Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Mat.analüüs 1 spikker". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
funk, vää, piirv, punk, väärtu, ümbrus, difer, pöördf, graaf, difere, jagatis, graafik, trig, võrratus, kirjut, järg, tulet, arvtelg, nullpunkt, reaalarvud, poollõik, seotus, analüüt, üldkuju, märg, rahuldab, lõikepunkt, sõltuvus, irratsionaalne, ilmutatud, peast, ikud, arkused, tehted, liitmine, põh, polünoom, avaldis, piirväärtusxn=a, xn-a= n *Kui suurusel piirväärtus on olemas, siis kehtib seos, et xn- a on tõkestamatult kahanev , siis saame xn=a+ n tõkestamatult kah suurus *Kui meil see vahe on tõkes kah siis iga puhul leidub N IN, mille korral | xn-a|< , n>N; arvtelg(x1,0,a- ,xN+1(üles),a,a+ ,x2(üles)) .*Järeldus 1)tõk kah suuruse piirväärtus on 0: limn-> n=0 2)tõk kasvava suuruse piirväärtus on võrdne : limn-> xn= 3)konstandi piirväärtus on tema ise 8. Laused piirv. Kohta Lause 1. kui suurusel on piirv olemas, siis on see üheselt määratud. Järeldus. Üks piirv: xn=a+ n, teine piirv: xn=b+ n=> a b=> kui avaldame ühe avaldise teisest, siis saame 0= (a-b)+( n- n); a-b(lõplik IR)= n- n(tõkestamatult kah suuruste vahe=> tõk kah suurus) =>vastuoluline a b, st piirväärtus üheselt määratud, mida oligi vaja tõestada. Lause2. Summa piirväärtus on piirväärtuste summa ja vahe on piirv vahe. Lause3. Korrutise
Kui funktsioon f rahuldab nimetatud tingimust vaid oma määramispiirkonna mingil osahulgal, siis saab rääkida üksnes selle funktsiooni vastava lahendi pöördfunktsioonist. Kui funktsiooni f tuletis f' on kohal x nullist erinev, siis pöördfunktsiooni f-1 tuletis kohal y=f(x) saab avaldada kujul ( f -1 )' ( y ) = f '1( x ) = f ' ( f 1-1 ( y ) ) 4. Funkts. Piirväärtus. Ühepoolsed piirväärtused. Funktsiooni piirv. Def: Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a kui suvalises piirprotsessis xa, mis rahuldab tingimust x a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. Funktsiooni piirväärtuse kirjutusviis on: lim(xa) f(x) = b või f(x) b kui xa. Mõiste "piirväärtus kohal a asemel võib kasutada ka samaväärseid väljendeid "piirväartus punktis a"või "piirvärtus argumendi lähenemisel värtusele a". Kui lim(xa) f(x) = b siis viies argumendi x küllalt lähedale arvule a saame me muuta
u, v V ||u+v|| ||u|| + ||v|| f(x) on tõkestatud hulgal (a-, a+) / {a}. Kauguseks ruumis V nim. reeglit, mis igale kahele selle ruumi elemendile u, v V seab Lause. Kui funktsioonidel f (x) ja g(x) on punktis a sama piirväärtus b ning leidub punkti a - vastavusse skalaari d(u,v) R, kusjuures on täidetud järgmised tingimused: ümbrus, et iga 0 < |x- a| < korral kehtib võrratuste ahel f (x) h(x) g(x), siis funktsiooni 1. u, v V d(u,v) 0; d(u,v) =0 v=u h(x) piirväärtus punktis a on samuti b. 2. u, v V d(u,v) = d(v,u) ** Lause. Kui f(x) (noole kohal on xa) c ning leidub punkti a selline ümbrus, et f(x) 3
Mitmemõõtmelise ruumi mõiste Def: On antud n reaalarvu x1...xn ja nende järjestatud jada (x1...xn)(-punkt) seda nim n- mõõtmelise ruumi punktiks. Rn={(x1,...,xn) | xi R, i=1,...,n}, P(x1,...,xn) punkt koordinaatidega xi n=1: R1={P(x1) | x1 R} geom. sirge n=2: R2={P(x1,x2) | x1,x2 R} geom. tasand n=3: R3={P(x1,x2,x3) | x1,x2,x3 R} geom. ruum Punkt A on piirkonna D sisepunkt, sel korral kui tal leidub ümbrus, mis sisaldub piirkonnas D. Punkt A on piirkonna D rajapunkt sel korral kui iga tema ümbrus sisaldab nii piirkonna D kui ka piirkonda mittekuuluvaid punkte. Piirkond D on lahtine, kui ta koosneb sisepunktidest. Piirkond D on kinnine, kui ta koosneb nii sise- kui ka rajapunktidest. Mitme muutuja funktsiooni mõiste Def: nMF f:RnR:P(x1,...,xn) Rn a w=f(P) f(x1,...,xn) R Kujutlus, mis seab n-mõõtmelise ruumi punktidele P vastavusse lõpliku reaalarvu w=f(P), nim n- muutuja funktsiooniks.
lim g ( x ) =b ≠ 0 x → x0 ja s FUNKTSIOONI PIDEVUS eksisteerib punkti x0 selline ümbrus, et selle Funktsioon f (x) on pidev punktis
1.1 Funktsioon DEF 1. Kui hulga X igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X on määratud funktsioon f, tähistatakse y=f(x) DEF 2. Kui hulga X c R igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y c R, siis öeldakse, et hulgal X on määratud ühemuutuja funktsioon f. [(x, y) I xX ja y=f(x)] DEF 3. Kui hulga X igale elemendile on vastavusse seatud vähemalt üks hulga Y element ja vähemalt ühele hulga X elemendile on vastavusse seatud mitu elementi hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X on määratud mitmene funktsioon f. DEF 4. Funktsioonide y=f(x) (xX) ja z=g(y) (yY ja f(X) c Y) liitfunktsiooniks ehk superpositsiooniks nimetatakse funktsiooni z=g(f(x)). DEF 5. Funktsiooni f, mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes nim. paarisfunktsiooniks, kui f(-x)=f(x) DEF 6. Funktsiooni f, mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes nim. paarituks funktsiooniks, kui f(-x)=-f(x) DEF 7. Funktsiooni
järgi ja tähistatakse xz (joonisel QQ). Kui on antud (x; y)(x; y+y) Def: f-ni osamuut y-i järgi on def punktis yz=(x; y+y)-(x; y) (joon. RR). Kui on antud (x; y)(x+x; y+y) Def: f-ni täismuuduks nim vahet z=(x+x; y+y)-(x; y) (TT) Kahe muutuja f-ni piirväärtus ja pidevus Po(xo; yo) (joon) U(xo; yo)={(x; y)(x-xo)2+(y-yo)2<2} ning xxo ja yyo [(x; y)(xo; yo)] Def: Reaalarvu A nim 2 muutuja f-ni piirv vaadeldavas piirprotsessis, kui iga kuitahes väikese korral leidub selline ümbrus (punktile (xo; yo)), et niipea kui punkt lim f ( x; y ) = A koordin (x; y) kuulub sellesse piirk-da, erineb f-ni väärtus selles punktis A-st vähem kui võrra. x x 0 ( y y0 ) Def: 2 punkti muut f-ni z=(x; y) nim pidevaks punktis P(a, b) kui on täidetud 3 punkti: (1) (a; b); (2)
n n f (Qk )sk k =1 ning = max sk 1 k n Def: lim f (Qk ) sk 0 k =1 ja piirv ei sõltu sellest kuidas on valitud punktid Pk joonel AB-ni ega sellest kuidas valitud punktid Qk osakaarel siis seda piirv nim f-ni f(x; y) esimest liiki B joonintegraaliks kaarepikkuse järgi. Tähistatakse: f ( x; y )ds ; f ( x; y )ds ; f ( x; y )ds . (Kui AB AB L
Def.6''(geom) Punkti A nim jada Pn piirpunktiks, kui A igas ümbruses S(A,r) leidub naturaalarv N nii, et PnS niipea kui n>N.
Def.7 Arvu nim funi w=F(P) piirväärtuseks kohal A ja tähist limP-Af(P)=, kui arvu iga ümbruse U korral leidub punkt A
ümbrus S nii, et f(P)U niipea kui PS (PA,PD).
Def.7' Arvu nim funi w=F(P) piirväärtuseks kohal A kui iga E>0 korral leidub arv >0 nii, et |f(P)-|
TTU¨ Matemaatikainstituut http://www.staff.ttu.ee/math/ Ivar Tammeraid http://www.staff.ttu.ee/itammeraid/ ¨ US MATEMAATILINE ANALU ¨ I Elektrooniline ~oppevahend Tallinn, 2001 Tr¨ ukitud versioon: Ivar Tammeraid, Matemaatiline anal¨ uu ¨ Kirjastus, ¨s I, TTU Tallinn 2001, 227 lk, ISBN 9985-59-289-1 ¨ Raamatukogu Viitenumber http://www.lib.ttu.ee TTU ~opikute osakonnas 517/T-15 c Ivar Tammeraid, 2001 Sisukord 0.1. Eess~ ona K¨aesoleva ~ oppevahendi aluseks on autori poolt viimastel aastatel Tallinna Tehnika¨ ulikoo- lis bakalaureuse~ oppe u ¨li~ opilastele peetud u ¨he muutuja funktsiooni diferentsiaal- ja inte- graalarvutuse loengud nimetuse "Matemaatiline anal¨ uu¨s I" all. Siiski ei ole tegu pelgalt u ¨hel semestril esitatu kirjapanekuga. Lisatud on
8 Näidata, et Cauchy arvjada koondub. S – rea summa ∞ Arvrida ∑ ak koondub parajasti siis, kui iga ε > 0 korral leidub naturaalarv N ∈ N, nii et iga n > N k=1 ja p > 0 korral kehtib |Sn+p − Sn| = |an+1 + an+2 + ... + an+p| < ε 9 Sõnastada funktsiooni piirväärtuse peamised omadused. Üks omadus tõestada. 1 Kontsantse funktsiooni piirväärtuseks on see konstant 2 Kui eksisteerib funktsiooni f(x) piirväärtus punktis x0 , siis leidub punkti x0 selline ümbrus U( x0), et funktsioon f(x) on tõkestatud hulgal U( x0) / { x0}. Tõestus: Lähtume funktsiooni piirväärtuse definitsioonist. Olgu lim f(x) = a x → x0 Valime ε = 1. Leidub selline suurus δ > 0, mis määrab punkti x0 korral sellise ümbruse U δ(x0) = {x| |x- x0| < δ}, et x ∈ U δ(x0) / {x0} => |f(x) – a| < 1 => ||f(x)| - |a|| < 1 => |f(x)| < 1 + |a| => f(x) = O(1) (x ∈ U δ(x0) / {x0})
I kontrolltöö 1. + Hulk koosneb elementidest, kusjuures elemendid ei kordu ja nende järjestus ei ole kindlaks määratus. Tähistamine suure tähtega, aga elemendid väike tähtega. + Järjestetud hulk koosneb samuti elementidest, kuid selles hulgas on iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev, kumb järgnev. + arvuhulgad ? + Tõkestatud hulgad on näiteks kõik lõplikud vahemikud (a; b), lõigud [a; b] ja poollõigud [a; b), (a; b]. + Tõkestamata hulgad on aga näiteks lõpmatud vahemikud (-;a), (a; ) ja lõpmatu poollõigud (-; a], [a; ) 2. + Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a-; a+), kus >0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a-; a+) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui . + Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja
Def. x→ 0
kohaselt leidub selline n ∈ N, et |Xn+p - Xn|<1 kõikide n>N korral. Tähistame A:=
Xn+1, siis A-1
nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik (a,b) nii, et A(a,b). sellist jada elementi xn , millest alates kõik järgnevad jada elemendid kuuluvad Tõkestamata hulgad on lõpmatud vahemikud. arvu a ümbrusesse (a , a + ). Jada piirväärtust tähistatakse lim x n = a 2. Sõnastada arvu -ümbrus, arvu parem- ja vasakpoolne ümbrus. 11. Koonduva jada ja hajuva jada mõiste. kuitahes v aikese positiivse arvu korral saab n aidata sellist suuruse x v a Koonduv jada- lõplikku piirväärtust omav jada. Hajuv- mitteomav. a rtust, millest alates k oik j argnevad muutuva suuruse v a artused kuuluvad 13. * Öeldakse, et jada (Xn) on tõkestatud, kui leidub selline arv M>0, et |Xn| arvu a u mbrusesse (a - , a + ), st rahuldavad v orratust |x - a| <
Olgu antud n + 1 muutuvat suurust x1, . . . , xn ja u. Kujutist, mis seab vektori ~x = (x1, . . . , xn) igale väärtusele teatud hulgast X ⊆ R n vastavusse muutuja u ¨ühe kindla väärtuse nimetatakse (¨üheseks) n- muutuja funktsiooniks. Muutujaid x1, . . . xn nimetatakse seejuures funktsiooni argumentideks, muutujat u sõltuvaks muutujaks ja hulka X funktsiooni määramispiirkonnaks Kordamisküsimusi 2. teema kohta 1. Defineerida reaalarvu ümbrus, reaalarvu vasak- ja parempoolne ümbrus. (lk 1) Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a − ε, a + ε), kus ε > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a−ε, a+ε) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui ε, st |x − a| < ε. Näiteks arvu 0 ümbrus on suvaline vahemik (−ε, ε). Arv x kuulub 0-i ümbrusesse siis ja ainult siis, kui |x| < ε
MITME MUUTUJ A FUNKTSIOON. PIIRV ÄÄRTUS. DIFERENTSEERIMINE Mitme muutuja funktsioon Mitme muutuja funktsiooni üldkuju: w = f ( x, y , z ,...) ( x, y, z ,...) D Kahe puntki vaheline kaugus: Puntkide P1 = ( x1 , y1 , z1 ,...) ja P2 = ( x2 , y 2 , z 2 ,...) vaheliseks kauguseks nimetatakse reaalarvu d ( P1 , P2 ) = ( x1 - x2 ) 2 + ( y1 - y2 ) 2 + ( z1 - z 2 ) 2 + ... . Punkti -ümbrus: Olgu mingi arv. Punkti P0 = ( x0 , y0 , z 0 ,...) -ümbruseks U ( P0 ) nim. kõigi selliste punktide P = ( x, y , z ,...) hulka, mille kaugused punktist P0 on väiksemad kui , s.t d ( P, P0 ) = ( x - x0 ) 2 + ( y - y0 ) 2 + ( z - z0 ) 2 + ... < . Hulga sisepunkt: Punkti P0 D nim. hulga D sisepunktiks kui leidub punkti P0 selline -ümbrus, mis kuulub hulka D, s.t U ( P0 ) D . Hulga rajapunkt: Punkti P0 nim. hulga D rajapunktiks, kui igas punkti P
1. · Arvtelje mõiste Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Võib väita, et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. · Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 . Reaalarvu a absoluutväärtus |a| on punkti a ja nullpunkti vaheline kaugus arvteljel. · Absoluutväärtuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| | · Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. o Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a - , a], kus > 0. o Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist pooll�
1. · Arvtelje mõiste Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Võib väita, et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. · Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 . Reaalarvu a absoluutväärtus |a| on punkti a ja nullpunkti vaheline kaugus arvteljel. · Absoluutväärtuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| | · Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. o Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a - , a], kus > 0. o Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist pooll�
lim f(x) ≤ lim g(x). Ehk kui f väärtused on madalamad g väärtustest, siis ka f piirväärtused on madalamad g piirväärtustest. Teoreem 3: Kui funktsiooni f(x) piirväärtus punktis a eksisteerib, siis funktsioon f on punkti a ümbruses tõkestatud. Tõestus: f on tõkestatud, kui saame leida arvud M ja N nii, et f-ni väärtused on N≤ f(x) ≤ M Teoreem 4: Kui funktsioonil f(x) on punktis a nullist erinev piirväärtus L, siis leidub selline punkti a ümbrus kus Teoreem 5: (Squeeze Theorem, Sandwich Theorem) Kui f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) punkti a lähedal ja kui lim f(x) = lim h(x) = L, siis ka lim g(x) = L. Kahe äärmise funktsiooni kaudu saame leida keskmise funktsiooni väärtuse 16. Funktsiooni pidevus (definitsioon, tingimused pidevuseks ja näited, geomeetriline tõlgendus, tehted pidevate funktsioonidega). DEF. Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks kohal a, kui f(x) piirväärtus kohal a võrdub funktsiooni f(x) väärtusega
*Arvu b nimetatakse funktsiooni f parempoolseks piirväärtuseks punktis a, kui iga >o leidub >0,et iga x (a, a+ ) rr eht b võrr tu |f(x)-b|< . 12*(Funktsiooni piirväärtuse omadused)Konstantse funktsiooni piirväärtuseks on see konstant, st. 1) x X (f(x)=c) 2). * * * = 3). =e =e =e 4). Kui funktsioonil f(x) leidub piirväärtus punktis a, siis leidub punkti a selline ümbrus, et funktsioon f(x) on tõkestatud hulgal (a- ;a+ (Piirväärtuse om.) 13* Näitame,et kuna sin x on paaris funktsioon, siis piisab ühe poole piirväärtuse uurimisest. Piirun juhuga . Kui OEC on ühikringi esimene veerand, siis . x olgu nurga AOB suurus radiaanides, siis ühikringi esimese veerandi korral ; ;
1. Arvtelje mõiste. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| =a kui a 0; -a kui a < 0. Reaalarvu a absoluutväärtust |a| võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Absoluutväärtuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a||b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| ||a| - |b|| Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - ,a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a-,a+) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui , st |x - a| < . Tõkestatud hulgad. Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik (a,b) nii, et A (a,b). 2. Jäävad ja muutuvad suurused. Suurust, mis võib omandada erinevaid arvulisi väärtusi, nimetatakse muutuvaks suu
Matemaatiline anal¨ uu¨s I Jaan Janno ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . .
Matemaatiline anal¨ uu¨s I Jaan Janno ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨ avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H¨uperboolsed trigonomeetrilised funktsio
Täisprogramm Selle programmi järgi saab ette valmistada teooria kontrolltööde B (so raskemateks) variantideks. Esimese kontrolltöö materjal hõlmab lõike 1 22 ja teise kontrolltöö materjal hõlmab lõike 23 - 45. Igas kontrolltöös on 5 küsimust. Üks küsimus viiest on valitud jämedas kirjas (bold face) olevate teemade hulgast. Vähemalt kaks küsimust viiest sisaldavad tõestusi, tuletuskäike või põhjendusi. Programm järgib otseselt õppejõu konspekti. Kontrolltöödes ei küsita konspektis esitatud näiteid ja väikeses kirjas olevaid osi. 1. Def. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Def. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: Absoluutväärtuste omadused: · |-a|=|a| · |ab|=|a||b| · |a+b||a|+|b| · |a-b|| |a|-|b| | Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused: Def. Reaalarv
Täisprogramm Selle programmi järgi saab ette valmistada teooria kontrolltööde B (so raskemateks) variantideks. Esimese kontrolltöö materjal hõlmab lõike 1 22 ja teise kontrolltöö materjal hõlmab lõike 23 - 45. Igas kontrolltöös on 5 küsimust. Üks küsimus viiest on valitud jämedas kirjas (bold face) olevate teemade hulgast. Vähemalt kaks küsimust viiest sisaldavad tõestusi, tuletuskäike või põhjendusi. Programm järgib otseselt õppejõu konspekti. Kontrolltöödes ei küsita konspektis esitatud näiteid ja väikeses kirjas olevaid osi. 1. Def. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Def. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: Absoluutväärtuste omadused: · |-a|=|a| · |ab|=|a||b| · |a+b||a|+|b| · |a-b|| |a|-|b| | Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused: Def. Reaalarv
Esimese kollokviumi (teooriatöö) kordamisküsimused 1. Tõkestatud hulga mõiste. Ülalt/alt tõkestatud hulga mõiste. Tuua näide. Definitsioon: Hulka X nimetatakse tõkestatud hulgaks, kui X on ülalt ja alt tõkestatud. Definitsioon :Kui leidub niisugune reaalarv M, et hulga X iga elemendi x puhul kehtib võrratus x ≤ M, siis öeldakse, et hulk X on ülalt tõkestatud, kusjuures arvu M nimetatakse hulga X ülemiseks tõkkeks. Definitsioon :Kui leidub niisugune reaalarv m, et hulga X iga elemendi x puhul kehtib võrratus x≥m, siis öeldakse, et hulk X on alt tõkestatud, kusjuures arvu m nimetata
.;pn) ja Q(q1;...;qn) ühendava lõigu igas punktis ning diferentseeruv selle lõigu igas punktis (va otspunktid P ja Q), siis leidub selles lõigus punkt S, S ei kuulu {P,Q}, et f f f (Q) - f ( P ) = ( S ) * (q1 - p 2) + ... + ( S ) * (qn - pn) x1 xn Punkti S saab esitada kujul S=P+(Q-P), kus 0<<1 Öeldakse, et n-muutuja funktsioonul on punktis P lokaalne miinimum(maksimum), kui leidub punkti P ümbrus U, et iga QU korral. QP, kehtib võrratus f(P)f(Q) (maksimumi korral vastupidi) Punkti P nim n-muutuja funkts-i statsionaarseks punktiks, kui on täidetud tingimused : f/xi(P)=0, i=1,...,n Öeldakse, et punktis A(a1,...,an) on funktsioonil u=f(x1,...,xn) tinglik lokaalne maksimum F1( x1,..., xn) = 0 lisatingimusel Fm( x1,..., xn) = 0 kui leidub punkti A selline ümbrus U, et PU korral F1(P)=...=Fm(P)=0 ja PAf(A)>f(P)
Matemaatiline analüüs I Vähendatud programm I KT Kindlasti peab teadma : 7. Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon - Olgu x järjestatud muutuv suurus. Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad arvu a ümbrusesse (a - , a + ), st rahuldavad võrratust |x - a| < . Kui arv a on suuruse x piirväärtus, siis öeldakse, et suurus x läheneb arvule a ehk koondub arvuks a ja kirjutatakse x a või lim x = a . Muutuva suuruse ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid · Muutuv suurus x läheneb vasakult arvule a, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad poollõiku (a - , a]. Sellisel juhul kirjutatakse x a-. · Muutuv suurus x läheneb paremalt arvule a, kui
10.klass a1 b1 c1 1. Reaalarvude piirkonnad kui D = 0; D x = 0; D y = 0, siis = = a 2 b2 c 2 2. Astme mõiste üldistamine a m a n = a m +n c)pole lahendeid a1 b1 c a m : a n = a m -n , kui m > n kui D = 0; D x 0; D y 0, siis = 1 a 2 b2 c 2 ( a b) n = a n b n n 12. Ruutvõrrandi süsteemid a an 13. Kolmerealine determinant = n , kui b 0 b b 14. Kolme tundmatug
Matemaatiline anal¨ uu¨ s II 1. osa 1) Mitmemõõtmelise ruumi ja selle punkti mõisted. Kaugus mitmemõõtmelises ruumis. Kauguse omadused. Parameetrilised jooned. Mitmem~ o~ otmelise ruumi definitsioon. Hulka, mille elementideks on k~oik m reaalarvust koosnevad j¨arjestatud s¨ usteemid (a1 , a2 , . . . , am ), nimetatakse m- m~o~ otmeliseks ruumiks, s¨ usteemi A = (a1 , a2 , . . . , am ) selle ruumi punktiks ja arve a1 , a2 , . . . , am punkti A koordinaatideks. m-m~ o~ otmelist ruumi t¨ahistame umboliga Rm . s¨ Ruumi Rm punkte A = (a1 , a2 , . . . , am ) ja B = (b1 , b2 , . . . , bm ) nimetatakse v~ ordseteks ja kirjutatakse A = B, kui nende koordinaadid on v~ordsed, st a1 = b1 , a2 = b2 , . . . , am = bm . Nullpunktiks ehk koordinaatide alguspunktiks ruumis Rm nimetatakse punkti O = (0, 0, . . . , 0). Kaugus ruumis Rm . Olgu ruumis Rm antud kaks punkti A = (a1 , a2 ,
23. Funktsiooni statsionaarne punkt- punkte x X, kus f `(x) = 0 , nimetatakse funktsiooni y = f(x) statsionaarseteks punktideks. 24. Funktsiooni kriitiline punkt- funktsiooni statsionaarseid punkte ja punkte, kus funktsiooni tuletis on lõpmatu või ei eksisteeri, nimetatakse funktsiooni y = f(x) kriitilisteks punktideks. 25. Funktsiooni lokaalne ekstreemum- öeldakse, et funktsioonil f on punktis a lokaalne maksimum ( miinimum ), kui leidub niisugune punkti a ümbrus , kus f (x) <= f(a) maksimum f (x) >= f(a) miinimum Lokaalse maksimumi ja miinimumi ühine nimetus on lokaalne ekstreemum. 26. Funktsiooni lokaalne ekstreemumpunkt- punkti ( a ; f(a) ) nimetatakse lokaalseks ekstreemumpunktiks. ( x ja y väärtus mõlemad ) 27. Funktsiooni globaalne ekstreemum- funktsiooni f globaalseks e. absoluutseks maksimumiks (miinimumiks) piirkonnas A X nimetatakse tema suurimat (vähimat) väärtust selles piirkonnas.
Nii defineeritud funktsiooni F nim. liitfunktsiooniks. Funktsioone g ja f nim. liitfunktsiooni F koostisosadeks e. komponentideks. 9. Pöördfunktsioon - olgu funktsiooni y = f(x) määramispiirkonnaks X ja muutumispiirkonnaks Y. Kui iga y Y korral leidub täpselt üks x X , nii et y = f(x), siis öeldakse, et funktsioonil y = f(x) on olemas pöördfunktsioon määramispiirkonnaga Y ja muutumispiirkonnaga X. Pöördfunktsiooni tähistatakse x = f 1(y). 10. Punkti ümbrus - punkti x0 ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku, millesse see punkt kuulub: ( a; b): a < x0 < b 11. Muutuva suuruse piirväärtus - arvu a nim. muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga etteantud kuitahes väikese positiivse arvu puhul saab näidata sellist muutuva suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused rahuldavad võrratust | x a | < 12. Funktsiooni piirväärtus - olgu funktsioon y = f(x) määratud punkti a mingis ümbruses või
R 1 = R - arvsirge d (P, Q ) = x - y B( A, r ) = (a - r , a + r ) - vahemik R 2 - koordinaattasand d (P , Q ) = (x1 - y1 )2 + (x 2 - y 2 )2 B( A, r ) = {P R 2 : d 2 (P, A) < r 2 } Fikseerime punkti A = ( x1 ,..., x m ) R m ja reaalarvu > 0 . Def. Punkti A R m ümbruseks nimetatakse hulka U ( A) = B( A, ) . Öeldakse ka punkti -ümbrus ning kirjutatakse U ( A) . Def. Punkti P R m nimetatakse hulga D R m sisepunktiks, kui leidub ümbrus U (P ) D . Def. Punkti Q R m nimetatakse hulga D R m rajapunktiks, kui iga selle punkti ümbrus U (Q ) sisaldab nii hulka D kuuluvaid kui ka sinna mittekuuluvaid punkte. Def. Hulga D R m rajaks D nimetatakse selle hulga kõigi rajapunktide hulka. Raja nimetatakse sirgel rajapunktideks, tasandil rajajooneks ning ruumis rajapinnaks. Def. Hulka D R m nimetatakse lahtiseks, kui kõik tema punktid on sisepunktid. Def
annaabi.ee 
