1). (Algfunktsiooni definitsioon. Määramata integraali definitsioon. Määramata 7).(Lihtsamate osamurdude integreerimine. Valemite tuletamine). 12. (Näidata, et kui funktsioonid f (x) = g(x) välja arvatud lõplikus arvus punktides, siis integraal kui tuletise ja diferentsiaali pöördoperaator). Tõestame selle järelduse juhul, kui g(x) f(x) vaid punktis x=c [, ]. () Funktsiooni f algfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni F, mis rahuldab tingimust [, ] selle lõigu tükeldus, kusjuures [-1 , ]. Kuna g(x) = O(1) (x[a,b]) F'(x) = (x)= f(x). Definitsioon (määramata integraal) Avaldist kujul F(x) + C; kus ...
m dt dv b v =- . Muutujate eraldamiseks korrutatakse võrrandi mõlemat poolt suurusega dt dt m dv bdt ja jagatakse v , saadakse =- . v m Integreeritakse mõlemat poolt: dv bdt bt v = - m 2 v = - + C1 m Leitakse integreerimiskonstant C1 . Kirjutatakse saadud avaldis välja alghetkel t = 0, asendades seejuures kõik muutuvad suurused nende algväärtustega: Kui t = 0: 2 v0 = C1 bt Seda arvestades on kiiruse ilmutamata avaldis 2 v = - + 2 v0 m Siit leitakse ajahetk, millal punktmass jääb seisma. Ajahetk tähistatakse t1 . Seega kui t = t1 , siis v = v1 = 0 . bt
- 2 EI 3 2 + C1 , kus: C1 integreerimiskonstant (C1 = A), [rad]; Ühtlase joonkoormusega lihtvarras FA p = const FB B A max x
· Mis on kohavektor? Mis on nihkevektor? Kuidas nad on omavahel seotud? Kohavektor on tõmmatud koordinaatide alguspunktist antud punkti. Nihkevektor on liikumise alguspunktist lõpp-punkti tõmmatud vektor. (nihkevektor on kohavektorite muut, nihkevektor tähistab kohavektori juurdekasvu ajavahemikus delta-t) · Näidata, et konstantse kiirendusega liikudes avaldub kiirus ajahetkel t järgmise valemi kaudu v=v0+a*t, kus v0 on keha kiirus ajahetkel t=0, a on keha kiirendus. v= = a*t + c (integreerimiskonstant, antud juhul v0) = a*t + v0 · Milline liikumine on vaba langemine, kas konstantse kiirusega, konstantse kiirendusega või lihtsalt kiirendusega liikumine? (Põhjendada) Konstantse kiirendusega, sest a=g=9,8 m/s2 · Kuidas on seotud nurkkiirus ja pöördenurk? Millises suunas on need vektorid suunatud? Nurkkiirus näitab ühtlase pöörlemise korral nurka, mille võrra keha ajaühiku jooksul pöördub. (parema käe kruvireegel) · Kuidas on seotud pu...
Integraal Def1 Öeldakse, et funktsiooni F ( x ) on funktsiooni f ( x ) algfunktsioon hulgal X, kui iga x X korral . Lause1 Kui funktsioon F1 ( x ) ja F2 ( x ) on funktsiooni f ( x ) algfunktsioonid, siis leidub selline reaalarv c, nii et F1 ( x ) = F2 ( x ) + c. Def2 Avaldist kujul F ( x ) + C, kus F ( x on funktsiooni f ( x ) mingi algfunktsioon ja C on suvaline konstant ( integreerimiskonstant ), nimetatakse funktsiooni f ( x ) määramata integraaliks ja tähistatakse , . Kui funktsioonil leidub hulgal X algfunktsioon, siis öeldakse, et funktsioonil f ( x ) eksisteerib määramata integraal ( hulgal X ). Kehtivad järgmised seosed: Lause2 Kui eksisteerivad määramata integraalid ja , siis suvaliste konstantide ja korral eksisteerib ka integraal , kusjuures . Tõestus. Olgu ja . Seejuures ja
KT2 Pöördfunktsiooni tuletis on antud funktiooni tuletise pöördväärtus. Kui l~oigul [a; b] pideval ja rangelt monotoonsel funktsioonil y =f(x) leidub kohal a nullist erinev tuletis, siis pöördfunktsioonil x = g(y) leidub tuletis kohal b = f(a), kusjuures g '(b)=1/f ' (a) Param kujul f tuletis: kui f y=f(x) on antud parameetrilisel kujul x(t)=(t); y(t)=(t) , t=[a,b], kusjuures f-id (t) ja (t) on diferentseeruvad vahemikus (a,b) ja (t) on rangelt monotoonne lõigul[a,b] ning (t)0 (t=(a,b), siis y '=(t)/(t) F f(x) n-järku tuletiseks nim f-i f(x) (n-1)-järku tuletise tuletits, st fn(x)=(fn-1(x)) ' F-i y=f(x) n-järku diferentsiaaliks nim diferentsiaali selle f-i n-1 järku diferentsiaalist dny=d(dn-1y) Funktsiooni y = f(x) nimetatakse rangelt kasvavaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv , et suvaliste x1 (x-,x) ja x2 (x; x + ) korral f(x1) < f(x) < f(x2). Kui funktsioon on rangelt kasvav punktis x, siis leidub selline 0, et 0|x| --y...
Matemaatilise analüüsi (I) II osaeksami teooriaküsimused (Tallinnas õppivatele kaugõppijatele) 1. Funktsiooni muudu peaosa ja funktsiooni diferentsiaal. Sõltumatu muutuja diferentsiaal. Funktsiooni diferentsiaali valem. Ligikaudse arvutamise valem. Funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene [kui f ( x ) 0 ] on muudu niinimetatud peaosa, mis on võrdeline argumendi muuduga x . Korrutist f ( x ) x nimetatakse funktsiooni diferentsiaaliks ja tähistatakse sümboliga dy või df ( x ) . Sõltumatu muutuja x diferentsiaal dx ühtib tema muuduga x . dy f ( x ) = Funktsiooni diferentsiaali valem: dy = f ( x ) dx ehk dx Ligikaudse arvutamise valem: f ( x + x ) f ( x ) + f ( x ) x 2. Kõrgemat järku tuletised. Funktsiooni teist järku tuletiseks ehk teiseks ...
pikenevad vähem, kui alumised): · varda punktide siire (vastavalt põhivõrrandile) omakaalu toimel avaldub: 1 N g g x2 u = dx = ( ) E l - x dx = lx - + C (see on parabool); E A E 2 · integreerimiskonstant arvutatakse piiritingimusest: kui x = 0, siis u = 0 : g 02 u (x = 0) = l 0 - + C = 0 C = 0 ; E 2 g x 2 gl 2
lx - 2 + C , konstant, (x-i järgi): 0 0 [rad]; · integreerimiskonstant arvutatakse piiritingimusest: kui x = 0, siis = 0 : Priit Põdra, 2004 159 Tugevusanalüüsi alused 10. DETAILIDE VÄÄNDEDEFORMATSIOONID m 02 (x = 0) = l 0 - + C = 0 C =0;
1. Algfunktsiooni definitsioon. Määramata integraali definitsioon. Määramata integraal kui tuletise ja diferentsiaali pöördoperaator. Funktsiooni f algfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni F, mis rahuldab tingimust F'(x) = (x)= f(x). Definitsioon (määramata integraal) Avaldist kujul F(x) + C; kus F(x) on funktsiooni f (x) mingi algfunktsioon ja C on suvaline konstant (integreerimiskonstant), nimetatakse funktsiooni f (x) määramata integraaliks ja tähistatakse st . Määramata integraali tuletis on võrdne integreeritava funktsiooniga st ( )'= f(x). Tõestus: ( )'= (F(x)+C)'=F'(x)= f(x). d( )= ( )'dx = f(x)dx = F'(x)dx= dF(x). Operaatorit L:V->W nimetame lineaarseks kui on täidetud tingimused: a)L(f+g)= L(f) + L(g) kui f, g V (aditiivsus) b) L(cf) = cL(f) kui f V ja c R (homogeensus). Määramata integraal on lineaarne operaato...
Vektorkorrutis. a®*b®= c® , I a®l * l b®l * sin a = l c®l, a= a®Ù b® Liikumisvõrrand- r = t(t)- kohasõltuvus ajast. a = dv / d t = Dv / Dt = =v2-v1 / Dt, kui a = const, v2 = v1+at ê*d t , v2 d t = v1dt + at * dt. Liikumisvõrrand kirjeldab keha koordinaadi muutust ajaühikus valemi näol (x=20+23t; x=t-10t2) Oletame lihtsuse mõttes, et kiirendus ( ) on konstantne. Kuna kiirendus on kiiruse muutumise kiirus ajas, siis kehtivad seo-sed: kus on integreerimiskonstant, mis on ilmutatud algtingimustest, võttes aja hetke nulliks. Kuna kiirus on asukoha muutu-mise kiirus ajas, siis kehtivad seosed: Integreerides viimast võrrandit, saame: Trajektoor-on koguliikumise teepikkus. Läbitakse kõik trajektoori punktid. Joont, mida mööda keha punkt liigub nim. trajektooriks. Kulg ja pöördliikumine Kulgliikumisel mingi suvaline kehaga seotud sirge jääb iseendaga paralleelseks
f (x)dx = F (x) + C. Definitsioonis 3.2 esinevaid sümboleid nimetatakse järgmiselt: - integraali märk x - integreerimismuutuja f (x) - integreeritav funktsioon f (x)dx - integraalialune avaldis C - integreerimiskonstant Näide 3.2 Kasutusele võetud sümboolikas on 2xdx = x2 + C, sest (x2 + C) = 2x ja sin xdx = - cos x + C, sest (- cos x + C) = sin x. 1 Funktsiooni f , millel on olemas määramata integraal, nimetatakse integreeruvaks funktsioo- niks. Määramata integraali leidmist funktsioonist f , nimetatakse selle funktsiooni integreeri- miseks.
Sel juhul saame ja võttes teise tuletise: Asendame y* ja selle tuletised mittehomogeensesse võrrandisse Leiame Seega (16.4) Võttes kokku võrrandid (16.3) ja (16.4) saame võrrandisüsteemi tuletiste A'(x) ja B'(x) leidmiseks (16.5) Selle süsteemi determinant on Wronski determinant Mis ei võrdu nulliga, sest erilahendid ja on lineaarselt sõltumatud. Järelikult süsteem lahendub üheselt, integreerides leiame otsitava funktsioonid: A(x) ja B(x) lõplikud avaldised võetakse nii, et integreerimiskonstant on null. 17. Konstantsete kordajatega esimest järku lineaarse dif.võr süsteemid. Vaatleme esimest järku dif.võr süsteeme normaalkujul ( kus tuletised avaldatud funktsiooni kaudu). (17.1) Kui funktsioonid on lineaarsed funktsioonid suhtes ning kordajad on konstantsed, siis on süsteemil kuju (17.2) kus aij (i,j= 1.....n) on arvkonstandid. Sellele süsteemile võib lisada algtingimuse kujul (17.3) (17.4) kus sõltumatuks muutujaks on t. Ja . Toome sisse maatriksi tähistuse (17.5)
Integraalialuseks avaldiseks nimetatakse avaldist f(x)dx. Näide: 2 xdx = x +C 2 1. MÄÄRAMATA INTEGRAALI OMADUSED 1. Tuletis määramata integraalist võrdub integreeritava funktsiooniga [ f ( x) dx ] = f ( x ) 2. Diferentsiaal määramata integraalist võrdub integraalialuse avaldisega: d f ( x ) dx = f ( x ) dx 3. Määramata integraal mingi funktsiooni tuletisest võrdub selle funktsiooniga pluss suvaline integreerimiskonstant: F ( x ) dx = F ( x ) +C 4. Konstantse teguri võib tuua integraalimärgi ette: kf ( x ) dx = k f ( x ) dx , kus k = const 5. Summat ja vahet võib integreerida liikmeti: [ f ( x ) ± g ( x )] dx = f ( x ) dx ± g ( x ) dx INTEGREERIMISE PÕHIVALEMID Integreerimise põhivalemid saadakse tuletiste põhivalemite "tagurpidi" rakendamisel (vt tuletiste tabel paremalt vasakule). Nende kontrollimiseks tuleb leida parema poole tuletis, mis peab võrduma intergraalialuse funktsiooniga 1
f(x) määramata integraaliks nimetatakse avaldist y = f ( x) dx = F(x) + C, kus F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon ja C konstant, mida nimetatakse integreerimiskonstandiks. Integraali seos tuletisega- Integreerimine on tuletise vastandtehe, seega kui tuletis 2x2-2x on 4x-2 , siis integraal 4x-2 on 2x2-2x+c. Tuletis määramata integraalist võrdub integreeritava. [ f ( x) dx ] = f ( x ) Määramata integraal mingi funktsiooni tuletisest võrdub selle funktsiooniga pluss suvaline integreerimiskonstant. F ( x ) dx = F ( x ) +C Mõnede (xa, sin x, 1/x) integreerimisvalemite tuletamine- Tuletamine: 6 dx = ln x + C , Tõestus : Avaldame x absoluutväärtuse Kui x > 0 ( ln x ) = ( ln x ) = 1 ja kui x x x < 0 ( ln x ) = ( ln( - x ) ) =
Majandusmatemaatika teooria 1.Mis on funktsioon? Kui hulga X igale elemendile x on seatud vastavusse kindel element y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X on defineeritud funktsioon. Mis on sõltumatu muutuja, sõltuv muutuja? Elementi x nimetatakse sõltumatuks muutujaks ehk argumendiks, elementi y sõltuvaks muutujaks ehk (elemendi x) kujutiseks. Sõltumatu muutuja - algebra: Valemis iga muutuja, mille väärtus ei sõltu ühestki teisest muutujast. statistika: Muutuja, mida eksperimentide seeria käigus muudetakse. Sõltuv muutuja - algebra: Valemis muutuja, mille väärtus sõltub ühest või enamast teisest muutujast. statistika: Mõõdetav suurus, mis näitab kohtlemise efektiivsust. 2. Mis on funktsiooni määramispiirkond? Hulka X nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks, määramispiirkond on funktsiooni argumendi nende väärtuste hulk, mille korral funktsiooni väärtus on defineeritud. Funktsiooni f sisendväärtuste hulka X ...
Integraalialuseks avaldiseks nimetatakse avaldist f(x)dx. Näide: 2 xdx = x +C 2 1. MÄÄRAMATA INTEGRAALI OMADUSED 1. Tuletis määramata integraalist võrdub integreeritava funktsiooniga [ f ( x) dx ] = f ( x ) 2. Diferentsiaal määramata integraalist võrdub integraalialuse avaldisega: d f ( x ) dx = f ( x ) dx 3. Määramata integraal mingi funktsiooni tuletisest võrdub selle funktsiooniga pluss suvaline integreerimiskonstant: F ( x ) dx = F ( x ) +C 4. Konstantse teguri võib tuua integraalimärgi ette: kf ( x ) dx = k f ( x ) dx , kus k = const 5. Summat ja vahet võib integreerida liikmeti: [ f ( x ) ± g ( x )] dx = f ( x ) dx ± g ( x ) dx TÕESTUSED 1. [ f ( x) dx ] = f ( x ) . Definitsiooni järgi f ( x ) dx = F ( x ) +C , kus F ( x ) = f ( x ) [ f ( x )dx] = [ F ( x ) +C ] = F ( x ) = f ( x ) m.o.t.t. 2. d f ( x ) dx = f ( x ) dx
Küsimused: 1.Määratud integraali (Riemanni mõttes) definitsioon. Darbouc ülem- ja alamsummad. Riemanni summa ja Darboux’ summade seos-viimane pilt. ∫ f ( x ) dx st ∫ f ( x ) dx=F ( x ) +C . Määramata integraali tuletis on f (¿ ξi) ∆ xi SΠn n võrdne integreeritava funktsiooniga st ( ∫ f ( x ) dx )’= f(x). Tõestus: ( ∫ f ( x ) dx Riemanni summa lõigul [a,b] (f) = ∑¿ . ...
18. Lähtudes kiirenduse ja kiiruse definitsioonist, tuletage liikumisvõrrand. Oletame lihtsuse mõttes, et kiirendus ( ) on konstantne. Kuna kiirendus on kiiruse muutumise kiirus ajas, siis kehtivad seo- sed: kus on integreerimiskonstant, mis on ilmutatud algtingimustest, võttes aja hetke nulliks. Kuna kiirus on asukoha muutu- mise kiirus ajas, siis kehtivad seosed: Integreerides viimast võrrandit, saame:
Kui me pöörame vektorit vektori poole kui kruvi pead, siis on integreerimiskonstant, mille ilmutasime algtingimustest, võttes aja hetke nulliks, sellest ka indeks null. 6. Mida tähendab aja ja ruumi homogeensus? Homogeensus ühetaolisus. Ruumi homogeensus: iga punkt vektori suund ühtib kruvi kulgeva liikumise suunaga
√ ⟨ v ⟩ = 8 kT π m0 35. Tuletada baromeetriline valem? Rõhk – p, kõrgus –h, rõhk kõrgusel h+dh = p+dp, gaasi tihedus – ϱ. m pμ p−( p+dp )= ϱgdh ; dp=−ϱg dh ; ϱ= = V RT − pμg dp −μg dp= dh; = dh RT p RT Kui temperatuur on konstantne, siis −μgh ln p= RT ⏟ lnC integreerimiskonstant −μgh RT p=C ∙ e ,kui h=0, siis p0 =C Eeldusel, et temperatuur kõrgusega ei muutu, saame baromeetrilise valemi: −μgh RT p= p0 e 36. Mis on aine erisoojus, moolsoojus ja keha soojusmahtuvus. Kuidas need on suurused on omavahel seotud? (Põhjendada) Soojusmahtuvus näitab, kui suur energia kulub mingi keha soojendamiseks ühe kraadi võrra. Erisoojus näitab, kui palju energiat kulub 1 kg aine soojendamiseks ühe kraadi võrra.
14) ja lahendada sel viisil saadud eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrand. Selle lahendamine on aga lihtne -- diferentsiaalvõrrandi mõlemaid pooli tuleb sobivalt korrutada (või jagada) nii, et ühenimelised muutujad oleksid ühel pool, teisenimelised teisel pool (näiteks: v-liikmed vasakul, x-liikmed paremal). Sealjuures peab muutuja diferentsiaal (dv, dx, jms) olema lugejas. Nüüd tuleb võrrandi mõlemast poolest võtta integraal ja lisada juurde (kas vasakule või paremale poole) integreerimiskonstant (kui võtta määramata integraal). Kui aga võtta määratud integraal, siis tuleb mõlemale integraalile panna õiged rajad ja siin muidugi integreerimiskonstante ei panda. 3C) Tekib keerulisem diferentsiaalvõrrand, mida ei saa nimetatud asendustega (4.13 või 4.14) teisendada eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrandiks. Siin tuleb tekkinud diferentsiaalvõrrandi ise ära lahendada kasutades diferentsiaal- J. Kirs Loenguid ja harjutusi dünaamikast 18
v dv = - x3 Muutujad on ära eraldatud, lahendame selle lõpuni. dx v dv = -k x 3 + C1 v2 k = 2 + C1 2 2x siit on näha, et esialgu tundmatu integreerimiskonstant C1 on siin kasulik esitada mugavamal kujul ja nimelt C1 = C 2 . Seda arvestades saame k v2 = +C (4.32) x2 Leiame nüüd integreerimiskonstandi C. Selleks kirjutame leitud avaldise välja alghetkel t = 0 , asendades seejuures kõik muutuvad suurused nende algväärtustega, saame 2 k
ln k =ln A- , kus ln A on Bimolekulaarsed elementaaraktis põrkuvad RT üheaegselt 2 osakest. Trimolekulaarsed elementaaraktis põrkuvad üheaegselt 3 osakest. integreerimiskonstant, E reaktsiooni Nelja või enama molekuli üheaegne põrkumine on äärmiselt vähetõenäoline, seega loetakse keemilise aktivatsioonienergia ja T absoluutne temperatuur. reaktsiooni maksimaalseks molekulaarsuseks 3. Lihtreaktsiooni molekulaarsus määratakse vahetult Arrheniuse võrrandi võib esitada veel kahel kujul: reaktsiooni põhjal
vahetu summa. Liitmine toimub suure täpsusega vaid siis, kui vv v_ = K0 [vaata | 19. Integraator. muuda] Lülituse skeem. Kondeka laadimisvool ja laengu sõltuvus ajast. Kondeka pinge ja integraatori väljundpinge lõplik ajavahemiku korral. Integreerimiskonstant. Integraatori sagedustunnusjoon. Teatavasti ideaalne integraator annab väljundis signaali, milline on võrdeline sisendsignaali integraalile aja järgi. Väljundsignaal avaldub sisendsignaalialuse osa pindalaga. Tänu inverteeriva sisendi virtuaalsele maale on vool takistil R1 määratud suhtega: Usis R1 See vool peab läbima mahtuvuse C, mis kindlustabki väljundsignaali. Reaalses integraatoris peab arvestama integraatori sisendis olevat eelpinget
dV z C V dT z RT =0. (2.32) V Jagame saadud võrrandi mõlemaid poole zT-ga ning integreerime: dT dV CV ∫ R ∫ =C V lnT R ln V =A , (2.33) T V R C P −C V kus A on integreerimiskonstant. Arvestame, et = =−1 , siis saame võrdusest (2.33) CV CV adiabaatilise protsessi võrrandi: =const . (2.34) −1 TV Kasutades ideaalse gaasi olekuvõrrandit, võib antud seose anda ka teisel kujul: p V =const. (2.35) Võrdust (2
f (x )dx = F (x ) + C , kui F ( x ) = f (x ) . Valemis nimetatakse: integraalimärk; f ( x )dx integraalialune avaldis; f (x ) integraalialune (integreeritav) funktsioon, integrand; x integreerimismuutuja; C integreerimiskonstant. Funktsiooni f määramata integraali leidmist nimetatakse funktsiooni f integreerimiseks. Määramata integraali leidmine ja tuletise leidmine on pöördtehted, s.t. ( f ( x )dx ) = f ( x ) , F ( x )dx = F ( x ) + C . Määramata integraali diferentsiaal ja diferentsiaali määramata integraal avalduvad järgmiselt:
YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I Gert Tamberg Matemaatikainstituut Tallinna Tehnikaulikool ¨ [email protected] http://www.ttu.ee/gert-tamberg ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 1 / 25 ~ Oppeaine sisu ~ Oppeaine jaotub kahte ossa: 1 Diferentsiaalarvutus (loengud 1-9) 2 Integraalarvutus (loengud 10-16) ~ Oppeaine ~ lopphinne pannakse valja¨ viiepallisusteemis. ¨ Tudengil on ~ voimalik saada oma hinne katte ¨ semestri jooksul sooritatud kontrollto¨ ode ¨ ~ pohjal. Selleks tuleb kirjutada...
kus C on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f (x) m¨a¨aramata integraaliks ja t¨ahistatakse f (x)dx. Siin funktsiooni f (x) nimetatakse integreeritavaks funktsiooniks, dx argumendi diferentsiaaliks ja korrrutist f (x)dx integreeritavaks avaldiseks. Seega definitsiooni kohaselt f (x)dx = F (x) + C, 1 kus suvaline konstant C kannab ka nimetust integreerimiskonstant. Eeltoodud n¨aidete p~ohjal cos xdx = sin x + C, x2 xdx = + C. 2 Teeme m¨a¨aramata integraali definitsioonist m~oningad j¨areldused. J¨ areldus 1.4. f (x)dx = f (x), st m¨aa¨ramata integraali tuletis on v~ordne integreerita- va funktsiooniga.
Klassikalises mehaanikas saadi kineetilise energia mõiste just jõu töö kaudu. Sarnaselt teeme me seda ka siin järgnevalt. Jõudu defineeritakse klassikalises mehaanikas järgmiselt: siin on impulss siiski relativistlik. Esitatud seos on tuntud ka relativistliku dünaamika põhisea- dusena. Leiame vaba keha kiirendamisel tehtava jõu tööd: ja nüüd integreerime saadud seost: Tähistame v2 / c2 = q. Avaldame töö järgmisel kujul: kus A0 on integreerimiskonstant. Töö võrdub nulliga siis, kui vaba keha ei kiirendata ( v = 0, q = 0 ). Järelikult: Järelikult vaba keha kiirendamiseks sooritatud töö ehk kineetiline energia peab olema: 61 Kui aga vaba keha kiirused on valguse kiirusest vaakumis palju väiksemad, siis ligikaudselt on nii Kineetilise energia valemi kirjutame välja nüüd klassikalise mehaanika valemi kujule: Teame relativistlikku massi Järgmist seost
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
