f ( x) = f (- x) iga x puhul määramispiirkonnas X. Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y- telje suhtes: y = x2 Paarituks funktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni f(x), mis rahuldab tingimust f (- x) = - f ( x) iga x puhul määramispiirkonnas X. Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline 0 punkti suhtes. Näiteks f(x)=x, f(x)=sinx. y = sin x Liitfunktsioon. Lihtfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis sõltub argumendist vahetult Liitfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni piirkonnas X kujul F ( x ) = f [ ( x ) ] Pöördfunktsioon. y = ( x) Funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni , mis rahuldab seost ( g ( x) ) = x Pöördfunktsiooni graafik on sümmeetriline algfunktsiooni graafikuga esimese ja kolmanda veerandi nurgapoolitaja suhtes Teineteise pöördfunktsioonideks on:
y f (x) ....graafiku saame y=f(x) graafikust, kui x-teljest kõrgemale jäävad osad jäävad samaks. Graafiku need osad, mis on x-teljest allpool, tuleb peegeldada x-telje suhtes. y 3x 4 y 3x 4 Liitfunktsioon Funktsioone, kus argumendi ja funktsiooni väärtuse vaheline seos teostub kahe või rohkemalülilise sõltuvuse ahela kaudu, nimetatakse liitfunktsiooniks. y f (u ) u ( x) y f (x) välimine sisemine funktsioon funktsioon Moodusta antud funktsioonidest liitfunktsioonid. f ( x) x 3 y f g x g ( x) x y g f x x2 3 x x3
lõpmatu hulk y väärtusi, siis nim. selle f-ni mitmeseks f-niks. 5. + Paaris f-n määramisp-nd X on sümmetriline nullpunkti suhtes, kui kehtib võrdus f(-x)=f(x) + paaritu f-n määramisp-nd on sümmetriline koordinaatide nullpunkti suhtes, kui kehtib võrdus f(- x)=-f(x) + f-ni y=f(x) nimetatakse perioodiliseks piirkonnas X ja arvu T0 tema perioodiks, kui xX korral ka xTX ning kehtib võrdus f(x+T)=f(x) + f-nide y=f(x) ja u=g(x) liitfunktsiooniks nimetatakse f-ni y=f(g(x)). Komponendid f-nid f ja g. 6. + Üksühele f-ni y=f(x), xX pöördf-niks nimetatakse f-ni x=f^-1(y), mis igale arvule yY=f(x) seab vastavusse arvu xX, kusjuures y=f(x) + kui iga korral hulgast Y leidub üks x nii, et valitud y on selle x-i kujutiseks, siis öeldakse, et f- n f on üksühene. 7. + + f-ne, mis saadakse põhilistest elementaarf-nidest lõpliku arvu aritmetiliste tehete ja liitg-ni
5) trigonomeetrilised funktsioonid y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x ; 6) arkusfunktsioonid y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arc cot x . Toome sisse liitfunktsiooni mõiste. Kui y on muutuja u funktsioon, s.t. y = f ( u ) ja u omakorda sõltub muutujast x, s.t. u = g ( x ) , siis saame, et y on muutuja x funktsioon: y= f g ( x) . Seda viimast funktsiooni nimetatakse liitfunktsiooniks. Moodustame näiteks ühe liitfunktsiooni. Olgu y = f ( u ) = u ja 3 u = g ( x ) = 2 x - 1 . Siis y = f g ( x) = ( 2 x - 1) . 3 Selliseid funktsioone aga, mis on saadud põhilistest elementaarfunktdsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise teel, nimetatakse elementaarfunktsioonideks.
Mõisted suuliseks arvestuseks 1. Arvjada kui igale naturaalarvule n (alates 1-st) seatakse vastavusse üks kindel arv an, siis saadakse arvjada (arvude järjend, mis võib koosneda kas lõplikust või lõpmatust hulgast arvudest; selle saab kui seada ritta ükskõik mis arve). 2. Aritmeetiline jada jada, milles teisest liikmest alates on iga liikme ja sellele eelneva liikme vahe konstante (jada, kus iga kahe järjestikuse liikme vahe on võrdne). *Jada nimetatakse hääbuvaks ehk nullile lähenevaks, kui jadas järjest kaugemale minnes selle jada liikmed erinevad arvust 0 kui tahes vähe. 3. Aritmeetilise jada üldliige avaldub kujul an = a1 + d (n 1), kus a 1 on aritmeetilise jada esimene liige, d on jada vahe ning n on liikmete arv jadas. 4. Aritmeetilise jada n esimese liikme summa avaldub kujul Sn = (a1 + an) / 2 · n, kus a1 on aritmeetilise jada esimene liige, an on jada üldliige ning n on liikmete arv jadas. 5...
( ) Pöördfunktsiooni f -1 määramispiirkonnaks on funktsiooni f muutumispiirkond Y ning uutumispiirkonnaks määramispiirkond X. Kehtivad seosed: ( )] ja ( )] Näiteks y=x2 ja y= on üksteise pöördfunktsioonid ja nende graafikud on sümmeetrilised sirge y=x suhtes: 8. Defineerige liitfunktsioon. Kirjeldage näite varal, kuidas on defineeritud liitfunktsiooni ahelakuju. Liitfunktsiooniks ehk funktsioonide kompositsiooniks nim. funktsiooni, mis saab kahe või enam funktsiooni järjesst rakendamisel. Kui y=f(u), kus u = g(x), siis öeldakse, et y on muutuja x suhtes liitfunktsioon ja kirjutatakse y=f[g(x)] Liitfunktsiooni y=f[g(x)] ahela kuju: y=f(u) u=g(x) Liitfunktsiooni y=f{g[h(x)]} ahela kuju: y=f(u) u=g(v) v=h(x) 9. Kirjeldage oma sõnadega sümbolite 1. ( ) , 2. ( ) ja 3.
punktis, siis kõneldakse ka diferentseeruvast funktsioonis vaadeldavas piirkonnas. Kui leidub f'(x) ja x, siis diferentsiaaliks dy loetakse suurust dy=f'(x)* x. Kui y = x, siis dy = dx. Kõrgemat järku tuletised funktsiooni f' tuletist nim funktsiooni f teist järku tuletiseks ja tähistatakse f''. Samamoodi määratletakse ka funktsiooni f kolmandat järku tuletis f''' jne. 31. Liitfunktsioon ja selle tuletis. Liitfunktsiooniks nim funktsiooni, mis saadakse kahe funktsiooni järjest rakendamisel. Olgu antud kaks funktsiooni g : X Y ja f : Y1 Z. Kui leidub vähemalt üks selline x X, et g(x) Y1 ja seega f[g(x)] Z, siis on meil defineeritud uus funktsioon F(x) = f[g(x)], mille määramispiirkonna X1 moodustavad kõik sellised funktsiooni u = g(x) määramispiirkonna X elemendid x, mille korral g(x) kuulub funktsiooni f(u) määramispiirkonda Y 1. Saadud
I = F (h), h = (t ), nii et I = F [ (t )]. See tähendab, et kiirguse intensiivsus I on aja t liitfunktsioon. Funktsiooni F argumentfunktsiooniks on (t ) . 28 Liitfunktsiooni definitsioon Kui y on muutuja u funktsioon: y = f (u) ja u on omakorda muutuja x funktsioon: u = g (x), siis ka y sõltub muutujast x: y = f [g(x)] Nii defineeritud funktsiooni y nimetatakse liitfunktsiooniks. Funktsioone g ja f nimetatakse liitfunktsiooni y koostisosadeks e. komponentideks. Funktsiooni f argumendiks oleva funktsiooni g puhul kasutatakse ka mõistet "sisemine funktsioon"; funktsiooni f ennast nimetatakse seejuures "välimiseks funktsiooniks". Näide. Olgu y = f (u)=u2 ja u = sin x. Nendega määratud liitfunktsioon on y = sin2 x. Liitfunktsiooni moodustamise operatsiooni võib teostada mitte 29
paarituks funktsiooniks kui f(-x) = - f(x). Paaritu funktsiooni graafiks on sümmeetriline 0-punkti suhtes. ( sin, tan, cot ) 8. Liitfunktsioon- olgu funktsiooni f määramispiirkonnaks X ja muutumispiirkonnaks Y. Funktsiooni g määramispiirkond Yg sisaldugu piirkonnas Y ning tema muutumispiirkond olgu Z. Siis saab moodustada uue funktsiooni F, mis hulga X igale elemendile seab vastavusse elemendi hulgast Z eeskirja F(x) = g [ f (x) ] abil. Nii defineeritud funktsiooni F nim. liitfunktsiooniks. Funktsioone g ja f nim. liitfunktsiooni F koostisosadeks e. komponentideks. 9. Pöördfunktsioon- olgu funktsiooni y = f(x) määramispiirkonnaks X ja muutumispiirkonnaks Y. Kui iga y Y korral leidub täpselt üks x X , nii et y = f(x), siis öeldakse, et funktsioonil y = f(x) on olemas pöördfunktsioon määramispiirkonnaga Y ja muutumispiirkonnaga X. Pöördfunktsiooni tähistatakse x = f 1(y). 10
DEF 2. Kui hulga X c R igale elemendile x on vastavusse seatud element y hulgast Y c R, siis öeldakse, et hulgal X on määratud ühemuutuja funktsioon f. [(x, y) I xX ja y=f(x)] DEF 3. Kui hulga X igale elemendile on vastavusse seatud vähemalt üks hulga Y element ja vähemalt ühele hulga X elemendile on vastavusse seatud mitu elementi hulgast Y, siis öeldakse, et hulgal X on määratud mitmene funktsioon f. DEF 4. Funktsioonide y=f(x) (xX) ja z=g(y) (yY ja f(X) c Y) liitfunktsiooniks ehk superpositsiooniks nimetatakse funktsiooni z=g(f(x)). DEF 5. Funktsiooni f, mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes nim. paarisfunktsiooniks, kui f(-x)=f(x) DEF 6. Funktsiooni f, mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes nim. paarituks funktsiooniks, kui f(-x)=-f(x) DEF 7. Funktsiooni nim. perioodiliseks, kui leidub selline arv T0, et iga xX korral ka x+- TX ja f(x+T)= f(x). Vähimat pos.arvu T mille korral f(x+T)=f(x) nim. funktsiooni perioodiks
7. Liitfunktsioon ja pöördfunktsioon. V:Funktsiooni f nim ülalt tõkeskatud(alt tõkestatud) funktsiooniks hulgal X1 U X1 Liitfunktsioon ja selle komponendid (näide). Funktsioonide y = f(u) ja u = kui leidub selline reaalarv M(m), et iga x e X1 korral kehtib võrratus f(x) M g(x) liitfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=f(g(x)). Funktsioone f ja g Tõkestatud fun-fun f mis on nii alt kui ülalt tõkestatud nimetatakse liitfunktsiooni f(g(x)) komponentiteks. Liitfunktsiooni y = 23. Näidata, et funktsiooni piirväärtus on ühene V: Vaadeldavas protsessis saab funktsioonil olla ainult üks piirväärtus
Trigonomeetrilised funktsioonid Arkusfunktsioonid o Olgu funktsiooni y = f (u) määramispiirkond U ja funktsiooni u = f (x) määramispiirkond X. Tähistame U' = {x R | u = g (x), x x}. Kui U' U, siis saab iga x X korral leida y väärtuse: x (u =g (x)) u y ( y = f (x). See vastavus määrab piirkonnas X funktsiooni y = f (g (x)), mida nimetatakse muutuja x liitfunktsiooniks. 3. Funktsiooni piirväärtus, omadused. o Arvu L nimetatakse funktsiooni y = f (x) piirväärtuseks kohal a ( ehk protsessis x a), kui igale U (L) korral leidub U (a), nii et iga a x U (a) korral f (x) U (L). Funktsiooni piirväärtus tähistatakse kujul limx a f (x) = L. o Omadused: lim x a (f (x) + g (x)) = lim x a f (x) + lim x a g (x)
1. Täisratsionaalsed funktsioonid- nime funktsiooni kujul: y=anxn + an-1xn-1 +K+a1x+a0 ,kus n on positiivne täisarv ja a reaalarvud. 8.2 Murdratsionaalsed funktsioonid nim kahe hulk liikme jagatist. Y= y=anxn + an-1xn-1 +K+a1x+a0 / y=bnxn + bn-1xn-1 +K+b1x+b0 8.3. Irratsionaalsed funktsioonid- nim algebralist funktsiooni, kui lisaks eelpool toodud tehetele võetakse argumendi sisaldavast avaldisest juur. Kõik ülejäänud funktsioonid on mittealgebralised ehk transtsendentsed. Liitfunktsioon Liitfunktsiooniks nimetatkse funktsiooni piirkonnas X kujul F(x)=f[p(x)]. Liitfunktsioon koosneb mitmest funktsioonist. Pöördfunktsioon Olgu y=f(x) mingi funktsioon, kus x on argument ja y funktsioon.Kui lahendada see võrrand x suhtes, samme x=p(y). Nende graafikud on samad. Tuleb vahetada argumendi ja funktsiooni tähistused saame funktsiooni y=p(x) Pöördfunktsiooni graafik on sümmeetriline algfunktsiooni graafikuga esimese ja kolmanda veeerandi nurgapoolitaja suhtes.(y=x2 y= -+ x ) Piirväärtus
Funktsiooni f(x) vasakpoolseks tuletiseks punktis a nimetatakse piirväärtust f ( x ) = lim ehk x 0 x f ( x + x ) - f ( x ) f ( x ) = lim x 0 x Avaldist f'(x)x nimetatakse funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks ehk esimest järku diferentsiaaliks kohal x ja tähistatakse dy või df Liitfunktsiooniks nim funktsiooni z=g(f(x)) Monotoonne funktsioon on kogu oma määramispiirkonnas kas mittekahanev(monotoonselt kasvav) või-mittekasvav Polaarraadius-punkti x,y kohavektori pikkus, punkt mis moodustatakse x-teljega positiivses suunas-polaarnurk
Näide: y = sinx. Perioodiline funktsioon. Funktsiooni y = f(x) nimetatakse perioodiliseks piirkonnas X ja arvu T 0 tema perioodiks, kui x X korral ka x ± T X ning kehtib võrdus f(x+T)=f(x) y = x [x] perioodiline ? Oletame t Siis t + 1 [x + 1] = t + 1 = [x] + 1 Nt. t = (x + 1) = x + 1 [x + 1] = x + 1 [x] 1 = x [x] = f(x) T=1 Liitfunktsioon ja selle komponendid (näide). Funktsioonide y = f(u) ja u = g(x) liitfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=f(g(x)). Funktsioone f ja g nimetatakse liitfunktsiooni f(g(x)) komponentiteks. Liitfunktsiooni y = komponendid on seesmine funktsioon u = 1 x2 ja väline funktsioon y = 5. Pöördfunktsioon (näide). Üksühene funktsioon ja selle graafik (näide). Funktsioon, millel pole pöördfunktsiooni (näide). Pöördfunktsioon (näide). Funktsiooni y = f (x ) ( x X ) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni x = f ( y ) ,
· iga x A korral leidub y B, et (x, y) C (igale elemendile hulgast A peab vastama mingi element hulgast B). · alati, kui (x, y1) G ja (x, y2) G, siis y1 = y2 (ühelegi elemendile hulgast A ei vasta kahte erinevat elementi hulgast B) 4 Funktsiooni kompositsioon Funktsioonide f : A B ja g : B C kompositsiooniks ehk liitfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni gf : A C, mis defineeritakse tingimusega. · Kompositsioon on assotsiatiivne: h(gf ) = (hg)f . · Kui f ja g on injektiivsed (sürjektiivsed, bijektiivsed), siis gf on injektiivne (sürjektiivne, bijektiivne). Funktsiooni pöördfunktsioon Bijektiivse funktsiooni f : A B pöördfunktsioon on funktsioon f -1 : B A seab igale elemendile y B vastavusse selle elemendi x A, mille korral f (x) = y. St f -1(y) = x y = f
cos x -1 ( arcsin x) = 1 ( arccos x ) = ( arctan x ) = 1 2 1- x 2 1 - x2 1+ x Funktsiooni kujul y = f[g(x)] nimetatakse liitfunktsiooniks. Liitfunktsiooni puhul pole muutuja y määratud argumendi x kaudu vahetult, vaid nn. vahelmise muutuja u = g(x) kaudu. Näiteks funktsioon y = (2x + 5)3 kujutab liitfunktsiooni, kusjuures y = u3 ja u = 2x + 5. Esimest funktsiooni nimetatakse väliseks, teist seesmiseks funktsiooniks. Vaatame veel mõnda liitfunktsiooni: y = u y = x 2 - 4x + 3 u = x 2 - 4 x + 3 2 2
Trigonomeetrilised funktsioonid: y= sin x, y =cos x, y= tan x , y = cot x Arkusfunktsioonid: y = arcsin x , y = arccos x , y = arctan x , y = arccot x Eksponentfunktsioon: y = ax 30.Elementaarfunktsioonid Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis saadakse põhielementaarfunktsioonidest (y = kx, y = ax2 + bx + c) 31.Liitfunktsiooni mõiste Liitfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis saadakse kahe funktsiooni järjest rakendamisel. 32.Pöördfunktsiooni mõiste; pöördfunktsiooni määramis ja muutumispiirkond Funktsiooni pöördfunktsioon on funktsioon -1, mis seab igale muutumispiirkonna väärtusele y vastavusse need väärtused x määramispiikonnast. Olgu funktsiooni y = f(x) määramispiirkond X ja muutumispiirkond Y. Kui iga yY korral leidub täpselt üks xX, nii et y = f(x), siis öeldakse, et
kao,siis võtame veel kord tuletist. Tuletis, selle rakendused Tuletis, selle geomeetriline tähendus- Funktsiooni tuletis on funktsiooni ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu tõkestamatul lähenemisel nullile. Teisiti öeldes on tuletis funktsiooni muutumise kiirus ning geomeetriliselt näitab funktsiooni tuletis funktsiooni tõusu punktis, mille abtsiss on x. Tuletise arvutamine definitsiooni järgi- TULETISTE TABEL Liitfunktsiooni tuletis- Liitfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mille analüütilises avaldises funktsioon y sõltub oma argumendist x kas ühe või enama vahendaja funktsiooni kaudu. Olgu y = f ( z ) , kus z on mingi x funktsioon z = ( x ) , seega y = f [ ( x ) ] . Muutuja y on x funktsioon, kuid ta ei sõltu temast vahetult, vaid ühe teise funktsiooni kaudu. Liitfunktsiooni tuletise leidmiseks eraldi valemeid ei eksisteeri, seega me tähistame funktsiooni nii, et me selle tuletist leida oskaks. Tuletise
(vahetatakse sõltuva ja sõltumatu muutuja tähistused). Seose ehk järjestatud paaride hulgana esitades kehtib -1={ (,) | (,)}. Lause 1. Kui funktsioon -1: on funktsiooni : pöördfunktsioon, siis iga ja korral kehtib ()= -1 ()=. Lause 2. Kui funktsioonil : leidub pöördfunktsioon -1, siis ka funktsioonil -1: leidub pöördfunktsioon ja (-1)-1= . Liitfunktsioon Olgu , ja mingid hulgad. Funktsioonide : ning : liitfunktsiooniks ehk kompositsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni : , et ()=()()=(()) iga korral. Matemaatiline induktsioon Sammud, mis on vajalikud matemaatilise induktsiooni tõestusmeetodi läbiviimiseks: (1) Näitame, et esimene väide 1 on tõene (induktsiooni baas). (2) Suvalise täisarvu 1 korral oletame, et on tõene (induktsiooni hüpotees). (3) Tõestame, et +1 on tõene (induktsiooni samm). Matemaatilise induktsiooni meetodi põhjal järeldame, et iga on tõene.
Mis on liitfunktsioon? (lk 19) Kõik liitmised/lahutamised, korrutamised/jagamised on funktsioonide puhul algebralased tehted. NT: Olgu antud kaks funktsiooni: y = f(x) ja y = g(x). Funktsioonide f ja g summa on defineeritud kui kujutis, mis seab muutujale x vastavusse muutuja y väärtuse valemiga y = f(x) + g(x). Funktsioonide f ja g summa loomulik tähis on f +g. Seega kehtib f ja g summa puhul seos y = (f + g)(x) = f(x) + g(x). Funktsioonide f ja g liitfunktsiooniks e kompositsiooniks f ◦ g nimetatakse nende funktsioonide järjest rakendamist (f ◦ g)(x) = f (g(x)). 25. Millised funktsioonid kuuluvad põhiliste elementaarfunktsioonide hulka? Mida nimetatakse elementaarfunktsiooniks? (lk 19) Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so. liitmise, lahutamise korrutamise, jagamise) ja liitfunktsiooni moodustamise teel. 26
paarituks funktsiooniks kui f(-x) = - f(x). Paaritu funktsiooni graafiks on sümmeetriline 0-punkti suhtes. ( sin, tan, cot ) 8. Liitfunktsioon - olgu funktsiooni f määramispiirkonnaks X ja muutumispiirkonnaks Y. Funktsiooni g määramispiirkond Yg sisaldugu piirkonnas Y ning tema muutumispiirkond olgu Z. Siis saab moodustada uue funktsiooni F, mis hulga X igale elemendile seab vastavusse elemendi hulgast Z eeskirja F(x) = g [ f (x) ] abil. Nii defineeritud funktsiooni F nim. liitfunktsiooniks. Funktsioone g ja f nim. liitfunktsiooni F koostisosadeks e. komponentideks. 9. Pöördfunktsioon - olgu funktsiooni y = f(x) määramispiirkonnaks X ja muutumispiirkonnaks Y. Kui iga y Y korral leidub täpselt üks x X , nii et y = f(x), siis öeldakse, et funktsioonil y = f(x) on olemas pöördfunktsioon määramispiirkonnaga Y ja muutumispiirkonnaga X. Pöördfunktsiooni tähistatakse x = f 1(y). 10
Näide: y = sinx. Perioodiline funktsioon. Funktsiooni y = f(x) nimetatakse perioodiliseks piirkonnas X ja arvu T 0 tema perioodiks, kui x X korral ka x ± T X ning kehtib võrdus f(x+T)=f(x) y = x [x] perioodiline ? Oletame t Siis t + 1 [x + 1] = t + 1 = [x] + 1 Nt. t = (x + 1) = x + 1 [x + 1] = x + 1 [x] 1 = x [x] = f(x) T=1 Liitfunktsioon ja selle komponendid (näide). Funktsioonide y = f(u) ja u = g(x) liitfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=f(g(x)). Funktsioone f ja g nimetatakse liitfunktsiooni f(g(x)) komponentiteks. Liitfunktsiooni y = komponendid on seesmine funktsioon u = 1 x2 ja väline funktsioon y = 5. Pöördfunktsioon (näide). Üksühene funktsioon ja selle graafik (näide). Funktsioon, millel pole pöördfunktsiooni (näide). Näiteks funktsiooni y = ax või y = tanx pöördfunktsioon. Pöördfunktsioon (näide). Funktsiooni y = f (x) ( x X ) pöördfunktsiooniks
= (cos x) ·x avaldada saab ka kujul: Kõrgemat järku tuletised Kui piirkonnas X diferentseeruva funktsiooni f tuletisfunktsioonil f' leidub tuletis (f')' oma määramispiirkonna mingis punktis x, siis nimetatakse seda tuletist (f')' esialgse funktsiooni f teist järku tuletiseks ja tähistatakse f''(x). Samamoodi määratletakse ka funktsiooni f kolmandat järku tuletis f''' jne. 28. Liitfunktsioon ja selle tuletis. Liitfunktsiooniks funktsioon, mis saadakse kahe funktsiooni järjest rakendamisel. Olgu antud liitfunktsioon F(x)=f[g(x)]. Kui funktsioon g on diferentseeruv kohal x ja funktsioon f on diferentseeruv kohal u=g(x), siis on diferentseeruv ka liitfunktsioon sellel kohal x, kusjuures F'(x) = f'(g(x))· g'(x) Näiteks funktsioon F(x) = (1 - x3)2 on seesmise funktsiooni g(x) = 1 - x3 ja f(u) = u2 liitfunktsioon, mis on määratud kogu reaalarvude hulgal R. 29
ja , neist esimene iga korral 4. ja , neist esimene iga korral · Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad 1. 2. 3. 4. 5. · Algebralised tehted funktsioonidega Kui on antud kaks ühise määramispiirkonnaga funktsiooni ja siis kehtivad järgmised seosed: 1. 2. 3. 4. Summa, vahe ja korrutise määramispiirkonnaks on X, jagatise puhul aga kus · Liitfunktsiooniks nimetame funktsiooni mis saadakse mitme funktsiooni järjest rakendamisel. · Liitfunktsiooni määramispiirkond - on määratud ainult sellistel x väärtustel, mille korral asub funktsiooni g määramispiirkonnas. Järelikul on määramispiirkond järgmine · Elementaarfunktsioonid funktsioonid mis saadakse põhielementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise tulemusena.
(f + g) (x) = f (x) + g (x) = g (x) + f (x) = (g + f) (x) iga x ∈ D korral, s.t. f + g = g + f. Analoogiliselt veendutakse, et fg = gf, (f + g) + h = f + (g + h) , (fg) h = f (gh) , f (g + h) = fg + fh suvaliste hulgas D määratud funktsioonide f, g ja h puhul Esitada liitfunktsiooni mõiste definitsioon, tuua näiteid. Olgu f : D → R ja h : E → R sellised funktsioonid, et f (D) ⊂ E. Funktsiooni h ◦ f : D → R, h ◦ f (x) := h (f (x)) nimetatakse funktsioonide f ja h liitfunktsiooniks ehk kompositsiooniks. Funktsioon y = 1 +(4 − 3x)1/2 on funktsioonide f :(−∞,4/3] → R, f (x) := 4 − 3x ja h: [0,∞) → R, h (x) := 1 +√x kompositsioon h ◦ f :(−∞, 4/3]→ R. Kui h (x) := x2 + 1 ja f (x) :=(x – 1)1/2, siis h ◦ f (x) = h (f (x)) = (f (x)) 2 + 1 = (x − 1) + 1 = x iga x ∈ [1,∞) korral. Seega h ◦ f : [1,∞) → [1,∞) on identsusfunktsioon intervallis [1,∞) Kui h (x) := x2 + 1 ja f (x) :=(x – 1)1/2, siis
Tingimused, mis peavad olema täidetud elementaarfunktsioonide kaudu esitatud reaalmuutuja funktsioonil: B ( x) 1) A( x) 0 A( x) 2) 2 x A( x) A( x) 0 3) logaA(x) A(x) >0 arcsin A( x) 4) -1 A( x) 1 arccos A( x) Funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks nim. f-ni y=g(x), mis igale funktsiooni f väärtusele y seab vastavusse need argumendi x väärtused, mille korral y=f(x) Olgu funktsioonid y=f(x) ja y=g(x), siis väärtus y on teisendatud argumendi x liitfunktsiooniks ehk kompositsiooniks y=f[g(x)]=f*g(x) © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 1 Funktsiooni piirväärtus. Teoreemid piirväärtuste kohta (tõestusega). Arv a on funktsiooni y=f(x) piirväärtuseks tingimusel, et xx0, kui >0, () >0, et 0< x-x0< f(x)-a< Selleks, et funktsioonil y = f (x) oleks piirväärtus, kui xx0 on piisav ja tarvilik, et eksisteeriksid ühepoolsed piirväärtused ja et nad oleks võrdsed. lim f ( x) = lim f ( x) = a
Tingimused, mis peavad olema täidetud elementaarfunktsioonide kaudu esitatud reaalmuutuja funktsioonil: B ( x) 1) A( x) 0 A( x) 2) 2 x A( x) A( x) 0 3) logaA(x) A(x) >0 arcsin A( x) 4) -1 A( x) 1 arccos A( x) Funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks nim. f-ni y=g(x), mis igale funktsiooni f väärtusele y seab vastavusse need argumendi x väärtused, mille korral y=f(x) Olgu funktsioonid y=f(x) ja y=g(x), siis väärtus y on teisendatud argumendi x liitfunktsiooniks ehk kompositsiooniks y=f[g(x)]=f*g(x) © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 1 Funktsiooni piirväärtus. Teoreemid piirväärtuste kohta (tõestusega). Arv a on funktsiooni y=f(x) piirväärtuseks tingimusel, et xx0, kui >0, () >0, et 0< x-x0< f(x)-a< Selleks, et funktsioonil y = f (x) oleks piirväärtus, kui xx0 on piisav ja tarvilik, et eksisteeriksid ühepoolsed piirväärtused ja et nad oleks võrdsed. lim f ( x) = lim f ( x) = a
5 -4 -2 0 2 4 x -0.5 -1 Definitsioon 4. Funktsioonide y = f (x) (x X) ja z = g(y) (y Y f (X) Y ) liitfunktsiooniks ehk superpositsiooniks nimetatakse funktsiooni z = g(f (x)). Seega f g gf x - y - z x z, kus g f on funktsioonide f ja g liitfunktsiooni t¨ahistuseks. Liitfunktsiooni g f m¨a¨aramispiirkond on X ja v¨ a¨artuste piirkond Z = g (f (X)) = {z | x X y = f (x) z = g (y)} . Funktsioone f ja g nimetatakse liitfunktsiooni g(f (x)) koostisosadeks
t. igal elemendil hulgast Y leidub üks ja ainult üks originaal. 1) ei ole 2) on üksühene pealekujutus 3) ei ole (Allikas: Wikipedia) 3.3 Liitfunktsioon Olgu antud funktsioon y = f (u), mille määramispiirkond on Z, muutu- mispiirkond on Y ning funktsioon u = g(x), mille määramispiirkond on X ja muutumispiirkond U Z. Definitsioon 3.9 Funktsiooni F , kus F (x) = f ( g(x) ), nimetatakse funktsioonide f ja g liitfunktsiooniks. Funktsioone f ja g nimetatakse liitfunktsiooni F komponentideks. Funktsioonide f ja g liitfunktsiooni tähistatakse ka sümboliga f g, s.t. kirjutame (f g)(x). 3.4 Pöördfunktsioon Olgu antud funktsioon y = f (x) , mille määramispiirkond on X ja muu- tumispiirkond on Y ehk ka f : X Y . Definitsioon 3.10 Kui iga y Y korral leidub ainus x X, mille korral y = f (x), siis vastavus y x määrab funktsiooni x = g(y), mida nimetatakse
¨ mitmene funktsioon ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 19 / 25 Funktsioon Definitsioon (Liitfunktsioon) Funktsioonide y = f (x) (x X ) ja z = g(y ) (y Y f (X ) Y ) liitfunktsiooniks ehk superpositsiooniks nimetatakse funktsiooni z = g(f (x)). ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 20 / 25 Funktsioon Definitsioon (Paarisfunktsioon) Funktsiooni f , mille ma¨ aramispiirkond ¨ X on summeetriline ¨ nullpunkti
annaabi.ee 
