Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
keskväärtus, valim, statistik, piirteoreem, poisson, tsentraalse, bayes, tinglik, juhuslikud, binoomjaotus, normaaljaotus, korrelatsioon, nihketa, tõepära, geomeetriline, diskreetse, tihedusfunktsioon, kovariatsioon, hüpotees, tõenäosusteooria, algebra, tuletamine, täistõenäosus, koondumine, poissoni, jaotusfunktsiooni, laplace, rakendus∑Hi=Ω. Täistõenäosuse valemi tuletamine: P(A) = P(AΩ) = P(A∑Hi) = P(∑AHi) = ∑P(AHi) = ∑[P(A|Hi)P(Hi)] (Korrutuslause: P(A|B) = P(AB)/P(B)) ( | ) ( ) Bayes’i valem: ( | ) = ( ) ( ) ( | ) ( ) Bayes’i valemi tuletamine: ( | ) = ( ) = ( ) 7. Tinglik tõenäosus ja Bayes’i valem. Bayes’i valemi praktiline interpretatsioon Kui P(A) > 0, siis tõenäosust P(B|A) = P(AB)/P(A) nimetatakse sündmuse B tinglikuks tõenäosuseks tingimusel A. Kui toimus sündmus A, siis kui suur on tõenäosus, et toimus sündmus Hj. … 8. Juhuslik suurus, tema jaotus ja tõenäosus. Nende mõistete vahelised seosed Def1. Suurust X, mille võrdumine katse käigus etteantud väärtustega x on juhuslik sündmus, nim juhuslikuks suuruseks
k n! V n= ( n−k ) ! Arv hulgas on fikseeritud ning mitu erinevat järjestust saab olla. Permutatsioon on mingi n-elemendilise hulga n-elemendilised järjestatud osahulgad. Pn=n ! Erinevad järjestused. 13. Üksteist välistavate sündmuste summa tõenäosus. Teineteist välistavate sündmuste A ja B summa tõenäous võrdub nende tõenäosuste summaga P ( A ∪ B )=P ( A ) + P( B) ehk ühendiga. 14. Sündmuste sõltumatus ja tinglik tõenäosus. Sündmused on sõltumatud, kui ühe sündmuse toimumine ei mõjuta teise sündmuse toimumist. Tinglikuks tõenäosuseks nimetatakse sündmuse A toimumise tõenäosust juhul, et toimus P (A ∩ B) sündmus B. P ( A|B )= P( B) 15. Korrutamislause. Sündmuste A ja B korrutise tõenäosuseks nimetatakse arvu, mis saadakse ühe sündmuse tõenäosuse korrutamisel teise sündmuse tingliku tõenäosusega esimese suhtes.
intensiivsus, kui elektrivälja vektori funktsioon. Mida näitab valguse intensiivsus? ⃗ Pointingi vektor S näitab energia hulka, mis kantakse ajaühikus läbi ühikulise pinnaga pindala. 1 2 S= ∙ ⃗E ×⃗ B=c ε 0 ⃗ E×⃗B μ0 2 1 1 2 c= ⇒ =c ε 0 ε 0 μ0 μ0 E=E 0 cos ( ωt−kr ) Valguse intensiivsus on Pointingi vektori keskväärtus üle pika aja (vähemalt 1 periood). ωt−kr 1 cos 2 ( ¿ ) = 2 E¿ Intensiivsus: 1 1 E 1 I =⟨ S ⟩= c 2 ε 0 E0 B 0= c 2 ε 0 E 0 0 = c ∙ ε 0 E 20 2 2 c 2 64. Lähtudes Huygens-Fresneli printsiibist, tuletada avaldis kahe pilu interferentsi maksimumide leidmiseks. ∆ n=r 2−r 1 =m∙ λ
Pidev suurus - väärtused täidavad mingi vahemiku täielikult ära Jaotusseadus - Diskreetse juhusliku suuruse X jaotusseaduseks nimetatakse vastavust suuruse kõikvõimalike väärtuste xi ja nende tõenäosuste pi vahel. Jaotusfunktsioon - tõenäosus, et juhusliku suuruse X väärtus on väiksem-võrdne mingist reaalarvust x. Valem: F(x)=P(X<=x) Keskväärtus ehk oodatav väärtus - Kui juhusliku suuruse X väärtuse xi esinemise tõenäosus on pi , siis selle juhusliku suuruse keskväärtus ehk oodatav väärtus. Oodatav väärtus on otsustamisel kriteeriumiks. Valitakse see alternatiiv, mille korral oodatav väärtus on ekstremaalne. Näiteks: oodatav kasum maksimaalne,oodatav kulu minimaalne Valem: µ=E[X]= ∑ pixi Dispersioon – diskreetse juhusliku suuruse dispersioon σ^2=∑(xi-µ)^2*pi Pidev juhuslik suurus - Pideva juhusliku suuruse korral ei saa rääkida mingi üksiku konkreetse väärtuse esinemise tõenäosusest
RAKENDUSSTATISTIKA ARVUTUSGRAAFILINE TÖÖ Osa A 1. Valim mahuga N = 25 jrk ni xi ni * xi ni * 2088, 1 1 2 2 2089,25 49 1909, 2 1 4 4 1910,42 69 1656, 3 1 7 7 1657,17 49 1576, 4 1 8 8 1576,75 09
Rakendusstatistika arvestusharjutus AGT-1 (Andmete kood: 38 42 36) OSA A 1. Leida keskväärtuse, dispersiooni, standarthälbe, mediaani ja haarde hinnangud Keskväärtus N 1 ´x = N ∑ xi i=1 ´x =53,24 Dispersioon N 1 s x 2= ∑ N−1 i=1 ( x i−´x )2 s x 2 =705,69 Standardhäve s x =√ s x 2 s x =26,56 Mediaan Me=51 Haare R = xmax – xmin = 94 – 9 = 85 2
YFR0012 Eksami küsimused Mis on elektrilaeng ja millised tema 5 põhiomadust. Elektrilaeng on mikroosakese fundamentaalne omadus. Elektrilaengu põhiomadused: Elektrilaenguid on kahte tüüpi: positiivne ja negatiivne. Eksisteerib vähim positiivne ja negatiivne laeng, mis on absoluutväärtuselt täpselt võrdsed. Elementaarlaeng. Elektrilaeng ei eksisteeri ilma laengukandjata. Kehtib elektrilaengu jäävuse seadus: Isoleeritud süsteemis on elektrilaengute algebraline summa jääv. Elektrilaeng on relativistlikult invariantne. Ei sõltu taustsüsteemist. Coulomb’ seadus, joonis, valem, seletus. Samanimelised laengud tõukuvad. Erinimelised laengud tõmbuvad. Valem: k∗1 ∗q 1∗q 2 ε r 12 ∗⃗ r 212 ⃗ F12= r 12 Joonis: ε ≥ 1 on suhteline dielektriline läbitavus, vaakumis ε =1 Elektrivälja tugevus. Valem, ühik, suund. Jõujo
13,848 χ ( 2 ( 1+ p ) 2 ; n−1) Dispersiooni 90%-line usalduspiirkond on (536,52 ; 1410,84) 2 P(536,52< σ^ <1410,84) 3. Kontrollida järgmisi hüpoteese: (Eeldades üldkogumi normaaljaotust ning võttes olulisuse nivooks α = 0,1) 3.1 H 0 : μ=50 alternatiiviga H 1 : μ ≠ 50 t statistik = |√N ´ s || 25 28,53 | ( x −μ0 ) = √ ( 44,84−50 ) =|−0,9043|≈|−0,90| Studenti funtktsioon: t(0,1;24) = 1,7109 Hüpotees vastab tõele, kuna |t|>t 1−∝ /2 (f ) ja |−0,90| < 1,7109 H0 hüpotees vastu võetud. 2 2 3.2 H 0 : σ =800 alternatiiviga H 0 : σ ≠ 800 s2 (
teada ning firma teab palju rahvas seda umbkaudselt ostab. Kui tehakse tootearendus näiteks tuuakse turule uus vähem suhkrut sisaldav proteiinikohuke, siis on võimalik fikseeritud ajavahemiku jooksul (näiteks 3 kuud), vaadata, kuidas rahvas uuele tootele reageerib ja palju seda ostetakse. Antud toodete müügitulemused 3 kuu jooksul näitavad, kas tootearendus tasus ära (kas uut kohukest ostetakse või mitte). Sarnaste tulemuste võrdlemisel saab kasutada näiteks keskväärtus. Toidutööstuses tuleb väga tihti ette kvaliteedikontrolli, kus vaadatakse, kas pakendil välja toodud numbrid vastavad ka tegelikusele. Näiteks on paljude šokolaadide peal kirjas kakao sisaldus (70%, 80%, 90% vms), et olla selles kindel tuleb teha mitmeid katseid enne, kui toode poeletile jõuab. Selleks saab kasutada järgmiseid arvkarakteristikuid: keskväärtus, standardhälve, haare, mediaan jne. Korrelatsioon iseloomustab kahe sõltuva juhusliku suuruse vahelist seost. Seda saavad
Simuleerimine X Olgu meil juhuslik vektor X =( ) Y . Juhuslikud suurused X ja Y on antud juhul tunnused, mis koosnevad 40 objektist. Tunnused X ja Y olgu alljärgnevad: μ,σ X ~ μ lahendaja vanusega aastates ja standardhälve σ = N ¿ ) , kus keskväärtus 2∗lahendaja kinganumber 10 ning Y = aX+U, kus konstant a võrdub lahendaja kinga 0, σ numbriga ning U N ¿ ), kus σ =2∗(lahendaja vanus aastates ) . Ülesanne 1) Leidke lineaarne korrelatsioonikordaja corr(X,Y). 2) Leidke juhuslike suuruste X+Y keskväärtusele 0.95 usaldusintervall. Mis on selle intervalli suurim ja vähim väärtus? Lahendus Ülesanne on lahendatud MS Exceli abil. Lahendaja andmed: X ~ N (21;8
LTMS.00.022 ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS Loengukursus Tartu Ülikooli loodus- ja täppisteaduste valdkonna üliõpilastele 2019./2020. õppeaasta Toivo Leiger Joonised: Ksenia Niglas Pisitäiendused 2016–20: Märt Põldvere, Natalia Saealle, Indrek Zolk, Urve Kangro 2 Sisukord 1 Reaalarvud 6 1.1 Järjestatud korpused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Korpuse aksioomid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Järjestatud korpus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Täielik järjestatud korpus . . . . . . . . . . . . .
95 1 95 9025 2383,3924
97 1 97 9409 2582,6724
98 1 98 9604 2685,3124
99 1 99 9801 2789,9524
∑ 50 2309 152315 45685,38
1
1. X=(∑nixi)/n= 46,18
Dx=(∑ni(xi-X)2)/n= 913,71
S=σ=√Dx= 30,23
Scor=√(n/(n-1))*S= 30,54
Me= 45; 49
Mo= 13; 66; 73
R=xmax-xmin= 99
2. Tõene keskväärtus on μ=0,05, P=95% korral t=1,96 ,seega:
X-t(σ/√n)<μ
Klassikaline või geomeetriline tõenäosus μ(ΩA)=(2,25-2*0,5)=1,25 k V =k! Ck P(A)=1,25/2,25=5/9 Variatsioonid: n n Liitmislause, korrutamislause, tinglik 1) Karbis on 10 pooljuhti, neist 7 hiljuti testitut. Karbist tõenäosus, sõltumatud sündmused, võetakse huupi 5 pooljuhti. Leidke tõenäosus, et sõltumatute katsete seeria nende hulgas on täpselt 3 hiljuti testitut. Liitmislause: P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2) Lahendus: A=“3 pooljuhti 5-st on testitud“ P((A1+A2)+A3)= P(A1)+P(A2)+P(A3)-P(A1A2)-
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK Α α alfa Ν ν nüü Β β beeta Ξ ξ ksii Γ γ gamma Ο ο omikron Δ δ delta Π π pii Ε ε epsilon Ρ ρ roo Ζ ζ dzeeta Σ σ sigma Η η eeta Τ τ tau Θ θ teeta Υ υ üpsilon Ι ι ioota Φ φ fii Κ κ kap
n x i i 2009 52,12 n 50 1. Keskväärtus ´x =52,12 S 2= ∑ ni ( x i−´x i ) = 37539,28 =750,79 Dispersioon n 50 S2=750,79 Standardhälve S= √ S2= √750,79=27,40 S=27,40 Korrigeeritud standarthälve Sc= √ n n−1
Standardhälve: = 2 Haare on suurima ja vähima väärtuse vahe. 2. Sündmus ja tõenäosus. Kindel sündmus ja võimatu sündmus. Sündmus on tõenäosusteooria põhimõiste. Tavaliselt tähistatakse suurte tähtedega, vajadusel kasutatakse indekseid. Nt A, A1 , Bi , Cjk jne. Sündmuse tõenäosus on sündmuse võimalikkust näitav arv lõigul [0,1], mida tavaliselt tähistatakse P. Võimatu sündmuse V tõenäosus P(V)=0, kindla sündmuse K tõenäosus P(K)=1. Ülejäänud sündmused on juhuslikud sündmused. 3. Tehted sündmustega: vastandsündmus, sündmuste summa, sündmuste korrutis, sündmuste vahe. Esitada definitsioonid ja osata tuua näiteid. Sündmuse A vastandsündmus A on sündmus, mis toimub siis, kui A ei toimu. P(A)+P( A )=1. Sündmuste A ja B summa A+B on sündmus, mis toimub siis, kui toimub A või toimub B või toimuvad A ja B korraga. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) Sündmuste A ja B korrutis AB on sündmus, mis toimub siis, kui toimuvad A ja B korraga
mW – veekaalu sisalduv puiduproov Puidu ristlõike kahanemine ja tursumine niiskusesisalduse muutumisel Ristlõike mõõtmete muutumine leitakse ∆u ∆h = α ⋅ ⋅h 100% ∆u ∆b = α ⋅ ⋅b 100% Δu – niiskusesisalduse muutus puidus (4%-35%) α - tabeli väärtus h, b - ristlõike mõõtmed PUULIIK Keskväärtus Tangensiaalsuunas Radiaalsuunas Kuusk, mänd, lehis, tamm 0.24 0.32 0.16 Pöök 0.30 0.40 0.20 Tiik 0.20 0.25 0.15 PUITKONSTRUKTSIOONID –ABIMATERJAL 13/106 Georg Kodi TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL ehitiste projekteerimise instituut
i xi 1. 1 1 2 2 3 17 4 81 5 97 6 75 7 22 8 21 2. 9 94 10 62 11 81 12 73 13 74 14 52 15 79 16 45 17 14 18 70 19 2 20 71 21 48 22 79 23 77 24 39 25 19 3.1. 3.2. N 25 i (xi - x)2 Keskväärtus 51.8 1 2580.64 Dispersioon 968.58 2 2480.04 Standardhälve 31.12 3 1211.04 Mediaan 62 4 852.64 Haare 96 5 2043.04 6 538.24 7 888.04 α 0.1 8 948.64 t1-α/2
1. Mitmemuutuja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite mõisted. Statsionaarne punkt. Kriitiline punkt. piirkonna D rajajoon. Eeldame, et piirkonnas D on täidetud tingimus f(x,y)>=g(x,y). Kahekordse integraali 𝑥 = 𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜑 Mitmemuutuja funktsiooni lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Definitsioon 1. Öeldakse, et kahe omaduse tõttu ∬𝐷[𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝑔(𝑥, 𝑦)]𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 − ∬𝐷 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦. Mõlemad kahekordsed 𝑦 = 𝜌 𝑠𝑖𝑛𝜑 muutuja funktsioonil on punktis P1(x1, y1) lokaalne maksimum, kui sellel punktil leidub niisugune ümbrus tei
1* Normi ka kauguse Def. 1o puudu ||f||∞ = sup|f(x)|(x∈X) 5*(Jada definitsioon. Koonduvad jadad , jada piirväärtus. Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile u ∈V Koonduva jada piirväärtuse omadused + tõestus) piirväärtuse ühesuse tõestus.jada Jadaks nimetatakse funktsiooni, mille määramispiirkonnaks on naturaalarvude hulk N seab vastavusse skalaari ¿∨u∨¿ ∈ R , kusjuures on täidetud
¨ TARTU ULIKOOL MATEMAATIKA-INFORMAATIKA TEADUSKOND Puhta matemaatika instituut Aivo Parring ALGEBRA JA GEOMEETRIA Tartu 2005 SISSEJUHATUS K¨aesolevate m¨arkmete j¨arele tekkis vajadus 2000/01 ˜oppeaastal, kui muudeti tollase matemaatikateaduskonna ˜oppekavasid. Selle tulemusena l¨ ulitati ˜oppekavasse algebra ja anal¨ uu¨tilise geomeetria sissejuhatavaid pea- t¨ukke k¨asitlev aine ”Algebra ja geomeetria”. Vahepeal on elu edasi l¨ainud. Matemaatikateaduskonnast on juba saanud matemaatika-informaatikatea- duskond. Nelja-aastasest bakalaureuse ˜oppest on saamas kolmeaastane bakalaureuse ˜ope. Uue ˜oppekava kohaselt on selle ˜oppeaine maht n¨ uu ¨d 40 tundi loenguid ja sama palju harjutusi. Iseseisvaks t¨o¨ oks on ette n¨ahtud 80 tundi. Semestri jooksul toimub 20 kahetunni
9025 0.016949153 597.8025 0.016666667 647.7025 0.016393443 809.4025 0.016129032 1186.8025 0.015151515 1328.6025 0.014705882 2805.005 0.014705882 1478.4025 0.014492754 3604.005 0.014084507 2065.7025 0.014084507 2251.5025 0.013513514 0.013333333 0.013157895 0.012987013 0.0125 0.011627907 0.011363636 0.011235955 0.011235955 0.011111111 0.010638298 0.010638298 0.010309278 0.01010101 2.817845489 40694.85 Ül.1 Aritmeetiline Keskväärtus (xk) 51.55 Harmooniline keskväärtus 21.29 Geomeetriline keskväärtus 41.24 Dispersioon (D) 678.25 Standardhälve (Sc) 26.04 Mediaan (Me) 48
1 Lõplikud automaadid ja regulaarsed keeled. DEF: Lõplik automaat on sellise arvuti mudel, millel puudub mälu (või seda on väga vähe). DEF: Automaadi M keeleks nimetatakse sõnede hulka A, mida M aktsepteerib. L(M)=A DEF: Keelt nimetatakse regulaarseks, kui seda aktsepteerib mingi deterministlik lõplik automaat. Reg. keelest saab teha lõpliku arvu sõnesid. Tehted regulaarsete keeltega: A∪B = {x|x ∈ A või x ∈ B} ühend nt good, girl, boy, bad A◦B ={xy|x ∈ A ja y ∈ B} konkatenatsioon nt goodboy, goodgirl, badboy, badgirl A∗ = {x1x2...xk|k>=0 ja iga xi ∈ A} sulund nt ε, good, bad, goodgood, badgood… 2 Regulaarsete keelte omadusi. Regulaarsed avaldised. Teoreem: Regularsete keelte hulk on kinnine ühendi suhtes. T: Aktsepteerigu automaat N1 = (Q1,Σ,δ1,Q10,F1) keelt A1 ja automaat N2 = (Q2,Σ,δ2,Q20,F2) keelt A2. Eeldame, et keeltel pole ühiseid olekuid. Ühendi A1 ∪ A2 aktsepteerib lõplik automaat N=(Q;Σ,δ,Q0,F), kus: • Q = {q0} ∪ Q1 �
1. Reaalarvud Reaalarvude hulga R kirjeldamisel peab oskama välja tuua järgmist: 1) Q ⊂ R – ratsionaalarvude hulk sisaldub reaalarvude hulgas 2) Aritmeetika (tehted reaalarvudega) ja järjestus Aritmeetika. Eeldame, et hulgas R on defineeritud reaalarvude liitmine ja korrutamine järgmiste omadustega: (A1) a + b = b + a kõikide a,b € R korral (liitmise kommutatiivsus) (A2) (a + b)+ c =a +(b + c) kõikide a,b,c € R korral (liitmise assotsiatiivsus) (A3) b + 0 = b iga b € R puhul (nullelemendi olemasolu) (A4) iga b € R puhul leidub -b € R korral omadusega b + (-b) = 0 (vastandelemendi olemasolu) (M1) ab = ba kõikide a,b € R korral (korrutamise kommutatiivsus) (M2) (ab) c = a (bc) kõikide a,b,c € R korral (korrutamise assotsiatiivsus) (M3) 1b = b iga b € R puhul (ühikelemendi olemasolu) (M4) iga b € R {0} puhul leidub b-1 € R omadusega bb-1=1 (pöördelemendi olemasolu) (D) (a + b)
ELEKTROSTAATIKA 1. Elektrilaeng. Laengute vastasmõju. Coulomb’i seadus. Elektrilaeng on füüsikaline suurus, mis iseloomustab elektromagnetilises vastastikmõjus osalemise ja elektromagnetvälja tekitamise ning sellele allumise intensiivsust ja viisi. Elektrilaengu väärtus on positiivse laengu puhul positiivne arv ja negatiivse laengu puhul negatiivne arv. Neutraalsele osakesele või kehale võidakse omistada elektrilaengu väärtus 0. Elektrilaeng on kvanditud suurus, s.t talle saab lisada või ära võtta vaid kindla väärtuse. q= n* e kus n on elementaarlaengute hulk ja e on elementaarlaeng (1,6*10-19 C). Elektronilaeng ja prootonilaeng on väikseimad vabalt eksisteerivad laengud. (prootonis on u ja d (mingid kahtlased osakesed - prootonid ja neutronid koosnevad KVARKIDEST - elementaarosakesed) vahekorras u kvark (ülemine) ⅔*e ja d kvark (alumine) -⅓*e). Elektrilaeng ehk elektrihulk kui füüsikaline suur
Küsimused: 1.Määratud integraali (Riemanni mõttes) definitsioon. Darbouc ülem- ja alamsummad. Riemanni summa ja Darboux’ summade seos-viimane pilt. ∫ f ( x ) dx st ∫ f ( x ) dx=F ( x ) +C . Määramata integraali tuletis on f (¿ ξi) ∆ xi SΠn n võrdne integreeritava funktsiooniga st ( ∫ f ( x ) dx )’= f(x). Tõestus: ( ∫ f ( x ) dx Riemanni summa lõigul [a,b] (f) = ∑¿ .
¨ TALLINNA TEHNIKAULIKOOL MATEMAATIKAINSTITUUT Peeter Puusemp TOPOLOOGILISED RUUMID Loengukonspekt Tallinn 2003 SISUKORD Eess˜ona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 TOPOLOOGILINE RUUM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1 Topoloogilise ruumi definitsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Topoloogilise ruumi baas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Kinnised hulgad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 ¨ 1.4 Ulesandeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 ¨ 2 UMBRUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1 Punkti u ¨mbruste s¨ usteem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Topoloogia m¨a¨aramine u ¨mbruste s¨
x. F(x) = P(Xx). P(x´ X x´´) = F(x´´) - F(x´); 0 F(x) 1; F(x1) F(x2) 6. Tõenäosuse tihedusfunktsioon f(x) ja tema põhiomadused. f(x) = lim P(xXx+x) / x; F(x) = f(x) dx x0 f(x) 0; f ( x ) dx 1 7. Binomiaalne jaotus. PXn =m= Cmn pmqn-m , kus P( F) = 1- p = q ja m = 0, 1, ...., n Sündmuste järgnevus ei= A F A F A, tagasipanekuga skeem 8. Hüpergeomeetriline jaotus PN,M n, m = CmM Cn-mN-M / CnN. Tagasipanekuta skeem 9. Poisson jaotus Pt(X=x) = (axe-a) / x! = fP(x,a) 10. Ühtlane (ristkülik) jaotus f(x) = 1/(b-a)}, kui a x b 11. Normaaljaotus. Normeeritud normaaljaotus 1 1 e x a ; a 0; 1 2 / 2 2 2 f ( x) ( x) ex /2 2 2 12
Füsa eksami konspekt 1, Liikumise kirjeldamine Taustsüsteem on mingi kehaga seotud ruumiliste ja ajaliste koordinaatide süsteem. Kohavektor on vektor, mille alguspunkt ühtib koordinaatide alguspunktiga. Trajektoor on keha või ainepunkti teekond liikumisel ruumis või tasandil. Trajektoori saab korrektselt kasutada ainult punktmassi korral. Kiirus on vektoriaalne suurus, mis võrdub nihke ja selle sooritamiseks kulunud ajavahemiku suhtega (kiirusvektor on igas trajektoori punktis suunatud mööda trajektoori puutujat selles punktis). Kiirendus on kiiruse muutus ajaühikus. (Kiirendusvektor lahutub kiirenevalt liikuva keha trajektoori igas punktis trajektoori puutuja sihiliseks tangentsiaalkiirenduseks ning sellega risti olevaks normaalkiirenduseks ehk tsentrifugaalkiirenduseks) 2,* Ühtlaselt muutuv sirgjooneline liikumine. a=consT =>kolmikvalem, Keha liigub sirgjoonelisel trajektooril, kusjuures tema kiirendus on nii suunalt kui suuruselt muutumatu ning samasihilise kiirusega
Füüsika eksam 1. Liikumise kiirendamine. Taustsüsteem on mingi kehaga seotud ruumiliste ja ajaliste koordinaatide süsteem. Kohavektor on vektor, mille alguspunkt ühtib koordinaatide alguspunktiga. Trajektoor on keha või ainepunkti teekond liikumisel ruumis või tasandil. Trajektoori saab korrektselt kasutada ainult punktmassi korral. Kiirus on vektoriaalne suurus, mis võrdub nihke ja selle sooritamiseks kulunud ajagavahemiku suhtega(kiirusvektor on igas trajektoori punktis suunatud mööda trajektoori puutujat selles punktis) Kiirendus on kiiruse muutus ajaühikus. (Kiirendusvektor lahutub kiirenevalt liikuva keha trajektoori igas punktis trajektoori puutuja sihiliseks tangentsiaalkiirenduseks ning sellega risti olevaks normaalkiirenduseks ehk tsentrifugaalkiirenduseks) 2. Ühtlaselt muutuv sirgjooneline liikumine. a=consT =>kolmikvalem, Keha liigub sirgjoonelisel trajektooril, kusjuures
1. Norm ja kaugus (meetrika). Ümbrused. ε-ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed ümbrused. Lõpmatuse ümbrused. Kauguseks ruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele selle ruumi elemendile u,v ∈V seab vastavusse skalaari d(u,v) ∈R, kusjuures on täidetud järgmised tingimused: 1 ∀u,v∈V d(u,v) ≥ 0; d(u,v) = 0⇔v = u 2 ∀u,v∈V d(u,v) = d(v,u) 3 ∀u,v,w∈V d(u,v) ≤ d(u,w) +d(w,v) Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile u ∈ V seab vastavusse skalaari ||u|| ∈ R, kusjuures on täidetud järgmised tingimused: 1)∀u ∈ V ||u|| ≥ 0; ||u|| = 0 ⇔ u = 0, 2)∀u ∈ V, α ∈ R ||αu|| = |α| ||u||, 3)∀u, v ∈ V ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v|| Punkti ümbrusest võib mõelda kui niisugusest seda punkti sisaldavast hulgast, kus ükskõik mis suunas saab punktist õige pisut eemalduda ilma sellest hulgast väljumata. Punkti ε-ümbrus Hulka Uε(a) := {x ∈ V|d(a, x) < ε, ε > 0} nimetat
ühendeid, millest igaüks sisaldab m elementi antud n elemendi hulgast, mis erinevad üksteisest kas elementide endi või nende järjekorra poolest: n! Am n = ( n m)! . Näide: Üliõpilased õpivad 7 erinevat ainet. 1. koolipäeval on vaja tunniplaani paigutada 3 erinevat loengut. Mitu erinevat võimalust selleks on? 7! A 37 = 4! = 210. 1.6 Tinglik ja täistõenäosus Sündmusi A ja B nimetatakse sõltumatuteks, kui kummagi sündmuse toimumine ei sõltu sellest kas teine nendest toimus või ei toimunud. Näiteks: täringuvisked, mündi vise jne. Sündmuse A tinglikuks tõenäosuseks P(A/B) nimetatakse sündmuse A tõenäosust tingimusel, et sündmus B on juba toimunud Tõenäosuste korrutamise teoreem: Sündmuste A ja B korrutise tõenäosus avaldub järgmiselt: P(A∩B) = P(A/B)*P(B) Järeldus1
Diskreetne juhuslik suurus on määratud, kui on teada tema võimalikud väärtused ja
nende väärtuste ilmumise tõenäosused, st. kui on antud jaotustabel. f(xi)=1 Jaotustabel
F(x)=P(X
annaabi.ee 
