(Ehk siis elektron põrkab kaootiliselt aatomite vahel, aga tal on kindel suund ja peab pidevalt edasi liikuma, teised elektronid pressivad tagant) EHK palju elektron keskmiselt edasi-tagasi liigub mingi aja jooksul. • Ohmi seadus: I = U / R - Näitab voolutugevuse sõltuvust pingest ja takistusest. (Voolutugevus juhis on võrdeline pingega juhi otstel. Takistus on keha iseloomustamiseks voolu takistamise seisukohalt.) • Rööpühendus ja jadaühendus: Jadal liidad takistused üksteise otsa, rööpsel 1/R ja hiljem pöörad ümber. Jadal on voolutugevus igalpool sama, rööpsel liidad eraldi kõik voolutugevused. Jadal liidad eraldi kõik pinged, rööpsel on pinge igalpool sama. • Elektriskeemi lahendamine (süsteemi kogutakistuse, voolutugevuse ja osapingete, osavoolutugevuste leidmine) !!! • Ampermeetri, voltmeetri mõiste: Ampermeeter - vooluringi voolutugevuse mõõtmiseks Voltmeeter - vooluringi pinge mõõtmiseks
Harmonium Tamburiin Heliloojad Esimesed nimepidi tuntud heliloojad Araabia muusikaloos on Leonius ja Perotinus. Araabia hip-hop Esimesed bändid tekkisid 1990 aastal. Üks tuntumaid bände on Klash. Araabia electronica Electronic dance music on muutunud väga populaarseks. Tuntum artist on Richii. Ta on esitanud loo nagu nt "Ana Lubnaneyoun". Araabia rock Pole nii tuntud maailmas, aga Araabias väga armastatud bänd on nt. JadaL Araabia muusika on kõige rohkem tuntud Kairos, Egiptuses. TANTS Kõhutants on läänelik nimetus traditsioonilisele Egiptuse tantsule. See on tantsustiil, mille alla loetakse tänapäeval mõningaid Põhja-Aafrika, Lähis-Ida ja Anatoolia piirkondade folktantse kui ka nendest välja kujunenud lavatantse Tanoora Araabia tradisioonile tants – Tanoora.
üldistustest kolme põhilisemat. Väärib veel mainimist, et neid saab omavahel üpris hästi kombineerida. 1.2.1 Jada algsete väärtuste muutus (esimene üldistus) Selle asemel, et jada algaks kahe kindla väärtusega, nagu Fibonacci arvude puhul selleks on F0 = 0 ja F1 = 1, võib ta alata ka mingite suvaliste arvudega, sest matemaatiliselt on põhilisimaks omaduseks ikkagi seos. Kuigi jada jab üheselt määramata, kehtivad sellistel tingimustel leitud valemid mitte ainult ühel kindlal jadal, vaid tervel jadade klassil. Sellist lähenemist võib ilmselt rakendada ka kahele ülejäänud üldistustele. 1.2.2 Elementide kordajate muutus (teine üldistus) Selle asemel, et järgmise elemendi annab kahe eelneva jada elemendi lihtne summeerimine, võib mõlemale liidetavale valemis anda kordaja. Edasises tekstis on sellist tüüpi lihtsamad jadad tähistatud Un. Nii saame seose Un = pUn-1 + qUn-2. Kuigi jada võib üldisuse huvides jätta ka üheselt defineerimata, võetakse
* Iga viies Fibonacci arv jagub viiega, kuna F(5)=5, * Iga kuues Fibonacci arv jagub kaheksaga, sest F(6)=8... * Kehtib üldine reegel: iga k-s Fibonacci arv jagub k-da Fibonacci arvuga. * Sellest saame järelduse, et iga algarvulise Fibonacci arvu järjekorra number peab olema algarv. Sellel on vaid üks erand, järjekorranumber 4 ei ole algarv, aga neljas arv selles reas on 3, mis on algarv. Fibonacci arvude jada peetakse üheks suureks mõistatuseks, sest sellel jadal on palju erinevaid seoseid reaalse maailmaga. Mõned peavad seda isegi kogu maailmaruumi aluseks ning selle abil olevat võimalik välja selgitada aja, ruumi ja eksistentsi suurimaid saladusi. Need arvud on tihedalt seotud loodusega. Näiteks on lillede kroonlehtede arv või moodustuvate spiraalide arv (taimel või viljal) tihti just Fibonacci arv , 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393,
kahekordse integraali omadused (vastavad teoreemid tõestuseta)). n Moodustame summa: Vn = f ( P1 )s1 + f ( P2 )s 2 + ... + f ( Pn )s n = f ( Pi )s i i =1 Seda summat nimetatakse funktsiooni f(x,y) integraalsummaks üle piirkonna D. Teoreem 1. Kui funktsioon f(x,y) on kinnises piirkonnas D pidev, siis integraalsummade jadal leidub osapiirkondade si maksimaalse läbimõõdu nullile lähenemisel ja n lõpmatul kasvamisel piirväärtus, mis on üks ja sama iga jada puhul, s.t. ta ei sõltu piirkonna D osapiirkondadeks si jaotamise viisist ega punkti Pi valikust piirkoonas si. Seda piirväärtust nimetatakse funktsioonif (x,y) kahekordseks integraaliks üle piirkonna D ja tähistatakse sümboliga f ( P)ds ehk D
i=1 üle piirkonda D o Kui piirkonna D igas punktis f 0; siis saab iga liidetavat f(Pi)si geomeetriliselt tõlgendada väikese silindri ruumalana, kusjuures silindri põhjaks on si ja kõrguseks f(Pi). Summa Vn on nimetatud elementaarsete silindrite ruumalade summa. o Kui funktsioon f(x; y) on kinnises piirkonnas D pidev, siis integraalsummade jadal leidub osapiirkondade si maksimaalse läbimõõdu nullile lähenemisel ja n lõpmatu kasvamisel piirväärtus. Seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x; y) kahekordseks integraaliks üle piirkonda D ja tähistatakse sümboliga f (x , y)dxdy D Kahekordse integraali rakendusi (tasandilise kujundi mass, massikese, inertsimomendid) o Tasandilise kujundi pindala. Olgu xy-tasandil asetsev kujund D kinnine ja
põhjuslikkuseprintsiibist ning mateeria ja vormi lahutamatust ühtsusest. Kui mateeria ei saa kunagi eksisteerida nii, et tal poleks mingit vormi, ning vormid on mateeria staatilised ja dünaamilised tunnused ning kui mateeria omandab vormi üksnes tänu materiaalsele asjale, millel juba on see vorm, siis ei saa olla loomist ega esimest antud liiki vormi. Seega peavad maailm ja liikumised maailmas olema igavesed. Kuigi asjadel ei ole algust ajas, peab samaaegselt toimivate põhjuste jadal olema esimene liige, millel ei ole põhjust: algpõhjus ehk liikumatu liikumapanija. Sellel ei saa olla mingit potentsiaalsust, mistõttu see peab olema mateeriavaba vorm. Iga asi püüab saada Algpõhjuse sarnaseks, niivõrd kui asja loomus seda võimaldab. Aristotelese universum on suletud süsteem, mis koosneb taevastest ja maistest substantsidest, mis igavesti liiguvad ja muutuvad vastavalt oma ihale jäljendada Jumalat. 5
DEF 10. Öeldakse, et jada xn on ülalt tõkestatud, kui leidub selline reaalarv M, et xnM (n N) DEF 11. Öeldakse, et jada xn on alt tõkestatud, kui leidub selline reaalarv M, et xnm (n N) DEF 12. Iga jada, mis saadakse jadast mingi lõpliku või lõpmatu hulga jada elementide väljajätmisel nim. selle jada osajadaks. Lause 10 (Bolzano-Weierstrassi teoreem) Igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva osajada. Lause 11 (Cauchy kriteerium) Jadal xn on lõplik piirväärtus parajasti siis, kuivastavalt igale pos.arvule leidub niisugune naturaalarv n0, et iga naturaalarvu p puhul kehtib Ixn+p-xnI<, kui n>n0 1.4 Arv e Vaata tõestust! 1.5 Funktsiooni piirväärtus DEF 1. Suurust a nim. funktsiooni f(x) piirväärtuseks punktis x0, kui suuruse a suvalise - ümbruse U(a) korral leidub selline arvu x0 -ümbrus U(x0), et f(U(x0 {x0}) c U(a) DEF 2. Kui >0, siis punkti x0 vasakpoolseks -ümbruseks nim. vahemikku (x0-; x0) ja
põhjuslikkuseprintsiibist ning mateeria ja vormi lahutamatust ühtsusest. Kui mateeria ei saa kunagi eksisteerida nii, et tal poleks mingit vormi, ning vormid on mateeria staatilised ja dünaamilised tunnused ning kui mateeria omandab vormi üksnes tänu materiaalsele asjale, millel juba on see vorm, siis ei saa olla loomist ega esimest antud liiki vormi. Seega peavad maailm ja liikumised maailmas olema igavesed. Kuigi asjadel ei ole algust ajas, peab samaaegselt toimivate põhjuste jadal olema esimene liige, millel ei ole põhjust. Et iga tagajärg nõuab põhjust, mis on temast numeeriliselt erinev ning antud tagajärje põhjuste lõputu regress seda tagajärge esile ei kutsuks, siis peab olema põhjuseta algpõhjus ehk liikumatu liikumapanija. Sellel ei saa olla mingit võimalikkust (potentsiaalsust), mistõttu see peab olema mateeriavaba vorm. Ta kutsub esile liikumist, olles ise liikumatu. Arustotelese järgi on see võimalik
Jada, millel on lõplik piirväärtus nim koonduvaks jadaks, millel ei ole nim hajuvaks jadaks. Jada nim ülalt tõkestatuks kui keidub arv M, et iga xnM (n-N) Jada nim tõkestatuks kui leidub selline arv M0, et IxnIM (n-N) (iga koonduv jada on tõkestatud) jada, mis saadakse jadast mingi lõpliku või lõpmata hulga jada elementide väljajätmisel, nim selle jada osajadaks Bolzano-Weierstrassi teoreem: igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva osajada Cauchy kriteerium: jadal on lõplik piirväärtus parajasti siis, kui vastavalt igale + arvule leidub niisugune naturaalarv n0 ja naturaalarvu p korral kehtib võrratus Ixn+p-xnI Arvu b nim funktsiooni f piirväärtuseks punktis a, kui iga + korral leidub +, et iga x korral, mis tädab tingimust 0Ix-aI, kehtib võrratus f ( x ) - b < . lim f ( x ) = b ehk f ( x ) b , kui x a xa
põhjuslikkuseprintsiibist ning mateeria ja vormi lahutamatust ühtsusest. Kui mateeria ei saa kunagi eksisteerida nii, et tal poleks mingit vormi, ning vormid on mateeria staatilised ja dünaamilised tunnused ning kui mateeria omandab vormi üksnes tänu materiaalsele asjale, millel juba on see vorm, siis ei saa olla loomist ega esimest antud liiki vormi. Seega peavad maailm ja liikumised maailmas olema igavesed. Kuigi asjadel ei ole algust ajas, peab samaaegselt toimivate põhjuste jadal olema esimene liige, millel ei ole põhjust. Et iga tagajärg nõuab põhjust, mis on temast numeeriliselt erinev ning antud tagajärje põhjuste lõputu regress seda tagajärge esile ei kutsuks, siis peab olema põhjuseta algpõhjus ehk liikumatu liikuma panija. Sellel ei saa olla mingit võimalikkust (potentsiaalsust), mistõttu see peab olema mateeriavaba vorm. Ta kutsub esile liikumist, olles ise liikumatu. Aristotelese järgi on see võimalik üksnes juhul, kui algpõhjus iha objektina
{x n } ¿ a∨ ¿ 2 12. Jadal lõplik piirväärtus, kui iga ε 0<|x− x0|< δ ⟹∨f ( x ) ∨¿ ¿ positiivse arvu korral leidub nat.arv
lahutamatust ühtsusest. Kui mateeria ei saa kunagi eksisteerida nii, et tal poleks mingit vormi, ning vormid on mateeria staatilised ja dünaamilised tunnused ning kui mateeria omandab vormi üksnes tänu materiaalsele asjale, millel juba on see vorm, siis ei saa olla loomist ega esimest antud liiki vormi. Seega peavad maailm ja liikumised maailmas olema igavesed. Kuigi asjadel ei ole algust ajas, peab samaaegselt toimivate põhjuste jadal olema esimene liige, millel ei ole põhjust. Et iga tagajärg nõuab põhjust, mis on temast numeeriliselt erinev ning antud tagajärje põhjuste lõputu regress seda tagajärge esile ei kutsuks, siis peab olema põhjuseta algpõhjus ehk liikumatu liikumapanija. Sellel ei saa olla mingit võimalikkust (potentsiaalsust), mistõttu see peab olema mateeriavaba vorm. Ta kutsub esile liikumist, olles ise liikumatu
∈ UM (0), st ∀n ∈ N(| xn | ≤ M). Osajadad - Iga jada, mis saadakse jadast mingi lõpliku või lõpmatu hulga jada elementide väljajätmisel nim. selle jada osajadaks. Bolzano – Weierstrass teoreem - Igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva osajada. Monotoonne jada - jada, mis on kogu ulatuses mittekasvav võimittekahanev. 5.Cauchy jadad ehk fundamentaaljadad. Kuhjumispunkti mõiste. Kuhjumispunktide seos jada koonduvusega. Cauchy jadad - Jadal xn on lõplik piirväärtus parajasti siis, kui vastavalt igale pos.arvule ε leidub niisugune naturaalarv n0, et iga naturaalarvu p puhul kehtib |x+p-xn|<ε, kui n>n0 . Kuhjumispunkt - arv, mille igas ümbruses on lõpmata palju vaadeldava jada liikmeid. Kuhjumispunkti seos jada koonduvusega - *Jada {Xn} koondub parajasti siis, kui ta on tõkestatud ja tal on vaid üks kuhjumispunkt. *Arv a on jada {Xn} kuhjumispunkt parajasti siis, kui leidub selline osajada {Xn k}, mis koondub arvuks a. 6
w väärtuse, siis see w on funktsioon muutujatest x1, x2, ..., xn. w=f(x1,x2,...,xn). Elementaarfunktsioonid funktsioonid, mida saab moodustada põhielementaarfunktsioonidest aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise abil, n: y=x 2+2x+2, y=log(2x-3). Põhielementaarfunktsioonid: f(x)=c; xa; ax; logax; sinx, arccotx. 29. Jada piirväärtuse ja funktsiooni piirväärtuse mõisted. Olgu arvjada x1, x2, ..., xn. Kui sellel jadal on selline hea omadus, et mis tahes > 0 korral saame vaadeldavas jadas (xn) leida sellise elemendi xi, millest alates kõik ülejäänud jada elemendid kuuluvad mingi fikseeritud arvu a -ümbrusesse, siis öeldakse, et see arv a on jada (xn) piirväärtuseks (ehk jada koondub arvuks a). Funktsioon y = f(x). Olgu x1, x2, ..., xn, selle funktsiooni argumentidest moodustatud jada. Saame moodustada ka vastava funktsiooni väärtuste jada f(x 1), f(x2), ..., f(xn). Kui
Summa Vn on nimetatud elementaarsete silindrite ruumalade summa, s.t. teatud ,,treppkeha" ruumala. Vaatleme funktsiooni z=f(x,y) integraalsummade suvalist jada Vn1, Vn2, Vn3,..., Vnn, mis on saadud antud piirkonna D jaotamisel osadeks si mitmel erineval viisil. Oletame, et osapiirkonna si maksimaalne läbimõõt läheneb nullule, kui nk. Siis ositab õigeks järgmine väide: kui funktsioon z=f(x,y) on kinnises piirkonnas D pidev, siis integraalsummade jadal leidub osapiirkondade s i maksimaalse läbimõõdu nullile lähenemisel ja n lõpmatul kasvamisel piirväärtus, mis on üks ja sama iga jada pihi, s.t. ta ei sõltu piirkonna D osapiirkondadeks si jaotamise viisist ega punkti Pi valikust piirkonnas si. Tähistame osapiirkondade si maksimaalset läbimõõtu sümboliga , s.t. Piirväärtust nim. funktsiooni z=f(x,y) kahekordseks integraaliks üle piirkonna D ja tähistatakse
Def. Muutuva suuruse x piirväärtus on minus lõpmatus ehk muutuv suurus x läheneb minus lõpmatusele, kui iga kuitahes suure M>0 korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad miinus lõpmatuse ümbrusesse (-,-M), st rahuldavad võrrandist x<-M. Tähistatakse x->- või lim x=-. Def. Öeldakse, et jada (x ) koondub arvuks a, kui tal on olemas lõplik piirväärtus lim x =a. Kui aga jadal (x ) lõplikku piiväärtust ei ole, siis öeldakse, et jada (x ) hajub. 8. Def. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult väikseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim =0. Def. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim | |= . Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos on sõnastatud järgmiselt: Teoreem. Suurus on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus 1/ on lõpmatult kasvav. Def
Def. Muutuva suuruse x piirväärtus on minus lõpmatus ehk muutuv suurus x läheneb minus lõpmatusele, kui iga kuitahes suure M>0 korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad miinus lõpmatuse ümbrusesse (-,-M), st rahuldavad võrrandist x<-M. Tähistatakse x->- või lim x=-. Def. Öeldakse, et jada (x ) koondub arvuks a, kui tal on olemas lõplik piirväärtus lim x =a. Kui aga jadal (x ) lõplikku piiväärtust ei ole, siis öeldakse, et jada (x ) hajub. 8. Def. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult väikseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim =0. Def. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim | |= . Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos on sõnastatud järgmiselt: Teoreem. Suurus on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus 1/ on lõpmatult kasvav. Def
minimaalse hulkliikme kordajad. Seega saab m-jada genereerida m-järgulise nihkeregistriga, kus m-pesasse on kirjutatud y l-1, yl- 2,...., y1-m ja y1 on realiseeritud tagasisidega väljundist, kordajad h aga tagasisidedega registri erinevatest järkudest. 2. M-jada periood Tm on maksimaalne ja võrdne : Tm=(2m-1)t, kus t on ühe sümboli pikkus. m- järgulise registriga saab moodustada ka teisi jadasid aga nende kordusperiood on väiksem kui m-jadal. 3. M-jadas on alati (2m-1-1) nulli ja 2m-1 ühte. 4. Igasuguse m-jada tsükliline nihe on ka m-jada. See on tingitud m-jada kui simplekskoodi lubatud koodsõna omadustest. 5. M-jadal on väga head autokorrelatsioonifunktsioonid. 6. M-jada spekter on ühtlane. 64. m-jada kasutusalad. Kasutatakse krüptograafias krüptimisalgoritmides, telekommunikatsioonis laiaribalistes modulatsioonitehnikates : otsejada (DSSS) ja sagedushüplusega (FHSS) modulatsiooniviisid
Seet˜ottu ruumi X iga element kuulub v¨ahemalt u ¨hte hulkadest Bj , j ∈ N∗ . J¨arelikult X = ∪j∈N∗ Bj ning { Bj | j ∈ N∗ } on l˜oplik v˜oi loenduv osahulk kattele A. 7.2 Kompaktsus loenduva baasiga ruumides 73 Lemma 7.3 Kui X rahuldab esimest loenduvuse aksioomi, siis j¨argmised tingimused on samav¨ a¨ arsed: 0 1 iga l˜opmatu alamhulk ruumist X omab piirpunkti; 20 igal jadal ruumist X leidub koonduv osajada. T˜oestus. 10 =⇒ 20 . Eeldame, et ruumis X kehtib tingimus 10 . Valime jada ξ = {xn }n∈N ruumi X elementidest. N¨aitame, et jadal ξ leidub koonduv osajada. Kui jadas ξ on ainult l˜oplik arv erinevaid elemente, siis temast ilmselt saab eraldada koonduva osajada. Kui jadas ξ on l˜opmatu arv eri- nevaid elemente, siis saab temast eraldada osajada, mille k˜oik elemendid on erinevad. Seet˜ottu v˜oime eeldada, et jada ξ elemendid on k˜oik erinevad
tõkestatud monotoonselt kasvav jada on koonduv; 11)igast tõkestatud jadast saab ||f +b|| ≤ sup||(f + b)x|| ≤ sup||fx+bx|| ≤ sup(||fx||+||bx||) ≤ sup||fx||+sup||bx|| ≤ ||f|| +||b|| eraldada koonduva osajada; 12)jadal {xn} lõplik PV, kui iga pos. arvu ε korral leidub -3o naturaalarv n0, et iga naturaalarvu p korral n→n0 |xn+p -xn|<ε(cauchy); x∈X x∈X x∈X x∈X x∈X
.. +un+... = u n nim lõpmatuks n =1 reaalarvuks, liidetavaid aga nim rea liikmeteks, liidetavat un nim rea üldliikmeks. Rea esimese n n liikme summat nim selle rea n-ndaks osasummaks: S n = u1 + u 2 + ... + u n = u k . Kui k =1 osasummade jadal S1, S2,..., Sn, ...eksisteerib protsessis n lõplik piirväärtus, siis nim rida koonduvaks ja vastavat piirväärtust selle rea summaks: lim S n = S . Kui S = või lim S n ei n n eksisteeri, siis nim rida hajuvaks. 1 1 1 1 Nt Harmooniline rida: u n = = 1 + + + ... - see rida on hajuv n n =1 n 2 3
[1,∞) . 7. Jada piirväärtus, selle ühesus Arvjada mõiste - Arvjadaks nimetatakse funktsiooni, mille määramispiirkonnaks x x (n), n 1,2,.... on kõigi naturaalarvude hulk N. Defineerida jada piirväärtus ning koonduvad ja hajuvad jadad, tuua näiteid koonduvatest ja hajuvatest jadadest. Arvu a nimetatakse jada (xn) piirväärtuseks (kirjutame kas või xn → a), kui ∀ε > 0 ∃N ∈ IN : n ≥ N ⇒ |xn − a| < ε. Kui jadal on lõplik piirväärtus, siis nimetatakse seda jada koonduvaks, mittekoonduvat jada nimetatakse hajuvaks. Kõige lihtsam koonduv jada on konstantne jada (a, a, . . . ), s.t. jada (x n), kus xn = a iga n ∈ N korral, 1/x Hajuv jada: , Tõestada lause koonduva jada piirväärtuse ühesusest (lause 2.3) Lause (Koonduva jada piirväärtuse ühesus) lim xn = a ja lim xn = b, siis a = b Tõestus: kehtigu lim xn = a ja lim xn = b Vaja näidata, et a = b a – b = 0
( u n ) = u n = u 0 + u1 + ... + u n + ... (1) n=0 Kus u 0 , u1 , ... on arvud, mida nimetatakse rea liikmeteks Suvalise indeksiga rea liiget u n nimetatakse rea üldliikmeks n Summasid u k =1 1 + u 2 + u 3 + ... + u n , n IN nimetatakse rea(1) otsesummadeks n Kui rea(1) otsesummade jadal u k eksisteerib piirväärtus, siis seda piirväärtust nimetatakse rea(1) k =0 n =1 summaks ja tähistatakse sümboliga u k =0 k . Niisiis, kui real (1) eksisteerib , siis n u k = lim u k k =0 n k =1 Kui real(1) eksisteerib lõplik summa (s.t
. . ; (-1)n+1 ; . . . (1.2) Siin paarituarvulise indeksiga jada liikmed on 1 ja paarisindeksiga jada liik- med on -1. Kui n¨ uu ¨d oletada, et jada (1.2) piirv¨a¨artus on n¨aiteks kahe j¨arjestikuse liikme aritmeetiline keskmine, st 0, siis jada piirv¨a¨artuse definitsiooni koha- selt peaks > 0 korral alates teatud jada liikmest kehtima tingimused |1 - 0| < ja | - 1 - 0| < , mis aga on v~oimatu juba n¨aiteks = 0, 5 puhul. J¨arelikult jadal (1.2) piirv¨a¨artust ei eksisteeri. 2 1.2.2 Funktsiooni piirv¨ a¨ artus Jada piirv¨a¨artuse korral saame r¨a¨akida ainult u¨hest piirprotsessist n . Funktsiooni f (x) piirv¨a¨artust v~oib defineerida suvalise piirprotsessi x a, sealhulgas ka piirprotsessi x ± korral. Funktsiooni piirv¨a¨artuse defineerimisel kasutame kaht (v¨aikest) positiiv- set suurust ja .
Samuti on koonduv ka nn. statsionaarne jada, s.o. jada (x1 , . . . , xn0 , a, a, . . .), mis on konstantne mingist indeksist n0 + 1 alates. Näide 2.2. Archimedese printsiibi kohaselt lim n1 = 0 (tõestada!z, kasutada järeldust n→∞ 1.24.) Näide 2.3. Jada ((−1)n ) hajub, sest suvalise a ∈ R korral jääb lõpmata palju selle jada liikmeid välja ümbrusest U1/2 (a) (selgitada!)z. Definitsioon. Ütleme, et jadal (xn ) on lõpmatu piirväärtus ∞ (kirjutame lim xn = ∞ n→∞ või xn → ∞), kui iga M > 0 jaoks leidub selline N ∈ N, et xn > M kõikide n > N korral. Seega lim xn = ∞ :⇔ ∀M > 0 ∃N ∈ N : n > N ⇒ xn > M. n→∞ Piirväärtus lim xn = −∞ defineeritakse analoogiliselt (defineerida!)z. n→∞
- Peamised komponendid tulevad toidust, dieet on väga oluline, ei tohi pidada äärmuslike dieete; aineid aitavad tekkida molekulidel DA, NE, EP sünteesijada - Türosiin – toidus rohkesti leiduv aminohape - Kea võib seda sünteesida fenüülaniinist mida saab toiduga - Türosiin hüdroksülaas on rate-limiting ensüüm – ükskõik kui palju seda sööme on järgneval jadal ikka lagi ees - L-Dopaga saab mööda hiilida mida tehaksegi nt Parkinsoni tõve puhul - NB!! NE=noraddrenaliin ja EP=adrenaliin Neurotransmitterid: atsetüülkoliin ja aminohapped, samti väiksed molekulid - Erinevad neurotransmitterid aitavad mõtteid ja liigutusi tasakaalustada Neurotransmitterid III
neurotransmitterite seondumine postspnaptilises membraanis asuvate retseptoritega 4. neurotransmitterite inaktiveerimine ensüümide abil või eemaldamine 5. neurotransmitterite tagasihaare presünaptilisse neuronisse (taaskasutus) Türosiin – toidus rohkesti leiduv aminohape. Keha võib seda sünteesida ka fenüülalaniinist, mida saab samuti toiduga. Türosiin hüdroksülaas on rate-limiting ensüüm – st ükskõik, kui palju me türosiini sööme, on järgneval jadal ikka „lagi“ ees. L-Dopaga saab mööda hiilida, mida tehaksegi nt Parkinsoni tõve puhul. Neuropeptiidid (suured molekulid): opioidid (enkefaliin, dünorfiin), vasopressiin, oksütotsiin, kasvuhormooni vabastavad faktorid, insuliin, koletsüstokiniin Transmitter-gaasid (üliväikesed ja lahustuvad, sünteesitakse kohapeal ja ei ladustata, lühike eluiga, difundeeruvad): NO – lämmastikoksiid, aitab ka baktereid tappa CO – süsinik mono-oksiid Loeng 2
arv N = N ( ) , et kehtib võrratus x n - a < , alati kui n > N , ja kirjutatakse lim x n = a n ehk lim x n = a või x n a . Definitsioon: Öeldakse, et jada ( x n ) koondub arvuks a , kui tal on olemas lõplik piirväärtus lim x n = a . Kui aga jadal ( x n ) lõplikku piirväärtust ei ole, siis öeldakse, et jada ( x n ) hajub. 2. Jada lõpmatu piirväärtus Definitsioon: Öeldakse, et jada ( x n ) piirväärtus on + (- ) , kui iga arvu M > 0 korral leidub arv N , et kehtib võrratus x n > M ( x n < - M ) , alati kui n > N , ja kirjutatakse ( lim x n = lim x n = -
Igast t~okestatud jadast saab eraldada koonduva osajada, st xn = O(1) {nk } : {xnk } c. T~ oestust vt [5], lk 113. okestatud jada {(-1)n (n-1)/n} on hajuv, kuid m~olemad esitatud N¨aites 2 esitatud t~ osajadad {(2n - 1)/(2n)} ja {(-2n)/(2n + 1)} on koonduvad, kusjuures (2n - 1)/(2n) 1 ja (-2n)/(2n + 1) -1. Lause 11 (Cauchy kriteerium). Jadal {xn } on l~oplik piirv¨a¨artus parajasti siis, kui vastavalt igale positiivsele arvule leidub niisugune naturaalarv n0 , et iga naturaalarvu p puhul |xn+p - xn | < , kui n > n0 . T~oestust vt [5], lk 108110. N¨aide 4. Jada (n + 1)2 /2n2 piirv¨a¨artuse arvutamisel t~odeme, et nii murru lugeja kui ka nimetaja l¨ ahenevad l~ opmatusele. K~oneleme, et on tegemist m¨ a¨arama-
Graafiliselt võime mõelda sellest nii. Tõmbame väärtuse ümber kaks horisontaalset sirget. Jada koondub väärtusesse piirväärtus ja pidevus parajasti siis, kui olenemata sellest, kui lähedale -le need sirged tõmbasime, on kõik jada liikmed mingist hetkest alates ikkagi nende kahe sirge vahel. Näiteks meie esimesel jadal on see omadus kindlasti olemas. Kui tõmbaksime jooned nullile palju lähemale, näiteks kaugusele 0,001, siis peak- sime ootama liiget, enne kui jõuaksime jadaga kahe joone vahele. Kui aga , siis liiget. Igal juhul jõuame alati kahe joone vahele ja selle pärast ütlemegi, et jada piirväärtus on .
annaabi.ee 
