Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Tõenäosusteooria I". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
kaarti, kuulike, korvis, viskel, äss, visatakse, kombinatsiooni, summaks, vastandsündmus, kaardipakist, variatsioonid, järjekorra, numbrite, kaartide, katsel, tabab, numbrid, permutatsioonid, kombinatsioonid, paarisarv, korvpallur, järjekorda, tõenäosusteooria, viskamine, toimumist, teisena, vaatleme, garantii, poisi, meteoriit, erijuhtumidKindlateks sündmusteks on kooliaasta algus 1. septembril, igahommikune päikesetõus, vesi on ämbris vedelas olekus kui temperatuur on 10 kraadi. . Võimatu sündmus (tähistatakse V) sündmus, mis antud vaatluse või katse korral kunagi ei toimu. Võimatuteks sündmusteks on näiteks täringul üheaegselt 6 ja 4 silma heitmine; vesi ei saa tahkes olekus olla, kui temperatuur on +10 kraadi. Kindla sündmuse vastandsündmus on võimatu sündmus. Juhuslik sündmus sündmus, mis antud vaatluse või katse korral võib toimuda, aga võib ka mitte toimuda. Juhuslikeks sündmusteks on 6 silma tulek täringu viskel, loteriiga võidu saamine, tuttava kohtamine tänaval. Juhuslik katse on tõenäosusteooria jaoks kirjeldatud, kui on loetletud tema võimalike tulemuste hulk. Seda hulka nimetatakse lühidalt elementaarsündmuste hulgaks ja tähistatakse sümboliga S. Näide 1
4. Sündmuse A ja tema vastandsündmuse A tõenäosuste summa on 1. p(A) + p( A ) = 1. 3 Näide 2. Paarisarvu silmade tulek (sündmus B) tõenäosus täringu viskamisel on p(B) = = 0,5. 6 Et paaritu arvu silmade tulek täringu viskamisel on sündmuse B vastandsündmus B , siis selle tõenäosus p( B ) = 1 p(B) = 0,5. 2. Sündmuste korrutis ja summa · Sündmust, mis seisneb nii sündmuse A kui ka sündmuse B toimumises, nimetatakse sündmuste A ja B korrutiseks (ühisosaks). A·B=AB A B Välistavate sündmuste korrutis on võimatu sündmus. A · B = V.
Me võime need sündmused esitada järgmiste osasündmuste (nn elementaarsündmuste) kaudu: A esimesena urnist võetud pall on punane B teisest võetud pall on punane Sündmuse C võime esitada niimoodi: toimub sündmus A või toimub sündmus B või toimuvad mõlemad sündmused A ja B. Sündmuse D võime esitada aga nõnda: toimub sündmus A ja toimub sündmus B. Tõenäosusteoorias antakse selliselt moodustatud sündmustele omaette nimetused. Sündmuste A ja B summaks nimetatakse sündmust C, mille korral toimub vähemalt üks sündmustest A või B (s.t toimub sündmus A või toimub sündmus B või toimuvad mõlemad sündmused). Tähistus: C = A B Mõned allikad kasutavad ka tähistust C = A + B Sündmuste A ja B korrutiseks nimetatakse sündmust D, mille korral toimuvad mõlemad sündmused A ja B. Tähistus: D = AB Mõnedes õpikutes kasutatakse ka tähistust D = AB või D = A×B
kooliaasta algus 1. septembril, välistavateks.Kui A = igahommikune päikesetõus, vesi on {1, 3, 5} ja B = {2, 4, 6}, siis AB ämbris vedelas olekus kui temperatuur = , siis öeldakse on 10 kraadi. Võimatu sündmused A ja B on sündmus (tähistatakse V) - sündmus, teineteist välistavad. mis antud vaatluse või katse korral Näide7. Olgu täringu kunagi ei toimu. viskel sündmus A = {1, 3, 5} Võimatuteks sündmusteks on näiteks ja sündmus B = {1, 2, 3}, siis AB = täringul üheaegselt 6 ja 4 silma heitmine; {5}.Kaht sündmus nim sõltumatuteks, vesi ei saa tahkes olekus olla, kui kui neist ühe toimumune ei muuda teise mõlemad poisid, teades, et vähemalt üks temperatuur on +10 kraadi.Kindla tõenäosust Näide8.Kui suur on nendest on poiss.Lahendus. Eeldame, et
3. Juhuslik sündmus, mis võib toimuda või mitte toimuda (paarisnumbrisaamine täringuviskel, mündi viskamisel saada kull või kiri). 1.2 Sündmuste vahelised seosed. Sündmuste vahelised seosed on nagu vastavate hulkade vahelised seosed. 1. AB, sündmus B järeldub sündmusest A ehk sündmus A sisaldub sündmuses B. Näiteks: A = (2) ja B = (2;4;6), siis AB. 2. A = B, kui AB ja BA. 3. AB = C, sündmuste A ja B summaks ehk ühendiks nimetatakse sündmust C, mis toimub siis, kui toimub vähemalt üks sündmustest A või B. Näiteks: A = (2;5) ja B = (1;3;5). Siis C = ( 1;2;3;5) 4. AB = C, sündmuste A ja B korrutiseks ehk ühisosaks nimetatakse sündmust, mis toimub siis, kui toimuvad mõlemad sündmused A ja B. Eelmise näite põhjal C = (5) 5. A B = C, sündmuste A ja B vaheks nimetatakse sündmust C, mi toimub siis, kui sündmus A toimub ja sündmus B ei toimu. 6
2) välistatust (korraga saab toimuda vaid üks elementaarsündmus), 3) võrdvõimalikkust. Tõenäosuse definitsioonist tulenevad tõenäosuse omadused: 1. Tõenäosus on arv, mis rahuldab võrratusi 0 P(A) 1. 2. Kindla sündmuse tõenäosus on 1, st. P(U) = 1. 3. Võimatu sündmuse tõenäosus on 0, st. P(V) = 0. 4. Sündmuse A ja tema vastandsündmuse A tõenäosuste summa on 1, st. P(A) + P( A ) = 1. N ä i d e 2. Eelmises näites leidsime paarisarvu silmade tuleku tõenäosuse täringu viskel, P(A) = 0,5. Et paaritu arvu silmade tulek täringu viskel on sündmuse A vastandsündmus A , siis selle tõenäosus P(A) =1- P(A) =1- 0,5 = 0,5. 8. Sündmuste korrutis, vahe ja summa. sündmust, mis seisneb nii sündmuse A kui ka sündmuse B toimumises, nimetatakse sündmuste A ja B korrutiseks. Ühisosa peab olema. N ä i d e 2. Kaardipakist, milles on 36 kaarti, võetakse juhuslikult üks kaart. Olgu sündmuseks A risti saamine ja sündmuseks B pildi saamine. Leiame sündmuste
Kui suur on tõenäosus, et pileti 3 küsimust on kõik nende kahekümne seast? 3. Kui suur on tõenäosus, et täringu viskamisel tuleb a. 5 silma, b. paaritu arv silmi, c. kolmega jaguv silmade arv. 4. Urnis on 3 punast ja 9 sinist ühesugust kuuli. Kui suur on tõenäosus, et kuuli juhuslikul võtmisel urnist saadakse d. sinine kuul, e. punane kuul, f. roheline kuul, g. kas punane või sinine kuul. 5. Lapse käes on neli kaarti, millest igaühele on kirjutatud üks number 1, 2, 3, 4. Laps laob need juhuslikus järjrkorras üksteise kõrvale. Kui suur on tõenäosus, et nii tekib a. arv 2134, b. paarisarv, c. arv, mis on suurem kui 1000, d. arv 2813. 6. Kümnele kaardile on kirjutatud numbrid 0 kuni 9. Kui suur on tõenäosus, et nendest kaartidest moodustatud kahekohaline arv jaguks arvuga 18? 7. Urnis on 12 kuuli, neis 8 valget ja 4 musta. Urnist võetakse juhuslikult 5 kuuli
P(A)= 1. Kindel sündmus, võimatu sündmus, juhuslik sündmus; nende tõenäosus. Kindel sündmus (K) - sündmus, mis teatud tingimuste korral alati toimub. P(K) = 1. Võimatu sündmus (V) - sündmus, mis antud vaatluse või katse korral kunagi ei toimu. P(V) = 0 Juhuslik sündmus - sündmus, mis antud vaatluse või katse korral võib toimuda, aga võib ka mitte toimuda. 2. Teineteist välistavate sündmuste summa, korrutis ja vahe. Sündmuste A ja B summaks elementaarsündmuste hulgas nimetatakse sündmust, mis toimub parajasti siis, kui toimub kas sündmus A või sündmus B või mõlemad. Sündmuste A ja B summat tähistatakse sümboliga A U B. N 1. Olgu täringu viskel sündmus A = {1, 3, 5} ja sündmus B = {1, 2, 3}, siis A U B = A + B = {1, 2, 3, 5}. Sündmuste A ja B korrutiseks elementaarsündmuste hulgas nimetatakse sündmust, mis toimub parajasti siis, kui toimuvad üheaegselt nii sündmus A kui ka sündmus B
a) Kui suur on tõenäosus, et Jürka võtab juhuslikult arseenitableti? (0,4) b) Kui suur on tõenäosus, et esimesel õhtul võtab Jürka ravimi, aga teisel õhtul mürgi? (24/95) c) Kui suur on tõenäosus, et kahe tableti võtmisel on üks tablettidest ravim ja teine mürk? (48/95) d) Kui suur on tõenäosus, et kolme tableti võtmisel on need kõik mürgid? (14/285) 5. Kaardipakist (52 kaarti) võetakse juhuslikult välja 3 kaarti. Leia tõenäosus, et a) need kaardid on ristimastist, (11/850) b) need kaardid on erinevatest mastidest. (169/425) 6. Laual on kaks ühesugust kaardipakki (52 kaarti), mõlemast võetakse üks kaart. Leia tõenäosus, et a) mõlemad kaardid on kuningad, (1/169) b) mõlemad kaardid on sama värvi. (1/2) 7. Korvpallur tabab igal viskel korvi tõenäosusega 0,7
Kombinatoorika valemeid ja mõisteid · Variatsioonideks n erinevast elemendist k kaupa nimetame ühendeid, mis sisaldavad k elementi antud n elemendist ning erinevad kas elementide või nende järjestuse poolest. Erinevaid variatsioone on A =n(n-1) ...(n-k+1)=n!/(n-k)! · Permutatsioonideks n elemendilisest hulgast nimetame ühendeid, mis sisaldavad kõiki n elementi (üks kord) ja erinevad järjestuse poolest. Erinevaid permutatsioone on Pn=n (n-1) ...1 = n! · Kombinatsioonideks n elemendist k kaupa nimetame ühendeid, mis sisaldavad k elementi (antud n elemendi hulgast) ja erinevad vähemalt ühe elemendi poolest. n! · Erinevaid kombinatsioone on C =A /Pk C nk = ( n - k )!k! Tõenäosusteooria · Sündmuste hulka, kus alati üks sündmus toimub ja see välistab teiste toimumise nimetame sündmuste täissüst
Pn( )=1-Pn(A) 5. Tõenäosuste liitmise lause. P n(A+B)= väärtust 0,1, ..., n. Seda juhuslikku suurust nimetatakse summa, sündmuste korrutise definitsioonid. Sündmuse Pn(A)+Pn(B)-Pn(AB) 6. Tõenäosuste korrutamise lause. binoomjaotusega juhuslikuks suuruseks A vastandsündmus on sündmus, mis toimub siis, kui A Pn(AB)=Pn(A)Pn(B/A) ei toimu. P(A)+P( )=1. Sündmuste A ja B summa A+B parameetritega n ja p ning selle jaotustabel on järgmine: 10. Täistõenäosuse valem tõestusega. Bayesi valem. on sündmus, mis toimub siis, kui toimub A või toimub B Täistõenäosuse valem tõestusega. Kui sündmused
Binoomjaotus (definitsioon, jaotusrida, keskväärtus EX ja dispersioon DX ). Poissoni jaotus. Bernouli valem Bernoulli valem on tõenäosus teoorias valem, mis näitab n ühesuguse ja sõltumatu katse korral sündmuse A toimumise tõenäosust täpseltk korda kui sündmuse tõenäosus igal katsel on p=P(A). kus q on sündmuse A vastandsündmuse toimumise tõenäosus q = 1 - P(A). Tuletus: Sündmus A toimub n katse korral m korda, siis sündmuse A vastandsündmus toimub n m korral. Binoomjaotus Juhuslikku suurust X, mille võimalikeks väärtusteks on naturaalarvud 0,1,2... n ja mille vastavad tõenäosused arvutatakse Bernoulli valemiga, nim binoomjaotusega juhuslikeks suurusteks. Binoomjaot. keskväärtus EX=np , dispersioon DX=npq, standardhälve DX. Keskväärtus: Dispersioon: Poissoni jaotus Poissoni jaotus harva esinevate sündmuste jaotusseadus. Poissoni jaotust kasutame kui katseseeriate arv n st.
7522 aaljaotusele. Keskväärtus on 5 meetrit ja standardhälve 10 meetrit est mitte rohkem kui 12 meetrit. ge vastus testitud aaljaotusele. Keskväärtus on 5 meetrit ja standardhälve 10 meetrit. st mitte rohkem kui 10 meetrit. õige vastus testitud aaljaotusele. Keskväärtus on 5 meetrit ja standardhälve 10 meetrit. Leida tõenäosus, et mõõdetud kauguse väär mõõdetud kauguse väärtus erineb tõelisest väärtusest mitte rohkem kui 13 meetrit. Münti visatakse 10 korda. Leida tõenäosus, et vapp tuleb peale vähem, kui kaks korda. (Arvutada 4 ko n 10 p 0.5 0 0.0009766 1 0.0097656 pa 0.0107 Münti visatakse 5 korda. Leida tõenäosus, et vapp tuleb peale vähem, kui kaks korda. (Arvutada 4 koh n 5
..+P(A1)P(A2)P(A3)= 3*1/6- 3 2 C C 3*1/36+1/216= 3*36-3*6+1/216=91/216 │A│=k= 5 6 =25 Kui suur on tõenäosus, et juhusikult võetud täisarv ei P(A)=25/77 jagu ei kahe ega kolmega? 3) Leida tõenäosus, et 52-kaardisest pakist juhuslikult 4 A=”Juhuslikult valitud naturaalarv ei jagu ei 2 ega 3- kaarti valides saadakse täpselt 2 ässa ja üks poti. ga“ Lahendus: A=“saadi 2 ässa ja 1 poti“ A1=“Jagub arvuga 2“ 4 A2=“Jagub arvuga 3“ │Ω│=n= C 52 =270725 P(A)=P(AA͞1AA͞2)=P(AA͞1)P(AA͞2)=1/2*2/3=1/3 2 1 1 P(AA͞1A2)=P(AA͞1)P(AA͞2│AA͞1)=1/2*2/3=1/3
*Bernoulli suurte arvude seadus ütleb, et küllalt pika katseseeria korral on sündmuse suhteline sagedus ligikaudselt võrdne sündmuse tõenäosusega ühel katsel e. s(A) p(A). [20]. Sõltuvad ja sõltumatud sündmused. Sündmuste summa ja korrutis. *Sõltumatud sündmused- Kui sündmuse A toimumise tõenäosus ei olene sündmuse B toimumisest/mitte-toimumisest siis nimetatakse neid kahte sündmust sõltumatuteks sündmusteks. 1).Kahe sõltumatu sündmuse A ja B summaks A U B nimetatakse sündmust, mille toimumine seisneb kas sündmuse A VÕI sündmuse B toimumises. Seega, kahe sündmuse summa on p(AB) = p(A)+p(B). Nt: Urnis on 3 punast, 5 sinist ja 2 valget kuuli. Tõenäosus, et võetakse sinine VÕI punane kuul, on p(AB) = p(A)+p(B) = 3/10 + 1/2 = 4/5 2). Kahe sõltumatu sündmuse A ja B korrutiseks AB nimetatakse sündmust, mille toimumine seisneb sõltumatute sündmuse A JA B toimumises.
1. Tõenäosuse mõiste - Sündmuse (klassikaliseks) tõenäosuseks nimetame temas sisalduvate (ehk soodsate) elementaarsündmuste arvu ja kõigi elementaarsündmuste arvu suhet. kindel sündmus, võimatu, juhuslik. Vastandsündmus, selle tõenäosus. - Sündmuse A vastandsündmuseks nimetame sündmust, mis toimub parajasti siis, kui sündmus A ei toimu. 2. Sündmuste summa - Sündmuste A ja B summa on sündmus, mis toimub kui toimub vähemalt üks sündmustest A või B. korrutis - Sündmuste A ja B korrutis on sündmus, mis toimub parajasti siis, kui toimuvad sündmused A ja B. (samaaegselt) vahe - Sündmuste A ja B vahe on sündmus, mis toimub parajasti siis, kui sündmus A
Sündmusi nimetatakse üksteist välistavateks, kui ühe toimumine välistab ülejäänud sündmuste toimumise ehk ühe toimumisel ei saa teised toimuda. Sündmused moodustavad sündmuste täieliku süsteemi kui nad on üksteist välistavad ainuvõimalikud sündmused. 9. Tehted sündmustega (summa, korrutis). Nendes sisuline ja formaalne definitsioon. A= A 1 ∪ A2 ∪… ∪ A n Sündmuste summaks nimetatakse sündmust (sündmuste ühend), ehk sündmus A sisaldab kõiki neid elementaarsündmusi, mis kuuluvad vähemalt ühte Ai sündmustest . Seega toimub sündmus A parajasti siis kui toimub vähemalt üks Ai sündmustest (i=1, 2, ..., n). A= A 1 ∩ A 2 ∩… ∩ A n Sündmuste korrutiseks nimetatakse sündmust (sündmuste
3. Kauplusse saabus 500 komplekti õmblustooteid kolmest vabrikust: 100 komplekti vabrikust K , 150 vabrikust L ja 250 vabrikust M. Vabriku K toodangust kuulub keskmiselt 75 % I sorti. Vabrikute L ja M jaoks on see näitaja vastavalt 90 % ja 80 %. Leida tõenäosus, et huupi võetud komplekt on esimest sorti. (0,82) 4. Loterii iga 10000 pileti kohta loositakse 150 rahalist ja 50 esemelist võitu. Kui tõenäone on ühe piletiga võitmine? (0,02) 5. Kui tõenäone on kähe täringu viskel saada 7 või 8 silma? (0,3056) 6. Ettevõtte toodangust on 95 % standardne, millest 86 % kuulub I sorti. Kui tõenäone on, et juhuslikult valitud toode kuulub I sorti? (0,817) 7. Tehases töötab 3 tööpinki. I tööpingi häireteta töötamise tõenäosus on 0,9, II tööpingil 0,8 ja III tööpingil on 0,85. Kui tõenäone on, et 1) nii I kui II tööpink töötavad vaadeldava tunni jooksul häireteta; (0,72) 2) kõik kolm tööpinki töötavad häireteta? (0,612) 8
vasakkaldelistel K suurem kui 0. 10.Ektsessiks – nim tegeliku püstakuse hälbimist normaaljaotuse kõvera suhtes. Positiivse ekstsessi korral on tunnuse väärtuste esinemissageduse kõver teravatipulise, negatiivse ekstsessi korral laugjam kui etaloniks võetaval normaaljaotuse kõveral. Normaaljaotuskõvera ekstsess on 0. 11.Juhuslikuks – nim sündmust, mis teatud tingimuste olemasolu korral võib toimuda ja võib ka mitte toimuda. 12.Kahe sündmuse A JA B summaks – nimetatakse keerulist sündmust, mis seisneb kas ühe või teise või mõlema toimumises. Tähistatakse A+B. Kahe sündmuse A ja B korrutiseks – nim keerulist sündmust, mis seisneb nii ühe kui teise toimumises. Tähistatakse AB. 13.Sündmuse klassikaline tõenäosus – sündmuse A tõenäosus on võrdne murruga, mille lugejaks on sündmuse A jaoks soodsate juhtude (võim.)arv m ja nimetajaks kõigi juhtude (võimal.) arv n. P(A) = M/n kusjuures m –
N(2,5) +N(3,5) - N(2,3,5) = 99 - 99/2 - 99/3 - 99/5 + 99/6 + 99/10 + + 99/15 - 99/30 = 99 - 49 - 33 - 19 + 16 + 9 + 6 - 3 = 26. Vastus: Neid mittejaguvaid arve on 26. 9 Näide 5. Kui palju mittenegatiivseid täisarvulisi lahendeid on määramata võrrandil x + y + z + w = 7, kui näiteks lahendeid x = 0, y = 1, z = w = 3 ja x = 1, y = z = 3, w = 0 loetakse erinevateks? Mittenegatiivseid erinevatest elementidest koosnevaid lahendigruppe, mis annavad summaks 7, on 11: (0;0;0;7), (0;0;1;6), (0;0;2;5), (0;0;3;4), (0;1;1;5), (0;1;2;4), (0;1;3;3), (0;2;2;3), (1;1;1,4), (1;1;2;3), (1;2;2;2). Neid, kus on 3 korduvat elementi, on 3, neid, kus on 2 korduvat elementi, on 7 ja ilma korduvate elementideta on 1. Et erinevateks loetakse näit. ka lahendeid (0;0;0;7) ja (0;7;0;0) jne, st lahendid erinevad üksteisest elementide järjestuse poolest ning et esinesid eelpool mainitud kordumised, siis tuleb erinevate lahendite leidmiseks kasutada
Lähtepunktiks katsega seotud sündmustel on elementaarsündmuste ruum , mis koosneb elementaarsündmustest (mis on üksteist välistavad sündmused, iga katse korral toimub tingimata üks). Tingimused elementaarsündmuste ruumile on: 1) vastastikune välistatus: korraga toimub vaid üks elementaarsündmus: ij = Ø (ij), 2) täielikkus: alati mingi elementaarsündmus toimub: i = . nt. Kaardi valik 52'sest kaardipakist Juhuslike sündmustega seonduvad põhimõisted: Vastastikku välistuvad sündmused: mis ei sisalda samu elementaarsündmusi (nt A: ruutu kaart, B: ärtu kaart) Vastastikku mittevälistuvad sündmused: mis sisaldavad samu elementaarsündmusi (nt A : ruutu kaart, B: piltkaart) Sündmuste sisalduvus: kui toimub A, toimub ka B (kõik sündmuses A sisalduvad
2. Sündmus ja tõenäosus. Kindel sündmus ja võimatu sündmus. Sündmus on tõenäosusteooria põhimõiste. Tavaliselt tähistatakse suurte tähtedega, vajadusel kasutatakse indekseid. Nt A, A1 , Bi , Cjk jne. Sündmuse tõenäosus on sündmuse võimalikkust näitav arv lõigul [0,1], mida tavaliselt tähistatakse P. Võimatu sündmuse V tõenäosus P(V)=0, kindla sündmuse K tõenäosus P(K)=1. Ülejäänud sündmused on juhuslikud sündmused. 3. Tehted sündmustega: vastandsündmus, sündmuste summa, sündmuste korrutis, sündmuste vahe. Esitada definitsioonid ja osata tuua näiteid. Sündmuse A vastandsündmus A on sündmus, mis toimub siis, kui A ei toimu. P(A)+P( A )=1. Sündmuste A ja B summa A+B on sündmus, mis toimub siis, kui toimub A või toimub B või toimuvad A ja B korraga. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) Sündmuste A ja B korrutis AB on sündmus, mis toimub siis, kui toimuvad A ja B korraga. P(AB)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B)
Kesk väärtus on 5 meetrit ja standardhälve 10 meetrit. Leida tõenäosus, et mõõdetud k auguse väärtus erineb väärtusest mitte rohk em k ui 11 meetrit. a= 5 sigma= 10 http://controls.engin.umich.edu/wiki/images/c/c4/Table_Erf.pdf x F(x) 11 0,7257 -11 0,0548 P(A)= 0,6709 Ül.6 Olgu sündmus A - kolmega jaguva silmade arvu saamine kahe täringu viskel, B - kahega jaguva silmade arvu saamine kahe täringu viskel. Kas sündmuste A ja B korrutis on A. 3, 6, 9 või 12 silma saamine kahe täringu viskel; B. 6 või 12 silma saamine kahe täringu viskel; C. 2, 6, 8 või 12 silma saamine kahe täringu viskel. Lahendus 3 jaguvad: 3; 6; 9; 12 2 jaguvad: 2; 4; 6; 8; 10; 12 Ühised on: 6 ja 12 Vastus: B Ül.7 Kui tõenäone on, et uue passi number lõpeb 1-ga?
Sündmus on tõenäosusteooria põhimõiste. Tavaliselt tähistatakse sündmusi suurte tähtedega ladina tähestiku algusest:A, B, C Vajadusel kasutatakse indekseid. Sündmuse tõenäosus on sündmuse toimumise võimalikkust näitav arv lõigult (0,1), mida tavaliselt tähistatakse tähega P. Võimatu sündmuse V tõenäosus P(V)=0 Kindla sündmuse K tõenäosus P(K)=1 3. Tehted sündmustega: vastandsündmus, sündmuste summa, sündmuste korrutis, sündmuste vahe. Vastandsündmus Sündmuse A vastandsündmus ´A on sündmus, mis toimub siis, kui A ei toimu. P(A)+P(´A)=1. Sündmusi A ja B nimetatakse võrdseteks ja tähistatakse A=B, kui A toimumisest järeldub B toimumine ja vastupidi. Sündmuste summa Sündmuste A ja B summa A+B on sündmus, mis toimub siis, kui toimub A või B või toimuvad A ja B korraga.
2 2 + - cos - cos = -2sin sin 2 2 sin ( + ) tan + tan = cos cos sin ( - ) tan - tan = cos cos 20 1 + cos = 2 cos 2 2 1 - cos = 2sin 2 2 3.12 Korrutise teisendamine summaks 1 sin sin = cos ( - ) - cos ( + ) 2 1 cos cos = cos ( - ) + cos ( + ) 2 1 sin cos = sin ( - ) + sin ( + ) 2 tan + tan tan tan = cot + cot 3.13 Trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid (arkusfunktsioonid) 1. arcsin m on absoluutväärtuselt vähim nurk, mille siinus on m: sin ( arcsin m ) = m , kusjuures
1. Ristkülik Mõiste: Ristkülik on nelinurk, mille kõik nurgad on täisnurgad. Pindala: S=ab Ümbermõõt: Ü=2(a+b) Omadused: 1. Ristkülikul on kõik rööpküliku omadused. 2. Kõik nurgad on täisnurgad 3. Diagonaalid on võrdsed 4. Ristkülikul on ümberringjoon, mille keskpunktiks on diagonaalide lõikepunkt (O) ning raadiuseks pool diagonaali. 5. Ristkülikul on kaks sümmeetriatelge ja sümmeetriakeskpunkt. Ruut: Mõiste: Ruutu võib defineerida, kui a) ristkülikut, mille lähisküljed on võrdsed b) rombi, mille üks nurk on täisnurk c) rööpkülikut, mille lähisküljedon võrdsed ja üks nurk on täisnurk. Pindala: S=a² Ümbermõõt: Ü=4a Omadused: 1. Ruudul on nii ristküliku kui ka rombi omadused 2. Ruudu küljed on võrdsed 3. Ruudu nurgad on täisnurgad 4. Ruut on korrapärane nelinurk 5. Ruudul on siseringjoon, mille keskpunktiks on diagonaalide lõikepunkt (O) ning raadiusekspool külje pik
Tõenäosus Kombinatoorika kasutamine tõenäosuse arvutamisel Liitmise reegel – kui mingi elemendi A võib valida r erineval viisil, elemendi B aga s erineval viisil (mis ei sõltu elemendi A valimisviisist), siis elemendi “kas A või B” saab valida r + s erineval viisil. Näide 1. Kui kooli sööklas on võimalik valida soolastest toitudest kahe erineva supi ja kolme erineva prae vahel, siis kokku on soolase toidu valimiseks 2 + 3 = 5 võimalust. Korrutamise reegel – kui elemendi A saab valida r erineval viisil ning elemendi B saab valida s erineval viisil (sõltumata elemendi A valikust), siis elementide paari “A ja B” saab valida r . s erineval viisil. Näide 2. Kui kooli söökla menüüs on 4 erinevat praadi ja 2 erinevat magustoitu, siis prae ja magustoidu valikuks on 4 . 2 = 8 erinevat võimalust. Permutatsioonid – ühendid, mis erinevad üksteisest ainult elementide järjestuse poolest.
kätega mängimisest. Teist kursuse osa kasutades oled tõstnud tõenäosust võita, mängides õigelt positsioonilt tugevate kaartidega. Seega sa tead mis kaartidega mängida enne kolme ühiskaarti. Tänases peatükis vaatame, kuidas arvestada võidu tõenäosust peale lauakaartide laudatulemist ehk kuidas tõsta võidu tõenäosust arvestades matemaatilist tõenäosust. Matemaatilist tõenäosust saame kasutada pokkeris, sest teame, et kaardipakis on kokku 52 kaarti. Lisaks tead sa enda kahte kaarti. Seega peale lauakaartide nägemist, saad sa juba väljaarvestada oma võidu tõenäosuse. Näiteks. Kui sinul on ning lauakaartideks tulevad: võidad kui lauda tulevatest kahest kaardist on üks veel poti mastist, sest siis on sul kõrgeim võimalik mast. Kuidas arvutada välja kui suur on täpselt tõenäosus saada juurde veel üks poti? Kasutame ülevalolevat näidet, kus oled näinud nelja lauakaarti. Seega 52-st kaardist 6-t sa tead
1. Reaalarvud ja avaldised a, kui a 0 · Arvu absoluutväärtus a = - a, kui a < 0 · Astme mõiste ja omadused a 0 = 1, kui a 0 a1 = a a n = a a a a, kui n N 2 1 a-k = , kui a 0 ja k Z või ak kui a > 0 ja k Q m n a m , kui a > 0, m Z ja n N a = n 2 0, kui a = 0, m N 1 ja n N1
Sündmusi liigitatakse kindlateks, võimalikeks ja võimatuteks. Tõenäosust väljendatakse arvudega 0st 1ni, 0 tähendab võimatut sündmust ja 1 seda, et sündmus toimub kindlasti. Sündmuse A tõenäosuseks nimetatakse toimumiseks soodsate võimaluste arvu m ja kogu võimaluste arvu n suhet. Ehk siis P(A) = m/n. Kahe sündmuse A ja B summaks nimetatakse sündmust, mille toimumine seisneb kas sündmuse A võ B või mõlema toimumises. Kahe sündmuse A ja B korrutiseks nimetatakse sündmust, mille toimumine seisneb sündmuste A ja B mõlema toimumises. Näide: Olgu sündmus A täringul nelja silma tulek ja sündmus B paarisarvu tulek. Sel juhul on P(A+B) = 3/6=1/2 {2;4;6} Ja P(AB) = 1/6 {4}
2 2 sin tan tan cos cos sin tan tan cos cos 20 1 cos 2 cos 2 2 1 cos 2sin 2 2 3.12 Korrutise teisendamine summaks 1 sin sin cos cos 2 1 cos cos cos cos 2 1 sin cos sin sin 2 tan tan tan tan cot cot 3
3. Kindel on see, et toimub kas sündmus A või sündmus B või sündmus C A, B ja C moodustavad täeliku süsteemi 2. Juhusliku suuruse X väärtuste hulk on {2; 4; 5}. Vastavate väärtuste esinemise tõenäosused on p(2)=0,5; p(4)=0,2 ja p(5)=0,3. Suuruse X keskväärtus on järelikult 3,3 3. Kui sündmuse A tõenäosus p(A)= 0,7, siis selle vastandsündmuse tõenäosus on 0,3 4. Visatakse korraga kahte täringut. Kui suur on tõenäosus, et mõlemal täringul tuleb silmade arv "6"? 1/36 5. Kui p(A)=p(A|B), siis sündmused A ja B on sõltumatud 6. Kahe sündmuse korrutise tõenäosus võrdub nende sündmuste korrutiste tõenäosusega, kui sündmused A ja B on sõltumatud. 7. Katsete arvu suurenemisel statistiline tõenäosus läheneb klassikalisele tõenäosusele. 8. Nelja sündmuse tõenäosused on p(A)=0,2; p(B)=0,4; p(C)=0,3; p(D)=0,3. Millised neist
Juhuslike sündmustega seonduvad põhimõisted: 1) Vastastikku välistuvad sündmused: mis ei sisalda samu elementaarsündmusi (nt A: ruutu kaart, B: ärtu kaart) 2) Vastastikku mittevälistuvad sündmused: mis sisaldavad samu elementaarsündmusi (nt A : ruutu kaart, B: piltkaart) 3) Sündmuste sisalduvus: kui toimub A, toimub ka B (kõik sündmuses A sisalduvad elementaarsündmused sisalduvad ka sündmuses B (nt A: ärtu sõdur, B: ärtu piltkaart, C: piltkaart korral A Ì B Ì C) 4) Vastandsündmus A: sisaldab kõik elementaarsündmused, mis ei sisaldu sündmuses A (nt A: must kaart, B: punane kaart) Iga sündmusega seondub tema tõenäosus, mis on mingi arv nullist kuni üheni. Tõenäosus iseloomustab sündmuse esinemissagedust katsetes (ka võimalikkust, osakaalu vms). Tõenaosusteooria seisukohalt on tõenaosus sündmuse mõõduks ning tõenäosuse omadused tulenevad tõenäosusteooria aksiomaatikast: 1. Normeeritusaksioom: 0 £ P(A) £ 1 2
annaabi.ee 
