0 t 0 t 0 t 3.2 Ühtlaselt kiirenev liikumine a v x + at v0 a=a0=const>0 v= 2 x0 x=x0+v0t+ at 2 0 t 0 t 0 t 3.3 Ühtlaselt aeglustuv liikumine a v x v= v0 -a t 2
Valemid s sk o g u v= t vk= t k ogu v=v0+at v=v0+gt v-v 0 v2 a= t ak = r ak=2*r a t2 2a v2 s=v0t + 2 s= v - v 2 2 ¿ s= 0 ¿ 2g * µ a t2 X=X0+v0t + 2 X=X0+v*t X=X0+s x=x0* sin *t 2g v 0 t +g t 2
26. ? p p p pp. 27. ? . 28. . at = d2S/dt2 a = d2S/dt2· 29. ? p pp , p p ( pp p). 30. ? . 31. . · v2 s2 a n = = 32. ? R . 33.- 34. ? T V, 35. . ? T V - . 36. . , So=0, . vot=vo, at=a , at=-a. , . 37. ? , . 38. . -s=s0+v0t+at2v=v0+at2 . - s=s0+v0t; v=v0 39. ? , . 40. . - s=s0+v0t; v=v0 41. . -. 0. -. 0. 42. . . =0 =. S=vt, s=so+vtt. , =0. 43. . , =0. , . ; ds/dt=vt=const. , = 44. . . . . . S=So+Vot+ (t2)/2, V=Vo+(at2)/2. 45. . , t=-a 46. ? ., , , . 47. . . , . 48. ? , 2 , , . 49. ? , 50.- 51. . =f(t) 52. ? Lim /t= , t 0. .
26. ? p p p pp. 27. ? . 28. . at = d2S/dt2 a = d2S/dt2· 29. ? p pp , p p ( pp p). 30. ? . 31. . · v2 s2 a n = = 32. ? R . 33.- 34. ? T V, 35. . ? T V - . 36. . , So=0, . vot=vo, at=a , at=-a. , . 37. ? , . 38. . -s=s0+v0t+at2v=v0+at2 . - s=s0+v0t; v=v0 39. ? , . 40. . - s=s0+v0t; v=v0 41. . -. 0. -. 0. 42. . . =0 =. S=vt, s=so+vtt. , =0. 43. . , =0. , . ; ds/dt=vt=const. , = 44. . . . . . S=So+Vot+ (t2)/2, V=Vo+(at2)/2. 45. . , t=-a 46. ? ., , , . 47. . . , . 48. ? , 2 , , . 49. ? , 50.- 51. . =f(t) 52. ? Lim /t= , t 0. .
Ühtlane sirgjooneline liikumine – mistahes ajavahemikus läbib keha võrdsed teepikkused, trajektoor on sirgjooneline Ühtlase sirgjoonelise liikumise liikumisvõrrand x=x0+vt 2. Ühtlaselt muutuv liikumine Ühtlaselt muutva liikumine – keha kiirus mistahes võrdsetes ajavahemikes muutub võrdsete suuruste võrra Keha kiirendus näitab kui palju muutub keha kiirus ajaühikus a=(v-v0)/t kiirendusvõrrand v=v0+at Ühtlaselt kiireneva liikumise liikumisvõrrand x=x0+v0t+(at²)/2 Nihkevõrrand? s=v0t+(at²)/2 3. Vabalangemine Vabalangemine on keha liikumine ainult raskusjõu mõjul Vabalangemise kiirendus on ligikaudu g=9.8 Kui õhutakistusjõud on tühine siis vertikaalselt üles visatud keha liigub ühtlaselt aeglustuvalt kiirendusega g kuni peatumiseni trajektoori kõrgeimas punktis ja edasi toimub vabalangemine ühtlaselt vabalangemin muutuv e a=(v-v0)/t g=v/t s=v0t+(at²)/2 s=(gt²)/2 s=(v²-v0²)/ s=v²/(2g) (2a)
Vabaks langemiseks nimetataks sellist kehade langemist, kus õhutakistus puudub või on väike. Füüsikalised suurused liigitatakse vektoriaalseteks (suunaga suurus) ja skalaarseteks (suunata suurus). Kulgeva liikumise puhul liiguvad keha kõik punktid ühesuguse kiirusega. Kui keha punktid liiguvad keskpunkti suhtes erineva kiirusega on tegu pöörleva liikumisega. V0 algkiirus (m/s) a kiirendus (m/s²) t aeg s teepikkus, nihe V lõppkiirus (m/s) V = V0 + at a = V - V0/t s = V0t + at²/2 s = V² - V0/2a Punktmass on liikuva keha mudel. Trajektooriks nimetatakse joont, mida mööda keha liigub. Ühtlase sirgjoonelise liikumise korral on kiirusvektor trajektoori kõikides osades ühtlase pikkuse ja suunaga. Nihkeks nimetatakse keha algpunktist lõpppunkti suunatud sirglõiku. Keskmine kiirus iseloomustab mitteühtlast liikumist ning on kogu teepikkuse ja kogu liikumisaja suhe; näitab, kui suure teepikkuse läbib keha keskmiselt ajaühikus
Lj; a2 ; P2 ; Fe2 ; Pü ; Pv. Lahendus: Fr = 1,6 * 10 = 16N P0 = Fr = 16N Fe0 = P0 = 16N Kd = 16/4 = 4N Pü Po = 16N Fmax = 40N P=0 X0 =64-44 = 16mm = 0,016 s= v0t + at2/2 K= Feo / X0 = 16N / 00.016m = 1000N/m Vk = S/T P1 = M(g+a) = 1,6 x (10+7,5) = 28N Fe1 = P1 = 28N X1 = Fe1 / k = 28 /1000 = 0.028 m X01 = x1 x0 = 0,028 0,016= 0,012 Lj = 104mm = 1,04 l=v0t + a2t2/2 => a=2l/t2 = 2x 0,104/0,262 = 3,08 m/s P2 = m(g+a) = 1,6 x (10-3,08) = 11,07N F32 = P2 = 110,07N
- keha läbib võrdsetes ajaühikutes võrdsed teepikkused (keha kiirus ei muutu) Kehtivad seosed: v = s/t , kus v - kiirus, s teepikkus, t aeg. x = x0 + vt , kus x lõppkoordinaat , x0 algkoordinaat, v- kiirus, t aeg. Ühtlaselt muutuv sirgjooneline liikumine - keha kiirus muutub võrdsetes ajavahemikes võrdse suuruse võrra. Kehtivad seosed: v = v0 + at, kus v lõppkiirus, v0 algkiirus, a- kiirendus, t aeg kiirendus a = v v0/t s = v0t + at2/2 , kus s teepikkus x = x0 + v0t + at2/2 Vaba langemine - kehade kukkumine vaakumis (takistuseta), või ka üles viskamine. Esimesel juhul on tegemist ühtlaselt kiireneva liikumisega, teisel juhul ühtlaselt aeglustuva liikumisega. Kiirendus on mõlemal juhul ühesugune raskuskiirendus g, väärtusega 9,8 m/s2. Kehtivad seosed on samad, mis eelmisel juhul, arvestades, et a = g ja s = h.
liikumisvõrrand sätestab koordinaadi (x, y, z) sõltuvuse ajast (t). Näiteks algkiirusega v0 vertikaalselt üles visatud keha liikumisvõrrand on järgmine: y(t) = y0 + v0t ½ gt2 liikumisgraafik: http://anmet.planet.ee/Graafikud%20ja%20diagrammid/target8.html kiiruse, teepikkuse ja aja vaheline seos: s=v*t Keha nihkeks liikumisel ühest punktist teise nim. neid kahte punkti ühendavat suunatud sirglõiku Keskmine kiirus on ajavahemikus keha poolt läbitud teepikkuse ja kulunud aja suhe. Kiirendus on kiiruse muut ajaühikus a= v/ t v=v-v0 Ühtlaselt muutuv kiirus kiirus mis muutub mistahes võrdsetes ajavahemikus ühepalju
5) Keskmise kiiruse valem vk= t k ogu v- v 0 6) Kiirenduse valem a= t 7) Kiiruse valem ühtlaselt muutuval liikumisel v=v0+at a t2 8) Teepikkuse valem ühtlaselt muutuval liikumisel aja kaudu s=v0t + 2 v 2- v 20 9) Teepikkuse valem ühtlaselt muutuval liikumisel kiiruste kaudu s= 2a at2
Valemiga t v = v0 + wdt 0 Sirgliikumisel on kiirusvektor suunatud alati ühte ja sama sirget mööda, mistõttu vektori w suund kas ühtib vektori v suunaga, seega liikumine on kiirenev või on vastupidine ja liikumine aeglustuv. Muutumatu kiirenduse korral. Kehtib valem: v x =v0 x +a x t Ühtlaselt muutuval sirgliikumisel saab teepikkuse leida valemiga t wt 2 s = (v0 + wt )dt = v0t + a t2 0 2 s = v0t + vt = v0 + a t 2 Seega kehtivad valemid: vt2 - v02 = 2a s Kiirendus kõverjoonelisel liikumisel Lihtsaim juht on punkti ühtlane liikumine mööda ringjoont. Olgu 1 punkti asukoht vaadeldaval hetkel t. Aja
V0 algkiirus V kiirus ajavahemiku t järel V V0 m a = Ühik 1 t s2 Kiirendus näitab kiiruse muutumise kiirust. X kl I kursus Mehaanika Ivo Eesm Teepikkus ja aeg ühtlaselt muutuval liikumisel v2 v02 v = v0 + at S= 2a at2 s= v0t + -- 2 v v0 t= a X kl I kursus Mehaanika Ivo Eesm KESKMINE KIIRUS Kogu teepikkuse ja selleks kulunud aja jagatist nimetatakse keskmiseks kiiruseks. Kogu teepikkus s Keskmine kiirus = koguaeg Vk =
m a =m g + N + Fh 2h0 t= langemisaeg ma = mg sin - Fh g N = mg cos v0 t= tõusu aeg Fh = mgµ cos g a = g (sin - µ cos ) v02 h= tõusu kõrgus 2g Vektorid gt 2 h = v0t kõrgus b b c 2 c a a c = a+b c = a-b Keha liikumine h.jõu mõjul Ühtlane liikumine F v0 + v at 2 a= h s = vt = t = v0 t + m 2 2 v 2 - v 02 v + v0 2 2 s= s=
teineteist mõjutavad on alati suuruse poolest võrdsed kuid suunalt vastupidised. 8. Galilei teisendused. Oletame, et kaks taustsüsteemi liiguvad teineteise suhtes jääva kiirusega v0. Ühe süsteemi koordinaatteljed olgu x, y , z ning teise omad x`, y´ ja z´. Ja nad paiknegu nii, et teljed x ja x´ ühtiksid, y ja y´ ning z ja z´ oleksid paralleelsed. Kui hakata aega lugema hetkest mil mõlema süsteemi koordinaattelgede alguspunktid ühtisid, siis x=x´+ v0t. Ning y=y´ ja z=z´, ka aeg kulgeb mõlemas süsteemis ühte moodi siis ka t=t´. x=x´+ v0t y=y´ z=z´ t=t´ Galilei relatiivsusprintsiip- mehaanika seisukohalt on kõik inertsaalsed taustsüsteemid täiesti võrdväärsed. 9. Mitteinertsiaalsed taustsüsteemid. Sellised taustsüsteemid, kus ei kehti Newtoni seadused. Inertsijõud- jõud, mis on võrdeline keha massi ning inertsiaalse ja mitteinertsiaalse taustsüsteemi suhtes
5.3 Vaba langemine Vaba langemise kiirendus (raskuskiirendus) on kõikidel x kehadel ühesugune h0 at2 m m x=x0+v0t+ 2 g = 9,81 s » 10 2 2 g s v0=0 ; x0=h0 ; a=g
v + v0 x-x vk = t 0 2 v v0+at+v0 x-x = t 0 2 v0 2 x = x0 + v0t + at t 2 t © 1998 AS SERK Konstantse kiirendusega liikumist nimetatakse ühtlaselt muutuvaks (kiirenevaks või aeglustuvaks) liikumiseks
Ühtlane sirgjooneline liikumine: trajektoor on sirge ja keha liigub nii, et kiiruse muutus mistahes võrdsetes ajavahemikes on ühesugune. Läbitud teepikkus on võrdne nihke arvväärtusega. Liikumisvõrrand: x=x0+vt, milles nihe s=vt Ühtlaselt muutuv liikumine: keha kiirus mistahes võrdsetes ajavahemikes muutub võrdse suuruse võrra. Liikumisvõrrand: x=x0+v0t+(at2)/2, milles nihe s=v0t+(at2)/2. Seos teepikkuse ja kiiruse vahel: s=(v2-v02)/2a. Taustsüsteem: kella ja koordinaatsüsteemiga varustatud keha, mille suhtes liikumist vaadeldakse. Teepikkus: läbitud tee pikkus, mõõdetuna piki trajektoori. Tähis l, ühik 1m. Nihe: suunatud sirglõik, mis ühendab keha alg-ja lõppasukohta. Tähis , ühik 1m. Hetkkiirus: näitab kiirust antud ajahetkel. Tähis . Ühik 1 m/s. . Kiirendus: näitab, kui palju muutub kiirus ajaühikus. Tähis a, ühik 1m/s2. .
nimetatakse ühtlaselt muutuvaks liikumiseks. Kiiruse muut ajaühikus iseloomustab kiiruse muutumise kiirust ja teda nimetatakse kiirenduseks Kiirenduse valem a=(vv0)/t. Kiiruse valem v=v0+at. Keha ühtlaselt muutuval liikumisel on kiirus ajast lineaarses sõltuvuses ja kiiruse graafikuks on sirge. Samuti kui ühtlasel liikumisel on kiiruse graafiku alumine pindala võrdne keha nihkeväärtusega. Nihke valem S=v0t+at2/2. Liikumisvõrrand ühtlaselt muutuval sirgjoonelisel liikumisel x=x0+v0t+at2/2 kasutatakse veel valemit s=(v2v02)/2a (Nihke valem) Kõverjooneline liikumine Kõverjoonelisel liikumisel võivad muutuda kiiruse suund ja suurus. Kõverjoonelise trajektoori igas punktis ühtib keha liikumiskiiruse suund sellest punktist tõmmatud puutuja suunaga. Lihtsaim kõverjoonelise liikumise liik on ringjooneline liikumine. Seda iseloomustatakse pöördenurgaga =l/r. Täispöörde korral l=2r; =2
mistahes võrdsetes ajavahemikes võrdsed nihked. Kiirus näitab, millise nihke sooritab keha ajaühikus. Kiirusvõrrand: v=s/t. Liikumisvõrrand: x=x0+vt, milles nihe s=vt. Nr 3. Ühtlaselt muutuv sirgjooneline liikumine. Kiirendus. Võrrandid keha kordinaadi, nihke ja hetkkiiruse leidmiseks. Ühtlaselt muutuv liikumine on liikumine, mille puhul keha kiirus mistahes võrdsetes ajavahemikes muutub võrdse suuruse võrra. Liikumisvõrrand x=x0+v0t+(at2/2), milles nihe s=v0t+(at2/2), kui aga ülesande andmetes puudub aeg kasutame valmit s=(v2-v02)/2a. Kiirendus näitab ühtlaselt muutuval liikumisel, kui palju muutub keha kiirus ajaühikus. a=(v-v0)/t. Kiirenduse tähis on a ning ühik [m/s2]- meetrit sekundi ruudu kohta. Keha hetkkiiruse leidmine ühtlselt muutuval liikumisel: v=v0+at. Keha liikumise aja leidmine: t=(v-v0)/a. Keha nihke leidmine: s=v0t+(at2/2) s=(v2-v02)/2a Nr 4. Ühtlane ringliikumine. Kesktõmbekiirendus. Periood ja sagedus.
sooritamiseks kulunud aja suhtega Liikumisvõrrandi abil leiame keha kordinaadi, mis tahes ajahetkel sirgjoonelisel liikumisel x=x0+vt Liikumist, mille puhul keha kiirus, mis tahes võrdsetes ajavahemikes muutub võrdsete suuruste võrra, nimetatakse ühtlaseks muutuvaks liikumiseks Kiiruse muut ajaühikus iseloomustab kiiruse muutumise kiirust ja teda nimetatakse kiirenduseks a=(vv0)/t v=v0+at s=v0t+at2/2 s=(v2v02)/2a Kõverjoonelisel liikumisel võivad muutuda kiiruse suund ja suurus Kõverjoonelise trajektoori igas punktis ühtib keha liikumiskiiruse suund sellest punktist tõmmatud puutuja suunaga (seda iseloomustatakse pöördenurgaga ) =l/r = / t v= r =2n T=1/n a=v2/r
pindala. (mida lähemal on planeet Päiksele, seda kiiremini ta liigub) 3. Erinevate planeetide tiirlemisperioodide ruutude summa on võrdne nende planeetide ja Päikese keskmiste vahekauguste kuupide suhtega T21/T22=r31/r32 Tugev vastastikmõju on elementaarosakestevaheline vastastikmõju. Osakeste lagunemist ja muundumisi põhjustabb nõrk vastastikmõju. Liikumine maa külgetõmbe jõul. v=vo-gt h=h0+v0t-gt2/2 Newtoni seadused: 1. Vastastikmõju puudumisel või vastastikmõjude kompenseerumisel on keha kas paigal või liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt. 2. Keha kiirendus on võrdeline temale mõjuva jõuga ja pöödvõrdeline massiga a=F/m 3. Kaks keha mõjuvad teineteisele vastupidise jõuga. Kui kehale mõjub jõud, siis kuskil mõjub teisele kehale samasugune, aga vastupidine jõud. F=-F
Ühtlane sirgjooneline liikumine keha suund ja kiirus on jäävad. Võrdsed ajavahemikud ja teepikkused. Ühtlaselt muutuv liikumine keha kiirus muutub võrdsetes ajavahemikes võrdse suuruse võrra. Taustsüsteem kella ja koordinaadistikuga varustatud keha, mille suhtes liikumist vaadelda. Teepikkus keha poolt läbitud trajektoorilõigu pikkus. s=vt vkesk=s/t s=v0t+at2/2 Nihe suunatud siglõik, mis ühendab keha algasukohta lõppasukohaga. Hetkkiirus keha kiirus kindlal ajahetkel, vektoriaalne suurus. Kiirendus suurus, mis näitab, kui palju muutub keha kiirus ajaühikus. a=(v-v0)/t a=v2-v02/2s Liikumisvõrrand näitab, kuidas keha koordinaat sõltub ajast. Mass keha inertsuse mõõt, väljendub vastupanus keha oleku muutumisele väliste jõudude toimel. Jõud suurus, mille abil kirjeldatakse kehade vastastikmõju. F=ma
Keskmine kiirus uutes tähistustes on vav = t v v0 + v Teiselt poolt vav = (vt joonis). 2 x - x 0 v0 + v Seega = v0 t 2 Asendades siia valemist (1) hetkkiiruse v, saame 0 t 1 x = x0 + v0t + at 2 (2) 2 Valem (1) annab kiiruse olenevuse ajast, valem (2) teepikkuse olenevuse ajast. Tuletame seose kiiruse ja asukoha vahel. Selleks avaldame valemist (1) aja ja paneme valemisse (2). Saame v 2 = v02 + 2a( x - x0 ) (3) Kiiruse leidmine, kui kiirendus ei ole konstantne dv
a(kogu) = ? Lahendus: a(n) = v2 / r v = x(t)’ v(x) = (10 – 2t + t3)’ = -2 + 3t2 v(t=2)= 1-2 + 2*22 = 10 m/s a(n) = 102 / 4 = 25 m/s2 a(t) = (v)’ a(t)= (-2 + 3t2)’ = 6t a(t=2) = 6*2 = 12 m/s2 a(kogu)2 = a(n)2 + a(t)2 = 252 + 122 = 769 a(kogu) = 27,7 m/s2 Vastus. Kogukiirendus ajamomendil t = 2 s on 27,7 m/s2. Ül. 2 Antud y0 = 2 m x0 = 7 m Leida v(alg) = ? v(lõp) = ? Lahendus: Leiame aja t Vaatleme vertikaalliikumist v0 = 0 m/s v(lõp) = ... y0 = 2 m g = a = 9.8 m/s2 y0 = v0t + at2/2 gt2/2 = 2 t2 = 4 / 9,8 t = 0,64 s v = v0 + at v(vert) = 0 + 9,8 * 0,64 = 6,2 m/s Vaateleme horisontaalliikumist v = s/t v(hori) = 7m / 0,64s = 10,9m/s v(lõp)2 = v(vert)2 + v(horis)2 v(lõp)= 12,5m/s Vastus. Kivi algkiirus: 10,9 m/s ja lõppkiirus: 12,5 m/s Ül. 3 Antud f = 5 Hz M = 1000 Nm t = 20 s Leida I=? Lahendus: nrkkiirus = 2pii*f nurkkiirus = 2pii* 5 = 31, 4 s nurkkiirendus = nurkkiirus / t nurkkiirendus = 31,4 / 20 = 1,6 m/s2 M = I * nurkkiirendus
Kiirus Peamine liikumist iseloomustav suurus. Keskmine kiirus Kogu keha liikumise teepikkuse ja kogu selleks kulunud aja suhe. Ühtlaselt muutuv liikumine Liikumine, kus kiirus muutub mistahes võrdsete ajavahemike jooksul ühesuguste ühikute võrra. Hetkkiirus Kiirus mingil konkreetsel ajahetkel. Kiirendus Näitab, kui palju muutub kea kiirus ajaüikus.(Keha kiiruse muutumise kiirus) v v - v0 a= = t t Nihke leidmine ühtlaselt muutuval liikumisel s= v0t+ at2/2 Liikumise võrrand on võrrand, mis võimaldab määrata keha koordinaati, kiirust ja kiirendust mistahes ajahetkel. x= x0 + v0t + at2/2 Kiiruse võrrand - v= v0 + at Vektor Suunatud sirglõik. Vektorite liitmine/lahutamine Projetsiooni leidmine erinevatel telgedel Koordinaadi,nihke ja kiirenduse graafikud Keha viskamine vertikaalselt üles/alla Keha viskamine horisondiga kaldu Keha viskamine tornist horisontaalselt alla/üles Dünaamika
Loeme ühe nendest tinglikult liikumatuks. Siis teine süs. K´ liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt. Valime süs. K koordinaatteljed x,y,z ja süst. K´ teljed x´, y´, z´ nii, et teljed x ja x´ ühtiksid, teljed y ja y´ ning z ja z´ oleksid paralleelsed. Leiame nüüd seose mingi punkti P koordinaatide x, y, z ning sama punkti koordinaatide x´,y´,z´ vahel. Kui hakata aega lugema hetkest, mil mõlema süs. koordinaattelgede alguspunktid ühtisid, siis, nagu selgub jooniselt, x =x´ + v0t. Peale selle on ilmne, et y=y´ ning z=z´. Lisanud nendele seostele klassikalises meh. tunnustatud eelduse, et aeg kulgeb mõlemas süs ühtemoodi, s.o. t = t´, saame neljast võrrandist koosneva süsteemi: x=x´ + v0t´, y=y´, z=z´, t=t´ }, mida nimetatakse Galilei teisendusteks. Relatiivsusprintsiip- Väide, et kõik meh.nähtused kulgevad erinevates inertsiaalsetes taustsüstee-mides ühtemoodi, mistõttu meh.katsete abil pole võimalik kindlaks teha, kas antus taustsüs
asendi põhjal, kas on tegemist kiireneva või aeglustuva liikumisega? Kui kiirus ja tangensiaalkiirendusvektor on samasuunalised on tegu kiireneva liikumisega. Kui kiirus- ja tangensiaalkiirendusvektor on vastassuunalised, on tegu aeglustuva liikumisega. Kuidas arvutada kiirust ja läbitud kaarepikkust punkti ühtlaselt kiireneva kõverjoonelise liikumise S 0=0 ? korral, kui sealjuures v v0 at t t2 s v0t at 2 Milliste valemitega arvutada kiirust ja läbitud kaarepikkust punkti ühtlaselt aeglustuva kõverjoonelise liikumise korral, kui sealjuures S 0=0 ? v v0 at t t2 s v0t at 2 Mida nimetatakse jäiga keha translatoorseks ehk rööpliikumiseks? Jäiga keha translatoorseks liikumiseks nimetatakse sellist liikumist, mille puhul iga kehaga muutumatult seotud sirge
15. Auto liigub muutumatu kiirendusega a = 1 , mingil hetkel on auto kiirus 10,5 m/s. Kus oli see auto s2 sekund varem? Antud: m a =1 2 s m v = 10,5 s t = 1s Leida: s=? Lahendus: Kehtib järgmine liikumisvõrrand nihke jaoks ühtlaselt muutuval liikumisel at 2 s = v0t + 2 Pannes arvandmed võrrandisse saame s = 10[ m ] . Vastus: Auto oli sekund varem kaugusel 10 m kaugusel punktist, kus tema kiirus oli 10,5 m/s. 16. Punkt liigub mööda x-telge (positiivses suunas) muutumatu kiirendusega. Punkti algkiirus oli 10 m/s. Kui suur peab olema selle punkti kiirendus, et ta 2 sekundiga nihkuks positiivses suunas 10 m? Antud: m v 0 = 10 s t=2s s = 10 m Leida: a=? Lahendus:
järgmise valemi kaudu v=v0+a*t, kus v0 on keha kiirus ajahetkel t=0, a on keha kiirendus. Kui a = const v = ∫ a dt = a ∫dt = at + v0 7. Milline liikumine on vaba langemine, kas konstantse kiirusega, konstantse kiirendusega või lihtsalt kiirendusega liikumine? (Põhjendada) Konstantse kiirendusega, kõigile kehadele mõjub sama raskuskiirendus, olenemata keha massist, materjalist või kujust. 8. Leida, kuidas avaldub vabalt langeva keha lennuaeg? z1 = z0 + v0t – (gt2/2) z1 – z0 = (gt2/2) t = 2(z1-z0)/-g 9. Leida, millest sõltub horisontaalselt visatud keha lennukaugus? 10. Kuidas on seotud nurkkiirus ja pöördenurk? Millises suunas on need vektorid suunatud? Pöördenurk on nurk, mille võrra pöördub ringliikumises oleva keha trajektoori raadius mingi aja jooksul. Nurkkiirus on füüsikaline suurus, mis iseloomustab pöördliikumist ja on võrdne ajaühikus läbitud pöördenurgaga. Pöördenurga tuletis annab nurkkiiruse.
t = 9,7 s 100 1000 lõppkiirus v1 = 100 km h = m s 27,8 m s 3600 algkiirus v0 = 0 t = 15s kiirendus a=? teepikkus s=? Lahendus. v1 - v0 27,8 - 0 a) Kiirendus a = = = 2,87 2,9 m s 2 t 9,7 at 2 b) Teepikkus ühtlaselt muutuva liikumise korral s = v0t + . Kui algkiirus v0 = 0 , siis 2 at 2 2,87 152 s= = 3,2 102 m . 2 2 Vastus: a) Kiirendus on 2,9 m/s2. b) Esimese 15 sekundi vältel läbib auto 3, 2 102 m . Märkus: kuna algandmed on antud kahe tüvenumbri täpsusega, siis ka lõppvastused ei saa olla täpsemad kui 2 tüvenumbrit. Vahearvutused peavad aga sel juhul olema 3 tüvenumbri täpsusega. 4
M mega- 106 m milli- 10 3 k kilo- 103 mikro- 10 6 h hekto- 102 n nano- 10 9 da deka- 101 p piko- 10 12 MEHAANIKA Ühtlane sirgjooneline liikumine Koordinaat: x = x0 + vt Nihe: s=vt Kiirus: v=s/t Kiirendus a=0 Ühtlaselt muutuv liikumine x=x0 +v0t+at2/2 s=v0t +- at2/2 s=v-(v0)2/2a v=v0+at a=v-v0/t Taustsüsteem on mingi kehaga seotud ruumiliste ja ajaliste koordinaatide süsteem. KEHADE VASTASTIKMÕJU Mass on keha võime osaleda gravitatsioonilises vastastikmõjus. Jõud on füüsikaline suurus, mis iseloomustab ühe keha mõju teisele. Rõhk on füüsikaline suurus, mis iseloomustab rõhumisjõudu pinnaühiku kohta. p=F/S TIhedus on füüikaline suurus, mis näitab aine ruumalaühiku massi =m/V
2 t (t ) = 0 + t + 2 . (2.18) (t ) = + t 0 Kontrollida iseseisvalt, et võrranditest (2.18) ajalise tuletise võtmisel saame tõepoolest võrrandid (2.17). Kõrvutades võrrandeid (2.18) ühtlaselt muutuva sirgjoonelise liikumise võrranditega 2 at s = s0 + v0t + 2 , v = v + at 0 saame analoogiad sirgjoonelist liikumist ja pöördliikumist iseloomustavate suurustega: 1. teepikkusele sirgjoonelisel liikumisel vastab pöördenurk kõverjoonelisel liikumisel, 2. kiirusele vastab nurkkiirus, 3. kiirendusele vastab nurkkiirendus. s v . (2.19) a Valemitest (2.4) ja (2.16) saame nurkkiirenduse jaoks avaldise d v =
• Kui keha visata üles või alla ja eemaldada õhu takistus, siis näeme, et keha liigub konstantse m kiirendusega, mis on suunatud g alla. 9.81 2 • See on vaba langemise kiirendus s • Vabalt langevakeha liikumisvõrrandid g const v v0 gt 2 h h0 v0t gt 2 34 Pöördliikumine • Pöördliikumine on ainepunkti pöörlemine ümber liikumatu telje. d R d d v aN
n 1 k = / n i n-1 k= 0,2mm - relatiivne viga k = 100 [%] hk =2% 8 10 Ühtlane kulgliikumine. ( v=const) v = S /t = const Ühtlaselt muutuv kulgliikumine. ( a=const) v = v0 ± at ; s = v0t ± at²/2 ; v = 2as Mitteühtlaselt muutuv sirgliikumine. ( v const ; a const ) v = ds/dt ; a = dv/dt Ühtlane ringliikumine vt. lk. v = const. ; = const. vt. samuti lk. Ühtlaselt muutuv ringliikumine. a = dv/dt ; a = dv/dt a = an + a a = a n² + a ² = ( v²/R)² + ( dv/dt)² kuna = const , siis = d/dt ; = d/dt = 1/R( dv/dt ) = a /R
Ühtlane sirgjooneline liikumine on liikumine, mille puhul keha sooritab mistahes võrdsetes ajvahemikes võrdsed nihked. s l s = vt x = x0 + vt v= vk = t t Ühtlaselt muutuv liikumine on liikumine, mille puhul keha kiirus mistahes võrdsetes ajavahemikes muutub võrdse suuruse võrra. at 2 at 2 s = v0t ± x = x0 + v0t + v 2 - v02 = ±2as 2 2 Taustsüsteem on kella ja kordinaatsüsteemiga varustatud keha, mille suhtes liikumist vaadeldakse. Teepikkus on määratud keha poolt läbitud trajektoori pikkusega. Nihe on suunatud sirglõik, mis ühendab keha algasukoha lõppasukohaga. Hetkkiirus on kiirus, mida keha omab trajektoori antud punktis, antud ajahetkel ja mis on
0 p 0 T 0 V 0 T 0 p 0 T 0 T x x 2. Leida kaks graafikut, mis kirjeldavad ühtlaselt muutuvat liikumist (s on teepikkus, v kiirus, a kiirendus ja t aeg) ) (2p.): s=v0t + at^2/2 v a v v a s s 0 t t t 0 t 0 t 0 t 0 t t x x 3. Millised kaks järgmist väidet on õiged? ( 2 p.) m1∗m2 F=G* r ( ruut)
läbivad samas ajaühikus sama teepikkuse. Kulgliikumine on jäiga keha mehaaniline liikumine, mille korral keha kõikide punktide trajektorid on igal hetkel samasihilised ja tervikuna ühesuguse kujuga. 4.Nihe. Nihke ja lõppkiiruse valemid Nihe on vektoriaalne füüsikaline suurus, vektor keha algasukohast keha lõppasukohta. Nihke tähis s→ , Nihke valem s→=V→t (s→-nihkevektor, V→ - kiirus, t-aeg ühik meeter m) Nihke valem s→=V0t + Lõppkiiruse valem V=V0+at (V-lõppkiirus, V0-algkiirus, a-kiirendus, t-aeg ühik m/s) 5.Taustsüsteem. Suhteline kiirus Taustsüsteem on mingi kehaga seotud ruumiliste ja ajaliste kordinaatide süsteem, mis koosneb kolmest elemendist: taustkeha, koordinaadistik ja ajamõõtja. Taustkeha on keha mille suhtes teiste kehade asukohta kirjeldatakse. Keha kiirus on suhteline kiirus, sest keha kiirus sõltub selle keha taustsüsteemi valikust, mille suhtes kiirust mõõdetakse
SI süsteemis on kiiruse mõõtühikuks m/s. Ühtlaselt muutuv kulgliigumine - Ühtlaselt muutuva kulgliikumise korral on konstandiks kiirendus Pöörleva keha energia - Wk = I ω2 /2 (a=const);Vt=V0+at;S=V0t+at2/2; v=√2as. Vt tegelik kiirus , v - kiirus, a kiirendus, t - aeg, s - pindala . Kulgliikumisel jääb iga kehaga jäigalt ühendatud sirge paralleelseks iseendaga. Punktmassiks loetakse keha, mille Jôumoment.Impulssmoment.Inertsimoment: mõõtmed on palju väiksemad tema poolt läbitud tee teepikkusest. Massikese on punkt, mida läbivat mistahes Jõumoment - on jõud mida rakendatakse pöördliikumises
s t t Liikumine on suhteline mingi taustsüsteemi suhtes. Absoluutset taustsüsteemi pole seni leitud. Liikumisvõrrandiks nimetatakse liikumist iseloomustavat matemaatilist avaldist, näiteks s = v t ( m at 2 m at 2 x = 3t , SI-s 3 ), s = v0t ± ( x = 5t + 4t 2 , SI-s a = 4 2 = 8 2 ) , s = s0 + v0t - ( s 2 s 2 x = 7 + 2t - 5t 2 ) . Miks on s-lt üle mindud x-le? Aga sellepärast, et s väljendab liikumist kolmemõõtmelises ruumis (x, y, z), aga gümnaasiumis osutub see liiga keeruliseks ja pole vajagi meetodi mõistmiseks. Piirdutakse ühemõõtmelise ruumiga.
s t t Liikumine on suhteline mingi taustsüsteemi suhtes. Absoluutset taustsüsteemi pole seni leitud. Liikumisvõrrandiks nimetatakse liikumist iseloomustavat matemaatilist avaldist, näiteks s = v t ( m at 2 m at 2 x = 3t , SI-s 3 ), s = v0t ± ( x = 5t + 4t 2 , SI-s a = 4 2 = 8 2 ) , s = s0 + v0t - ( s 2 s 2 x = 7 + 2t - 5t 2 ) . Miks on s-lt üle mindud x-le? Aga sellepärast, et s väljendab liikumist kolmemõõtmelises ruumis (x, y, z), aga gümnaasiumis osutub see liiga keeruliseks ja pole vajagi meetodi mõistmiseks. Piirdutakse ühemõõtmelise ruumiga.
vektorite moodulite ja nendevahelise nurga koosinuse korrutisega. d)2 vektori vektorkorrutis on vektor,mille moodul on võrdne vektorite moodulite ja nendevahelise nurga sin korrutisega,siht on risti tasandiga,milles asuvad korrutatavad vektorid ja suund on määratud parema käe kruvi reegliga. 2.Ühtlaselt muutuv kulgliigumine-Ühtlaselt muutuva kulgliikumise korral on konstandiks kiirendus (a=const);Vt=V0+at;S=V0t+at2/2; v= 2as . Vt tegelik kiirus , v - kiirus, a kiirendus, t - aeg, s pindala.Kulgliikumisel jääb iga kehaga jäigalt ühendatud sirge paralleelseks iseendaga. Punktmassiks loetakse keha, mille mõõtmed on palju väiksemad tema poolt läbitud tee teepikkusest. Massikese on punkt, mida läbivat mistahes sirget mööda mõjuv jõud kutsub esile selle keha kulgliikumise. Trajektoor on joon mida mööda punktmass liigub. Nihe on vektor, mis ühendab keha algasukohta lõppasukohaga. 3
Algkiirusega v0 liikudes on v = v0 at. Kuidas leida läbitud teepikkust või nihet, mis on antud juhul võrdsed? Kui oleks ühtlane liikumine, siis s = vk . t. Kuid nüüd kiirus muutub pidevalt. Tuleks leida keskmine kiirus, aga kuidas? Kui mingi suurus muutub ühtlaselt, siis keskväärtuse leidmiseks leitakse lõpp ja algväärtuste summa ning jagatakse kahega. Keskväärtus asub keskel ehk poole peal. vk = (v0 + v)/2 = (v0 +v0 + at) /2 = v0 + at/2. s = (v0 + at/2) t = v0t + at2/2. 79.Newtoni seadused: Newtoni 1. seadus: Iga keha seisab paigal või liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt seni, kuni temale rakendatud jõud seda olekut ei muuda. Ühtlaselt sirgjoonelist liikumist mõjutavad hõõrdumine ja gravitatsioonijõud. Newtoni 2. seadus: Keha kiirendus on võrdeline kehale mõjuva jõuga ja pöördvõrdeline keha massiga. Newtoni 3. seadus: Kaks keha mõjuvad teineteistele võrdvastupidise jõuga. Kui
kiirus muutub võrdsetes ajavahemikes võrdsete suuruste võrra, st. kiirendus on jääv. 1.1.4. Ühtlaselt muutuv ringliikumine: Ühtlaselt muutuv ringliikumine on ringjooneline liikumine, mille puhul keha kiirus mistahes võrdsetes ajavahemikes muutub võrdse suuruse võrra, st. kiirendus on jääv at 2 at 2 x = x0 + v0t + s = v0t ± v 2 - v02 = ±2as 2 2 1.2. Dünaamika (Sissejuhatuseks) Dünaamika on mehaanika osa, mis uurib kehadevahelist vastasmõju. Klassikalise dünaamika aluseks on kolm Isaac Newtoni poolt formuleeritud seadust. Need seadused on: 1. Iga keha säilitab oma oleku kas paigalseisu või ühtlase sirgjoonelise liikumise kujul seni, kuni temale rakenduvad jõud
0 m kõrgusel, kui keha mass on 3.0 kg. Ep h1 mgh1 147 J Ep h2 mgh2 58,8 J Ek h2 Ep h1 Ep h2 88 J 15. Pesapall visatakse üles kiirusega 20.0 m/s. Kui kõrgele ta tõuseb? Õhutakistusega mitte arvestada. Mgh = mv2/2 h = v2/2g = 20,4m 16. 200-grammise massiga keha visatakse üles algkiirusega 50.0 m/s. Leida keha potentsiaalne energia 2.0 sekundi pärast. Ep = mgh h = -gt2/2 + v0t = 80,4m Ep = mgh = 157 J 17. Neiu, kelle mass on 60 kg, sööb ära 100-grammise sokolaaditahvli, mille energiasisaldus on 600 kcal. Seejärel otsustab ta trepist üles ronida, et see energia ära kulutada. Kui kõrgele peab ta ronima? E = mgL L = E / mg = 4,27 103 m SOOJUSHULK 18. 80-kilogrammise massiga mees vaevleb 39-kraadises palavikus. Normaalne kehatemperatuur on 37 C. Eeldades, et inimene koosneb
parema käe kruvi reegliga . [v1 v2]= v1 × v2 = v1 v2 sin , kusjuures [v1v2= [v2v1] 2.Ühtlane sirgjooneline liikumine Liikumine on keha asukoha (koordinaatide) muutumine ajas. Lihtsaim on ühtlane sirgjooneline liikumine: konstantsed on kiiruse absoluutväärtus ja suund. v = S /t = const 3. Ühtlaselt ja mitteühtlaselt muutuv sirgliikumine Ühtlaselt muutuv kulgliikumine. ( a=const) v = v0 ± at ; s = v0t ± at²/2 ; v = 2as Mitteühtlaselt muutuv sirgliikumine. ( v const ; a const ) v = ds/dt ; a = dv/dt 4. Ühtlane ringliikumine Ringliikumisel on keskpunkt kehast väljas (Maa ümber Päikese). Ringjoonel liikumise kiirust v nimetatakse joonkiiruseks, mis näitab, kui pika tee läbib keha mööda ringjoont ajaühikus. Joonkiiruse suurus ei muutu ühtlasel ringliikumisel, küll aga muutub suund. Joonkiiruse suund on alati puutuja sihiline. v = const. ; = const. 5
x(prim)=x-vt. Seotud newtoni seadustega. Galilei teisendus on Newtoni mehaanika reegel, mille abil saab siduda punktmassi koordinaate vaadelduna erinevates inertsiaalsetes taustsüsteemides. Kokkuleppeliselt võetakse paigalolev süsteem, x teljed langevad kokku Punktmassi y ja z koordinaadid on paralleelsed, x koordinaadid erinevad. x’=x-v0t esimene ja viimane võrrand kehtivad juhul, kui v0 on väike, muidu Lorentz’i teisen. y’=y z’=z t’=t ⃗’= ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ N II: ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ( ⃗⃗) , jääb muutumatult kehtima, sest suhteline kiirus on mõlemas sama.
Kui kiirendus on const. ja liikumine sirgjooneline ,siis kiirus,ajahetkel t. Tähistame algkiiruse vastavalt V0,siis olgu kiirusvektori moodul: V=adt=at Tähistame algkiiruse vastavalt V0,siis kiirus ajahetkel t,ühtlaselt kiireneval liikumisel: V=V0+at Ühtlaselt aeglustuva liikumise puhul on kiiruse muut negatiivne kiirendus ka negatiivne ning kiirus ajahetkel t vastavalt V=V0at Kuna elementaarne ds=Vdt,siis juhul a=const on teepikkus ühtlaselt muutuval sirgliikumisel S=Vdt=V0dt+atdt=V0t+at²/2 Juhul V0=0 on S=at²/2 1.1.4.Ühtlaselt muutuv ringliikumine Kui ringliikumise joonkiirus ühtlaselt muutub,siis on tegemist tangensiaalkiirusega a( all),lisaks normaalkiirendusele: a( all)=limV/t=dV/dt Skalaarselt: a( all)=lim(R)/ t=Rlim/t=R(d/dt)=R Nurkkiirendus defineeritakse,kui nurkkiiruse muut ajaühiks,see tähendab =d/dt Kasutades raadiusvektorit r ja nurkkiiruse vektorit =d/dt võime tangensiaalkiirenduse kirja panna vektorkorrutisena a (all)= *r
8. Galilei teisendused. Invariantsed galilei teisendused. Seotud newtoni seadustega. Galilei teisendus on Newtoni mehaanika reegel, mille abil saab siduda punktmassi koordinaate vaadelduna erinevates inertsiaalsetes taustsüsteemides. Kokkuleppeliselt võetakse paigalolev süsteem, x teljed langevad kokku Punktmassi y ja z koordinaadid on paralleelsed, x koordinaadid erinevad. x’=x-v0t ⃗r ’= ⃗r −⃗v t y’=y z’=z t’=t Galilei relatiivsusprintsiip – üleminekul ühest inertsiaalsüsteemist teise mehaanika seadused ei muutu. Kuna süsteemid on inertsiaalsed, siis ka Newtoni I seadus kehtib mõlemas. 9. Mitteinertsiaalsed taustsüteemid liiguvad kiirendusega ning Newtoni I seadus ei kehti. Saame kirjeldada süsteemi nagu intersiaalsüsteemi, kui ⃗a ⃗
s Kiirus ühtlasel sirgjoonelisel liikumisel v= t 2 a t Ühtlaselt kiireneva sirgjoonelise liikumise võrrand x=x0+v0t+ 2 (keha kiirus kasvab võrdsetes ajavahemikes ühe palju kiirendus on konstantne) Nihe (teepikkus) ühtlaselt muutuval sirgjoonelisel liikumisel s = v 0 t+ 2 a t
Selles järeldub, et II seadus kehtib samuti ainult inertsiaalsüsteemides. III seadus- kui keha M1 mõjub kehale M2 jõuga F21, siis keha M2 mõjutab keha M1 jõuga F12. Jõud millega kehad üksteist mõjutavad on alati võrdsed ning suuna poolest vastupidised. F12= -F21 Galilei teisendused ja relatiivsusprintsiip Kui on kaks taustsüsteemi K ja K', kui ka on tinglikult liikumatu, siis K' liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt. Süsteemide punktid x=x'+v0t;y=y';z=z'. Lisades nendele seostele klassikalises mehaanikas tunnustatud eelduse, et aeg kulgeb mõlemas süsteemis ühtemoodi(t=t') saame x = x'+ v0 t y = y' süsteemi: , mida nimetatakse Galilei teisendusteks. Esimene ja viimane võrrand z = z' t = t ' selles süsteemis kehtivad ainult siis kui v0 on palju väiksem valgusekiirusest, kui aga v0 on võrreldav valguskiirusega, tuleb kasutada üldisemaid Lorentzi teisendusi
annaabi.ee 
