktide koordinaatidega AB = ( x B x A ; y B y A ; z B z A ) 3. Vektori pikkus a = X +Y +Z 2 2 2 X Y Z cos = ; cos = ; cos = 4. Vektori suuna koosinused a a a cos 2 + cos 2 + cos 2 = 1 5. Vektorite võrdsus a = b, ( X 1 = X 2 ; Y1 = Y2 ; Z 1 = Z 2 ) 6. Vektorite summa c = a + b, ( X 3 = X 1 + X 2 ; Y3 = Y1 + Y2 ; Z 3 = Z 1 + Z 2 ) 7. Vektori korrutamine skalaariga b = na, ( X 2 = nX 1 ; Y2 = nY1 ; Z 2 = nZ1 ) X 1 Y1 Z 1 8. Vektorite kollineaarsus a b,(
ANALÜÜTILISE GEOMEETRIA VALEMID 1. Vektori koordinaadid a = Xi +Yj + Zk = ( X ; Y ; Z ) 2. Vektori koordinaatide seos lõpp- ja alguspunktide koordinaatidega AB = ( x B x A ; y B y A ; z B z A ) 3. Vektori pikkus a = X +Y +Z 2 2 2 X Y Z cos = ; cos = ; cos = 4. Vektori suuna koosinused a a a cos 2 + cos 2 + cos 2 = 1 5. Vektorite võrdsus a = b, ( X 1 = X 2 ; Y1 = Y2 ; Z 1 = Z 2 ) 6. Vektorite summa c = a + b, ( X 3 = X 1 + X 2 ; Y3 = Y1 + Y2 ; Z 3 = Z 1 + Z 2 ) 7. Vektori korrutamine skalaariga b = na, ( X 2 = nX 1 ; Y2 = nY1 ; Z 2 = nZ1 ) X 1 Y1 Z 1 8. Vektorite kollineaarsus a b,(
Kuidas leida keskmiste kõrguskasvude teoreetilised summad kahe reeperi vahelises ja kinnises käigus? Teoreetiline summa kahe reeperi vahelises käigus võrdub edasivaatesuunalise reeperi kõrgus miinus tagasivaatesuunalise reeperi kõrgus. Teoreetiline summa kinnises käigus võrdub nulliga. Kuidas leida kõrguskasvudele parandid? Parandi leidmiseks ühele kõrguskasvule tuleb käigu sidumatus jagada jaamade arvuga. Parandid on sidumatusele vastupidise märgiga, parand antakse mm täpsusega ja parandite summa peab absoluutväärtuselt võrduma sidumatusega. Parandatud kõrguskasv arvutatakse keskmise kõrguskasvu ja sellele parandi liitmisega. Parandatud kõrguskasvude summa peab võrduma kõrguskasvude teoreetilise summaga. Kuidas arvutada latipunktide kõrgused? Järgmise sidepunkti ehk edasivaatepunkti kõrgus võrdub tagasivaatepunkti kõrgus pluss (tehte märk oleneb parandatud kõrguskasvu märgist) selle jaama parandatud kõrguskasv).
Lubatud erinevuse korral arvutatakse vahede keskmine ning siis M õõ detud kontuuri pindala leitakse jaotise väärtus valemist: p = u k 4.4. Kuidas toimub kõlviku pindala määramine? Kõigepealt asetatakse planimeeter kontuuri algusesse ja seejärel kirjutatakse üle lugem (u 1). Siis tehakse esimene ümbervedamine ja kirjutatakse üles teine lugem ja siis teine ümbervedamine ja kolmas lugem. Seejärel arvutatakse lugemite vahed, hinnatakse lubatavust (vajadusel korratakse ümbervedamist) ja arvutatakse keskmine lugemite vahe (u k). Keskmist kasutades arvutatakse pindala: P = p × uk. 4.5. Millise täpsusega saadakse kõlviku pindala ja kuidas toimub täpsuse hindamine? Täpsus ~0,2% maatüki pindalast. Planimeetriga saab määrata ~0,3% täpsusega igasuguse konfiguratsiooniga maatükkide pindalasid, mis on plaanil suuremad kui 5 cm2. Pindala
olevatpunktidekogumit,millest liilrtutaksegeodeetilistelm66tnistel. Eristatakseplaanilistja kdrguselistgeodeetilist vdrku: -+plaanilisev6rgupunkt on maaratudgeograalilisteristkoordinaatidega; +k6rguselisedvdrgud miiliratakseabsoluutsete kdryustega,s.ok6rgusegamerepinnast. vdrkjagunebriigi geodeetiliseks Geodeetiline pdhivdrguks, geodeetiliseks tihendusvdrguksja geodeetiliseks m6Sdistamisvorguks. Geodeetilistevorkuderajamiseksja iildse mdddistamiselliihtutaksepohimottestilldisest iiksikasjadesse, st, et algusesmeikataksesuuretApsusega
13. Maa-ala nivelleeritakse nii, et moodustuks kinnine käik. Võetakse lugemid võimalikult paljudesse punktidesse. Igast punktist võetakse lugemid sidepunktidele lati musta ja punase poole järgi, vahepiunktidele ainult musta poole järgi. Lugemid kantakse väliraamatusse. Lugemite järgi arvutatakse kõrguskasvud. Tagasivaadete summa, edasivaadete summa, kõrguskasvude summa ja keskmiste kõrguskasvude summa järgi teostatakse lehekülje kontroll . Leitakse käigu sulgemisviga. Instrumendi horisondi meetodil arvutatakse vahepunktide kõrgused. Etteantud mõõtkavas kantakse maa-ala vertikaalplaanile punktid. Seejärel kantakse plaanile situatsioon ja iga punkti juurde kõrgus täpsusega 0,01 m. Interpoleeritakse horisontaalid ja tõmmatakse horisontaalid valitud lõikevahet silmas pidades. 14. Horisontaalide analüütilisel interpoleerimisel saavutatakse kõige suurem täpsus. Horisontaalide asukohad leitakse sarnaste kolmnurkade lahendamisega
3 KOHALIKU GEODEETILISE PÕHIVÕRGU 2. JÄRK__________________10 3.1 Kõrguslike lähtepunktide geomeetriline nivelleerimine ____________________ 10 3.1.1 Kasutatud instrumendid _________________________________________________12 3.1.2 Instrumentide kontroll __________________________________________________12 3.1.3 Metoodika põhipunktid _________________________________________________13 3.1.4 Nivelleerimiskäikude tasandamine ________________________________________13 3.1.5 Tasanduse täpsushinnang________________________________________________14 3.2 Mõõtmised polügonomeetria meetodil _________________________________ 15 3.2.1 Kasutatud instrumendid _________________________________________________15 3.2.2 Instrumentide kalibreerimine_____________________________________________18 3.2.3 Mõõtmiste metoodika __________________________________________________19
Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) §1. MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID 1. Ruum R m , hulgad selles ruumis Def. Kõigi m reaalarvust koosnevate järjestatud süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) hulka nimetatakse m-mõõtmeliseks ruumiks. Def. Kui m-mõõtmelises ruumis defineeritakse süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) ja Q = ( y1 ,..., y m ) m vaheline kaugus d (P, Q ) valemiga d (P, Q ) = (x - y i ) , siis nimetatakse seda ruumi 2 i i =1 m-mõõtmeliseks eukleidiliseks ruumiks ja tähistatakse R m . Süsteemi P = ( x1 ,..., x m ) nimetatakse ruumi R m punktiks ning reaalarve xi (1 i m ) punkti P koordinaatideks.
MATEMAATILINE ANALÜÜS II Kood YMM0012 3,5 AP KORDAMISKÜSIMUSED 1. Mitme muutujaga funktsiooni mõiste m-muutuja funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse P igale väärtusele tema muutumispiirkonnast D vastavusse suuruse z ühe kindla väärtuse Mitmemuutuja funktsioon graafik Funktsiooni z=f(x1,x2,...,xm), määramispiirkonnaga D, graafikuks nimetatakse järgmist ruumi Rm+1 alamhulka ={(x1,x2,...,xm,f(x1,x2,...,xm))||P(x1,x2,...,xm)D} 2. Nivoojooned ja pinnad Kahemuutuja funktsiooni z=f(x,y) nivoojooneks nimetatakse joont, mille moodustavad piirkonna D punktid (x,y) mille korral f(x,y)=C, kus C on etteantud konstant Skalaarvälja f ehk funktsiooni f nivoopinnaks nimetatakse pinda, mis koosneb piirkonna D punktidest (x,y,z) mille korral f(x,y,z)=C, kus C on etteantud konstant. 3. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus ja pidevus Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtus m-muutuja funktsioonil f on piirväärtus b punktis A kui suvalises piirprotsessis PA, mis rahulda
nõue. Reaalsetes konstruktsioonides tasandilisi mehhanisme ei eksisteeri, kuna detailide valmistamisel tekivad paratamatult valmistamisvead. Vabadusastmete arvu määramise lisandub valemisse 1.1 liigseondite arv q ja seega on w = 6n - 5 pV - 4 pIV - 3 p III - 2 pII - pI + q ... 1.4 Liigliikuvuseks nim. neid mehhanismi lülide liikuvusi, mis pole seotud mehhanismi kinemaatilise funktsiooni realiseerimisega. [Loengul tuuakse näiteid üksiku lüli liigliikuvuse ja grupilise liigliikuvuse kohta]. Liigliikuvust arvestades on põhivabadusastmete arv w p = 6n - 5 pV - 4 pIV - 3 p III - 2 pII + p I + q - wl , ... 1.5 kus wl - liigliikuvuste arv. Liigseondite arvu q = w p + wl - 6n + 5 pV + 4 pIV + 3 p III + 2 p II + pI , ... 1.6 10 määramisel tuleb põhivabadusastmete arv võtta võrdseks mehhanismile etteantud
Juurdekasv on kaugus lähimast läänepoolsest koordinaatvõrgu joonest punktini B. Punkti B Y-koordinaat: YB=695 000+∆y=695 000+(1,20 × 500)=695 600m. Punkti A geodeetilised koordinaadid leitakse valemite BA=BS+∆B ja LA=LW+∆L abil, kus BS on punktist lõuna pool asuva lähima paralleeli laius, LW on punktist lääne pool asuva lähima meridiaani pikkus, ∆B ja ∆L on laiuse ja pikkuse juurdekasvud. Juurdekasvu saab vahetult kaardilt mõõtes. Selleks joonestatakse kaardile minutilõikude punaste ristide järgi paralleelid ja meridiaanid. Punktist A lõuna pool asuv lähim paralleel omab väärtust 58°10′ ja lääne pool asuv meridiaan omab väärtust 27°20′. Nüüd tuleb punktist A tõmmata ristsirged kuni nende minutilõikudeni. Järgnevalt mõõdetakse joonlaua abil ära kaugus täisminutist punktini A nii mööda paralleeli kui ka mööda meridiaani. Saame vastavalt pikkuse
C = A + B, cij = aij + bij , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. (1.2) 8 1.2. Definitsioon 1.5 Kui maatriksitel A ja B on võrdne arv ridu ja veerge, siis A ja B va- heks nimetatakse maatriksit D, mille elementideks on vastavate ele- mentide vahed: D = A - B, dij = aij - bij , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. (1.3) Definitsioon 1.6 Maatriksi A korrutiseks skalaariga ehk arvuga nimetatakse maat- riksit A, mille elemendid saadakse maatriksi A vastavate elementide läbikorrutamisel arvuga : A = ·A = (cij ), cij = ·aij , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. (1.4) Definitsioon 1.7 Me nimetame maatriksit nullmaatriksiks, kui kõik tema elemendid võrduvad nulliga, s.t.
MATEMAATLINE ANALÜÜS II 1. KORDSED INTEGRAALID Kordame kõigepealt mõningaid teemasid Matemaatlise analüüsi I osast. 1.1 Kahe muutuja funktsioonid Kui Tasndi R 2 mingi piirkonna D igale punktile x, y D seatakse ühesel viisil vastavusse arv z, siis öeldakse, et piirkonnas D on määratud kahe muutuja funktsioon z f x, y . Piirkoda D nimetataksefunktsiooni f määramispiirkonnaks. See on mingi piirkond xy-tasandil. Näide 1. Poolsfääri z 1 x2 y 2 määramispiirkonnaks on ring x 2 y2 1. Funktsiooni z ln x y määramispiirkonnaks on pooltasand y x (sirgest y x ülespoole jääv tasandi osa: vaata joonist). Kahe muutja funktsioon ise esitab pinda xyz-ruumis (ruumis R 3 ). Näide 2. Funktsiooni z x2 y 2 graafikuks on pöördparaboloid (vaata allpool olevat joonist) Kahe muutuja funktsiooni f nivoojoonteks nimetatakse jooni f x, y c Näide 3. Tüüpiline näide nivoojoo
insenertehnilise nivelleerimisega. Ajutiste reeperite kõrguste saamiseks tuleb rajada nivelleerimiskäik lähtudes riiklikust reeperist ehitusplatsi ajutistele reeperitele ja sealt uuesti riiklikule reeperile. Nivelleerimiskäik võib oma skeemilt olla kas kinnine, seotud või rippuv. Nivelleerimine tuleb teha liitnivelleerimisena ja alati püütakse nivelleerida keskelt. 1. Kinnise nivelleerimiskäigu tasandamine Igal riiklikul reeperil on kataloogis oma number ja kõrgus meetrites millimeetri täpsusega. Naaberreeperite käigu vahelisis osi nimetatakse sektsioonideks, iga seksiooni kohta arvutatakse kõrguskasvude summa ning määratakse sektsioonide pikkused. Käigu tasandamiseks tuleb arvutada käigu üldine pikkus kilomeetrites ning määratud kõrguskasvude summa. Kuna nivelleerimisel tullakse tagasi lähtereeperile, siis teoreetiline
#;h_èMZ-C}#v#R^#&#*;Y9`0#?
#SVrM6+#1nM#Z3j1##Kv?
#P^###ocQEz0#qq#z4?Um?
#a#z##[#[##J%#J@
##GI_- k#G Z t%d #S##jRc#mg#
3#m#|s<|#ATW#:6c *[` # [X
#<#Q##> 4mT~*i6#- -
,u#U#Ayrmb#44lq#x#ZQml#d##{
:uZG3r?S#T0l-c#n U%y#%]90#
zw[*wV1Q####n##c4$r##Xy.APio*E##
#s I#wN#x>j=5Yr5O#^4 ;#}#Mahi%[8,GR-
_6mx-
KESKKOOLI MATEMAATIKA RAUDVARA 1. osa Andres Haavasalu dikteeritud konspekti järgi koostanud Viljar Veidenberg. 2003. aasta 1 Sisukord Sisukord........................................................................................................................................2 Arvuhulgad............................................................................................................................... 5 Naturaalarvude hulk N..........................................................................................................5 Negatiivsete täisarvude hulk z ...........................................................................................5 Täisarvude hulk Z.................................................................................................................5 Murdarvu
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
