5. Täiendusnurga tri. funkt. sin=cos(90º-), cos=sin(90º-), tan=1/tan(90º-) 0o 30 o 45 o 60 o 90 o sin 0 1/2 2 /2 3 /2 1 cos 1 3 /2 2 /2 1/2 0 tan 0 3 /3 1 3 6. 7. nurga sin nim nurga lõpphaara mistahes punkti ordinaadi suhet selle punkti kaugusesse koordinaatide alguspunktist s.t. sin=y/r 8. nurga cos nim nurga lõpphaara mistahes punkti abstsissi suhet selle punkti kaugusesse koordinaatide alguspunktist s.t. cos=x/r 9. nurga tan nim nurga lõpphaara mistahes punkti ordinaadi ja abstsissi suhet tan=y/x 10. Täispöörde eraldamine sin(360º+)=sin, cos(360º+)=cos, tan(360º+)=tan 11. Neg nurga trigon: sin(-)=-sin, cos(-)=cos, tan(-)=-tan 12
Parabooli haripunkti koordinaatide arvutamine Parabooli nullkohtade arvutamine Ülesanded 1. Joonesta parabool graafik vahemikus . Lahenduskäik: Kui , siis Kui , siis Kui , siis Kui , siis Kui , siis Kui , siis Kui , siis 2. Arvuta parabooli haripunkti koordinaadid. Lahendus: ,, Leiame: Nüüd asendame leitud xh väärtuse 2 ülesandes antud ruutfunktsiooni valemisse muutuja x asemele ja arvutame haripunkti ordinaadi väärtuse: Oleme saanud parabooli haripunkti koordinaadid:H(2;1). 3. Arvuta parabooli nullkohad. Lahendus: Lahendame parabooli vastavad ruutvõrradi . Selleks viime ruutvõrrandi normaalkujule: ,, lahendame saadud ruutvõrrandi kasutades ruutvõrrandi lahendusvalemit Vastus: parabooli nullkohad ehk lõikepunktid x-teljega on ja .
Sirge tõusunurgaks nimetatakse nurka (alfa), mis on x-telje positiivse suuna ja sirge vahel. Sirge tõusuks nimetatakse suurust tan(alfa). Sirge algordinaadiks nimetatakse ordinaadi väärtust, kus sirge lõikab y-telge. Sirge võrrand kahe puntki abil: x-x1 / x2-x1 = y-y1 / y2-y1 Sirge võrrand ühe punkti ja sihivektoriga: x-x1 / s1 = y-y1 / s2 Sirge võrrand punkti ja tõusuga: y-y1 = k(x-x1) Sirge võrrand tõusu ja algordinaadiga: y = kx + b Ühel sirgel on lõpmata palju sihivektoreid. Teame järgnevaid sirge määramise viise: kahe punkti abil, punkti ja sihivekotriga, punkti ja tõusuga, tõusu ja algordinaadiga.
t n−2, β =2,8 n= 6, UA(lB)= 2,8 √ 2 2 2 2 2 2 (0,00001) +( 0,00001) +(0,00001) +(0,00001) +(0,00002) +( 0,000015) 6·4 = 2,8 √ 3,8542· 10−11=¿ 0,17·10-4 m Punktile A kõige lähema katsepunkti ordinaadi B-tüüpi laiendmääramatus (usaldusnivool 0,95) on 0,02 mm. Seega: UB(lA)= 0,02·10-3 m Punktile B kõige lähema katsepunkti ordinaadi B-tüüpi laiendmääramatus (usaldusnivool 0,95) on 0,013 mm. Seega: UB(lB)= 0,013·10-3 m l 2 2 Uc(lA) U ( ¿¿ A)+U B (l A ) = A √ 0,0000132+ 0,000022 = 0,239·10-4 √¿ l 2 2 Uc(lB) U ( ¿¿ B)+U B (l B ) =
parabooli haripunktiks. Parabooli skitseerimiseks tuleb leida nullkohad ( võrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendid) ja x + x2 haripunkt ( haripunkti abstsissi leiame kas nullkohtade aritmeetilise keskmisena 1 2 b või valemist x h = - ; ordinaadi leidmiseks paneme abstsissi väärtuse funktsiooni 2a 4ac - b 2 avaldisse ning leiame y väärtuse või kasutame valemit y = ). 4a Parabool läbib y-telge punktis (0 ; c). Vajadusel arvutame veel lisapunkte juurde. Näide. Skitseerime ruutfunktsiooni y = x2 - 5x + 6 graafiku. Graafik avaneb ülespoole,
y 3 x 4 y b f (x) ....graafiku saame kui funktsiooni y = f(x) graafiku iga punkti ordinaati korrutame arvuga b. y 3x 4 y 2(3 x 4) 6 x 8 y f (k x) ... graafiku joonestamiseks vajalikud punktid saame, kui funktsiooni y = f(x) graafiku iga punkti abtsissi korrutame arvuga k ning seejärel arvutame ordinaadi väärtuse. y 3x 4 y 3(2 x) 4 6 x 4 y f ( x a) Kui a>0 (a<0), siis graafiku saamiseks nihutame y = f(x) graafikut a (|a|) ühikut mööda x-telge paremale (vasakule) poole. y 3x 4 y 3( x 1) 4 3x 7 y 3( x 2) 4 3x 2
(vaata joonist 7). Üldjuhul on graafikuks sujuv, ilma murdepunktideta kõver. Selle saamiseks tuleb kõigepealt katsepunktidele teljesuunaliste sirglõikudena usaldusalad märkida. Seejärel aga nendest selline sujuv kõver läbi tõmmata, mis oleks kõige lähemal katsepunktidele ja läbiks samas kõiki usaldusalasid. Joonis 7. Katsepunktide lähendamine sujuva kõveraga. Joonisel 7 esitatud lähenduskõvera mingi punkti A ordinaadi määramatuse leidmiseks fikseeritakse tema abstsiss (näiteks xA) ja mõõdetakse punkti A ümbruses sümmeetriliselt asetseva n katsepunkti kõrvalekalded lähendussirgest y-telje sihis yi yi . Siin on y i katsepunkti ordinaat kohal xi ja y i lähendussirgel oleva punkti ordinaat sama xi kohal. Fikseeritud abstsissi x A määramatus loetakse võrdseks nulliga, teise koordinaadi y A A-
meridiaanist. Telgmeridiaanid on meridiaanid, mille pikkuseks on 3o, 9o, 15o jne. Telgmeridiaane on kokku 60. Igas 6o tsoonis kehtib omaette ristkoordinaatide süsteem. Punkti koordinaatide määramisel võetakse aluseks punktile lähim telgmeridiaan. Joonistel kujutatakse koordinaattelgi ristuvate sirgetena. X ehk abstsiss on positiivne ekvaatorist põhja pool ja negatiivne lõuna pool. Y ehk ordinaat on positiivne telgmeridiaanist ida pool ja negatiivne lääne pool. Telgmeridiaanil on ordinaadi väärtus 500 km. Y-koordinaadi kolm viimast numbrit tähistavad kilomeetreid ja esimesed tsooni numbrit. 2 Koostanud: Ene Ilves Põhjalaius BA=58º10'+ΔB 60ʺ=3,7cm ΔBʺ=4,35cm ΔBʺ=70ʺ=1'10ʺ BA=58º11'11ʺ Idapikkus LA=27º20'+ΔL 60ʺ=1,9cm
haar, kiire lõppasend on lõpphaar e liikuv haar. Iga nurk on esitatav kujul 5.2 Nurkade liigitamine · Võtteks aluseks pöörlemise suuna positiivsed (a>0), negatiivsed (a<0) ja nullkraadised (a=0) · Nurga suurus 360-st väiksemad nurgad, ülinürinurgad, nürinurgad, teravnurgad, 360-st suuremad nurgad · I veerandi nurgad, II veer, III veer, IV veer 5.3 Mis tahes nurga sin, cos, tan Nurga a sin nimetatakse nurga lõpphaara mis tahes punkti ordinaadi suhet selle punkti kaugusesse koordinaatide alguspunktis Nurga a cos nimetatakse nurga lõpphaara mis tahes punkti abtsissi suhet selle punkti kaugusesse koordinaatide alguspunktist Nurga a tan nimetatakse nurga lõpphaara mis tahes punkti ordinaadi ja abtsissi suhet Nurga a cot nimetatakse nurga lõpphaara mis tahes abtsissi ja ordinaadi suhet tan a väärtus puudub kui cot a väärtus puudub kui 5.4 Nurga trigonomeetrilised funktsioonid nurga sin, cos, tan, cot 5
1 kahanemisvahemik on ( ; 3) . 3 2) Lõigul 2; 4) omandab kuupfunktsioon vähima väärtuse kas lõigu 2; 4) otspunktides või miinimumpunktis. a) Leiame funktsiooni y x 3 5 x 2 3 x 7 graafiku miinimumpunkti ordinaadi. Kuupfunktsioonil saab olla vaid üks lokaalne minimum. Eelnevast on näha, et kohal x 3 funktsiooni kahanemine läheb üle kasvamiseks, järelikult antud funktsioonil on lokaalne minimum kohal x 3 . Arvutame miinimumpunkti ordinaadi: y(3) = 33 5 3 2 3 3 7 2. b) Arvutame funktsiooni y x 3 5 x 2 3 x 7 väärtused lõigu 2; 4) otspunktides: y ( 2) ( 2) 3 5 ( 2) 2 3 ( 2) 7 27, 3 2
nimetatakse argumendi suvalist muutu. Funktsiooni diferentsiaaliks nimetatakse funktsiooni tuletise ja argumendi diferentsiaali korrutist. dy y = 78. Võrduse võib kirjutada kujul dx 79. Siit nähtub, et funktsiooni tuletis on funktsiooni ja argumendi diferentsiaalide jagatis. 80. 81. Geomeetriliselt vastab funktsiooni diferentsiaalile kõvera puutuja ordinaadi muut üleminekul punktist abstsissiga x punkti abtsissiga x + x . 82. Funktsiooni muudu y ja diferentsiaali dy vahe y - dy esitub lõiguna TQ. 83. Lõik TQ kujutab endast kõrgemat järku lõpmata väikest suurust x . 84. DIFERENTSIAAL LIGIKAUDSES ARVUTAMISES 85. Defineerisime diferentsiaali kui funktsiooni muudu peaosa. See võimaldab kasutada diferentsiaali kui funktsiooni muudu ligikaudset väärtust dy y 86. Valem on seda täpsem, mida väiksem on muut x
jagatisena:
Kui funktsioonid on diferentseeruvad, siis liitfunktsiooni tuletis avaldub kujul: . Korrutades selle
seose mõlemat poolt suurusega dx leiame, et Seosest järeldub, et funktsiooni kuju on invariantne
muutujate vahetuses suhtes.
Lause 3. Kehtivad seosed:
Tõestan ühe neist. d(f(x))=(f'(x))dx
Lause 4. Kui funktsioon f(x) on diferentseeruv punktis x, siis Geomeetriliselt tähendab funktsiooni
diferentsiaal punktis funktsiooni graafikule tõmmatud puutuja punkti ordinaadi muutu, mis vastab
argumendi muudule . Tihti kasutatakse valemit ka kujul . Geomeetriliselt teljestikul...
N. (a=1024)
1.15 Funktsiooni kasvamine, kahanemine. Lokaalne ekstreemum.
DEF 1. Funktsiooni y=f(x) nim. rangelt kasvavaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv , et
suvalise x1 (x-, x) ja x2 (x, x+) korral f(x1)
tähistatakse dy või df, st dy=f´(x)△x. Kõrgemat järku diferentsiaal: Funktsiooni y=f(x) njärku ehk nndaks diferentsiaaliks nimetatakse diferentsiaali selle funktsiooni (n1)järku n n1 diferentsiaalist, s.t. d y=d(d y) Geomeetriliselt tähendab funktsiooni diferentsiaal f´(x)△x punktis (x, f(x)) funktsiooni graafikule tõmmatud puutuja punktsi ordinaadi muutu, mis vastab argumendi muudule △x. 15. Funktsiooni y=f(x) nimetatakse rangelt kasvavaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv δ, et suvaliste x ∈(xδ,x) ja x 1 ∈(x,x+δ) korral
vajalikku kogukulu muutu Mtulu 10 - tähendab ligikaudu täiendava tooteühiku müümisest tekkivat kogutulu muutu 8. Milline on tuletise geomeetriline tähendus? Funktsiooni graafiku puutuja tõus antud punktis, f' (x) = tan 9. Mis on funktsiooni diferentsiaal? Diferentsiaali geomeetriline tähendus? Funkt.diferents. funktsiooni tuletise ja argumendi muudu korrutis Geomet.tähendus graafiku puutuja ordinaadi muut 10. Mida näitab funktsiooni elastsus? Mida tähendab, et nõudlusfunktsiooni elastsus on -2? Funktisooni elastsus - näitab ligikaudselt mitme protsenti võrra muutub funktsiooni väärtus, kui argumendi x väärtus muutub ühe protsendi võrra. Hinna muutus ühe protsendi võrra vähendab nõudlust 2% võrra 11. Milliseid funktsiooni punkte nimetatakse funktsiooni kriitilisteks ja statsionaarseteks punktideks?
1. Funktsiooni diferentseeruvuse geomeetriline tõlgendus. 11. Kumerus, nõgusus, käänupunktid. Seos teist järku tuletisega. Funktsiooni diferentsiaal on kõverjoonele y = f(x) tõmmatud puutuja ordinaadi muut, mis vastab Oeldakse, et funktsiooni f(x) graafik on kumer punktis a (tapsemini punktis (a, f(a))), kui leidub punkti a argumendi numbrile x=dx. selline -umbrus, et funktsiooni f(x) graafik on argumendi x väärtustel ümbrusest (a - , a + ) allpool 2. Funktsiooni kõrgemat järku tuletised
1. Tuletise lineaarsuse tõestus, st näidata, et saame konstandi tuletise märgi alt välja tuua ning summa tuletis on tuletiste summa. Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad punktis x ja cR on konstant, siis selles punktis on diferentseeruv ka funktsioon cf(x) Tõestus:Korrutise tuletisest y’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x) lähtuvalt, kui cR on konstant, siis y=c*f(x) tuletis on Tõepoolest, valem kehtib juhul n=1. y’=f(x)*c’+f ’(x)*c=0*f(x)+c*f ’(x)=c*f ’(x) Nüüd tuleb näidata induktsioonisamm: eeldame, et valem kehtib juhul n-1 ja näitame, et sel juhul kehtib ta Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad punktis x ja cR on konstant, siis selles punktis on ka n korral. Seega kehtib: diferentseeruv ka funktsioon y=f(x)+g(x) Tõestus: y=f(x)+g(x) esmalt, toimides sammhaaval, tehes eraldi tehetena komponendid,saame ...
Näidis 1 Example 1 Arvuta veeliinitasandi pindala, selle raskuskese ja inertsimomendid läbi abstsiss- ja ordinaattelje ning läbi raskuskeskme. Veeliini-tasand on määratud järgmiste poolordinaatidega alates ahtrist. Laeva pikkus on LPP = 220m, s.t. L = 220/10 = 22 m. Calculate the area, position of the flotation and the second moments of area about the two principal axes of the waterplane defined by the following ordinates, numbered from aft. It is 220 m long. Ordinaadi nr. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ½ ordinaat m 0,0 6,3 8,6 9,2 9,4 9,0 8,1 6,7 4,6 2,4 0,2 f(A) f(M) f(Jy) y3 f(Jx) 3 Ord. y TM 23 Õlg 45 Õlg 67 [2] 93
Puutuja võrrand on y-y0=k(x-x0), normaali võrrand on y-y0= - 1/k * (x-x0) 13. Mis on funktsiooni diferentsiaal? Diferentsiaali geomeetriline tähendus? Funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks kohal x nimetatakse funktsiooni, mis avaldub korrutisena, mille tegurid on funktsiooni tuletis kohal x ja argumendi muut. Korrutist f'(x) x nimetatakse funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks ja tähistatakse sümboliga dy, st dy=f'(x) x Geomeetriliselt kujutab funktsiooni diferentsiaal graafiku puutuja ordinaadi muutu. Kuna siis täisnurksest kolmnurgast : Väikese argumendi muudu x korral . 14. Selgitada tuletise majanduslikku tähendust. Tuletise asemel kasutatakse majanduses mõistet lisand- ehk piirsuurus ehk marginaal. Tuletis on siin tõlgendatav teatud majandusliku objekti või majandusliku protsessi muutumise kiirusena, mis ei pruugi olla sõltuvuses ajast, vaid mõnest muust majanduslikust muutujast (hind, toodangu maht)
öeldakse, et funktsioonil y=f(x) on pöördfunktsioon y=g(x) · 26. Suvalise nurga koosinus- · Suvalise nurga koosinuseks nimetatakse selle nurga lõpphaara suvalise punkti abstsissi suhet selle punkti kaugusesse koordinaatide alguspunktist. Nurga alghaaraks on seejuures x-telje positiivne osa. 27. Suvalise nurga tangens- · Suvalise nurga tangensiks nimetatakse selle nurga lõpphaara suvalise punkti ordinaadi ja abstsissi suhet. Nurga alghaaraks on seejuures x-telje positiivne osa. 28. Arcsina- Siinuse poordfunktsioon, leiab nurga, mille siinus on antud. x=(-1)narcsinx+k 29. Arccosa- x= +,- arccosx+2k 30. Arctana- x= arctanx+k 31. Perioodiline funktsioon- · Funktsiooni y=f(x) , mis rahuldab tingimust f(x+p)=f(x), kus p0 iga x korral määramispiirkonnas X nimetatakse perioodiliseks funktsiooniks. Arvu p nimetatakse seejuures funktsiooni perioodiks.
punkt 0 -- laeva püstuva tasakaalu asend; punktid B ja B' -- on sümmeetrilised O punkti suhtes ja määravad laeva kaadumisnurga ehk k (kaadumine) kui laev muutub staatiliselt ebapüstuvaks. Kaadumis- nurgast väiksema nurga puhul on laev staatiliselt püstuv -- püstuvuse moment viib laeva tagasi O punkti. Suurimad diagrammi ordinaadid -- punktid A või A' on maksimaalsed püstuvuse õlad (või püstuvuse momendid) ja nurgad max on maksimaalse püstuvuse nurgad. Suurim diagrammi ordinaadi punkt A määrab kreeniva piirmomendi, mille staatiline rakendamine laeva ümber veel ei kalluta. 36 3. Laeva püstuvus Kui koordinaattelgede algpunktist tõmmata diagrammi kõverale algosale puutuja OA ja punktist B, mille väärtus abstsisste1jel on 1 radiaan ehk 57,3°, tõmmates vertikaali, siis lõik AB on laeva algmetatsentri kõrgus eeldusel -- ordinaatteljel on GZ , kui aga on momentides, s.t. ordinaatteljel
vastab argumendi muudule x, esitatav kujul y=f'(x)x+(x), ja vastupidi. Avaldist f'(x)x nim funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks ja tähistatakse sümboliga df=f'(x)x. on lõpmata väike arv. Seega on funktsiooni diferentsiaal funktsiooni muudu osa, mis on lineaarne argumendi muudu suhtes ja erineb funktsiooni muudust suuruse võrra, mis on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus muudu suhtes. Geomeetriliselt kujutab diferentsiaal funktsiooni graafiku puutuja ordinaadi muutu. Et argumendi diferentsiaal võrdub argumendi muuduga s.o dx=x, ja funktsiooni diferentsiaal on kujul dy=f'(x)dx siis dy/dx=f'(x). Seega võrdub funktsiooni tuletis funktsiooni diferentsiaali ja argumendi jagatisega. Joone puutuja ja normaal Normaalik punktis M0 nimetakse sirget, mis läbib punkti M0 ja on risti puutujaga. Puutuja tõus k=tana on võrdne funktsiooni y tuletisega argumendi väärtusel x0 Funktsiooni uurimine
piirkonnas X parajasti siis, kui funktsiooni f tuletis on monotoonselt kahanev (vastavalt kasvav) selles piirkonnas. Tõestus: Tõestame teoreemi kumeruse korral. Î Olgu funktsioon f kumer piirkonnas X. Näitame, et f (x ) on monotoonselt kahanev. y RQ = f ( x ) - f (a ) - funktsiooni muut ehk y S RS = f (a ) ( x - a ) - puutuja ordinaadi muut (diferentsiaal) Q R RQ RS f ( x ) - f (a ) f (a ) ( x - a ) + f (a ) - f ( x ) f ( x ) (a - x ) 0 f (a ) ( x - a ) - f ( x ) ( x - a )
x0t0 y'(x)* x Funktsiooni diferentsiaal on kõverjoonele y=f(x) tõmmatud puutuja ordinaadi muut, mis vastab argumendi numbrile x=dx Funktsiooni väärtuste ligikaudne arvutamine diferentsiaali abil. Vastavalt diferentsiaali definitsioonile y=dy+(x), kus 14. Teoreem 1 Lagrange'i teoreem
alghaara x-telje positiivsele suunale. Võtame nurga lõpphaaral suvalise punkti a koordinaatidega (x;y). r = OA punkti a kaugus koordinaatide alguspunktist. 1) Nurga siinuseks nimetatakse nurga lõpphaara mistahes y punkti ordinaadi suhet selle punkti kaugusesse koordinaatide alguspunktist: sin = r 2) Nurga koosinuseks nimetatakse nurga lõpphaara mistahes punkti abstsissi suhet selle x punkti kaugusesse koordinaatide alguspunktist: cos = r
Eesti baaskaart on topograafiline kaart mõõtkavas 1:50 000, mis valmis aastatel 1994- 96 Eesti-Rootsi ühisprojekti raames. Kogu riiki kattev kaart koosneb 112 kaardilehest mõõtmetega 50x50 cm ehk 25x25 km maapinnal. Baltimaade baaskaart on TM projektsioonis: abipind silinder, mis lõikub ellipsoidiga üks tsoon telgmeridiaaniga 24o mõõtkavategur telgmeridiaanil 0.9996 ordinaadi väärtus telgmeridiaanil 500 000 m ristkoordinaatide võrgu ordinaattelg on ekvaator ellipsoid on GRS80 Maksimaalsed moonutused lääneeesti piirkonnas. 7. Eesti põhikaardi Lamberti projektsioon. Projektsiooni moonutuste vähendamiseks on kasutatud puutekoonuse asemel lõikekoonust. Lõikekoonuse puhul on kujutise mõõtkava õige lõikeparalleelidel, mis
6. Eesti baaskaardi TM projektsioon. Eesti baaskaart on topograafiline kaart mõõtkavas 1:50 000, mis valmis aastatel 1994- 96 Eesti-Rootsi ühisprojekti raames. Kogu riiki kattev kaart koosneb 112 kaardilehest mõõtmetega 50x50 cm ehk 25x25 km maapinnal. Baltimaade baaskaart on TM projektsioonis: · abipind silinder, mis lõikub ellipsoidiga · üks tsoon telgmeridiaaniga 24o · mõõtkavategur telgmeridiaanil 0.9996 · ordinaadi väärtus telgmeridiaanil 500 000 m · ristkoordinaatide võrgu ordinaattelg on ekvaator · ellipsoid on GRS80 Maksimaalsed moonutused lääneeesti piirkonnas. 7. Eesti põhikaardi Lamberti projektsioon. Projektsiooni moonutuste vähendamiseks on kasutatud puutekoonuse asemel lõikekoonust. Lõikekoonuse puhul on kujutise mõõtkava õige lõikeparalleelidel, mis on ühtlasi moonutuste nulljoonteks, lõikeparalleelide vahel on kujutis vähendatud ja
.. ja nende tõenäosuste p1, p2, ... vahel. Juhusliku suuruse jaotusfunktsioon F(x) määrab tõenäosuse selleks, et juhuslik suurus on väiksem tõkkest x, s.t. F(x) = P(X < x). Jaotusfunktsioon on juhusliku suuruse universaalne iseloomustaja, mis kirjeldab võimalike väärtuste tõenäosuste jaotust. Tõenäosuste tihedusfunktsioon f(x) on esimene differentsiaal jaotusfunktsioonist. Geomeetriliselt tähendab, et F(x) võrdub arvuliselt pindalaga S(x) joone f(x) ja ordinaadi x (x-telje) vahel. Juhuslikus suuruse sattumise tõenäosus antud intervalli (x´, x´´) määratakse seosest: Sageduste histogrammiks nimetatakse astmelist kuju ristkülikutest, millede aluseks on osaintervallide pikkus h ja kõrgus on võrdne suhtega ni/h (sageduste tihedus). Osaristküliku i pindala on võrdne h(ni/h) = ni sageduste summaga i-as intervallis. Histogrammi üldpindala on võrdne kõigi sageduste summaga, so valimi mahuga n. Polügon - Tunnuse X diskreetne jaotus
17. f-ni diferentsiaal Y=f(x)-> y'=f'(x)= lim x->0 y/ x=>dif-v(hulgas D=(a;b)-> y/ x=y'+ n| x=> y=y' x+ n x; y-f-ni muut; y' x-f-ni diferentsiaal; n x- kõrgemat järku lõpmata väikesed suurused. *Def F-ni diferentsiaaliks nim f-ni muudu peaosa. Nt dy=y' x; y=x, y'=x'=1 dy= y' x=1 x=dx=> dy= y'dx. *Argumendi enda dif on võrdne argumendi enda dif-ga: y'=dy/dx.*Dif geom. Tõlgendus:JOONIS! Y'=tan , PRS: dy=y' x=tan * x=SR/PR*PR=SR=> dy=SR *Järeldus: F-ni dif isel joone puutuja punkti, ordinaadi muutu, mis vastab argumendi muudule x 18. Dif arvutuse põhiteoreeme 1)Lagrange teoree,(18 saj) Olgu meil f-n y=f(x) dif-v lõigul[a;b], siis leidub sellele lõigule punkt c, nii et f(b)-f(a)/b-a=f'(c); JOONIS! PQR:tan =QR/PR => lõikaja e(P,Q) *Teoreem väidab et leidub selline punkt, kus selle joone puutuja tõus on paralleelne selle lõikajaga(võrdne lõikaja tõusuga). Neid punkte on vähemalt üks, aga võib olla ka rohkem 2)Rolle'i teoreem: Olgu
rahuldavad tingimust f ( x1 ) < f ( x2 ) (vastavalt kahanemisel f ( x1 ) > f ( x2 ) ). Funktsiooni y = f ( x ) kasvamispiirkonna X (kahanemispiirkonna X ) moodustavad kõik need argumendi x väärtused, mis on võrratuse y > 0 ( y < 0) lahendid. Funktsiooni graafiku punkte, milles funktsiooni kasvamine läheb üle kahanemiseks või vastupidi, nimetatakse ekstreemumpunktideks ja vastava punkti abstsissi väärtust xe ekstreemumkohaks ning ordinaadi väärtust ye = f ( xe ) funktsiooni ekstreemumiks. Funktsiooni ekstreemumi olemasolu tarvilikuks tingimuseks on, et oletatav ekstreemumkoht on võrrandi f ( x ) = 0 lahendiks. Funktsioonil võib olla ekstreemum ka nendel argumendi väärtustel, mille korral tuletis ei ole määratud. Kui f ( x0 ) = 0 või f ( x0 ) ei ole määratud, siis kontrolliks, kas x0 on ekstreemumkoht, kasutatakse ekstreemumi olemasolu piisavaid tingimusi: kui funktsiooni y = f ( x ) tuletis
rahuldavad tingimust f x1 f x2 (vastavalt kahanemisel f x1 f x2 ). Funktsiooni y f x kasvamispiirkonna X (kahanemispiirkonna X ) moodustavad kõik need argumendi x väärtused, mis on võrratuse y 0 y 0 lahendid. Funktsiooni graafiku punkte, milles funktsiooni kasvamine läheb üle kahanemiseks või vastupidi, nimetatakse ekstreemumpunktideks ja vastava punkti abstsissi väärtust xe ekstreemumkohaks ning ordinaadi väärtust ye f xe funktsiooni ekstreemumiks. Funktsiooni ekstreemumi olemasolu tarvilikuks tingimuseks on, et oletatav ekstreemumkoht on võrrandi f x 0 lahendiks. Funktsioonil võib olla ekstreemum ka nendel argumendi väärtustel, mille korral tuletis ei ole määratud. Kui f x0 0 või f x0 ei ole määratud, siis kontrolliks, kas x0 on ekstreemumkoht,
o dx x = u ' (t ) = o x = u (t ) dt dy y y' = = y = v(t ) dy dx xo o y = v' (t ) = dt Geomeetriline tõlgendus: dy = y ' ( x)dx = y ' ( x) x y ' ( x) = tan dy = y ' ( x) = tan x Funktsiooni diferentsiaal on kõverjoonele y = f (x) tõmmatud puutuja ordinaadi muut, mis vastab argumendi numbrile x = dx Funktsiooni väärtuste ligikaudne arvutamine diferentsiaali abil. Vastavalt diferentsiaali definitsioonile y = dy + (x), (x) kus lim =0 x 0 x järelikult väikeste x -de korral kehtib y dy y = f ( x + x) - f ( x) dy = y ' ( x) x = f ( x) x f ( x + x) - f ( x) f ' ( x) x f ( x + x) f ( x) + f ' ( x) x © 2001 - Ivari Horm (ranger@deepdust
o dx x = u ' (t ) = o x = u (t ) dt dy y y' = = y = v(t ) dy dx xo o y = v' (t ) = dt Geomeetriline tõlgendus: dy = y ' ( x)dx = y ' ( x) x y ' ( x) = tan dy = y ' ( x) = tan x Funktsiooni diferentsiaal on kõverjoonele y = f (x) tõmmatud puutuja ordinaadi muut, mis vastab argumendi numbrile x = dx Funktsiooni väärtuste ligikaudne arvutamine diferentsiaali abil. Vastavalt diferentsiaali definitsioonile y = dy + (x), (x) kus lim =0 x 0 x järelikult väikeste x -de korral kehtib y dy y = f ( x + x) - f ( x) dy = y ' ( x) x = f ( x) x f ( x + x) - f ( x) f ' ( x) x f ( x + x) f ( x) + f ' ( x) x © 2001 - Ivari Horm (ranger@deepdust
seda väljavenitatum on kujutis 3)Stereograafiline projektsioon- kujutise mõõtkava muutub kahekordseks liikudes tsentrist ekvaatorini 9. Eesti baaskaardi TM projektsioon Eesti baaskaart on topograafiline kaart mõõtkavas 1:50000 Parameetrid: o Projektsiooni abipind on silinder, mis lõikub ellipsoidiga o Kasutatakse ühe tsooni telgmeeridiaani 24° o Mõõtkavategur telgmeridiaanil on 0,9996 o Ordinaadi väärtus telgmeridiaanil on 500 000m o Ristkoordinaatide võrgu ordinaattelg on ekvaator o Ellipsoid on GRS80 10. Eesti põhikaardi Lambert-EST projektsioon ja selle omadused Kuna Eesti territoorium on ida-lääne suunas pikem kui põhja-lõuna suunas, siis projektsioonist tingitud moonutusi silmas pidades sobib meile kõige praemini Lamberti konformne kooniline projektsioon. Moonutuste vähendamiseks on kasutatud putekoonuste asemel lõikekoonust
summaarne tangensiaaljõud ei kõlba. Pöördemomendi leidmiseks jõudude momentide ning välistakistuse jõu momentide perioodiliselt arvutamiseks kasutatakse keskmist summmaarset tangensiaaljõudu, kasutatakse keskmist summaarset tangensiaaljõudu. muutuvast mõjust elastsele võllisüsteemile. Sundvõnked olenevad mille leidmiseks tuleb tangensiaaljõu diagrammi pindala abstsisstelje Summaarse keskmise tangensiaaljõu ordinaadi leidmiseks tuleb mootori pööretest. ja diagrammi kõvera vahel lõigu (süüteperioodi 0 ) ulatuses jagada diagrammi pindala abstsisstelje ja diagrammi kõvera vahel lõigu 0 Põhiliseks sundvõngete tekitajaks on paisuvate gaaside rõhujõu poolt diagrammi selle lõigu pikkusega. ulatuses jagada diagrammi selle lõigu pikkusega
suspiirkonda s¨ umboliga X. Teoreem 1. Olgu pideval funktsioonil y = f (x) piirkonnas X pidevad esimest ja teist j¨arku tuletised. Kui f (x) < 0 piirkonnas X, siis on funkt- siooni graafik selles piirkonnas kumer. T~oestus. Olgu piirkonnas X funktsiooni graafikule t~ommatud puutuja punktis P0 (x0 ; f (x0 )). Fikseerime piirkonnas X veel u¨he punkti x = x0 . T¨ahistame sellele x v¨a¨artusele vastava ordinaadi puutujal y¯, st y¯ = f (x0 ) + f (x0 )(x - x0 ). Siis y¯ - f (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x - x0 ) - f (x) = -[f (x) - f (x0 )] + f (x0 )(x - x0 ). L~oigul [x0 ; x] on t¨aidetud k~oik Lagrange'i teoreemi eeldused, st leidub selline x¯ (x0 ; x), et f (x) - f (x0 ) = f (¯ x)(x - x0 ). Seega y¯ - f (x) = -f (¯ x)(x - x0 ) + f (x0 )(x - x0 ) = -(x - x0 )(f (¯
annaabi.ee 
