Leidsid 33 sarnast õppematerjali, mis on seotud failiga "hulkliikme kontrolltöö". Need materjalid aitavad sul teemat sügavamalt mõista.
lihtsusta, avaldis, matemaatika, hulkliikmed, koonda, tegurda, ümbermõõt1) Koonda sarnased liikmed a) 2a - 5a + 8a - 7a = ................... f) 7x - 9x -2 + 3 = ................................... b) 5x + 3x + 6x - 2x = ................... g) 15x + y - 3x - 7y - 3 = ........................... c) 11y - 5y + 6y - 7y = ..................______ h) 2x - 5xy - 3y - 3x + 2xy = ...................... d) 22c - 13c + 8c - 7c = ................ i) 11 - 3a + 7b - 2a + 4b = ........................ e) 3a - 5b + 9a - 7b = ...................._____ j) 13u + 7v + 8u - 8u - 11v + 21 = ............. 1. Lahenda järgmised võrrandid: a) 5 - 4x + 9 = 2x - 10 ....................... e) 24x = 17 + 9x + 42 + 1 .................. ................................................... ................................................... ................................................... ................................................... b) 5 - 8y = - 23 + y + 1 ....................... f) 87x -
Hulkliikmete liitmine ja lahutamine 1. Lihtsusta ja arvuta avaldise väärtus. a) (t 3s) (2t + s), kui s = 2 ja t = 3 (t 3s) (2t + s) = t 3s 2t s = 4s t; Lahendus: 4s t = 4 * 2 3 = 11 b) (4c 5d) + (4d c), kui c = 5 ja d = 1 (4c 5d) + (4d c) = 4c 5d + 4d c = 3c d; Lahendus: 3c d = 3 * 5 (1) = 16 c) (a y2) + (a + y2), kui a = 4 ja y = 3 (a y2) + (a + y2) = a y2 + a + y2 = 2a; Lahendus: 2a = 2 * 4 = 8 d) (2s2 s) (s2 2s), kui s = 2 (2s2 s) (s2 2s) = 2s2 s s2 + 2s = s2 + s; Lahendus: s2 + s = (2)2 + (2) = 4 2 = 2
Ruutfunktsioon Sissejuhatav kordamine 1. Teosta tehted. Vastustes vabane negatiivsetest astendajatest. 3 1 2 3 1 a) 2 a b c 3 Lahendus: ; 1 4 2 s 3 t b) 4 5 3 4 s t Lahendus: . 2. Lihtsusta avaldis. a) xy(x + 3y) + (x + y)(x2 2xy y2) Lahendus: xy(x + 3y) + (x + y)(x2 2xy y2) = = x2y + 3xy2 + x3 2x2y xy2 + x2y 2xy2 y3 = = x 3 y3 = = (x y)(x2 + xy + y2) b) (3a 2)2 + (2 + 3a)(2 3a) Lahendus: (3a 2)2 + (2 + 3a)(2 3a) = 9a2 12a + 4 + 4 9a2 = = 8 12a 3. Lahenda võrrand. a) 24x2 + 5x 1 (24x2 6x 12x + 3) = 111 Lahendus: 24x2 + 5x 1 (24x2 6x 12x + 3) = 111;
Matemaatika eksam 1. Tehted astmetega Sama alusega astmete korrutamiseks tuleb astmed liita. Sama alusega astmete jagamiseks tuleb astmed lahutada. Korrutise astendamiseks tuleb astendada kõik tegurid ja tulemused korrutada. Jagatuse astendamiseks tuleb astendada kõik tegurid ja tulemused jagada. Astme astendamiseks tuleb astmed korrutada. 2. Arvu standardkuju Arvu standardkuju on korrutis, mis koosneb ühe ja kümne vahel olevast tegusrist ja kümne mingist astmest. Näited. 7250 = 7,25 ∙ 10³; arvu tüvi on 7,25 ja arvu järk 10. 4000 = 4 ∙ 10³ 3. Korrutise ja jagatise astendamine, astme astendamine Mis tahes aluse nullis aste on 1. Negatiivse astendajaga aste on võrdne absoluutväärtuselt sama suure positiivse arvu astendajaga astme pöördväärtusega. Astme astendamiseks tuleb astmed korrutada. Sama alusega astmete korrutamiseks tuleb astmed liita. Sama alusega astmete jagamiseks tuleb astmed lahutada. Korrutise astendamiseks
Kordamine III(sirge, ringjoon, parabool, vektor) 1. On antud kolmnurk tippudega A(1;2), B(4;3) ja C(2;5). Leidke sirgete AB ja AC võrrandid ning lõikepunktid koordinaattelgedega; 2) Leidke läbi tipu C joonestatud küljega AB paralleelse sirge võrrand; 3) Leidke läbi tipu C joonestatud küljega AB ristuva sirge tõus. 2. Lõik otspunktidega on ringjoone diameetriks. Leidke: 1) ringjoone võrrand; 2) sellele ringjoonele punktides (2,5; 4,5) ja (0;2) joonestatud puutujate võrrandid ja nende puutujate lõikepunkt. 3
Kordamine III 1. Lihtsusta avaldis ja arvuta seejärel kirjalikult selle täpne väärtus, kui a = 5,5 3a - 6 2 - a - 36 a + 6 2 2. Lihtsusta avaldis ja arvuta seejärel kirjalikult selle täpne väärtus, kui x = -4,5 4x + 8 3 - x - 16 x - 4 2 1 1 2 3. Lihtsusta avaldis - : m + n m - n mn - n 2 1 1 ab + b 2 4. Lihtsusta avaldis - a -b a +b 2 2 4 4 2 5. Lihtsusta avaldis : - + 2 3x - 6 x - 2 x + 2 x - 4 2 2 4 2 6. Lihtsusta avaldis - + 2 :
2) Valemite rakendamine: 4x²-25y²=(2x+5)(2x-5) 3) Ruutkolmliikme tegurdamine: ax² + bx + c = a(x - x1)(x - x2) , kus x1 ja x2 on võrrandi ax²+bx+c=0 lahendid. 5 ± 25 - 4 2 3 5 ±1 Näiteks: 2x²-5x+3=2(x-1)(x-1,5), sest x = = , x1=1 ja x2=1,5 22 4 4) Rühmitamine: x³+3x²-4x-12=x²(x+3)-4(x+3)=(x+3)(x²-4) Näidisülesanne: lihtsusta: -K ± K ² -ac * K-valem: kui ax²+2Kx+c=0, siis x= a Astendamine Naturaalarvuline astendaja 2³=222=8 00= - a0=1, kui a0 , st iga arv astmes 0 on võrdne ühega (kui see arv ei ole 0). 11²= 12²= 13²= 14²= 15²= 16²= 17²= 18²= 19²= 20²= 21²= 22²= 23²= 24²= 25²= 121 144 169 196 225 156 289 324 361 400 441 484 529 576 625
Ruutvõrrandid. Ruutvõrrandid esituvad kujul ax2 + bx + c = 0. Ruutvõrrandid jagunevad taandamata ja taandatud ruutvõrranditeks: Taandamata ruutvõrrand Taandatud ruutvõrrand ax2 + bx + c = 0 x2 + px + q = 0 - b ± b 2 - 4ac 2 x1;2 = p p 2a x1;2 = - ± - - q 2 2 Kui ruutvõrrandis ax2 + bx + c = 0 kas b = 0 või c = 0, siis on tegemist mittetäieliku ruutvõrrandiga. Selliseid võrrandeid viisakas inimene ei lahenda eespool toodud lahendivalemiga, sest neid saab lihtsamalt lahendada. Näide 1. Lahendame võrrandid 1) 3x2 + 6x = 0, 2) 0,5x2 23 = 0, 3) 3x2 = 0. 1) Võrrandi 3x2 + 6x = 0 lahendamisel toome x sulgude ette, siis saame x(3x + 6) = 0. Kahe arvu korrutis on
3. AVALDISTE TEISENDUSI. LINEAARVÕRRAN D Koostajad: Gerli Savila, Janek Käsper, Erik Mandel, Marek Käsper. 3.1 KORRUTISE LIHTSUSTAMINE • Korrutamise vahetuvuse ja ühenduvuse seaduste kohaselt võetakse kõik arvulised tegurid omaette ja tähelised tegurid omaette rühma. 5 x a x (-3) x b x c = -3 x 5 x abc = -15abc • Kordaja 1 jäetakse korrutises kirjutamata. abc • Kordaja -1 asemele kirjutatakse ainult miinusmärk. - abc ÜLESANNE 1: LIHTSUSTA KORRUTIS JA LEIA KORDAJA 1) 5a●(-3)bc= 2) 4x●(-2)= 3) 10●(-a)●0.1= 4) 5a● (-0.2)●b = 5) 3,5●(-2x) ●(- 1)= ÜLESANNE 1: VASTUSED • 1) VASTUS: 5a●(-3)bc=-15abc , kordaja -15 • 2) VASTUS: 4x●(-2)=-8x , kordaja -8 • 3) VASTUS: 10●(-a)●0.1=-a , kordaja -1 • 4) VASTUS: 5a● (-0.2)●b =-ab , kordaja -1 • 5) VASTUS: 3,
h² +2h -80 = 0 h = -1 1 80 = -1 81 = -1 9 h 1 = -10 või h 2 = 8 h 1 = -10 ei sobi ülesannete tingimustega, sest kolmnurga kõrgus on reaalne suurus ( h>0) h = 8 (cm), alus on siis 8 +2 = 10(cm) 8 10 5 Kontroll: = 40 (cm²) 2 1 Vastus: h = 8 cm 280 Analüüsi 279, ainult kolmnurk on täisnurkne x ( x 5) 52 jne 2 x2 281 Analüüsi 279 ja 280 162 jne 2 282 Olgu ristküliku (RK) kõrgus h, alus on siis 3h 3h h = 108 h 3h 3h² = 108/:3 h² = 36 h = 36 = 6 (cm)
h² +2h -80 = 0 h = -1 1 80 = -1 81 = -1 9 h 1 = -10 või h 2 = 8 h 1 = -10 ei sobi ülesannete tingimustega, sest kolmnurga kõrgus on reaalne suurus ( h>0) h = 8 (cm), alus on siis 8 +2 = 10(cm) 8 10 5 Kontroll: = 40 (cm²) 2 1 Vastus: h = 8 cm 280 Analüüsi 279, ainult kolmnurk on täisnurkne x ( x 5) 52 jne 2 x2 281 Analüüsi 279 ja 280 162 jne 2 282 Olgu ristküliku (RK) kõrgus h, alus on siis 3h 3h h = 108 h 3h 3h² = 108/:3 h² = 36 h = 36 = 6 (cm)
h² +2h -80 = 0 h = -1 ± 1 +80 = -1 ± 81 = -1 ± 9 h 1 = -10 või h 2 = 8 h 1 = -10 ei sobi ülesannete tingimustega, sest kolmnurga kõrgus on reaalne suurus ( h>0) h = 8 (cm), alus on siis 8 +2 = 10(cm) 8 ×10 5 Kontroll: = 40 (cm²) 2 1 Vastus: h = 8 cm 280 Analüüsi 279, ainult kolmnurk on täisnurkne x( x + 5) = 52 jne 2 x2 281 Analüüsi 279 ja 280 = 162 jne 2 282 Olgu ristküliku (RK) kõrgus h, alus on siis 3h 3h × h = 108 h 3h 3h² = 108/:3 h² = 36 h = 36 = 6 (cm)
Vastus.0,5a ; 0,5h e) Jaota arv 36 kaheks teguriks nii, et ruutude summa oleks vähim. Vastus. 6;6 f) Müüri ääres tuleb kolmest küljest piirata 120m pikkuse taraga ristkülikukujuline maatükk. 1) Avaldage maatüki pindala ühe muutuja funktsioonina. 2) Leidke maatüki mõõtmed nii, et 120m pikkise taraga oleks piiratud suurim pindala. Vastus. 1) S(x) = -2x2 + 120x 2) 30m ja 60m g) Plekitahvlist tuleb välja lõigata täisnurkne kolmnurk, mille pindala ruut on maksimaalne. Leidke selle kolmnurga kaatetite pikkused, kui hüpotenuus on 20cm. Vastus. mõlema kaateti pikkus on 10 2 cm h) Leida seos vähima täispindalaga silindri raadiuse r ja kõrguse h vahel antud ruumala V korral. Vastus: h= 2r i) On vaja valmistada kaaneta kast, mille ruumala on V ja põhjaservade pikkused suhtuvad nagu 1: 2.
Pärnu Niidupargi Gümnaasium Koostas: KAJA ORAV Töölehed VIII klassile 2002/2003 õppeaasta Antud elektroonilised töölehed on mõeldud VIII klassi matemaatika mõistete, geomeetria ülesannete ning tehete kohta üks-ja hulkliikmetega kursuste iseseisvaks kordamiseks või teadmiste kontrollimiseks. Iga küsimuse lõpus oleva rohelise kastikese täitmine õige vastuse ees oleva tähega annab järgmisele reale liikumise korral tulemuseks ÕIGE. Kui Te ei leidnud esimesel korral õiget vastust, siis võite uuesti proovida. JÕUDU TÖÖLE! Küsimused ja kommentaarid on oodatud aadressil [email protected] Mõisteid, mida ei defineerita nimetatakse
Vastus: 1) cos 2x 2)1/7 3) paaris 4) x {-135 ° ;-45 ° ; 45 ° ;135 ° } 10.Sõnalised ekstreemumülesanded a) Traadiga, mille pikkus on 800m, tuleb viierealiselt piirata ristkülikukujuline maatükk. Leida ristküliku mõõtmed nii, et maatüki pindala oleks suurim. Vastus. 40m, 40m *b) Silindri telglõike ümbermõõt on 6dm. Milline on selle silindri suurim ruumala? dm3 Vastus. 3 *c) Koonuse moodustaja on 2 dm. Milline võib olla koonuse suurim ruumala? Leida see. 1
3) kõik ühtevärvi pallid. 3. Leia kõik reaalarvude paarid (x;y), mis rahuldavad võrrandit 2 x +1 = 4 y 2 +1 ja võrratust 2 x 2 y . 4. Kahe positiivse arvu vahe moodustab 1/19 nende kuupide vahest, nend4e korrutis on aga ½ võrra väiksem nende ruutude poolsummast. Leia need arvud. 5. Lahenda võrrand 3sin 9 + 3 = 3 vahemikus (-2; 2). 6. Võrdkülgsesse kolmnurka küljega a on kujundatud teine võrdkülgne kolmnurk, mille tipud asuvad esimese kolmnurga külgedel jaotades need suhtes 1:2. Leia väiksema kolmnurga pindala. 7. Koonusekujulise veiniklaasi kõrgus on h. Mitu protsenti klaasi ruumalast on täidetud, kui klaasi fvalatakse veini poole kõrguseni? 8. Milliste muutuja x Väärtuste korral saavutab funktsioon f ( x ) = 2 8 x - 9 4 x + 12 2 x + 1997 oma suurima ja vähima väärtuse lõigus [-1;1] ? Leia need funktsiooni väärtused. 9
21. Juuresolev sektordiagramm kujutab perekonna ühe kuu sissetuleku jaotust, kusjuures on teada, et toidule kulub 2800 krooni ehk 35% kogu sissetulekust. Arvuta 1) mitu krooni on perekonna kuu sissetulek; 2) mitu krooni kulub eluaseme eest tasumiseks; 3) mitu krooni sissetulekust säästetakse; 4) mitu krooni ja mitu protsenti sissetulekust läheb muudeks kuludeks. 22. Joonisel 2 on esitatud tulpdiagramm, mis kujutab ühe kooli 9. klassi õpilaste matemaatika eksamitöö hinnete jaotust protsentides. Jooniselt puudub hindeid "5" kujutav tulp, kuid on teada, et selle hinde said 18 õpilast. Arvuta: 1) Mitu protsenti õpilastest said hinde"5" ning joonesta puuduv tulp joonisele 2; 2) mitu õpilast oli eksamil; 3) mitu õpilast said hinde "4"; 4) mitu protsenti õpilastest sooritas eksami vähemalt hindele "3"; 23. Lihtsusta avaldis ( 2 x - y ) 2 - 5 x( x - 2 y ) + ( x + y )( x - y ) ja arvuta selle väärtus, kui x = 1/3 ja y = -2,5. 24
tõstan y paremale, arvu 2 vasakule 6-2=y vahetan pooled y=6-2 y=4 Vastus. Murru lugeja on 3 ja nimetaja on 4. 26.Tekstülesanne (ristkülik või rööpkülik) - Ül.966 ümbermõõdu valem P=2(a+b); kasutada rööpkülik; teada on ümbermõõt ja külgede vahet x-y; lahendada kahe lähiskülgede vahe; leida küljed tundmatuga võrrandisüsteem sobiva KOOSTAMINE KONTROLL lahendus- võtte abil üks külg x (cm) 28 cm teine külg y (cm) 16 cm ümbermõõt 2(x+y) 2(28cm+16cm)=88cm (88 cm)
B-7 Leia võrrandi tan x -3 lahendite summa. ( ) B-8 Leia parameetri a väärtus mille korral funktsiooni y = cos 2 (a 2 + 2a - 28) x periood on . 20 B-9 Leia kahekohaline arv ( või nende arvude summa), mille korral numbrite vahetamisel väheneb arv 28,125 % võrra. B-10 Püramiidi ABCS põhitahuka on täisnurkne kolmnurk , kaatetitega AB = 3 ja BC = 4. Külgserva CS pikkus on 5 ja see külgserv on risti põhitahuga ABC. Servadel AC ja BC 2 Tiia Toobal 2008 II osa Pärnu Koidula Gümnaasium on valitud vastavalt punktid M ja N nii, et AM = NB = 3. Lõiketasand läheb läbi punktide M, N ja S. Leia põhitahu ja lõiketasndi vahelise nurga tangens.
2 ruutvõrrandi x +px+q=0 lahendid. x1=3 x2=10 NB pöördteoreem võimaldab lihtsamaid x1 x2=30 seega vabaliige on 30 ruutvõrrandeid ka peast lahendada x1+x2=13 seega lineaarliikme kordaja on 2 -13 võrrand x -13x+30=0 5.ptk Ringjoon ja korrapärane kolmnurk TAGASI Õpitulemused Näited 1.Ringjoone kaar ja kõõl - kaar: ringjoone osa, Ül.1060 saadakse vähemalt kahe punkti märkimisel Ringjoone punktist on joonestatud kaks ringjoonele; tähistamine: kirjuatatakse raadiusega võrdset kõõlu. Leida kõõlude otspunktide tähised (vajadusel lisatakse veel vaheline nurk.
nurga x siinuse, koosinuse ja tangensi kaudu ja vastupidi. sin 2x = 2 sin x · cos x cos 2x = cos2x – sin2 x 2 tan x tan 2x = 1 tan2 x Näited: 1 1 sin x · cos x = 2 sin x · cos x = sin 2x 2 2 sin2x – cos2x = –(cos2x – sin2x) = – cos 2x 2 tan 2x tan 4x = 1 tan2 2x Ülesanne. Kasutades kahekordse nurga siinuse valemit lihtsusta avaldis sin x cos x cos 2x cos 4x cos 8x cos 16x 1 Kui lahendad ülesande õigesti, saad lõpptulemuseks sin 32x . 32 Ülesanne. On teada, et cos 2x = cos2x – sin2 x. Millega võrdub a) cos2 2x – sin2 2x b) sin2 4x – cos2 4x c) cos2 8x + sin2 8x POOLNURGA VALEMID Trigonomeetriliste avaldiste lihtsustamisel kasutatakse ka n.n
2007. aasta matemaatika riigieksami ülesanded koos lahenduste ja kommentaaridega 2 1. ÜLESANNE (5 punkti) Ülesannete tekstid 1 5x 1 I Antud on avaldis 2 , kus x 0 ja x . x 25 x 2 x 0 5 1) Lihtsustage see avaldis. 3 2) Arvutage avaldise väärtus, kui x 2 . Vastus andke täpsusega 10 2. 2 x 2 (9 x 2 x 0 ) 1 II Antud on avaldis , kus x 0 ja x
5+ 2 7. 4. ( a a -b 2 ) 3 2 a -b a 17. Lihtsusta avaldis 1. c 2 m +3 c m -3 -12 - 1 2 a + b 2
Süsteemi determinant on D 4 7 4 2 1 7 1, ¨ 3,4 x 2,8 2,64 ¨ 6,7 x 2,9 y 31,8 1 2 478. Lihtsusta ja seejärel lahenda võrrandisüsteem determinantide abil. 2 7 determinant Dx 2 2 1 7 3 ja ¦ p q ¦ 4( x 2 ) 1 5 y ¦© x © 1
1 4 2 4 1 6 2 1 2 3 2. 1 2 3 1 4 3 4 1 3 2 3 2 4 1 2 1 4 2 4 1 6 2 1 2 3 3. 4. Ruut on jaotatud 9-ks väikeseks ruuduks, neist 4 on träniga, mille kogupindala 36 cm². Seega on on ühe ruudu pindala 36 : 4 = 9 cm² ning selle külg 3 cm. Tärniga tähistatud ruutude ümbermõõt on seega 10 · 3 = 30cm 5. 1) 1 = 3 -3 : 3- 3 : 3 6) 6 = 3 · 3 · 3 : 3- 3 2) 2 = 3 · 3 : 3- 3 : 3 7) 7 = 3 · 3- 3 + 3 : 3 3) 3 = 3 + 3 + 3- 3- 3 8) 8 = 3 + 3 + 3- 3 : 3 4) 4 = 3 · 3 : 3 + 3 : 3 9) 9 = 3 + 3 + 3 + 3 -3 5) 5= 3 + 3 : 3 + 3 : 3 10) 10 = 3 + 3 + 3 + 3 : 3 6. 1) 19 · 88 2) 89 · 11 3) 200 · 6 7. See arv on 4,6 8. 2²² 9.
23.05.1998 a matemaatika riigieksam Lehe haldamist toetavad Topauto ja meelespea.net Põhivariant 2. rida 1998 aasta matemaatika riigieksami ülesannete lahendused 7 y -1 - 4 x -1 1. (5p) Leidke avaldise väärtus, kui x : y = 3 : 4. 3y -1 - x -1 Lahendus: 7 ( 4( x y 7x - 4y - -1 7 y - 4x -1 y = (x x
E A 3 + 2i; 4; 5 - 7,2i; -3 - 2i; -4 + 3i; 5i; 2+ 3. y 3 831. Lihtsusta avaldised. b 2 P(a; b) B a) (3 + 5i) + (4 + 6i) b) (-4 + 6i) - (-7 + 5i) 1
53. L~opmatute rajadega p¨aratud integraalid 54. P¨aratud integraalid t~okestamata funktsioonidest 55. M¨aa¨ratud integraali ligikaudne arvutamine. Trapetsvalem 56. Pindala arvutamine ristkoordinaatides 57. Polaarkoordinaadistik. K~oversektori pindala polaarkoordinaatides 58. K~overjoone kaare pikkus Kirjandus 1. N. S. Piskunov, Diferentsiaal- ja integraalarvutus, I, II, Tallinn 1983. 2. A. L~ohmus, I. Petersen, H. Roos, K~orgema matemaatika u ¨lesannete kogu. Tallinn, 1982. 3. L. Pallas, M¨aa¨ramata integraal. Tallinn, 2005 4. I. Tammeraid, Matemaatiline anal¨ uu¨s I. Tallinn, 2001. 3 5. G. N. Berman, Matemaatilise anal¨ uu¨si kursuse u ¨lesannete kogu. Moskva, 1977 (vene keeles)
3) Joonestage funktsiooni y = log (4x) graafik. x3 x2 36. (2008) On antud funktsioon y . 3 2 1) Leidke funktsiooni nullkohad ja positiivsuspiirkond. 2) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkt. 3) Skitseerige funktsiooni graafik lõigul [-2; 3]. 37. (2008) sin 2 x cos x 1) Lihtsustage avaldis ja arvutage selle täpne väärtus, 1 cos 2 x 1 cos 2 x 5 kui x 3 2) Joonestage lõigul ;2 funktsioonide f(x) = 1 + cos x ja g(x) = sin x graafikud ning määrake nende lõikepunktide koordinaadid. 3) Leidke osa 2) abil lõigul ;2 argumendi x väärtused, mille korral f(x) < g(x). 38. (2008) Antud on funktsioon f ( x) x 2 8 ln x a .
selliseid algarve, mille vahe on 2, näiteks 101 ja 103 või 1 000 000 007 ja 1 000 000 009. Ei ole teada, kas kaksikuid on lõpmata palju. Aritmeetiliseks keskmiseks nimetatakse arvu, mis saadakse antud arvude summa jagamisel liidetavate arvuga. Näide 1. On antud arvud 3, 4, 5 ja 6. Leiame nende arvude aritmeetilise keskmise. 1) Leiame summa: 3 + 4 + 5 + 6 = 18. 2) Jagame summa liidetavate arvuga 18 : 4 = 4,5. Seega nende arvude aritmeetiline keskmine on 4,5. Lahendamiseks sobib ka avaldis (3 + 4 + 5 + 6) : 4. Arvkiir on kiir, mille alguspunktis on märgitud arv 0. Edasi on vabalt valitud ühiklõikude kaugusel järgmised naturaalarvud kasvavas järjekorras. Arvkiirt võime vajaduse korral pikendada kuitahes kaugele. Absoluutväärtus on positiivse arvu ja nulli korral arv ise ning negatiivse arvu absoluutväärtuseks on selle arvu vastandarv. Arvu absoluutväärtus on seda arvu arvteljel kujutava punkti kaugus nullpunktist
18 Näide 8. Avada sulud ( 2a − 3b ) ( 4a 2 + 6ab + 9b 2 ) . Lahendus. Kasutame abivalemit ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) = a3 − b3 ning saame ( 2a − 3b ) ( 4a 2 + 6ab + 9b 2 ) = ( 2a ) − ( 3b ) = 8a 3 − 27b3 . 3 3 a −1 1 Näide 9. Lihtsustada avaldis + . a − 2a + 1 a + 1 2 Lahendus. Lahutame esimese murru nimetajas oleva avaldise valemi a 2 + 2ab + b 2 = ( a + b ) abil teguriteks. Taandame. Viime ühisele nimetalale ja 2 koondame. Nimetajas kasutame veel valemit a 2 − b 2 = ( a − b )( a + b ) , selle abil saame nimetaja lühemalt kirjutada.
Matemaatika 11. klassi praktikumi töö 1. Kirjalik arvutamine m Tehted astmetega (a:b)n = an : bn Tehted juurtega a n n am (ab)n = an * bn a b a b an am = an+m n m a n m a a a an : am = an-m b b n m n*m (a ) = a
Kahe hulkliikme korrutamisel korrutatakse esimese hulkliikme iga liige läbi teise hulkliikme iga liikmega ja saadud avaldised liidetakse Näiteks (6 x % 7y) (4 x % 9 y) ' 24 x 2 % 54x y % 28 x y % 63y 2' 24 x 2 % 82 x y % 63 y 2 Ühise teguri toomisel sulgude ette jagatakse kõik liikmed läbi nende suurima ühisteguriga Näiteks 8x 3 & 24 x 2' 8 x 2 (x & 3) 15 x 4y 2 & 45 x 2y 2 % 5 x 3 y 3 ' 5 x 2 y 2 (3 x 2 &9 % x y) ÜLESANDED 2.2 Lihtsusta! a) x 4 x 5 b) x 2 x 1/2 c) (5 x) (13 y 2) d) x 7 x &3 e) x 6 x f) (7 x 3 y 5) (4 x 2y 4) 3 4 5 7 g) x &2 x &4 h) x x i) y y 2.3 Leida funktsioonide f ja g summa f + g, vahe f - g ja korrutis fg
annaabi.ee 
