Nõgususe ja kumeruse seos teist järku tuletise märgiga Olgu funktsioon f kaks korda diferentseeruv vahemikus (a, b). Siis kehtivad järgmised väited: 1. Kui f(x) > 0 iga x (a, b) korral, siis on joon y = f(x) n~ogus vahemikus (a, b). 2. Kui f(x) < 0 iga x (a, b) korral, siis on joon y = f(x) kumer vahemikus (a, b). Joone käänupunktid. Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse selle joone käänupunktiks. Asümptoodi mõiste. Vaatleme tasandil xy - teljestikus joont y = f(x). Sirget l nimetatakse joone y = f(x) asümptoodiks, kui joone y = f(x) jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest l läheneb nullile. Punkt eemaldub lõpmatusse, kui selle punkti kaugus koordinaatide alguspunktist kasvab piiramatult. Vertikaalasümptoodid. Need on y-teljega paralleelsed sirged. Asümptoodi võrrand on x = a. Millistel tingimustel on sirge a=x joone y=f(x) vertikaalasümptoot?
2. Kui < 0 iga , korral, siis on joon = kumer vahemikus , . LIISI KINK 12 MATEMAATILINE ANALÜÜS I Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse selle joone käänupunktiks. 25) Joone asümptoodi definitsioon. Vertikaalasümptoot. Millistel tingimustel on sirge x = a joone y = f (x) vertikaalasümptoot? Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Esitada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x (tuletada pole vaja). Sirget # nimetatakse joone = asümptoodiks, kui joone = jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest # läheneb nullile. Vertikaalasümptoot on y-teljega paralleelne sirge
Öeldakse, et joon y = f(x) on kumer, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus väheneb. 1. Kui f’’(x) > 0 iga x ∈ (a, b) korral, siis on joon y = f(x) nõgus vahemikus (a, b). Kui f’’(x) < 0 iga x ∈ (a, b) korral, siis on joon y = f(x) kumer vahemikus (a, b). Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast,vnimetatakse selle joone käänupunktiks. 25. Joone asümptoodi definitsioon. Vertikaalasümptoot. Millistel tingimustel on sirge x = a joone y = f (x) vertikaalasümptoot? Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Esitada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x → ∞ (tuletada pole vaja). Vaatleme tasandil xy - teljestikus joont y = f(x). Sirget l nimetatakse joone y = f(x) asümptoodiks, kui joone y = f(x) jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest l läheneb nullile.
Vaadeldava funktsiooni teine tuletis saab märki muuta vaid teist järku kriitilistes punktides. Seega säilitab märki vahemikes . Fikseerime kontrollpunktid neil intervallides ja teeme kontrollpuntkides kindlaks märgid: Kasutades diagrammi paneme kirja kumeruspiirkonna ja nõgususpiirkonna . Argumendi väärtusel asendub kumerus nõgususega. Seega on vastav punkt käänupunkt. Väärtusel käänupunkti pole. 32. Joone asümptoodi definitsioon. Vertikaalasümptoot. Millistel tingimustel on sirge joone vertikaalasümptoot? Põhjendada. Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Tuletada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis a. Joone asümptoodi definitsioon Vaatleme tasandil -teljestikus joont . Sirget nimetatakse joone asümptoodiks, kui joone jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest läheneb nullile. b
Valemid kaldasumptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x Vaatleme tasandil xy - teljestikus joont y = f(x). Sirget l nimetatakse joone y = f(x) asümptoodiks, kui joone y = f(x) jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest l läheneb nullile. Vertikaalasümptoodid. Need on y-teljega paralleelsed sirged. Asümptoodi võrrand on x = a. Sirge x = a on joone y = f(x) asümptoodiks siis ja ainult siis, kui kehtib vähemalt üks järgmistest piirväärtustest: lim f (x) = - lim f (x)= xa- xa- lim f(x) = - lim f(x) = xa+ x a+ Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Kaldasümptoodid. Need on sirged, mis ei ole paralleelsed y-teljega. Asümptoodi võrrand on y=kx + b, kus k on asümptoodi tõus
Panna kirja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused (põhjendusi ei küsi). Teoreemile 4.2 vastupidine väide ei kehti, igas kriitilises punktis ei tarvitse ekstreemumit olla. Funktsioonil võib olla selliseid kriitilisi punkte, milles ekstreemumit ei ole. 24. Nõgusa ja kumera joone definitsioonid. Nõgususe ja kumeruse seos teist järku tuletise märgiga (sõnastada vastav teoreem ilma tõestuseta). Joone käänupunkti definitsioon. 25. Joone asümptoodi definitsioon. Vertikaalasümptoot. Millistel tingimustel on sirge x = a joone y = f (x) vertikaalasümptoot? Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Esitada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x (tuletada pole vaja). 26. Algfunktsiooni definitsioon. Sõnastada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta (tõestust ei küsi). Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu. 27. Integraalide tabel
definitsioon. 9. Nõgus joon Joon on nõgus, kui liikudes vasakult paremale selle puutuja tõus suureneb Kumer joon Joon on kumer, kui liikudes vasakult paremale selle puutuja tõus väheneb Olgu funktsioon kaks korda diferentseeruv lõigul (a,b) 1. Kui iga korral siis joon on nõgus piirkonnas (a,b) 2. Kui iga korral siis joon on kumer piirkonnas (a,b) Joone käänupunkt - Punkt, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast 10. Joone asümptoodi definitsioon. Vertikaalasümptoot. Millistel tingimustel on sirge x = a joone y = f (x) vertikaalasümptoot? Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Esitada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x (tuletada pole vaja). Joone asümptood Vaatleme tasandil xy- teljestikus joont . Sirget nimetame joone asümptoodiks, kui joone jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusesse selle kaugus sirgest läheneb nullile.
Teoreem: Käänupunkti piisav tingimus. Olgu x1 funktsiooni f teist järku kriitiline punkt. Kui läbides seda punkti funktsiooni teine tuletis muudab. märki, siis on P = (x1, f(x1)) joone y = f(x) käänupunkt. Põhjendus: Kui f(x) on väiksem nullist punktist x1-st vasakul ja suurem nullist punktist x1 paremal. Siis on joon y = f(x) kumer punktist x1 vasakul ja nõgus punktist x1 paremal. Punktis P = (x1, f(x1)) asendub kumerus nõgususega, seega on P = (x1, f(x1)) käänupunkt. 32. Joone asümptoodi definitsioon: Vaatleme tasandil xy - teljestikus joont y = f(x). Sirget l nimetatakse joone y = f(x) asümptoodiks, kui joone y = f(x) jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest l läheneb nullile. Vertikaalasümptoodid. Need on y-teljega paralleelsed sirged. Asümptoodi võrrand on x = a. Olgu sirge x = a joone y = f(x) vertikaalasõmptoot. Kui punkt M = (x, y) eemaldub lõpmatusse joont y = f(x),
Punktis P = (x1, f(x1)) asendub kumerus nõgususega, seega on P = (x1, f(x1)) käänupunkt. Jagades suurusega g(c), mis eelduse tõttu erineb nullist, saame valemi . Teoreem on tõestatud. 32Joone asümptoodi definitsioon: Vaatleme tasandil xy - teljestikus joont y = f(x). Sirget l nimetatakse joone y = Teoreem 3.6 (Lagrange'i teoreem). Kui funktsioon f on l~oigul [a, b] pidev ja vahemikus f(x) asümptoodiks, kui joone y = f(x) jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest l läheneb (a, b) diferentseeruv, siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et nullile.
X =(- ,1) ja nõgususpiirkonna =(1, ) X s diagrammi paneme kirja kumeruspiirkonna . Argumendi väärtusel x=1 asendub kumerus nõgususega. Seega on vastav punkt P=(1,-2) käänupunkt. Väärtusel x=0 käänupunkti pole. 32. Joone asümptoodi definitsioon. Vertikaalasümptoot. Millistel tingimustel on sirge a x = joone ) (xfy = vertikaalasümptoot.? Põhjendada. Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Tuletada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x . Joone asümptoodi definitsioon Vaatleme tasandil xy -teljestikus joont y=f (x) . Sirget l nimetatakse joone y=f ( x) asümptoodiks, kui joone y=f ( x) jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusse selle punkti kaugus
h. Käänupunkti piisav tingimus Olgu x1 funktsiooni f teist järku kriitiline punkt. Kui läbides seda punkti funktsiooni teine tuletis muudab märki, siis on P=(x 1,f(x1)) joone y=f(x) käänupunkt. i. Põhjendus: Oletades, et on suurem nullist punktist paremal ja väiksem vasakul. Järelikult on joon nõgus punktist vasakul ja kumer paremal. Seega korral asendub nõgusus kumerusega, mis tähendab, et on käänupunkt. 10. Joone asümptoodi definitsioon. Vertikaalasümptoot. Millistel tingimustel on sirge x=a joone y=f(x) vertikaalasümptoot.? Põhjendada. Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Tuletada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis a. Vaatleme tasandil xy-teljestikus joont y=f(x). Sirget l nimetatakse joone y=f(x) asümptoodiks, kui joone y=f(x) jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusse selle
Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse selle joone käänupunktiks. Käänupunkti tarvilik tingimus koos põhjendusega. Kui P = (x1,f(x1)) on joone y = f(x) käänupunkt, siis x1 on funktsiooni f teist järku kriitiline punkt. Käänupunkti piisav tingimus koos põhjendusega. Olgu x1 funktsiooni f teist järku kriitiline punkt. Kui läbides seda punkti funktsiooni teine tuletis muudab märki, siis on P = (x1,f(x1)) joone y = f(x) käänupunkt. 32. Joone asümptoodi definitsioon. Sirget l nimetatakse joone y = f(x) asümptoodiks, kui joone y = f(x) jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest l läheneb nullile. Vertikaalasümptoot. Need on y-teljega paralleelsed sirged. Asümptoodi võrrand on x = a. Millistel tingimustel on sirge a= x joonef (x)=y vertikaalasümptoot.? Põhjendada. Sirge x = a on joone y = f(x) asümptoodiks siis ja ainult siis, kui kehtib vähemalt üks järgmistest piirväärtustest: lim f(x)= - ∞ xa-
väheneb. Nõgususe ja kumeruse seos teist järku tuletise märgiga Olgu f kaks korda diferentseeruv vahemikus (a;b), siis kehtib: Kui f´´(x) on suurem kui 0 iga x (a;b) korral siis on joon y=f(x) nõgus vahemikus (a;b). Kui f´´(x) on väiksem kui 0 iga x (a;b) korral siis on joon y=f(x) kumer vahemikus (a;b). Joone käänupunkti definitsioon. Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse selle joone käänupunktiks. 25. Joone asümptoodi definitsioon. Sirget l nimetatakse joone y = f (x) asümptoodiks, kui joone y = f(x) jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest l läheneb nullile. Vertikaalasümptoot. Vertikaalasümptoodid on y-teljega paralleelsed sirged. Millistel tingimustel on sirge x = a joone y = f (x) vertikaalasümptoot? Sirge x=a on joone y= f(x) vertikaalasümptoodiks siis ja ainult siis, kui kehtib vähemalt üks järgmistest piirväärtustest:
Siis on joon y = f(x) kumer punktist x1 vasakul ja nõgus punktist x1 paremal. Punktis P = (x1, f(x1)) asendub kumerus nõgususega, seega on P =(x1, f(x1)) käänupunkt. 32. Joone asumptoodi definitsioon. Vaatleme tasandil xy - teljestikus joont y = f(x). Sirget l nimetatakse joone y = f(x) asümptoodiks, kui joone y = f(x) jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest l l.aheneb nullile. Vertikaalasumptoot. Vertikaalasümptoodid. Need on y-teljega paralleelsed sirged. Asümptoodi võrrand on x = a. Millistel tingimustel on sirge x = a joone y = f (x) vertikaalasumptoot.? Pohjendada. Olgu sirge x = a joone y = f(x) vertikaalasümptoot. Kui punkt M = (x, y) eemaldub lõpmatusse joont y = f(x), siis vastavalt asümptoodi definitsioonile tema kaugus sirgest x = a läheneb nullile. Seega peab punkti M x-koordinaat lähenema arvule a kas vasakult või paremalt, st kas x a- või x a+. Teisest küljest: kuna punkti M kaugus koordinaatide
Lagrange´i kuju Võtame p=1 siis saame Cauchy kuju Enamasti on x0 II liiki katkevuspunkt. 24. Teoreem 1 (integraalarvutuse 2) Kaldasümptoodid y=kx+b põhiteoreem) Ühe ja sama Vastavalt asümptoodi definitsioonile funktsiooni kaks algfunktsiooni võivad erineda ainult konstandi poolest.
Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa n~ogusast, nimetatakse selle joone k¨a¨anupunktiks. Käänupunkti tarvilik tingimus koos põhjendusega. Kui P = (x1,f(x1)) on joone y = f(x) k¨a¨anupunkt, siis x1 on funktsiooni f teist j¨arku kriitiline punkt. Käänupunkti piisav tingimus koos põhjendusega. Olgu x1 funktsiooni f teist j¨arku kriitiline punkt. Kui l¨abides seda punkti funktsiooni teine tuletis muudab m¨arki, siis on P = (x1,f(x1)) joone y = f(x) k¨a¨anupunkt. 32. Joone asümptoodi definitsioon. Sirget l nimetatakse joone y = f(x) asu¨mptoodiks, kui joone y = f(x) jooksva punkti eemaldumisel l~opmatusse selle punkti kaugus sirgest l l¨aheneb nullile. Vertikaalasümptoot. Need on y-teljega paralleelsed sirged. Asu¨mptoodi v~orrand on x = a. Millistel tingimustel on sirge a= x joonef (x)=y vertikaalasümptoot.? Põhjendada. Sirge x = a on joone y = f(x) asümptoodiks siis ja ainult siis, kui kehtib vähemalt üks järgmistest piirväärtustest: lim f(x)= - xa-
Olgu sirge joone vertikaalasümtood. Kui punkt eemaldub lõpmatusesse joonest siis tema kaugus sirgest läheneb nullile. Järelikult peab punkti M x-kordinaat lähenema punktile a, kas vasakult või paremalt. Kui x-kordinaat läheneb lõplikule arvule a siis kasvab punkti M y- kordinaat piiramatult. 1. 2. 3. 4. Kaldasümptood - Sirge, mis on paralleelne y-teljega. Võrrand , kus k on asümptoodi tõus. Horisontaalasümtood Kaldasümtooodi erijuht, kus Võrrand Kui on joone asümtood protsessis siis k ja b avalduvad valemitega 1. 2. 33. Algfunktsioon funktsioon F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, kui iga korral kehtib võrdus Teoreem Algfunktsiooni üldavaldis Kui F on funktsiooni f algfunksioon hulgas D, siis on kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F+C, kus Tõestus
f(x)= =>a MP; I liiki katkevusp. *kui f-nil leiduvas I liiki katkevusp-d siis sellel f-nil on ka püstasümptoot *II kaldasümptoot y=kx+b (k=?, b=?); joonis!; limp-> PQ=0, PQR=> limp-> PR=0, PR=f(x)-(kx+b); limx-> [f(x)-kx-b]=0 => limx-> (f(x)-kx)- limx-> b=0 =>b= limx-> (f(x)-kx); limx-> f(x)-kx-b/x=0 ->limx-> f(x)/x-k- limx-> b/x=0 =>k= limx-> f(x)/x. *Märkused:1)kui üks nendest piirväärtustest on lõpmatus või ei eksisteeri siis kaldasümptooti ei ole 2)kui asümptoodi tõus on võrdne 0-ga siis räägime rõhtasümptoodist, mis on erijuhtum kaldasümptoodile (|| x teljega , nt y=arctanx) 3) teatud juhtudel on vaja vaadelda: x->+ ja x->- (nt eksponentf-nidel) 23. F-ni graafiku konstrueerimine Y=f(x) 1)MP {x IR| f(x) < } 2)uurida kogu MP ulatuses: a)paaris? F(- x)=f(x)-sümm y telje suhtes b)paaritu? F(-x)=-f(x)- sum 0punkti suhtes c)perioodiline=> leidub selline arv T :f(x+T) =f(x)-uurida ainult perioodi
tahes lähedale (kuid ei puutu) tingimusel, et funktsiooni graafiku argument eemaldub koordinaatide alguspunktist lõpmatu kaugele. 1) Vertikaalsed asümptoodid Punkti x 0 läbib vertikaalne asümptood x = x 0 , kui x lähenemisel sellele punktile funktsiooni absoluutväärtus kasvab tõkestamatult. (22.1) lim f ( x) = + või lim f ( x) = + x x0 - 0 x x0 + 0 Enamasti on x 0 II liiki katkevuspunkt. 2) Kaldasümptoodid y = kx + b Vastavalt asümptoodi definitsioonile lim( f ( x) - y ) = 0 x y kx + b b lim = lim = lim k + = k x x x x x x f ( x) - y f ( x) y lim = lim - =0 x x x x x f ( x) y lim = lim = k x x x x f ( x) (22.2) k = lim
tahes lähedale (kuid ei puutu) tingimusel, et funktsiooni graafiku argument eemaldub koordinaatide alguspunktist lõpmatu kaugele. 1) Vertikaalsed asümptoodid Punkti x 0 läbib vertikaalne asümptood x = x 0 , kui x lähenemisel sellele punktile funktsiooni absoluutväärtus kasvab tõkestamatult. (22.1) lim f ( x) = + või lim f ( x) = + x x0 - 0 x x0 + 0 Enamasti on x 0 II liiki katkevuspunkt. 2) Kaldasümptoodid y = kx + b Vastavalt asümptoodi definitsioonile lim( f ( x) - y ) = 0 x y kx + b b lim = lim = lim k + = k x x x x x x f ( x) - y f ( x) y lim = lim - =0 x x x x x f ( x) y lim = lim = k x x x x f ( x) (22.2) k = lim
annaabi.ee 
