Millal on kaks hulka teineteise osahulkadeks? Kaks hulka on teineteise osahulgad siis, kui nad on võrdsed. Mis on venni diagramm? Venni diagramm on diagramm hulkade illustratiivseks graafiliseks esitamiseks. Vt. kahe, kolme ja neljahulga venni diagramme(lk32 ja 38) Mis on universaalhulk? Universaalhulk on hulk, mille moodustavad elemendid, mis kuuluvad vaadeldavasse hulka ja elemendid, mis ei kuulu vaadeldavasse hulka. Mis on hulga täiend? Hulga täiendi moodustavad elemendid, mis ei kuulu vastavasse hulka. Milline hulk on tühihulk? Hulk, milles elemendid puuduvad. Millised hulgad on alati iga hulga osahulgaks? Tühihulk on iga hulga osahulgaks ja iga hulk on alati iseenda osahulk. Millise hulga osahulk on iga hulk? Peaks vast olema et iga hulk on universaalhulga osahulk. Mis on hulga astmehulk? Astmehulk on selle hulga kõikide osahulkade hulk. Mitu elementi on n elemendilise hulga astmehulgas? 2n elementi.
"salvestamiseks". Diskreetse Matemaatika alla kuuluvad: Formaalsete esituste ainus otstarve on nendes sisalduv info hiljem jälle verbaalseks (ehk mõnda lingvistilisse keelde) tagasi "üles lugeda" — Hulgad: Hulgaalgebra (Cantori algebra), Hulgaaritmeetika (taastada). — Loogika: Lausearvutus, Predikaatarvutus, Tõestusmeetodid Mistahes formaalne esitus peab olema üheselt tõlgendatav! — Loogikaalgebra (Boole'i algebra) — Loogikafunktsioonid: minimeerimine, normaalkujud . . .
väidavad, kusjuures sellel väitel on olemas ühene tõeväärtus. o . Välistatud kolmanda seaduse nõudel jäävad kõrvale kõik küsilaused ja paljud hüüdlaused, samuti kõik käsud ning mõttetud sõnaühendid. Mitte-vasturääkivuse seadus välistab mitmesugused paradoksid, näiteks „See lause siin on väär“, ja muud taolised väited, mille tõeväärtust pole võimalik üheselt määrata. o Tehte tulemuseks saadud lause tõeväärtus sõltub ainult komponentlausete tõeväärtustest. 2. Lausearvutuse tehted. Tehete järjekord. Lausearvutuse valem. [1] Tehted o Eitus (märk ¬). Igapäevakeeles väljendab eitus lause mittekehtimist, näiteks „Lehis ei ole okaspuu“. Selle lause võib kirja panna valemiga ¬A, kus A = „Lehis on okaspuu“. o Konjunktsioon (märk &) tähendab seost „ja“. Näiteks „Puhub tuul ja sajab vihma“ on valemkujul A & B.
Kaks loogikaavaldist on võrdsed, kui nad arvutavad muutujate väärtustamisel samad väärtused. 9. Kuidas saadakse mingi loogikavaldise jaoks tema duaalne kuju? Loogikaavaldise duaalne kuju saadakse konjunktsiooni asendamisel disjunktsiooniga, disjunktsiooni asendamisel konjunktsiooniga, konstandi 0 asendamisel konstandiga 1 ning konstandi 1 asendamisel konstandiga 0. 10. Milline seos on omavahel hulgaalgebral ja loogikaalgebral? Loogikaalgebra ja hulgaalgebra on isomorfsed. Kõik loogikaalgebra seadused kehtivad ka hulgaalgebras, kui teha asendused: konjunktsioon – ühisosa, disjunktsioon – ühend, konstant 0 – tühi hulk, konstant 1 – universaalhulk. 11. Milleks kasutatakse loogikatehete asendusseoseid? Millistele tehetele on nad olemas? Asendusseosed asendavad mitteelementaarseid loogikatehteid implikatsioon, ekvivalents, summa mooduliga 2 elementaarsete loogikatehete kaudu. 12. Mis on n-muutuja loogikafunktsioon
" Näide: Lausearvutuse laused ei ole: ,,Kuidas läheb?" ,,Ma valetan praegu." ,,Korrutage arvud 5 ja 9." Analoogia saavutamiseks algebraliste operatsioonidega lepitakse veel kokku: 3. Liitlauseid võib moodustada suvalistest komponentidest, eeldamata nendevahelist sisulist seost. 4. Liitlause tõeväärtus sõltub ainult komponentlausete tõeväärtustest, mitte sisust. Nendest neljast kirjeldatud tingimusest järeldub, et lausearvutuse tehete defineerimiseks on piisav kindlaks määrata, missuguste komponentlausete tõeväärtuste korral loetakse tehte tulemus tõeseks. Lausearvutuse eesmärk ei ole uurida lausete sisulist tähendust, vaid antud lausetest uute lausete moodustamist. Lihtlausete sisu ning see, millised lihtlaused on tegelikult tõesed ja millised väärad, loogika uurimisobjektiks ei ole. Eeldame vaid, et lihtlausete tõeväärtused on põhimõtteliselt leitavad ja liitlausete tõeväärtused nende kaudu arvutatavad.
|x+ y|< = 1 M õlemad relats ioonid on alamhu lgad ots ekorrutis es t R × R j a on kuj utatavad tas andi punktihulkadena R elats ioon R on romb i s iss e Relats ioon S on riba j ääv punktipaaride hulk N 4: V aatle me relats ioone naturaal arvude hulgal ehk olgu A= B= naturaalarvude hulk. A ritmeet ikateh ted <,< = ,> ,> = ,= , on relats ioonid.N ä iteks j ärj es tus s eos < tähendab naturaalarvu paaride hulka {(a,b): a< b} N ende tehete korral on kas utus el ka tähis tus kuj ul aRb näiteks a< b Ü les anne: A ntud on hulgad A= { 1,2,3,4} j a B= A .D efineerida relats ioon aRb nii et a< = b,leida s elle relats iooni mä äramis p iirkond j a muutu mi s piirkond. R = { (a,b): a< = b} R = { (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4),(4,4)} D om (R )= A R ange (R )= A 2. Relatsiooni esitamine (R.Palm järgi) R elats iooni võib es itada paaride loendina nagu ees pool, eriti j uhul kui paare on vähe
|x+ y|< = 1 graafik läheb lõppma tus s e M õlemad relats ioonid on alamhu lgad ots ekorrutis es t R × R j a on kuj utatavad tas andi punktihulkadena R elats ioon R on romb i s iss e Relats ioon S on riba j ääv punktipaaride hulk N 4: V aatle me relats ioone naturaal arvude hulgal ehk olgu A= B= naturaalarvude hulk. A ritmeet ikateh ted <,< = ,> ,> = ,= , on relats ioonid.N ä iteks j ärj es tus s eos < tähendab naturaalarvu paaride hulka {(a,b): a< b} N ende tehete korral on kas utus el ka tähis tus kuj ul aRb näiteks a< b Ü les anne: A ntud on hulgad A= { 1,2,3,4} j a B= A .D efineerida relats ioon aRb nii et a< = b,leida s elle relats iooni mä äramis p iirkond j a muutu mi s piirkond. R = { (a,b): a< = b} R = { (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4),(4,4)} D om (R )= A R ange (R )= A 2. Relatsiooni esitamine (R.Palm järgi) R elats iooni võib es itada paaride loendina nagu ees pool, eriti j uhul kui paare on vähe
Lausearvutus 1) a. Lausearvutuse lausetele esitatavad tingimused: a.i. Välistatud kolmanda seadus. Iga lause on kas tõene või väär. a.ii. Mittevasturääkivuse seadus. Ükski lause ei saa olla nii tõene kui ka väär. a.iii. Tehteid võib teostada ükskõik milliste lausetega. a.iv. Tehte tulemuseks saadud lause tõeväärtus sõltub ainult komponentlausete tõeväärtustest. 2) a. Eitus (märk ¬). Lause mittekehtimine. b. Konjunktsioon (märk &) tähendab seost ,,ja". c. Disjunktsioon (märk ) väljendab seost ,,või". Siin on kasutusel mittevälistav ,,või". d. Implikatsioon (märk ) väljendab tingimuslikku konstruktsiooni ,,kui ..., siis ...". e
Iga hulk on iseenda osahulk. Hulga boleaan kõigi osahulkade hulk. H boleaan on 2H. 2H = {x | x on osahulgaks H-le}. Boleaani võimsus |2H| = 2|H| Tühja hulga boleaani võimsus on 1. Tehted: Hulkade võrdsus = A on B osahulk AND B on A osahulk. Ekvivalentsiseose definitsioon ((A => B) && (B => A)) hulgas sisaldavad samu elemente. Hulga osahulk võib võrduda hulgaga. Hulga pärisosahulk ei või võrduda. Hulkade ühend C = {x | x kuulub A && x kuulub B} Hulkade lõige e ühisosa C = {x | x kuulub A OR x kuulub B} Hulkade vahe C = {x | x kuuulub A XOR x kuulub B} Hulga A täiend A* = {x | x kuulub universaalhulka AND x ei kuulu A} A x B hulkade ristkorrutis e otsekorrutis e Descartes' korrutis A x B = {(a,b) | a kuulub A, b kuulub B} Paradoksid: Russelli ehk habemeajaja paradoks (hulga esitamine predikaadi abil): P(X) = true, kui argumendina esitatud hulk pole iseenda elemendiks. P(X) = false, kui argumendina esitet hulk on iseenda elemendiks. Kontrollime hulka
r /¯¯ A Numbrimärkidena 0 ja 1 esitatud loogikaväärtusi nimetatakse ka "konstant 0" ja "konstant 1" , et rõhutada nende erinevust muutujatest xi . Loogikaavaldis on loogikamuutujaid xi , konstante 0 1 ja Kontrollida eelpoolsete avaldiste x1 x¯2 w x2 ja x1 w x ¯1 x2 t tehtemärke sisaldav kooslus, mis tema muutujate xi väärtustamisel loogilist võrdsust nende tõeväärtustabelite võrdlemise teel u omandab samuti loogikaväärtuse 0 või 1 . u x1 x2 x1 x
Mingi hulga A astmehulgaks 2 𝐴 ehk 𝑃(𝐴) nim selle hulga kõikide osahulkade hulka. n-elemendise hulga astmeh-s on 2𝑛 elementi. Hulk on lõplik, kui ta sisaldab kindla arvu elemente. Lõpmatu hulk sisaldab lõpmatult palju elemente. Hulk on loenduv, kui tema elementidele saab hakata vastavaks seadma naturaalarve { 0 1 2 3 … }. Iga lõplik hulk on alati loenduv. Täisarvud Z lõpmatu/loenduv, reaalarvud R lõpmatu/mitteloenduv. Hulgaaritmeetilised tehted: täiend – (unaarne), ühend ∪, ühisosa ∩, vahe , sümmeetriline vahe ∆. Kui 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, siis hulgad A ja B on mittelõikuvad. Lõpliku hulga A võimsuseks |A| nim tema elementide arvu. Grassmanni valemid eistavad hulkade ühisosa või ühendi elementide arvu. Duaalsetes hulgaavaldistes asenduvad ∩/∪, ∪/∩, ∅/𝐼, 𝐼/∅ nt 𝐴̅ ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) ja 𝐴̅ ∪ (𝐵 ∩ 𝐶). Hulgaavaldise Cantori normaalkuju (CNK) on ühendite ühisosa või ühisosade ühend
1. Seotud muutuja on muutuja, millele on omistatud kvantor. Vaba muutuja on muutuja, millele ei ole kvantorit omistatud. Hüüumärgiga ekistentsikvantor tähendab, et eksisteerib ainult üks selline väärtus. Kaks predikaati on võrdväärsed kui nad omavad sama tõeväärtust. Loogikaseadused on lihtsaimad samaselt tõesed lausearvutusvalemid. Assotsiatiivsusseadus on sama, mis „vastus ei olene tehete järjekorrast“. Kommutatiivsusseadus on sama, mis „vastus ei olene operandide järjekorrast“. Kommutatiivne pole ainult implikatsiooni tehe. Distributiivsus esitab lahtiliitmist ja lahtikorrutamist. DeMorgani seadused kehtivad ükskõik mitme muutuja korral. Loogika seadusi rakendatakse, et saada lausest uut, samaväärset lauset. Hulgad: Hulk kooseb hulgaelementidest.
Mingi hulga A astmehulgaks 2𝐴 ehk 𝑃(𝐴) nim selle hulga kõikide osahulkade hulka. n-elemendise hulga astmeh-s on 2𝑛 elementi. Hulk on lõplik, kui ta sisaldab kindla arvu elemente. Lõpmatu hulk sisaldab lõpmatult palju elemente. Hulk on loenduv, kui tema elementidele saab hakata vastavaks seadma naturaalarve { 0 1 2 3…}. Iga lõplik hulk on alati loenduv. Täisarvud Z lõpmatu/loenduv, reaalarvud R lõpmatu/mitteloenduv. Hulgaaritmeetilised tehted: täiend – (unaarne), ühend ∪, ühisosa ∩, vahe , sümmeetriline vahe Δ. Kui 𝐴∩𝐵=∅, siis hulgad A ja B on mittelõikuvad. Lõpliku hulga A võimsuseks |A| nim tema elementide arvu. Grassmanni valemid eistavad hulkade ühisosa või ühendi elementide arvu. Duaalsetes hulgaavaldistes asenduvad ∩/∪, ∪/∩, ∅/𝐼, 𝐼/∅ nt 𝐴̅∩(𝐵∪𝐶) ja 𝐴̅∪(𝐵∩𝐶). Hulgaavaldise Cantori normaalkuju (CNK) on ühendite ühisosa või ühisosade ühend.
1. Kompleksarv kui reaalarvude paar. Tehted kompleksarvudega. Tehete omadused. Kompleksarvu algebraline kuju. Tuletatavad tehted ja nende omadused. Kompleksarvuks nimetatakse reaalarvude paari (x,y). C = {(x;y) | x, y R} Tehted kompleksarvudega: z1 = (x1; y1) C; z2 = (x2; y2) C 1. liitmine: z1 + z2 = (x1 + x2; y1 + y2) 2. korrutamine: z1 * z2 = (x1x2 - y1y2; x1y2 + x2y1) Kompleksarvudega tehete omadused 1. liitmine on kommutatiivne, st z1 + z2 = z2 + z1 z1, z2 C korral 2. liitmine on assotsiatiivne, st (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) z1, z2, z3 C korral 3. liitmise suhtes leidub nullelement (reaalarv 0, 0 + z = z + 0 = z z C korral), st leidub C, nii et z + = + z = z z korral; = (0; 0) = 0 4. igal kompleksarvul z = (x; y) = x + yi leidub (liitmise suhtes) vastandarv, st selline arv w C, et z + w = w + z = 0; w = -z 5
Lihtsam on aga kasutada multinoomi teoreemi, mis annab meile palju mugavamalt kätte mistahes liikme koefitsiendi, näiteks: ning . Binoomiteoreem ning binoom-koefitsiendid on sisuliselt vaid multinoomi valemi erijuht. [7]. Elimineerimismeetod (juurde- ja mahaarvamise valem). Elimineerimismeetod- Elimineerimismeetod on hulkade võimsuse notatsioonil põhinev, äärmiselt mugav vahend leidmaks mitme, üksteisega ühisosa omava hulga ühendit või ühisosa. *Ilma konkreetse valemita oleks suure hulga ühisosa omavate hulkadega arvutamine äärmiselt tülikas. (Venni diagramme kasutades kaob ülevaade juba näiteks 4 hulga puhul). *Elimineerimismeetod on aga rakendatav praktiliselt kuitahes suure koguse hulkade korral. *Elimineerimismeetodi valem avaldub üldkujul järgmiselt: *Elimineerimismeetodil on rakendusi ka arvuteoorias: näiteks võimaldab ta meil lahendada
HULGATEOORIA PÕHIMÕISTEID HULK - algmõiste, intuitiivse definitsiooni järgi objektide kogum. George Cantor (1845-1918) - saksa matemaatik, hulgateooria rajaja. Hulgad jaotuvad lõpmatuteks ja lõplikeks. Meie kursuses käsitletakse lõplikke hulki, mõnikord ka lõpmatuid loenduvaid hulki. Hulgateoreetilised operatsioonid Hulkade ühend A B = { x ( x A) V ( x B ) } Hulkade ühisosa (lõige) A B = { x ( x A) & ( x B ) Hulga täiend A = { x ( x I ) & ( x A ) }, kus I on nn. universaalhulk. Hulkade vahe A B = { x ( x A) & ( x B ) } Hulkade sümmeetriline vahe A B = { x (( x A ) & ( x B )) V (( x A ) & ( x B )) } Hulga A astmehulgaks 2A nimetatakse hulga A kõigi alamhulkade hulka. Hulgateoreetiliste operatsioonide omadused Kommutatiivsusseadused A B = B A B = B Assotsiatiivsusseadused A ( B C ) = ( A B ) C
kasu valmistumisel kontrolltööks ja eksamiks. Margus Kruus HULGATEOORIA PÕHIMÕISTEID HULK - algmõiste, intuitiivse definitsiooni järgi objektide kogum. George Cantor (1845-1918) - saksa matemaatik, hulgateooria rajaja. Hulgad jaotuvad lõpmatuteks ja lõplikeks. Meie kursuses käsitletakse lõplikke hulki, mõnikord ka lõpmatuid loenduvaid hulki. Hulgateoreetilised operatsioonid · Hulkade ühend AB={x |(xA)V (xB)} · Hulkade ühisosa (lõige) AB={x |(xA)& (xB) · Hulga täiend A = { x | ( x I ) & ( x A ) }, kus I on nn. universaalhulk. · Hulkade vahe AB={x |(xA)& (xB)} · Hulkade sümmeetriline vahe A B = { x | (( x A ) & ( x B )) V (( x A ) & ( x B )) } Hulga A astmehulgaks 2A nimetatakse hulga A kõigi alamhulkade hulka. Hulgateoreetiliste operatsioonide omadused · Kommutatiivsusseadused AB=B A B = B · Assotsiatiivsusseadused A(BC)=(AB)C 1 A(BC)=(AB)C · Distributiivsusseadused A(BC)=(AB)(AC)
Eksamiteemad 1. Naturaalarvud. 2. Täisarvud. 3. Ratsionaalarvud. 4. Irratsionaalarvud. 5. Reaalarvud. 6. Summa sümbol. PEATÜKK 0. TÄHISTUSED. REAALARVUD 0.1 Tähistused := definitsioon (võrdub, rõhutatult) aX element a kuulub hulka X a/X a ei kuulu hulka X XY hulk X sisaldub hulgas Y (NB! mitterange kuulumine) mujal võidakse eristada ja , meil = AB hulkade ühend A B hulkade ühisosa X Y hulgast X lahutatakse hulk Y järeldub on samaväärne (mõlematpidi järeldumine) x kehtib iga x korral x leidub selline x N naturaalarvud 1, 2, 3, . . . N0 naturaalarvud koos nulliga 0, 1, 2, 3, . . . Z täisarvud . . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . . Q ratsionaalarvud pq , q = 0 I irratsionaalarvud R reaalarvud C kompleksarvud n! faktoriaal 1 · 2 · · · n
Regulaarse avaldisega R defineeritud keel L(R) on määratud järgmiste seostega: • L(R)={a}, kui R=a • L(R)=∅, kui R=∅ • L(R)={ε}, kui R=ε • L(R)=L(R1)∪L(R2), kui R=R1+R2 (kahe keele ühend, kui R on kahe avaldise summa) • L(R)=L(R1)◦L(R2), kui R=R1R2 (kahe keele konkatenatsioon, kui R on kahe avaldise korrutis) • L(R)=(L(R1))∗, kui R=R1∗ (keele sulund, kui R on avaldise sulund) DEF: Regulaarsed avaldised on võrdsed, kui nad defineerivad sama keele. Tehete järjekord: *, ◦, ∪ 3 Deterministlikud ja mittedeterministlikud lõplikud automaadid. deterministlik - igale olekule vastab täpselt 1 järgmine olek Deterministlik lõplik automaat on viisik: M = (Q(olekud), Σ(tähestik), δ(üleminekufunktsioon), q0(lähteolek), F(lõppolekud)). δ : Q × Σ → Q (mingi olek + sümbol tähestikust = uus olek) Mittedeterministlik lõplik automaat on viisik: M=(Q(olekud), Σ(tähestik), δ(üleminekufunktsioon), Q0(lähteolekud), F(lõppolekud))
kahanev). NB!! Seal polnud tõestust Teada teoreemi 4.8 pöördfunktsiooni pidevusest: Olgu funktsioon f : D → R intervallis D rangelt monotoonne ja pidev. Siis tema pöördfunktsioon f−1 on intervallis f (D) pidev. 20. Elementaarfunktsioonid. Piirväärtused (*) Selgitada, mis on elementaarfunktsioonid Funktsioone, mis saadakse põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete rakendamisel ja liitfunktsioonide moodustamisel, nimetatakse elementaarfunktsioonideks. Teada teoreemi 4.9 elementaarfunktsioonide pidevusest: Iga elementaarfunktsioon on oma määramispiirkonnas pidev. Tõestada, et Lähtume võrratustest (4.3), neist saame, et ehk Kuna koosinusfunktsioon on pidev kohal a = 0, siis ning lause 3.6 kohaselt 4.3 - Seosega määratud funktsioon f : D → R, kus D := (−1,
sajandil. Selliseid reaalarvude erinevaid esitusi on konstrueeritud mitmeid, tegelikult on nad ühe matemaatilise struktuuri – täieliku järjestatud korpuse – konkreetsed esitused. Sellest tõsiasjast lähtudes defineerime me käesolevas kursuses kõigi reaalarvude hulga R kui täieliku järjes- tatud korpuse. 1.1 Järjestatud korpused 1.1.1 Korpuse aksioomid Definitsioon. Korpuseks (field, поле) nimetatakse hulka F , milles on defineeritud kaks bi- naarset tehet, liitmine A : F × F → F , (a, b) 7→ a + b ja korrutamine M: F × F → F, (a, b) 7→ ab (= a · b) , ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 7 nii et on täidetud järgmised tingimused (korpuse aksioomid ): (A1) a + b = b + a kõikide a, b ∈ F korral (liitmise kommutatiivsus), (A2) (a + b) + c = a + (b + c) kõikide a, b, c ∈ F korral (liitmise assotsiatiivsus),
3.3 Maatrikskorrutise mittekommutatiivsus ¨ Oeldakse, et maatriksid A ja B kommuteeruvad, kui AB = BA. Eelmised n¨aited u ¨tlevad, et maatrikskorrutamine on u ¨ldiselt mit- tekommutatiivne tehe, s.t AB = BA. Korrutamine on u ¨ldiselt mittekommutatiivne ka siis, kui tegurid on ruutmaatriksid. 8 II. Maatriksarvutus Avaldist [A, B] := AB -BA (kui leidub) nimetatakse maatrik- site A ja B kommutaatoriks ehk Lie korrutiseks. Kommutaator on m¨a¨aratud vaid u ¨hesuguste j¨ arkudega ruutmaatriksite korral. Kom- mutaatori omadusi vaatleme allpool (teoreem 9). 3.4 Nullitegurid Arvutame 2 6 9 6 9 6 9 := -4 -6 -4 -6 -4 -6
Lausearvutuses võib lause asendada selle tõeväärtusega. Lause võib olla lihtlause või liitlause. Lausearvutuse tehteks nimetatakse niisugust lausetes kasutatavat seost, mille tõeväärtus on tema osalausete tõeväärtuste funktsioon. Lausearvutuse tähestik: · lausemuutujate sümbolid: A, B, C, B2, ... (suurtähed); (väiketähed: p, q, ... tähistavad metamuutujaid); · loogilised konstandid: tõene ja väär ; · loogiliste tehete sümbolid: ¬, &, , , (prioriteedi langemise järjekorras); · kirjavahemärgid: (), [ ] ; Tarvis on veel metasümboleid: · võrdusmärk ehk objektideevahelise võrduse seos: =; selle asemel võib (ja on mõnikord täpsemgi) kasutada samasuse sümbolit: ; · lausete vastastikune järeldumine ehk seos ,,siis ja ainult siis kui": · lause järeldumine teisest lausest ehk seos ,,kui ... siis ..." : Lausearvutuse valemid saame kirjutades laused üles sümbolkujul. Laused on
n /0 m Q' m 0Z, n 0Z, n...0 Kõiki harilikke murde saab esitada kümnendmurruna, kusjuures tekib kas lõplik või lõpmatu 1 2 perioodiline kümnendmurd. Näiteks ' 0,2 ; ' 0,66666... ' 0,(6) ; 5 3 3 ' 0,428571428571... ' 0,(428571) 7 Ratsionaalarvude hulk on kinnine kõigi aritmeetiliste tehete suhtes. Iga kahe erineva ratsionaalarvu vahel asub lõpmata palju ratsionaalarve. MAJANDUSMATEMAATIKA I Funktsioonid ja nende algebra 7 Irratsionaalarvud on arvud, mida ei saa esitada täisarvude jagatisena. Näiteks /2, , sin 15E. Need on lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud. Näiteks arvu esimesed 500 kohta 3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862
b b b b d bd a c ac a ac = c = b d bd b b b ab a c a d ad a = : = = c c b d b c bc a a b c ac :c = a: = a = b bc c b b 5 1.5 Tehete põhiomadused Vahetuvus ehk kommutatiivsus: a+b = b+a ab = ba a ( b + c) = ( b + c) a Ühenduvus ehk assotsiatiivsus: a + ( b + c) = ( a + b) + c a ( bc ) = ( ab ) c Jaotuvus ehk distributiivsus: a ( b + c ) = ab + ac
a c ac a ac c b d bd b b b ab a c a d ad a : c c b d b c bc a a b c ac :c a: a b bc c b b 5 1.5 Tehete põhiomadused Vahetuvus ehk kommutatiivsus: ab ba ab ba a b c b c a Ühenduvus ehk assotsiatiivsus: a b c a b c a bc ab c Jaotuvus ehk distributiivsus:
tähestiku tähtedega. Sõltumatuid muutujaid (sisendeid) nimetatakse argumentideks, neist sõltuvaid muutujaid aga funktsioonideks. Loogikafunktsiooni kõik argumendid on loogilised muutujad, millel on kaks väärtust 0 ja 1. Kõiki loogikafunktsioone väljendavad kolm põhitehet: loogiline korrutamine, loogiline liitmine ja loogiline eitus. Loogiline korrutamine (NING). NING-funktsioon on võrdne ühega ainult juhul, kui kõik argumendid on võrdsed ühega. Tehte tähistamiseks kasutatakse nii harilikku korrutus- märki ( • ) kui ka loogilise korrutamise eritähist - katust ( ∧ ). Loogilist korrutamist nimetatakse ka konjunktsiooniks. Loogiline liitmine (VÕI). VÕI-funktsioon on üks siis, kui kas või üks argumentidest võrdub ühega. VÕI-tehte tähistamiseks kasutatakse kas pluss (+) märki või loogilise liitmise eritähist - V tähe kujulist märki ( ∨ ). Loogilist liitmist nimetatakse ka disjunktsiooniks. Loogiline eitus (EI)
1.6.3 Täisarvudega tegelev matemaatika Võtame kolmandaks näitevaldkonnaks harilike täisarvudega tegeleva matemaatika. Nimetame sellist sorti matemaatikat ``aritmeetikaks''. Aritmeetika valdkonnas defineeritakse liitmis- ja korrutamistehted ning hakatakse seejärel teoreeme tõestama. Lihtsaimad teoreemid on harilikud arvutusülesanded nagu · ``kas 2*15 = 25?'' · ``kas (3+4)*7 = 85?'' keerulisemad aga pärivad arvude ja tehete üldiste omaduste järele, nagu · ``kas iga arvu x ja arvu y jaoks kehtib x+y = y+x?'' · ``kas algarve on lõpmatu hulk?'' · Fermat nn. suur teoreem, mida keegi pole veel tõestada suutnud: ``iga kahest suurema täisarvu x-i jaoks kehtib väide: ei leidu selliseid nullist suuremaid täisarve u, v ja w, et kehtiks ux+vx = wx'' jne jne. Aritmeetika on piiramatult keeruline: arvude kohta saab esitada lõpmatult palju küsimusi ehk tõestust ootavaid
............................................................................. 21 Absoluutväärtust sisaldav võrratus.........................................................................................21 III Trigonomeetria...................................................................................................................... 22 Täisnurkse kolmnurga trigonomeetria....................................................................................22 Trigonomeetriliste avaldiste lihtsustamine.............................................................................23 Nurkade liigitamine................................................................................................................ 23 Nurga kraadi- ja radiaanimõõt................................................................................................23 Kraadimõõt......................................................................................................................
nurga x siinuse, koosinuse ja tangensi kaudu ja vastupidi. sin 2x = 2 sin x · cos x cos 2x = cos2x – sin2 x 2 tan x tan 2x = 1 tan2 x Näited: 1 1 sin x · cos x = 2 sin x · cos x = sin 2x 2 2 sin2x – cos2x = –(cos2x – sin2x) = – cos 2x 2 tan 2x tan 4x = 1 tan2 2x Ülesanne. Kasutades kahekordse nurga siinuse valemit lihtsusta avaldis sin x cos x cos 2x cos 4x cos 8x cos 16x 1 Kui lahendad ülesande õigesti, saad lõpptulemuseks sin 32x . 32 Ülesanne. On teada, et cos 2x = cos2x – sin2 x. Millega võrdub a) cos2 2x – sin2 2x b) sin2 4x – cos2 4x c) cos2 8x + sin2 8x POOLNURGA VALEMID Trigonomeetriliste avaldiste lihtsustamisel kasutatakse ka n.n
tulemusena, mittemateriaalne), universaalne (haarab kõiki võimalikke objekte, millest mõistet abstraheerida saab), põhitunnustega (olemuslike omadustega) ning püsiv (ei muutu mõistega haaratud objektide muutumisel). Termin on üldkasutatav ja väljendab keeleliselt seda, mida isik mõistega mõtleb. Sinna kuulub isiklik mõiste ja arusaam kokkuleppelisest mõistest, nt koerte puhul võivad teised isikud koerte kohta rohkem või vähem teada, kuid on olemas mingi kokkuleppeline ühisosa, mida kõik peaks enam-vähem tunnustama, juhul kui selle kohta kasutatakse väljendit „koer“. Argikeeles räägitakse tavaliselt kas asjadest või sõnadest, mitte mõistetest. Mõistetest räägitakse peamiselt siis, kui jutt on sõnade tähendustest. 2 Traditsioonilise loogika mõisteõpetuse osa saab üles ehitada vähemalt kahel viisil: 1) võtta aluseks mõiste; 2) võtta aluseks termin. Kummalgi käsitlusviisil on oma eelised ja puudused.
Kõrgema matemaatika kordamisküsimused 1. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Nullmaatriks. Transponeeritud maatriks 2. Maatriksite korrutise definitsioon. Korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete ning korrutamise vahel. Ühikmaatriks. 3. Teist ja kolmandat järku determinandid. 4. Permutatsiooni definitsioon. Inversiooni definitsioon. n-järku determinandi definitsioon. Determinandi põhiomadused 5. Maatriksi elemendi minor. Alamdeterminant. Determinandi arendus rea ja veeru järgi. Determinantide teooria põhivalem. 6. Regulaarse maatriksi mõiste. Pöördmaatriksi definitsioon ja elementide leidmise eeskiri. Pöördmaatriksi omadused. 7
vaatlemine pole vajalik t on juba olemasolev sisse toodud tähis ja c on uus konstant, mis tuuakse sisse Ütleme, et valem F on prefikskujul, kui F = Q1x1Q2x2 ... QnxnF , kus Q1, Q2, ... , Qn on kvantorid, x1, x2, ... , xn indiviidmuutujad ja F kvantoriteta valem, mida nimetatakse valemi F maatriksiks o Prefikskujule viimise algoritm: Avaldame implikatsiooni ja ekvivalentsi teiste tehete kaudu Viime eitused kvantorite alla Nimetame ümber seotud muutujad Toome kõik kvantorid sulgude ette 4. TÕESTUSTAKTIKAD Teoreemi üldkuju: kui on täidetud eeldused E1, ..., Ne, siis kehtib väide V Väide on kujul B&C Eeldus on kujul B&C Väide on kujul BvC Eeldus on kujul BvC Väide on kujul B->C Eeldus on kujul B->C Väide on kujul B Eeldus on kujul B Väide on kujul B<->C
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
