Funktsiooniks nimetatakse eeskirja, mis seob omavahel muutujad x ja y. x · Võrdeline seos Pöördvõrdelise seose puhul on muutujate x ja y korrutis jääv: xy = a. Võrdelise seose valem: y = ax , Pöördvõrdelise seose graafikuks on hüperbool: Hüperbool koosneb kahest harust. võrdetegur 10 Kui pöördvõrdelise seose valemis a > 0, siis asuvad
Raudvara VÕRDELINE JA PÖÖRDVÕRDELINE SEOS. LINEAARFUNKTSIOON 4.1 MIS ON FUNKTSIOON? Teise väärtuse üks kindel väärtus on finktsioon. Funktsioon (y) Muutujat, mille väärtuse järgi leitakse teise muutuja vastavaid väärtusi, nimetatakse argumendiks. Argument (x) Argumendi väärtuste järgi leitud teise muutuja vastavat väärtust nimetatakse finktsiooni väärtuseks. 4.2 VÕRDELINE SEOS. Kui vastavate väärtuste (muutujate) jagatis on jääv suurus, siis kaks muutujat on seoses ehk y = ax, a on väiksem kui null (a = 0), see tähendab et muutuja y on võrdeline muutujaga x (võrdeline seos). A on antud arv ehk võrdeline tegur. A on suurem kui null (a > 0). Ühe muutuja väärtuse suurenemisel (vähenemisel) mingi arv korda suureneb (väheneb) ka teise muutuja väärtus sama arv korda. 4
Näide: Kaks ühesugust traktorit teevad sügiskünni ära kuue päevaga. Kui mitme päevaga teeksid sügiskünni ära kolm samasuguse tööviljakusega traktorit? Traktorite arv 2 3 Päevade arv 6 x 26=3x 12 = 3x x=4 Graafikute lugemine: Kui sõltuvus on esitatud graafikuna, siis graafikult saab välja lugeda palju huvitavat infot. Graafik esitatakse põhiliselt kahel teljel: horisontaal- ja vertikaalteljel. Funktsioon: eeskiri, mis seab sõltumatu muutuja igale väärtusele vastavasse sõltuva muutuja ning ühe kindla väärtuse. JRK. NIMI HINNE 1. Mari Maasikas ... Järjekorra number ja nimi on sõltumatud muutused, hinne on sõltuv muutus. Võrdeline sõltuvus: Kaht suurust, mille vastavate väärtuste suhe on jääv nimetatakse võrdeliseks suuruseks. Seda jäävat suhet nim. nende suuruste võrdeteguriks. y = ax Võrdelise suuruse graafik:
Näide 1: A = { m;;7}. B = { ; ; 7; b} A B = {m; ; 7; ; b } Hulkade A ja B ühisosa A B on hulk, mille moodustavad parajasti kõik sellised elemendid, mis kuuluvad hulka A ja hulka B. Näide 1 Hulkade {1, 2, 3} ja {2, 3, 4} ühisosa on {2, 3}. Hulkliiget nimetatakse lineaaravaldiseks ehk esimese astme hulkliikmeks vaadeldavate muutuja suhtes, kui ühegi liikme aste nende muutujate suhtes ei ole suurem kui üks. Näiteks on hulkliige ax+bx+c lineaaravaldiseks kahe muutuja x ja y suhtes. Hulknurgaks nimetatakse geomeetrilist kujundit, mis on piiratud kinnise murdjoonega (hulknurka nimetatakse korrapäraseks ja kumeraks) ja diagonaaliks nimetatakse lõiku, mis ühendab kaht tippu, mis ei kuulu ühele ja samale küljele. Hüperbooliks (nimetatakse tasandile kuuluvate punktide hulka, mille iga punkti kauguste vahe absoluutväärtus kahest antud punktist, mida nimetatakse fookusteks, on jääv suurus.) Hüperbool on pöördvõrdelise seose y=a/x graafikuks
Funktsioonid. Nimetus: Valem: Põhitunnus: Graarik: Võrdeline seos: Y=ax Ühe muutuja Graafikuks on ,kus a on suurenemisel(vähenemisel) sirge, mis läbib 0 antud arv mingi arv korda suureneb punkti. See ning x ja (väheneb) teine muutuja tähendab, et 0 y on sama arv korda. kuulub muutujad. määramispiirkonda. Pöördvõrdeline Y=a/x , Pöördvõrdelise seose Graafikuks on seos: kus a on korral on muutujate hüperbool. 0 ei antud arv vastavate väärtuste korrutis kuulu määramis ning x ja jääv. piirkonda. Kui arv
Pöördvõrdeline seos Maarika Virkunen Kui kahe muutuja x ja y vahelise seose saab esitada kujul ehk on antud arv (konstant), kus siis öeldakse, et muutuja y on pöördvõrdline muutujaga x Et x0, siis graafikul puudub punkt, mille abstsiss on null. Pöördvõrdelise seose omadus Ühe muutuja väärtuse suurenemisel (vähendamisel) mingi arv korda väheneb (suureneb) teise muutuja väärtus sama arv korda. Mis seos esineb järgmistes tabelites? x -8 -4 -2 -1 y 1 2 4 8 x -2 -1 1 2 y -4 -2 2 4 x -4 -1 2 5 y 2,4 0,6 -1,2 -3 x 2 4 5 8 y 16 8 6,4 4 Pöördvõrdeline seos on esitatud tabelina. Leia võrdetegur a, kirjuta see seos valemina ning täida vastavad lüngad. x -4 -8 10
Näiteks ühe kilovatt-tunni elektrienergia eest tuleb maksta x eurosenti, pärast hinnatõusu on uus hind y eurosenti. Matemaatikatunnist tuttavatest valemitest võib vaatluse alla võtta ringjoone pikkuse ja ringi pindala valemid, mis sisaldavad konstanti . Ringjoone pikkuse valemis c = 2r ja pindala valemis S = r2 esineb üks konstant ja üks muutuv suurus. 1.2. Võrdelised suurused ja nende omadused Kui kaks positiivset suurust sõltuvad teineteisest nii, et ühe suuruse suurenemisel (või vähenemisel) mingi arv korda suureneb (või väheneb) ka teine suurus sama arv korda, siis need suurused on võrdelised. Näited võrdeliste suuruste kohta tuleb valida elulised, kus matemaatikat saab lõimida igapäeva- eluga (Tõnso 2002: 172 173). 1 Näide: tabelis on antud auto poolt läbitud tee pikkus ja sõiduks kulunud aeg. Tuleb otsustada, kas meil on tegemist ühtlase liikumisega (füüsikas käsitletakse seda 8. klassis).
koordinaadid ja ainult need. Näiteks ringjoon raadiusega r ja keskpunktiga C(a,b) on niisuguste punktide hulk, millised rahuldavad tingimust |CM|=r, kus M(x;y) on ringjoone meelevaldne punkt. Niisuguse ringjoone võrrand on (x-a)² + (y-b)² = r² Joonte parameetrilised võrrandid Joone parameetrilisteks võrranditeks ruumis nim võrandeid kujul x=x(t) y=y(t) z=z(t) kui esimene võrrand esitab x-i t-funktsioonina, teine võrrand esitab y-i ja kolmas z-i muutuja funktsioonina. Muutujat t nim parametriks. Tasandil nim joone parameetrilisteks võrranditeks võrrandeid x=x(t) y=y(t) Sirge parameetrilised võrrandid Sirge on täielikult määratud kui on teada nullist erinev sirgega paralleelne vektor, nn sirge sihivektor s ja üks punkt M1 sirgel. M on meelevaldne punkt sirgel, siis OM1=r1 ja OM=r. Punktid M1 ja M määravad vektori M1M=r-r1. See vektor on paralleelne sihivektoriga. Võrrand r-r1=st on sirge parameetriline võrrand vektorkujul
kanooniline võrrand tasandil või ka sirge võrrand sihivektrori ja punkti järgi. Üldvõrrand - Sirge tõusuks nim selle sirge tõusunurga tangensit. Sirge tõusunurk on alati 0* ja 180* vahel. Kui sirge tõusunurk on alfa, siis selle sirge tõus k=tan alfa. Seega sirge tõusu saab leida vaid x- teljega mitteristuvate sirgete korral. Võrrand tõusu ja algordinaadi abil: y = kx + b Kui sirge üldvõrrandist avaldada muutuja y, siis saame võrrandi seega 22. Sirgete paralleelsuse ja ristseisu tunnused. Kahe sirge vastastikused asendid. Paralleelsuse tunnused: sihivektorid kollinearsed (+ kontrollin et ei ühti) Ristseisu tunnused: sihivektorid on risti. 23. Sirge kanoonilised ja parameetrilised võrrandid ruumis. Kanoonilised võrrandid: (x-x1) / sx = (y-y1) / sy = (z-z1) / sz =täh. t. Parameetrilised võrrandid: 24. Tasandi normaal. Tasandi üldvõrrand ruumis.
1 2 Hüperbooli fookused - Punkte F1 ja F2 nimetame hüperbooli fookusteks. Hüperpooli keskpunkt - Ristreeperi alguspunkt ehk pooluse O paigutatud lõigu F1F2 keskpunkti. Hüperbooli imaginaarsed e ebatipud punktid B1(0,-b) ja B2(0,b) Hüperbooli tipud - A1(-a, 0), A2(a, 0) , leitakse hüperbooli kanoonilisest võrrandist asenduste x1 = 0 ja x2 = 0 teel. Hüperbooli harud 2 tükki, millest hüperbool koosneb. Hüperbooli sümmeetriateljed- kanoonilise reeperi baasivektorite poolt määratud koordinaatteljed on hüperbooli sümmeetriatelgedeks. Hüperbooli reaaltelg (imaginaartelg) Hüperbooli samal sümmeetriateljel asuvat tipupaari (ebatipupaari) poolt välja eraldatud lõik ja tema pikkus. Hüperpooli poolteljed Lõike A1O,OA2,B1O ja OB2 ning nende pikkusi a ja b nimetame hüperbooli pooltelgedeks. Lõike A1O,OA2 ja nende pikkust a
vastavad funktsiooni väärtused teises reas. On võimalik ainlult siis, kui funktsioonil on arvuline väärtus. 2. Analüütiline esitlusviis Funktsioon esitatakse valemi kujul, vajadusel lisatakse määramispiirkonna kirjeldus 3. Graafiline esitlusviis Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkordinaadistikus. · Funktsiooni f graafiku definitsioon Kui f(x)>0 siis on graafik ülalpool x-telge, kui x<0 siis on graafik allpool x-telge · Funktsioon on ühene, kui suvaline y teljega paralleelne sirge läbib graafikut ainult ühest punktist. · Funktsioon on mitmene, kui suvaline y teljega paralleelne sirge läbib graafikut vähemalt kahest punktist. 3. · Paarisfunktsioon kui iga korral kehtib võrdus · Paaritufunkstioon kui iga korral kehtib võrdus · Perioodiliseks nimetame funktsiooni, kui leidub konstant nii, et iga korral kehtib võrdus
muutumispiirkonnaks. On antud 2 muutuvat suurust x ja y. Funktsiooniks (ehk üheseks funktsiooniks) nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y ühe kindla väärtuse. Muutujat x nimetatakse seejuures sõltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja muutujat y sõltuvaks muutujaks. Olgu antud funktsioon f, mille argumendiks on x ja sõltuvaks muutujaks y. Muutuja y väärtust, milleks funktsioon f kujutab argumendi x, nimetatakse funktsiooni f väärtuseks kohal x ja tähistatakse sümboliga f(x). Seega võimekirjutada seose y = f(x) mis väljendab muutuja y "seotust" argumendiga x funktsiooni f kaudu. Seost nimetatakse funktsiooni võrrandiks. Funktsiooni esitusviisid: 1)tabel 2)analüütiline 3)graafiline G = {P = (x, f(x)) || x X} Vaatleme joont G, mis
Võrdeline seos Kui kaks positiivset suurust sõltuvad teineteisest nii, et ühe suuruse suurenemisel (või vähenemisel) mingi arv korda suureneb (või väheneb) ka teine suurus sama arv korda, siis need suurused on võrdelised. Võrdeliste suuruste vahelist sõltuvust nimetatakse võrdeliseks seoseks. Kaks muutujat on võrdelises seoses, kui nende vastavate väärtuste jagatis on jääv. Näited. 1. Lähed kahe sõbraga poodi, kus igaüks ostab erineva koguse komme, mille ühe kilo hind on 56 krooni. Kui igaüks jagab makstud raha - summa (kr) ostetud kommide
nimetatakse muutuvaks suuruseks ehk muutujaks. Suurust, mille arvuline väärtus ei muutu, nimetatakse jäävaks suuruseks. Suuruse muutumispiirkond- Muutuva suuruse kõigi võimalike väärtuste hulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks. Funktsiooni definitsioon- Olgu antud 2 muutuvat suurust x ja y. Funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y ühe kindla väärtuse. Funktsiooni argument- muutuja x, sõltumatu. Sõltuv muutuja- muutuja y. Määramispiirkond- argumendi x muutumispiirkonda. Tähis X. y= f(x). Väärtuste hulk- Hulka Y = {f(x) || x kuulub X} Funktsiooni esitamine tabelina- Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse tabeli ühes reas (veerus) ja neil vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. Funktsiooni esitamine analüütiliselt- Funktsioon esitatakse valemi kujul
Sirge võrrandid koordinaatkujul tasandil x=xo +tsx ,y=yo +tsy ,kus tR. Lõigu parameetrilised võrrandid erinevad ainult parameetri t väärtustelt: need muutuvad kõigi reaalarvude asemel teatud lõigu [a,b]. Pmst sama ruumis. Kanooniline võrrand x-xo/sx=y-yo/sy. y=k(x-xo)+yo, kus k=sy/sx nim. Sirge tõusuks. See on sirge ja x-telje vahelise nurga tangens, st. k=tan. Sirge võrrand esitatakse tavaliselt üldvõrrandina. See näitab, et sirge tasandil on kahe muutuja lineaarne võrrand. Tasandi võrrandid Fikseeritud punkt ja kaks nullist erinevat mittekollineaarset vektorit määravad tasandi. Neid tasandi suunalisi vektoreid nimetatakse tasandi suunavektoriteks.Tasandi üldvõrrand A(x-xo)+B(y-yo) +C(z-zo)=0. Kahe tasandi vahelise nurga arvutamiseks piisab nende normaalvektorite vahelise tervanurga arvutamisest. Tasandi ja sirge vahelise nurga all mõistetakse sirge ja selle tasandile võetud
väiksemaks poolteljeks 12 Hüperbool Hüperbooliks nimetatakse tasandilist joont, mille iga punkt P rahuldab tingimust |r1 − r2| = 2a Hüperbooli kanooniline võrrand Hüperbooli fookused Punkte F1, F2 nimetatakse hüperbooli fookusteks Harud Sümmeetriateljed Hüperboolil on kaks sümmeetriatelge, kusjuures mõlemad läbivad hüperbooli keskpunkti. Esimene sümmeetriatelg on fookuseid F 1, F2 läbiv sirge ja teine on sellega risti. Keskpunkt Hüperbool on sümmeetriline punkti O suhtes. Punkti O nimetatakse hüperbooli keskpunktiks. Tipud Näeme, et fookusi läbiv sümmeetriatelg lõikab hüperbooli kahes punktis, andes kaks tippu A, B. Vaatamata sellele, et teine sümmeetriatelg ei lõika hüperbooli, defineerime kaks punkti sellel sümmeetriateljel C(0, b), D(0, −b). Nimetame neid punkte hüperbooli ebatippudeks ehk imaginaarseteks tippudeks Hüperbooli ekstsentrilisus Fokaalparameeter
· juhuslik komponent () ÖKONOMEETRILISE MODELLEERIMISE ETAPID: 1. teooria ja sellel baseeruva verbaalse mudeli formuleerimine 2. andmebaasi korraldamine 3. ökonomeetrilise (matemaatilise) mudeli valik 4. ökonomeetrilise mudeli parameetrite hindamine 5. parameetrite usaldatavuse kontrollimine 6. mudeli omaduste parandamine 7. järelduste tegemine 8. prognooside koostamine 3. Lihtne regressioon, regressioonivõrrandi põhikuju. Determineeritud regressioonivõrrand. Lineaarse regressiooni korral kirjeldatakse seost uuritavate muutujate väärtuste vahel sirge abil võrrandiga Y = a0+a1X Eesmärgiks on leida punktiparvega antud X ja Y vahelist seost iseloomustava parima sirge võrrand Lineaarse kahe muutujaga determineeritud regressioonimudeli korral eeldatakse, et juhusliku suuruse Y tingliku keskväärtuse ja sõltumatu muutuja X vahel on seos
Tõkestatud hulga definitsioon: reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik ( a, b ) nii, et A ( a, b ). Tõkestatud hulgad on näiteks kõik lõplikud vahemikud ( a, b ), lõigud [a, b] ja poollõigud [a, b), (a, b]. Tõkestamata hulgad on aga näiteks lõpmatud vahemikud (-, a), (a, ) ja lõpmatud poollõigud (-, a], [a, ). 2. Jääv ja muutuv suurus. Suuruse muutumispiirkond. Funktsiooni definitsioon. Funktsiooni argument, sõltuv muutuja, määramispiirkond ja väärtuste hulk. Funktsiooni esitamine tabelina ja analüütiliselt. Funktsiooni graafiku mõiste. Graafiku omadused. V: Jääv ja muutuv suurus: Suurust, mis võib omandada erinevaid arvulisi väärtusi, nimetatakse muutuvaks suuruseks ehk muutujaks. Suurust, mille arvuline väärtus ei muutu, nimetatakse jäävaks suuruseks. Näiteks ühtlase liikumise korral on kiirus jääv suurus ja läbitud teepikkus muutuv suurus. Samas mitte ühtlase liikumise korral on ka kiirus
arvulisi väärtusi, nimetatakse muutuvaks suuruseks ehk muutujaks. Suurust, mille arvuline väärtus ei muutu, nimetatakse jäävaks suuruseks. Suuruse muutumispiirkond- Muutuva suuruse kõigi võimalike väärtuste hulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks. Funktsiooni definitsioon- Olgu antud 2 muutuvat suurust x ja y. Funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y ühe kindla väärtuse. Funktsiooni argument- muutuja x, sõltumatu. Sõltuv muutuja- muutuja y. Määramispiirkond- argumendi x muutumispiirkonda. Tähis X. y= f(x). Väärtuste hulk- Hulka Y = {f(x) || x kuulub X} Funktsiooni esitamine tabelina- Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse tabeli ühes reas (veerus) ja neil vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. Funktsiooni esitamine analüütiliselt- Funktsioon esitatakse valemi kujul
neil vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. 2. Anaüüutiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. 3.Graafiline esitusviis. Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistikus. Funktsiooni f graafiku definitsioon on järgmine: G = {P = (x, f(x)) || x X} . Kui f(x) > 0, siis graafik paikneb ülalpool x-telge. Kui aga f(x) < 0, siis graafik jääb x-teljest allapoole. Kui suvaline y-teljega paralleelne sirge saab funktsiooni graafikut lõigata maksimaalselt ühes punktis, siis funktsioon on ühene. Juhul, kui eksisteerib vähemalt üks y-teljega paralleleelne sirge lõikab funktsiooni graafikut mitmes punktis, vaadeldav funktsioon on mitmene. 3. Paaris- ja paaritud funktsioonid. Perioodilised funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Astmefunktsioon
saavutama vahemikus (a,b) asuvas punktis. Tähistame selle punkti c-ga. Kuna vahemikus asuv absoluutne ekstreemum on ühtlasi ka lokaalne ekstreemum, omab funktsioon f lokaalset ekreeemumit punktis c. Peale selle on f teoreemi eelduste põhjal diferentseeruv punktis c. Saame . Teoreem on tõestatud. b. Rolle'i teoreemi geomeetriline sisu Teoreemi eeldustel on funktsiooni graafik sile joon, mille otspunktid asuvad x- telje suhtes samal kõrgusel. Teoreem väidab, et sellisel juhul leidub vahemikus (a,b) vähemalt üks punkt c, mille korral funktsiooni tuletis on null, st funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne x-teljega. Teisel juhul on graafikul kaks punkti c ja c. (JOONIS 3.7) c. Sõnastada ja tõestada Cauchy teoreem Sõnastus: Kui funktsioonid f ja g on lõigul [a,b] pidevad, vahemikus (a,b)
võrratuse märk muutub vastupidiseks, st f() > (), siis on f kahanev hulgas D. Kasvamispiirkonnas funktsioonigraafik tõuseb, kahanemispiirkonnas langeb. Astmefunktsioon y = , kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Määramispiirkond: Eksponentfunktsioon y = , kus astmealus a on konstantne ja rahuldab võrratust a>0. Lisaks sellele eeldame veel, a 1, sest muidu oleks see konstantne funktsioon. X=R, Y = (0,). Graafik on juhtudel a > 1 (kasvav) ja 0 < a < 1 (kahanev). Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sinx, X = R, Y = (-1,1), graafik perioodiline perioodiga 2, paaritu funktsioon y = cosx, X = R, Y = (-1,1), graafik perioodiline perioodiga 2, paarisfunktsioon y = tanx, X = R / || k Z, Y = R, graafik periood on , paaritu funktsioon y = cotx, X = R/ k || k Z, Y = R, periood on , paaritu funktsioon 4
Kõrgema matemaatika kordamisküsimused 1. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Nullmaatriks. Transponeeritud maatriks 2. Maatriksite korrutise definitsioon. Korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete ning korrutamise vahel. Ühikmaatriks. 3. Teist ja kolmandat järku determinandid. 4. Permutatsiooni definitsioon. Inversiooni definitsioon. n-järku determinandi definitsioon. Determinandi põhiomadused 5. Maatriksi elemendi minor. Alamdeterminant. Determinandi arendus rea ja veeru järgi. Determinantide teooria põhivalem. 6. Regulaarse maatriksi mõiste. Pöördmaatriksi definitsioon ja elementide leidmise eeskiri. Pöördmaatriksi omadused. 7. Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Vasturääkiv, kooskõlaline, määratu süsteem. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. 8. Süsteemi lahen
d.v. Suuruse miinus lõpmatuks ümbruseks nim suvalist vahemikku (-M;-), kus M>0. Arv x kuulub minus lõpmatuse ümbrusesse kui x<-M. e. Tõkestatud hulga definitsioon Reaalarvudest koosnevat hulka A nim tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik (a,b) nii, et A(a,b) 2. Jääv ja muutuv suurus. Suuruse muutumispiirkond. Funktsiooni definitsioon. Funktsiooni argument, sõltuv muutuja, määramispiirkond ja väärtuste hulk. Funktsiooni esitamine tabelina ja analüütiliselt. Funktsiooni graafiku mõiste. Graafiku omadused. a. Jääv ja muutuv suurus a.i. Muutujaks ehk muutuvaks suuruseks nim suurust, mis võib omandada erinevaid arvulisi väärtusi. a.ii. Jäävaks suuruseks nim suurust, mille arvuline väärtus ei muutu. b. Suuruse muutumispiirkond
Siis Cauchy teoreemi põhjal leidub vahemikus (a,x) punkt c nii, et: b.i.2. x muutuja c muutujaga x. Tulemusena same valemi = 5. Kõrgemat järku tuletiste ja diferentsiaalide definitsioonid. Tuletada kõrgemat järku diferentsaalide valemid. a. Olgu funktsioon y=f(x) dieferentseeruv hulgas D. Siis on tema tuletis f` hulgas D määratud funktsioon. Oletame, et f` on samuti diferentseeruv hulgas D. Siis saame arvuada funktsiooni f` tuletise ehk funktsiooni f teise tuletise, mida tähistatakse f``.
Leitakse T, nii et keskmine aasta T =0. Muidu –x
Terviku leidmiseks protsendi järgi on mitu meetodit: 1) Leida 1% tervikust ja korrutada see sajaga 2) Jagada protsendile vastav osa kümnendmurruks teisendatud protsendiga Nt, kui on teada et 7% on 21m siis terviku leidmiseks leiame kõigepealt 1% väärtuse. Selleks 21/7 = 3 ja seega 1 % = 3 Nüüd korrutame kolme sajaga 3*100 ja saame terviku. Võrdeliseks seoseks nimetatakse muutujate võrdelisust. Muutujat y nimetatakse võrdeliseks muutuja x, kui nende muutujate kõikide väärtuste korral kehtib seos y = a*x Võrdeline seos peab läbima 0 punkti. Geogebra : y=3x Pöördvõrdelises seoses on muutujate x ja y vaheline seos, kus ühe suutuse kasvades väheneb teise suurus. Selle valem on y=a/x Geogebra = y=3/x Lineaarseks seoseks nimetatakse muutujate x ja y vahelist seost, kui y = a *x + b Geogebra : y=3-x
ühes reas (veerus) ja neil vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. Analüütiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. Graafiline esitusviis. Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistikus. Olgu antud funktsioon f, mille argument on x, sõltuv muutuja y ja määramispiirkond X. Kanname tasandile ristuvad x- ja y-teljed. Vaatleme selles teljestikus joont G, mis koosneb kõikvõimalikest punk- tidest P = (x,f(x)), kusjuures P esimene koordinaat x jookseb läbi kogu määramispiirkonna X. Seda joont nimetataksegi funtsiooni f graafikuks. Seega, lühidalt kirjutades on funktsiooni f graafiku definitsioon järgmine: G = {P = (x,f(x))||x X}.
Geomeetrilist keskmist kasutatakse kõige sagedamini aegridade uurimisel, keskmise kasvutempo arvutamisel. VARIEERUMINE: Varieeruvuse hindamisel: 1.... 2.... 3... Dispersioonanalüüsi eesmärk on: 3. dispersioonide leidmine 4. uuritava nähtuste tegurite mõju olulisuse hindamine SEOSED JA DISPERSIOONANALÜÜS: Seose juures on vaja kahte regrssiooni kordajat. 5. regressioonikordaja iseloomust sõltuva muutuja ühikulist... Seoste analüüsil: 5. regressiooniseos ei ole pööratav 6. seost krjeldab 2 funktsiooni 7. korrelatsioonikordaja peab olema 0 ja 1 vahel 8. regressioon ei pea olema 0 ja 1 vahel Selleks et väljavõtukogumi alusel tehtavad järeldused oleksid usaldatavad peab väljavõtukogum olema ESINDUSLIK. Esinduslikkuse tagamiseks tuleb kasutada JUHUVÄLJAVÕTTU.
1.Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda 4.Üksühese funktsiooni ja pöördfunktsiooni definitsioonid. Vaatleme funktsiooni y=f(x). Toome lisaks muutujale x ± absoluutväärtuse Seosed funktsiooni ja tema pöördfunktsiooni ja y sisse ka kolmanda muutuja t. x= (t). Siis saab ka Funktsioonil f on piirväärtus kohal a, kui suvalises piirprotsessis xa, mis omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. määramispiirkondade ja väärtuste hulkade vahel, vastastikune muutuja y avaldada parameetri t kaudu. y = (t). rahuldab tingimust xa, funktsiooni väärtus f(x) läheneb lõpmatusele
Ellipsi fookuste vahekauguse suhet ellipsi suure telje pikkusesse nimetatakse ellipsi eksentrilisuseks (tähistatakse e). ; 0e<1 Ellipsi omadused: · Ellips on sümmeetriline x-telje, y-telje ja koordinaatide alguspunkti suhtes. · Ellips lõikub koordinaattelgedega neljas punktis. · Ellips paikneb ristkülikus, mis on piiratud sirgetega. x=-a; y=-b; x=a; y=b. Ellipsi telgeteks on 2a (suur telg) ja 2b (väike telg). a- pikem pooltelg; b- lühem pooltelg. Hüperbool Hüperbooliks nim tasandi nende punktide hulka, mille kauguste vahe tasandi kahest antud punktist on absoluutväärtuselt konstantne. Neid kahte punkti nim fookusteks. Fookuste vahelist kaugust tähistatkse 2c. F1(-c;0), F2(c,0). Definitsioonis mainitud absoluutväärtust tähisttakse 2a. Kui punkt M(x;y) on suvaline punkt hüperboolil, siis pnkti kaugust fookustest |MF1-MF2|=2a Hüperbooli kanooniline võrrand: Hüperbooli omadused:
x2 y2 112. Hüperbooli kanooniline võrrand - 2 − 2 =0 a b 113. Hüperbooli fookused - F1 (−c , 0 ) , F2 (c , 0) 114. Hüperbooli harud - 115. Hüperbooli sümmeetriateljed- 116. Hüperbooli keskpunkt Olgu O hüperbooli fookustega määratud lõigu F1F2 keskpunkt. Hüperbool on sümmeertiline punkti O suhtes. Punkti O nim. hüperbooli keskpunktiks. 117. Hüperbooli tipud –A(-a,0), B(a,0) imaginaarsed tipud: C(c,0), D(0,-b) c 118. Hüperbooli ekstsentrilisus – e = a >1 b2 119. Hüperbooli fokaalparameeter- p= a 120. Hüperbooli Fokaalraadiused - r 1=|a+ex 0|, r 2=¿ a−ex 0∨¿
6. neljandat järku standardmoment on võrdne kolmega 7. kui ekstsess on neg, siis jaotuskõver on lamedam ja laiem 8. puudub sümmeetria (esineb sümmeetria) 9. standarthälve = 0 (siis on sirge) 11. keskväärtus on alati = 0 (ei ole alati, näiteks vanus või pikkus) Kümne aasta pikkusele aegreale arvutati tasandusjoone võrrand Y=20,5 2,5X. Kuidas saadud tulemus tõlgendada? 1. See funktsioon näitab sõltuva ja sõltumatu muutuja vahel väga tugeva seose olemasolu 2. Mitte kuidagi, sest parameeter b ei saa tulla negatiivne 3. Näitab sõltuva muutuja 2,5 ühikulist vähenemist x-i ühe ühikulise juurdekasvu korral 4. Näitab sõltuva muutuja 2,5 kordset kasvu x-i ühe ühikulise juurdekasvu korral (vale) 5. Mitte kuidagi, sest kordaja absoluutväärtus peab jääma 0 ja 1 vahele Tasandusjoon Y=18,5 0,48X 1. Näitab kasvavat lineaarset tendentsi (kahanevat) 2
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
