Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Tuletis". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
arcsin, cos2x, sin2x, arccos, arctan(arcsin x) = 1 x 2 (arcsin u )x = 2 1 x2 dx = arcsin x + c 1 u 17 (arccos x) = 1 u x (arccos u )x = 1 x2 1 u2 18 1 u x 1 (arctan x) = 1+ x2
(arcsin x) = 1 x 2 (arcsin u )x = 2 1 x2 dx = arcsin x + c 1 u 17 (arccos x) = 1 u x (arccos u )x = 1 x2 1 u2 18 1 u x 1 (arctan x) = 1+ x2
y ' = lim = lim x 2 lim cos x x 0 x 2 x / 20 x0 2 2 2 = cos x MOTT. 2 Ülesanne (kodus): Leida y = cos x tuletis. Diferentseerimise põhivalemid 1 y = const y' = 0 y = arcsin x y' = 1- x2 y = x y ' = x -1 1 1 y = arccos x y' = - y= x y' = 1- x2 2 x 1 1 1 y = arctan x y' = y= y' = - 2 1+ x2 x x 1
Tuletiste tabel 1. (x ) = x-1 c =0 c-konstant, x =1 = 1, 1 ( x) = = 12 , 2 x 1 1 =- = -1. x x2 2. (sin x) = cos x. 3. (cos x) = - sin x. 1 4. (tan x) = . cos2 x 1 5. (cot x) = - . sin2 x 6. (ax ) = ax ln a a > 0, a = 1. 7. (ex ) = ex . 1 8. (loga x) = a > 0, a = 1. x ln a 1 9. (ln x) = . x 1 10. (arcsin x) = 1 - x2 1 11. (arccos x) = - 1 - x2 1 12. (arctan x) = 1 + x2 1 13. (arccot x) = -
Tuletiste tabel 1. (xα ) = αxα−1 c =0 c-konstant, x =1 α = 1, √ 1 ( x) = √ α = 12 , 2 x 1 1 =− α = −1. x x2 2. (sin x) = cos x. 3. (cos x) = − sin x. 1 4. (tan x) = . cos2 x 1 5. (cot x) = − . sin2 x 6. (ax ) = ax ln a a > 0, a = 1. 7. (ex ) = ex . 1 8. (loga x) = a > 0, a = 1. x ln a 1 9. (ln x) = . x 1 10. (arcsin x) = √ 1 − x2 1 11. (arccos x) = − √ 1 − x2 1 12. (arctan x) = 1 + x2
tan 49)a) sin sin cos cos sin 50)a ) cos sin cos cos sin 51) sin 2 2 sin cos 52)a ) cos 2 cos 2 sin 2 2 tan b) tan 2 1 tan 2 Kirjuta põhivõrrandite lahendivalemid: 53) sin x m, x 1 arcsin m n n 54) cos x m, x arccos m 2n 55) tan x m, x arctan m n 56) Asendused trigonomeetrias sin tan cos sin 2 cos 2 1 cos 2 sin 2 cos 2 a) b) c) d) 1 1 tan 2 cos 2 2 ;2 57
pöördfunktsioon puudub, kuna igale muutuja y väärtusele funktsiooni muutumispiirkonnast vastab lõpmata palju argumendi x väärtusi. Küll aga võime leida selle funktsiooni pöördfunktsiooni sel juhul, kui ahendame tema määramispiirkonna lõiguks X = [- / 2; / 2] 10 Näide 1 Kui X = [- / 2 ; / 2] on siinusfunktsiooni pöördfunktsiooniks vastav arkusfunktsioon: x = arcsin y, Y [-1; 1] y 2 NB! Esialgse funktsiooni y = arcsin x muutumispiirkonnast saab 1,5 y= x pöördfunktsiooni 1
Funktsiooni m˜oiste Definitsioon 1 Kui on antud eeskiri, mis hulga X R igale elemendile seab vastavusse elemendi hulgast Y R, siis ¨oeldakse, et on antud funktsioon hulgal X. Funktsioone t¨ahistatakse matemaatikas f ,g,h,...,',jne. f (x) = avaldis x-ist f (x) = x + 1. Funktsiooni esitusviisid I Tabelina. x 1 3 10 f (x) 2 4 11 f (1) = 2, f (3) = 4 ja f (10) = 11. I Anal¨u¨utiliselt f (x) = valem muutujast x. f (x) = x + 1. Definitsioon 2 Anal¨u¨utilisel kujul esitatud funktsiooni m¨a¨aramispiirkonnaks nimetatakse argumendi k˜oigi v¨a¨artuste hulka, mille korral see valem on m¨a¨aratud. M¨a¨aramispiirkonda t¨ahistatakse X. I Graafiliselt. Funktsiooni graafikuks nimetatakse punktihulka G = {(x,f (x))|x 2X}. Definitsioon 3 Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x kuulubX korral kehtib v˜ordus f (−x) = f (x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x kuulubX korral kehtib v˜ordus f (−x) = −f (x). Lause 1 I Kahe paaris
Vaadeldes joonisel 1.8 l~oigul [- 2 , 2 ] paiknevat siinuse graafiku osa n¨aeme, et suvaline x-teljega paralleelne sirge l~oikab seda maksimaalselt u ¨hes punktis. Seega on funktsioon y = sin x, x [- , ] 2 2 u ¨ks¨ uhene. Selle funktsiooni p¨o¨ordfunktsiooni nimetatakse arkussiinuseks ja t¨ahistatakse x = arcsin y. Kehtivad seosed arcsin[sin x] = x ja sin[arcsin y] = y, (1.3) 10 neist esimene iga x [- 2 , 2 ] korral. Funktsiooni y = cos x, mis ei ole samuti u ¨ks¨ uhene kogu arvteljel, p¨o¨oramisel ahendatakse tema m¨a¨aramispiirkond l~oiguks [0, ]. Sellel l~oigul on ta u
Trigonomeetriliste funktsioonide tuletised Hüperboolne trig. 1 1 e x - e -x (sin x ) = cos x ( arcsin x ) = ( sh x ) = ch x ( arsh x ) = sh x := 1- x2 x 2 +1 2
Vaadeldes joonisel 1.8 l~oigul [- 2 , 2 ] paiknevat siinuse graafiku osa n¨aeme, et suvaline x-teljega paralleelne sirge l~oikab seda maksimaalselt u ¨hes punktis. Seega on funktsioon y = sin x, x [- , ] 2 2 u ¨ks¨uhene. Selle funktsiooni p¨o¨ordfunktsiooni nimetatakse arkussiinuseks ja t¨ ahistatakse x = arcsin y. Kehtivad seosed arcsin[sin x] = x ja sin[arcsin y] = y, (1.3) 10 neist esimene iga x [- 2 , 2 ] korral. Funktsiooni y = cos x, mis ei ole samuti u ¨ks¨ uhene kogu arvteljel, p¨o¨oramisel ahendatakse tema m¨a¨ aramispiirkond l~oiguks [0, ]. Sellel l~oigul on ta u
3 radiaanid 0 3 6 4 3 2 2 Diferentseerimise valemid y const y' = 0 y arcsin x 1 y'= 1 x2 y xa y' = ax a 1 y arccos x 1 y'=
Funktsiooni y = a x pöördfunktsioon nimetatakse logaritmfunktsiooniks ja tähistatakse x = loga(y). Erijuhul, kui a = e, siis seda funktsiooni nimetatakse naturaallogaritmiks ja tähistatakse x = ln(y). Määramispiirkond on X = (0; +∞) ja muutumispiirkond Y = R. Need on seotud omavahel nõnda, et eksponentfunktsiooni X on logaritmfunktsiooni Y ja vastupidi. 20. Miks on funktsiooni y = sin x pööramisel vaja tema määramispiirkonda kitsendada? Kuidas on defineeritud funktsioon y = arcsin x? Millised on selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik? (lk 10 – 11, 17) Funktsiooni y = sin x pööramisel kitsendatakse tema määramispiirkond kokkuleppeliselt lõiguks [− π /2 , π /2 ], st jäetakse vaatluse alt välja kogu sin x osa, mille korral x ei ∈ [−π 2 , π 2 ]. Vaadeldes lõigul [−π 2 , π 2 ] paiknevat siinuse graafiku osa näeme, et suvaline x- teljega paralleelne sirge lõikab seda maksimaalselt ¨ühes punktis. Seega on funktsioon y = sin
- 2 x 2 -1 Joonis 1.15: funktsioon y = sin x l~oigul - ; 2 2 Antud juhul vastab igale muutuja y [-1; 1] v¨a¨artusele u ¨ks muutuja x v¨aa¨rtus. Seda p¨o¨ordfunktsiooni t¨ahistatakse x = arcsin y. P¨arast t¨ahistuse muutmist saame funktsiooni y = sin x, x - ; p¨oo¨rdfunktsiooni y = 2 2 arcsin x. Selle funktsiooni m¨a¨aramispiirkond on X = [-1; 1] ja muutumis- piirkond Y = - ; . 2 2 12 y
DEFINITSIOON 2. Muutuja x väärtuste hulka, mille puhul f(x) väärtus on lõplik, nimetatakse funktsiooni y = f(x) MÄÄRAMISPIIRKONNAKS. X = { x R; f(x) väärtus on lõplik}. PÕHILISED ELEMENTAARFUNKTSIOONID: 1. Astmefunktsioonid: y = x , Q; 2. Eksponentfunktsioonid: y = ax, a > 0, a 1; 3. Logaritmfunktsioonid: y = loga x, a > 0, a 1; 4. Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x; 5. Arkusfunktsioonid: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arccot x. 2 LIITFUNKTSIOON DEFINITSIOON 1. Funktsiooni, mille argumendiks ei ole sõltumatu muutuja, vaid tema mingi funktsioon, nimetatakse LIITFUNTSIOONIKS sõltumatu muutuja suhtes. z = g(y) = g(f(x)). PÖÖRDFUNKTSIOON DEFINITSIOON 2. Kui funktsiooni y = f(x) korral x = (y), siis funktsiooni y = (x) nimetatakse lähtefunktsiooni PÖÖRDFUNKTSIOONIKS ja vastupidi. ERIOMADUSTEGA FUNKTSIOONE
Reaalarvud Positiivsed ja negatiivsed täisarvud ning murdarvud koos arvuga 0 moodustavad ratsionaalarvude hulga. Ratsionaalarve saab väljendada kahe täisarvu suhtena ja lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. 1 −5 1 1 Nt 4 ; 1 ; 3 =0,(3); 7 . Lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud moodustavad irratsionaalarvude hulga. Nt. π; e; √2 ; √3 . Ratsionaalarvude ja irratsionaal arvude hulgad moodustavad kokku reaalarvude hulga. Arvtelg ___ lõpmatu sirge, millel on määratud suund, 0-punkt ja pikkusühik. Igale reaalarvule vastab arvteljel üks punkt ja vastupidi. Reaalarvude hulgal on selline omadus, et iga kahe reaalarvu vahel on veel ratsionaalarve ja irratsionaalarve. Reaalarvu absoluutväärtus. Olgu arv x. Selle arvu absoluutväärtus moodul I x I on defineeritud järgmiselt: I x I = x, kui x ≥ 0 I x I = -x, kui x < 0 Nt. I 3 I = 3 ; I -5 I = 5 ; I 0 I = 0 Arvu absoluutväärtus muudab arvteljel selle arvu kaugust
pöördfunktsioone. Pöördfunktsiooni defineeritakse nende funktsioonide määramispiirkondade alamhulkadel. arcsin[sin x] = x ja sin[arcsin y] = y, neist esimene iga x [-/2, /2] korral. arccos[cos x] = x ja cos[arccos y] = y, neist esimene iga x [0, ] korral. arctan[tan x] = x , tan[arctan y] = y , arccot[cot x] = x , cot[arccot y] = y, neist esimene iga x (-/2, /2 ) ja kolmas iga x (0, ) korral. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: y = arcsin x : X = [-1, 1], Y = [-/2,/2] , y = arccos x : X = [-1, 1], Y = [0, ] , y = arctan x : X = R, Y = (-/2,/2) , y = arccot x : X = R, Y = (0, ) . 5. Algebralised tehted funktsioonidega. Liitfunktsiooni mõiste. Liitfunktsiooni määramispiirkond. Põhilised elementaarfunktsioonid. Elementaarfunktsiooni definitsioon. Polünoom ja ratsionaalfunktsioon. Algebralised tehted funktsioonidega. Olgu antud kaks funktsiooni y =f(x) ja y = g(x) ühise määramispiirkonnaga X
1 + cos = 2 cos 2 2 1 - cos = 2sin 2 2 3.12 Korrutise teisendamine summaks 1 sin sin = cos ( - ) - cos ( + ) 2 1 cos cos = cos ( - ) + cos ( + ) 2 1 sin cos = sin ( - ) + sin ( + ) 2 tan + tan tan tan = cot + cot 3.13 Trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid (arkusfunktsioonid) 1. arcsin m on absoluutväärtuselt vähim nurk, mille siinus on m: sin ( arcsin m ) = m , kusjuures - arcsin m , 2 2 -1 m 1 . 2. arccos m on vähim mittenegatiivne nurk, mille koosinus on m: cos ( arccos m ) = m , kusjuures
(u+v)'=u'+v' Funktsiooni korrutise tuletis (c*u)'=c*u' (u*v)'=c'u+cu' Astmefunktsiooni tuletis (xa)'=axa-1 (x)'=1/(2x) Trigonomeetriliste funktsioonide tuletised Logaritmfunktsiooni tuletised (logax)'=1/(x ln a) (lnx)'=1/x Eksponent funktsiooni tuletised (ax)'=axln a (ex)'=ex Liitfunktsioon F ( x) = f (u ) g ( x) Veel reegleid funktsioonide tuletiste kohta: x = 1 1 1 = 2 x x c = 0 Trigonomeetrilised põhivõrrandid sin x = m, x = ( -1) arcsin m + n, n Z n cos x = m, x = ±arccos m + 2n, n Z tan x = m, x = arctan m + n, n Z cot x = m, x = arc cot m + n, n Z Funktsiooni tuletis ( xx)))=x)=cos (((F(aeax - sin ))))=)=x=) (ln axxxx)) ===)(u= (sin (cos ( x x 1x =af= a= 1ln en22(-xxa11)1 2 ) 1ag1ln xxxnx x xx
5 -2 Antud funktsioon on u ¨hene. S~ oltuva muutuja y iga v¨a¨artus l~opmatust vahemikust (-; ) = Y on t¨ ¨he argumendi v¨a¨artuse x X kujutiseks, st kui vaadelda muu- apselt u ¨hese funktsiooni x = 1 - 10y tujat x muutuja y funktsioonina x = x (y) , saame samuti u (Y = (-, +)) . N¨aide 5. Olgu y = arccos x. Et koosinuse v¨a¨artused kuuluvad l~oiku [-1; 1], siis antud eeskiri omab m~ otet, kui x [-1; 1], st X = [-1; 1]. Arkuskoosinuse v¨a¨artused kuuluvad l~ oiku [0; ]. Seega Y = [0; ]. Funktsiooni graafikuks on 3 2.5 2 y
sin = 2 2 1 + tan 2 1 - tan 2 cos = 2 2 1 + tan 2 · Trigonomeetrilised põhivõrrandid sin x = m, x = ( -1) arcsin m + n, n Z n cos x = m, x = ± arccos m + 2n, n Z tan x = m, x = arctan m + n, n Z cot x = m, x = arc cot m + n, n Z · Arkusfunktsioonide omadusi sin(arcsin x) = x cos(arccos x) = x tan(arctan x) = x arcsin( x) = arcsin x arccos( x) = arccos x
Funktsiooni y = sinx pööramisel ahendatakse tema määramispiirkond kokkuleppeliselt lõiguks [ −π π ; 2 2 ] . Seega on funktsioon y = sin x, x ∈ [ −π π ; 2 2 ] on üksühene. Selle funktsiooni pöördfunktsiooni nimetatakse arkussiinuseks ja tähistatakse x = arcsin y. Kehtivad seosed arcsin[sin x] = x ja sin[arcsin y] = y. Funktsiooni y = cos x, mis ei ole samuti üksühene kogu arvteljel, pööramisel ahendatakse tema määramispiirkond lõiguks [0, π]. Funktsiooni y = cos x, x ∈ [0, π] pöördfunktsioon kannab nimetust arkuskosinus ja seda täühistatakse x = arccos y. Kehtivad valemid arccos[cos x] = x ja cos[arccos y] = y
2 1 cos cos cos cos 2 1 sin cos sin sin 2 tan tan tan tan cot cot 3.13 Trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid (arkusfunktsioonid) 1. arcsin m on absoluutväärtuselt vähim nurk, mille siinus on m: sin arcsin m m , kusjuures arcsin m , 2 2 1 m 1 . 2. arccos m on vähim mittenegatiivne nurk, mille koosinus on m:
2 2 1 1 cos cos = [ cos( - ) + cos( + )] cos 2 = (1 - cos 2 ) 2 2 1 sin cos = [ sin( - ) - sin( + )] 2 Trigonomeetriliste põhivõrrandite lahendamine: Kui sin x = m , siis x = (-1) n arcsin m + n , kus n Z Kui cos x = m , siis x = ± arccos m + 2k , kus k Z Kui tan x = m , siis x = arctan m + l , kus l Z Kui cot x = m , siis x = arc cot m + t , kus t Z Aritmeetiline jada: a + an 2a + (n - 1) d a n = a1 + ( n - 1)d Sn = 1 n Sn = 1 n 2 2
MTMM.00.340 Kõrgem matemaatika 1 2016 KÄRBITUD loengukonspekt Marek Kolk ii Sisukord 0 Tähistused. Reaalarvud 1 0.1 Tähistused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.2 Kreeka tähestik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.3 Reaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.4 Summa sümbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Maatriksid ja determinandid 7 1.1 Maatriksi mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Tehted maatriksitega . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 cos x cos x cos 2 x cos 2 x 1 tan x = cos 2 x 1 analoogselt käib ka cot x =1 sin 2 x 21. Arkusfunktsioonide tuletised y = arcsin x x = sin y ( arcsin x ) = 1 = 1 cos y = 1 = 1 ( sin y ) 1 - sin y 2 1- x2 ( arcsin x ) = 1
üheseid pöördfunktsioone. Pöördfunktsiooni defineeritakse nende funktsioonide määramispiirkondade alamhulkadel. arcsin[sin x] = x ja sin[arcsin y] = y, neist esimene iga x [-/2, /2] korral. arccos[cos x] = x ja cos[arccos y] = y, neist esimene iga x [0, ] korral. arctan[tan x] = x , tan[arctan y] = y , arccot[cot x] = x , cot[arccot y] = y, neist esimene iga x (-/2, /2 ) ja kolmas iga x (0, ) korral. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: y = arcsin x : X = [-1, 1], Y = [-/2,/2] , y = arccos x : X = [-1, 1], Y = [0, ] , y = arctan x : X = R, Y = (-/2,/2) , y = arccot x : X = R, Y = (0, ) . Ilmutatud funktsioon funktsiooni y=f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldus, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Ilmutamata funktsioon Funktsiooni y=f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi, st võrrand F(x,y)=0, kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis.
....................................... 14 19. Funktsioonide y=sin x, y=cos x , y=loga x , y=ax tuletiste leidmine. .....................................14 20. Tehetega seotud diferentseerimisreeglid. Funktsioonide y = tan x , y = cot x tuletiste leidmine. ........................................................................................................................................ 16 21. Eeskiri pöördfunktsiooni tuletise leidmiseks. Funktsioonide y = arcsin x , y = arccos x, y = arctan x, y = arc cot x tuletiste leidmine. .......................................................................................16 22. Kirjeldada logaritmilise diferentseerimise võtet. Millistel juhtudel seda võtet rakendatakse? Tuua näide. .................................................................................................................................... 17 23. Eeskiri parameetrilisel kujul antud funktsiooni diferentseerimiseks. .....................................
y=logax
määramispiirkond X=(0, ) väärtuste kulk Y=R. Graafik on juhtudel
a>1 ja 0
defineeritakse nende funktsioonide määramispiirkondade alamhulkadel. arcsin[sin x] = x ja sin[arcsin y] = y, neist I iga x [-/2, /2] korral. arccos[cos x] = x ja cos[arccos y] = y, neist I iga x [0, ] korral. arctan[tan x] = x , tan[arctan y] = y , arccot[cot x] = x , cot[arccot y] = y,neist I iga x (-/2, /2 ) ja III iga x (0, ) korral. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: y = arcsin x : X = [-1, 1], Y = [-/2,/2] , y = arccos x : X = [-1, 1], Y = [0, ] , y = arctan x : X = R, Y = (-/2,/2) , y = arccot x : X = R, Y = (0, ) . 5) · Algebralised tehted funktsioonidega y = (f +g)(x) = f(x) + g(x) y = (f g)(x) = f(x) g(x) y = (fg)(x) = f(x)g(x) · Liitfunktsiooni mõiste Olgu antud kaks funktsiooni: y=f(x) määramispiirkonnaga Xf ja z=g(y) määramispiirkonnaga Yg
defineeritakse nende funktsioonide määramispiirkondade alamhulkadel. arcsin[sin x] = x ja sin[arcsin y] = y, neist I iga x [-/2, /2] korral. arccos[cos x] = x ja cos[arccos y] = y, neist I iga x [0, ] korral. arctan[tan x] = x , tan[arctan y] = y , arccot[cot x] = x , cot[arccot y] = y,neist I iga x (-/2, /2 ) ja III iga x (0, ) korral. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: y = arcsin x : X = [-1, 1], Y = [-/2,/2] , y = arccos x : X = [-1, 1], Y = [0, ] , y = arctan x : X = R, Y = (-/2,/2) , y = arccot x : X = R, Y = (0, ) . 5) · Algebralised tehted funktsioonidega y = (f +g)(x) = f(x) + g(x) y = (f g)(x) = f(x) g(x) y = (fg)(x) = f(x)g(x) · Liitfunktsiooni mõiste Olgu antud kaks funktsiooni: y=f(x) määramispiirkonnaga Xf ja z=g(y) määramispiirkonnaga Yg
y=log ax määramispiirkond X=(0, ) väärtuste kulk Y=R.
Graafik on juhtudel a>1 ja 0
B/2 ln(x2+px+q)-Bp/2 dx / x + px + q 2 = 2 (viimane tähistame I); asend:t=x +px+q, dt= (2x+p)dx, Bx+C=B/2(2x+p)-B/2; I=? X2+px+q=täiruudu er (x2+2x p/2 +p2/4)- p2/4 +q =(x+p/2)2 +(q-p2/4)= (q-p2/4) p2 p2 p p2 *[(x+p/2 / q - )2 +1]; I=1/ q - arctan x+ / q - +C 4 4 2 4 31.F-nide R(sinx, cosx) int-misest Def R(sinx, cosx)=> y=sinx; z=cosx=>tanx=y/z, cotx=z/y=>R(y,z)-rats y,z suhtes. *Nt sinx/cosx+1 =y/z+1; *I universaalne asendus R (sin x; cos x)dx = asendus:t=tanx/2, x/2=arctant, x=2 arctant, dx= 2/1+t2 *dt, sinx=2t/1+t2, cosx=1-t2/1+t2; = R (2t / 1 + t ;1 - t / 1 + t )2 / 1 + t * dt II 2 2 2 2 dt
annaabi.ee 
