. Suurust +∞ nim. F-ni f (x) piirv-ks punktis lim f ( x )=a Kõrgemat järku lõpmata suur suurus: : α (x) võrreldes α (x) on lõpmata väike piirprotsessis 8. Kui
Pöördfunktsioon. y = ( x) Funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni , mis rahuldab seost ( g ( x) ) = x Pöördfunktsiooni graafik on sümmeetriline algfunktsiooni graafikuga esimese ja kolmanda veerandi nurgapoolitaja suhtes Teineteise pöördfunktsioonideks on: eksponent- ja logaritmfunktsioon tirgonomeetrilised ja arkusfunktsioonid Piirväärtus Lõpmata väike suurus, selle omadused. Muutuvat suurust, mille piirväärtus on null, nimetatakse lõpmata väikeseks lim an = 0, ehk an 0 lim f ( x) = 0, ehk f ( x) 0 n xa Lõpmata väikeste suuruste omadused: Lõpliku arvu lõpmata väikeste suuruste summa on lõpmata väike suurus. Tõkestatud muutuva suuruse ja lõpmata väikese suuruse korrutis on lõpmata väike suurus. Lõpliku arvu lõpmata väikeste suuruste korrutis on lõpmata väike suurus. Arv e.
*Tähistame nk ja näitame, et nk=a. *Olgu >0 ja N selline indeks, et |Xn+p - Xn| < (n>N, p N) *Olgu K N valitud nii, et nk>N, kui k>K ja |Xnk - a|< . Seeg e õ g nde te n N puhu |Xn - a| = |Xn -Xnk +Xnk - a| |Xnk - Xn| + |Xnk - a|< = 10*(Kuhjumispunkti mõiste. Kuhjumispunktide seos jada koonduvusega)Jada kuhjumispunktiks nimetatakse arvu, mille igas ümbruses on lõpmata palju vaadeldava jada liikmeid. *Jada {Xn} koondub parajasti siis, kui ta on tõkestatud ja tal on vaid üks kuhjumispunkt. *Arv a on jada {Xn} kuhjumispunkt parajasti siis, kui leidub selline osajada {Xnk}, mis koondub arvuks a. 11*(Funktsiooni piirväärtuse mõiste. Seos jada piirväärtusega.Reaalmuutuja funktsiooni ühepoolsed piirväärtused)Arvu b nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks punktis a, kui iga >o
Monotoonne jada - jada, mis on kogu ulatuses mittekasvav võimittekahanev. 5.Cauchy jadad ehk fundamentaaljadad. Kuhjumispunkti mõiste. Kuhjumispunktide seos jada koonduvusega. Cauchy jadad - Jadal xn on lõplik piirväärtus parajasti siis, kui vastavalt igale pos.arvule ε leidub niisugune naturaalarv n0, et iga naturaalarvu p puhul kehtib |x+p-xn|<ε, kui n>n0 . Kuhjumispunkt - arv, mille igas ümbruses on lõpmata palju vaadeldava jada liikmeid. Kuhjumispunkti seos jada koonduvusega - *Jada {Xn} koondub parajasti siis, kui ta on tõkestatud ja tal on vaid üks kuhjumispunkt. *Arv a on jada {Xn} kuhjumispunkt parajasti siis, kui leidub selline osajada {Xn k}, mis koondub arvuks a. 6.Funktsiooni piirväärtuse mõiste. Seos jada piirväärtusega. Reaalmuutuja funktsiooni ühepoolsed piirväärtused. Funktsiooni piirväärtuste omadused. Funktsiooni piirväärtus - Suurust a nim
a ≔ lim X a ≔ lim X ⇒ |f(x) − a| < 1 ⇒ ||f(x)| − |a|| < 1 ⇒ |f(x)| < 1 + |a| ⇒ f(x) = O(1) (x ∈ Uδ(x0) {x0}). *Tähistame k→∞ nk ja näitame, et k→∞ 15*(Lõpmata väiksed ja suured suurused. Näidata, et lõpmata väikese suuruse ja tõkestatud suuruse korrutis on lõpmata väike. Näidata, et kahe lõpmata väikese nk =a. suuruse korrutis ja summa on lõpmata väiksed.
vahemikku (x0;x0+) ja tähistatakse U(x0+) DEF 4. Suurust a nim. funktsiooni f(x) vasakpoolseks piirväärtuseks punktis x0, kui suuruse a suvalise -ümbruse U(a) korral leidub selline punkti x0 vasakpoolne -ümbrus U(x0-), et f(U(x0-)) c U(a) DEF 5. Suurust a nim. funktsiooni f(x) parempoolseks piirväärtuseks punktis x0, kui suuruse a suvalise -ümbruse U(a) korral leidub selline punkti x0 vasakpoolne -ümbrus U(x0+), et f(U(x0+)) c U(a) 1.6 Lõpmata väikesed ja lõpmata suured suurused DEF 1. Muutuvat suurust(funktsiooni) nim. (x) nim. lõpmata väikeseks suuruseks piirprotsessis x-> x0, kui lim(x)=0. Seda nim. ka hääbuvaks suuruseks. Tähistus (x)=o(1) DEF 2. Muutuvat suurust(funktsiooni) nim. (x) nim. lõpmata suureks suuruseks piirprotsessis x-> x0, kui lim(x)=. Seda nim. ka vohavaks suuruseks. DEF 3. Kui (x) ja (x) on lõpmata väikesed suurused piirprotsessis x-> x0 lim (x) / (x)=0,
Ümbrused. -ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed et iga naturaalarvu n > C ja naturaalarvu p korral kehtib võrratus |xn+p - xn| < . ümbrused. Lõpmatuse ümbrused. Lause. Jada { xn} koondub parajasti siis, kui ta on Cauchy jada. 2. Funktsiooni mõiste. Reaalmuutuja ühene funktsioon. Määramispiirkond, muutumispiirkond. Jada kuhjumispunktiks nim. arvu, mille igas ümbruseson lõpmata palju vaadeldava jada Paaris ja paaritud funktsioonid. Perioodilised ja antiperioodilised funktsioonid. liikmeid. Pöördfunktsioon. Monotoonsed funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Lause. Arv a on jada { xn} kuhjumispunkt parajasti siis, kui leidub selline osajada { xnk} , mis 3. Jada definitsioon. Koonduvad jadad, jada piirväärtus. Jada piirväärtuse omadused. koondub arvuks a. 4. Jada tõkestatus. Monotoonsed jadad
vahetame x ja y ära. Näiteks : y=2x ; x=0,5y ; y=0,5x , seega y=2x pöördfunktsioon on y=0,5x. Funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y =( x ) .Pöördfunktsiooni graafik on sümmeetriline algse funktsiooni graafikuga, sirge y=x suhtes. Teineteise pöördfunktsioonideks on: eksponent- ja logaritmfunktsioon , tirgonomeetrilised ja arkusfunktsioonid. Piirväärtus Lõpmata väike suurus, selle omadused- Muutuvat suurust, mille piirväärtus on null, nimetatakse lõpmata väikeseks suuruseks. Lõpmata väikese suuruse omadused: 1. Lõpmata väikeste suuruste summa on lõpmata väike(0+0=0) 2. Tõkestatud suuruse ja lõpmata väikese suuruse korrutis on lõpmata väike (A*0=0) 3. Lõpmata väikeste suuruste korrutis on ka lõpmata väike (0*0=0) 1 Lõpmata väikesi suurusi ja nimetatakse sama järku lõpmata väikesteks suurusteks, kui lim on lõplik nullist erinev suurus
Muutuv suurus "läheneb miinus lõpmatusele", x - , kui mistahes M > 0 korral muutuja kõik järgnevad väärtused, alates mingist väärtusest, rahuldavad võrratust x < - M . Jada, millel on lõplik piirväärtus nim koonduvaks jadaks, millel ei ole nim hajuvaks jadaks. Jada nim ülalt tõkestatuks kui keidub arv M, et iga xnM (n-N) Jada nim tõkestatuks kui leidub selline arv M0, et IxnIM (n-N) (iga koonduv jada on tõkestatud) jada, mis saadakse jadast mingi lõpliku või lõpmata hulga jada elementide väljajätmisel, nim selle jada osajadaks Bolzano-Weierstrassi teoreem: igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva osajada Cauchy kriteerium: jadal on lõplik piirväärtus parajasti siis, kui vastavalt igale + arvule leidub niisugune naturaalarv n0 ja naturaalarvu p korral kehtib võrratus Ixn+p-xnI Arvu b nim funktsiooni f piirväärtuseks punktis a, kui iga + korral leidub +, et iga x korral, mis tädab tingimust 0Ix-aI, kehtib võrratus f ( x ) - b <
δ 19. Tõestada, kui arv A on funktsiooni f piirväärtus protsessis x → a parajasti siis, kui A on selle funktsiooni f piirväärtus nii protsessis x → a+ kui ka x → a−. Muutuvat suurust alfax nimetatakse lõpmata väikeseks suuruseks piirprotsessis x läheneb x , kui lim(x läheneb o x ) alfa x=0. Ka hääbuv suurus. 0 Muutuvat suurust alfa x nimetatakse lõpmata suureks suuruseks piirprotsessis x läheneb x , kui lim(x läheneb
Kahe tundmatuga lineaarvõrrand TSG Võrrand · Kahe tundmatuga lineaarvõrrand sisaldab kahte esimeses astmes olevat tundmatut · Üldkuju: ax + by = c · x ja y on tundmatud · a, b ja c on arvud ehk võrrandi kordajad · Näiteks 2x 3y = 5 -7x + 5y = -12 Võrrandi lahend · Võrrandi lahendiks on järjestatud arvupaar, mille korral võrdus on tõene · Selliseid arvupaare on lõpmata palju Näiteks: võrrandi 2x y = 5 lahendiks on arvupaarid (2; -1), (5; 5), (4; 3), (1; -3) jne. Sirge võrrand · Kahe tundmatuga lineaarvõrrandi graafiliseks kujutiseks on sirge · Seepärast nimetatakse kahe tundmatuga lineaarvõrrandit sirge võrrandiks · Selle sirge iga punkti koordinaadid on selle võrrandi lahendiks Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteem · Võrrandisüsteem koosneb kahest kahe tundmatuga lineaarvõrrandist
summaga. lim(u1 + u2 +....) = lim u1 + lim u2 + ... Tõestus: Tõestan teoreemi kahe funktsiooni liitmise korral. Olgu lim f(x) = A ja lim g(x) = B (Vaatlen mõlemaid protsesse piirprotsessis x +) Teoreem (1) põhjal võib kirjutada lim x + f(x) + g(x) = lim x + f(x) + lim x + g(x) Eeldame, et liidetavaid on lõplik arv. Tugineb lvs omadusele. Lvs (lõpmata väike suurus) omadus: lim(x+) f(x) = A, kui iga > 0 korral leidub selline arv N, et iga x > N korral on I f(x) A I< ( näitab x ja A vahelist kaugust, mis on väiksem ) Kui lim(x +) f(x) = A, siis f(x) = A + (x), kus (x) lvs (x +) Kui lim(x +) g(x) = B, siis g(x) = B + (x), kus (x) lvs (x+) Kui leidub niisugune arv, kus I f(x) I < (lvs omadus), siis
Hetkkiiruseks nimetatakse keha kiirust, antud hetkel ja antud trajektoori punktis. Hetkkiirus on vektoriaalne suurus-tema suund ühtib liikumise suunaga. Sisuliselt on hetkkiirus lõpmata lühikese nihke ja selle läbiviimiseks kulunud lõpmata lühikese ajavahemiku suhe. Ühtlaseks muutuvaks sirgjooneliseks liikumiseks nimetatakse sellist sirgjoonelist liikumist, mille korral keha kiirus mistahes võrdsetes ajavahemikes muutub võrdsete suuruste võrra. Kiirendus on füüsikaline suurus millega iseloomustatakse seda kui kiiresti kiirus muutub. a=v-v0/t , kus a-kiirendus, v-algkiirus, v0-lõppkiirus t-aeg Kui liikumine on kiirenev, siis on algkiiruse ja kiirenduse vektorid samasuunalised.
valem avaldub kujul: Joonis 2 * * Τxz = QZSY / Iyb Valemis QZ tähistab põikjõudu, mis ristlõikes mõjub, Iy on ristlõike inertsimoment peatelje suhtes, b* tähistab ristlõike laiust punktis, kus määratakse pinget, Sy* on ristlõike staatiline moment peatelje suhtes. Selleks, et teada saada mingile varda punktile mõjuvaid pingeid, võtame kasutusele ja vaatleme lõpmata väikese suurusega risttahuka, mida nimetame elementaarristtahukaks. Vardale mõjuvaid pingeid mingis punktis saame väljendada ka elementaarristtahuka tahkudele mõjuvate pingetena. Nagu varda Joonis 5 sisepinnad, nii ka elementaarristtahuka tahud peavad olema tasakaalus. Elementaarristtahukas näidatud joonisel 3 ja 5. Tangetsiaalpingete paarsuse seaduse kohaselt on ristpindadel pindade
1. Norm ja kaugus (meetrika). Ümbrused. ε-ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed Lõpmata väikeseid (suuri) suurusi α(x) ja β(x) piirprotsessis x → a nimetatakse ekvivalentseteks ümbrused. Lõpmatuse ümbrused selles piirprotsessis, kui Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile u ∈ V seab vastavusse skalaari || 8. Funktsiooni pidevus punktis. Uhepoolne pidevus. Katkevuspunktide liigid.
Põhiväide: Tõesed on niisugused ideed, mida me saame omaks võtta,tõenda, kinnitada,verifitseerida. populaarse arusaama kohaselt peab tõene idee kopeerima oma realiteeti. Vastuväide: populaarse arusaama kohaselt peab tõene idee kopeerima oma realiteeti. Võrdle intellektualisti ja pragmatismi loengu materjaliga. Väited: Populaarse arusaama kohaselt peab tõene idee kopeerima realiteeti. Idee tõesus ei ole idee tardunud siseomadus. Me elame realiteetide maailmas, mis võivad olla lõpmata kasulikud või lõpmata kahjulikud. (argument: meie ideed peavad ühilduma realiteetidega , olgu need konkreetsed või abstraktsed, faktid või printsiibid, sest vastasel korral ähvardab neid karistusena järjekindlusetus ja pettumused) Seetõttu me peame kõnelema järjekindlalt , nii nagu me peame ka järjekindlalt mõtlema: sest nii hästi kõnes kui mõttes me käsitleme liike. Kui mõni meie kogemuse moment, ükskõik missugune, äratab meis mõtte, mis on tõene, siis
3 sest 1 ( 3 = 3 x x)' 2 3 ja ruutjuurealune x ei tohi olla null, sest vastasel juhul pole funktsioonid määratletavad. 2) MÄÄRAMATA INTEGRAAL Pole raske taibata, et ühel funktsioonil võib olla mitu, kui isegi mitte lõpmata hulk algfunktsioone. Uurime: On antud funktsioonid: Leiame nende kõikide tuletised: Kõikide ühine tulemus: x3 x 3 3 ' f(x) = 3 = x2 2
Magnetväli-Liikuvate laetud kehade vahel mõjuvat jõuvälja Magnetvälja suund- Kui parema keerlemiskruvi kulgemisel suund ühtib el. Voolu suunaga Magneetumine- Mingi aine muutumine püsimagnetiks Domeen-Iseenesliku magneetumise piirkond Demagneetumine-Mingi aine magnetvälja kadumine Magnetvälja jõujoon- Mõtteline joon, mille igas punktis on B-vektor puutuja suunaline Solenoid- Rõngasse keritud juhe, mis tekitab pöörismagnetvälja Ampere'i seadus- kui kahe lõpmata pika ja lõpmata peenikese traadi vahel vaakumis kehtib jõud 2x1027 N iga meetri kohta, siis on voolutugevus juhtides 1 A Lorentzi jõud- kui vasak käsi asetada nii, et välja sirutatud sõrmed näitavad positiivselt laetud osakese liikumissuunda ja magneti induktsiooni vektor B on suunatud peopessa, siis 90° all välja sirutatud pöial näitab osakesele mõjuvat lorentzi jõudu Inklinatsioon- Nurk maa magnetvälja ja maa horisontaalpinna vahel
et õitsvad kodus valged ristikheinad. Kevade õhtul Nagu magus unenägu tine hõise igal pool; üle aasa ujub tasa valge udu jahe vool. Metsa põues nagu kõne, punga puhkemise jutt; üle välja, üle põllu rõõm kui värin, õnne nutt. Eha kumab, päike magab, siiski kõik on ärkvel veel, nagu õnnis ootamine: armas on ju ammu teel! Ja mu südant täidab sala nagu soojus sumaja: võiksin läbi vaikse ilma kodu hõiskeks sulada! Rändaja õhtulaul Ma kõnnin hallil lõpmata teel Kesk nurmi, täis valmivat vilja, Ma kõnnin ja kõnnin otsata teel, Ju lapsena teesid armastas meel, Teed laulavad õhtu nii hilja. Need teed, kuis on nad kõvad, kui keed, Need otsata kutsuvad jooned, Ma kõnnin ja kõnnin, teed kõvad kui keed, Nii hallid ja tolmused kõik need teed, Need rändaja eluhooned. Ju lapsena teesid armastas meel, ju lapsena kuulda tee juttu Ju lapsena kõndida armastas meel, Oma laulu nii laulda hallil teel, kui polekski ilmas ruttu.
samasuseks. Ka tõene arvvõrdus on samasus. Näiteks on samasused 1 + 2 = 3; (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Võrrandiks nimetatakse muutujaid sisaldavat võrdust, milles üks või mitu muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks). Võrrandi lahendamiseks nimetatakse tundmatu(te) selliseid väärtusi, mille asendamisel võrrandisse saame tõese arvvõrduse ehk samasuse. Võrrandil võib olla üks või mitu lahendit, kuid neid võib olla ka lõpmata palju või mitte ühtegi. Võrrandi lahendid moodustavad võrrandi lahendihulga. Kui võrrandil on lõpmata palju lahendeid, siis on see võrrand ühtlasi ka samasus. Näiteks võrrand x2 1 = (x 1)(x + 1) on samasus, võrrand x2 = 1 ei ole samasus. Kui võrrandil leidub lahendeid, siis öeldakse, et võrrand on lahenduv. Kui võrrandil lahendid puuduvad, siis on võrrand mittelahenduv. Lahendada võrrand tähendab leida tundmatu kõik need väärtused, mis rahuldavad võrrandit
lõunapoolus(tähistatakse N ja S). 3. Magneetumine on nähtus, mille korral magnetvälja paigutamise tulemusena hakkab aine ka ise tekitama magnetvälja. 4. Ampere’i seadus käsitleb jõudusid elektrivoolu ja magnetvälja vahel. A) ühesuunalised voolud tõmbuvad B) vastassuunalised voolud tõukuvad C)Voolujuhtmete vahel mõjuv jõud on maksimaalne kui need juhtmed on paralleelsed. D)Jõud on alati risti juhtmelõiguga, millele ta mõjub. 5. Kui kahe paralleelse ja lõpmata pika ning lõpmata peenikese sirgjuhtme vahel, mille vahekaugus on üks meeter ja milles voolab ühesuguse tugevusega vool, mõjub vaakumis juhtmete pikkuse iga meeteri kohta jõud 2 * 10 -7 njuutonit, siis on voolutugevus juhtmes üks amper. 6. Elektrivälja tugevus näitab, kui suur jõud mõjub selles väljas ühikulise positiivse laenguga kehale. Väljatugevus on vektoriaalne ehk, võib nimetada E-vektoriks. E-vektori suund ühtib positiivse laenguga kehal mõjuva jõu
1.Selgita kartograafilise proektsiooni mõistet. Kaardiprojektsioon (kartograafiline projektsioon) on moodus, millega sfääriline pind esitatakse tasapinnal (kahemõõtmelisel pinnal). Ellipsoidi või safari kujutamisel tasandil vastab igale ellipsoidi või safari punktile A punkt A’ kartograafilises proektsioonis. 1) Ellipsoidi (sfaari) mingi punkti koordinaatide (φ,Λ) lõpmata väikesel muutusel peavad ka proektsiooni vastava punkti koordinaatid (x,y) saama lõpmata väikesed muutused 2) Lõpmata vöikest sirglõigu ellipsoidal või sfaaril tuleb kujutada proektsioonis samuti lõp. Väikese sirglõiguna 3) Kaht paralleelset lõp.v. sirglõiku ellipsoidal (sfaaril) lõp.v. pinnaosal tuleb kujutada proektsioonis samuti lõp. Väikese ja lähedaste paralleelsete sirglõikudena. 2. Selgita geograafilise kaardi mõistet. Maakaardil ehk geograafilisel kaardil kujutatakse asjade ja nähtuste paiknemist,
Ideaalse gaas, olekuvõrrand, olekufunktsioonid p, T, V, U (siseenergia). kineetilise teooria alused rõhu, temperatuuri ja siseenergia avaldised osakeste liikumisolekute kaudu. 1) Ideaalne gaas on reaalse gaasi lihtsaim mudel, kus lihtsuse mõttes oletatakse, et : Molekulidel on lõpmata väikeste elastsete kerakeste omadused. Molekulide liikumine on kulgliikumine. Ideaalne gaas on lõpmatult kokkusurutav. Molekulide vastasmõju seisneb ainult nende omavahelistes elastsetes põrgetes . Ideaalset gaasi pole võimalik veeldada . Reaalsed gaasid käituvad ideaalsetena suurtel hõrendustel.; Ideaalne gaas on kõige lihtsam termodünaamiline süsteem. Gaas, mis koosneb täielikult elastsetest punktmassidest (millel pole sisemist struktuuri). 2)
liikmed valida juhuslikult. Juhuslikkuse printsiibi rakendamiseks on mitmeid võimalusi, näiteks loosimine, arvude genereerimine arvutil, valimine iga teatud fikseeritud sammu tagant (näiteks iga 10.) jne. 2. Mille poolest erinevad diskreetsed ja pidevad tunnused? Too mõlema kohta näiteid! Pidev tunnus võib omandada kõiki reaalarvulisi väärtusi mingist piirkonnast, omab lõpmata palju võimalikke väärtsui (pikkus, kaal, aeg, temperatuur, jne.). Diskreetne tunnus võib omandada vaid üksikuid üksteisest eraldatud väärtusi, tavaliselt suhteliselt vähe võimalikke väärtusi. Need leitakse tavaliselt loendamise teel (õpilaste arv klassis, perekonnaliikmete arv, jne.). Diskreetse suuruse võimalikud väärtused erinevad üksteisest mingi lõpliku arvu võrra. 3. Vali igale tunnusele sobib tüüp!
1.Magnetväli- liikuva laetud keha poolt tekitatud väli. 2.Püsimagnet - keha, mida alati ümbritseb magnetväli nt raud,nikkel,koobalt. 3.4.Oerstedi katse- Oersted avastas, et juhet läbiv elektrivool avaldab magnetnõelale orienteerivat mõju. Magnetnõel pöördub juhtmega ristuvasse asendisse. orienteerunud magnetnõel ei ole aga risti mitte ainult juhtme endaga, vaid ka tasandiga, mille määravad juhe ja magnetnõela keskme kinnituspunkt. 5. 1A definitsioon- Kui kahe paralleelse lõpmata pika ja lõpmata peenikese sirgjuhtme vahel, mille vahekaugus on 1m ja milles voolab ühesuguse tugevusega vool, mõjub vaakumis juhtmete pikkuse iga meetri kohta jõud 2.10astmes -7, njuutonit, siis on voolutugevus juhtmetes üks amper.6. Ampere'i seadus - magnetväljas vooluga juhtmele mõjuv jõud on võrdne magnetinduktsiooni, voolutugevuse, juhtmelõigu pikkuse ja juhtme ning magnetinduktsiooni vahelise nurga siinuse korrutisega.F=BILsin alfa. 7.Vasaku
leidub , et kui korral kehtib võrratus . Näited: = 1 ja = - 1 Piirväärtuse f(x) = b eksisteerimise tingimus. Piirväärtus f(x) eksisteerib siis ja ainult siis, kui eksisteerivad võrdsed ühepoolsed piirväärtused f(x) ja f(x). Peale selle, piirväärtuse f(x) olemasolu korral kehtib valem: f(x) = f(x) = f(x) 12. Lõpmatult kahanevate suuruste võrdlemine (näited). Ekvivalentsed lõpmata väikesed suurused (tabel). Tõestada, et = 1. Lõpmatult kahanevate suuruste võrdlemine. Olgu (x) ja (x) lõpmata väikesed suurused piirprotsessis x ja = k, kui: 1. k = 0, siis (x) on (x) suhtes kõrgemat järku lõpmata väike suurus. 2. 0 < k < , siis (x) ja (x) on sama järku lõpmata väikesed suurused. 3. k = 1, siis (x) ja (x) on ekvivalentsed lõpmata väikesed suurused: (x) ~ (x). Näited: (x) = 3x2 , (x) = 14x2. = (läheneb 0-le ühe kiirusega).
tekib 2 uut püsimagnetit. Magnetjõud on pöördvõrdelised magnetite vahekauguse ruuduga. Voolu magnetväli- muutuv elektriväli tekitab magnetvälja. Oerstedi katse- elektrivoolu ümber on magnetväli ja vooluga juhtme magnetväljas pöördub mangnetnõel juhtmega risti. Vooluga juhtmed: jõud on max kui nad on paralleelsed, ristuvate juhtmete korral jõud puudub, samasuunaliste vooludega juhtmete vahel on tõukejõud. Jõud on alati voolujuhtmega risti. * kui kahe paralleelse, lõpmata pika ja lõpmata peenikese sirgjuhtme vahel on 1m ja neis voolab ühesuguse voolutugevusega vool, mõjub vaakumis juhtmete pikkuse iga meetri kohta jõud 2*10-7 N ,siis on voolutugevust juhtmetes 1A. F=kI1I2/d Ampere'i seadus arvutatakse jõudu, millega magnetväli mõjutab vooluga juhti. F=BIlsin, B=F/Il Magnetinduktsioon näitab jõudu, mis mõjub ühikulise vooluga, ühikulise pikkusega juhtme lõigule selle juhtmega ristuvas magnetväljas. *kui juhtmele, mille pikkus on 1m ja
Kruvipinnad: Objekti niisugust liikumist, mille puhul kõik tema punktid kulgevad mööda silindrilisi kruvijooni, millel on ühine telg ja võrdne samm, nim kruvijooneliseks liikumiseks. Pinda, mis tekib joone(moodustaja) kruvijoonelisel liikumisel, nim kruvipinnaks. Määramisandmed: telg, moodustaja, samm, käelisus. Normaalkruvipind tekib sirgjoone kruvijoonelisel liikumisel, kui sirgjoon igas oma asendis lõikab pinna telge täisnurga all. Pind on lõpmata ulatuslik nii telje kui moodustaja sihhis. Kuulub konoidide klassi. Rakendusena ruutkere. Ruutkeere s.o. keha, mis tekib ruudu kruvijoonelisel liikumisel, kui ruudu kaks külgsirget on telje ristlõikajad. Kaldkruvipind tekib sirgjoone kruvijoonelisel liikumisel, kui sirgjoon igas oma asendis lõikab pinna telge ühe ja sama teravnurga all. Pind lõikab ennast lõpmata palju kordi. Rakendusena kolmnurkkeere. Aksonomeetria
Liitfunktsioon koosneb mitmest funktsioonist. Pöördfunktsioon Olgu y=f(x) mingi funktsioon, kus x on argument ja y funktsioon.Kui lahendada see võrrand x suhtes, samme x=p(y). Nende graafikud on samad. Tuleb vahetada argumendi ja funktsiooni tähistused saame funktsiooni y=p(x) Pöördfunktsiooni graafik on sümmeetriline algfunktsiooni graafikuga esimese ja kolmanda veeerandi nurgapoolitaja suhtes.(y=x2 y= -+ x ) Piirväärtus Lõpmata väike suurus, selle omadused. Muutuvat suurust, mille piirväärtus on null, nimetakse lõpmata väikseks. Omadused: Lõpliku arvu lõpmata väikeste suuruste summa on lõpmata väike suurus Tõkestatud muutuva suuruse ja lõpmata väikese suuruse korrutis on lõpmata väike suurus Lõpliku arvu lõpmata väikeste suuruste korrutis on lõpmata väike suurus. Arv e Arv e=2,71828... on irratsionaalarv, selle väärtust ei saa täpselt esitada. Logaritm alusel e, st
mõjutanud paljusid teisi teadlasi. · Hawking ei ole imearvutaja nagu paljud tänapäeva füüsikateoreetikud. Tema mudelid põhinevad lihtsatel ning loogilistel lähte-eeldustel ja viivad üllatavate tulemusteni. Nt: musta augu kvant-aurustumine. Singulaarsuse teoreemid · 1965. aastal Roger Penrose(Inglismaa) näitas, et üldrelatiivsusteooria kohaselt koondub omaenese raskuse all kollapseeruva tähe mass ühte matemaatilisse so lõpmata väiksesse punkti. Tihedus saab lõpmata suureks, nii et tekib singulaarsus, mille nimi on must auk. · Penrose'iga liitus Stephen Hawking. 1970. aastal näitasid nad ikka üldrelatiivusteooriast lähtudes et suur pauk oli tõepoolest samasugune singulaarsus, ainult et hoopis suuremas mastaabis. · Edasine loogika andis, et kui suur pauk algas väga väikestest mastaapidest, siis suurte
summa saab võrdseks raskusjõuga. Seejärel muutub kuulikese liikumine ühtlaseks. Lugedes raskusjüu suuna positiivseks, järeldub ühtlase liikumise tingimusest: (6) Vg - V 0 g - 6rv = 0 ehk Siit saab leida hõõrdeteguri 2r 2 ( - 0 ) g = 9v (7) 2 ( - 0 ) gr 2 = 9 v (1 + 2,4 r ) R Valem (7) kehtib kuulikese langemise korral lõpmata suures vedeliku ruumalas. Reaalselt on tegemist vedelikuga lõplike mõõtmetega anumas. Seetõttu on vedelikukihtide liikumiskiiruse gradient suurem kui langemisel lõpmata suures vedeliku ruumalas. Järelikult muutub suuremaks ka kuulikesele mõjuv takistusjõud. Seepärast tuleb reaalses katses arvestada veel anuma mõõtmeid ja kuju. Saab näidata, et kuulikese langemisel silindrises anumas raadiusega R mööda selle telge, tuleb kasutada valemit: (8)
5 x - 3 y + 8 z = 11 x - y + 3z = -2 4) 2 x - 2 y + 6 z = -5 ; 5) 5 x - 3 y + 8z = 1 . 3x - y + 2 z = 4 3x - y + 2 z = 5 16 x + 9 y = b 3. Milliste parameetrite a ja b väärtuste korral on võrrandisüsteemil lõpmata 12 x + ay = 8 palju lahendeid? 2ax + 3 y = 15 4. Millise parameetri a väärtuse korral võrrandisüsteemil lahend puudub? 4x - 5y = 5 5. Lahenda võrrandisüsteem xy + y 2 = 5 x 2 - y 2 = 24 1) ; 2) .
Ernst Enno väljendab oma tundeid ja muret luuletuses ,,Tuul laulis’’, kus ta kirjutab: ,,… Tuul, sõber, ahelad on kodu niinepuul, Tuul, tare taga nõiakütkes maa! … Kõik teed veel- tuhat kadunud paradiisi. Tuul, tare taga hangunud sinivalge maa. O inimese rada, valu lõpmata- Ja õnn ja laul, sa oled üksi tuul …’’ Just nendes viimastes sõnades ,, … sa oled üksi tuul… ’’ peitub karm tõde, et keegi ei hooli enam loodusest ning tuultest. Veidi teisiti kirjutab Marie Under looduse pärast muretsemisest oma luuletuses ,,Puu lindudega’’ : ,,… ja nad enam koos ei püsi, kuhu saanud, ära küsi.
Vastassuunaliste voolude korral mõjub tõukejõud. 3) Jõud on alati risti juhtmelõiguga, millele ta mõjub Juhtmelõikude vahel mõjuv jõud on võrdeline voolutugevusega kummaski juhtmes ning lõikude pikkusega ja pöördvõrdeline juhtmelõikude vahekaugusega F = B*I*l*sin B magnetiline induktsioon (T) I voolutugevus (A) e juhtme pikkus (m) nurk voolu suuna ja magnetvälja suuna vahel 4. 1A definitsioon (lk 120) Kui kahe paralleelse, lõpmata pika ja lõpmata peenikese sirgjuhtme vahel, mille vahekaugus on üks meeter ja milles voolab ühesuguse tugevusega vool, mõjub vaakumis juhtmete pikkuse iga -7 meetri kohta jõud 210 njuutonit, siis on voolutugevus juhtmetes 1 amper. 5. Vooluga juhe magnetväljas Vooluga juhe avaldab magnetväljale orienteeruvat mõju. Vooluga juhtme magnetväljas pöördub magnenõel juhtmega risti (Oerstedi katse). 6. Selgita, kuidas töötab elektrimootor
Et mõlemas võrrandis on x kordajad võrdsed, siis võime kohe lahutada esimese võrrandi vastavatest pooltest teise võrrandi vastavad pooled. Lahutamise tulemusena saame võrrandi y - (-8y) = 6 - (-3), millest 9y = 9 ehk y = 1. Nüüd on juba lihtne leida, et x = 1. Vastus. Lahend on (1; 1) Mitte igal võrrandisüsteemil ei pruugi lahendeid olla. Leidub ka selliseid süsteeme, millel pole ainult üks lahend, vaid lahendeid on lõpmata palju. Näide 3. Lahendame võrrandisüsteemi liitmisvõttega. Korrutame esimese võrrandi mõlemad pooled 2-ga ja seejärel lahutame esimesest võrrandist teise. Selliste tehete tulemusena (tee need tehted ise läbi) saame võrduse 0 = 3, mis ilmselt pole tõene. Vastus. Võrrandisüsteemil lahend puudub. Näide 4. Lahendame võrrandisüsteemi liitmisvõttega.
a) risti; b) lõikuv ; c) paralleelne; d) võrdne; e) ühtiv. Kõrvunurkade summa võrdub a) põiknurgaga; b) kaasnurgaga; c) täisnurgaga; d) lähisnurgaga; e) sirgnurgaga. Kolmnurga sisenurkade summa on a) 100°; b) 360°; c) 90°; d) 180°; e) 50°. Tippnurgad on a) risti; b) 180° ; c) paralleelsed; d) võrdsed; e) teravnurgad. Korrapärase n-nurga sisenurkade summa on a) 180°; b) 180°(n-2); c) (n+2)180°; d) 90°; e) 360°. Ringjoonel ja selle puutujal on ühiseid punkte a) 1; b) 2; c) lõpmata palju; d) 0; e) vähemalt 3. Ringjoont, mis läbib kolmnurga kõiki tippe nimetatakse kolmnurga a) siseringjooneks; b) kõõluks; c)sektoriks; d) ümberringjooneks; e) kaareks. Ringjoont, mis puudutab kolmnurga kõiki külgi nimetatakse kolmnurga a) tipuks; b) haaraks; c) siseringjooneks; d) ümberringjooneks; e) küljepoolitajaks Sirget, millel on ringjoonega kaks ühist punkti nimetatakse selle ringjoone a) lõikajaks; b) sektoriks; c) puutujaks; d) pindalaks; e) pikkuseks.
välja, kui laeng liigub, näeme nii el.välja kui ka magnetvälja. Magnetvälja tekitab el.välja muutumine ja vastupidi. Igal püsimagnetil on kaks poolust, aga alati paarisarv. Poolus on see koht kus magnetväli on tugev. Poolusi määratakse maakera järgi(N,S). B-vektor-magnetiline induksioon. 1820. taani füüsik Oersted avastas, et el.vooluga juhe mõjutab kompassi nõela ehk magnetit. Samasugused voolud tõmbuvad, erinevad tõukuvad. Kui ka paralleelse, lõpmata pika ja peenikese sirgjuhtme vahel, mille vahekaugus on 1m ja milles voolab ühesuguse tugevusega vool, mõjub vaakumis juhtmete pikkuse iga meetri kohta jõud 2x10-7 N, siis on voolutugevus juhtmetes 1 A. Konstant näitab kuidas keskkond mõjutab välja, el.välja vähendab, magnetvälja suurendab. Magnetiline induktsioon näitab jõudu mis mõjub ühikulisele juhtmele (1m)ühikulise voolu puhul. Ampere'i jõu suunda saab määrata vasaku käe reegliga: magnetvälja jõujooned suunduvad
Korp! Vironia vilistlane. Teosed: · "Uued luuletused" (1909) · "Hallid laulud" (1910) · "Minu sõbrad" (1910, kordustrükk 1973) · "Kadunud kodu" (1920, 1950) · "Valge öö" (1920) · "Valitud värsid" (1937) · "Üks rohutirts läks kõndima" (1957, 1971, 1983, 2001, 2003) · "Väike luuleraamat" (1964) · "Rändaja õhtulaul" (1998) · "Laps ja tuul" (2000) Rändaja õhtulaul Ma kõnnin hallil lõpmata teel Kesk nurmi, täis valmivat vilja, Ma kõnnin ja kõnnin otsata teel, Ju lapsena teesid armastas meel,-- Teed laulavad õhtu nii hilja. Need teed, kuis on nad kõvad, kui keed, Need otsata kutsuvad jooned,-- Ma kõnnin ja kõnnin, teed kõvad kui keed, Nii hallid ja tolmused kõik need teed, Need rändaja eluhooned. Ju lapsena teesid armastas meel, ju lapsena kuulda tee juttu-- Ju lapsena kõndida armastas meel, Oma laulu nii laulda hallil teel, kui polekski ilmas ruttu.
Universum 1. Mis on Universum? Lõpmatus- millel ei ole lõppu 2. Kuidas mõista aja ja ruumi lõpmatust? Inimene tajub lõpmatust ainult numbriliselt, mingi igapäevase lõpliku nähtuse lõputu kordumise kaudu. Lõpmata pikk aeg on see, kui igale päevale järgneb alati samasugune päev. Lõpmatu tee on see, kui igale läbikäidud kilomeetrile järgneb jälle samasugune kilomeeter. 3. Sõnasta kosmoloogiline printsiip. Me ei saa näha kõiki lõpmatus ruumis olevaid asju, järelikult ei saa me neid ka tundma õppida. Kuigi maailm on lõpmatu, näeme me temast siiski vaid lõplikku osa. See, mida me näeme on kõigis suundades ja kõigil kaugustel ühesugune. Me võime
- Pauli keeluprintsiibi + energia miinimumi printsiibiga - aatomis ei saa olla mitut elektroni, millel oeks on määratud nelja kvantarvu ühesuguse kombinatsiooniga - kõigi elektronkatte moodustavate elektronide energia peak solema minimaalne 16. Mida mõeldakse mikromaailma täpsuspiirangute-, tõrjutusprintsiibi all? Mida väidab vastavusprintsiip? - Mikromaailma täpsuspiirangud asukohta ja impulssi ei saa samaaegselt määrata, ( ühte punkti koondunud lainel on lõpmata väike lainepikkus ja seega lõpmata suur impulss). Mingile ajahetkele vastavat mikroosakese energiat ei saa täpselt määrata; mikroosakeste energiat saab määrata kui kiirgus kestab lõpmata kaua - Tõrjutusprintsiip aatomis ei tohi olla täpselt ühesuguse kvantarvuga nelikuid. - Vastavusprintsiip kvantmeh ja klassikaline füüsika annavad neil piirjutudel, mil nad on üheaegselt rakendatud ühesuguseid tulemusi. 17. Mida iseloomustab peakvantarv? Orbitaalkvantarv?
- Pauli keeluprintsiibi + energia miinimumi printsiibiga - aatomis ei saa olla mitut elektroni, millel oeks on määratud nelja kvantarvu ühesuguse kombinatsiooniga - kõigi elektronkatte moodustavate elektronide energia peak solema minimaalne 16. Mida mõeldakse mikromaailma täpsuspiirangute-, tõrjutusprintsiibi all? Mida väidab vastavusprintsiip? - Mikromaailma täpsuspiirangud asukohta ja impulssi ei saa samaaegselt määrata, ( ühte punkti koondunud lainel on lõpmata väike lainepikkus ja seega lõpmata suur impulss). Mingile ajahetkele vastavat mikroosakese energiat ei saa täpselt määrata; mikroosakeste energiat saab määrata kui kiirgus kestab lõpmata kaua - Tõrjutusprintsiip aatomis ei tohi olla täpselt ühesuguse kvantarvuga nelikuid. - Vastavusprintsiip kvantmeh ja klassikaline füüsika annavad neil piirjutudel, mil nad on üheaegselt rakendatud ühesuguseid tulemusi. 17. Mida iseloomustab peakvantarv? Orbitaalkvantarv?
leiduvad piirväärtused limx a f(x) =A ja limx a g(x) =B, siis AB 27. S~onastada lopmata vaike/lopmata suur suurus. x Näide: y = 2 pöördfunktsioon on x = log2 y *Muutumata suurust (funktsiooni) (x) nimetatakse lõpmata väikeseks suuruseks, piirprotsessis xx0, kui limx x0 x = 0 *Muutumata suurust (funktsiooni) (x) nimetatakse lõpmata suureks suuruseks, piirprotsessis xx 0, 1+2 x 1- y kui limx x0 x =
lim x a f (x) / g (x) = lim x a f (x) / lim x a g (x), kui lim x a g (x) 0 4. Jada piirväärtus, omadused. o Arvu a nimetatakse jada {xn} piirväärtuseks, kui suvalise positiivse arvu korral leidub selline naturaalarv n0, mis üldjuhul sõltub arvust , st n0 (), et iga naturaalarvu n, mis on suurem kui n 0, korral on rahuldatud võrratus | xn a | < . 5. Lõpmata väikesed ja suured suurused. o Muutuvat suurust (funktsiooni) (x) nimetatakse lõpmata väikeseks suuruseks piirprotsessis x x0, kui lim xx0 (x) = 0. o Muutuvat suurust (x) nimetatakse lõpmata suureks suuruseks piirprotsessis x x0, kui limxx0 (x) = . o Lõpmata väikese suuruse omadused: lim x a f (x) = L f (x) = L + , kus on protsessis x l.v.s.
· Näidata esitatud teooria võimalikke rakendusi praktikas ja teistes teadus- harudes. · Harjutada üliõpilasi matemaatilise sümboolikaga. Maht: 5 EAP ainepunkti, nädalatundide arv 2-0-2. Eeldusained: pole. Õppeaine sisu (orienteeruva loenguteks jaotusega): 1. Kasutatav sümboolika. Funktsiooni mõiste ja omadused. Elementaarfunktsioonid. 2. Jada piirväärtus. Arv e. 3. Funktsiooni piirväärtus. Joone asümptoodid. Lõpmata väikesed ja lõpmata suured suurused. Funktsiooni pidevus. Lõigul pidevate funktsioonide omadused. 4. Funktsiooni tuletis. Liitfunktsiooni tuletis. Pöördfunktsiooni tuletis. Parameetri-liselt esitatud funktsiooni tuletis. Ilmutamata funktsiooni tuletis. Logaritmiline diferentseerimine. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 5. Kõrgemat järku tuletised. Leibnizi valem. Funktsiooni diferentsiaalid. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Lokaalne ekstreemum. 6. Keskväärtusteoreemid
..,n) maatrikskujul X= n ja vabaliikmed bj (j = 1, ...,m) b1 b maatrikskujul B = m , siis LVS (1) maatrikskuju on A X = B . Definitsioon. LVS, millel vabaliikmete veerg koosneb ainult nullidest bj = 0 (j = 1,...,m) nimetatakse homogeenseks (vt. p. 6.5) . Süsteemil (6.1) võib 29. leiduda täpselt üks lahend; 30. lahend puududa (võrrandid on vastuolulised); 31. leiduda lõpmata palju lahendeid (tundmatute arv on suurem neid siduvate sõltumatute võrrandite arvust). Viimasel juhul saab süsteemi (1) jaoks välja kirjutada üldlahendi, mis sõltub vabalt valitavatest konstantidest: x1 = x1 (C1 , C 2 , , C k ) x = x (C , C , , C ) 2 2 1 2 k x n = x n (C1 , C 2 , , C k ) , kus C1, C2 , ..., Ck R.
Lineaaralgebra elemendid. M.Latõnina b1 maatrikskujul B = , siis LVS (1) maatrikskuju on A X = B . b m Definitsioon. LVS, millel vabaliikmete veerg koosneb ainult nullidest bj = 0 (j = 1,...,m) nimetatakse homogeenseks (vt. p. 6.5) . Süsteemil (6.1) võib 1. leiduda täpselt üks lahend; 2. lahend puududa (võrrandid on vastuolulised); 3. leiduda lõpmata palju lahendeid (tundmatute arv on suurem neid siduvate sõltumatute võrrandite arvust). Viimasel juhul saab süsteemi (1) jaoks välja kirjutada üldlahendi, mis sõltub vabalt valitavatest konstantidest: x1 = x1 (C1 , C 2 , , C k ) x = x (C , C , , C ) 2 2 1 2 k , x n = x n (C1 , C 2 , , C k ) kus C1, C2 , ..., Ck R.
SIRGE SIRGE TÕUSUNURK x-telje positiivse suuna ja sirge vahel SIRGE TÕUS k näitab, mitu ühikut ühe x'i ühiku kohta sirge tõuseb. (Tangens tõusunurgast) SIRGE TÕUS KAHE PUNKTI JÄRGI SIHIVEKTOR - suvaline vektor, millel on sirgega sama siht e. paralleelne pikkus, suund pole tähtis sihivektoreid on lõpmata palju SIRGE VÕRRAND kujutab suvalist punkti x(x;y) sirgel. Sirge võrrand antakse alati kujul Sirgel SIRGE VÕRRAND KAHE PUNKTI KAUDU SIRGE VÕRRAND TÕUSU JA ALGKOORDINAADIGA SIRGE TÕUSU JA PUNKTIGA PARALLEELSETEL SIRGETEL RISTUVATEL SIRGETEL
on kõigi hilisemate naiivitaride esiema Agnès, kellele armastus mõistust annab, range hooldaja Arnolphe, kelle teooria naise rumalusest ning harimatusest kui truuduse pandist armetult kokku variseb, ja Agnèsi austaja Horace, kes neiu silmad avab. Molière'i rahvalik komöödia, mis kaitseb humanistlikke vaateid abielule ja armastusele, oli küllaltki mässuline oma ilmumisajal, 1662. aastal, kus pime alistumine perekonnapeale oli seaduseks. Sellest on nüüd möödunud lõpmata aeg, kuid Molière'i huumor, lopaskas dialoog ja mahlakad repliigid on endiselt elavad. --TULI VÄJA AASTAL 1961--
mõju väljastpoolt mingeid jõude, nagu Maa gravitatsioonijõud või õhutakistus. Liikugu rakett parajasti kiirusega v paigaloleva vaatleja suhtes, temas sisalduva kütuse mass olgu m. Raketi impulss liikumatu vaatleja suhtes oleks siis p 0 = ( M + m )v . M +m v Raketist suunatakse tahapoole gaasikogum massiga dm, s.t. mille mass on kütuse kogumassiga võrreldes lõpmata väike. Selle kiirus on eelöeldu põhjal raketi suhtes vg v + vg , liikumatu vaatleja suhtes . Raketi kiirus kasvab selle tulemusel lõpmata väikese muudu dv võrra, mass väheneb suuruse dm võrra. Süsteemi rakett- gaasikogus summaarne impulss liikumatu vaatleja suhtes on p = ( M + m - dm)(v + dv ) + (v + v g )dm.
kosmoloogia alal on esileküündivad ning on oluliselt mõjutanud paljusid teisi teadlasi. Hawking ei ole imearvutaja nagu paljud tänapäeva füüsikateoreetikud. Tema mudelid põhinevad lihtsatel ning loogilistel lähte-eeldustel ja viivad üllatavate tulemusteni. Nt: musta augu kvant-aurustumise. 1965. aastal Roger Penrose(Inglismaa) näitas, et üldrelatiivsusteooria kohaselt koondub omaenese raskuse all kollapseeruva tähe mass ühte matemaatilisse so lõpmata väiksesse punkti. Tihedus saab lõpmata suureks, nii et tekib singulaarsus, mille nimi on must auk. Penrose'iga liitus Stephen Hawking. 1970. aastal näitasid nad ikka üldrelatiivusteooriast lähtudes et suur pauk oli tõepoolest samasugune singulaarsus, ainult et hoopis suuremas mastaabis. Edasine loogika andis, et kui suur pauk algas väga väikestest mastaapidest, siis suurte mastaapidega üldrelatiivsusteooria ei ole piisav universumi algushetki kirjeldama ja vaja on
annaabi.ee 
