Täisdiferentsiaali kordajate Ci valemid funktsiooni osatuletiste kaudu (sõnastada ja tõestada vastav teoreem). Funktsiooni argumentide diferentsiaalid ja nende kasutamine täisdiferentsiaali valemis. 14. Tõestada liitfunktsiooni osatuletise valem. 15. Täisdiferentsiaali kasutamine ligikaudsetes arvutustes ja veahinnangutes. 16. Pinna puutujatasand ja selle võrrand. Puutujatasandi seos pinna lõikejoonte puutujatega. Pinna normaalvektor ja normaalsirge. Avaldada normaalvektori koordinaadid ja tuletada normaalsirge kanoonilised võrrandid. 17. Kõrgemat järku osatuletised ja nende tähistus. Segatuletiste võrdsus. 18. Skalaarvälja ja vektorvälja mõisted. Gradient ja gradientväli. Suunatuletise valemi esitus gradiendi kaudu (gradiendi omadus 1). Tõestada, et funktsiooni tuletis on kõige suurem gradiendi suunas. Kolmemuutuja funktsiooni gradiendi seos selle funktsiooni nivoopinna normaalvektoriga koos põhjendusega
f(x) graafik). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x) (vt joonis 3.2, puutuja on seal tähistatud s-ga). Joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a)) (tõestust ei küsi). y − f(a) = p(x − a), kus p on s t˜ous. Joone normaalsirge definitsioon. Joone y = f (x) normaalsirge võrrand punktis A = (a, f (a)) (tõestust ei küsi).
Siis kehtib valem . Tõestus. Funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y. Seega f'(x)=. Funktsiooni x= argument on t ja sõltuv muutuja x. Järelikult . Analoogiliselt saame funktsiooni , mille argument on t ja sõltuv muutuja y, tuletise jaoks seose . Kasutades neid valemeid saame: 22. Joone puutuja definitsioon. Tuletada joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a)) . Joone normaalsirge definitsioon. Tuletada joone y = f (x) normaalsirge võrrand punktis A = (a, f (a)) . Diferentseeruvuse geomeetriline sisu. a. Joone puutuja definitsioon Olgu tasandil xy-teljestikus antud joon y=f(x). Joone y=f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel mööda joont y=f(x). (JOONIS) b. Tuletada joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a))
võrrandiga F(x, y) = 0. Tuletada valem funktsiooni f (x) tuletise jaoks funktsiooni F osatuletiste kaudu. 10. Olgu mitmemuutuja funktsioon y = f (x) = f (x1, x2, . . . , xn) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x1, x2, . . . , xn, y) = 0. Tuletada valem funktsiooni f (x) osatuletiste jaoks funktsiooni F osatuletiste kaudu. TÄIENDATUD ! KAHTLANE, GERDI SLAIDILT 11. Tuletada pinna puutujatasandi võrrand kahe- või mitmemuutuja juhul. MINA KIRJUTAKS SAMA, MIS 12. 12. Tuletada pinna normaalsirge võrrand kahe- või mitmemuutuja juhul. Ehk siis kui saate "Tuletada pinna puutujatasandi võrrand kahe- või mitmemuutuja juhul." kirjutaksin Lause 1. osast selle osa 1.7.3 ja 12. küsimuse puhul lause 1.7.4. Kuid ka tõestusest on võimalik midagi ära jätta - see aga suht keeruline, peaks liiga süvendatult lugema... kergem on kirjutada see kogu tõestus maha ja lõpetuseks kirjutada vastav osa Lause 1'sest. Ma ei usu, et Gert karistaks, kui kirjutada rohkem :) 13
jk jk jl 1. j, jl j, ehk d! #a da ! !a LIISI KINK 9 MATEMAATILINE ANALÜÜS I 17) Joone puutuja definitsioon. Joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a)) (tõestust ei küsi). Joone normaalsirge definitsioon. Joone y = f (x) normaalsirge võrrand punktis A = (a, f (a)) (tõestust ei küsi). Olgu tasandil -teljestikus antud joon = ! . Joone = ! puutujaks punktis nimetatakse tema lõikaja % piirsirget, mis tekib punti % lähenemisel punktile mööda joont =! . Joone puutuja võrrand punktis = , ! kujul - ! = n - , kus n on tõus. Joone = ! normaalsirgeks punktis nimetatakse sirget, mis läbib punti ja ristub joone =
Kui , siis P läheneb punktile A mööda joont y = f(x). Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja AP joone y = f(x) puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus puutuja tõusule p. Järelikult, tuletise definitsiooni põhjal . Eelnevatest valemitest saamegi puutuja võrrandi See valem kehtub juhul, kui puutuja tõus p ehk tuletis f ` (a) on määratud. Kui puutuja tõusunurk on , siis ei ole f ` (a) määratud ja puutuja võrrand on x = a. JOONE NORMAALSIRGE DEFINITSIOON Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse, sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. Tuletada joone normaalsirge võrrand punktis A = (a,f(a)). Joonisel on kujutatud joone y = f(x) puutuja s ja normaalsirge n koos oma tõusunurkadega ja . Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu . Kuna ja , siis . Valemite põhjal on punkti A = (a,f(a)) läbiva normaalsirge võrrand järgmine: . Võrrand
Tõestus: Funktsioon on pidev, kui on täidetud järgmised tingimused: 1) a X triviaalne, kuna muidu poleks võimalik leida f(a) tuletist avaldamises. 2) f(x) f(x) = (f(x) f(a) + f(a)) = = = f'(a) · 0 + f(a) = f(a) 3) on tõestatud punktis 2. 3. Funktsiooni tuletise aritmeetiliste tehetega seotud omadused (omaduse b tõestus) Tõestus: (uv) = u(x) · v(x) (uv) = u(x + x) · v(x · x) u(x) · v(x) (uv)' = 4. Joone puutuja ja normaalsirge mõisted. Vastavate võrrandite tuletamine Joone puutuja. Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x). Puutja võrrandiks on: y y0 = f'(x0)(x x0) Võrrandi tuletamine: Tuletame puutuja s võrrand. Kõigepealt märgime, et valemi y - b = p(x - a) põhjal avaldub puutuja s võrrand punktis A = (a, f(a)) kujul y - f(a) = p(x - a) , kus p on s tõus. Vaatleme piirprotsessi x a
0 38) Saamegi puutuja v~orrandi y - f (a) = f (a)(x - a) , mis kehtib juhul, kui puutuja t~ous p ehk 0 tuletis f (a) on m¨a¨aratud. 0 39) Kui puutuja t~ousunurk on siis ei ole f (a) m¨a¨aratud ja puutuja v~orrand on x = a. c) Joone normaalsirge definitsioon Joone y=f(x) normaalsirgeks punktis A nim. sirget, mis läbib punkti A ning ristub joone y=f(x) puutujaga selles punktis. Võrrand: d) Tuletada joone y=f(x) normaalsirge võrrand punktis A=(a,f(a)) 40) Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu p = tan . Kuna = + 0 ja tan = f (a), siis p = tan = tan( + )= 1/tan = 1/f 0(a)
0 38) Saamegi puutuja v~orrandi y - f (a) = f (a)(x - a) , mis kehtib juhul, kui puutuja t~ous p ehk 0 tuletis f (a) on m¨a¨aratud. 0 39) Kui puutuja t~ousunurk on siis ei ole f (a) m¨a¨aratud ja puutuja v~orrand on x = a. c) Joone normaalsirge definitsioon Joone y=f(x) normaalsirgeks punktis A nim. sirget, mis läbib punkti A ning ristub joone y=f(x) puutujaga selles punktis. Võrrand: d) Tuletada joone y=f(x) normaalsirge võrrand punktis A=(a,f(a)) 40) Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu p = tan . Kuna = + 0 ja tan = f (a), siis p = tan = tan( + )= 1/tan = 1/f 0(a)
16. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni korral (tõestusi ei küsita). 17. Joone puutuja definitsioon. Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x) (vt joonis 3.2, puutuja on seal tähistatud s-ga). Joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a)) (tõestust ei küsi). Joone normaalsirge definitsioon. Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. Joone y = f (x) normaalsirge võrrand punktis )) A = (a, f (a (tõestust ei küsi). Diferentseeruvuse geomeetriline sisu.
liitfunktsiooni korral (tõestusi ei küsita). 1) (f + g)’ = f’ + g’ 2) (fg)’ = f’ g + fg’ f f ❑' g −fg' 3) ( g ) ’ = g2 4) (Cf)’ = C’f + Cf’ = 0f + Cf’ = Cf’ , C – konstant 5) (f-g)’ =[f + (-1)g]’ = f’ + [(-1)g]’ = f’ + (-1)g’ = f’ – g’ 17. Joone puutuja definitsioon. Joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a)) (tõestust ei küsi). Joone normaalsirge definitsioon. Joone y = f (x) normaalsirge võrrand punktis A = (a, f (a)) (tõestust ei küsi). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x). Joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a)): y − f(a) = p(x − a) Joone y = f(x) normaalsirgeks punk tis A nimetatakse sirget, mis l¨abib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis.
Seega läheneb ka lõikaja tõus p(kriipsuga) puutuja tõusule p. Järelikult, tuletise definitsiooni põhjal p = lim(xa) p(kriips) = lim(xa) (f(x)-f(a))/x-a=f'(a)(3.4) Valemitest (3.3) ja (3.4) saamegi puutuja võrrandi y- f(a) = f'(a)(x - a) : (3.5) Valem (3.5) kehtib juhul kui puutuja tõus p ehk tuletis f'(a) on määratud. Kui puutuja tõusunurk on /2 siis ei ole f'(a) määratud ja puutuja võrrand on x = a. Normaal: Joone normaalsirge ja tema võrrand. Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget n mis läbib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. Joonisel 3.4 on kujutatud joone y = f(x) puutuja s ja normaalsirge on koos oma tõusunurkadega alfa ja beta. Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu p = tan beta. Kuna beta = alfa + pi/2 ja tan alfa = f'(a) siis p = tan beta = tan (alfa + pi/2) = -1/tanalfa =-1/f'(a) (3.6) Valemite (3.6) ja (3
Kui x a, siis P läheneb punktile A mööda joont y = f(x). Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja AP joone y = f(x) puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus p puutuja tõusule p. Järelikult, tuletise definitsiooni põhjal Valemitest (3.10) ja (3.11) saamegi puutuja võrrandi Valem (3.12) kehtib juhul, kui puutuja tõus p ehk tuletis f(a) on määratud. Kui puutuja tõusunurk on /2 , siis ei ole f(a) määratud ja puutuja võrrand on x = a. Joone normaalsirge definitsioon: Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. Tuletada joone y = f (x) normaalsirge võrrand punktis A = (a, f (a)) : Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu p = tan . Kuna = + /2 ja tan = f(a), siis Valemite (3.13) ja (3.9) põhjal on punkti A = (a, f(a)) läbiva normaalsirge võrrand järgmine: Muidugi kehtib selline võrrand juhul, kui f(a) = 0
Funktsiooni diferentsiaali definitsioon - Funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks punktis a nimetatakse tuletise f(a) ja argumendi muudu x = x-a korrutist ja tähistatakse dy või df. Seega definitsiooni kohaselt dy = f(a)x . 16.1 19. Joone puutuja definitsioon - Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x) (st funktsiooni y = f(x) graafik). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x). Joone normaalsirge definitsioon - Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. 19.1 Joone y=f(x) puutuja võrrand punktis A(a,f(a)) : y f(a)=f'(a) Joone y=f(x) normaalsirge võrrand punktis A=(a,f(a)) : Diferentseeruvuse geomeetriline sisu : Argumendi väärtusel x=a diferentseeruva funktsiooni graafik on punktis A=(a,f(a)) sile joon, mille puutuja tõusunurk ei ole /2. 1
Vaatleme nüüd piirprotsessi x a. Kui x a, siis P läheneb punktile A mööda joont y = f(x). Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja AP joone y = f(x) puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus puutuja tõusule p. Järelikult, tuletise definitsiooni põhjal (3.11) Valemitest (3.10) ja (3.11) saamegi puutuja võrrandi y - f(a) = f'(a)(x - a) Joone normaalsirge definitsioon Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. Joone y f (x) normaalsirge võrrand punktis A (a, f (a)) Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu p = tan Kuna = + ja tan = f'(a), siis (3.13) Valemite (3.13) ja (3.9) põhjal on punkti A = (a, f(a)) läbiva normaalsirge võrrand järgmine:
tähistatakse dz või d. · Tõestus: Ci = xi`(A) z = Ci* xi + g = g'(ai) * xi + (xi) * xi Ci - g`(ai) = ((xi) * xi ) / xi Dxi = 0 * x1 + 0 * x2 + . . . + 0 * xi-1 + 1 * x1 + 0 * xi+1 + . . . + 0 * xm = xi 19) Milline on pinna z=f(x,y) puutujatasandi võrrand punktis B=(a,b,f(a,b))?. Defineerida pinna z=f(x,y) normaalvektor ja normaalsirge punktis B=(a,b,f(a,b)) ja tuletada nende võrrandid. · Tasandid, mille võrrandiks on z=(a,b ) + 'x( a, b ) (x - a )+'y( a,b ) ( y b ), nimetatakse pinna z = (x,y) puutujatasandiks punktis B=(a,b, (a,b)). · Pinna z=f(x,y) normaalvektoriks punktis B nim. vektorit, mis ristub puutujatasandiga selles punktis. · Pinna z= (x,y) normaalsirgeks punktis B nim. sirget, mis läbib punkti B ja ristub
tähistatakse dz või d. · Tõestus: Ci = xi`(A) z = Ci* xi + g = g'(ai) * xi + (xi) * xi Ci - g`(ai) = ((xi) * xi ) / xi Dxi = 0 * x1 + 0 * x2 + . . . + 0 * xi-1 + 1 * x1 + 0 * xi+1 + . . . + 0 * xm = xi 19) Milline on pinna z=f(x,y) puutujatasandi võrrand punktis B=(a,b,f(a,b))?. Defineerida pinna z=f(x,y) normaalvektor ja normaalsirge punktis B=(a,b,f(a,b)) ja tuletada nende võrrandid. · Tasandid, mille võrrandiks on z=(a,b ) + 'x( a, b ) (x - a )+'y( a,b ) ( y b ), nimetatakse pinna z = (x,y) puutujatasandiks punktis B=(a,b, (a,b)). · Pinna z=f(x,y) normaalvektoriks punktis B nim. vektorit, mis ristub puutujatasandiga selles punktis. · Pinna z= (x,y) normaalsirgeks punktis B nim. sirget, mis läbib punkti B ja ristub
T¨aisnurkselt kolmnurgalt APQ n¨aeme, et ¯ p = tan =f(x) - f(a)/x - a . Vaatleme nu¨u¨d piirprotsessi x a. Kui x a, siis P l¨aheneb punktile A m¨o¨oda joont y = f(x). Vastavalt puutuja definitsioonile l¨aheneb l~oikaja AP joone y = f(x) puutujale punktis A. Seega l¨aheneb ka l~oikaja t~ous ¯ p puutuja t~ousule p. J¨arelikult, tuletise definitsiooni p~ohjal p = lim xa ¯ p = lim xa f(x) - f(a) /x a = f'(a) saamegi puutuja v~orrandi y - f(a) = f'(a)(x - a). Joone normaalsirge definitsioon. Joone y = f(x) norxmaalsirgeks punk- tis A nimetatakse sirget, mis l¨abib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. Tuletada joone y = f (x) normaalsirge võrrand punktis A = (a, f (a)) . Normaalsirge v~orrandi tuletamiseks peame arvutama tema t~ousu p = tan. Kuna = + /2 ja tan = f'(a), siis p = tan = tan( +/2)= -1/tan= -1/f'(a) y - f(a) = -1/f'(a) * (x - a) Diferentseeruvuse geomeetriline sisu.
(kus p on sirge tõus) Vaatleme nüüd piirprotsessi x → a. Kui x → a, siis P läheneb punktile A mööda joont y = f(x). Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja AP joone y = f(x) puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus puutuja tõusule p. Järelikult, tuletise definitsiooni põhjal (3.11) Valemitest (3.10) ja (3.11) saamegi puutuja võrrandi y − f(a) = f’(a)(x − a) Joone normaalsirge definitsioon Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. Joone y f (x) normaalsirge võrrand punktis A (a, f (a)) Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu p = tan φ Kuna φ = α + ja tan α = f’(a), siis (3.13) Valemite (3.13) ja (3.9) põhjal on punkti A = (a, f(a)) läbiva normaalsirge võrrand järgmine:
mööda joont Tuletame puutuja s võrrandi. Märgime, et valemi korral avaldub puutuja s võrrand punktis kujul kus p on s tõus. Vaatleme piirprotsessi . Kui siis läheneb P punktile A mööda joont . Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja AP joone puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus puutuja tõusule p. Valemid · Joone normaalsirge ja selle võrrand Joone normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone puutujaga selles punktis. Arvutame normaalsirge leidmiseks tõusu kuna ja siis Punkti läbiva normaalsirge võrrand on järgmine: , kui · Diferentseeruvuse geomeetriline sisu - Argumendi väärtusel diferentseeruva funktsiooni graafik on punktis sile joon mille puutuja tõusunurk ei ole 23.
F(x,y)=0. Tuletada valem funktsiooni f(x) tuletise jaoks funktsiooni F osatuletiste kaudu. 10. Olgu mitmemuutuja funktsioon u = f (x) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x,u)= 0. Tuletada valem funktsiooni f osatuletiste jaoks funktsiooni F osatuletiste kaudu. Valem tuletada kas kahe muutuja juhul (x = (x, y) R2) või üldjuhul (x Rn). 11. Pinna puutujatasand ja selle võrrand. Puutujatasandi seos pinna lõikejoonte puutujatega. Pinna normaalvektor ja normaalsirge ning selle võrrand. Tuletada vastavad võrrandid kahe- või mitmemuutuja juhul. Sirget, mis läbib punkti P(x(to)), y(to), z(to) ja on vektori (x(to), y(to), z(to)) sihiline, nimetatakse joone X(t)=(x(t), y(t), z(t)) puutujaks punktis P. Tasandit, millel asuvad kõik pinna punkti P läbivate joonte puutujad nimetatakse puutujatasandiks punktis P. Normaalsirgeks punktis P nimetatakse punkti P läbivat sirget, mis on risti puutujatasandiga punktis P.
Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja joone y=f(x) puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus p puutuja tõusule p. Järelikult tuletise definitsiooni põhjal Avaldame puutuja võrrandi Viimane valem kehtib juhul, kui puutuja tõus p ehk tuletis f'(a) on määratud. Def. Joone y=f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub jone y=f(x) puutujaga selles punktis. Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu p = tan . Kuna =+ ja tan =f'(a), siis Seega punkti A=(a,f(a)) läbiva normaalsirge võrrand on Diferentseeruvuse geomeetriline sisu. Geomeetriliselt funktsiooni diferentsiaal tähendab punktis x võetud puutuja muutu, so lõigu AB pikkust.
Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja joone y=f(x) puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus p puutuja tõusule p. Järelikult tuletise definitsiooni põhjal Avaldame puutuja võrrandi Viimane valem kehtib juhul, kui puutuja tõus p ehk tuletis f'(a) on määratud. Def. Joone y=f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub jone y=f(x) puutujaga selles punktis. Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu p = tan . Kuna =+ ja tan =f'(a), siis Seega punkti A=(a,f(a)) läbiva normaalsirge võrrand on Diferentseeruvuse geomeetriline sisu. Geomeetriliselt funktsiooni diferentsiaal tähendab punktis x võetud puutuja muutu, so lõigu AB pikkust.
Tõestus. Funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y. Seega f(x) = dy/dx . Funktsiooni x = (t) argument on t ja sõltuv muutuja x. Järelikult (t) = dx/dt . Analoogiliselt saame funktsiooni y = (t), mille argument on t ja sõltuv muutuja y, tuletise jaoks seose (t) = dy/dt . Kasutades neid valemeid arvutame: f (x) =dy/dx=dy/dt/dx/dt=(t)/(t) . See tõestabki valemi. 22. Joone puutuja definitsioon. Tuletada joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a)) . Joone normaalsirge definitsioon. Tuletada joone y = f (x) normaalsirge võrrand punktis A = (a, f (a)) . Diferentseeruvuse geomeetriline sisu. Joone puutuja ja selle võrrand. Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x) (st funktsiooni y = f(x) graafik). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x). Tuletame puutuja s võrrand
suhtes protsessis xi 0 siis v~orduse (6.29) parem pool l¨aheneb nullile kui xi 0. Seega peab vasak pool (mis on konstantne) v~orduma nulliga. Seega Ci - g (ai ) = 0 ehk Ci = g (ai ). L~opuks, kuna g (ai ) = fxi (A), saamegi valemi (6.25). Sellega on u ¨laltoodud v¨aide t~oestatud. 19) Milline on pinna z=f(x,y) puutujatasandi võrrand punktis B=(a,b,f(a,b))?. Defineerida pinna z=f(x,y) normaalvektor ja normaalsirge punktis B=(a,b,f(a,b)) ja tuletada nende võrrandid. Tasandit, mille v~orrandiks on (6.32), nimetatakse pinna z = f (x, y) puutu- jatasandiks punktis B = (a, b, f (a, b)). z = f (a, b) + fx (a, b)(x - a) + fy (a, b)(y - b) . (6.32) Pinna z = f (x, y) normaalvektoriks punktis B nimetatakse vektorit, mis ristub puutujatasandiga selles punktis. Pinna z = f (x, y) normaalsirgeks punk- tis B nimetatakse sirget, mis l¨abib punkti B ja ristub puutujatasandiga selles
1. (f + g) = f + g, 2. (fg) = fg + fg, 3.(f/g)= fg-fg/g2 . 4. (Cf)' = C'f + C f' = 0 f + C f' = C f' 5. (f - g)' = [f + (-1)g]' = f' + [(-1)g]' = f' + (-1)g' = f' g' 6. {g[f(x)]}' = g'[f(x)] f'(x) Joone puutuja definitsioon - Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x) (st funktsiooni y = f(x) graafik). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x). y - f(a) = f (a)(x - a) Joone normaalsirge ja selle võrrand. Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. y - f(a) = - 1/f(a)(x - a), kui f(a) = 0 5
on -(,) = (,)( -)+(,)( -) ehk (,)( -)+(,)( -)-( -(,)) = 0. cD g(P)dS Viimasest võrrandist on leitav võrrandiga = (,) antud pinna normaalvektor punktis (,,(,)) = ((,), (,), 6. Kui eksisteerib integraal D f(P)dS ja piirkonnas D kehtib võrratus m f(P) M, siis m D f(P)dS M -1). Et vektor n on punktis P pinna normaali (normaalsirge) sihivektor, siis soovitud normaali võrranditeks on - / (,) = - /(,) = -(,)/ -1 , kusjuures (,,) on selle normaalsirge suvaline punkt. Kui aga P on pinna fikseeritud punkt, Muutujavahetus kordses integraalis. Leida jakobiaan polaarkoordinaatide korral. näiteks (,,(,)), siis puudub vajadus kolmiku (,,) kasutamiseks
Funktsiooni x = (t) argument on t ja sõltuv muutuja x. JÄrelikult (t) = Analoogiliselt saame funktsiooni y = (t), mille argument on t ja sõltuv muutuja y, tuletise jaoks seose (t) = . Kasutades neid valemeid arvutame: f(x) = = = 22. Joone puutuja. Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x) (st funktsiooni y = f(x) graafik). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x) Joone normaalsirge. Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis. Kui funktsiooni graafik on punktis A = (a, f(a)) sile (so mittemurduv), siis on lõikaja AP piirsirge punktis A Üheselt määratud, sõltumata sellest kummalt poolt punktiga P punktile A lähenetakse. Seega on sel juhul punktis A puutuja Üheselt määratud. Kui puutuja tõusunurk = /2 , siis on arvutatav ka puutuja tõus ehk funktsiooni tuletis f(a)
2) ‖𝑥 + 𝑦‖ ≤ ‖𝑥‖ + ‖𝑦‖ 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦), −1). Et vektor n on punktis P pinna normaali (normaalsirge) sihivektor, siis soovitud normaali võrranditeks on
|s| 2. Tuletis vektori s suunas on maksimaalne siis, kui vektor s on gradiendisuunaline 3. Gradient gradf(A) on skalaarvälja f nivoopinna normaalvektor punktis A. Teiste sõnadega: vektor grad f(A) ristub punkti A läbiva nivoopinna f(x,y,z)=C puutujatasandiga punktis A 12. Pinna puutujatasand ja normaalsirge Pinna puutujatasand ja tema võrrand Tasandit z=f(a,b)+f'x(a,b)(x-a)+f'y(a,b)(y-b) nimetatakse pinna z=f(x,y) puutujatasandiks punktis B(a,b,f(a,b)) Pinna z=f(x,y) normaalsirgeks punktis B nimetatakse sirget, mis läbib punkti B ja ristub puutujatasandiga selles punktis 13. Mitme muutuja funktsiooni ekstreemumid. Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus Punkti (x0,y0) nim funktsiooni z=f(x,y) maksimumpunktiks, kui punkti (x0,y0) küllalt
3.1 Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali m~oisted. . . 57 3.2 N¨aiteid tuletiste kohta rakendustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Tuletiste arvutamise p~ohireeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 Ilmutamata funktsiooni, p¨o¨ordfunktsiooni ja parameetrilise funk- tsiooni diferentseerimine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 iii 3.5 Joone puutuja ja normaalsirge. Diferentseeruvuse geomeetriline sisu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.6 Diferentsiaal kui funktsiooni muudu peaosa. Diferentsiaali ge- omeetriline sisu ja omadused. Funktsiooni lineaarne l¨ahend. . . . 69 3.7 N¨aiteid diferentsiaali ja lineaarse l¨ahenduse kasutamise kohta prak- tilistes arvutustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3
3.1 Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali m~oisted. . . 57 3.2 N¨aiteid tuletiste kohta rakendustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Tuletiste arvutamise p~ohireeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 Ilmutamata funktsiooni, p¨o¨ordfunktsiooni ja parameetrilise funk- tsiooni diferentseerimine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 iii 3.5 Joone puutuja ja normaalsirge. Diferentseeruvuse geomeetriline sisu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.6 Diferentsiaal kui funktsiooni muudu peaosa. Diferentsiaali ge- omeetriline sisu ja omadused. Funktsiooni lineaarne l¨ahend. . . . 69 3.7 N¨aiteid diferentsiaali ja lineaarse l¨ahenduse kasutamise kohta prak- tilistes arvutustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3
2) x P y P z P ning parameetriliselt F x = x 0 + x t P F y = y0 + t (12.2) y P F z = z0 + t z P Kui pind on esitatud võrrandiga z = f ( x, y ) siis saame vastavad võrrandid võttes F ( x, y , z ) = f ( x , y ) - z = 0 Saame võrrandid Puutujatasand f f ( x - x0 ) + ( y - y 0 ) - ( z - z 0 ) = 0 (12.1') x P y P Normaalsirge x - x0 y - y0 z - z 0 = = f f - 1 (12.2'') x P y P 13. Kahe muutuja funktsiooni Taylori valem. Vaatleme funktsiooni z = f ( x, y ) punkti P( x 0 , y 0 ) ümbruses. Eeldame, et funktsioonil on piisav arv osatuletisi selle punkti ümbruses. Tuletame meelde ühe muutuja funktsiooni y = f ( x ) Taylori valemi f ( x 0 ) f ( x 0 ) f ( n) ( x 0 )
Seega on puutuja v~orrandiks y - f (x0 ) = f (x0 )(x - x0 ). (2.10) Definitsioon. Joone normaalsirgeks ehk normaaliks antud punktis ni- metatakse joone selles punktis t~ommatud puutuja ristsirget. Kui kaks sirget on risti, siis teise sirge t~ous k2 avaldub esimese sirge t~ousu 1 1 k1 kaudu k2 = - . J¨arelikult on normaali t~ousuks - ja normaalsirge k1 f (x0 ) v~orrandiks 1 y - f (x0 ) = - (x - x0 ). (2.11) f (x0 ) N¨aide. Koostame joone y = cos x puutuja ja normaali v~orrandid punkis abstsissiga x0 = . 6 19 y
annaabi.ee 
