Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "Kombinatoorika". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
erineval, ipson, kombinatoorika, liitmisreegel, kingade, täisarvu, faktoriaal, algkooli, järjekorda, kombinatsioonideks, peaasi, järjestatudelementide järjestuse poolest elementide endi poolest elementide endi ja nende järjestuse poolest. Kõiki selliseid kogumeid nimetatakse ühenditeks. Permutatsioonid ühendid, mis erinevad üksteisest ainult elementide järjestuse poolest. Kombinatsioonid ühendid, mis erinevad üksteisest ainult elementide endi poolest Variatsioonid ühendid, mis erinevad üksteisest kas elementide endi või nende järjestuse poolest. Liitmisreegel: Kui mingi elemendi A võib valida r erineval viisil, elementi B aga s erineval viisil (mis erinevad elemendi A valimisviisidest), siis elemendi "kas A või B" saab valida r+s erineval viisil. Näide: Tüdrukul on peole minekuks valida kas ta paneb 3 miniseelikust ühe või 5 pikast seelikust ühe. Kokku on tal 3 + 5 = 8 erinevat võimalust. Korrutamise reegel: Kui mingi elemendi A võib valida r erineval viisil, elementi B aga s erineval viisil
MATEMAATIKA ARVESTUS 1. Kombinatoorika põhiprintsiibid-liitmis ja korrutamisprintsiip. Liitmisprintsiip- ,,kas üks või teine" . kui mingit objekti A on võimalik valida n erineval viisil ja objekti B m erineval viisil ning valida tuleb kas objekt A või objekt B, siis kõigi erinevate võimalike valikute arv on n + m. Korrutamisprintsiip- ,, nii üks kui ka teine" kui mingit objekti A on võimalik valida n erineval viisil ja objekti B m erineval viisil ning valida tuleb nii objekt A kui ka objekt B, siis kõigi võimalike erinevate valikute arv on n · m. 2. Permutatsiooni permutatsioonideks n erinevast elemendist nimetatakse nende elementide kõikvõimalikke erinevaid järjestusi. Pn = n! 3. Variatsioonid Variatsioonideks n elemendist k-kaupa (k n) nimetatakse nelemendilise hulga kõigi k-elemendiliste osahulkade elementide erinevaid järjestusi. Vnk = n!/(n-k)! k 0! = 1
kaupa tähistatakse sümboliga m Cn . Arvu m Cn leidmiseks on sobiv kasutada seost m m n m Vn =C P , sest teostades kõigis m kaupa 4 moodustatud kombinatsioonides kõik võimalikud permutatsioonid saame ju kõik m kaupa moodustatud variatsioonid. Seega !( )! ! ! ( 1) ... ( 1) mnm n m nnnm P V C m m mn n- = --+ ==. Näiteks elementidest a, b, c, d ja e (n = 5) saab kolme elemendilisi (m = 3) valikuid teostada 10 62 120 3!2! 3 5! 5= C = = erineval viisil: abc abe ace bcd bde abd acd ade bce cde. Seega erinevus variatsioonidest seisneb selles, et kombinatsioonide puhul ei loeta näiteks sõnu abc, bca ja cab erinevateks. Senivaadatud ühendites me eeldasime iga kord, et kõik antud n elementi on erinevad ja et ühes ühendis võib iga element esineda ülimalt ühe korra. Praktika probleemid nõuavad aga vahel ühendite üldistamist ka nendele juhtudele, mil kas antud elementide hulgas
jooksul, leitakse suhe l ning saadud arv loetaksegi antud liiki detailide garantiimääraks (tõenäosuseks, et juhuslikult valitud detail etteantud aja jooksul tõrgeteta töötab).Kombinatoorika elemendid Tõenäosuse klassikalise valemi rakendamisel on tihti vaja leida mitmesuguste nn ühendite arvu. Ühenditeks nimetatakse mingitest esemetest, elementidest moodustatud rühmi, mis erinevad üksteisest kas elementide endi, nende järjestuse või arvu poolest. Näit. 1) mitu erinevat järjekorda saab moodustada kümnest inimesest 2) mitmel erineval viisil saab klassi 20 õpilasest valida välja kaks klassi korrapidajat 3) mitu erinevat viiekohalist arvu saab moodustada numbritest 1, 2, 3, 4, 5 (numbrid ei tohi korduda) 4) mitu erinevat viiekohalist arvu saab moodustada numbritest 1, 2, 3, 4, 5, kui numbrid tohivad korduda 5) mitu erinevat võimalust on 52 kaardi hulgast valida 5 kaarti Vaatleme järgmisi mõisteid: permutatsioonid, variatsioonid, kombinatsioonid. 1
Kasutame vastandsündmuse tõenäosuse leidmise valemit P( ) = 1 P(A) = 1 0,9 = 0,1. Näide 12. Vaatame näites 10 kirjeldatud ülesannet. Leiame tõenäosuse, et nelja huupi üksteise järel valitud detaili hulgas on vähemalt üks defektiga. Paneme tähele, et meid huvitav sündmus on sündmuse A1 A2 A3 A4 vastandsündmuseks, st ( ) . Kasutame teoreemis tõestatud valemit, P( ) = 1 P(A1 A2 A3 A4) = 1 0,647 = 0,353. 2 KOMBINATOORIKA 2.1.1.1 Valemid ja näited katsetulemuste arvu loendamiseks Permutatsioonid Katses osaleb k elementi, katse tulemuseks on nende elementide teatav järjestus. Niisuguse katse võimalike tulemuste arvuks on n elemendi kõikvõimalike erinevate järjestuste arv. Erinevaid järjestusi etteantud elementidest nimetatakse permutatsioonideks. Kõikvõimalike permutatsioonide arv k elemendist Pk määratakse valemiga Pk = k! =1 × 2 × 3 × 4 × (k1) × k Näide 1
Sündmuse A tõenäosuseks nimetatakse sündmuse jaoks soodsate võimaluste arvu m ja kõigi võimaluste arvu n suhet, st m P( A ) = . n Iga sündmuse ja tema vastandsündmuse tõenäosuste summa on 1, st P ( A ) + P (A ) = 1 . Kombinatoorika kasutamine tõenäosuse arvutamisel Liitmise reegel kui mingi elemendi A võib valida r erineval viisil, elemendi B aga s erineval viisil (mis ei sõltu elemendi A valimisviisist), siis elemendi "kas A või B" saab valida r + s erineval viisil. Näide 1. Kui kooli sööklas on võimalik valida soolastest toitudest kahe erineva supi ja kolme erineva prae vahel, siis kokku on soolase toidu valimiseks 2 + 3 = 5 võimalust.
2) Neljast tähest (k, a, r, u) on võimalik moodustada tähtede ümberpaigutamise teel 4! = 24 erinevat sõna. 3) 13 õpilasega klassis on võimalik teha 13! = 6227020800 erineva järjestusega õpilaste nimekirja. Variatsioonid n elemendist k kaupa on n-elemendilise hulga k-elemendilised järjestatud osahulgad. Arvutusvalem on: Näited: 1) 30 lehekandja hulgast on võimalik ametisse määrata lehekandja ja vanemlehekandja erineval viisil;2) kuueliikmelisest võistkonnast saab neli teatesuusatajat välja valida erineval viisil. Kombinatsioonid n-elemendist k-kaupa on n-elemendilise hulga k-elemendilised osahulgad. Arvutusvalem on: Kombinatsioonide arvu leidmisel elementide järjestus pole oluline, s.t. kui kombinatsioon {Jüri, Mari} on olemas, siis {Mari, Jüri} eraldi kombinatsioonina arvesse ei lähe. Näited:
Tõenäosus Kombinatoorika kasutamine tõenäosuse arvutamisel Liitmise reegel – kui mingi elemendi A võib valida r erineval viisil, elemendi B aga s erineval viisil (mis ei sõltu elemendi A valimisviisist), siis elemendi “kas A või B” saab valida r + s erineval viisil. Näide 1. Kui kooli sööklas on võimalik valida soolastest toitudest kahe erineva supi ja kolme erineva prae vahel, siis kokku on soolase toidu valimiseks 2 + 3 = 5 võimalust. Korrutamise reegel – kui elemendi A saab valida r erineval viisil ning elemendi B saab valida s erineval viisil (sõltumata elemendi A valikust), siis elementide paari “A ja B” saab valida r . s erineval viisil. Näide 2
Aritmeetilise jada esimese n liikme summa: Sn=(a1+an)/2*n | Sn=[2a1+(n-1)d]/2*n Sn a1 ja an vaheliste liikmete summa; n näitab, mitu liiget kokku liidetakse Geomeetriline jada üldliikme valem: an=a1*qn-1 Geomeetrlise jada summa: Sn=a1(qn 1)/q-1 Geomeetrlise hääbuva jada summa: s=a1/1-q logab=c ac=b alogab=b logabc=logab+logac logab/c= logablogaC log443=3log44 logax= logbx/logbx Kombinatoorika tegeleb võimaluste arvutamisega. Kui mingil objekti A on võimalik valida n erineval viisil ja objekti B m erineval viisil ning: · valida tuleb kas objekt A või B, siis kõigi erinevate valikute arv on m+n (liitmislause). · valida tuleb nii objekt A kui ka objekt B, siis kõigi valikute arv on m*n (korrutamislause). Kombinatoorika põhimõisted · Permutatsioonid n elemendilise hulga kõik erinevad järjestused.s Pn=n!=n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*...*3*2* · Kombinatsioonid n elemendis k kaupa on kõik k elemndist koosnevad osahulgad. Ckn=n!/[k!(n-k)!]
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK - alfa - nüü - beeta - ksii - gamma - omikron - delta - pii - epsilon - roo - dzeeta - sigma - eeta - tau - teeta - üpsilon - ioota - fii - kapa - hii - lambda - psii - müü - oomega
Pascali kolmnurga omadusi: *Ta on sümmeetriline vertikaaltelje suhtes. *Iga arv Pascali kolmnurgas võrdub tema kohal olevate arvude summaga. (Seetõttu on mõningatel juhtudel teda väga mugav ülesannete lahendamisel kasutada). *Ehkki binoomkordajate kolmnurkset asetust kirjeldas ametlikult esimesena Pascal, arvatakse, et ka paljud varasemad matemaatikud teadsid selle olemasolust. [5]. Liitmis- ja korrutamisreegel kombinatoorikas. Liitmisreegel- üks kahest kombinatoorika põhipostulaadist. Ta ütleb, et kui ühte objekti saab valida m erinval viisi ja teist objekti saab valida n erinval viisil, kusjuures esimese ja teise objekti valikud on teineteist välistavad, siis kas esimese või teise objekti valmiseks leidub täpselt m + n erinevat võimaust. Korrutamisreegel- teine kombinatoorika põhipostulaat. Ta väidab, et kui ühte objekti saab valida m erineval viisil ja teist objekti saab valida n erineval esimesest valikust sõltumatul
MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK Α α alfa Ν ν nüü Β β beeta Ξ ξ ksii Γ γ gamma Ο ο omikron Δ δ delta Π π pii Ε ε epsilon Ρ ρ roo Ζ ζ dzeeta Σ σ sigma Η η eeta Τ τ tau Θ θ teeta Υ υ üpsilon Ι ι ioota Φ φ fii Κ κ kap
Kombinatoorika valemeid ja mõisteid · Variatsioonideks n erinevast elemendist k kaupa nimetame ühendeid, mis sisaldavad k elementi antud n elemendist ning erinevad kas elementide või nende järjestuse poolest. Erinevaid variatsioone on A =n(n-1) ...(n-k+1)=n!/(n-k)! · Permutatsioonideks n elemendilisest hulgast nimetame ühendeid, mis sisaldavad kõiki n elementi (üks kord) ja erinevad järjestuse poolest. Erinevaid permutatsioone on Pn=n (n-1) ...1 = n! · Kombinatsioonideks n elemendist k kaupa nimetame ühendeid, mis sisaldavad k elementi (antud n elemendi hulgast) ja erinevad vähemalt ühe elemendi poolest. n! · Erinevaid kombinatsioone on C =A /Pk C nk = ( n - k )!k! Tõenäosusteooria · Sündmuste hulka, kus alati üks sündmus toimub ja see välistab teiste toimumise
Tõenäosus näitab arvulist karakteristikut, mis lubab võrrelda eri sündmusi nende toimumise võimalikkuse seisukohalt. Eeldame, et saaksime arvuliselt võrrelda sündmuste toimumiste võimalikkust. 11. Tõenäosuse klassikaline definitsioon. Klassikaliseks tõenäosuseks nimetatakse tõenäosust, mille arvutame jagades soodsad võimalused kõikide võimalustega(sündmust A väljendavate elementaarsündmuste hulk jagatud kõigi elementaarsündmuste hulgaga). 12. Kombinatoorika mõisted (kombinatsioonid, variatsioonid, permutatsioonid). Kombinatsioonid on mingi n-elemendilise hulga k-elemendilised osahulgad. k n! Cn = k ! ( n−k ) ! Järjekord ei ole oluline, erinevad vaid siis kui elementide hulgad on erinevad. Variatsioonid on mingi n-elemendilise hulga k-elemendilised järjestatud osahulgad. k n! V n= ( n−k ) ! Arv hulgas on fikseeritud ning mitu erinevat järjestust saab olla.
o Ekvivalents (märk ↔) tähendab matemaatikas sagedasti kasutatavat seost „parajasti siis, kui“ ehk „siis ja ainult siis, kui“. Näiteks lause „hulk X on kinnine parajasti siis, kui X ühtib oma sulundiga“ on valemkujul A ↔ B. Tehete järjekord o ¬, &, ∨, →, ↔ o vasakassotsiatiivsus: kui mitme liikme konjuktsioonis või disjunktsioonis sooritatakse tehteid vasakult paremale, siis võib tehete järjekorda täpsustavatest sulgudest loobuda o Valemi välimised sulud võib ära jätta Lausearvutuse valem DEF: Lausearvutuse valemid on parajasti need, mida saab koostada alltoodud reeglite abil: ○ iga lausemuutuja on lausearvutuse valem ○ kui F on lausearvutuse valem, siis ka ¬F on lausearvutuse valem ○ kui F ja G on lausearvutuse valemid, siis ka (F & G), (F ∨ G), (F → G) ja (F ↔ G) on lausearvutuse valemid 2 3
EIMAR? Olgu sündmus A soovitud sõna Kõigi võimalike elementaarsündmuste arv n = 5!, 2 2 1 Soodsate sündmuste arv m = 2, järelikult P(A) = 5! = 120 = 60 . 2. Kombinatsioonideks n elemendist m elemendi kaupa nimetatakse ühendeid, millest igaüks sisaldab m elementiantud n elemendi hulgast ja mis erinevad vähemalt ühe elemendi poolest. n! Cm n = m!( n m)! Näide: 25-liikmelisest rühmast on vaja saata 4esindajat kooli üliõpilaste koosolekule. Kui palju on selleks erinevaid võimalusi? Kuna ei ole oluline antud juhul, kes õpilastest osaleb, siis võimaluste 25! arv n = C m
· Implikatsioon (märk või ) ,,kui . . . , siis . . . ." Implikatsiooni saab sõnastada mitmel eri viisil: 1. Kui A, siis B 2. Väitest A järeldub väide B 3. A on B piisav tingimus 4. B on A tarvilik tingimus 5. A ainult siis, kui B Tehete järjekord: · Valemi definitsioonis kasutatakse tehete järjekorra määramiseks sulge. · Üleskirjutuse lihtsustamiseks lepitakse kokku, et need sulud, mis tehete järjekorda ei mõjuta, võib ära jätta. · Tehteid teostatakse prioriteedi nõrgenemise järjekorras vasakult paremale: ¬ Lausearvutuse valemid: Lausemuutuja on sümbol lausearvutuse lausete hulga mis tahes elemendi tähistamiseks. Lausemuutujaid tähistame X, Y , Z, ... Definitsioon Lausearvutuse valemid on parajasti need, mida saab koostada järgmiste reeglite abil: 1. iga lausemuutuja on lausearvutuse valem; 2. tõeväärtused t ja v on valemid; 3
ÜLESANNE: Leiame arvude 30 ja 75 vähima ühiskordse: 30 2 75 3 15 3 25 5 5 5 5 5 30 = 2 · 3 · 5; 1 75 = 3 · 5 · 5; 1 Vähima ühiskordse leidmiseks korrutame esimese arvu kõik algtegurid teise arvu nende algteguritega, mida esimeses arvus ei ole: VÜK (30;75) = 2 · 3 · 5 · 5 = 150 Täisarvude hulk Iga nullist erineva täisarvu korral nimetatakse arve a ja a teineteise vastandarvudeks: a = -a ja a + (-a) = 0 Täisarvud on arvud ..., -(n+1), -n, -(n-1),...,-3,-2, -1, 0, 1, 2,..., n-1, n, n+1,... Täisarvude hulka tähistatakse tähega Z Täisarvude hulga omadused Täisarvude hulk on lõpmatu Iga täisarvu saame kujutada punktidena arvteljel -2 Täisarvude hulk-1 0 hulk iga on järjestatud 1 kahe erineva
• Operatsioonide selgitamiseks aga pseudokood või muud üldised vahendid algoritmi üleskirjutamiseks. • On kirjeldus struktuuri käitumisest ja sellest, kuidas me teda tajume. 3.3 Realisatsiooni tase – andmestruktuuri füüsiline esitus • Näitab, kuidas vastav struktuur tegelikult arvutis üles ehitatakse ja kuidas tegelikult toimuvad tema peal vajalikud operatsioonid. • Sama loogilist struktuuri saab tihti realiseerida mitmel erineval viisil ning sõltub keelest ja olukorrast, milline variant on otstarbekam. • Tavaliselt staatiline või dünaamiline; lähtub mäluaadresside kasutamisest • Aadressid arvutakse välja või salvestatakse koos andmetega Algoritmid ja andmestruktuurid 2015 8 4. Ühe viidaga ahelad. Peamised tegevused ahelaga: elemendi lisamine, elemendi
¨ TARTU ULIKOOL MATEMAATIKA-INFORMAATIKA TEADUSKOND Puhta matemaatika instituut Aivo Parring ALGEBRA JA GEOMEETRIA Tartu 2005 SISSEJUHATUS K¨aesolevate m¨arkmete j¨arele tekkis vajadus 2000/01 ~oppeaastal, kui muudeti tollase matemaatikateaduskonna ~oppekavasid. Selle tulemusena l¨ ulitati ~oppekavasse algebra ja anal¨ uu¨tilise geomeetria sissejuhatavaid pea- t¨ukke k¨asitlev aine "Algebra ja geomeetria". Vahepeal on elu edasi l¨ainud. Matemaatikateaduskonnast on juba saanud matemaatika-informaatikatea- duskond. Nelja-aastasest bakalaureuse ~oppest on saamas kolmeaastane bakalaureuse ~ope. Uue ~oppekava kohaselt on selle ~oppeaine maht n¨ uu ¨d 40 tundi loenguid ja sama palju harjutusi. Iseseisvaks t¨o¨ oks on ette n¨ahtud 80 tundi. Semestri jooksul toimub 20 kahetunnilist loengu
alternatiivne definitsioon. Parabooli definitsioon ja kanooniline võrrand. Parabooli fookus, juhtjoon, ekstsentrilisus. Parabooli optiline omadus. Matemaatikutele tulemused tõetustega 1. Determinandi leidmine, kus viimases reas kõik elemendid peale viimast võrduvad nulliga. 2. Determinandi arendis j-nda veeru järgi. 3. Maatriksi pöördmaatriksi arvutamise valem. 4. Crameri valemi tuletamine 5. Kronecker-Capelli valemi tuletamine 6. Igal nullist erineval kompleksarvul on n erinevat n-juurt. 7. Vektorruumis on täpselt üks nullvektor. 8. Cauchy-Bunjakovski võrratus 9. Kolmnurga võrratus 10. Vektorkorrutise vektori koordinaatide leidmise valem 11. Punkti kauguse sirgeni leidmise valem 12. Tasandi üldvõrrandi saamine parameetrilistest võrranditest 13. Taandatud võrranditega sirgete vahelise nurga tangensi valem 14. Ellipsi kanoonilise võrrandi tuletamine 15. Hüperbooli kaldasümptootid 16. Parabooli optilise omaduse tõestus 1
¨ TARTU ULIKOOL MATEMAATIKA-INFORMAATIKA TEADUSKOND Puhta matemaatika instituut Aivo Parring ALGEBRA JA GEOMEETRIA Tartu 2005 SISSEJUHATUS K¨aesolevate m¨arkmete j¨arele tekkis vajadus 2000/01 ˜oppeaastal, kui muudeti tollase matemaatikateaduskonna ˜oppekavasid. Selle tulemusena l¨ ulitati ˜oppekavasse algebra ja anal¨ uu¨tilise geomeetria sissejuhatavaid pea- t¨ukke k¨asitlev aine ”Algebra ja geomeetria”. Vahepeal on elu edasi l¨ainud. Matemaatikateaduskonnast on juba saanud matemaatika-informaatikatea- duskond. Nelja-aastasest bakalaureuse ˜oppest on saamas kolmeaastane bakalaureuse ˜ope. Uue ˜oppekava kohaselt on selle ˜oppeaine maht n¨ uu ¨d 40 tundi loenguid ja sama palju harjutusi. Iseseisvaks t¨o¨ oks on ette n¨ahtud 80 tundi. Semestri jooksul toimub 20 kahetunni
MAATRIKS: Maatriks nimetatakse ümarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on eristatavad read ja veerud. Maatriksi mõõtmed Maatriksit, milles on m rida ja n veergu nimetatakse täpsemalt (m,n)- maatriksiks ning arvupaari (m,n) selle maatriksi mõõtmeteks. Maatriksi järk Omadus, mis esineb ainult ruutmaatriksil: Näiteks Mat(n,n) nim. n-järku maatriksiks. Maatriksi elemendid nimetatakse reaalarve, milledest maatriks koosneb. Maatriksi ja maatriksite hulga tähistused Maatrikseid tähistatakse tavaliselt suurte ladina tähtedega: A, B,....X, Y, Z. Maatriksite elemente tähistatakse vastavate väikeste ladina tähtedega, mis võivad olla varustatud ka indeksitega: a, b, c, jne. Kõigi (kõikvõimalike mõõtmetega) maatriksite hulka tähistame edaspidi Mat abil ning kõigi (m, n)-maatriksite hulka tähistame edaspidi Mat(m, n) abil. Ruutmaatriks maatriks, mille ridade arv on võrdne veergude arvuga, s.t. m=n Ristkülikmaatriks maatriks, mille ridade arv
nende moodulid on võrdsed ja argumentide vahe on 2Pi kordne.* Trigonomeetrilisel kujul antud kompl'de korrutamisel tuleb tegurite moodulid korrutada ja argumendid liita. Jagamisel tuleb moodulid jagada ja argumendid lahutada. z1 = r1(cosfi1 + isinFi1) ja z2 = r2(cosfi2 + isinfi2). z1z2 = r1r2(cos(fi1 + fi2) + isin(fi1 + fi2));z1/z2 = r1/r2 (cos(fi1 - fi2) + isin(fi1 - fi2)). Juurimine Def. Kompl z n-juureks nim iga kompl w, mille korral wn = z. Teo1.2. Igal nullist erineval kompleksarvul on n erinevat n-juurt .Tões. Olgu z ei= 0, siis saab esitada z = r(cosA + isinA). Tahame leida w = p(cosfi + isinfi) nii, et wn = z, st pn(cos(nA) + isin(nA)) = r(cosfi + isinfi):Kompl'd on võrdsed siis, kui 1) pn = r, st p = nRjr (reaalarvuline juur) ja 2) nA = fi + 2kPi., st A = Fi+2kPi/n , k Z. Arvestame ka seda, et osa juuri langevad omavahel kokku, st ws = wt, kui As = At + 2kPi, k Z. Nii saame, et
EKSAMIKÜSIMUSED 2009 1. Infoedastussüsteemi struktuurskeemid. Üksikute osade: infoallikas, kooder, edastuskanal jne ühtsed kirjeldused. Infoedastuse põhiseadused. (Slaididelt: paragrahv 1) Struktuurskeem: info allikas -> kodeerimine -> edastuskanal -> dekodeerimine -> info tarbija Info allikas edastamisele kuuluvad teatud sõnumid ajalise järjestikuse jadana, siia lisandub ideaalne vaatleja, kes saab sõnumis aru; info allikad on pidevad (elektrilised signaalid) ja diskreetsed (lõplik arv teateid, diskreetsed allikad võivad olla lihtallikad ja kahendallikad); diskreetsed lihtallikad võivad olla mäluta (üksteiele järgnevad sümbolid on teineteisest statistiliselt sõltumatud) või mäluga (sümbolid on stat. sõltuvad); diskreetsel kahendallikal on kaks võimalikku väljundsümbolit null ja üks; Kodeerimine kooder on sobituste kogu; Edastuskanal edastuskanalil on välismõjud; edastuskanal on tehniliste vahendite kogum, toimib teatud reaalses füüsikalises
(füüsiline struktuur). Loogiline struktuur on andmete jada, elemendid on järjestatud. Keerulisemad struktuurid on kahe- ja mitmemõõtmelised massiivid, kirjed jne. Loogiline tase – kirjeldab struktuuri loogilist ülesehitust. Esitamiseks sobivad kastid & nooled. Operatsiooni selgitamiseks pseudokood. Realisatsiooni tase – näitab, kuidas vastav struktuur tegelikult arvutis realiseeritakse ja kuidas toimuvad operatsioonid. Realiseerida saab tavaliselt mitmel erineval moel ning otstarbeka variandi valimine sõltub keelest ja olukorrast. 4. Ühe ja kahe viidaga lineaarnimistud. Peamised tegevused: elemendi lisamine, elemendi kustutamine, nimistu läbimine. Ühe viidaga loend koosneb peast & selle külge aheldatud & omavahel soetud elementidest. Viimase elemendi viidaväljas tühi viit NIL. Tühja loendi puhul on pea väärtus NIL. Loendi läbimine – alusta algusest, lõpeta lõpus.
1. Ristkoordinaadid- kui ruumis on antud ristkordinaadisüsteem, siis ruumi iga punkt P on üheselt määratud ristkordinaatidega x,y,z, kus x on punkti P ristprojektsioon absissteljele, y on punkti P ristprojektsioon ordinaattelele ja z on punkti P ristprojektsioon aplikaattelele P(x,y,z) 2. Kahe punkti vaheline kaugus- Kui P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2) on ruumi punktid siis kaugus d punktide P1 ja P2 vahel on määratud valemiga √ 2 2 d= ( x 2−x 1 ) + ( y 2− y 1 ) + ( z 2 + z 1) 2 3. Vektori mõiste-Vektor on suunatud lõik millel on kindel algus- ja lõpp-punkt. 4. Nullvektor-Vektorit, mille pikkus on null, nimetatakse nullvektoriks ja tähistatakse sümboliga . Nullvektori suund on määramata. 5. Ühikvektor- Kui vektori pikkus on 1 6. vektorite liitmine-rööpkülikureegel: Vektorite a ja b summaks nimetatakse niisugust vektorit c, mis väljub nend
.. , in ) = ( j1 , j2 , ... , jn ) . Näide 4. Vaatleme näites 2 esinevat neljandat järku substitutsiooni 4, 1, 3, 2. Siin 1 2 3 4 ^ 2 4 3 1 M = , M = 4 1 3 2 1 2 3 4 ja esialgse substitutsiooniga 4, 1, 3, 2 seostatakse substitutsioon 2, 4, 3, 1. Maatriksi M veergude järjekorda muutes tekitab substitutsiooni 4, 1, 3, 2 inversiooni moodustav paar 4, 3 inversiooni moodustava paari 3, 1 substitutsioonis 2, 4, 3, 1 ehk sümboolselt 4, 3 3, 1 . Nii tekitatakse substitutsiooni 2, 4, 3, 1 iga inversiooni moodustav paar substitutsiooni 4, 1, 3, 2 mingi inversiooni moodustava paari poolt: 4, 1 2, 1
1 VEKTORALGEBRA PÕHIMÕISTEID DEFINITSIOON. Suurusi, mis on iseloomustatud oma 1) arvväärtuse (pikkuse), 2) sihi ja 3) suunaga, nimetatakse vektoriteks. Tähistame neid a, b,... . MÄRKUS. Geomeetriliselt on vektor a määratud kahe punktiga oma alguspunktiga A ja lõpp-punktiga B. Tähistame a = AB, kusjuures: 1) arvväärtuse määrab punktide vaheline kaugus, 2) sihi määrab punktidega antud sirge s(A,B), 3) suund on määratud punktide järjestusega. OLULISED VEKTORID: Vektoreid, mille arvväärtus (pikkus) on üks, nimetatakse ühikvektori- = 1. teks. Kasutatakse tähistust e, st e Vektoreid, mille arvväärtus (pikkus) on null, nimetatakse nullvektoriteks. Kasutatakse tähistust 0. Nullvektori siht ja suund on määramata. VEKTORITE VASTASTIKUSED SEOSED: Vektorid a ja b on võrdsed (a
1 VEKTORALGEBRA PÕHIMÕISTEID DEFINITSIOON. Suurusi, mis on iseloomustatud oma 1) arvväärtuse (pikkuse), 2) sihi ja 3) suunaga, nimetatakse vektoriteks. Tähistame neid a, b,... . MÄRKUS. Geomeetriliselt on vektor a määratud kahe punktiga oma alguspunktiga A ja lõpp-punktiga B. Tähistame a = AB, kusjuures: 1) arvväärtuse määrab punktide vaheline kaugus, 2) sihi määrab punktidega antud sirge s(A,B), 3) suund on määratud punktide järjestusega. OLULISED VEKTORID: Vektoreid, mille arvväärtus (pikkus) on üks, nimetatakse ühikvektori- = 1. teks. Kasutatakse tähistust e, st e Vektoreid, mille arvväärtus (pikkus) on null, nimetatakse nullvektoriteks. Kasutatakse tähistust 0. Nullvektori siht ja suund on määramata. VEKTORITE VASTASTIKUSED SEOSED: Vektorid a ja b on võrdsed (a
AB hulkade ühend A B hulkade ühisosa X Y hulgast X lahutatakse hulk Y järeldub on samaväärne (mõlematpidi järeldumine) x kehtib iga x korral x leidub selline x N naturaalarvud 1, 2, 3, . . . N0 naturaalarvud koos nulliga 0, 1, 2, 3, . . . Z täisarvud . . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . . Q ratsionaalarvud pq , q = 0 I irratsionaalarvud R reaalarvud C kompleksarvud n! faktoriaal 1 · 2 · · · n 2 0.2. 0.2 Kreeka tähestik alfa beeta , gamma , delta , epsilon dzeeta eeta , teeta i ioota kapa , lambda µ müü nüü , ksii o omikron , pii , roo , sigma tau , üpsilon
1 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK I Joonistel on kuue funktsiooni graafikud. Tee kindlaks, missuguste funktsioonidega on tegemist. 1 2 3 © Allar Veelmaa 2014 2 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK II © Allar Veelmaa 2014 3 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium REAALARVUDE PIIRKONNAD Kuna erinevates õpikutes kasutatakse reaalarvude piirkondade märkimiseks erinevaid tähistusi, siis oleks kasulik teada mõlemat varianti. Nimetus Tingimus Esimene
korral), st leidub C, nii et z + = + z = z z korral; = (0; 0) = 0 4. igal kompleksarvul z = (x; y) = x + yi leidub (liitmise suhtes) vastandarv, st selline arv w C, et z + w = w + z = 0; w = -z 5. korrutamine on kommutatiivne, st z1z2 = z2z1 z1, z2 C korral 6. korrutamine on assotsiatiivne, st (z1z2)z3 = z1(z2z3) z1, z2, z3 C korral 7. korrutamise suhtes leidub ühikelement, selleks on reaalarv 1: 1z = z1 = z z C korral 8. igal nullist erineval kompleksarvul z = (x;y) = x + yi leidub pöördarv w C, nii et wz=zw=1 9. liitmine ja korrutamine on seotud distributiivsusega, st z 1(z2 + z3) = z1z2 + z1z2; (z1 + z2)z3 = z1z3 + z2z3 z1, z2, z3 C korral Kompleksarvu algebraline kuju: z = (x; y) = (x; 0) + (0; y) = (x;0) + (y; 0)(0; 1) = x + yi; C = {x + yi | x, y R} Tuletatavad tehted: 1. vahe: z1 - z2 = z1 + (-1)*z2 2. jagatis: z1/z2 = z1 * z2-1, kui z2 0 Kompleksarvude vallas säiluvad reaalarvude vallast tuntud tehetega seotud
annaabi.ee 
