Mitme muutuja funktsiooni osatuletised Olgu antud funktsioon w = f ( x, y , z ,...) . Funktsiooni f osatuletiseks muutuja x järgi nim. ühe muutuja funktsiooni tuletist, mis saadakse funktsiooni f ülejäänud muutujate lugemisel konstantideks. f ( x, y , z,...) Seda tähistatakse: wx = f x ( x, y , z ,...) = . x Funktsiooni osatuletise leidmiseks antud punktis leitakse kõigepealt antud funktsiooni osatuletis ning seejärel omistatakse osatuletise kui uue funktsiooni muutujatele etteantud punkti koordinaadid. Kõrgemat järku osatuletised Olgu antud funktsioon z = f ( x, y ) ning leidugu z x ja z y . Siis 2 f ( x, y ) 2 f ( x, y ) 2 f ( x, y ) 2 f ( x, y )
sisu. Summa, vahe, korrutise, jagatise ja liitfunktsiooni pidevus. 8. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid etteantud hulgal. Sõnastada kinnises tõkestatud hulgas pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema suurima ja vähima väärtusega. Sõnastada ja tõestada kinnises tõkestatud sidusas hulgas pideva funktsiooni omadus, mis on seotud tema nullkohaga. 9. Mitmemuutuja funktsiooni osatuletise definitsioon. Osatuletis kui funktsioon. Osatuletiste tõlgendus ja geomeetriline sisu kahemuutuja funktsiooni korral. 10. Liitfunktsiooni osatuletise valem. Täistuletise mõiste. 11. Olgu ühemuutuja funktsioon y = f(x) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x,y) = 0. Tuletada valem funktsiooni f(x) tuletise jaoks funktsiooni F osatuletiste kaudu. Parameetrilise kahemuutuja funktsiooni osatuletiste leidmine. 12
funktsiooni muutumispiirkond, funktsiooni graafik. +muutumispiirkond +graafik 5. Nivoojooned, nivoopinnad. 6. Sõnastada kuhjumispunkt, m-muutuja funktsiooni piirväärtus, m-muutuja funktsiooni korduvad piirväärtused. 8. m-muutuja funktsiooni pidevus. m-muutuja funktsiooni katkevuspunkt. Pidevuse tarvilik ja piisav tingimus. 9. Sõnastada m-muutuja funktsiooni osatuletis. 10. Kahe muutuja funktsiooni osatuletise geomeetriline tähendus. 11. Pinna puutuja, puutujatasand, normaal. Tuletada puutujatasandi võrrand. +tuletamine 12. Kõrgemat järku osatuletised. Segaosatuletised. 13. Näidata, kui funktsiooni z = f(x, y) teist järku segaosatuletised zxy ja zyx on pidevad punktis P(x, y), siis selles punktis zxy = zyx. 15. Kahe muutuja funktsiooni täisdiferentsiaali geomeetriline tähendus. +graafik 16
Pikkuste ja vahemaade mõõtmisel ( ) ( ) ( ) Nurga mõõtmisel ( ) ( ) ( ) Liitmääramatus võnkeperioodi arvutamisel ( ) ( ( ) * Võttes osatuletise, saan: ( ) ( ) ( ) Liitmääramatus kiiruse arvutamisel ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( )) ( ( )* ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) Võttes osatuletised, saan: ( ) (( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) )
alg- ja lõppväärtus, kus integraali arvutatakse. Võimaldab selgitada kogufun ning piirfun seost.Kasutatakse heaolu hindamisel. Määramata int-avaldist F(x)+c kus c on suvaline konstant, nim fun-i f(x) määram.int ja tähistatakse | f(x)dx=F(x)+C Päratud int-otse arvutada neid ei saa sest ja+ lõp.ei ole arvud. Dif-kse piirväärtustena. Integ. Saab olla päratu ka lõplike rajade korral: siis kui integreeritav saab lõpuks[a,b]-1. 8)1. 2. Järku tuletised (osatuletise ja dif kaudu, hessiaani kaudu)- esimest järku tingimus: tarvilik dz=0; f´(x)=0 piisav: dx<0 =>f´(x) max, dx>0 => f´(x)<0 min II j tingimus: tarvilik d(dz)=d2z, z=f(x,y) piisav: d2z>0 min, d2z<0 max. Osatuletise kaudu: fxx< 0 f yy<0 ja fxx f yy> fx2y=> d2z<0 max punkt, fxx>0 f yy>0 ja fxx f yy> fx2y => d2z>0 min.punkt II j tingimus det.abil: H= [fxx fxy / fxy fyg ] | H1|= | fxx|= fxx , |H2| =| fxx fxy / fxy fyy | =
3. Näidata, et xϵRn korral rahuldab normi aksioome Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile seab vastavusse skalaari , kusjuures on täidetud järgnevad tingimused: 1). 2). 3). 4. Tõestada üks segatuletiste võrdsuse piisav tingimus. 5. Näidata, et diferentseeruv kahe-või mitmemuutuja funktsioon on pidev. 6. Näidata, et kahe-või mitmemuutuja funktsioon on diferentseeruv, kui tema osatuletised on pidevad. 7.Liitfunktsiooni tuletise ja osatuletise valemid. Üks neist tuletada. Kui funktsioonid xi = xi (t) (i = 1; … ; n) on diferentseeruvad punktis t ja funktsioon u = f (x) on diferentseeruv punktis P(x1(t);…..; xn(t)), siis liitfunktsiooni f (x1(t); … ; xn(t)) = f (x(t)) = u(t) tuletis punktis t avaldub kujul Kui funktsioonid x = x(u; v) ja y = y(u; v) on diferentseeruvad punktis P(u; v) ning funktsioon z = z(x; y) on diferentseeruv punktis (x(P); y(P)), siis liitfunktsiooni z = z(x(P); y(P)) = z(u; v)
Tõus: 2743,01303 ± 33,77131 Vabaliige: -0,59099 ± 0,11023 Leian aktivatsioonienergia W (pooljuhi korral) k (graafiku tõus) = W/2K, kus K on Boltzmanni konstant 1,38 · 10-23 J/K Leian aktivatsioonienergia määramatuse ( ) ( ( )) Võttes osatuletise, saan: ( ) ( ( )) ( ) ( ) JÄRELDUSED TÖÖ TULEMUSED KOOS MÄÄRAMATUSTEGA
Oletame, et kahe muutuja funktsioon f(x,y) on pidev ja omab pidevaid osatuletisi ning punktis M(x;y) ja selle mingis ümbruses. Esitame funktsiooni täismuudu järgmiselt: Võrduse esimeses kahes liikmes on y muutumatu suurus, võrde y+y. Kolmandas ja neljandas liikmes on x konstantne. Punktis M ja selle ümbruses on täidetud Lagrange'i teoreemi eeldused. Järelikult leidub selline x (x;x+x), et Samuti leidub selline y(y;y+y), et Osatuletise pidevuse tõttu (et x on x ja x+x vahel, siis läheneb xx, kui x0; samamoodi toimub ka y korral) Teoreemist lõpmatult kahanevate suuruste kohta saame, et (kus ja on piirprotsessis (x,y)(0;0) lõpmatult kahanevad suurused) Funktsiooni täismuudu jaoks saame avaldise Võrduse kahe viimase liidetava summa on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus suhtes. Näiteks kui
Contents Contents...................................................................................................................... 1 4.Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus. Pidevus........................................................ 5 7) Liitfunktsiooni tuletise ja osatuletise valemid. Uks neist tuletada.............................. 6 8) Defineerida funktsiooni tuletis etteantud suunas. Tuletada suunatuletise valem funktsiooni osatuletiste kaudu. Gradient. Telgedesuunalised tuletised. Suunatuletise tõlgendus..................................................................................................................... 9 10. Olgu mitmemuutuja funktsioon u = f (x) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x,u)= 0
f ( x) f ( a) + 1! 2! n! MacLaurini valem kehtib siis , kui a=0 , seega saab valem järgmise kuju: f ( 0 ) f ( 0 ) 2 f ( n ) ( 0) n f ( x ) f ( 0) + x+ x ++ x 1! 2! n! Mitme (kahe) muutuja funktsioon, osatuletise rakendused Määramispiirkond- Argumentide väärtuspaaride hulk, mille korral funktsioon on määratud. Kui argumentide väärtuste paarile (x0;y0) vastav z väärtus on olemas (arvutatav), siis öeldakse, et z = f(x;y) on määratud punktis (x0;y0). Nivoojoon (nivoopind)- Funktsiooni z=f(x;y) nivoojooneks nimetame punktihulka, mis rahuldab nivoojoone võrrandit z=C. Enamikel funktsioonidel on lõpmata palju erinevaid nivoojooni. Kui meil
Mõõtjast tulenev määramatus: Pendli pikkuse (ja edaspidi ka raskuskeskme) mõõtmisel: l(l, a)=0,3 cm; =0,95. Liitmääramatus: Pendli pikkuse ja raskuskeskme mõõtmisel Liitmääramatus võnkeperioodi arvutamisel: ( * Võttes osatuletise, saan: Liitmääramatus raskuskiirenduse arvutamisel ( * ( * Võttes osatuletised, saan: ( ) ( + ( * ( )
Lahend on [a,b] f´peab olema sama märgiga Leidub täpstelt üks lahend. Võetakse keskkpunk a+b/2 ja arvutame f(a+b/2) jälgime märki saab teada kas lahend kuulub [a+b/2;b] ja siis korratakse seda. Taylori(MacLaurini)valem f ( 0 ) f ( 0) 2 f ( n ) ( 0) n f ( x ) f ( 0) + x+ x + + x 1! 2! n! . Seda valemit nimetatakse Mclaurini valemiks. Mitme (kahe) muutuja funktsioon, osatuletise rakendused Määramispiirkond Kui argumentide väärtuste paarile (x0;y0) vastav z väärtus on olemas, siis öedakse, et z=f(x;y)on määratud punktis (x0;y0). Argumentide väärtuspaaride hulka, mille korral funktsioon on määratud nimetakse selle funktsiooni määramispiirkonnaks. Nivoojoon(Nivoopind) Funktsiooni z=f(x;y) nivoojooneks nimetakse punktihulka, mis rahuldab võrranditx=C. Enamikul funktsioonidel on lõpmata palju nivoojooni.3 muutuja funktsiooni puhul muutub
Järelikult saame arvutuse absoluutse vea hinnagu n f u~ - u = u x k (6.3) k =1 xk R Et punkt R lõigul PQ on meile teadmata, siis asendatakse see olemasoleva punktiga Q. Kuid sel juhul ei pruugi võrratus (6.3) enam pidada paika. Tegelikult saame kirjutada vaid ligikaudse võrduse n f u xk k =1 xk Q see on absoluutse vea lineaarne hinnang. f Leiame osatuletise absoluutväärtuste suurimad väärtused argumendi muutude x k x k ulatuses punkti Q ümbruses. f Tähistame Ak = Rmax [ P ,Q ] x k R Saame absoluutse vea ülemise tõkendi n u Ak xk (6.5) k =1 f kus Ak = Rmax [ P ,Q ] x k R Def. 6.1.
piirkonnas iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. 3) Kui funktsioon on pidev kinnises tõkestatud sidusas piirkonnas D ja omandab selles piirkonnas nii positiivseid kui negatiivseid väärtusi, siis leidub selles piirkonnas vähemalt üks punkt A nii et (A) = 0. 14) Mitmemuutuja funktsiooni osatuletise mõiste. Osatuletis kui funktsioon. Osatuletise mõiste: Olgu antud m-muutuja funktsioon z= (x1, x2, ..., xm) ja olgu A= (a1, a2, ...,am) punkt funktsiooni määramispiirkonnas. Piirväärtust lim (a1, a2, ...,ai-1, xi,...,am) - (a1, a2, ...,ai-1, ai,...,am) xiai xi-ai nim funktsiooni osatuletiseks argumendi xi järgi punktis A ja tähistatakse ´xi (A) või z ( A ) või z (A)
piirkonnas iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. 3) Kui funktsioon on pidev kinnises tõkestatud sidusas piirkonnas D ja omandab selles piirkonnas nii positiivseid kui negatiivseid väärtusi, siis leidub selles piirkonnas vähemalt üks punkt A nii et (A) = 0. 14) Mitmemuutuja funktsiooni osatuletise mõiste. Osatuletis kui funktsioon. Osatuletise mõiste: Olgu antud m-muutuja funktsioon z= (x1, x2, ..., xm) ja olgu A= (a1, a2, ...,am) punkt funktsiooni määramispiirkonnas. Piirväärtust lim (a1, a2, ...,ai-1, xi,...,am) - (a1, a2, ...,ai-1, ai,...,am) xiai xi-ai nim funktsiooni osatuletiseks argumendi xi järgi punktis A ja tähistatakse ´xi (A) või z ( A ) või z (A)
artuse vahel. Omadus 3. Kui funktsioon f on pidev kinnises t~ okestatud sidusas piirkonnas D ja omandab selles piirkonnas nii positiivseid kui negatiivseid v¨ a¨artusi, siis leidub selles piirkonnas v¨ ahemalt u ¨ks punkt A nii et f (A) = 0. 14) Mitmemuutuja funktsiooni osatuletise mõiste. Osatuletis kui funktsioon. Osatuletise m~ oiste. Olgu antud m-muutuja funktsioon z = f (x1 , x2 , . . . , xm ) ja olgu A = (a1 , a2 , . . . , am ) punkt funktsiooni f m¨a¨ aramispiirkonnas. Piirv¨a¨ artust f (a1 , a2 , . . . , ai-1 , xi , ai+1 , . . . , am ) - f (a1 , a2 , . . . , ai-1 , ai , ai+1 , . . . , am ) lim
punktis Funkts-i u=f(x1,...,xn) täismuuduks punktis A(a1,...an) nim avaldist u=f(a1+x1,...,an+xn)-f(a1,...,an). Tähistades x=(x1,..,xn), saame kirjutada u=f(A+x)-f(A). Funktisooni pidevuse tingimus punktis A: limx0u=0 Kui eksist piirväärtus limxi0xiu/xi, siis nim seda funkt-i u=f(x1,...,xn) osatuletiseks punktis P(x1,...,xn) muutuja xi (1in) järgi ja tähistatakse f(x1,...,xn)/xi, st f(x1,...,xn)/xi=limxi0xiu/xi . Osatuletise võtmisel mitme muutuja funktsioonist f muutuja xi järgi võetakse selle muutuja järgi tavaline tuletis, kusjuures teisi muutujaid käsitletakse kui konstante. Funkts-i f(x,y) nim diferentseeruvaks punktis A(a,b), kui argumendi muudule (x,y) vastav funktsiooni muut on f=f/x(a,b)x+ f/y(a,b)y+(x,y), kus (x,y) on vektori (x,y) pikkuse suhtes lõpmata väike suurus piirprotsessis (x,y)(0,0) Funkts-i u=(f(x1,...,xn) nim diferentseeruvaks punktis A(a1,...,an), kui argumendi muudule x=(x1,..
27. Defineerida kahe muutuja funktsiooni osatuletised. Funktsiooni z = f (x, y, u, ...) osatuletiseks x järgi nimetatakse vastava osamuudu xz ja argumendi x muudu x suhte piirväärtust x lähenemisel nullile 28. Mis on mitme muutuja funktsiooni gradient? Missuguses suunas kasvab mitme muutuja funktsioon kõige kiiremini? Gradient - vektor funktsiooni määramispiirkonna mingis punktis, mille koordinaatideks on vastava osatuletise väärtused selles punktis Mingis punktis leitud gradientvektori suund näitab funktsiooni kiireima muutumise suunda selles punktis. 29. Mis on kahe muutuja funktsiooni nivoojoon? Mis on isokvant, isokost ja ükskõiksuskõver? Funktsiooni z = f(x;y) nivoojooneks nimetatakse punktihulka, mis rahuldab (nivoojoone) võrrandit z = C. Enamikul funktsioonidel on lõpmata palju erinevaid nivoojooni.
kõigis punktides. Pideva kahemuutuja funktsiooni graafik on pidev pind, st pind mis ei oma katkevuspunkte ega katkevusjooni. 4. Funktsiooni osatuletised Funktsiooni z = f(x, y) osatuletiseks x-i järgi z/x nim piirväärtust limx0(f(x+x,y)-f(x,y))/x=z/x. Osatuletis muutuja y järgi on z/y vastavalt piirväärtus limy0(f(x,y+y)/y=z/y. Osatuletist tähistatakse ka: z/x=f(x,y)/x=f/x=f 'x=fx=z'x=zx. Mitme muutuja funktsiooni osatuletise leidmiseks mingi muutuja järgi tuleb funktsiooni diferentseerida selle muutuja järgi kui ühe muutuja funktsiooni, vaadeldes ülejäänud muutujaid konstantidena. Funktsiooni z=f(x,y) teist järku osatuletised defineeritakse selle funktsiooni esimest järku osatuletiste osatuletisena ja tähistatakse /x(z/x)=2/x2=2f(x,y)/x2=2f/x2=f `'x2= fx2=z''x2=zx2 Mitmemuutuja funktsiooni osatuletise mõiste Olgu antud m-muutuja funktsioon z=f(x1,x2,...,xm) ja olgu A(a1,a2,...,am) punkt
1. Kahe muutuja funktsioon ja selle osatuletise rakendused: ekstreemumi leidmine, pinna puutuvtasapind ja normaal, näiteid Kahe muutuja funktsioon esitab pinda xyz-ruumis R3. Piirkonna D (x,y)ЄD igale punktile vastab z=f(x,y). Piirkond D on funktsiooni f määramispiirkond. Osatuletiste rakendused: Ekstreemumi (min, max) leidmine. Punkt, kus osatuletis on 0, nim. kriitiliseks punktiks. P(xo,yo). Puutujatasandi võrrand: fx(x0,y0)x+fy(x0,y0)y-z+d=0. Punkt Q0(x0,y0,z0) kuulub puutujatasandile.Seal pt.s puutujatasandiga risti olev vektor n on pinna normaal pt.s Q0. 2. Määratud integraal ja selle geomeetrilised rakendused: tasapinnalise kujundi pindala, joone kaare pikkus, pöördpinna ruumala ja pindala, näiteid Nimetatakse integraalsummade piirväärtuseks. Newton-Leibinzi valem lubab määratud integraale arvutada määramata integraalide abil. Integreerimise omadusi: 3+2 valemit Rakendused: 1) Tasap. kujundi S=int(ülem-alum) 2)...
nullile. y/x mõõdab y-i muutumise määra. Tuletis on hetkelise muudu määr. Tuletis on kõvera kallak (tõus või langus) e muudu määr. 12. Osatuletised ja nende geomeetriline tuletamine. Osatuletised on tavatuletised teatud lisatingimusel. Vaatleme mitme muutujaga funk-i y=f(x 1,x2,...,xn) lubame muutuda ainult ühel muutujal, teised fikseerimey muutub osaliselt y y f 'i = = lim Mitme muutuja funk-i osatuletise leidmine mingi muutuja järgi tuleb funk-i xi xi 0 xi diferentseerida selle muutuja järgi kui ühe muutuja funk-i, vaadeldes ülejäänud muutujad Q konstantidena. Osatuletise geom. Interpretsioon: a) Q=Q(K;L) toodangu funk. b) = Q K [MPPK] K Q
.., f/xn(P)). Hamiltoni operaatoriks ehk nablaoperaatoriks nimetatakse operaatorit := (/x1, nimetatakse funktsiooni u = f (x1 , . . . , xn ) osatuletiseks punktis P(x1,...,xn) muutuja xj (j 1,...,n) järgi ja tähistatakse fxj (P) /x2, ...., /xn). Seega grad f = f. f(x1,...,xn) / xj := lim (xj0) (xj u) / xj .Osatuletise võtmisel mitme muutuja funktsioonist f muutuja xj järgi võetakse selle Kasutades gradienti saame suunatuletise esitada skalaarkorrutisea df/ds(a) = (k=1, n)fxk(a)sk/s2 = f(a), s / s2. muutuja järgi tavaline tuletis, kusjuures selle funktsiooni teisi muutujaid käsitletakse kui konstante. Kui tegemist on kahe muutuja
x muudu x suhte piirväärtust x lähenemisel nullile Kahe muutuja funktsiooni z=f(x,y) osamuut x järgi: osamuut: xz = f(x + x, y) - f(x;y) Kahe muutuja funktsiooni x=f(x,y) osamuut y järgi: yz=f(x;y+y) - f(x,y) Kahe muutuja funktsiooni z=f(x,y) täismuut: z= f(x+x; y+y) - f(x;y) 2. Mis on mitme muutuja funktsiooni gradient? Gradientvektor on vektor funktsiooni määramispiirkonna mingis punktis, mille koordinaatideks on vastava osatuletise väärtused selles punktis. gradz(P0) = (z´X(P0); z´Y(P0)) Gradientvektori pikkus näitab muutumise maksimaalset kiirust. 3. Missuguses suunas kasvab mitme muutuja funktsioon kõige kiiremini? Kasvab kõige kiiremini kui argument liigub gradientvektori suunas. Teooriaküsimused nr. 9 1. Selgitada marginaalsuuruse mõistet mitme muutuja funktsiooni korral. Olgu f=f(x,y) mingi majandusfunktsioon.
suhte piirväärtust x lähenemisel nullile: = = Kahe muutuja funktsiooni z=f(x,y) osamuut x järgi: osamuut: xz = f(x + x, y) - f(x;y) Kahe muutuja funktsiooni x=f(x,y) osamuut y järgi: yz=f(x;y+y) - f(x,y) Kahe muutuja funktsiooni z=f(x,y) täismuut: z= f(x+x; y+y) - f(x;y) 2. Mis on mitme muutuja funktsiooni gradient? Gradientvektor on vektor funktsiooni määramispiirkonna mingis punktis, mille koordinaatideks on vastava osatuletise väärtused selles punktis. gradz(P0) = (z´X(P0); z´Y(P0)) Gradientvektori pikkus näitab muutumise maksimaalset kiirust. 3. Missuguses suunas kasvab mitme muutuja funktsioon kõige kiiremini? Kasvab kõige kiiremini kui argument liigub gradientvektori suunas. TEOORIAKÜSIMUSED nr 9 1. Selgitada marginaalsuuruse mõistet mitme muutuja funktsiooni korral. Olgu f=f(x,y) mingi majandusfunktsioon.
osadest. 43. Defineerida kahe muutuja funktsiooni osatuletised. Funktsiooni z=f(x,y, u, ...) osatuletiseks x järgi nimetatakse vastava osamuudu z ja argumendi x muudu x suhte piirväärtust x lähenemisel nullile: Funktsiooni z = f(x,y, u, ..) osatuletis y järgi: 44. Mis on mitme muutuja funktsiooni gradient? Gradientvektor on vektor funktsiooni määramispiirkonna mingis punktis, mille koordinaatideks on vastava osatuletise väärtused selles punktis. Gradientvektori pikkus näitab muutumise maksimaalset kiirust. grad z(P ) = (z' 45. Missuguses suunas kasvab mitme muutuja funktsioon kõige kiiremini? Funktsioon F kasvab antud punktis A kõige kiiremini selle funktsiooni gradiendi suunas. Suunatuletise väärtus on maksimaalne, kui argument liigub gradientvektori suunas. 46. Selgitada marginaalsuuruse mõistet mitme muutuja funktsiooni korral. Suuruse
Näidata, et Fourier rida saab keskmiselt (L 2 -normi mõttes) koonduda ainult üheks funktsiooniks.Lause: Fourier’ 𝑓(𝑥)~ 2𝜋 ∑𝑘𝜖𝑍 𝑒 𝑖𝜔𝑘 𝑥 ∫−𝑙 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑖𝜔𝑘𝑡 𝑑𝑡∆𝜔𝑘 . Minnes piirile l → ∞ saame Fourier' integraalvalemi: ∆xi . Funktsiooni u = f(x1, . . . , xn) osatuletise jaoks kasutatakse sümboli ∂f/∂xi asemel ka tähistusi: rida saab keskmiselt koonduda ainult üheks funktsiooniks
P( x1 ,..., x m ) nimetatakse piirväärtust f ( x1 ,..., xi -1 , xi + xi , xi +1 ,..., x m ) - f ( x1 ,..., x m ) f xi := lim . xi 0 x i f z Tähistus: f xi = f xi (P ) = z xi = = xi xi Osatuletise leidmine: Funktsiooni z = f ( x1 ,..., x m ) osatuletiste leidmisel muutuja xi (1 i m ) järgi kasutatakse ühe muutuja funktsiooni tuletise leidmise eeskirju, lugedes need muutujad, mille järgi parajasti osatuletist ei leita, konstantideks. Osatuletise geomeetriline tähendus z = f(x, y) z x z = f ( x, y )
Piirv¨a¨artust z y z f (x, y + y) - f (x, y) = lim = lim (6.7) y y0 y y0 y nimetatakse kahe muutuja funktsiooni f (x, y) osatuletiseks y j¨argi. f Osatuletist y j¨argi t¨ahistatakse veel zy , fy (x, y), . y Kahe muutja funktsiooni osatuletise leidmisel x j¨argi on muutuja y loetud konstsntseks. Ainaks muutujaks selles definitsioonis on x. Samuti on osatu- letise leidmisel y j¨argi loetud konstantseks muutuja x ja ainsaks muutujaks definitsioonis on y. J¨arelikult j¨a¨avad osatuletiste leidmisel kehtima k~oik u ¨he muutuja funktsiooni tuletise leidmise reeglid, millele lisandub reegel, et muutujat mille j¨argi osatuletist ei leita, vaadeldakse konstandina. N¨ aide 1
väikesed varud. Varude hoidmisega on seotud kulud ning varude omamiseks on vaja investeerida käibevarasse. Varude juhtimist tuleb vaadelda koos müügikäibe juhtimisega, sest müügikäibe muutus annab põhjuse muuta ka varusid. Materjalidega kaasnevateks kuludeks on tellimis- ja ladustamiskulud, valmistoodangul vaid ladustamiskulud. Varudega kaasnev kogukulu: TIC=TCC+TOC=C*P* (Q/2)+F*(S/Q) Antud valemist on võimalik leida optimaalne tellimuse kogus, võttes kogukulu funktsioonist osatuletise tellimuskoguse järgi ja võrdsustades selle nulliga. Tuletisvõrrandist on võimalik leida varude tellimise optimaalne kogus (EOQ) Teiseks varude optimeerimise mudeliks on ajastatud varude (just-in-time) mudel. Selle mudeli abil saavad ettevõtted vähendada laos olevate varude taset, ajastades toormaterijalide tarned kauba tootmise ja turustamisega. Varusid tarnitakse täpselt selleks hetkeks, kui neid vajatakse.
Gradiendi leidmine on vektori leidmine. Seepärast ei ole sõnale grad vektori tähist tarvis kirjutada, s.t. ilma vektori märgita on võrduse parem pool vektoravaldis. Seega, kui meil on teada mingis potentsiaalses väljas keha potentsiaalse energia olenevus ruumikoordinaatidest: Wp= Wp(x,y,z), siis võib jõu määrata sellest funktsioonist gradienti leides. Gradiendi leidmine sisaldab endas kolme osatuletise võtmist. Jõu kolm komponenti on nendega võrreldes vastandmärgilised. 1.3.4. Energia jäävuse seadus: Energia jäävuse seaduse kohaselt konservatiivsete jõudude väljas mehaaniliselt isoleeritud süsteemi koguenergia on konstantne. E=const.Energia ei teki ega kao, vaid muutub ühest liigist teise, nagu näiteks potensiaalsest kineetilisse. dT+dV=0 dT=-dV 1.4. Jäiga keha deformatsioon 1.4.1. Normaalpinge ja elastsusmoodul:
6y Siin segatuletiste võrdsus ei ole juhuslik. Nimelt kehtib Teoreem 1. Kui funktsioon z f x, y ja selle osatuletised z x , z y , z xy ja z yx on mingi punkti ümbruses pidevad, siis selles punktis funktsiooni segatuletised on võrdsed, s.t. 2z 2z x y y x (z xy z yx ) Osatuletise rakendused. 1. Ekstreemumi leidmine. Funktsiooni z f x, y maksimumi ja miinimumi nimetatakse tema ekstreemumiteks. 2 2 Näide 7. Funktsioonil z x 1 y 2 1 on miinimum punktis 1, 2 . (Vaata allolevat joonist) Punkte P x 0 , y 0 , milles funktsiooni osatuletised on nullid või puuduvad (s.t. f f x
8.15 a) -12; b) 19; c) -2x; d) -11x; e) -7; f) - 68 8.16 a) 0; b) 1; c) 3; d) 8. 8.17 a) 361,74; b) 2250,3 8.19 p1 = 5, p2 = 3 ühikut 8.20 p1= 4 kr; p2 = 7 kr ja p3 = 6 kr 8.21 X 25 tk, Y 5 tk ja Z 20 tk. ©Audentese Ülikool, 2003. Koostanud A. Sauga 76 MATEMAATIKAS KASUTATAVAID TÄHISTUSI Tehtemärgid M osatuletise märk + pluss, liitmine Mf funktsiooni f osatuletis xk järgi - miinus, lahutamine M xk × korrutamine I määramata integraal · korrutamine b m
annaabi.ee 
